GEOMETRIA

PREPARAZIONE ALLA VERIFICA

NOTIZIE STORICHE

• LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA “MISURA DELLA TERRA”

• FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE DI EGIZIANI E BABILONESI.

• MA FU EUCLIDE (3° SEC. A.C.), CON LA SUA OPERA ELEMENTI, A COSTITUIRE IL PUNTO DI PARTENZA PER L’INSEGNAMENTO ELEMENTARE DELLA GEOMETRIA, CHE ANCORA OGGI VIENE CHIAMATA “GEOMETRIA EUCLIDEA”.

• LA GEOMETRIA DIVENTA UNA SCIENZA.

CONCETTI ED ENTI PRIMITIVI

• NON SI POSSONO DEFINIRE CON IDEE PIU’ ELEMENTARI E SONO ESPRESSI DA PAROLE IL CUI SIGNIFICATO E’ NOTO A TUTTI. NON ABBIAMO BISOGNO DI DEFINIRLI

• SONO CONCETTI PRIMITIVI:1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA

• SONO ENTI PRIMITIVI:1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO

• PUNTO: lo indico con la letterea maiuscola. .A .B .C .D

• RETTA: è un insieme di punti ed è ottenuta utilizzando il righello. La indico con lettere minuscole.r

• PIANO: è come un foglio di carta, ma con lunghezza e larghezza indefinite. Lo indico con , , .

• SPAZIO:è tutto ciò che ci circonda

DEFINIZIONI

• tutti i termini che vengono usati acquistano un ben preciso significato.

• serviranno per esprimere alcuni concetti, ricorrendo ad altri concetti o enti precedentemente definiti.

POSTULATI O ASSIOMI

• sono affermazioni che esprimono delle proprieta’ evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza.

• per esempio: per due punti passa una ed una sola retta.

RAGIONAMENTO

• E’ l’elaborazione, fatta dal pensiero, dei dati forniti dall’intuizione e dall’esperienza.

TEOREMI

• Lo spazio ha delle proprieta’ che sono meno evidenti e che per essere accettate devono essere dimostrate.

• Le considerazioni logiche che si devono fare, partendo dai concetti primitivi e postulati introdotti, per arrivare al teorema proposto, sono le dimostrazioni del teorema.

COROLLARI

• Sono le proposizioni che sono conseguenza immediata di un teorema.

APPLICAZIONI DELLA LOGICA ALLA GEOMETRIA

• Si utilizzano in geometria i seguenti principi fondamentali della logica:

1. PRINCIPIO D’IDENTITA’: Ogni ente e’ identico a se stesso;

2. PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE: Una proposizione non puo’ essere contemporaneamente vera e falsa;

3. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: Una proposizione o e’ vera o e’ falsa;

4. PROPRIETA’ TRANSITIVA DELL’IMPLICAZIONE: Se una proposizione ne implica una seconda e questa a sua volta ne implica una terza, allora anche la prima implica la terza.

Es. (P1P2) (P2P3) (P1 P3)

TEOREMI

• Si puo’ definire come una implicazione logica tra due predicati detti ipotesi (i) e tesi (t), che deve essere verificata.

I TL’ENUNCIATO Esprime il contenuto

dell’implicazione logica da verificare e puo’ essere vero o falso.

L’IPOTESI Esprime quello che si suppone essere vero.

LA TESI Esprime quello che si deve verificare;

LA DIMOSTRAZIONE E’ il processo deduttivo che porta ad affermare la verita’ della tesi tutte le volte che si verifica l’ipotesi.

DIMOSTRAZIONE DIRETTA

• Il ragionamento che dalla verita’ dell’ipotesi conduce alla verita’ della tesi e’ la dimostrazione e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, e della proprieta’ transitiva dell’implicazione logica.

• QUANDO UN TEOREMA SI SIMOSTRA SECONDO QUESTO PROCEDIMENTO SI DICE CHE SI E’ FATTA UNA DIMOSTRAZIONE DIRETTA.

