Prof. Ucciardo S. I.T.N. “La Pira”

Funzioni reali notevoli : la rettaFunzioni reali notevoli : la rettaFunzioni reali notevoli : la rettaFunzioni reali notevoli : la retta

La funzione polinomiale di primo gradofunzione polinomiale di primo gradofunzione polinomiale di primo gradofunzione polinomiale di primo grado è di estrema importanza per tutta la matematica. Il suo

studio è quindi basilare.

La caratteristica principale della funzione polinomiale di primo grado è che il suo graficograficograficografico, in un

sistema di coordinate cartesiane ortogonali, è una rettarettarettaretta.

01 01 01 01 ---- La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta. La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta. La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta. La funzione polinomio di primo grado rappresenta una retta.

La funzione più semplice (fra quelle esprimibili con formule matematiche) è sicuramente il

polinomiopolinomiopolinomiopolinomio

di primo gradodi primo gradodi primo gradodi primo grado nella variabile indipendente x :

dove m e p sono due numeri reali (detti anche parametriparametriparametriparametri) dati a priori e non variabili.

Per esempio, se m = 2 e p = 1 , avremo :

y = 2x + 1 .

Proviamo ora a disegnare il grafico di questa funzione per punti usufruendo dello schema :

in cui i valori della y sono ottenuti sostituendo alla x i valori di comodo indicati a sinistra.

Se poniamo i punti così ottenuti sul piano cartesiano otteniamo una retta :

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(anche i punti intermedi ai punti individuati dallo schema appartengono alla retta !!).

E' semplice intuire che ogniogniogniogni funzione polinomio di primo gradopolinomio di primo gradopolinomio di primo gradopolinomio di primo grado ha per grafico una rettarettarettaretta.

Si dice allora che la funzione , il cui grafico è una retta, è l'equazione della rettaequazione della rettaequazione della rettaequazione della retta

stessa.

Vediamo ora il significato geometrico dei parametri m e p .

Consideriamo la retta "generica" (di equazione) dove, come al solito, m e p sono

parametri prefissati. Proveremo a disegnarla in maniera altrettanto generica, senza dare valori

particolari ai parametri m e p . Per fare questo, siccome una retta è individuata da soli dueindividuata da soli dueindividuata da soli dueindividuata da soli due

puntipuntipuntipunti, diamo alla x i due valori "semplici" 0 ed 1 e li sostituiamo per ricavare la y .

Otteniamo

allora le coppie ordinate indicate nello schema :

che, riportate su piano, ci forniscono :

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dove abbiamo indicato con A il punto (0 , p) e con B il punto (1 , m + p) .

Abbiamo, cosa molto importante, anche tracciato la perpendicolare da A (così come indicato in

figura)

ottenendo il punto H e di conseguenza il triangolo AHB rettangolo in H .

La prima cosa che si nota osservando il grafico è che il parametro p rappresenta l'ordinata del

punto

della retta di ascissa 0 . Per questo motivo il parametro p viene detto ordinata all'origineordinata all'origineordinata all'origineordinata all'origine della

retta.

Il significato di m è un po' meno immediato ma di grande importanza. Se consideriamo il

rapporto

fra il cateto BH ed il cateto AH , notiamo che esso vale m (essendo BH = m ed AH = 1 ).

Tale

rapporto rappresenta la pendenzapendenzapendenzapendenza della retta (la pendenza indicata nei cartelli stradali è calcolata

nello

stesso modo !!). Maggiore è il valore di m , maggiore è la pendenza della retta. Nell'esempio la

pendenzapendenzapendenzapendenza

è positivapositivapositivapositiva e corrisponde ad un m positivo.

Il parametro m è legato quindi all'angolo α indicato in figura :

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per questo motivo, esso è chiamato coefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolare della retta.

Il procedimento qui indicato per mostrare il significato geometrico di m e p , può essere

utilizzato

per disegnare "velocemente" una retta. Data l'equazione di una retta, si pone subito sul grafico

l'ordinata all'origine, quindi si "avanza" di 1 a destra e si "sale" di un valore pari ad m . Così

si sono determinati due punti per cui tracciare la retta.

