Simulazioni Numeriche in Cosmologia

di Daniele Giunchi

1. Concetti Base della Cosmologia

2. Simulazioni Numeriche (tecniche varie)

3. Computer ad Alte Prestazioni

4. Visualizzare i Dati (Immagini, Grafici, 3D)

5. Riferimenti

Principio Cosmologico

Il principio cosmologico afferma che ogni punto nell’universo equivale ad ogni altro (OMOGENEO) e non ci sono nel cosmo aree o direzioni privilegiate (ISOTROPO) ; quest’enunciato è alla base di tutti i modelli.

1. Concetti Base della Cosmologia

Vale su grandi scale.

Tipi di Universi proposti

1. Concetti Base della Cosmologia

- Statico(Einstein)

- Dinamico(Friedmann)

Espansione

1. Concetti Base della Cosmologia

Edwin Hubble (1929)

Scopre che l’Universo attualmente si sta espandendo.

Densita’ Universo

1. Concetti Base della Cosmologia

L’Universo , a seconda di quanta materia ha, ha una densita’.

Esiste un valore di densita’ molto importante, che determina diversi comportamenti a seconda che il valore

reale sia maggiore, uguale o minore.La densità critica ha un valore di 5 x 10-30 (gr / cm3).

Per questo viene introdotto Ω che e’ il rapporto tra densita’ e densita’ critica.

Destino dell’Universo

1. Concetti Base della Cosmologia

Se Ω0>1 l’Universo e’ chiuso

Se Ω0=1 l’Universo e’ piatto

Se Ω0<1 l’Universo e’ aperto

Le Gerarchie nell’Universo

1. Concetti Base della Cosmologia

Sistemi Stellari – Galassie – Ammassi – Superammassi – Filamenti, Muri, Grandi Vuoti

1. Concetti Base della Cosmologia

Simulazioni Cosmologiche

2. Simulazioni Numeriche

Le simulazioni cosmologiche, come dice il nome, simulanoil comportamento di un sistema con determinate caratteristiche:

1. Sistemi NON-Collisionali

2. Numero elevato di Corpi con Massa elevata(dal migliaio a centinaia di milioni)

3. L’unica Forza in gioco e’ la forza di Gravita’

Altre Caratteristiche della Simulazione

2. Simulazioni Numeriche

Le Simulazioni Cosmologiche:

- agiscono su Grandi Scale (decine, centinaia di Mpc)

- come tempo iniziale utilizzano tempi seguenti all’inizio dell’era della materia.

- hanno condizioni iniziali che si riferiscono alla distribuzione della materia, oppure ad altri parametri cosmologici.

Tecniche e Metodi

2. Simulazioni Numeriche

• Particle – Particle (PP)

• Particle – Mesh (PM)

• Tree Methods

• Metodi misti, che usano i precedenti

Metodo Particella - Particella (PP)

2. Simulazioni Numeriche

FunzionamentoViene calcolata l’interazione gravitazionale che subisce una massa, da parte di ognuna delle altre masse prese una ad una.

VantaggiE’ molto precisa perche’ non approssimo nulla, infatti tiene conto di tutte le interazioni.

SvantaggiRichiede una quantita’ immensa di calcoli appena si ha un numero alto di corpi, e per questo un tempo lunghissimo di calcolo.

Metodo Particella - Griglia (PM)

2. Simulazioni Numeriche

FunzionamentoViene creata una griglia e sovrapposta al sistema. Per il calcolo delle interazioni per ogni corpo, vengono utilizzati i nodi della griglia, ognuna con un valore calcolato a seconda delle masse che sono nelle sue vicinanze.

VantaggiUnisce una buona approssimazione del calcolo, assieme alla velocita’ di esecuzione.

SvantaggiSe i corpi sono molti comunque si perde di “risoluzione” e l’unico modo per evitare una perdita eccessiva e’ quella di infittire la griglia, e quindi aumentare il tempo di calcolo

Metodi ad Albero (Tree)

2. Simulazioni Numeriche

FunzionamentoLa griglia non e’ regolare eviene costruita adattandolaalla distribuzione di massedel sistema.Le celle vuote non vengonoutilizzate e nemmeno conteggiate.

VantaggiOffre una risoluzione migliore dei metodi con griglia, e una ottima velocita’ di esecuzione.

