CLASSE : VA E.T.A. 2007-2009

ALUNNO: Bovino Silvano

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

ANALISI DELLE COMPONENTI ARMONICHE DI UN SEGNALE AD ONDA TRIANGOLARE UNIPOLARE E DI UN

SEGNALE IMPULSIVO

Lo sviluppo in serie di fourier è un metodo che ci permette,dato un segnale periodico più o meno complesso, di

scomporlo in una somma di segnali sinusoidali chiamati armoniche, la cui frequenza è multipla di quella del segnale

f(t) e la cui ampiezza è decrescente.

La funzione che prendiamo in esame è un onda triangolare unipolare di ampiezza e periodo A e T, definiti. Nel caso

descritto lo sviluppo in serie di fourier si esplicita nell’espressione seguente:

f(t)=�

��

��

��∑ ��� ��

��∞��� ; per n dispari.

Solitamente le armoniche che vengono prese in considerazione vanno dalla 1a alla 7a, perché

queste ultime riescono a ricostruire abbastanza bene il segnale originale.

Nel caso in esame sono state prese in esame le armoniche:1a,3a,5a.

Applicando la formula precedente e dando alla nostra funziona ampiezza A= 10V e frequenza

f= 10KHZ,si ottengono i seguenti valori:

Frequenza([f]=Hz) Ampiezza([A]=V)

Componente continua(� �� ) 5

1A armonica 10 4,05

3A armonica 30 0,45

5A armonica 50 0,162

7° armonica 70 0,0827

I valori di frequenza delle singole armoniche sono ottenuti moltiplicando il numero

dell’armonica stessa per la frequenza del segnale originale(10KHz).

Sommando le armoniche ottenute, teoricamente si ottiene un segnale uguale a quello

originale. A livello pratico invece si ottiene un segnale quasi uguale all’originale perché come

ribadito non considereremo le armoniche successive alle 7a.Si intuisce subito che se

andassimo oltre la 7a armonica il segnale risultante sarebbe via via sempre più simile

all’originale. Se avessimo la possibilità di considerare tutte le armoniche fino all’infinitesima, il

segnale sarebbe ricostruito perfettamente. Questo non viene fatto perché le armoniche

trascurate, in campo pratico vengono filtrate dall’effetto di filtro dei canali di comunicazione,

che i tecnici realizzano dopo un attenta analisi del segnale.

Nel nostro caso è stato possibile effettuare l’analisi di fourier del segnale,sfruttando l’ambiente

software di PSpice:

Nella figura in basso è riportato il circuito elettrico realizzato in ambiente PSpice:

Fig.1 Circuito elettrico PSpice

Al generatore di tipo VPULSE sono stati assegnati i seguenti parametri:

DC AC V1 V2 TD TR TF PW PER

0 0 0 10 0 50u 50u 0,001u 100u

In seguito sono stati assegnati I seguenti valori di settaggio per poter effettuare l’analisi:

dal menu Analisys/Setup/Transient si pone: Print step = 0.2μs e Final time= 2us.

LEGENDA

DC Componente continua

AC

V1 Valore basso di tensione(picco inferiore)

V2 Valore alto di tensione (picco superiore)

TD Delay Time (Tempo di ritardo)

TR Rise Time (Tempo di salita)

TF Fall Time (Tempo di caduta o discesa)

PW Durata del livello alto di tensione

PER Periodo

Dopo aver salvato il progetto e aver creato la “netlist”

la simulazione pigiando il tasto F11 della tastiera

visualizzare il nostro segnale ad onda triangolare unipolare, come in

Fig.2 Onda triangolare

Successivamente si è visualizzato lo spettro in frequenza del segnale attraverso il menu

Trace/Fourier , ottenendo il risultato di fig. 3:

Fig. 3 Spettro di frequenza del segnale ad onda triangolare

Nella figura(Fig.3) è possibile notare le 4

Dopo aver salvato il progetto e aver creato la “netlist”, dal menu Analisys, si avvia

la simulazione pigiando il tasto F11 della tastiera. Nella schermata che si apre sarà possibile

nostro segnale ad onda triangolare unipolare, come in figura 2:

Fig.2 Onda triangolare unipolare

visualizzato lo spettro in frequenza del segnale attraverso il menu

Trace/Fourier , ottenendo il risultato di fig. 3:

di frequenza del segnale ad onda triangolare unipolare

a(Fig.3) è possibile notare le 4 armoniche principali di cui parlavamo

nostra analisi.

