Forze di attrito viscoso

Durante le lezioni precedenti.. Per studiare i moti di caduta libera o qualsiasi moto possa avvenire nell’esperienza quotidiana.. Tra le condizioni imposte c’è stata sempre quella di “trascurare la resistenza dell’aria” La presenza dell’aria infatti da vita ad una “forza resistiva” o di attrito viscoso su un corpo in movimento che si oppone sempre al moto… ed è quindi diretta sempre in verso opposto al moto stesso. Questa forza aumenta all’aumentare della velocità del corpo ma la sua dipendenza dalla velocità è complessa ed è funzione di molti parametri In generale la forza di attrito viscoso viene descritta mediante due diversi modelli: 1)  Il primo modello valido in caso di basse velocità ( es: una sfera che cade

nell’acqua). In questo modello la forza di attrito viscoso aumenta proporzionalmente con la velocità

2)  Il secondo modello è invece valido quando si studia il moto di oggetti di grandi dimensioni che si muovo ad elevata velocità ( aereo, paracadutista, automobile). In questo modello la forza aumenta con il quadrato della velocità

In certe condizioni un corpo (basse velocità) che si muove in un fluido (liquido o gas) è sottoposto ad una forza di attrito viscoso, ovvero ad una forza che si oppone al moto proporzionale alla velocità del corpo:

b= costante che dipende dalle proprietà del mezzo

L’accelerazione del corpo soggetta alla sola forza di attrito viscoso e’ data dalla seconda legge di Newton:

L’accelerazione dovuta all’attrito viscoso non è quindi costante, ma decresce con la velocità. La soluzione di tale equazione (differenziale di primo grado) è di tipo esponenziale decrescente:

La velocità di un corpo in presenza di un fluido viscoso parte da un valore iniziale v0 e decresce esponenzialmente nel tempo => così anche l’accelerazione dovuta all’attrito viscoso => non si può avere una condizione di equilibrio statico perché la forza di attrito viscoso si annulla (fv =0) solo se v=0.

Forze di attrito viscoso a bassa velocità

!fv= −b!v

!a =

!Ftot

m=

!fv

m= −

bm

!v

!a =

d!vdt

= −bm

!v

v(t) = voe−

bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ t

dvdt

= vo

de−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

dt= v

0⋅ −bme−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

= −bmvoe−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

= −bmv

!Ftot=m!a

v

a(t) =dv(t)

dt= −v

o

bm

e−

bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ t

forza di attrito viscoso

v

t t=m/b

v0/e

a

t t=m/b

-v0b/me

-v0b/m

Consideriamo il caso di un corpo di massa m che venga lasciato cadere in un fluido, assumendo che le uniche forza agenti siano la forza peso e la forza di attrito viscoso (es un corpo in acqua). In tal caso l’equazione del moto è data (nella direzione verticale con y positive verso l’alto) da:

Cioè:

La soluzione di questa equazione differenziale descrive la velocità di un corpo che cade sotto l’azione della forza peso attraversando un fluido viscoso è:

Se il corpo parte da fermo, v0=0 la velocità nel tempo sarà: Per tempi lunghi rispetto a m/b l’esponenziale tende a 0 e la velocità cresce in modulo e tende ad un valore costante detto velocità limite:

Velocità limite

!Ftot=!Fg+!fv⇒ F

tot=ma =m

dvdt

= −mg +bvdvdt

=bmv − g

Velocità limite v(tè∞)

Velocità di caduta nel mezzo viscoso di un corpo che parte da fermo

Velocità di caduta nel mezzo viscoso di un corpo che parte con velocità iniziale v0

v(t) = −gmb1− e

−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟+v

0e

−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

v(t) = −gmb1− e

−bm

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟t

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

vlim= −g

mb

v

t t=m/b

-gm/b

NB: Il valore della velocità limite si può determinare senza dover risolvere le equazioni differenziali, ma solo utilizzando il ragionamento. •  Supponiamo di avere un corpo che venga lasciato cadere dentro un mezzo

viscoso con velocità iniziale ( all’istante t= 0s) nulla: v0 =0

•  Inizialmente la forza d’attrito, dipendente dalla velocità, ha modulo nullo ed il corpo, soggetto solo alla forza peso comincia ad accelerare verso il basso con accelerazione g

•  Man mano che la velocità aumenta, aumenta anche la forza di attrito che si oppone alla forza peso => l’accelerazione diminuisce in modulo in quanto la risultante delle forze diminuisce=> la velocità continua ad aumentare in modulo ma più lentamente

