Ruote Dentate a Denti Diritti

Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio”

1

ITIS “G. MARCONI” – BARI

CORSO SERALE PROGETTO SIRIO

A.S. 2009-2010

DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

N° 3

LA TRASMISSIONE DELLA POTENZA

Ruote dentate a denti diritti


2

RUOTE DENTATE A DENTI DIRITTI

Lo studio delle ruote di frizione ha dimostrato che le potenze trasmissibili con tale

meccanismo sono piccole e che sono necessarie adeguate forze normali di compressione per

sviluppare la forza tangenziale d’attrito necessaria al funzionamento. Tali forze normali poi

devono essere contenute per non generare deformazioni locali nel contatto e perdite eccessive per

attrito nei perni dei cuscinetti. Per superare queste limitazioni si utilizzano altri organi di macchine

come le ruote dentate il cui moto relativo non è assicurato dall’attrito ma dall’azione mutua che si

scambiano opportuni risalti (denti) ricavati sulla periferia di un cilindro.

Ecco alcuni esempi di ruote dentate a denti diritti:

1 Ruote dentate cilindriche a denti dritti, dentatura esterna e dentatura interna.

2 Pignone - cremagliera.

3 Ruote dentate coniche.

Premettiamo le seguenti importanti definizioni:


3

Si definisce ruota dentata un organo di macchina dotato di opportuna dentatura atta a trasmettere

un moto rotatorio e un momento torcente.

Si definisce ingranaggio un meccanismo elementare costituito da una coppia di ruote dentate

(fig. 4).

Si definisce rotismo una combinazione di ingranaggi formanti una catena cinematica.

Dato un ingranaggio, la ruota più piccola viene chiamata pignone e la ruota più grande viene

chiamata corona (o ruota) (indicheremo le grandezze relative alla ruota motrice con il pedice

1 e quelle relative alla ruota condotta con il pedice 2):

4 Schema di un ingranaggio.

Si definisce rapporto di trasmissione “ i ” il rapporto tra la velocità angolare della ruota

motrice e quella della ruota condotta:

> 1

i = ω 1/ω2 = 1

< 1

Se i > 1 allora l’ingranaggio è riduttore; se i = 1 l’ingranaggio è indifferente; se i < 1

l’ingranaggio è moltiplicatore.

Sapendo che =2n si può esprimere il rapporto di trasmissione in funzione del numero di giri:

i = n1/n2

momento motore

momento resistente

Mt2

Mt1

velocità angolare

ruota motrice

velocità angolare

ruota condotta

pignone

(conduttore)

corona

(condotta)


4

GEOMETRIA DI UNA RUOTA DENTATA

Le caratteristiche geometriche di una ruota dentata sono così definite (figg. 5-6):

Circonferenza di testa (di diametro da) è la circonferenza che limita superiormente la dentatura.

Circonferenza di piede (di diametro dd) è la circonferenza che limita inferiormente la dentatura.

Circonferenza primitiva (di diametro dp) è la circonferenza ideale rispetto alla quale la ruota

dentata può essere studiata come una ruota di frizione; la trasmissione del moto con due o più ruote

dentate, allora, può essere studiata come se esse fossero ruote di frizione di diametro uguale a dp.

Circonferenza di base (di diametro db) è la circonferenza che viene utilizzata come geometria di

riferimento nella costruzione del profilo ad evolvente di cerchio dei denti.

5 Definizioni delle circonferenze caratterizzanti una ruota dentata.

Addendum (ha): altezza del dente compresa tra la circonferenza primitiva e la circonferenza di

testa.

Dedendum (hd): altezza del dente compresa tra la circonferenza di piede e la circonferenza

primitiva.

Altezza del dente (h): somma delle due altezze ha e hd.

Larghezza della dentatura (b): ingombro assiale del dente.

Passo (p): distanza misurata sulla circonferenza primitiva, tra gli assi di due denti consecutivi.

Condizione necessaria affinché due ruote dentate ingranino fra di loro è che abbiano lo stesso

passo e ciò equivale a dire che le due ruote hanno lo stesso modulo.

Vano (v): distanza misurata sulla circonferenza primitiva tra i profili di due denti consecutivi.

