Guida Triennio SIMULAZIONI 3-06-2009 9:35 Pagina 2 Risorse ... · Simulazione di prova d’Esame di...

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Nome ………………………………………… Cognome ………………………………………… Classe ……………… Data ………… / ………… / …………

Simulazione di prova d’Esame di Stato

Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario

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Problema 1

Sia y = f(x) una funzione reale di variabile reale tale che la sua derivata seconda siauguale al logaritmo naturale di (−2x) e il cui grafico sia tangente nel punto A di coor-dinate

(−1

2 ;−12

)alla circonferenza di centro C(2;−1).

a. Determinare l’espressione di f(x).b. Individuare il numero di zeri della funzione f(x) e disegnare il grafico.c. Considerare l’arco di curva piana di equazione y = f(x) compreso tra il punto di fles-

so della funzione e l’asse delle ordinate. Qual è la lunghezza di tale arco di curva?

Problema 2

In un riferimento cartesiano ortogonale è data la curva γ di equazione

y =2mx + 1mx − 2

,

essendo m una costante reale.a. Ricercare per quale traslazione degli assi l’equazione assume la forma XY = k.b. Trovare le coordinate dei punti A e B comuni alla curva e alla bisettrice del primo

quadrante e determinare la lunghezza del segmento AB.c. Verificare che per qualsiasi valore del parametro m tutte le curve descritte dall’e-

quazione hanno in comune un medesimo punto C. Determinare l’area del triangoloABC . Studiare l’andamento di tale area al variare del parametro m.

d. Fatta ruotare la curva γ di un angolo giro attorno alla retta di equazione y = 2, de-terminare il volume del solido limitato dalla superficie così ottenuta e dai piani per-pendicolari all’asse x passanti per i punti x0 = xC , x1 > x0, nel caso di m negativo.

Questionario

1 Determinare il valore del parametro k in modo che valga

limx→+∞

√x2 − 1

(√x2 + k − x

)= 2.

Risorse per l’insegnante e per la classe

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2 Precisare se esiste, e in caso affermativo determinare il valore, del parametro ttale che sia ovunque continua la funzione:

f(x) ={

sen(x + t) se x < 0cos(x − t) se x ≥ 0

3 Perché non è applicabile il teorema di Rolle alla funzione f(x) = |x| conside-rata nell’intervallo [−a; a]?

4 Due barche inizialmente alle distanze a e b da un generico punto P , naviganoverso P secondo traiettorie rettilinee perpendicolari tra loro, alle velocità rispettiva-mente di h e k. Quando è minima la distanza tra le barche? A quanto è pari tale di-stanza minima?

5 Dare la definizione di funzione tra insiemi.

Quante funzioni differenti esistono tali che il dominio di f sia dato dall’insiemeD = {1; 2; . . . ;n} e l’insieme immagine sia I = {a; b}?

6 La successione an è definita dalla formula ricorsiva

a1 = 10

an+1 =1an

Scrivere il termine a93. La successione è limitata? È convergente? Qual è l’espressionedella somma dei primi n termini?

7 L’equazione x1+log2 x = x2 log2 x ha:a. una soluzione reale ■■ b. due soluzioni reali ■■

c. infinite soluzioni reali ■■ d. nessuna soluzione reale ■■

8 Calcolare il valore dell’integrale ∫ 1

0

x − 1(x + 2)

√x

dx.

9 Sia f(x) una funzione continua a valori reali definita su [a; b] tale chef(a) < 0 < f(b). Per ciascuna delle seguenti affermazioni dire se sia vera o falsa e in talcaso giustificare la risposta con un opportuno esempio:a. esiste un solo punto x0 ∈ [a; b] tale che f(x0) = 0;b. esiste almeno un punto x0 ∈ [a; b] tale che f(x0) = 0;c. esiste un solo punto x0 ∈ (a; b) tale che f(x0) = 0 se la funzione è dispari e a = −b.

10 Dopo aver dimostrato che y = x + ex è invertibile, calcolare la derivata dellasua inversa x = g(y) nel punto y = 1.


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Problema 1

Sui lati opposti AB e CD del rettangolo ABCD ed esternamente a esso si costruisca-no due triangoli isosceli APB e CQD aventi gli angoli alla base di ampiezza α.a. Sapendo che il perimetro dell’esagono APBCQD è 2p, determinare le lunghezze dei

lati del rettangolo in funzione di α e del lato AP in modo che l’area S dell’esagonorisulti massima.

b. Determinare per quale ampiezza dell’angolo α l’esagono di area massima è inscrivi-bile in una circonferenza. Commentare il risultato.

c. Disegnare il grafico della funzione S, considerando il valore di α trovato nel punto b.Quale deve essere la lunghezza del perimetro dell’esagono in modo che l’area della par-te di piano delimitata da S e dall’asse delle ascisse sia uguale all’area dell’esagono?

d. Nel caso in cui l’angolo α assuma il valore trovato nel punto b, calcolare il volumedel solido generato da una rotazione di 180◦ attorno alla retta PQ dell’esagonoAPBCQD e disegnare il grafico della funzione trovata nello stesso sistema di rife-rimento in cui si è rappresentata la funzione S del punto c.

Problema 2

Sia fm la funzione reale di variabile reale definita da

fm =mx2 − (m + 2)x + 2

2x − 5,

con m parametro reale, e sia γm il grafico di fm.a. Precisare per quali valori di m la funzione fm non ammette né massimo né minimo.

Quali particolarità si hanno per m = 0 e per m = 45?

b. Provare che la funzione fm può essere scritta nella forma

ax + b +c

2x − 5,

determinando le costanti a, b, c. Quale relazione intercorre tra la funzione fm e laretta y = ax + b?

c. Studiare la funzione f2(x) e disegnare il relativo grafico γ2. Provare che γ2 è sim-metrica rispetto al punto di intersezione tra gli asintoti.

d. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di γ2 attorno all’asse x deli-mitato dai piani perpendicolari a tale asse passanti per l’asse y e per il punto dimassimo di f2.


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Questionario

1 Determinare le costanti a e b tali che sia derivabile, ∀x ∈ R, la funzione

f(x) ={

ex + a cosx se x ≥ 0b(x2 + 3x + 1) se x < 0

2 Quale dei seguenti insiemi è vuoto? (È possibile più di una risposta corretta.)a. Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono numeri interi. ■■

b. Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono in rapporto di 5 : 12 : 13. ■■

c. Poligoni regolari con un angolo interno di 45◦. ■■

d. Poligoni regolari con un angolo interno di 90◦. ■■

e. Poligoni regolari con un angolo interno di 100◦. ■■

3 Dimostrare che se limx→c

f(x) = k �= 0, allora esiste un intorno di x = c nel qua-

le f(x) ha lo stesso segno di k e |f(x)| >12

|k|.

4 Sia Pn la successione che ha per termini i perimetri di ciascuno dei quadraticostruiti come segue: il lato del quadrato iniziale è a, il lato di ogni quadrato successi-vo è metà del lato del quadrato precedente. Qual è il termine generale della successio-ne? Studiarne il comportamento.

5 La lunghezza del lato a di un rettangolo aumenta alla velocità di 2 m/s, men-tre la lunghezza del lato b diminuisce alla velocità di 3 m/s. A un certo istante t0 i duelati misurano rispettivamente 20 e 50 m. L’area del rettangolo all’istante t0 è crescenteo decrescente? Con quale velocità?

6 Determinare il dominio della funzione f(x) = arc sen(2x −√

x + 1).

