I Modelli Matematici e le Epidemie

Realizzato da:

Ilaria De Marchi,Marco Fasano,Gianluca Maffei,

Virginia Prudenza,Valentina Sistri,Emanuela Vai,Ilaria Zomer

I Modelli Matematici

• Un modello di un sistema esprime la conoscenza di un fenomeno attraverso una o più equazioni differenziali e come tale consente di rispondere a domande sul sistema senza la necessità di compiere un esperimento. Esso costituisce quindi un potente mezzo di previsione e descrizione del comportamento di un sistema.

• La metodologia matematica consente di affrontare in modo astratto e unificato lo studio di sistemi di natura differente ma accomunati dalle stesse proprietà matematiche.

The Life Game

• The Life Game è un modello matematico utilizzato per simulare l’evoluzione di una colonia di organismi viventi,ognuno dei quali è rappresentato da una cella.

• Venne inventato da Horton Conway,docente dell’università di Cambridge alla fine degli anni ’60.

Regole del ‘Gioco’

• Viene giocato su una griglia.• Le celle possono essere piene(organismi vivi) o

vuote(organismi morti).• Ogni cella è circondata da altre 8 dalle quali dipende

il suo futuro• I passaggi successivi si determinano attraverso tre

regole fondamentali

• Una cellula sopravvive se ne ha 2 o 3 intorno

• Le cellule blu sopravvivono,quelle verdi muoiono

• La cellula muore se ne ha 4 o più intorno,

se ne ha una o se è isolata

-Una cellula morta diventa viva nel turno successivo se ne ha tre vive intorno

-Esistono combinazioni cicliche,altre rimangono costanti.

Modelli Matematici applicati allo Studio delle Epidemie

• DETERMINISTICI: risultati fissi

• STOCASTICI: risultati casuali

• CONTINUI: le variabili cambiano con continuità. Utilizzano le equazioni differenziali.

• DISCRETI: le variabili sono misurate a intervalli.

Si usano le equazioni alle differenze

Modelli Reed-Frost• Il comportamento del modello è determinato dal numero di soggetti infettivi presenti al tempo t=0 e poi dalla probabilità di transizione dallo stato suscettibile allo stato infetto.

VARIABILI- p= probabilità di un contatto efficiente- q= probabilità di non essere infettato q = 1 – p

-It, It+1 = infetti al tempo t e t+1

-St = suscettibili al tempo t

It+1 = St (1-qIt)

L’Isola degli Eremiti-Sei Eremiti vivono su un’isola.

-Uno degli Eremiti viene colpito da una malattia infettiva che ha una durata di un giorno

-L’Eremita infetto visita un altro Eremita che verrà colpito dalla malattia

-L’Eremita infetto nel secondo giorno farà un’altra visita a uno degli Eremiti

-Le visite sono casuali

-Chi è guarito dalla malattia non può essere nuovamente infettato

-Aumentare il numero di Eremiti

-Aumentare il numero dei giorniDi malattia

-Aumentare il numero di Visite

-Aumentare il numero di malati iniziali

VARIANTI

Analisi Matematica di un’Epidemia

• La classe presa in esame è formata da 25 alunni• I soggetti infetti sono 3• I soggetti rimossi sono 9• I soggetti rimangono infetti per 4 giorni• Si può contrarre la malattia solo in classe

Quindi ci saranno soggetti SUSCETTIBILI alla malattia cioè che non l’hanno ancora contratta,soggetti INFETTIVI cioè sono portatori della malattia e soggetti RIMOSSI cioè vaccinati o guariti

Tipi di ContattoCONTATTI MARGINALI: avvengonoCon alunni seduti nei banchi che Confinano per mezzo di un vertice.La probabilità di essere infettato è 1/6.

CONTATTI STRETTI:avvengono conAlunni seduti nei banchi che confinanoTramite un lato.La probabilità di essere infettato è 1/3.

Evoluzione di un’Epidemia

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

S

I

R

Giorno S I R1 13 3 92 10 6 93 6 10 94 5 11 95 2 11 126 2 8 157 2 4 198 2 3 209 2 0 23