• Es. un numero naturale divisibile per 6 e’ divisibile anche per 3.I T

• I: n è divisibile per 6 n N• T: n è divisibile per 3• N divisibile per 6 n divisibile per 3

DIMOSTRAZIONE DIRETTA DI UN TEOREMA

• IPOTESI vera

• RAGIONAMENTI LOGICI

• TESI vera

TEOREMI DERIVATI

• Data l’implicazione I T, che supponiamo vera e che chiamiamo TEOREMA DIRETTO:

• TEOREMA RECIPROCO O INVERSO (non è sempre vero)

T I• TEOREMA CONTRARIOT negato I• TEOREMA CONTRONOMINALET negato I negato

• Se I T e T I sono entrambi vere, allora

IT si equivalgono.

Se il teorema diretto è vero ed è vero anche il reciproco, allora Ipotesi e Tesi si equivalgono.

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA

(METODO INDIRETTO)• Vogliamo dimostrare l’implicazione I T

1. Supponiamo vera l’ipotesi I2. Supponiamo vera la negazione della tesi (si nega la

tesi) T negato3. Dimostro per via diretta che T negato I negato

sono vere. Ma avrei II negato vere entrambi: ciò non è possibile, è un ASSURDO.

4. Risultano vere I e I negato: dalla verità di T negato segue la verità di I

negato, quindi I non può essere contemporanenamente vera e falsa.

5. E’ sbagliato aver supposto T negato vera, quindi T è vera.

6. T vera: il teorema è domostrato.

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA

• IPOTESI I T vera

• NEGAZIONE DELLA TESI T negato vera

• RAGIONAMENTI LOGICIT negato I negato = II negato ASSURDO

(per il principio di non contraddizione)

• NEGAZIONE T negato falsa

• TESI T vera

TEOREMI DERIVATI• DATO IL TEOREMA VERIFICATO I T

DETTO TEOREMA DIRETTO, SI POSSONO RICAVARE ALTRE TRE IMPLICAZIONI:

1. TEOREMA RECIPROCO O INVERSO: T I;

2. TEOREMA CONTRONOMINALE:non T I;

3. TEOREMA CONTRARIO:non I non T

TEOREMA RECIPROCO O INVERSO

• IL TEOREMA RECIPROCO NON E’ SEMPRE VERO.

Es. 1. se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della

metà di un angolo retto; (non è vero)2. Se x è un angolo maggiore di un angolo retto

allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto. (vero)

COIMPLICAZIONE LOGICA

• QUANDO UN TEOREMA I T È VERO ANCHE L’INVERSO, T I , SI HA LA COIMPLICAZIONE LOGICA

I T

E I DUE PREDICATI (I) E (T) SI DICONO EQUIVALENTI.

TEOREMA CONTRONOMINALE

• E’ SEMPRE VERO, QUINDI E’ VERO ANCHE IL TEOREMA DIRETTO.

• LA PRIMA LEGGE DELLE INVERSE: SE UN TEOREMA E’ VERO, ALLORA E’ VERO ANCHE IL SUO CONTRONOMINALE E VICEVERSA.

TEOREMA CONTRARIO

• NON E’ SEMPRE VERO.

DATO IL TEOREMA CONTRARIO

I T

L’IMPLICAZIONE non I non T,

E’ VERA SOLO SE, E SOLO SE, E’ VERO IL TEOREMA I T , CIOE’ IL TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA DATO.

SECONDA LEGGE DELLE INVERSE

• SE SONO VERI I TEOREMI: I T , I1 T1 ,I2 T2 , In Tn …

SE LE TESI SI ESCLUDONO A VICENDA, ALLORA SONO VALIDI I RECIPROCI TEOREMI: T I , T1 I1 , T2 I2 , Tn In …

NOZIONI FONDAMENTALI DI

GEOMETRIA RAZIONALE

CONCETTI PRIMITIVI

• SONO QUELLI DEI QUALI NON SI DA ALCUNA DEFINIZIONE

• ESSI SONO: PUNTO, RETTA, PIANO E SPAZIO.

FIGURA

• SI DEFINISCE FIGURA UN INSIEME, NON VUOTO, DI PUNTI.

• ANCHE UN SINGOLO PUNTO COSTIUTUISCE UNA FIGURA GEOMETRICA.

LO SPAZIO

• E’ L’INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI PUNTI E SI PUO’ CONSIDERARE COME LA FIGURA CHE CONTIENE TUTTI I PUNTI E QUINDI TUTTE LE FIGURE.

LA LINEA

• E’ UN INSIEME DI PUNTI

LA RETTA

• È UNA LINEA TRACCIATA CON LA RIGA E PROLUNGATA INDEFINITAMENTE COL PENSIERO DA UNA PARTE E DALL’ALTRA.