7 Determinare il valore dell’integrale ∫ ln 4

ln 3

(5ex + 4)ex

(ex − 2)(e2x + ex + 1)dx.

8 Determinare il numero complesso z = x + iy tale che |z| = 4 e |z − i| = 1 e da-re un’interpretazione grafica del risultato sul piano di Argand-Gauss.

9 Date le funzioni f(x) = |sen x| e g(x) = −x, disegnare il grafico di f(x), g(x),

f [g(x)], g[f(x)]. Calcolare inoltre f[g

(π

2

)]+ g

[f

(π

2

)].

10 Specificare se la funzione f(x) =x3

4− sen xπ + 3 assume il valore

73

nell’in-

tervallo [−2; 2].


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Problema 1

Sono dati il segmento AB = a e un punto C interno ad AB (AC = 2x). Sia O il puntomedio di AC. Descrivere una semicirconferenza di diametro AC; siano D il punto dicontatto della tangente alla semicirconferenza condotta dal punto B ed E il punto d’in-tersezione di BD con la tangente in A. Sia infine H la proiezione del punto D su AB.a. Quale relazione esiste tra i triangoli BAE e BDO? Calcolare in funzione di a e di x

le misure dei segmenti BO, AE, BD, BE, OH , AH .b. Ruotare la figura di 360◦ attorno ad AB. Calcolare le aree S1 e S2 generate in que-

sta rotazione rispettivamente dal segmento BE e dall’arco AD. Determinare x tale

che sia S1

S2= k (k > 0). Discutere il risultato e analizzare il caso particolare per

k = 2. Disegnare il grafico di S(x) =S1

S2.

c. Determinare l’area del triangolo mistilineo AED.

Problema 2

Considerare un punto P nel piano, il cui moto, in funzione del tempo, è descritto dalleequazioni:{

x(t) = t

y(t) = e3 ln t−t

a. Determinare la traiettoria γ del punto P e disegnarla.b. Determinare i vettori velocità v e accelerazione a. Determinare gli istanti in cui si ha:

� a = 0;� v ortogonale ad a.

c. Si consideri la retta tangente a γ nel generico punto P e sia R il punto d’intersezio-ne di tale retta con l’asse delle ascisse. Tracciare la perpendicolare alla retta tan-gente nel generico punto P , che interseca l’asse x in S. Determinare per quale valo-re di t il segmento SR risulta essere uguale a OS.

d. Determinare l’area della parte di piano delimitata dalla curva γ e dall’asse x, perx ≥ xA, essendo A il punto trovato in c di ascissa maggiore.


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Questionario

1 Verificare che la funzione

f(x) = ln(2 + x) +2(x + 1)x + 2

non ha altri zeri oltre a x0 = −1.

2 Dimostrare che la differenza tra le radici quadrate di due interi consecutivimaggiori di 24 non supera 0,2.

3 Trovare tutti i punti equidistanti dall’asse x, dall’asse y e dal punto di coordi-nate (3; 6).

4 Verificare, mediante la definizione, che limn→+∞

√

4 +1n

= 2.

5 Un punto si muove lontano dall’origine nel primo quadrante lungo la curva di

equazione y =148

x3. Quale coordinata cresce più velocemente?

6 Calcolare il numero 4√

−2 e rappresentare graficamente il suo valore.

7 Calcolare il valore approssimato di arc tg 1,05 applicando il concetto di diffe-renziale e lo sviluppo di Taylor.

8 Verificare la relazione (

m

3

)+

(m + 1

3

)=

m(m − 1)(2m − 1)6

.

9 Qual è una condizione necessaria per la derivabilità di una funzione in un pun-to? Dimostrare la risposta data.

10 Dato l’insieme

A ={

x ∈ R: 0 ≤ x < 1 ∨ x =2n − 3n − 1

, n ∈ N � {0; 1}}

,

precisare se A è limitato superiormente e/o inferiormente, specificandone estremo su-periore, estremo inferiore e, se esistono, massimo e minimo.


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Problema 1

Si consideri una sfera di centro O e raggio R; sia SS′ un suo diametro. Un piano si muo-ve mantenendosi perpendicolare a questo diametro. Nel cerchio, intersezione del pianocon la sfera, si inscriva un triangolo equilatero ABC e sia H il centro di questo cerchio.Si indichi SH = x.a. Calcolare in funzione di x e di R l’area A(x;R) del triangolo equilatero ABC e il

volume V(x;R) della piramide SABC .b. Studiare le variazioni di S e di V in funzione di x e disegnare le curve rappresenta-

trici in uno stesso sistema di riferimento, senza tenere conto delle restrizioni legateal problema geometrico. La posizione reciproca delle due curve dipende da R? Di-scutere i casi possibili.

c. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalle due curve, distinguendo i casitrovati al punto b.

d. Determinare x in modo che l’area A sia mR2. Nel caso particolare in cui l’area sia 2√

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R2, dimostrare che, per il valore maggiore di x, SABC è regolare e il triedro

S′ABC è trirettangolo.

Problema 2

Sia data la funzione f(x) =|x|√

x2 − 2.

a. Studiare il comportamento di f(x) e tracciarne il grafico γ.b. Individuare il più grande intervallo contenuto nel dominio di f(x) in cui tale fun-

zione ammette funzione inversa, motivando la scelta. Precisare dominio e codomi-nio di f−1. Determinare l’espressione di y = f−1(x) e tracciarne il grafico γ1.

c. Scrivere l’equazione delle tangenti a γ e γ1 nel punto {P} = γ ∩ γ1 e calcolare l’am-piezza dell’angolo acuto tra le due curve in P .

d. Calcolare l’area A(a) della parte di piano limitata da γ e dalle rette di equazioniy = 1, x = a, x = 2, con

√2 < a < 2. Determinare il limite di A(a) per a →

√2.


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Questionario

1 Dati due numeri reali positivi x e y:a. dimostrare che la media geometrica g =

√xy è sempre minore o al più uguale alla

media aritmetica a =x + y

2;

b. usare il risultato del punto a per dimostrare che, tra tutti i rettangoli di perimetroassegnato, il quadrato ha l’area maggiore.

2 Le lattine delle bibite sono approssimativamente dei cilindri la cui altezza è 3,6volte il raggio. Si può affermare che le proporzioni tra le dimensioni sono scelte dai pro-duttori per rendere minima la quantità di metallo necessario per fabbricarle?

3 Individuare il numero di punti stazionari della funzione

f(x) = x ln x − 12

bx2 + 5

al variare del parametro b. Discutere la natura di tali punti.

4 Dimostrare che il prodotto di funzioni con la stessa parità è pari, con paritàdifferente è dispari. Fornire degli esempi.

5 Determinare e rappresentare graficamente l’insieme A = B ∩ C , dove

B ={(x; y) ∈ R

2 |∣∣y − x2

∣∣ < 1}

e C ={(x; y) ∈ R

2 | x2 + 14 y2 ≥ 1

}.

6 Scrivere l’espressione di F (x) = f [g(x)], essendo

f(x) =

x + 2x + 1

se x > 0

ex−1 + 2 se x ≤ 0e g(x) =

∣∣x2 − 5x + 6∣∣

x − 3.

7 Calcolare il valore del limite limx→0

3x + tg x

sen x + tg2 x.

8 Determinare il valore dell’integrale ∫ e3

1

√1 + ln x

x(1 +

√1 + ln x

) dx.