SvantaggiIn distribuzioni sbilanciate si possono presentare problemi di rallentamento.

Nei vari anni di studi, sono stati creati svariati metodi che utilizzavano piu’ tecniche alla volta (PPPM, TMP…).

In genere si predilige un metodo misto Particella-Particella per calcoli su Corpi vicini e metodi a griglia o ad albero per tutto il resto del sistema.

Metodi Misti

2. Simulazioni Numeriche

Calcolo delle Interazioni

2. Simulazioni Numeriche

Il calcolo delle interazioni puo’ essere effettuato in due modi:

1) Si usa la legge di Gravitazione di Newton.2) Si utilizzano tecniche legate

al potenziale gravitazionale(espansione di multipolo)

Come si simula il trascorrere del tempo?

2. Simulazioni Numeriche

L’evoluzione temporale si ottiene facendo fareal programma di simulazione, tanti cicli.

1. Calcolo della forza che ogni corpo subisce

2. Incremento del tempo

3. Aggiornamento delle posizioni e delle velocita’ dei Corpi.

4. Ritorna ad 1.

Quali Computer usare?

3. Computer ad Alte prestazioni

Il tempo necessario ad ottenere il risultato di una simulazione dipende dalla macchina su cui viene fatta girare oltre che dall’ottimizzazione del codice scritto.

N°Corpi N°Timestep Tempo impiegato (secondi)

10 1000 ~1

100 1000 ~20

500 1000 ~180 (3 minuti)

1000 1000 ~600 (10 minuti)

5000 1000 ~6000 (1 ora e 40 minuti)

10000 1000 ~24000 (6 ore e 40 minuti)

Caratteristiche:

• Numero elevatissimo di operazioni al secondo

• Memoria di sistema molto ampia

• Possibilita’ di immagazzinare grandi quantita’ di dati

Come funzionano?

3. Computer ad Alte prestazioni

Gli odierni Supercomputer sono orientati al calcolo parallelo. Numerosi Processori che eseguono contemporaneamente le operazioni.

Il codice del programma subisce la cosiddetta Parallelizzazione, al fine di sfruttare le potenzialita’ dei calcolatori paralleli.

In tal modo ogni processore riceve un settore della simulazione, o, in alternativa, una lista di corpi che soltanto lui, seguira’.

Come Visualizzare i Dati?

4. Visualizzare i Dati

Generalmente i file in uscita sono sequenze sterminate di numeriincolonnati, che ,a prima vista, sonoincomprensibili.

Riuscire ad interpretare idati e’ fondamentale e losi fa attraverso la grafica.

Esempi

4. Visualizzare i Dati

Esempi di Simulazioni

Simulazione WashinghtonFormazione di un cluster di Galassie

Simulazione a basso OmegaCubo in rotazione con strutture gia’ formate

Esempi di Visualizzazione Dati

Settore angolareMovimento 3D dentro i Dati

Link Utili

5. Riferimenti

Link sulle Simulazioni Cosmologiche:http://www.physics.gmu.edu/~large/

http://www.ifa.hawaii.edu/~barnes/software.htmlhttp://www-berkeley.ansys.com/cfd/sph.htmlhttp://www.epcc.ed.ac.uk/~mario/nbody.html

Alcune Librerie Utili:http://www.netlib.org/lapack/

http://www.netlib.org/scalapack/http://linal.sourceforge.net/LinAl/Doc/linal.html

Queste Slide si trovano su:http://danno75.altervista.org

Algoritmo di Barnes-Hut

1. Costruzione dell’Albero

2. Attraversamento dal fondo per il calcolo dei Centri di Massa

3. Attraversamento da Root per il calcolo delle Forze (per ogni corpo, parametro di tolleranza)

4. Aggiornamento Posizione e Velocita’ di ogni corpo

5. Reiterazione dei punti precedenti

Appendice

Fast Multipole Method1. Costruzione dell’Albero

2. Attraversamento dal fondo per il calcolo dell’espansione di multipolo per ogni nodo

3. Attraversamento da Root per il calcolo delle espansioni interne per ogni nodo

4. Calcolo dei contributi dei nodi e corpi vicini (PP)

5. Calcolo delle Forze e aggiornamento Posizioni e Velocita’ dei corpi

6. Reiterazione dei punti precedenti

Appendice