LA SUPERFICIE

• SI PUO’ CONSIDERARE COME GENERATA DA UNA LINEA CHE SI MUOVE, MA PRIVA DI SPESSORE.

SUPERFICIE PIANA

• SI PUO’ IMMAGINARE COME UN FOGLIO ESTESO INDEFINITAMENTE IN TUTTE LE DIREZIONI.

POSTULATI FONDAMENTALI

• SONO PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO PROPRIETA’ DEGLI ENTI GEOMETRICI CHE SI CHIEDONO DI ACCETTARE PER VERE SENZA DIMOSTRAZIONE (verità evidenti).

• I PRIMI POSTULATI SONO.1. LO SPAZIO CONTIENE INFINITI PUNTI,

INFINITE RETTE E INFINITI PIANI,2. UN PIANO CONTIENE INFINITI PUNTI E

INFINITE RETTE,3. UNA RETTA CONTIENE INFINITI PUNTI.

POSTULATI DI APPARTENENZA

• DUE PUNTI DISTINTI APPARTENGONO A UNA E A UNA SOLA RETTA.

• PER DUE PUNTI DISTINTI PASSA UNA E UNA SOLA RETTA.

Ar, Br, Cr

C

A B r

• SE TRE O PIU’ PUNTI APPARTENGONO A UNA STESSA RETTA SI DICE CHE ESSI SONO ALLINEATI.

A B C r

• TRE PUNTI NON ALLINEATI APPARTENGONO A UNO E A UN SOLO PIANO.

• PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNO E UN SOLO PIANO.

• TRE PUNTI NON ALLINEATI INDIVIDUANO UN PIANO E UNO SOLO.

B r

A C

• SE DUE PUNTI DI UNA RETTA APPARTENGONO AD UN PIANO, ALLORA LA RETTA E’ CONTENUTA O GIACE NEL PIANO.A, B , C , Ar, B r, r

B r

A C

IL POSTULATO D’ORDINE

• SI PUO’ STABILIRE UNA RELAZIONE D’ORDINE TRA I PUNTI DI UNA RETTA, OSSIA SI POSSONO ORDINARE I PUNTI DI UNA RETTA IN MODO CHE: dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A; se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Quando su una retta è fissato un verso si parla di RETTA ORIENTATA.

A B C

PROPRIETA’

• PROPRIETA’ RIFLESSIVA

A=A

• PROPRIETA’ SIMMETRICA

A=B allora B=A

• PROPRIETA’ TRANSITIVA

Se A=B e B=C allora A=C

PROPRIETA’ DELLA RETTA

• La RETTA è ILLIMITATA, non esiste ne’ un primo, ne’ un ultimo punto

B A

DEFINIZIONE DI SEMIRETTA

• DATA UNA RETTA ORIENTATA r E UN SUO PUNTO QUALSIASI O , SI CHIAMA SEMIRETTA DI ORIGINE O L’INSIEME COSTITUITO DAL PUNTO O STESSO E DAI PUNTI DI r CHE PRECEDONO O SEGUONO O NEL VERSO FISSATO.

semiretta O semiretta

• IL PUNTO O r E DETERMINA DUE SEMIRETTE, INOLTRE E’ ORIGINE DI CIASCUNA DI ESSE.

• LE DUE SEMIRETTE SONO TRA LORO OPPOSTE (HANNO LA STESSA ORIGINE, MA DIREZIONI DIVERSE).

• LE DUE SEMIRETTE SONO L’UNA IL PROLUNGAMENTO DELL’ALTRA.

• I PUNTI DI UNA SEMIRETTA DIVERSI DALL’ORIGINE SI DICONO INTERNI, QUELLI CHE NON LE APPARTENGONO SI DICONO ESTERNI.

DEFINIZIONE DI SEGMENTO

• SI DEFINISCE SEGMENTO DI ESTREMI A E B L’INSIEME COSTITUITO DAI PUNTI A E B E DA TUTTI I PUNTI DELLA RETTA AB COMPRESI TRA A E B.

A B

• IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B SI INDICA CON AB;

• I SUOI PUNTI, DIVERSI DAGLI ESTREMI, SI DICONO PUNTI INTERNI, MENTRE I PUNTI CHE NON APPARTENGONO AL SEGMENTO SI DICONO ESTERNI.