Spessore (s): distanza misurata sulla circonferenza primitiva tra i profili di uno stesso dente.

(N.B. Lo spessore ed il vano sono pari a metà del passo).


5

Costa: superficie del dente al di sopra della superficie cilindrica primitiva.

Fianco: superficie del dente al di sotto della superficie cilindrica primitiva.

6 Geometria del dente di una ruota dentata

Detto z il numero di denti della generica ruota dentata, vale ovviamente la relazione seguente:

p • z = 2πrp

da questa relazione ricaviamo il passo:

p = π dp/z (mm)

Possiamo ora ricavare due nuove espressioni del rapporto di trasmissione; la prima espressione si

ricava tenendo conto che le velocità periferiche delle due ruote (valutate nel punto di contatto fra le

circonferenze primitive) sono uguali:

vp1= vp2 1 rp1 = 2 rp2 i = ω1/ω2 = rp2/rp1 = dp2/ dp1

la seconda relazione si ricava dall’eguaglianza del passo tra le due ruote affinché l’ingranamento

sia possibile:

p1=p2 π dp1/z1 = π dp2/z2 i = ω1/ω2 = z2/z1

Si definisce rapporto di ingranaggio (u) il rapporto tra il numero dei denti della corona e il

numero dei denti del pignone (e ciò a prescindere dal fatto che essa sia motrice o condotta):

u = z2/z1 > 1


6

si può notare dalla definizione che il rapporto di ingranaggio coincide con il rapporto di

trasmissione quando l’ingranaggio è riduttore (i > 1).

PROPORZIONAMENTO MODULARE

Un metodo per proporzionare una ruota dentata può essere quello di mettere le varie grandezze

geometriche in relazione al passo ma, essendo il passo un numero irrazionale (decimale illimitato

non periodico), ciò implicherebbe la necessità di dover effettuare varie approssimazioni di calcolo

a scapito della precisione, pertanto si preferisce definire una nuova grandezza geometrica detta

modulo e riferire il dimensionamento della ruota a questa grandezza.

Dunque, si definisce modulo il rapporto tra il diametro primitivo e il numero di denti (oppure il

rapporto tra il passo e π) :

m = dp/z = p/π (mm)

m, a differenza di p, è un numero decimale limitato e quindi ciò consente di eliminare

l’imprecisione dovuta al valore irrazionale del passo.

Il calcolo della ruota dentata eseguito con il modulo, viene detto proporzionamento modulare.

I valori del modulo devono essere scelti tra quelli normalizzati (fig. 7):

VALORI NORMALIZZATI DEL MODULO (mm) – UNI 6586

0,5 0,75 1 1,125 1,25 1,375 1,5 1,75 2 2,25 2,5

2,75 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8 9

10 11 12 14 16 18 20 22

7 Valori del modulo (in grassetto quelli da preferire)

Si hanno le seguenti relazioni geometriche

(proporzionamento normale) (fig.8):

ha = m

hd = 1,25 m

h = ha + hd = m + 1,25 m = 2,25 m

p = π m

8 Modulo di una ruota dentata cilindrica a denti diritti.


7

dp = m z

da = m z + 2m

dd = m z – 2,5 m

db = dp cos = m z cos

v = p/2 = π m/2

rb = rp cosθ

In caso di proporzionamento ribassato si ha:

ha = 0,8m

hd = m h = 1,8m

STUDIO CINEMATICO

Affinché due ruote dentate possano ingranare tra loro è necessario che esse abbiano lo stesso passo

(p) e lo stesso modulo (m), questo però non basta perché, affinché la trasmissione del moto

avvenga senza urti e distacchi, è importante che anche il profilo dei denti rispetti certe condizioni:

se vogliamo che durante il moto i denti si mantengano costantemente in contatto tra loro

allora i loro profili devono essere coniugati.

Per generare due profili coniugati si utilizza il metodo dell’epiciclo che consiste nel far rotolare

una retta t, tangente alle due circonferenze di base e passante per il punto C di tangenza delle

circonferenze primitive, una volta sulla circonferenza di base della corona e una volta sulla

circonferenza di base del pignone. Durante tali moti il punto P descriverà due curve tra loro

coniugate dette evolventi del cerchio (fig. 9).