Occorre subito notare che se m fosse negativo, invece di "salire" si dovrà "scendere" ed in

questo

caso la pendenzapendenzapendenzapendenza sarebbe negativanegativanegativanegativa. Per esempio :

Se m vale 0 la pendenzapendenzapendenzapendenza è nullanullanullanulla e la retta è parallela all'asse delle x . In questo caso

l'equazione

della retta si riduce a :

y = p .

Graficamente :

Cosa succede se l'angolo α è un angolo retto ? In questo caso la pendenzapendenzapendenzapendenza è infinitainfinitainfinitainfinita ed m ,

dato dal rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale (non essendoci più nessun cateto)

non

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può essere fatto, non assume alcun valore reale.

La cosa potrebbe essere vista come passaggio alpassaggio alpassaggio alpassaggio al limite limite limite limite partendo da una certa pendenza ed

aumentandola progressivamente. Si vede così che il parametro m tende all'infinito. Per questo

motivo si dice che la pendenza è infinita :

Il rapporto fra i cateti BH , B'H , B''H ecc. ed il cateto AH , che vale 1 , tende quindi

all'infinito.

Abbiamo così scoperto che non tuttenon tuttenon tuttenon tutte le rette del piano sono rappresentabili da una funzione del

tipo

. Le rette di equazione x = k :

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dove k è un numero reale qualunque, sono rette parallele all'asse delle y . Queste rette sono

formate dai soli punti di ascissa x = k . Queste rette non rappresentano neppure una funzione

perché una funzione, per essere tale, deve avere una sola immagine per ogni valore di x . In

questo

caso, per il solo valore x = k corrispondono infiniti valori di y !!

Riassumendo, al variare di m si hanno tutte le rette del piano :

eccetto quelle parallele all'asse delle y di equazione x = k .

02 02 02 02 ---- Esempi di rette. Esempi di rette. Esempi di rette. Esempi di rette.

La funzione :

rappresenta tutte le rette del piano con eccezione delle rette verticalitutte le rette del piano con eccezione delle rette verticalitutte le rette del piano con eccezione delle rette verticalitutte le rette del piano con eccezione delle rette verticali (parallele all'asse

delle y ). Tali rette verticali non possono essere il grafico di alcuna funzione e sono descritte

dall'equazione :

x = k

dove k è un numero reale qualunque.

Diamo qui alcuni esempi di rette del piano :

- 1 -

L'ordinata all'origine è p = -1 ed il coefficiente angolare è m = 2 per cui :

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Si noti che la pendenza della retta è positiva.

- 2 -

L'ordinata all'origine è p = 1 ed il coefficiente angolare è m = -1/3 per cui :

Si noti che la pendenza della retta è negativa.

- 3 -

L'ordinata all'origine è p = 0 (infatti è come fosse scritto ) ed il

coefficiente

angolare è m = -1/4 per cui :

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La pendenza della retta in questo caso è negativa. Si noti anche il fatto molto

importante

che se una retta è priva di ordinata all'originepriva di ordinata all'originepriva di ordinata all'originepriva di ordinata all'origine, ovvero si ha p = 0 , essa passa perpassa perpassa perpassa per

l'originel'originel'originel'origine.

- 4 - y = x

L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = 1 (è come fosse

scritto

y = 1·x + 0) per cui :

Si noti che la retta ha pendenza positiva, passa per l'origine ed è bisettrice delbisettrice delbisettrice delbisettrice del I I I I e e e e

IIIIIIIIIIII

quadrantequadrantequadrantequadrante (i quadranti si contano in senso antiorario a partire da quello

corrispondente

ai semiassi positivi del sistema di assi cartesiani).

- 5 - y = -x

L'ordinata all'origine è p = 0 ed il coefficiente angolare è m = -1 per cui :

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Si noti che la retta ha pendenza negativa, passa per l'origine ed è bisettrice delbisettrice delbisettrice delbisettrice del II II II II e e e e

IVIVIVIV

quadrantequadrantequadrantequadrante.