• SE A E B COINCIDONO (A B) IL SEGMENTO E’ NULLO.

• PER DISTANZA TRA A E B SI INTENDE IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B.

• QUANDO UN SEGMENTO AB E’ SU UNA RETTA ORIENTATA, ANCHE I PUNTI DEL SEGMENTO AB RISULTANO ORDINATI. SI PARLA ALLORA DI SEGMENTO ORIENTATO.

• SE IL PUNTO A PRECEDE B, IL SEGMENTO SI INDICA CON AB.

• IL PUNTO A E’ DETTO ORIGINE, MENTRE B E’ DETTO ESTREMO.

A B

• DUE SEGMENTI AVENTI IN COMUNE SOLAMENTE UN ESTREMO SI DICONO CONSECUTIVI

A B C

• DUE SEGMENTI CONSECUTIVI (AB E BC) SITUATI SULLA MEDESIMA RETTA SI DICONO ADIACENTI

A B CIL SEGMENTO AC, DI CUI B RISULTA PUNTO INTERNO, SI DICE SOMMA DEI DUE SEGMENTI DATI E SI SCRIVE AB+BC = AC

• LA FIGURA FORMATA DA PIU’ SEGMENTI CONSECUTIVI SI CHIAMA POLIGONALE O SPEZZATA APERTA.

• I SEGMENTI SI DICONO LATI DELLA SPEZZATA E I LORO ESTREMI VERTICI.

• SE A UNA SPEZZATA APERTA SI AGGIUNGE IL SEGMENTO CHE NE CONGIUNGE GLI ESTREMI, SI OTTIENE UNA POLIGONALE O SPEZZATA CHIUSA.

• SE DUE SEGMENTI NON CONSECUTIVI DI UNA POLIGONALE APERTA O CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (P PUNTO DI INTERSEZIONE), LA POLIGONALE SI DICE INTRECCIATA.

P

POSTULATO DI PARTIZIONE DI UN PIANO

• UNA RETTA r DI UN PIANO DIVIDE IL PIANO IN DUE PARTI (NON VUOTE) IN MODO CHE:

1. SE I PUNTI A E B APPARTENGONO ALLA STESSA PARTE, ALLORA IL SEGMENTO AB E’ CONTENUTO IN QUESTA PARTE;

BA

r

2. SE I PUNTI C E D APPARTENGONO A PARTI DIVERSE, ALLORA IL SEGMENTO CD HA IN COMUNE CON r UN PUNTO DETTO PUNTO DI INTERSEZIONE TRA RETTA PASSANTE PER C E PER D E LA RETTA r.

C

r

D

DEFINIZIONE DI SEMIPIANO

• SI CHIAMA SEMIPIANO AVENTE PER ORIGINE LA RETTA r, LA FIGURA COSTITUITA DALLA RETTA r E DA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI TALE RETTA DIVIDE IL PIANO.

r

• I DUE SEMIPIANI DIVERSI AVENTI LA STESSA ORIGINE SI DICONO OPPOSTI.

• I PUNTI INTERNI A UN SEMIPIANO SONO QUELLI CHE APPARTENGONO AL SEMIPIANO, MA NON ALLA SUA ORIGINE.

• PER ANDARE DA UN SEMIPIANO AL SUO OPPOSTO SI INTERSECA SEMPRE LA RETTA DI ORGINE r, CHE NON E’ AGGIRABILE.

• SI SUOL DIRE CHE LA RETTA E’ ILLIMITATA.

• COME CONSEGUENZA DEL POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO SI PUO’ DIRE CHE: TRA DUE PUNTI QUALSIASI DI UNA RETTA VI SONO INFINITI PUNTI, LA RETTA E’ DENSA.

CONTINUITA’ DELLA RETTA

• LA RETTA E’ UNA LINEA CONTINUA.P

r

TOGLIENDO IL PUNTO P DALLA RETTA r NON AVREMO PIU’ UNA LINEA CONTINUA.

r

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE

FASCIO DI RETTE

• L’INSIEME DI TUTTE LE RETTE DI UN PIANO CHE PASSANO PER UNO STESSO PUNTO E’ DETTO FASCIO PROPRIO DI RETTE, IL PUNTO E’ DETTO CENTRO DEL FASCIO.

DUE RETTE DISTINTE O NON HANNO PUNTI IN COMUNE O NE HANNO UNO SOLTANTO.