, si avvia

. Nella schermata che si apre sarà possibile

visualizzato lo spettro in frequenza del segnale attraverso il menu

unipolare

di cui parlavamo nella fase teorica della

Sempre attraverso Pspice siamo in grado di osservare

al segnale originale:ciò è possibile realizzando il seguente schema in cui il generatore V

compito di riprodurre le singole armonic

componente continua del segnale.

In figura 4 è rappresentato il circuito per la visualizzazione della 1° armonica insieme alla componente

continua.

L’onda generata dal circuito (ottenuta sempre tramite il menu analisys>

tastiera), è la seguente(Fig.5):

Sempre attraverso Pspice siamo in grado di osservare come tali armoniche, sommandosi diano origine

:ciò è possibile realizzando il seguente schema in cui il generatore V

armoniche prese in esame. Il generatore VDC invece costituirà la

Fig.4

In figura 4 è rappresentato il circuito per la visualizzazione della 1° armonica insieme alla componente

(ottenuta sempre tramite il menu analisys>simulate o tasto F11 della

Fig.5

come tali armoniche, sommandosi diano origine

:ciò è possibile realizzando il seguente schema in cui il generatore VSIN ha il

Il generatore VDC invece costituirà la

In figura 4 è rappresentato il circuito per la visualizzazione della 1° armonica insieme alla componente

simulate o tasto F11 della

Nella figura seguente(Fig.6), è riportato lo schema

sommata con la 3° armonica. Il tutto è possibile sommando 2 generatori, che

la 1a e la 3a armonica.

Di sotto nella Fig.7 è possibile notare l’onda risultante prodotta

1 e 3).

è riportato lo schema elettrico dove l’armonica precedente(Fig.5),viene

Il tutto è possibile sommando 2 generatori, che simulano

Fig.6

otare l’onda risultante prodotta dal circuito(la somma delle armoniche

Fig.7

dove l’armonica precedente(Fig.5),viene

simulano rispettivamente

dal circuito(la somma delle armoniche

Nella Fig.8 che segue è rappresentato lo schema

armoniche:I tre generatori VSIN simulano le armoniche 1

continua per originare il segnale iniziale(l’onda triangolare).

In Fig.9 è rappresentata l’onda generata dal circuito precedente,stavolta leggermente vicina ad un

segnale triangolare.

rappresentato lo schema del circuito elettrico che genera le prime 3

ori VSIN simulano le armoniche 1a-3a-5a e si sommano insieme alla componente

continua per originare il segnale iniziale(l’onda triangolare).

Fig.8

è rappresentata l’onda generata dal circuito precedente,stavolta leggermente vicina ad un

Fig.9

elettrico che genera le prime 3

e si sommano insieme alla componente

è rappresentata l’onda generata dal circuito precedente,stavolta leggermente vicina ad un

In fig.10 infine possiamo osservare il circuito finale dove i generatori VSIN simulano le armoniche 1

5-7 che vanno a sommarsi con la componente continua(VDC):

Infine in basso(Fig.11) si nota l’onda risultante delle 4 armoniche sinusoidali sommate tra di loro nel

Come si è potuto osservare nella Fig.11

compongono,vengono sommate,

ancora le altre armoniche successive alla 7

sempre maggiore, il segnale orig

Nel nostro caso effettuando l’analisi con fourier sino alla 7

forma in Fig.11, molto vicina a quella di un segnale triangolare.Concludendo possiamo affermare che, grazie a fourier possiamo ottenere la

del nostro segnale, che nel nostro

Questo dato può essere utile a livello pratico, ai tecnici, per la realizzazione e/o scelta

canale di comunicazione e delle sue proprietà.