9 Profilo ad evolvente del cerchio.


8

Per i profili coniugati vale la seguente proprietà:

La normale comune ai profili coniugati nel punto di contatto passa per il punto C di tangenza dei

cerchi primitivi (ciò garantisce la costanza del rapporto di trasmissione qualsiasi sia il punto di

contatto tra i denti).

Se così non fosse si avrebbe il distacco o la compenetrazione dei profili durante il moto.

I profili ad evolvente godono poi delle seguenti proprietà:

1. La forza trasmessa dai denti, se si trascurano gli attriti, ha direzione costante.

2. I profili rimangono coniugati anche variando l’interasse, in questo caso cambia solo

l’angolo (angolo di pressione).

3. La ruota con un numero infinito di denti (denominata dentiera) ha le superfici dei denti

piane.

Durante l’ingranamento delle due ruote dentate il punto di contatto tra due generici denti si sposta

su di un segmento appartenente ad una retta chiamata retta dei contatti (t), il segmento prende il

nome di linea di ingranamento ed è delimitato dai punti A e B intersezioni della retta t con le

circonferenze di testa delle due ruote (fig. 10).

10 Linea d’ingranamento e arco d’azione.

Durante il moto del punto di contatto dei denti dal punto A al punto B, le due circonferenze

primitive rotolano su di un arco s, denominato arco di azione. Tale arco si ottiene intersecando i

prolungamenti dei segmenti O1A e O2B (O1 e O2 centri delle due ruote) con le circonferenze

primitive ottenendosi due punti M e N che delimitano l’arco d’azione. I due archi CM e CN sono

detti rispettivamente arco di accesso e arco di recesso (fig. 10).


9

Esiste una relazione tra la lunghezza dell’arco di azione e il passo di una ruota, tale relazione, che

prende il nome di condizione di continuità del moto, è la seguente:

s p

Se non si verificasse tale condizione (ad esempio risultasse che p > s) vorrebbe dire che in un arco

di lunghezza p-s non si avrebbero denti in presa e quindi il moto della ruota dentata risulterebbe

discontinuo, cosa che non è accettabile.

La retta d’azione (o retta di pressione) rappresenta la direzione dello sforzo che si scambiano i

denti in presa di un ingranaggio ed ha direzione costante durante la trasmissione del moto (nel caso

ideale di attrito nullo) (fig. 11). Tale retta ha la direzione della linea d’ingranamento e quindi

passa per il punto di contatto delle circonferenze primitive, forma con la retta tangente a tali

circonferenze primitive passante per lo stesso punto un angolo (angolo di pressione). Per

l’angolo di pressione esistono valori normalizzati pari rispettivamente a 20°, 15° e 14°30’. La

retta d’azione è anche tangente alle circonferenze di base.

11 Retta d’azione.

L’ultima condizione da rispettare nella costruzione delle ruote dentate è il numero minimo della

ruota più piccola (pignone) e ciò allo scopo di evitare l’interferenza dei profili (compenetrazione

tra i denti).

Tale numero di denti si ricava con la seguente formula:

22min

sin21

2

uuuz


10

u è il rapporto di ingranaggio:

u = z2 /z1

Costruttivamente, per realizzare questo numero di denti minimo, il diametro della circonferenza di

piede si fa minore del diametro della circonferenza di base (dd < db).

STUDIO DINAMICO

La potenza che viene trasmessa fra due ruote dentate si può calcolare con la seguente formula :

N = M1 ω1

che si può anche scrivere nel modo seguente:

N = Ft r ω1

Ft è la forza tangenziale. Per ricavarla bisogna considerare la forza totale F scambiata fra i due

denti in presa, che ha direzione costante e coincidente con la retta d’azione (fig. 12).

Scomponendo la forza F in direzione tangenziale e radiale abbiamo le due componenti Ft e Fn.

Ft = F cos è la forza responsabile della trasmissione del momento torcente e sollecita i denti a

flessione e taglio.

Fn = F sen è la forza radiale che sollecita il dente a compressione.

