Geometria delle Aree

Finora ci si è occupati di determinare le sollecitazioni che agiscono su sezioni di

elementi monodimensionali

In realtà lo studio della Meccanica delle Strutture non si accontenta di tale risultato

in quanto vuole determinare lo Stato di Sollecitazione locale (i.e. in un punto

materiale qualsiasi)

In tal caso infatti si può valutare le condizioni di stress di una struttura andando ad

identificare se localmente si possa verificare il superamento di un limite, la cui

definizione consentirebbe di confrontare ogni sezione, non solo quelle tra loro affini

La Geometria delle Aree in particolare consente 3 importanti passi in avanti:

trasformare azioni interne in sollecitazioni

valutare l’elasticità delle strutture per risolvere problemi legati all’elasticità

fornisce gli strumenti per valutare le strutture iperstatiche

Baricentro di una sezione

Il baricentro di un corpo (sezione) è quel punto al quale si può concentrare una

forza in grado di contrastare tutte le forze agenti in ognuno dei punti che

descrivono il corpo (sezione)

Ha senso quindi parlare di baricentro di un corpo nello spazio, di una sezione, di

un elemento monodimensionale

Geometria delle Masse

Questa considera che sui punti materiali agisce un campo di forze conservativo e

costante (ad esempio gravità) – In tal caso si parla di centro di massa (o di gravità)

Prima di passare all’analisi di corpi estesi,

conviene riferirsi a sistemi di punti

Retta risultante Retta risultante

Il baricentro è il punto di

intersezione della retta

risultante per qualunque

sistema di forze

(costanti) applicato

Introdotto un sistema di riferimento cartesiano, il centro di massa risulta dal

calcolo della risultante delle forze – Somma pesata delle coordinate di ciascun

punto (il peso è la massa associata)

i i i i i ii i iG G G

x m g y m g z m gx y z

mg mg mg

Se le masse associate ad ogni punto sono identiche, il baricentro diviene

una sola proprietà geometrica

1 2 3 1 2 3 1 2 33

3 3 3G G

x x x y y y z z zx y z

Notare che in questo caso il baricentro coincide anche

con il baricentro del triangolo (incrocio mediane)

Se si considera i corpi continui come insieme di infiniti punti materiali, le

sommatorie si trasformano in integrali

V V V

G G G

x dV y dV z dV

x y zm m m

Nel caso di copri omogenei (ρ = cost) V V V

G G G

x dV y dV z dV

x y zV V V

Per una sezione piana, infine

A A A

G G G

x dA y dA z dAx y z

A A A

Momenti statici di sezioni [L3] x yA A

S y dA S x dA

Confrontando con le precedenti, si evince che y x

G G

S Sx y

A A

Se ne deduce che se il sistema di riferimento ha per origine G (0,0), i momenti

statici sono nulli qualunque sia l’orientazione degli assi

Esempio 1: rettangolo

2

0

1

2

h

xA

S y dA by dy bh

2

0

1

2

b

yA

S x dA hx dx hb

Il baricentro:

1

2Gx h

1

2Gy b

G

Esempio 2: triangolo

2

0

1

6

h

xA

h yS y dA y b dy bh

h

Dal teorema di Talete: h y

l y bh

Riferimento appoggiato sulla base b

L’ordinata del baricentro:

Esempio 3: semicerchio ( , ) dA r r d dr

0

0

sin

R

xA

S y dA r r d dr

2 3

00

2cos

3

R

xS r dr R

1

3Gy h

3

2

2 3 1

1 2 3

xG

S Ry R

A R

L’ordinata del baricentro:

I momenti statici sono grandezze algebriche (con segno) e sono additivi

Una figura complessa può essere

calcolata suddividendola in elementari

In particolare il baricentro può essere calcolato facendo una media

delle coordinate di ciascun baricentro - pesata dalle aree stesse

3

1 30 10 5 1500 xS mm

G 3

1 30 10 15 4500 yS mm

3

2 15 20 20 6000 xS mm

3

2 15 20 7.5 2250 yS mm

Area 1

Area 2

Oppure sommando i momenti statici

e dividendo per l’area risultante

4500 2250

11.25 300 300

Gx mm

1500 600012.50

300 300Gy mm

Momenti d’inerzia di sezioni [L4]

Questi ultimi non sono altro che

momenti statici del II ordine 2 2 x y

A A

J y dA J x dA

I momenti d’inerzia sono

sempre positivi

Anche i momenti di inerzia

godono dell’additività

Si può anche definire un momento del II ordine misto (x-y) mom. centrifugo

xy

A

J xy dA Il momento centrifugo misto ha segno

Può anche essere nullo (ad esempio se anche uno solo

degli assi cartesiani è asse di simmetria)