- 6 - rette y = 2 ; y = -1 ; y = 0

Si tratta di rette con coefficiente angolare nullo ( m = 0 , perché sarebbe come

scrivere

y = 0·x + 2 ; y = 0·x - 1 ; y = 0·x + 0 ) ed ordinata all'origine p = 2 ; p = -1 ; p = 0

rispettivamente per cui (in un solo grafico) :

Si noti che sono tutte rette con pendenza nulla e perciò parallele all'asse delle x . Si

noti anche che la funzione y = 0y = 0y = 0y = 0 corrisponde all'asse delleasse delleasse delleasse delle x x x x .

Le rette di equazione y = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette

parallele all'asse delle x . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi

di punti del piano che hanno tutti la stessa ordinata k .

- 7 - rette x = -2 ; x = 0 ; x = 3

Si tratta di rette non rappresentabili dall'equazione ma che, data la loro

importanza, trattiamo ugualmente come rette di equazione x = k (dove k è un

numero

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reale qualunque). I loro grafici sono :

Si noti che sono tutte rette con pendenza infinita e perciò parallele all'asse delle y .

Si

noti anche che l'equazione x = 0x = 0x = 0x = 0 corrisponde all'aaaasse dellesse dellesse dellesse delle y y y y .

Le rette di equazione x = k (dove k è un numero reale qualunque) sono tutte rette

parallele all'asse delle y . Tali rette possono essere viste anche come quegli insiemi

di

punti che hanno tutti la stessa ascissa k .

03 03 03 03 ---- Rette passanti per un punto. Rette passanti per un punto. Rette passanti per un punto. Rette passanti per un punto.

Consideriamo il punto Q del piano cartesiano le cui coordinate sono e chiediamoci

quante rette passano per esso. La risposta è (ovviamente) : infinite.

Quale sarà allora l'equazioneequazioneequazioneequazione di unadi unadi unadi una generica rettagenerica rettagenerica rettagenerica retta passante per il punto ?

Proponiamoci

di trovare una formula che valga per tutte le rette passanti per Q .

Partiamo dalla nota equazione di una qualsiasi retta del pianoqualsiasi retta del pianoqualsiasi retta del pianoqualsiasi retta del piano (con esclusione delle rette

verticali) :

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dove m è il coefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolare e p l'ordinata all'origineordinata all'origineordinata all'origineordinata all'origine della retta (le rette verticali, non

descritte dalla suddetta equazione, verranno trattate a parte).

Una tale retta del piano può passare o non dal punto Q :

Per esempio, le rette r ed s non passano per Q mentre la retta t vi passa.

Quand'è (algebricamentealgebricamentealgebricamentealgebricamente parlando) che una generica retta del piano passa per il

punto ? La risposta è molto semplice e di fondamentale importanzafondamentale importanzafondamentale importanzafondamentale importanza :

una retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, seuna retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, seuna retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, seuna retta passa per un punto o, che è la stessa cosa, un punto giace su una retta, se

le le le le coordinate di quel punto coordinate di quel punto coordinate di quel punto coordinate di quel punto soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).soddisfano l'equazione della retta (e viceversa).

L'importanza di questa affermazione è capitale perché essa è estendibile a qualunque tipo diestendibile a qualunque tipo diestendibile a qualunque tipo diestendibile a qualunque tipo di

curvacurvacurvacurva (non solo alle rette) per cui ritorneremo moltissime volte su questo concetto.

Sostituendo i valori nell'equazione della retta generica otteniamo allora :

.

D'altra parte, se il punto Q non stesse sulla retta, sostituendo nella equazione della retta x con

non potremmo ottenere :

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Nell'esempio grafico, sostituendo nella x dell'equazione della retta r il valore

otteniamo ,

mentre per la retta s otteniamo (che qui sono diversi da ).

Dalla relazione trovata sopra imponendoimponendoimponendoimponendo il passaggio della retta generica per il

punto Q possiamo ricavare la p :

che possiamo poi sostituire nell'equazione (poniamo al posto della p )

ottenendo :

.