•  La condizione limite viene raggiunta quando la forza d’attrito uguaglia la forza peso e la risultante delle due forze è quindi nulla => a=0 ed il corpo si muove di moto rettilineo uniforme verso il basso con velocità v=vlim costante

•  Il valore della velocità limite si trova uguagliando quindi le due forze:

Velocità limite

!fv= b v

lim=!Fp=mg b v

lim=mg v

lim= g

mb

•  Per oggetti di grandi dimensioni che si muovo nell’aria con velocità elevate come aerei, paracadutisti, automobili.., la forza di attrito viscoso ha modulo approssimativamente proporzionale al quadrato della velocità

•  Dove:

Attrito viscoso per alte velocità

ρ = densità del fluido (aria)

D = coefficiente di resistenza

A = area della sezione dell'oggetto in moto

NB: D dipende dalla forma del corpo e può andare da valori molto bassi per forme aerodinamiche a valori maggiori di 1 Es: D=0.04 per una forma a goccia D=1.15 per un cilindro corto

fv=12ρDA

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟v

2fv∝v2

•  Consideriamo ora il moto di un corpo di grandi dimensioni in caduta libera su cui agisce la forza d’attrito dovuta alla presenza dell’aria :

Velocità limite

!Ftot=!Fg+!fv⇒ F

tot=ma =mg −

12ρDAv2

a = −g +12ρDAm

vL2 = 0⇒ v

L=

2mgρDA

!fv

!fv

Da questa equazione differenziale si può ricavare la funzione che descrive la velocità nel tempo. Si può inoltre determinare la velocità limite per la quale fv compensa totalmente la forza gravitazionale (cioè la velocità per la quale a=0)

Velocità limite

a = g −12ρDAm

v2accelerazione di caduta libera di un corpo in presenza della resistenza dell’aria

Il moto circolare e la seconda legge di Newton

Se c’è un’accelerazione deve esserci una FORZA Risultante non nulla che genera tale variazione del moto

Un corpo che si muove con velocità in modulo costante v e lungo una traiettoria circolare di raggio r subisce un’accelerazione centripeta ac =v2/r

FORZA CENTRIPETA diretta verso il centro della circonferenza, sempre ortogonale alla velocità e di modulo pari a:

Fc=m

v2

rFORZA CENTRIPETA

La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi forza che causa un’accelerazione centripeta, imponendo al corpo un moto lungo una traiettoria circolare

Esempi di forza centripeta (1)

Palla trattenuta da un filo: La palla di massa m tenderebbe a mantenere il moto lungo un percorso rettilineo ( per la prima legge di Newton), ma il filo impedisce questo moto esercitando una forza radiale sulla pallina che lo mantiene sulla traiettoria circolare => È la tensione del filo che causa il moto circolare Se si spezza il filo viene a mancare la tensione e la pallina procederà di moto rettilineo uniforme con direzione e velocità date dalla velocità all’istante della rottura (vedi il lancio del martello)

TFc!!

=

NFc!!

=Giostra Rotor: Quando la giostra comincia a girare, le persone all’interno (poggiate già alla parete) tenderebbero per inerzia a rimanere al loro posto originario, ma il pavimento ruota e la parete le costringe a girare

https://www.youtube.com/watch?v=UDMGfMZjYYc

Esempi di forza centripeta (2)

Forza gravitazionale: ogni particella nell’universo attrae un’altra particella con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza e la forza è diretta lungo la congiungente le due masse

rrmmGFg ˆ221=

!

G=6,67· 10-11 Nm2 / kg2

Satellite che orbita intorno alla terra:

Il satellite sarà vincolato a ruotare intorno alla Terra a causa della sua attrazione gravitazionale

( )r

hRmmGFF

terra

terrasatellitegc ˆ2+

⋅==

!!