3

22 2

2

12

h

xh

A

b hJ y dA y bdy

3

22 2

2

12

b

yb

A

h bJ x dA x hdx

2 2

2 2 0

h b

xyh b

A

J xy dA xdx ydy

Momenti d’inerzia polare [L4]

È un momento del II ordine calcolato

utilizzando un sistema di coordinate polari

2 p

A

J r dA

Si calcolare noti i momenti d’inerzia utilizzando la semplice relazione

2 2 2r x y p x yJ J J

Per una sezione rettangolare, ad esempio: 2 21

12pJ bh b h

Per una sezione circolare è più agevole calcolare Jp e poi desumere Jx e Jy

2 4 4

02

2 32

R

pJ r rdr R D

4 4

2 4 64

p

x y

JJ J R D

Leggi per il trasporto dei momenti d’inerzia

O

O

O

X x X

Y y Y

Su un nuovo SdR (XY) spostato

di O di coordinate XO YO:

2 2 2 2X O O O

A A A A

J y Y dA y dA Y dA Y ydA

22X x O x OJ J Y S Y A 22Y y O y OJ J X S X A

XY O O xy O y O x O O

A

J x X y Y dA J X S Y S X Y A Momento

centrifugo:

Se il riferimento xy ha per origine il baricentro (O G), le trasformazioni sono:

2

2

g

g

g

X x G

Y y G

XY xy G G

J J Y A

J J X A

J J X Y A

L’utilità di queste trasformazioni è notevole, in

quanto il calcolo dei momenti di inerzia si semplifica

molto suddividendo la sezione in parti elementari,

ciascuna delle quali viene sommata dopo averla

riportata al baricentro dell’intera struttura

Trasformazioni di Huygens

23 4

1

130 10 12.5 5 300 19375

12xJ mm

12.50

23 4

2

115 20 10 10 12.5 300 26875

12xJ mm

2

1 2 46250 x x xJ J J mm

23 4

1

110 30 15 11.25 300 26718

12yJ mm

2

1 2 36561 y y yJ J J mm

23 4

2

120 15 11.25 7.5 300 9843

12yJ mm

4

1 0 15 11.25 12.5 5 300 8437 xyJ mm

4

2 0 11.25 7.5 20 12.5 300 8437 xyJ mm

2

1 2 16875 xy xy xyJ J J mm

N.B. Jxy risulta negativo

perché la figura si

sviluppa soprattutto nel II

e IV quadrante (ove xy è

negativo)

Raggi di inerzia (o raggi giratori)

Si tratta della lunghezza che soddisfa le seguenti relazioni:

2 xx x x

JJ r A r

A 2 y

y y y

JJ r A r

A 2 p

p p p

JJ r A r

A

Anche qui vale la 2 2 2

p x yr r r

Si noti che il raggio di girazione di un cerchio non coincide con il suo raggio,

ma ad esso ridotto di un fattore 2

4

2

2

2giraz p

R Rr

R

Quindi il raggio di girazione di una sezione

rappresenta, se moltiplicato per , il raggio

di una sezione circolare che presenta il

medesimo momento di inerzia (diam. o pol.)

2

Momenti di inerzia Principali

Il concetto viene introdotto quando si prova a ruotare il sistema di riferimento

senza modificare le coordinate dell’origine, nel baricentro: solo orientamento

Dopo una rotazione θ, le nuove coordinate sono

cos sin

sin cos

x x y

y x y

Riscrivendo con tali condizioni i momenti di inerzia

2

2 2

' cos sin 2 sin cosx x y xy

A

J y dA J J J

2

2 2

' sin cos 2 sin cosy x y xy

A

J x dA J J J

2 2

' sin cos cos sinxy x y xy

A

J x y dA J J J

Ricordando le formule: sin2 2sin cos

2 2cos2 cos sin

E aggiungendo e togliendo uguali quantità per raggrupparle

' cos2 sin22 2

x y x y

x xy

J J J JJ J

' cos2 sin22 2

x y x y

y xy

J J J JJ J

' sin 2 cos22

x y

xy xy

J JJ J

I valori dipendono dalla rotazione del sistema di riferimento. Per particolari

direzioni si può avere che il momento centrifugo si annulla

Tali direzioni vengono dette Principali, e i momenti di inerzia Jx e Jy

momenti principali di inerzia

' sin2 cos2 02

x y

xy xy

J JJ J

2tan 2

xy

y x

J

J J

Nel caso della sezione ad L in precedenza calcolata:

2 168751tan 37

2 36561 46250arc