Portando entrambe le y a sinistra dell'uguale si ottiene :

ed, infine, raccogliendo la m , si perviene a :

.

Questa è l'equazione cercata. Essa rappresenta l'equazione di una retta qualunque passante per

il

punto (con l'eccezione della retta verticale).

Che dire della (unica) retta verticale passante per Q ?

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Essa avrà equazione :

.

Facciamo ora un esempio.

Consideriamo il punto . L'equazione di una generica retta passante per Q sarà allora :

ovvero, semplificando l'espressione :

.

Graficamente :

dove abbiamo tracciato una retta a caso passante per Q .

Occorre sottolineare che nell'equazione della generica retta passante per un

punto, oltre alle coordinate del punto stesso è presente il coefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolare m della retta inininin

manieramanieramanieramaniera non definitanon definitanon definitanon definita. Questo sta a significare che, fissato un punto, le rette che vi passano si

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distinguono per la ppppendenzaendenzaendenzaendenza, ovvero per il coefficiente angolare (legato all'angolo che la retta

compie con l'asse delle x ).

04 04 04 04 ---- V V V Verifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.erifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.erifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.erifica dell'esattezza dell'equazione di una retta passante per un dato punto.

L'equazione della retta generica passante per il punto è :

.

Una verifica diretta dell'esattezza di questa equazione la possiamo ottenere applicando il

principio

generale sopra esposto secondo il quale una retta passa per un punto se le sue coordinate

soddisfanosoddisfanosoddisfanosoddisfano

l'equazione della retta.

Perché la retta passi per il punto deve succedere che le

coordinate

di Q , sostituite nell'equazione della retta, la soddisfino. Soddisfare una equazione significa che

ciò

che è scritto alla sinistra dell'uguale è esattamente uguale a ciò che è scritto alla destra

dell'uguale.

Proviamo allora a sostituire nella x ed nella y . Otterremo allora :

ovvero :

cioè :

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0 = 0 .

Ecco che allora l'equazione è soddisfatta. Ciò significa che la retta passa per

il

punto .

05 05 05 05 ---- Retta passante per due punti. Retta passante per due punti. Retta passante per due punti. Retta passante per due punti.

Dati due punti distintidue punti distintidue punti distintidue punti distinti dello spazio (ed in particolare del piano) per essi passa una sola rettasola rettasola rettasola retta.

Questa è una nota ed importante affermazione della geometria euclidea. Proponiamoci di

trovane

l'equazione equazione equazione equazione di questa retta.

Siano dati allora i punti e del piano cartesiano :

e sia r la retta (unica) passante per essi :

Per trovare l'equazione della retta r si può procedere nel seguente modo :

- 1 - si prende l'equazione della retta generica che passa per P :

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e che vale :

.

- 2 - si obbliga tale retta a passare anche per Q . Per fare questo basta imporre che le

coordinate di Q soddisfino l'equazione della retta scritta sopra. Basta cioè che sia :

(abbiamo utilizzato il fondamentale prinfondamentale prinfondamentale prinfondamentale principiocipiocipiocipio, estendibile a qualunque tipo di curva,

secondo il quale un punto sta su di una retta se le sue coordinante soddisfano

l'equazione della retta) .

- 3 - si ricava il coefficiente angolare m ottenendo :

(per fare questo abbiamo diviso ambo i membri dell'uguaglianza per ).

- 4 - si sostituisce il valore di m così trovato nell'equazione ottenendo :

.

- 5 - per scrivere la formula in un modo più consono si dividono ambo i membri per

prevenendo così alla formula :

.

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Questa è l'equazione cercata : l'equazioequazioequazioequazione della retta passante per due puntine della retta passante per due puntine della retta passante per due puntine della retta passante per due punti.

Essa, come è giusto che sia essendo la retta da essa rappresentata unica, non contiene nessunnessunnessunnessun

parametroparametroparametroparametro indeterminato indeterminato indeterminato indeterminato (altra lettera che rappresenta un numero che può variare), ma è

funzione delle sole coordinate dei punti P e Q , punti che sono dati a priori come conosciuti.