NB: la x nella formula rappresenta lo spostamento dalla posizione di equilibrio. In generale la legge di Hook si scrive: Dove x=x0 è la posizione di equilibrio

Molla e legge di Hooke Consideriamo un corpo di massa m poggiato su una superficie priva di attrito ed attaccato all’estremità libera di una molla e consideriamo che la posizione di equilibrio (F=0) sia in x=0 Ø Se la molla viene allungata o compressa di un tratto x rispetto alla sua posizione di equilibrio essa eserciterà una forza proporzionale allo spostamento che si oppone ad esso:

La costante di proporzionalità k è detta costante elastica della molla

F = −kxlegge di Hooke

F = −kΔx ⇒ F = −k x − x0( )

NB: La forza esercitata dalla molla è sempre diretta in verso opposto a quello dello spostamento dalla posizione di equilibrio x=0

La legge di Hooke ci fornisce l’andamento della forza di un corpo soggetto ad una forza elastica. L’equazione del moto si può ora ricavare dalla seconda legge di Newton: La soluzione di questa equazione è una funzione trigonometrica che rappresenta una oscillazione:

NB: è la pulsazione dell’oscillazione ω  dipende dalla costante elastica della molla e dalla massa ad essa applicata.

φ è la fase che serve a definire il valore di x nelle condizioni al contorno

Moto (oscillatorio) armonico

kxmaF −==

xmk

dtxda −== 2

2

kxma −= xdtxd 22

2

ω−=

ω =km

Equazione differenziale di secondo grado omogenea

Dove:

x t( ) = Acos ωt +ϕ( )

mk

=2ω

Equazione del moto oscillatorio

Moto armonico (2)

x t( ) = Acos ωt +ϕ( ) è una soluzione dell’equazione differenziale: xdtxd 22

2

ω−=

Se infatti deriviamo due volte x(t) otteniamo:

x(t) = Acos ωt +ϕ( ) dxdt

= Addtcos ωt +ϕ( )( ) = −ωAsin ωt +ϕ( )

v(t) =dxdt

= −ωAsin ωt +ϕ( ) d2x

dt2= −ωA

ddtsin ωt +ϕ( ) = −ω2Acos ωt +ϕ( )

a(t) =d2x

dt2= −ω2Acos ωt +ϕ( ) x

dtxd 22

2

ω−=!!"!!#$

x

Equazioni di un moto armonico di ampiezza A, frequenza angolare ω ed angolo di fase φ

Ø Il periodo T , pari al tempo minimo che impiega l’oscillazione a tornare alla stessa posizione con la stessa velocità. Dipende solo da k ed m

Ø La frequenza f è l’inverso del periodo e dipende solo da k ed m: Ø La frequenza angolare ω:

Proprietà del moto armonico (3) Data l’equazione del moto è possibile determinare alcune proprietà del moto oscillatorio.

ωπ2

=TkmT π2=

Ø  Le grandezze A e φ che compaiono nella soluzione sono l’Ampiezza e la costante di fase e dipendono dalle condizioni iniziali del moto, cioè dalla posizione e dalla velocità iniziale. φ = fase del moto

mk

Tf

ππω

21

21

===

Tf ππ

ω2

2==

( )φω += tAx cos

vx= −ωAsin ωt +ϕ( )

ax= −ω2Acos ωt +ϕ( )

Poiché le funzioni seno e coseno oscillano tra +1 e -1: I valori estremi per x sono ±A, I valori estremi di v sono ±ωA I valori estremi di a sono ± ω2A

vmax

=ωA = Akm

amax

=ω2A =kmA

Proprietà del moto armonico (4)

xmax

= A

Proprietà del moto armonico (5) Esempio 1: se abbiamo una molla inizialmente allungata di una quantità L e lasciata libera di oscillare all’istante t=0, essa comincerà ad oscillare tra x=L ed x=-L si dovrà avere che: Si avrà quindi che l’equazione del moto armonico sarà:

( ) ( )φω += tAtx cos x 0( ) = L quindi A = L

cos ϕ( ) =1→ϕ = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

Esempio 2: Consideriamo una molla lasciata libera di oscillare tra x=L ed x=-L. In questo caso prendiamo come istante iniziale t=0, l’istante in cui la molla passa per il suo punto di riposo per poi immediatamente allungarsi (v(0)=vmax ). Cambieranno quindi le condizioni iniziali rispetto al caso precedente: Si avrà quindi: Le equazioni del moto armonico con queste condizioni iniziali saranno quindi:

( ) ( )φω += tAtx cos x 0( ) = 0 v 0( ) = −Aω sin(ϕ ) = vmax = LωA = L

cos ϕ( ) = 0 e sin(ϕ ) = −1⇒ ϕ =32π

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x t( ) = Lcos ωt + 32π

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = Lsin ωt( )

x t( ) = Lcos ωt( ) e v t( ) = −ωLsin ωt( )

v t( ) = −ωLsin ωt +32π

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =wLcos ωt( )