12 Azioni scambiate da una coppia di ruote dentate.

In conclusione la forza Fn non dà nessun contributo alla trasmissione della potenza e il suo effetto

è quello di allontanare le ruote.


11

La relazione fra Fn e Ft è:

Fn = Ft tg

AZIONI MUTUE

Le azioni che vengono scambiate durante il moto sono rappresentate nella seguente figura (fig.

13):

13 Azioni mutue tra le ruote dentate: (a) equilibrio dinamico del sistema complessivo,

(b) equilibrio dinamico delle singole ruote, (c) azioni trasmesse all’albero.

La ruota motrice applica alla condotta le forze Ft2 ed Fn2 (forze di azione) in modo tale che risulti:

Mt2 = Ft2 r2

Per il terzo principio della dinamica, la ruota condotta applica alla ruota motrice le forze Ft1 ed

Fn1 (forze di reazione) uguali e contrarie a Ft2 ed Fn2 in modo che risulti:

Mt1 = Ft1 r1

Le azioni ricevute dagli alberi sono a loro volta opposte a quelle che loro stessi hanno trasmesso

alle ruote e perciò sono concordi con le forze ricevute dalle ruote.

In presenza di attrito, la potenza trasmessa (potenza utile) è minore di quella motrice NU < NM.

Il rendimento della trasmissione è:

Ruota cedente

Mt2

Mt1

Fn2

Ft1

Ft2

Fn1Mt1

Mt2

Ft1

Fn2

Ft2

Fn1

Fn2

(a) (b) (c)

Ft1

Ft2

Fn1

Fn2

Ft1Fn1

Ft2

Ruota ricevente

Mt


12

η = NU /NM = 1 / (1 + ƒ π ( 1/z1 + 1/z2 ))

ƒ = coefficiente d’attrito. Per ingranaggi ad assi paralleli si ha η = 0,950,98.

CALCOLO DI RESISTENZA DELLE RUOTE DENTATE

Si fa in funzione della potenza da trasmettere, del numero di denti e del carico unitario di sicurezza del

materiale tenuto conto della dinamicità della trasmissione e quindi dalla velocità della ruota.

Consideriamo un ingranaggio con le grandezze relative alla ruota motrice indicate con il pedice 1

e con quelle relative alla ruota condotta indicate con il pedice 2. Nello studio dinamico abbiamo

visto che la ruota motrice applica alla ruota condotta una forza F (forza totale scambiata tra i denti)

che può essere scomposta in due componenti (fig. 13):

Forza tangenziale Ft = F cos

Forza normale Fn = F sen

La forza tangenziale Ft può essere calcolata in funzione della coppia da trasmettere :

Ft =Mt1/r1 = N/ωr1 = N/vp

Pertanto la forza tangenziale è uguale al rapporto tra la potenza da trasmettere e la velocità

periferica della ruota.

Per proporzionare i denti della ruota ci sono due metodi:

Metodo di REULEAUX

Tale metodo considera il dente come una trave incastrata di lunghezza h e di sezione rettangolare

pari a s•b soggetta alla forza periferica Ft applicata sullo spigolo del dente in corrispondenza del

diametro di troncatura esterna (fig. 14).

Si tratta pertanto di un metodo di

progetto a flessione del dente.

14 Schema statico del dente di una ruota dentata.


13

La larghezza b del dente si calcola con la seguente relazione:

b = λ m

in cui λ dipende dalla qualità della dentatura e dalle condizioni di lavoro.

I valori di si possono ricavare dalla seguente tabella (v. tabella di fig. 15):

QUALITÀ DELLA DENTATURA E CONDIZIONI DI LAVORO λ

Dentatura fusa precisa oppure tagliata alla fiamma; pignone

con supporti esterni non rigidi 610

Dentatura non rettificata, temprata 515

Dentatura lavorata bene, supporti nello stesso carter del

ruotismo rigidi e ben allineati 1020

Dentatura lavorata di precisione, n1 3000 min-1

2040

Superficie dei denti pressoché perfetta, elevata precisione di

dentatura, supporti rigidi, n1 3000 min-1

4080

15 Valori di λ.

Lo spessore s del dente è:

s = p/2 = π m/2

pertanto la sezione di incastro è soggetta al momento flettente Mf max :

Mf max = Ft h

e alla sollecitazione di taglio:

Tmax = Ft

La condizione da rispettare affinché il dente lavori in condizioni di sicurezza è:

σmax = Mf max/ Wf ≤ σamm

sostituendo a Mf max e a Wf le grandezze da cui dipendono, si perviene alla seguente formula

del modulo:

3

1

19,10

ammv

t

fz

Mm

ƒv è il fattore di velocità che serve a ridurre il valore della tensione ammissibile statica.