Si noti la simmetria e l' "eleganza" di questa formula che converrà imparare a memoria (data la

sua

semplicità) perché la useremo moltissime volte così come useremo continuamente l'equazione

della

retta generica e quella della retta passante per un punto.

Riassumendo, l'equazione della retta generica del piano (escludendo le rette verticali) è :

,

l'equazione della retta generica passante per il punto è :

,

l'equazione della retta passante per i due punti e è :

.

Come esempio di applicazione di quest'ultima formula ci riferiamo ad un problema molto

comune

di fisica (specificatamente di cinematica).

06 06 06 06 ---- Esempio di retta passante p Esempio di retta passante p Esempio di retta passante p Esempio di retta passante per due punti in fisica.er due punti in fisica.er due punti in fisica.er due punti in fisica.

Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniformemoto rettilineo uniformemoto rettilineo uniformemoto rettilineo uniforme. Supponiamo che al tempo t = 1 il corpo

si trovi nello spazio s = 2 e poi al tempo t = 3 si trovi nello spazio s = 7 (i tempi siano

misurati

come al solito in secondi e gli spazi in metri). Graficamente :

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Possiamo riportare questi dati in un diagramma tempo-spazio :

Siccome il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è una rettarettarettaretta (essendo la velocità del

corpo,

ovvero la pendenza del diagramma orario, costante in ogni punto) e siccome questa retta deve

passare

per i punti A e B :

potremo scrivere (avendo sostituito (nella formula di riferimento della retta per due punti) s al

posto

di y e t al posto di x ) :

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e, sostituendo i valori numerici :

.

Facendo i calcoli si ottiene :

.

Moltiplichiamo ora ambo i membri per 5 e per 2 :

e semplifichiamo :

.

Dividiamo ambo i membri per 2 :

e semplifichiamo :

.

Sommiamo 2 ad entrambi i membri :

e semplifichiamo :

.

Moltiplichiamo, distribuendo, a destra dell'uguale :

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e semplifichiamo :

.

Questa è l'equazione della retta e ridotta ai minimi termini.

Come verifica del risultato trovato notiamo che il coefficiente angolare è e l'ordinata

all'origine

è e questo corrisponde abbastanza bene col grafico (l'imprecisione sull'ordinata all'origine

dipende dal fatto che il grafico è stato disegnato a mano libera) :

07 07 07 07 ---- Esercizi sulle rette per un Esercizi sulle rette per un Esercizi sulle rette per un Esercizi sulle rette per un punto e per due punti. punto e per due punti. punto e per due punti. punto e per due punti.

- 1 - sia dato sul piano cartesiano il punto . Trovare l'equazione della generica

retta

passante per esso.

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Partendo dalla formula generale di una retta passante per un punto :

e sostituendo le coordinate di P otteniamo :

che, eseguita la moltiplicazione, diventa :

ovvero, sommando ambo i membri per -2 :

.

Questa è l'equazione cercata. Essa esprime tutte le rette che passano per P eccetto,

come ben sappiamo, la retta verticale x = -1 che va considerata a parte (vedi più

avanti).

Prendiamo ora fra queste infinite rette quella che ha coefficiente angolare uguale ad

1 .

Siccome il coefficiente angolare della generica retta trovata sopra è m , la sua

equazione,

sostituendo m = 1 , sarà :

con il suo grafico :

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Prendiamo ora fra le infinite rette passanti per P quella con ordinata all'origine

uguale a 2 .

Siccome l'ordinata all'origine della generica retta trovata sopra è p = m - 2 ,

scriveremo :

m - 2 = 2

da cui troviamo m = 4 . Sostituendo nell'equazione della retta generica che passa

per P

avremo :

ovvero :

il cui grafico è :.

Infine si trovino la retta orizzontale passante per P e quella verticale (sempre

passante per P ).

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Le loro equazioni sono rispettivamente y = -2 ed x = -1 ed i loro grafici sono :

- 2 - trovare la retta passante per i punti e .

L'equazione della retta che passa per due punti è :

.