• SE DUE RETTE HANNO UN SOLO PUNTO IN COMUNE ESSE SI DICONO INCIDENTI. r

• DUE RETTE DISTINTE DI UNO STESSO PIANO (COMPLANARI) SI DICONO PARALLELE SE NON HANNO ALCUN PUNTO IN COMUNE.

rs

s

• DUE RETTE NON COMPLANARI CHE NON HANNO ALCUN PUNTO IN COMUNE SI DICONO SGHEMBE.

r s

• PERTANTO DUE RETTE COMPLANARI DISTINTE O SONO INCIDENTI O SONO PARALLELE.

POSTULATO DI EUCLIDE

• PER UN PUNTO ESTERNO AD UNA RETTA PASSA UNA ED UNA SOLA RETTA PARALLELA ALLA RETTA DATA.

P

r

• IN UN PIANO, L’INSIEME DELLE RETTE PARALLELE A UNA RETTA DATA PRENDE IL NOME DI FASCIO DI RETTE PARALLELE O FASCIO IMPROPRIO.

• LA PROPRIETA’ COMUNE A TUTTE LE RETTE DI UN FASCIO IMPROPRIO E’ QUELLA DI AVERE TUTTE LA STESSA DIREZIONE.

FIGURA PIANA

• SI DICE PIANA LA FIGURA SE TUTTI I SUOI PUNTI APPARTENGONO ALLO STESSO PIANO.

• IN CASO CONTRARIO SI DICE SOLIDA.

FIGURE CONVESSE E CONCAVE

• UNA FIGURA I CUI PUNTI APPARTENGONO TUTTI A UNO STESSO PIANO SI DICE FIGURA PIANA, IN CASO CONTRARIO LA FIGURA E’ UNA FIGURA SOLIDA.

• UNA FIGURA SI DICE CONVESSA SE, CONSIDERATI DUE SUOI PUNTI QUALSIASI, IL SEGMENTO CHE LI CONGIUNGE E’ INTERAMENTE CONTENUTO NELLA FIGURA.

A B

• SE ESISTE ANCHE UNA SOLA COPPIA DI PUNTI PER CUI TALE PROPRIETA’ NON SI VERIFICA, LA FIGURA E’ DETTA CONCAVA.

A B

• I SEMIPIANI SONO FIGURE CONVESSE.

• PIANI, RETTE, SEMIRETTE E SEGMENTI SONO FIGURE CONVESSE.

LINEE CURVE• UNA LINEA CHE NON SIA UNA LINEA

RETTA SI DICE CURVA.• UNA CURVA TRACCIATA IN UN PIANO SI

DICE CURVA PIANA E IN CASO CONTRARIO SI DICE CURVA SGHEMBA.

• IL TRATTO DI LINEA COMPRESO TRA DUE PUNTI A E B SI CHIAMA ARCO.

• UNA CURVA PUO’ ESSERE CHIUSA O APERTA.

• OGNI LINEA CHIUSA SI PUO’ PERCORRERE IN DUE VERSI L’UNO OPPOSTO ALL’ALTRO.

ANGOLI• SI DEFINISCE ANGOLO CIASCUNA DELLE DUE PARTI

IN CUI UN PIANO E’ DIVISO DA DUE SEMIRETTE DISTINTE CON L’ORIGINE O IN COMUNE, SEMIRETTE COMPRESE.

• LE SEMIRETTE a - b SI DICONO LATI DELL’ANGOLO E NE COSTITUISCONO IL CONTORNO.

• L’ORIGINE COMUNE SI DICE VERTICE DELL’ANGOLO.

a

Ob

• I PUNTI DI UN ANGOLO CHE NON APPARTENGONO AI LATI SI DICONO INTERNI.

• GLI ALTRI PUNTI, SEMPRE ESCLUSI I LATI, SI DICONO ESTERNI.