9 Trovare, se possibile, il valor medio della funzione

f(x) ={

1 − x − 2x2 ∀x ≤ 0e−x ∀x > 0

nell’intervallo [−1; 1]. In caso affermativo, determinare l’ascissa del punto che realizzatale valore.

10 Nello sviluppo di (2a + 3b)n il quinto coefficiente è 5 volte il sesto. Determi-nare n.


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Problema 1

Tra le parabole di equazione y =12

x2 − x − k, individuare la parabola γ tangente alla

retta t di equazione y = 2x − 6 e calcolare le coordinate del punto P di tangenza.a. Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta t nello stesso

punto P .b. Tra le circonferenze del fascio suddetto determinare l’equazione della circonferenza

ϕ che ha il centro sull’asse y e verificare che essa incontra la parabola γ, oltre chenel punto doppio di tangenza P , in altri due punti, A di ascissa −1 −

√2 e B di

ascissa −1 +√

2.c. Scritta l’equazione della parabola β di vertice V di coordinate (0; 3) passante per il

punto P , inscrivere, nella regione individuata dalle due parabole γ e β, il triangolodi area massima tra quelli con un vertice in P e la base DE, dove D ed E sono ipunti ottenuti intersecando le due parabole con una retta parallela all’asse y.

d. Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo di area massima del punto pre-cedente e la superficie delimitata dalle due parabole γ e β in cui questo è inscritto.

Problema 2

È data la funzione:

y =

1 − x

x2 − 2x + 5se x ≤ 0

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e−kx se x > 0

con k parametro reale strettamente positivo.a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali.b. Determinare l’equazione della retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.c. Dire se esiste finita l’area delimitata dalla curva e dall’asse x e, in caso affermati-

vo, determinarla.d. Determinare per quale valore del parametro k l’area sotto la curva, per x > 0, ri-

sulta uguale a 12 .

e. Determinare per quale valore del parametro k la funzione risulta ovunque derivabi-le, quindi, assumendo tale valore di k, determinare con un metodo approssimato atua scelta, l’ascissa del punto comune alla funzione e alla bisettrice del primo e ter-zo quadrante.


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Questionario

1 Enunciare il teorema di Lagrange, quindi verificare se per la funzione

f(x) =

3x − 3x + 3

se x < 0

x2 − 1 se x ≥ 0il teorema è applicabile nell’intervallo [−1; 4] e, in caso affermativo, determinare i valo-ri di x per cui è verificato.

2 Mostrare che la funzione

y = ex + x2 − x − 3

ammette due zeri reali, quindi calcolare, con un metodo numerico a scelta, il valore del-lo zero appartenente all’asse delle ascisse positive.

3 Determinare per quale valore di a, numero reale maggiore di 1, la funzioney = ax e la retta bisettrice del primo e terzo quadrante risultano tangenti.

4 Dato il fascio di circonferenze di equazione

2x2 + 2y2 + 2kx + (k − 6)y + (k − 8) = 0,

spiegare di che tipo di fascio si tratta, individuarne i punti base, le circonferenze dege-nere e di raggio minimo, il luogo dei centri delle circonferenze.

5 Verificare che dn

dxn

1x(1 − x)

= n![(−1)n

xn+1 +1

(1 − x)n+1

].

6 Costruita la funzione f(x) definita dal valore che assume il determinante del-la matrice A al variare del parametro reale x

f(x) = detA = det

3 x 2x 0 x

x 2 1

,

verificare che essa incontra l’asse delle ascisse in tre punti, quindi determinare la su-perficie delimitata dalla funzione e dall’asse delle ascisse. Cosa si può dire del rangodella matrice A per i tre valori di x in cui la funzione incontra l’asse delle ascisse?

7 In un contenitore sono raccolte alcune matite colorate così ripartite per colore:12 matite blu, 9 matite marroni, 4 matite nere, 5 matite verdi. Scegliere a caso tre ma-tite e calcolare:a. la probabilità che tutte e tre siano dello stesso colore;b. la probabilità che almeno due matite siano dello stesso colore;c. la probabilità che le tre matite non siano di colore verde.


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8 Si ha a disposizione un foglio di cartone di forma rettangolare di dimensionia e 2a con il quale si vuole costruire una scatola a base rettangolare aperta al di so-pra, tagliando via dai vertici del foglio quattro quadrati uguali. Determinare qual è illato dei quadrati eliminati che produce la scatola di volume massimo e calcolare talevolume.

9 Sono date le due trasformazioni:

T1:{

X = 2x + 3y − 1Y = y + 3

e T2:{

X = 3x − 1Y = x + 2y − 1

Riconoscerne la natura e trovarne i punti uniti. Determinare quindi la trasformazioneottenuta dalla composizione T2 ◦ T1, verificando la proprietà per cui «la trasformazionecomposta ha come rapporto di affinità il prodotto dei rapporti di affinità delle trasfor-mazioni componenti»; determinare quindi i punti e le rette che restano uniti per T2 ◦ T1.

10 Calcolare l’integrale definito∫ 1

12

(− ln x) dx,

dove ln indica il logaritmo naturale in base e, quindi fornire, con un metodo approssi-mato a scelta, una stima dell’area della superficie delimitata dalla funzione integranda,l’asse delle ascisse e la retta x = 1

2 , il cui valore esatto è espresso dal risultato del cal-colo dell’integrale.


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Problema 1

In un sistema di assi cartesiani ortogonali, tra le circonferenze di equazione

x2 + y2 + 6y + k = 0,

determinare la circonferenza γ di raggio 5 e calcolarne le coordinate del centro C e deipunti A e B di intersezione con l’asse delle ascisse.a. Scrivere l’equazione della circonferenza tangente nel punto B alla circonferenza γ e

avente il centro appartenente alla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi de-terminare l’equazione della retta r tangente comune in B alle due circonferenze.

b. Tra le parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate determinare quella il cuivertice coincide con il centro della circonferenza γ e passante per i punti A e B. Nel-la regione delimitata dalla parabola e dalla circonferenza γ, inscrivere un rettango-lo con i lati paralleli agli assi cartesiani; l’asse delle ascisse taglia in due parti talerettangolo: calcolare il limite a cui tende il rapporto tra le aree di queste due partiquando la dimensione verticale del rettangolo tende a zero.

c. Detto P il punto del primo quadrante comune alla retta r e a una generica rettapassante per l’origine, sia N la proiezione di P sull’asse delle ascisse. Costruita lafunzione che, al variare della retta per l’origine, esprime l’area del triangolo rettan-golo OPN situato nel primo quadrante, studiarne e disegnarne il grafico, indipen-dentemente dalle limitazioni geometriche utilizzate per ricavarla.

d. Calcolare l’area della superficie delimitata dalla funzione, dalla retta tangente nelsuo punto di flesso e dall’asse delle ascisse.

Problema 2

È data la funzione f(x) =x − 1ex

.

a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani.b. Mostrare, facendo il calcolo, che l’area del triangolo mistilineo delimitato dalla fun-

zione e dagli assi cartesiani nel quarto quadrante è uguale all’area delimitata dallafunzione e dall’asse delle ascisse nel primo quadrante.

c. Detto P un punto appartenente alla parte del grafico della funzione situato nelquarto quadrante, costruire il rettangolo ottenuto proiettando P sugli assi cartesia-ni. Determinare la posizione di P per cui tale rettangolo ha superficie massima.