Sostituendo in essa le coordinate di P e Q si trova direttamente :

cioè :

che si riduce, moltiplicando ambo i membri per -3 , a :

da cui si ricava (sommando 2 ad ambo i membri) :

.

Questa è l'equazione della retta cercata ed il suo grafico è :

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08 08 08 08 ---- Rette parallele. Rette parallele. Rette parallele. Rette parallele.

Consideriamo due rette parallelerette parallelerette parallelerette parallele sul piano cartesiano. Le loro equazioni siano :

e :

ed i loro grafici siano :

Perché queste due rette siano parallele occorre che abbiano la stessa pendenzastessa pendenzastessa pendenzastessa pendenza e quindi lo stessostessostessostesso

coefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolarecoefficiente angolare :

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Scriveremo allora che, se due rette sono paralleleparalleleparalleleparallele, vale la semplice uguaglianza :

.

Questa affermazione vale anche all'incontrario. Se vale la relazione su scritta, allora le rette

sono

parallele.

Se le rette fossero verticaliverticaliverticaliverticali, esse non sarebbero rappresentate da equazioni del tipo ,

ma da equazioni del tipo :

dove k è un numero reale qualunque. Graficamente :

( k e k' sono due numeri qualunque)

In questo caso è ovvio che le rette sono sempre parallele.

Esempi di rette parallele :

e ,

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e .

Come ulteriore esempio, consideriamo il punto e la retta r di equazione . Si

trovi la retta passante per il punto P e parallela alla retta r .

La generica retta passante per P ha equazione :

(abbiamo utilizzato la nota formula della retta generica passante per un

punto).

Perché questa retta sia parallela alla retta data r essa deve avere il suo stesso coefficiente

angolare,

cioè deve essere :

.

Avremo quindi :

che è l'equazione della retta cercata (lasciamo al lettore la semplificazione della formula).

Graficamente :

09 09 09 09 ---- Rette perpendicolari. Rette perpendicolari. Rette perpendicolari. Rette perpendicolari.

Il caso di rette perpendicolarirette perpendicolarirette perpendicolarirette perpendicolari è molto importante ed anche esso porta ad una semplice relazione

fra i coefficienti angolaricoefficienti angolaricoefficienti angolaricoefficienti angolari.

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Fra tutte le rette perpendicolari del piano cartesiano :

ne consideriamo due , r ed s (perpendicolari fra loro), che si incontrano nel centro degli assi 0

. Le

considerazioni che faremo su queste due rette perpendicolari particolari e la formula che

ricaveremo

sono estendibili a qualsiasi altra coppia di rette perpendicolari del piano cartesiano. Per

comodità

consideriamo anche una circonferenza anch'essa con centro in 0 e di raggio qualsiasi :

Consideriamo ora le proiezioni ortogonali delle intersezioni delle due rette con la circonferenza

come

indicato in figura :

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Da grafico si vede bene che i punti P e Q hanno rispettivamente le coordinate e

.

Le equazioni delle due rette r ed s saranno allora :

per r

ed :

per s

essendo i due coefficienti angolari rispettivamente e e le ordinate all'origine entrambe

nulle

(le rette passano per il centro 0 ).

Osservando i due coefficienti angolari notiamo che il loro prodottoprodottoprodottoprodotto è sempre uguale a -1 :

qualunque siano i valori di a e b .

Abbiamo allora trovato la regola a cui soddisfano i coefficienti angolari di due rette

perpendicolari :

essi, moltiplicati fra loro, devono dare comessi, moltiplicati fra loro, devono dare comessi, moltiplicati fra loro, devono dare comessi, moltiplicati fra loro, devono dare come risultato il numeroe risultato il numeroe risultato il numeroe risultato il numero ----1111 .

Due rette generiche del piano, e , quindi, sono perpendicolariperpendicolariperpendicolariperpendicolari se e

solo

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se vale la relazione :

.

(l'allocuzione "se e solo se" significa che l'affermazione è valida nei due sensi, cioè, se le rette

sono perpendicolari allora vale la relazione, viceversa, se vale la relazione allora le rette sono

perpendicolari).