• DEI DUE ANGOLI FORMATI DALLE SEMIRETTE a E b: SI DICE CONVESSO QUELLO CHE NON CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI (AôB),

• CONCAVO QUELLO CHE CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI. O

a

O

b a b

ANGOLO PIATTO

• DUE SEMIRETTE CHE SIANO IL PROLUNGAMENTO L’UNA DELL’ALTRA DETERMINANO DUE ANGOLI, CIASCUNO DEI QUALI SI DICE ANGOLO PIATTO.

b aO

ANGOLO GIRO E NULLO

• L’ANGOLO GIRO E’ L’UNIONE DI DUE ANGOLI PIATTI E COINCIDE CON TUTTO IL PIANO.

o

• L’ANGOLO NULLO E’ L’UNIONE DEI PUNTI DI DUE SEMIRETTE SOVRAPPOSTE E SI RIDUCE AD UNA SEMIRETTA. o

ANGOLI CONSECUTIVI

• DUE ANGOLI DI UN PIANO SI DICONO CONSECUTIVI QUANDO HANNO LO STESSO VERTICE ED HANNO IN COMUNE SOLAMENTE I PUNTI DI UN LATO.

AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati (angolo somma)

CB

O A

ANGOLI ADIACENTI• DUE ANGOLI SI DICONO ADIACENTI

QUANDO, OLTRE AD ESSERE CONSECUTIVI, HANNO I LATI NON COMUNI SUL PROLUNGAMENTO L’UNO DELL’ALTRO. LA SOMMA DI DUE ANGOLI ADIACENTI E’ UN ANGOLO PIATTO.

AôB e BôC = angoli adiacentiAôB + BôC = angolo piatto

B

C AO

ANGOLO RETTO

• LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO E’ UN ANGOLO RETTO

B

AôB= /2

A

ANGOLO ACUTO

• UN ANGOLO SI DICE ACUTO QUANDO E’ MINORE DI UN ANGOLO RETTO.

AôB= acuto B

A

ANGOLO OTTUSO

• UN ANGOLO SI DICE OTTUSO QUANDO E’ MAGGIORE DI UN ANGOLO RETTO E MINORE DI UN ANGOLO PIATTO.

BAôB= ottuso

A

• PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO

UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL’ANGOLO MA NON AI SUOI LATI, SI DICE PUNTO INTERNO. B

.C

.D

A• TUTTE LE SEMIRETTE DI ORIGINE O

COSTITUITE DA PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO SI DICONO SEMIRETTE INTERNE.

POLIGONI

• SI DEFINISCE POLIGONO LA FIGURA FORMATA DA UNAPOLIGONALE CHIUSA (NON INTRECCIATA) E DALLA PARTE DI PIANO DA ESSA DELIMITATA.

• UN POLIGONO SI DICE CONVESSO SE GIACE TUTTO DA UNA STESSA PARTE RISPETTO A CIASCUNA RETTA OTTENUTA PROLUNGANDO ONGUNO DEI LATI.

• UN POLIGONO SI DICE EQULIATERO SE HA I LATI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO

• SI DICE EQUIANGOLO SE HA GLI ANGOLI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO.

equilatero equiangolo

OSSERVAZIONE: POLIGONO EQUIANGOLO non implica che sia equilatero;

POLIGONO EQUILATERO non implica che sia equiangolo.

• UN POLIGONO SI DECE REGOLARE SE È SIA EQUILATERO CHE EQUIANGOLO.

• IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE VERTICI NON CONSECUTIVI DI UN POLIGONO SI CHIAMA DIAGONALE. SI DEFINISCE CORDA OGNI SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE PUNTI QUALUNQUE DEL CONTORNO DEL POLIGONO NON APPARTENENTI A UNO STESSO LATO.

PROPRIETA’

• UN POLIGONO HA SEMPRE UN EGUAL NUMERO DI LATI E DI VERTICI (ANGOLI).

• In generale, i lati e gli angoli interni di un poligono si chiamano SUOI ELEMENTI.

• UN POLIGONO E’ CONCAVO SE IL PROLUNGAMENTO DI UN SUO LATO LO DIVIDE IN DUE PARTI.

• I LATI E GLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO SI DICONO I SUOI ELEMENTI.

TRIANGOLO

• POLIGONO A TRE LATI, HA SEI ELEMENTI: TRE LATI E TRE ANGOLI.

• OGNI LATO SI DICE OPPOSTO ALL’ANGOLO IL CUI VERTICE NON APPARTIENE AL LATO E ADIACENTE AGLI ALTRI DUE ANGOLI.

• OGNI ANGOLO E’ OPPOSTO AL LATO CHE NON CONTIENE IL SUO VERTICE ED E’ ADIACENTE AGLI ALTRI DUE LATI.