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d. Scrivere l’equazione di una generica retta r passante per il punto in cui la funzioneincontra l’asse delle ascisse e discutere la condizione per cui r risulta secante la fun-zione in un punto R del primo quadrante.

e. Detta α l’ascissa di R, determinarne un’approssimazione con un metodo numericoa scelta, nel caso in cui la retta r divida in due parti uguali la superficie situata nelprimo quadrante delimitata dalla funzione e dall’asse delle ascisse.

Questionario

1 Considerata una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio unita-rio, tracciare la corda AC che sottende un angolo al centro x e la corda CD che sot-tende un angolo doppio 2x. Calcolare l’angolo x per cui la superficie del quadrilateroACDO è massima, al variare di C (e di D) sulla semicirconferenza.

2 Data la funzione

y =x − 1ln |x| ,

dove ln indica il logaritmo naturale in base e, individuarne il dominio e studiarne lacontinuità e la derivabilità.

3 Estrarre a caso cinque carte da un mazzo da quaranta. Qual è la probabilitàche tra le carte estratte ci siano solo due assi dello stesso colore? E quale la probabili-tà che ci siano almeno due assi?

4 Determinare le equazioni della trasformazione che porta i punti O(0; 0),A(0; 3) e B(5; 0) rispettivamente nei punti O′(0;−1), A′(0;−7) e B′(10;−1). Individua-re di che tipo di trasformazione si tratta e in particolare come opera rispetto alla tra-sformazione della superficie di una figura piana, verificandone l’effetto sui triangoliOAB e O′A′B′. Individuare i punti e le rette che restano uniti nella trasformazione.

5 Sia f la funzione definita da

f(x) = x5 − 52

x2 .

Studiare quanti punti il suo grafico ha in comune con la retta y = k, al variare di k rea-le. Calcolare, con un metodo di approssimazione numerica, l’ascissa del loro punto co-mune di valore negativo quando k = 1, con due cifre decimali esatte.

6 Enunciare il teorema di Rolle, quindi verificare se per la funzione

f(x) = x√

1 − x2

il teorema è applicabile nell’intervallo [0; 1] e, in caso affermativo, determinare i valoridi x per cui è verificato.


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7 Sia data una piramide retta a base quadrata con lato di base L e altezza h. Sesi interseca la piramide con un piano parallelo alla base si ottiene un quadrato i cui ver-tici, proiettati sulla base della piramide, producono un parallelepipedo di cui si chiedeil volume massimo, al variare della posizione del piano intersecante.

8 Al variare del parametro reale k, discutere e risolvere, quando possibile, il si-stema lineare

2x − ky = 0x − 2ky = 2(k − 1)y = 2(1 + k)

9 Sia f la funzione definita da

f(x) =(

1 +1x

)x

.

Indicata con f ′(x) la sua derivata prima, calcolare i limiti limx→+∞

f ′(x) e limx→0+

f ′(x).

10 Disegnare il grafico della funzione

f(x) = sen x − 12

e della sua simmetrica rispetto all’asse delle ascisse nell’intervallo [0;π], quindi indica-re una procedura per calcolare con un metodo approssimato l’area della superficie de-limitata dalle due funzioni; effettuare il calcolo e verificarne il risultato con il valoreesatto ottenuto per integrazione.


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Problema 1

Si consideri la famiglia di funzioni definite da

fn(x) ={

xn(1 − ln |x|) se x �= 0, n ∈ N0

0 se x = 0a. Mostrare che tutte le funzioni fn sono continue in x = 0 e discutere al variare di n

la derivabilità di fn in x = 0 interpretando graficamente i risultati.b. Determinare al variare di n se le curve, grafici di fn, presentano simmetrie.c. Studiare la generica funzione fn(x), limitandosi all’intervallo [0;+∞): in particola-

re determinare segno, eventuali zeri, eventuali punti stazionari e la loro natura, ilcomportamento di fn quando tende a +∞. Tenendo conto dei risultati ottenuti alpunto precedente, tracciare i grafici corrispondenti a n = 1, 2, 3. Verificare che tuttele curve, grafici di fn(x), passano per quattro punti fissi.

d. Si consideri f1(x). Sia α un numero reale positivo e A(α) l’area della parte di pianodelimitata dall’asse delle ascisse, dalla curva grafico di f1(x) e dalle rette di equa-zioni x = α e x = e. Calcolare A(α) e determinarne il limite quando α tende a 0.

e. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione f1(x) = 12 e calcolare il valore

di una di esse con la precisione di 10−2 utilizzando uno dei metodi studiati.

Problema 2

In un triangolo ABC di base AB = a, si ha AC = 2BC e l’angolo opposto al lato AB

è di ampiezza x.a. Esprimere i lati AC, BC e l’altezza CH relativa ad AB in funzione di a e di x.b. Studiare e rappresentare graficamente la funzione

f(x) =CH

2ABnell’intervallo [0;π]. In corrispondenza del massimo di f(x) calcolare il perimetro el’area del triangolo ABC .

c. Calcolare l’area della regione finita di piano compresa fra l’arco di curva e l’assedelle ascisse.

d. Determinare la funzione V(x) che esprime il volume del solido ottenuto con una ro-tazione completa del triangolo ABC attorno alla retta AB e dimostrare che assumeil valore massimo in corrispondenza dello stesso valore di x che rende massima f(x).


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Questionario

1 L’insieme A contiene p elementi e l’insieme B contiene n elementi, con 1 ≤ p ≤ n.Quante sono le applicazioni (funzioni) di A in B? Quante di queste sono iniettive?

2 Calcolare limx→+∞

√x2 + 1 −

√x2 − 1.

Dedurre successivamente limx→+∞

(√x2 + 1 −

√x2 − 1

)sen

(√x2 + 1 −

√x2 − 1

).

3 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale considerare la curva C diequazione 2ay = x2, dove a è un numero reale positivo assegnato. Quale relazione de-vono verificare le ascisse x1 e x2 di due punti M1 e M2 di C affinché le tangenti a C inquesti due punti siano perpendicolari? Determinare il luogo descritto dal punto d’inter-sezione delle tangenti a C in M1 e M2.

4 Dopo aver enunciato il teorema di Rolle, determinare se è applicabile alla funzio-ne f(x) = |log2 x| nell’intervallo

[12 ; 2

].

5 Verificare che la funzione f(x) = 5x + ln√

x è invertibile. Detta g la funzioneinversa, calcolare g′(5).

6 Dopo aver dimostrato che l’equazione x5 + 2x − 1 = 0 ha una sola radice rea-le, determinarla a meno di 10−3 utilizzando uno dei metodi studiati.

7 Tra tutti i prismi retti aventi per base un triangolo equilatero e di volume 2m3,determinare quello di superficie totale minima.

8 Calcolare, utilizzando il metodo dei trapezi, un valore approssimato dell’inte-grale∫ 1

2

0

ex

1 + xdx.

9 Per attirare la clientela in un grande magazzino, si decide che tutti i clienti cheeffettueranno un acquisto avranno diritto a estrarre simultaneamente tre gettoni daun’urna. Quest’urna contiene sei gettoni indistinguibili al tatto: tre sono contrassegna-ti col numero 0, due col numero 5 e uno col numero 10. Il cliente che ha estratto i tregettoni riceve in euro la somma dei numeri indicati sui tre gettoni. Sia X la variabilealeatoria che assume i possibili valori della somma ricevuta dal cliente. Determinarel’insieme dei valori assunti da X e la legge di probabilità di X .