Nel caso in cui una delle due rette sia verticaleverticaleverticaleverticale, allora una sua perpendicolare è sicuramente

orizzontaleorizzontaleorizzontaleorizzontale. Nel primo caso, l'equazione della retta è nel secondo caso è :

dove k e k' sono numeri reali qualsiasi.

Esempi di rette perpendicolari sono :

e

e

e .

10 10 10 10 ---- Punto di intersezione fra due rette. Punto di intersezione fra due rette. Punto di intersezione fra due rette. Punto di intersezione fra due rette.

Consideriamo due rette distintedue rette distintedue rette distintedue rette distinte sul piano cartesiano. Esse, se non sono parallele, si incontrano

in un punto, detto punto di intersezionepunto di intersezionepunto di intersezionepunto di intersezione. Proponiamoci di trovare le coordinate di quel punto a

partire dalle equazioniequazioniequazioniequazioni delle due rette.

Per fare questo utilizziamo una delle proprietà fondamentaliproprietà fondamentaliproprietà fondamentaliproprietà fondamentali dell'analisi matematica :

un punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazioneun punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazioneun punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazioneun punto sta su una curva se e solo se le sue coordinate soddisfano l'equazione

della curva.della curva.della curva.della curva.

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Il principio qui esposto è valido per una curva qualunque. Nel nostro caso abbiamo due rette di

equazione :

e :

che si incontrano nel punto P :

Le coordinate del punto P dovranno allora soddisfaresoddisfaresoddisfaresoddisfare entrambe le equazioniequazioniequazioniequazioni delle rette.

Questo significa che le coordinate del punto P , sostituite nelle equazioni

e , devono far sì che le uguaglianze siano verificate. AltriAltriAltriAltri punti del piano, se

sostituiti nelle due equazioni, non le soddisfano contemporaneamentesoddisfano contemporaneamentesoddisfano contemporaneamentesoddisfano contemporaneamente.

Quanto affermato si esprime matematicamente col fare il sistesistesistesistemamamama fra le due equazioni :

.

Fare il sistema fra due equazioni in due incognite (la x e la y ) significa, in generale, trovaretrovaretrovaretrovare le

coppie di numeri che soddisfanosoddisfanosoddisfanosoddisfano entrambeentrambeentrambeentrambe le equazioni. Nel nostro caso si tratta di un

sistema di primoprimoprimoprimo ggggradoradoradorado (in quanto le incognite x ed y sono elevate all'esponente 1 , anche

se esso non viene scritto) per cui la soluzione , se c'è, è una solauna solauna solauna sola.

Per risolvere questo sistema di primo grado si procede in maniera molto semplice. Basta

uguagliare

le y , ovvero le due espressioni contenti la x . Fatto questo, di ottiene una equazione nella sola

x ,

risolta la quale si trova il valore della medesima. Per ottenere la y basta sostituire il valore

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della x

precedentemente trovato in una delle due equazioni che formano il sistema e fare i calcoli.

Mostriamo tutto questo con un esempio.

Siano date nel piano cartesiano le due rette :

e :

.

I loro grafici sono :

Per trovare le coordinate del punto di intersezione P basta risolvere il sistema :

.

Per fare questo uguagliamo le y :

ottenendo così una semplice equazione di primo grado nella sola incognita x .

Portiamo ora i termini in x a sinistra dell'uguale ed i termini noti a destra. Per fare questo

sommiamo

ad ambo i membri il temine 3x ed il numero 1 :

da cui, semplificando, si ottiene :

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.

Per ricavare la x basta dividere ambo i membri per 5 ottenendo così :

.

Abbiamo in questo modo ricavato la x , cioè l'ascissa del punto di intersezione P .

Per ricavare l'ordinata y basta sostituire il valore appena trovato in una delle due equazioni,

per

esempio la prima. Abbiamo allora :

.

Le coordinate del punto P sono allora :

.