ANGOLO ESTERNO

C

A B K- ANGOLI INTERNI AL TRIANGOLO:

ABC, BCA, CAB- ANGOLI ESTERNI AL TRIANGOLO:

KBC

CONGRUENZA TRA FIGURE PIANE

• DUE FIGURE SI DICONO CONGRUENTI O ISOMETRICHE O SOVRAPPONIBILI, QUANDO E’ POSSIBILE TRASPORTARE, CON UN MOVIMENTO RIGIDO (IN BASE AL QUALE UNA FIGURA PUO’ CAMBIARE POSIZIONE SENZA DEFORMARSI) LA PRIMA FIGURA IN MODO CHE COINCIDA CON LA SECONDA.F1 F2

F1 F2

PUNTI CORRISPONDENTI OD OMOLOGHI

• LA CONGRUENZA TRA DUE FIGURE E’ UNA PARTICOLARE CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I LORO PUNTI. ab +bc de

c b

a d e• UGUAGLIANZA: DUE FIGURE SONO UNA

MEDESIMA FIGURA.• CONGRUENZA: DUE FIGURE SONO

SOVRAPPONIBILI.

PROPRIETA’ DELLE CONGRUENZE

1. OGNI FIGURA E’ CONGRUENTE A SE STESSA: F F (proprietà riflessiva)

2. SE UNA FIGURA E’ CONGRUENTE A UN’ALTRA, ANCHE LA SECONDA E’ CONGRUENTE ALLA PRIMA: F F1, F1 F (proprietà simmetrica)

3. DUE FIGURE CONGRUENTI AD UNA STESSA FIGURA SONO CONGRUENTI FRA LORO: F1 F, F2 F, F1 F2 (proprietà transitiva)

PROPOSIZIONI DEDOTTE

• TUTTE LE RETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO.

• TUTTE LE SEMIRETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO.

• TUTTI I PIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

• TUTTI I SEMIPIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

• TUTTI GLI ANGOLI PIATTI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI

• DATI UNA SEMIRETTA DI ORIGINE O E UN SEGMENTO, ESISTE SULLA SEMIRETTA UN SEGMENTO E UNO SOLO DI ORIGINE O E CONGRUENTE AL SEGMENTO DATO.

A B AB CD

C A D B

CONFRONTO TRA SEGMENTI

• Confrontare due segmenti significa stabilire se sono congruenti o non lo sono.

• Nel caso in cui non siano congruenti significa stabilire quale tra i due sia il maggiore.

• Per confrontarli bisogna operare un movimento rigido in modo che l’estremo A coincida con l’estremo C e la semiretta A-B coincida con C-D.

1° CASOIl 2° estremo B coincide con D, quindi il segmento

AB CD ; C A, D BB

A2° CASO C DL’estremo B è un punto interno al segmento CDAB < CD A B

C3° CASO DL’estremo B è esterno al segmento CDAB > CD A B

C D

LEGGE DI TRICOTOMIA

• Dati sue segmenti AB e CD, si avrà:

• 1. AB CD

• 2. AB < CD

• 3. AB > CD

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

• Si chiama punto medio di un segmento un punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.

• Si dice che A e B sono SIMMETRICI rispetto a M.

A M B

AM MB 1/2 AB

POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI

• DATA IN UN PIANO UNA SEMIRETTA, ESISTE UN ANGOLO E UNO SOLO CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO, CHE ABBIA UNO DEI LATI COINCIDENTI CON LA SEMIRETTA, IL VERTICE NELL’ORIGINE DELLA SEMIRETTA E CHE GIACCIA DA UNA PARTE PREFISSATA RISPETTO AD ESSA. b

O a

c

SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI

• SE DUE SEGMENTI AB E BC SONO ADIACENTI, IL SEGMENTO AC COSTITUISCE LA LORO SOMMA:AC= AB+BC

• SI DICE DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI, DI CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, IL SEGMENTO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO:

PROPRIETA’ DELLA SOMMA

1. COMMUTATIVA: LA SOMMA DI DUE O PIU’ SEGMENTI E’ INDIPENDENTE DALL’ORDINE DEGLI ADDENDI.

2. ASSOCIATIVA: LA SOMMA DI PIU’ SEGMENTI NON MUTA SE A PIU’ ADDENDI SI SOSTITUISCE LA LORO SOMMA.

3. SOMME DI SEGMENTI ORDINATAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.

4. DIFFERENZE DI SEGMENTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN

SEGMENTO• SI DEFINISCE MULTIPLO DI UN

SEGMENTO A SECONDO IL NUMERO NATURALE n 2, LA SOMMA DI n SEGMENTI CONGRUENTI AD A.