Il prodotto ƒv • σamm fornisce la tensione ammissibile dinamica che si indica con σamm,d:

σamm,d = ƒv • σamm


14

Il fattore di velocità ƒv è funzione della velocità periferica vp. Per ruote molto precise e velocità

periferiche maggiori di 20 m/s:

ƒv = 5,6/(5,6 + vp)

Per ingranaggi veloci vp < 20 m/s e buona precisione:

ƒv = 6/(6 + vp)

Per dentature lente e scarsa precisione:

ƒv = 3/(3 + vp)

Il calcolo del modulo va eseguito sulla ruota più piccola perché è la più sollecitata e ciò a

prescindere dall’essere la ruota motrice o condotta.

Metodo di LEWIS

Il metodo in esame è anch’esso un metodo di progetto a flessione; ciò che lo differenzia da quello

di Reuleaux è il punto di applicazione della forza tangenziale Ft che adesso è il punto dove la retta

di pressione interseca l’asse del dente (fig. 16).

La forza Ft agisce ora ad una distanza h’ minore dell’altezza del dente che viene considerato ora

come un solido di uniforme resistenza a flessione (di profilo parabolico) avente la sezione

resistente di base di dimensioni (fig. 16):

b = λ m (larghezza del dente)

s’ < s (spessore del dente)

16 Resistenza a flessione del dente secondo Lewis.


15

In pratica si pongono:

s’ = c1 m

h’ = c2 m

dove c1 e c2 sono fattori che tengono conto della geometria.

Sulla falsariga di quanto fatto nel primo metodo, considerando cioè il dente come una trave

incastrata, si ha un momento flettente:

Mf max = Ft h’

e a una sollecitazione di taglio:

Tmax = Ft

La condizione da rispettare pertanto affinché il dente lavori in condizioni di sicurezza è:

σmax = Mf max/ Wf ≤ σamm

sostituendo a Mf max e a Wf le grandezze da cui dipendono, si perviene alla seguente formula:

σmax = 6 Ft h’/ (λ c12 m

3 ) = σamm

e sostituendo h’ avremo anche:

σmax = 6 Ft c2 m /(λ c12 m

3 ) = σamm

Infine, sostituendo la relazione di F si perviene alla seguente formula del modulo:

3

1

1

ammv

t

fz

Mcm

In cui c è un fattore che dipende da y

(fattore di forma) (v. tabella di fig. 17):

y = c12 / 6 c2

___

c = ³√ 2/y


16

17 Fattore di Lewis.

Il metodo di LEWIS, rispetto al metodo di REULEAUX, consente di ottenere moduli più piccoli

e quindi dimensioni delle ruote più contenute con i seguenti vantaggi:

1 diminuzione dell’usura per strisciamento

2 diminuzione della rumorosità

Procedimento schematico per il calcolo del modulo

Vediamo come si procede in pratica e per far questo supponiamo che la ruota più piccola

dell’ingranaggio (che è la più sollecitata) sia conduttrice (così facendo tutte le varie grandezze

fisiche che si riferiscono a tale ruota devono essere indicate con il pedice 1 altrimenti, se fosse stata

condotta, le avremmo dovuto indicare con il pedice 2). Data la potenza N si calcola quella corretta

Nc:

Nc = ƒs N

ƒs = fattore di servizio (tabulato)

Si calcola Mt1:

Mt1= Nc/1

Si assumono λ, z1 > zmin, σamm e vp.