Si noti che questo risultato è coerentecoerentecoerentecoerente con il grafico disegnato sopra. E' sempre conveniente

verificare i risultati ottenuti matematicamente con i grafici disegnati. Ciò costituisce una

verificaverificaverificaverifica

empirica ma efficace. Se avessimo ottenuto risultati non corrispondenti al grafico, potremmo

affermare con sicurezza che o abbiamo commesso errori nel procedimento matematico o

errori nel disegnare il grafico e quindi regolarci di conseguenza.

11 11 11 11 ---- Distanza da un punto ad una retta. Distanza da un punto ad una retta. Distanza da un punto ad una retta. Distanza da un punto ad una retta.

Invece di impostare il problema della determinazione della distanzadistanzadistanzadistanza da un punto ad una rettada un punto ad una rettada un punto ad una rettada un punto ad una retta

in modo generale, così da ricavarne una formulaformulaformulaformula da applicare ogni volta, riproponiamoci di

mostrarne la soluzione con un esempioesempioesempioesempio particolare.

Siano dati sul piano cartesiano il punto e la retta r di equazione .

Si trovi la distanzadistanzadistanzadistanza fra il punto P e la suddetta retta r .

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La distanza dal punto P alla retta r è uguale alla lunghezzalunghezzalunghezzalunghezza del segmento PH ottenuto

tracciando

la retta s passante per P e perpendicolareperpendicolareperpendicolareperpendicolare alla retta r .

Il problema allora si riduce nel trovare il punto H perché, una volta conosciute le coordinate

di H ,

siamo in grado di calcolare la lunghezza del segmento PH utilizzando il teteteteorema di Pitagoraorema di Pitagoraorema di Pitagoraorema di Pitagora

applicandolo al triangolo rettangolo PHK indicato in figura :

Per individuare il punto H basta fare l'intersezioneintersezioneintersezioneintersezione fra la retta data r e la retta s

perpendicolare

ad essa passante per P .

Della retta r già conosciamo l'equazione. Come ricavare l'equazione della retta perpendicolare

s ?

Per fare questo partiamo dall'equazione della gegegegenericanericanericanerica retta t passantepassantepassantepassante per P :

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che, essendo la formula della retta passante per un punto , sostituendo le

coordinate di P , risulta essere :

.

La generica retta t passante per P non è in generale perpendicolare alla retta data s . Perché

la retta r e la retta t siano perpendicolari occorre che il prodotto dei loro coefficienti angolari

sia -1 . Essendo il coefficiente angolare di r pari a 2 , il coefficiente angolare di s sarà allora

(la retta generica t quando è perpendicolare alla retta r coincide con la retta s ).

Possiamo

allora affermare che l'equazione della retta s è :

.

Per determinare le coordinate del punto H basta fare il sistemasistemasistemasistema fra l'equazione della retta r e

l'equazione della retta s . Dovremo cioè risolvere il sistema :

.

Per fare questo basta sostituiresostituiresostituiresostituire semplicemente l'espressione corrispondente alla y della prima

equazione nella y della seconda.

Avremo quindi :

che rappresenta una equazione di primo grado in x risolta la quale otterremo l'ascissa del

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punto H .

Per risolvere l'equazione apportiamo le seguenti semplificazioni :

(abbiamo sommato ad ambo i membri 2 )

(abbiamo sommato ad ambo i membri )

(abbiamo moltiplicato ambo i membri per 2 )

(abbiamo diviso ambo i membri per 5 )

.

Questo valore della x rappresenta l'ascissa del punto H . Per trovare l'ordinata y basta

sostituiresostituiresostituiresostituire

questo valore per esempio nella prima equazione del sistema. Avremo perciò :

ovvero :

.

Le coordinate di H sono quindi :

.

Abbiamo ora tutti i dati per potere calcolare la lunghezza del segmento PH che rappresenta la

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distanza del punto P dalla retta r .

Consideriamo per questo il triangolo rettangolo PHK (rettangolo in K ) :

Il teorema di Pitagora afferma che :

per cui, estraendo la radice quadrata, si ottiene :

.

Siccome e , sostituendo, possiamo scrivere :

.

Eseguendo semplici calcoli otteniamo infine :

.

La distanza fra il punto P e la retta r è quindi :

.

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