10 Sia n un numero intero naturale superiore o uguale a 2. Si consideri una po-polazione di pulcini che contiene n − 1 maschi e n + 1 femmine. Si scelgono a caso duepulcini (ciascuna coppia di pulcini ha la stessa probabilità di essere scelta). Calcolarela probabilità pn dell’intervallo E: «Si scelgano due pulcini di sesso diverso».


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Problema 1

Si consideri la famiglia di funzioni

fα(x) = |x − a| e2− xa

con a parametro reale positivo.a. Mostrare che tutti i punti stazionari delle funzioni fa(x) si trovano su una retta, del-

la quale si chiede l’equazione.b. Determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve, grafico di fa(x), e mostra-

re che tali rette tangenti formano con l’asse delle ordinate un angolo acuto costan-te; calcolare poi il valore dell’angolo.

c. Posto a = 1, studiare la funzione ottenuta e disegnarne il grafico C in un riferimen-to cartesiano ortogonale. Scrivere l’equazione della retta tangente a C nel suo pun-to di flesso e dimostrare che tale tangente incontra la curva in un altro punto.

d. Calcolare l’area Ak della regione piana limitata dalla curva C, dall’asse delle ascis-se e dalle rette di equazioni x = 1 e x = k, con k numero reale maggiore di 1. De-terminare il limite di Ak quando k tende a +∞.

Problema 2

È assegnato un quadrato ABCD di lato unitario. Sul lato CB prendere un punto P eindicare con Q l’intersezione della retta AP con la retta CD. La perpendicolare ad AP ,passante per A, incontra la retta BC in R e la retta CD in S.a. Dimostrare che i punti R, A, C , Q appartengono alla stessa circonferenza e che

SR · SA = SQ · SC .b. Dimostrare che i triangoli ARQ e APS sono rettangoli isosceli.c. Posto BP = x, studiare la funzione f(x) = SR · SA individuandone in particolare il

minimo assoluto (eventualmente con un’approssimazione di 10−1).d. Riferita la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto,

determinare le equazioni cartesiane dell’affinità che ha il punto A come punto fissoe trasforma il punto R nel punto M , punto medio di QR, e il punto P nel punto N ,punto medio di PS. Descrivere le caratteristiche principali di tale trasformazione.

e. Verificare che i punti M , B, N , D sono allineati.


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Questionario

1 In quanti modi diversi si possono sistemare cinque maglioni in tre cassetti?

2 Sia f(x) la funzione così definita

f(x) =

x ln

(x +

1x

)se x > 0

0 se x = 0Studiare la continuità e la derivabilità di f(x) in x = 0.

3 Data la funzione f(x) = arc tg x − x applicare, se ne sussistono le condizioni,il teorema di Lagrange nell’intervallo [−1; 1]. Determinare, se possibile, un intervallo incui f(x) verifica le ipotesi del teorema di Rolle.

4 Determinare le equazioni di tutte le rette tangenti alla curva di equazioney = x4 che passano per il punto P (1; 0).

5 Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalla curva, grafico della funzio-ne f(x) = 3

√x − 1, dalla retta tangente alla curva nel punto P (2; 1) e dalla retta tangen-

te alla curva nel suo punto di flesso.

6 Si deve costruire un deposito cilindrico, aperto superiormente, di 3m3 di ca-pacità. Il materiale per costruire la base costa 30 euro al m2 e il materiale per la su-perficie laterale costa 10 euro al m2. Calcolare le dimensioni del deposito in modo cheil costo della costruzione sia il minore possibile.

7 Un solido viene trasformato mediante un’omotetia di rapporto 32 e successiva-

mente una traslazione di vettore v(3; 2). Come varia il suo volume? Come varia l’areadella sua superficie?

8 Sia data la funzione f(x) = (x + 1)e−x . Mostrare che l’equazione f(x) = 14 ha

due soluzioni reali α e β. Dimostrare che α appartiene all’intervallo [−1;−1

2

]e deter-

minare un valore di β approssimato a 10−2 utilizzando un metodo a piacere.

9 In un’urna ci sono n palline rosse e 2n palline bianche (n ≥ 1). Si estraggonodue palline a caso senza reimmissione. Qual è la probabilità pn di ottenere due pallinedi colori diversi? Al crescere di n, pn cresce o diminuisce?

10 I tre coefficienti dell’equazione ax2 + bx + c = 0 sono determinati con tre lan-ci di un dado non truccato le cui facce sono numerate da 1 a 6. Calcolare la probabili-tà che l’equazione abbia due radici reali e distinte.


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Problema 1

Sia f la funzione reale di equazione

y = (2x3 − x)e−x2.

a. Studiare e tracciare il grafico di f .b. Determinare fra le sue primitive la F (x) tale che F (0) = −1

2 .c. Studiare la funzione F trovata al punto precedente e tracciarne un grafico sovrap-

ponendolo a quello relativo alla funzione f .d. Determinare il punto d’intersezione fra le due funzioni con un metodo di approssi-

mazione numerica studiato con la precisione di 10−1.e. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle due curve e compresa fra il

punto d’intersezione calcolato precedentemente e l’asse delle ordinate, utilizzandoun metodo di calcolo numerico.

Problema 2

Fissato un sistema cartesiano Oxy si consideri la curva γ di equazione

y =x + 11x + 2

.

a. Tracciare il grafico e determinare il suo centro di simmetria.b. Traslare γ in modo da far coincidere il suo centro di simmetria con l’origine degli

assi e determinare l’equazione della curva ϕ così ottenuta tracciandone il grafico.c. Detto A il punto del primo quadrante in cui ϕ si interseca con una retta generica r

di equazione y = mx (m > 0), condurre da esso la perpendicolare p a OA e chia-mare B il punto in cui p interseca l’asse delle ordinate. Determinare l’equazione αdel luogo geometrico dei punti descritto dal baricentro del triangolo OAB al varia-re della retta r.

d. Studiare la funzione α e tracciarne il grafico.e. Condotta la retta y = 6, calcolare l’area della superficie chiusa limitata dalla retta

e dalla curva α dopo aver determinato i punti d’intersezione con un metodo di ap-prossimazione numerica.


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Questionario

1 Scrivere la funzione f(x) che rappresenta la distribuzione gaussiana standar-dizzata e rappresentarne il grafico. Calcolare la probabilità che la variabile casualestandardizzata x assuma valori compresi fra −1 e 2, sapendo che la corrispondente fun-zione di ripartizione F (x) assume i valori F (1) = 0,84134 e F (2) = 0,97725.

2 Si consideri la funzione reale f definita da

f(x) =4 − x2

8 + 2x.

Calcolare gli asintoti e determinare il vettore di traslazione che applicato alla f tra-sforma la funzione in una funzione dispari e scriverne l’equazione.

3 Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e la si intersechi conun piano parallelo alla base, ottenendo una piramide α e un tronco di piramide β. Deter-minare il rapporto fra le altezze dei due solidi (α e β) nel caso in cui il volume della pi-ramide così ottenuta è 1

7 di quello del tronco di piramide.

4 Si consideri un’ellisse riferita al centro e agli assi di simmetria avente i fuochidi coordinate (±1; 0) ed eccentricità 1

2 e un rettangolo, interno all’ellisse, con i latiparalleli agli assi di simmetria e passante per i due fuochi. Determinare la probabilitàche un punto P , posto internamente all’ellissoide ottenuto dalla rotazione dell’ellisse at-torno all’asse delle ascisse, sia esterno al cilindro ottenuto per rotazione del rettangolosempre attorno all’asse delle ascisse.

5 Sia f la funzione reale definita da

f(x) = x − ln(x + 1)x + 1

.