Si calcolano ƒv , c e m:

ƒv = 6/(6 + vp)

___

c = ³√ 2/y

3

1

1

ammv

t

fz

Mcm

Quindi si unifica il modulo e si calcola il raggio rp1 della ruota dentata (quella piccola):

rp1 = m z1 / 2

Poi si calcola la velocità periferica vp‘ :

vp‘ = ω1 rp1

e si verifica che sia:

vp‘ ≤ vp

Se la disuguaglianza è verificata, si procede al dimensionamento dell’ingranaggio.


17

Se la disuguaglianza non è verificata, si ripete il calcolo assumendo come nuova velocità periferica

di progetto proprio quella ottenuta con il calcolo precedente cioè vp = vp‘.

VERIFICA AD USURA

Durante l’ingranamento il profilo del dente è sottoposto ad usura che può mettere rapidamente

fuori servizio l’ingranaggio.

Durante la trasmissione del moto, infatti, i profili dei denti in contatto strisciano l’uno sull’altro e

se la lubrificazione manca o è di cattiva qualità tale azione viene incrementata. Una tipica forma di

usura è il pitting. Il pitting è caratterizzato dalla presenza di cavità distribuite sulla superficie la cui

formazione può essere attribuita a processi di fatica, adesione locale o cavitazione sulla superficie

o nel substrato del materiale.

L’esperienza mostra che le massime usure si producono nel fianco del dente in

prossimità della primitiva.

Con riferimento a due ruote dentate cilindriche esterne, con angolo di pressione di 20°, per la

valutazione della pressione specifica nel punto di contatto sulla primitiva si utilizza la teoria di

Hertz che fornisce la seguente relazione:

)11

(2

2

211

1max

ppp

tm

ddsenbd

Mfp

(N/mm

2)

in cui il coefficiente fm ha i seguenti valori:

fm = 380 N1/2

/mm per acciaio su acciaio

fm = 310 N1/2

/mm per acciaio su ghisa

fm = 269 N1/2

/mm per ghisa su ghisa

La pressione massima così calcolata deve risultare minore della pamm :

645,2

hn

HBpamm

(N/mm

2)

in cui HB è la durezza Brinell in N/mm2), n è la frequenza di rotazione in giri/min e h è il tempo di

funzionamento in ore.


18

ESEMPIO CALCOLO DI RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DIRITTI

Proporzionare un ingranaggio che deve trasmettere la potenza di N = 4.25 kW, con numero di giri

n1 = 1200 g/min e con rapporto di trasmissione i=1.5. Tempo di funzionamento previsto 100 ore.

N.B. I calcoli si effettuano sempre sul pignone.

Scelta del fattore di servizio fs per servizio intermittente e lieve sovraccarico:

fs =1.2 (consultare il manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684).

Calcolo della potenza di calcolo Nc

È data dal prodotto della potenza della macchina per il fattore di servizio:

Nc = N fs = 4,25 1,2 = 5,1 kW = 5100W

Calcolo di zmin che dipende dall’angolo di pressione e dal rapporto di ingranaggio u.

momento motore

momento resistente

Mt2

Mt1

velocità angolare

ruota motrice

velocità angolare

ruota condotta

pignone

(conduttore)

corona

(condotta)


19

Dal volume 1° del libro di testo a pag. 372 (tab. 25/3):

Per u = 1.5 e si ha zmin = 15 , pertanto si assume z1=20.

Dato il tipo di materiale C 10 avente σr =540÷930 N/mm2, si assume σr= 540 N/mm

2.

Si determina la σamm che è data dal rapporto n

r, che per n=3 vale:

σamm = n

r=

3

540=180 N/mm

2

Calcolo di λ

Si assume λ=15 (tabulato, consultare il manuale a pag. 684).

Calcolo del fattore c

Esso dipende dal numero di denti: c = 1.84 (si può ricavare dal manuale di meccanica 3^ ed.

Zanichelli a pag. 684).

Si assume la velocità periferica di progetto vp = 4m/sec (velocità di tentativo).

Calcolo di fv (fattore di velocità)

Il fattore di velocità per ingranaggi veloci e buona precisione:

fv = 6/(6 + vp)= 6/( 6+4)= 6/10 = 0.6

Calcolo del momento motore

Il momento motore Mt1 è dato dal rapporto tra la potenza di calcolo Nc e la velocità angolare:

ω1= 2 π n1 / 60 = 2 3.14 1200 / 60 = 125.66 rad/sec

Mt1= Nc/ ω1 = 5100 / 125.66 = 40.58 N m = 40580 N mm

Calcolo del modulo

3

1

1

ammv

t

fz

Mcm

= 1,98 mm

Scelta del modulo

Moduli unificati (mm) (in grassetto i moduli consigliati) (v. manuale di meccanica 3^ ed.