In fig.10 infine possiamo osservare il circuito finale dove i generatori VSIN simulano le armoniche 1

on la componente continua(VDC):

Fig.10

Infine in basso(Fig.11) si nota l’onda risultante delle 4 armoniche sinusoidali sommate tra di loro nel

circuito.

Fig.11

Come si è potuto osservare nella Fig.11, il segnale, man mano che le armoniche che lo

, viene ricostruito. E’ facilmente intuibile

ancora le altre armoniche successive alla 7a sarebbe possibile ricostruire con precisione

sempre maggiore, il segnale originale, cioè il nostro segnale triangolare di Fig.2.

Nel nostro caso effettuando l’analisi con fourier sino alla 7a armonica il segnale assume la

forma in Fig.11, molto vicina a quella di un segnale triangolare. possiamo affermare che, grazie a fourier possiamo ottenere la

che nel nostro caso corrisponde a:

B=50KHz

Come si nota in Fig.3

e a livello pratico, ai tecnici, per la realizzazione e/o scelta

canale di comunicazione e delle sue proprietà.

In fig.10 infine possiamo osservare il circuito finale dove i generatori VSIN simulano le armoniche 1-3-

Infine in basso(Fig.11) si nota l’onda risultante delle 4 armoniche sinusoidali sommate tra di loro nel

il segnale, man mano che le armoniche che lo

viene ricostruito. E’ facilmente intuibile che aggiungendo

sarebbe possibile ricostruire con precisione

inale, cioè il nostro segnale triangolare di Fig.2.

armonica il segnale assume la

possiamo affermare che, grazie a fourier possiamo ottenere la Banda passante

e a livello pratico, ai tecnici, per la realizzazione e/o scelta del

Ora invece, ci apprestiamo ad analizzare come i parametri fondamentali di un segnale

periodico impulsivo influenzano in larga misura la sua banda e, più specificamente come il

variare del periodo t1(cioè dell’impulso)in confronto a T, quindi, il variare del duty cicle

influenzi sia la banda del segnale che la velocità di trasmissione dei simboli in un canale di

telecomunicazioni:

Fig.12

Nella figure che seguono sono raffigurati i segnali con duty cicle via via decrescente e i

rispettivi spettri in frequenza dei segnali(ottenuti sempre con il menu trace/fourier):

Nella figura 13 in basso vediamo il segnale impulsivo con th pari ad un decimo del periodo T

complessivo:

th=0,1T

Fig.13

Th=0,1T

Nella figura che segue invece è raffigurato lo spettro in frequenza del segnale(ottenuto

sempre con il menu trace/fourier):

Fig.14

Th=0,1T

Vediamo ora cosa accade se th, che ricordiamolo è la durata dell’impulso, diminuisce:nella

figura 15 è illustrato il segnale impulsivo con th pari ad un centesimo del periodo T

complessivo:

Fig.15

Th=0,01T

Nella figura in basso notiamo il corrispondente spettro in frequenza del segnale in fig.15:

Fig.16

Th=0,01T

Come si osserva(fig.16) si nota subito che la banda B è aumentata. Prima di giungere a

conclusioni vediamo ancora in ultimo cosa accade se th raggiunge un valore pari ad un

millesimo del periodo complessivo T:

Fig.17

Th=0,001T

In figura 18 si osservi lo spettro in frequenza che ne deriva:

Fig.18

Th=0,001T

Come si nota, applicando un impulso con duty cicle(� � ��/�) si ottengono gli spettri in frequenza illustrati. E’ evidente che, nel momento in cui l’impulso assume una durata via via

più piccola rispetto al periodo T, Vs cioè la velocità di trasmissione dei simboli

aumenta(Vs=1/Th).Essendo la banda del segnale direttamente proporzionale alla Vs secondo

la formula Vs=2B, con l’aumentare della Vs dovuto al diminuire di th,aumenterà di

conseguenza anche la banda del segnale.

In conclusione la scelta dei parametri di un segnale è fondamentale perché essi hanno

relazione con la velocità di trasmissione dell’informazione e quindi con la banda del segnale,

influenzando la quantità di informazioni che può fluire attraverso un canale di comunicazioni

nell’unità di tempo. Tali parametri sono fondamentali per rendere una comunicazione veloce e

intellegibile.