Dopo aver dimostrato che la funzione ha un solo punto estremante, ricavarne le coordi-nate e stabilire se si tratta di un massimo o di un minimo.

6 Sono dati due punti A e O tali che AO = a; dal punto O, preso come centro,descrivere una circonferenza di raggio variabile x, e dal punto A condurre le due tan-genti a questa circonferenza. Trovare, fra i triangoli isosceli formati dalle due tangentie dalla corda che congiunge i punti di contatto, quello di area massima.

7 Sapendo che la funzione

f(x) = 2x − x3 + ln(x + 1) + 3

è invertibile nell’intervallo [−1

2 ; 12

], allora, indicando con g la funzione inversa, calcola-

re la g′(3).


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8 Si consideri un pentagono ABCDE regolare inscritto in una circonferenza diraggio unitario. Condotta da A la diagonale AC e da B la diagonale BE, dimostrareche BE è tagliata da AC in due parti che stanno fra loro secondo la relazione aurea.

9 Si consideri l’equazione sen x = 0. Utilizzando un metodo di calcolo numericodelle radici, ricavare un valore approssimato di π alla seconda cifra decimale.

10 Preso un sistema cartesiano Oxy si consideri la parabola di equazione y = x2.Si ponga sull’asse delle ordinate un filo metallico in cui scorra una corrente di intensità di1A. Ricordando che il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo in un punto a di-stanza x è dato dalla legge di Biot-Savart

B =i

2πx

ed è perpendicolare al piano xy, si calcoli il flusso del campo magnetico che attraversala superficie chiusa limitata dalla parabola, dall’asse delle ascisse e dalle rette di equa-zioni x = 1 e x = 2. (Nella soluzione si lascino indicate le costanti µ0 e π senza sosti-tuirne i valori.)


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Problema 1

In un sistema cartesiano Oxy l’equazione in due incognite

(x2 − y2)2 − 2(x + y)2 − 2(x − y)2 + 16 = 0

rappresenta una curva γ avente come asse di simmetria la bisettrice del primo e terzoquadrante.a. Ruotare γ in modo che l’asse di simmetria coincida con l’asse delle ordinate e rica-

vare l’equazione della funzione ruotata f posta nel semipiano positivo delle y.b. Studiare la funzione f e tracciarne il grafico.c. Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la curva f attorno al-

l’asse delle ascisse nella regione di piano limitata dalle rette di equazioni x = x0 ex = 10, dove x0 è il punto di ascissa positiva in cui la curva interseca l’asse delleascisse.

d. Verificare infine che il volume calcolato nel punto c è equivalente a quello del solidodi rotazione ottenuto ruotando la stessa curva del punto c attorno all’asse delle or-dinate nella regione di piano limitata dagli asintoti verticali e dalla retta di equa-zione y = 10.

Problema 2

Si consideri una circonferenza di raggio unitario di centro O, una sua corda AB e si in-dichi con x l’angolo al centro AOB.a. Determinare l’area del segmento circolare non contenente il centro O e avente come

base la corda AB in funzione dell’angolo x. (Si ricorda che il segmento circolare auna base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio viene diviso da una sua corda.)

b. Studiare e tracciare il grafico di tale funzione.c. Detta h la differenza fra il raggio e la misura della distanza della corda dal centro

O, trovare una relazione che esprima h in funzione di x.d. Ruotare la circonferenza attorno al diametro perpendicolare alla corda AB. Dimo-

strare che il volume del segmento sferico corrispondente al segmento circolare pre-cedentemente calcolato vale

V =πh2

3(3 − h).


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e. Fissato un opportuno sistema di coordinate, il cui centro coincida con quello della sfe-ra e formato da due angoli, α e β, corrispondenti rispettivamente alla longitudine e al-la latitudine, determinare un’espressione che permetta di calcolare la distanza fra duepunti P e Q posti sulla sfera alla stessa latitudine α e aventi rispettivamente longitu-dine β1 e β2. Applicare quanto calcolato nel punto precedente per ricavare la distan-za sulla Terra (supposta sferica di raggio RT = 6400 km) fra due località di coordi-nate geografiche latitudine 50◦ e longitudine rispettivamente 30◦ e 70◦.

Questionario

1 Sono date le funzioni

f(x) =(

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)x

e g(x) = log3 x.

Determinare dominio, grafico e codominio di y = f [g(x)] e di y = g[f(x)].

2 Dimostrare che un qualunque triangolo viene diviso dalle sue mediane in seitriangoli tra loro equivalenti.

3 Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e che ha i suoi spi-goli laterali della stessa lunghezza a del lato di base. Determinare gli angoli, espressi ingradi e primi sessagesimali, formati dallo spigolo e dal lato di base, quello fra l’apote-ma e il diametro della circonferenza inscritta nel quadrato di base e infine quello fra lospigolo e la diagonale del quadrato di base.

4 Determinare il numero di soluzioni dell’equazione mx + ln x = 0 al variare dim numero reale.

5 Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto delquadrato dell’uno per la radice quadrata dell’altro è massimo.

6 Data la funzione{ sen x se x < 0

ln(1 + x) se x ≥ 0calcolare il dominio, verificare se è continua e derivabile in ogni punto del dominio etracciarne il grafico.

7 Enunciare il teorema di Lagrange e applicarlo alla funzione y =√

2x + 1 de-terminando l’estremo superiore dell’intervallo nell’ipotesi che l’estremo inferiore valga 0e che il valore dell’ascissa interno all’intervallo indicato nel teorema sia 3

2 .


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8 Si consideri una semicirconferenza di raggio unitario e un triangolo rettangoloisoscele a essa inscritto. Costruire sui cateti due semicirconferenze di diametro pari aciascun cateto dalla parte esterna al triangolo. Si vengono così a formare fra la semi-circonferenza maggiore e le altre due, due superfici, dette lunule. Dimostrare che lasomma delle aree delle lunule è pari all’area del triangolo rettangolo.

9 Sia f una funzione simmetrica rispetto al punto A di coordinate (0; 3), il cuidominio sia tutto R. Dimostrare che, per tutti i reali x, si ha f(x) + f(−x) = 6.

10 Illustrare il metodo di integrazione per parti e applicarlo per ricavare le primi-tive della funzione f(x) = xe−x.


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Problema 1

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy è assegnata la seguente famigliadi funzioni reali di variabile reale:

y = fn(x) =e−nx

1 + e−x,

essendo n un generico numero naturale, n ≥ 0. Sia poi Cn il grafico corrispondente al-la funzione y = fn(x).

a. Posto n = 0, studiare la funzione y = f0(x), rappresentarne il grafico nel riferimen-to cartesiano ortogonale xOy e ricavare l’equazione della retta tangente a tale gra-fico nel punto d’incontro con l’asse delle ordinate.

b. Posto quindi n = 1, determinare il numero reale a tale che, ∀x ∈ R, si abbiaf1(x) − f0(−x) = a. Servendosi della precedente uguaglianza dedurre una trasfor-mazione geometrica mediante la quale la curva C1 può essere ricavata a partire dal-la curva C0. Disegnare quindi il grafico della funzione y = f1(x) nel medesimo si-stema di riferimento cartesiano ortogonale xOy.

c. Si consideri adesso la successione reale (un)n∈N il cui termine generale è

un =∫ 1

0fn(x) dx.