AB = 4A

• A E’ DETTO SOTTOMULTIPLO DI B SECONDO n.

POSTULATO DI DIVISIBILITA’ DEI

SEGMENTI

• OGNI SEGMENTO E’ DIVISIBILE IN UN NUMERO n DI PARTI CONGRUENTI.

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

• SI CHIAMA PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO IL PUNTO, INTERNO AL SEGMENTO, CHE LO DIVIDE IN DUE PARTI CONGRUENTI.

B M

A

• A E B SONO SIMMETRICI RISPETTO AD M, QUANDO M E’ IL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB.

CONFRONTARE DUE ANGOLI

• SIGNIFICA STABILIRE SE SONO CONGRUENTI O NON LO SONO.

• PER CONFRONTARE DUE ANGOLI E , BISOGNA OPERARE UN MOVIMENTO RIGIDO CHE FACCIA SOVRAPPORRE O COINCIDERE I DUE VERTICI E UN LATO (UNO DEI DUE LATI DELL’ANGOLO).

1° CASOSe il lato B coincide con B1 allora

2° CASOSe il lato B è esterno all’angolo < B

3° CASOSe il lato B risulta interno all’angolo

B >

LEGGE DI TRICOTOMIA

• Dati due angoli e , si avrà:

• 1. ,

• 2. < ,

• 3. > ,

SOMMA E DIFFERENZA DI ANGOLI.

• SE DUE ANGOLI AôB E BôC SONO CONSECUTIVI, L’ANGOLO AôC COSTITUISCE LA LORO SOMMA.AôC = AôB + BôC

• SI DICE DIFFERENZA DI DUE ANGOLI, DI CUI IL PRIMO E’ MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, L’ANGOLO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO. C BôC = AôC - AôB

O B A

• SOMME E DIFFERENZE DI ANGOLI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.

• SI CHIAMA BISETTRICE DI UN ANGOLO DI VERTICE O, LA SEMIRETTA DI ORIGINE O, INTERNA ALL’ANGOLO, CHE DIVIDE L’ANGOLO IN DUE PARTI CONGRUENTI.

AôM MôB 1/2AôB A

OM

B

ANGOLI ESPLEMENTARI

• DUE ANGOLI SI DICONO ESPLEMENTARI SE HANNO PER SOMMA UN ANGOLO GIRO (360°).

ANGOLI SUPPLEMENTARI

• DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA UN ANGOLO PIATTO (180°) SI DICONO SUPPLEMENTARI.

• ANGOLI SUPPLEMENTARI DI UNO STESSO ANGOLO SONO CONGRUENTI FRA LORO.

ANGOLO RETTO

• LA META’ DI UN ANGOLO PIATTO SI DICE ANGOLO RETTO: 1/2 π , π /2

ANGOLO ACUTO

• UN ANGOLO MINORE DI UN ANGOLO RETTO SI DICE ACUTO.

• UN ANGOLO CONVESSO MAGGIORE DI UN RETTO SI DICE OTTUSO.

ANGOLI COMPLEMENTARI

• DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA CONGRUENTE A UN ANGOLO RETTO SI DICONO COMPLEMENTARI:

π/2 -

RETTE PERPENDICOLARI

• DUE RETTE SI DICONO PERPENDICOLARI (r s) SE, INCONTRANDOSI, FORMANO QUATTRO ANGOLI RETTI.

TEOREMA: PROIEZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA

Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad essa si può condurre una ed una sola retta perpendicolare a quella data.

H= Piede della perpendicolare ad R, condotta dal punto P

H= Proiezione ortogonale di P sulla retta RIl segmento P-H si chiama Distanza di P dalla retta

R. P

R H

PROIEZIONE DI UN SEGMENTO

• SI DICE PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SOPRA UNA RETTA IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI LE PROIEZIONI SULLA RETTA DEGLI ESTREMI DEL SEGMENTO DATO.

B B AA

BA

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

• DUE ANGOLI CONVESSI SI DICONO OPPOSTI AL VERTICE SE I LATI SONO I PROLUNGAMENTI DEI LATI DELL’ALTRO.

s r1

or s1