Zanichelli a pag. 680):

u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

zmin

15° 21 25 26 27 28 28 29 29 29 29

20° 13 15 15 16 16 16 17 17 17 17

25° 9 10 10 11 11 11 11 11 11 11


20

0.50 0.75 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.35 2.5 2.75 3 3.25

3.25 3.5 3.5 3.75 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 8 9 10

11 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 50

Si considera il modulo unificato uguale a 2 mm, esso serve per dimensionare il raggio primitivo

rp1 che è dato dalla relazione che segue:

rp1= m z1 / 2 = 2 20 / 2 = 20 mm = 0.02 m

Calcolo la velocità periferica della ruota 1:

vp1 = rp1 ω1 = 0.02 (2 3.14 1200 / 60) = 2.51 m/sec

Verifica della velocità periferica

Dato che si è assunta inizialmente la velocità periferica vp = 4 m/s si ha che vp1 < vp quindi la

verifica è soddisfatta; tuttavia volendo fare vp1 non molto diversa dalla vp, si può procedere ad un

secondo tentativo.

Si aumenta il numero di denti z1 = 25 e, fermo restando tutti gli altri dati vp = 4 m/sec, fv = 0.6,

σamm = 180 N/mm2 e Mt1 = 40580 N mm, si determinano y = 0.342, c =1.8 e m = 1,8 mm che si

unifica sempre a 2 mm. Infine si verifica la velocità:

Calcolo del nuovo rp1:

rp1= m z1 / 2 = 2 25 / 2 = 25 mm = 0.025 m (raggio primitivo)

Calcolo della nuova velocità periferica effettiva:

vp1 = rp1 ω1 = 0.025 (2 3.14 1200 / 60) = 3.14 m/sec < 4 m/s

pertanto la verifica è ancora soddisfatta. La ruota è ora sicuramente meglio proporzionata.

Calcolo della larghezza della ruota

La larghezza della ruota è dato dal prodotto di λ e il modulo:

b = λ m = 15 2 = 30 mm

Calcolo dell’altezza del dente

L’altezza è data dalla somma delle due altezze: addendum ha e dedendum hd, dove:

ha = m =2 mm

hd = 1.25m = 2.5 mm

h = ha + hd = 2+2.5 = 4.5 mm

oppure h = 2.25 m = 2.25 2 = 4.5mm

Calcolo del passo

p = π m = 3.142 = 6.28 mm

Calcolo del diametro primitivo

dp1 = mz1 = 225 = 50 mm

Calcolo del diametro di testa


21

da1 = mz + 2m = 2 5 + 2 = 54 mm

Calcolo del diametro di piede

dd1 = mz – 2.5m = 225 – 2.52 = 45 mm

Calcolo del vano del dente

v = p / 2 = 6.28 / 2 = 3.14 mm

Dimensione della ruota 2

rp2 = rp1 i = 251.5 = 37.5 mm

Calcolo dei numeri dei denti della seconda ruota

z2 = z1 i = 25 1.5 = 37.5 si assumono 38 denti.

Verifica ad usura

Calcolo della pmax:

)11

(2

2

211

1max

ppp

tm

ddsenbd

Mfp

(N/mm

2)

637)75

1

50

1(

405030

405802380max

senp N/mm

2

Per il calcolo della pamm si sottopone l’acciaio C 10 UNI 7846 a trattamento termico di

cementazione, così facendo la durezza HB passa dal valore di 1300 N/mm2

a 2612 N/mm2:

645,2

hn

HBpamm

(N/mm

2)

9111001200

261245,2

6

ammp N/mm

2

La verifica è soddisfatta.

Infine, dati rp2, z2 e p si calcola la geometria completa della seconda ruota riapplicando tutte le

formule sopra viste.


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Ruote Dentate a Denti Diritti

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