Verificare che u0 + u1 = 1 e calcolare il valore di u1. Provare poi che, essendo n ungenerico numero naturale positivo, si ha

un+1 + un =1 − e−n

n.

d. Mostrare che, ∀n ∈ N, si ha un > 0 e che fn+1(x) − fn(x) ≤ 0, ∀n ∈ N e ∀x ∈ [0; 1].Spiegare quindi per quale motivo la successione (un)n∈N converge verso un limite

numerico L se n → +∞ e, dopo aver valutato limn→+∞

1 − e−n

n, ricavare il valore di L.


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Problema 2

Si consideri un tetraedro regolare (ovvero una piramide regolare le cui quattro facce so-no altrettanti triangoli equilateri, tutti uguali tra loro) di spigolo L.

a. Ricavare, in funzione di L, le misure dell’altezza H , della superficie totale St e delvolume V del tetraedro assegnato. Determinare quindi la misura del raggio RC del-la sfera circoscritta al tetraedro, dopo aver individuato la posizione del centro di ta-le sfera lungo il segmento che rappresenta l’altezza del tetraedro.

b. A una distanza x dal vertice superiore del tetraedro condurre un piano parallelo alpiano di base e collegare i vertici del triangolo equilatero sezione così ottenuto, conil centro del triangolo equilatero di base del tetraedro, generando in tal modo unapiramide P . Esprimere allora il volume VP della piramide P in funzione dello spi-golo L e della distanza variabile x.

c. Posto L = 3√

6 cm, studiare la funzione y = VP (x) con x ∈ R, rappresentarne il gra-fico in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy ed evidenziare la parte ditale grafico che rispetta la limitazione per x imposta dal problema geometrico consi-derato. In particolare, stabilire per quale valore xM il volume VP della piramide P èmassimo e calcolare il valore di tale volume massimo. Nel caso in cui sia x = xM , de-terminare il rapporto tra l’area delle figure sezione che il piano parallelo alla base deltetraedro forma rispettivamente con il tetraedro stesso e con la sfera.

d. Determinare infine il volume del solido ottenuto facendo ruotare di 360◦ intorno al-l’asse delle ascisse la regione piana delimitata dal grafico della funzione y = VP (x)e dall’asse delle ascisse stesso.

Questionario

1 È data la funzione

y = ex + arc tg x,

con x ∈ R. Studiarne i limiti all’infinito, dimostrare che è invertibile e descrivere l’in-sieme dei valori che essa assume. Calcolare quindi x′(1), essendo x = x(y) la funzioneinversa della funzione assegnata.

2 Calcolare l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata dal gra-fico di y = arc tg x, dall’asse x e dalla retta di equazione x =

√3, indicando, in percen-

tuale, quale parte è dell’area del rettangolo i cui lati misurano √

3 e π2 . E se si conside-

ra la retta x = k al posto di x =√

3 e il rettangolo di dimensioni k e π2 , a quanto tende

il rapporto tra tali aree quando k → +∞?


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3 In un riferimento cartesiano ortogonale xOy si considerano l’iperbole equilateradi equazione x2 − y2 = a2 e la retta di equazione x = a + h, con a > 0 e h > 0. La regio-ne piana compresa tra il ramo dell’iperbole contenuto nel primo e nel quarto quadrante ela retta assegnata ruota di 180◦ attorno all’asse x, generando un solido, detto iperboloi-de di rotazione. Ricavare il volume di tale solido in funzione dei parametri a e h.

4 Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni:

y = sen(arc sen x); y = arc cos(cosx); y = arc sen x + arc cosx.

5 Data l’equazione goniometrica 7 sen x − sen x cos2 x − 5 sen2 x = 0, stabilirequante sono le sue soluzioni comprese nell’intervallo chiuso [0; 100π].

6 Calcolare il valore del seguente limite:

limx→0+

x1

2 ln x+1 ,

dopo aver stabilito a quale tipo di forma indeterminata corrisponde.

7 È dato un triangolo equilatero ABC di lato L. Scegliere un punto P su AC esiano M il punto d’incontro tra la parallela ad AB passante per P e il lato BC, H ilpiede della perpendicolare condotta da P ad AB e K il piede della perpendicolare con-dotta da M ad AB. Determinare allora la posizione di P affinché l’area del rettangoloPHKM sia la massima possibile. Quale frazione dell’area del triangolo ABC rappre-senta l’area del rettangolo PHKM così individuato?

8 È possibile che una funzione definita in un intervallo chiuso [a; b] e non conti-nua in tutti i punti di tale intervallo sia comunque integrabile in [a; b]? Se la risposta ènegativa spiegare il perché; se la risposta è affermativa, fare un esempio.

9 Descrivere che tipo di figure geometriche poligonali si possono ottenere sezio-nando un cubo con un piano. (Per rispondere ci si può aiutare con opportune rappre-sentazioni grafiche.)

10 Nell’intervallo chiuso [0;π] sono assegnate le seguenti funzioni:

y = cosx, y = |cosx|, y = − sen x, y = tg x.

Stabilire, motivando la risposta, se a ciascuna di esse è applicabile il teorema di Rollenell’intervallo assegnato. Se la risposta è affermativa, determinare le ascisse dei puntila cui esistenza è garantita dal suddetto teorema.


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Problema 1

È assegnata la funzione y = f(x) = (x + 2)e− x2 + 1, essendo x una variabile reale.

a. Studiare la funzione assegnata, descrivendo in particolare il suo comportamento all’in-finito e mostrando che essa ammette una retta r come asintoto. Rappresentare quindiil grafico di tale funzione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy.

b. Mostrare che l’equazione f(x) = 0 possiede una soluzione reale, indicata con α, e ri-cavare un valore approssimato di α, a meno di 0,01, utilizzando un metodo di ap-prossimazione numerica a piacere.

c. Dopo aver verificato che la retta tangente al grafico della funzione assegnata nel suopunto di ascissa 2 ha equazione

y = −x

e+

4e

+ 1, porre h(x) = f(x) −(

−x

e+

4e

+ 1)

e calcolare le due derivate h′(x) e h′′(x). Studiare il segno di h′′(x), quindi dedurrela variazione e il segno di h′(x) e infine ricavare la variazione e il segno di h(x). In-terpretare graficamente quest’ultimo risultato.

d. Determinare infine la misura dell’area della regione piana delimitata dal grafico del-la funzione y = f(x) e dalle rette di equazioni y = 1, x = 0, x = 2, fornendo una va-lutazione decimale approssimata della suddetta area.

Problema 2

a. Disegnare un quadrilatero con due soli angoli retti, sia nel caso siano essi consecu-tivi sia nel caso siano opposti. Descrivere i quadrilateri così ottenuti motivandone lerelative proprietà. Discutere inoltre la loro inscrittibilità e la loro circoscrittibilità ri-spetto a una circonferenza.

b. Nel caso di un quadrilatero ABCD in cui gli angoli retti siano opposti, sono asse-gnate la misura della diagonale AC = 10 cm, che ha per estremi i vertici degli an-goli non retti, e la misura della corda AB = 5

√3 cm. Determinare l’angolo

DAC = x per il quale il quadrilatero ABCD ha perimetro massimo.c. Tracciare per il vertice A la perpendicolare r al piano del quadrilatero e fissare su

di essa un punto V . Calcolare l’area della superficie laterale della piramide che hacome vertice V e come base il quadrilatero ABCD di perimetro massimo indivi-duato nel punto precedente, sapendo che l’altezza V A è uguale alla diagonale AC.


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d. Inscrivere nella piramide di cui al punto precedente il prisma retto che ha la base sulpiano di base della piramide e il volume massimo. Esprimere il volume in funzione del-la distanza della base superiore del prisma dal vertice V della piramide e motivare ilfatto che nel dominio di tale funzione relativamente al problema geometrico cui ci siriferisce, esiste sicuramente almeno un punto c interno al dominio in cui la f ′(c) = 0.

Questionario

1 Si sa che l’uguaglianza ax2 + bx + 1 = 2x + 1 è valida ∀x ∈ R. Ricavare allorai valori dei coefficienti a e b, spiegando il proprio ragionamento.

2 L’usuale formato A4 di un foglio di carta è un rettangolo in cui il rapporto

v =lato maggiorelato minore

possiede la particolare proprietà che, se si taglia il rettangolo in due tracciando il segmen-to che unisce i punti medi dei due lati maggiori, ciascuno dei due rettangoli così ottenutipresenta ancora lo stesso rapporto v tra il lato maggiore e il lato minore. Tale rapporto vverifica una sola delle seguenti relazioni: v = 4, v2 = 4, v3 = 4, v4 = 4. Individuare allorala relazione soddisfatta dal valore numerico v, spiegando il proprio ragionamento.

3 Una successione (un)n∈N è definita mediante le seguenti uguaglianze:{

un = un−1 + un−2 ∀n ∈ N , n ≥ 2u0 = 0

Sapendo che u10 = 10, determinare il valore di u1.

5 Per ciascuna delle seguenti funzioni,

y = x + 3, y =1x

, y =√

x, y = sen x + 2,

stabilire se esistono punti P = (a; b), appartenenti al relativo grafico C, tali che la rettatangente al grafico C in P abbia una pendenza uguale al valore b dell’ordinata del pun-to P . Se la risposta è affermativa, trovare i valori delle coordinate dei suddetti punti P .

A B

D CL

I

J

K

4 In riferimento alla figura a fianco riportata, si sache ABCD è un quadrato di lato 1, che I è il punto me-dio di AD e che L è il punto medio di DC. Ricavare il va-lore dell’area del quadrilatero IJKD.


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6 Spiegare quale dei seguenti grafici può rappresentare la funzione y = x5 − x3

relativamente all’intervallo [−1; 1] dei valori della variabile indipendente x.

7 È data la funzione y = 6 + x cosx definita in [π; 2π]. Determinare l’altezza hdel rettangolo di base π ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale fun-zione. Motivare l’esistenza di un punto c dell’intervallo [π; 2π] in cui la funzione assumeil valore h.

9 Data la funzione y = 2x − x3 + sen x, stabilire se si tratta di una funzione pa-ri, dispari, oppure né pari né dispari. Determinare quindi quanti punti stazionari pre-senta la funzione assegnata.

10 Sono date le funzioni

y = lnx

3, y =

23

x, y = xln 2ln 3 , y = 3x2.

Stabilire per quali di queste funzioni vale la relazione f(3x) = 2f(x), qualunque sia ilvalore x appartenente al relativo dominio.

S

α

8 Il capitello qui rappresentato ha come base unesagono regolare di lato 1 dm e la sua altezza misura2 dm. Ricavare il valore del seno dell’angolo al vertice αdi ciascuna delle facce laterali.

O

y

x1–1

d.

O

y

x1–1

c.

O

y

x1

–1

b.

O

y

x1–1

a.


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Problema 1

È data funzione esponenziale

y = 2 − 4ex

ex + 1.

a. Dopo aver verificato che si tratta di una funzione dispari, disegnarne il grafico � .b. Dimostrare che è invertibile, determinare la sua funzione inversa e disegnarne il gra-

fico G.c. Calcolare l’area della regione del secondo quadrante delimitata da � , dall’asse y,

dall’asintoto di equazione y = 2 e dalla retta di equazione x = k. Determinare k inmodo che tale area sia 2. Calcolare poi l’integrale improprio con k → −∞.

d. Individuare il rettangolo ABCD di area massima che ha il vertice A sull’arco di �che si trova nel quarto quadrante, il lato BC sull’asintoto di equazione y = −2 e illato DC sull’asse y. Determinare l’ascissa del punto A con un errore inferiore a 0,01.

Problema 2

In una circonferenza di diametro AB = 8 cm è data la corda AC, tale che CAB = 60◦.Nella semicirconferenza opposta rispetto a quella dove si trova la corda AC, si consi-deri la corda PQ = 4 cm, indicando con P il punto della circonferenza più vicino ad A,ovvero in modo tale che APQC sia un quadrilatero convesso.a. Dimostrare che, al variare della corda PQ nel maggiore dei due archi individuati

dalla corda AC, il quadrilatero APQC è un trapezio isoscele.b. Esprimere il perimetro di tale trapezio in funzione dell’angolo CAQ = x e sia

y = f(x) tale funzione. Individuare il trapezio di perimetro massimo al variare del-la posizione della corda PQ nell’arco considerato.

c. Determinare gli eventuali trapezi APQC che siano base di una piramide retta divertice V . Calcolare l’area della superficie laterale di tali piramidi, sapendo che l’al-tezza V H è uguale alla somma delle basi di tali trapezi.

d. Riferita la figura a un opportuno riferimento cartesiano ortogonale, si scriva l’equa-zione della data circonferenza e si calcoli il volume del solido ottenuto da una rota-zione completa intorno al diametro AB della regione piana compresa tra la cordaCB e il minore degli archi da essa individuato.


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Questionario

1 Sono date le funzioni y = 2xlogx 2 e y = (x − 3)2. Disegnare i loro grafici e i lo-ro eventuali punti d’intersezione.

2 Dimostrare che in un pentagono regolare le diagonali sono tutte uguali e che illato è la sezione aurea della diagonale. Calcolare inoltre il rapporto tra lato e diagonale.

3 In un tetraedro regolare, calcolare l’ampiezza di ogni diedro e quella dell’an-golo che uno spigolo forma con il piano di una delle facce cui non appartiene.

4 Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni:

y = tg(arc tg x); y = arc tg(tg x); y = arc tg x + arc tg1x

.

5 Calcolare l’area della regione illimitata di piano del quarto quadrante indivi-duata dal grafico di y = ln x e dagli assi x e y. Considerare inoltre la regione del primoquadrante delimitata dal grafico della funzione data, dall’asse x e dalla retta di equa-zione x = k e determinare il valore di k per il quale l’area di tale regione è uguale a 1.

6 È data la funzione

y =x2 − 1x + 5

.

Determinare il centro di simmetria del suo grafico.

7 È data la funzione y = xex definita in [0; 2]. Determinare l’altezza h del ret-tangolo di base 2 ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione.Motivare l’esistenza di un punto c dell’intervallo [0; 2] in cui la funzione assume il valo-re h.

8 Dopo aver dimostrato che la funzione

y = arc sen x +π

3x − π

6è invertibile, calcolare la derivata della sua inversa x = g(y) nel punto y =

π

6.

9 In un’urna ci sono 20 palline, 15 rosse e 5 verdi. Qual è la probabilità cheestraendo tre palline due siano rosse? Se si ripete la prova 10 volte, qual è la probabili-tà che l’evento si verifichi 6 volte? Stabilire infine se la probabilità che si verifichi l’e-vento almeno tre volte è superiore al 90%.

10 È data la funzione y = 3√

x − 2 definita in [1; 10]. Verificare che, nonostante intal caso non sia applicabile il teorema di Lagrange, esiste un punto c interno all’inter-vallo di definizione che verifica la tesi di tale teorema.


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