Forze di attrito e Viscosita

prof. Chiefari

Aprile 2011

Capitolo 6

Le forze di attrito. Viscosita

6.1 Le forze di attrito

Le forze di attrito si manifestano quando un corpo viene poggiato ( 0 anche premuto ) sopra un altro carpo e si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo.

Una superficie che presenta attrito viene detta scabm.

Le prime esperienze precise sui comportamento delle forze di attrito sono dovute a C.A. Coulomb.

6.1.1 Attrito statico

N' Co)

to.. m,g= -N -~

f: = - f: finche .it:; fmax ~t

,,~

Quando f~ raggiunge il valore fmax; il corpo comincia a muoversi. -')

,~ ~

Fig.1

Sperimentalmente si trova :

• f~ax e indipendente dalla superficie di contatto entro certi limiti.

• fmax = p'sN con I-ts coefficiente di attrito statico.

1

Da questo deriva che ( vedi fig.2 )

dove e e la semiapertura del cono di at­trito, ossia l'8:ngolo formato dalla reazio­ne vincolare R con la normale al piano di appoggio.

-)N

Fig.2

6.1.2 Attrito cinematico radente

Quando un oggetto si muove strisciando contro un vincolo, sui moto agisce una forza tangenziale f~ opposta alla direzione del moto.Empiricamente si trova

dove N e la componente normale della reazione vincolare, {) e il versore della velocita. del­l'oggetto relativamente al vincolo e /-Lc e il coefficiente di attrito cinematico ( 0 dinamico), che e un parametro caratteristico dei materiali a contatto.

6.1.3 Altre forme di attrito

• attrito volvente : si ha quando un corpo rotola su una superficie.

• attrito interne : si esplica fra Ie varie parti di un gas 0 di un liquido.

• attrito del mezzo : e la resistenza di un gas 0 liquido al moto dei corpi che vi sono . .immers!.

L'attrito interno e l'attrito del mezzo sono aspetti diversi di un unico concetto, quello di viscosita. .

6.2 Viscosita

Consideriamo un fiuido che scone lentamente e in condizioni di regime in un tubo : il moto avviene in modo ordinato e per strati ( moto laminare ), ossia un arbitrario piccolo volume di liquido si muove parallelamente all'asse del tubo ( vedi fig.3 ) .

2

.----..:.. .­n. ­, . ~

\, ,:,

~" --...­

............

10 strato di liquido in contatto con la superficie del tubo e fermo, mentre la velocita di scorrimento del liquido e massima lungo l'asse centrale. Nasce allora una forza di attrito fra due strati adiacenti, rna in moto relativo l'uno rispetto all'altro.

Newton osservo che per la maggior parte dei liquidi ( liquidi newtoni Clui ) la forza di attrito A' agente sopra uno strato di liquido sufficientemente piccolo ( in modo tale che si possa considerare costante la velocita in tutti i punti della strato ) ha direzione opposta al moto e intensita. proporzionale alia superficie S dello strato e a ~~, dove he la distanza dallo strato di liquido considerato.

con "7 coefficiente di viscosita.

Ne consegue che il coefficiente di viscosita ha Ie dimensioni di ( una forza per un tempo diviso una superficie ), ossia ha Ie dimensioni di una pressione per un tempo. Nel S.r. l'unita di misura della pressione eil Pascal ( simbolo Pa ), per cui il coefficiente di viscosita. si misura in Pa s.

Nel Sistema C.G.S. l'unita. di misura di "7 e il poise, abbreviazione di Poiseuille, celebre per la formula sulla portata dei liquidi.

2 1 11 Pa s = 1 N m- s = 1 kg m- S-1 = 103 X 10-2 g cm- S-1 = 10 poise

Se il fluido e un liquido, "7 diminuisce rapidamente al crescere della temperatura. Ad es. iI coefficiente di viscosita della glicerina pura vale 1.499 Pa s a 20°C, 0.945 Pa s a 25°C e 0.624 Pa s a 30°C. Inoltre la presenza, sia pur minima, di acqua fa variare notevolmente "7. Per esempio, nel caso della glicerina a 20°C, un 5% di acqua abbassa "7 da 1.499 Pa sa 0.545 Pa s !!. Da notare che, a 20°C, "7acqua vale ~ 10-3 Pa s .

Se il fluido eun aeriforme, "7 aumenta al crescere della temperatura ( vedi Teoria Cinetica dei Gas ) . Per l'aria a 20°C "7 = 1.84 X 10-5 Pa s, mentre vale 1. 72 x 10-5 Pa s a O°C .

6.2.1 Forze di attrito nei fl uidi

Un corpo, quando si muove in un fluido, a causa dell'attrito tra la sua superficie ed il fluido circostante, risente l'effetto di una forza frenante F~, opposta alia velocita. iJ che esso ha

3

rispetto al fiuido. F~ = - /3iJ = -'yr;iJ se il moto e laminare

in cui 1] e sempre il coefficiente di viscosita e 'Y dipende dalla forma del corpo. Stokes ha trovato che , per un corpo sferico di raggio R, 'Y euguale a 67rR, per cui ( Legge di Stokes)

per una sEera

Questa equatione e alla base del metoda della sfera cadente , usato per determinare speri­mentalmente il valore di 1] dei fiuidi.

Da notare che, se il moto non e laminare, F~ puo contenere dei termini che dipendono dal quadrato, dal cubo, ... della velocita.

6.2.2 Metoda della sfera cadente

Supponiamo di avere un tubo cilindrico di vetro, contenente del liquido di cui si vuole determinare 1], e di lasciar cadere nel tubo una sferetta di raggio R con velocita illiziale VQ.

Fissiamo un sistema di riferimento come in figura 1 : z=O corrisponde al peto libero del liquido.

.j

....o ~~

1.. ~~' •r... ..... ~,""li

--." ,f!j..

.. ~

'. "e:'­• • , -y.... . ."... ..... ~ ... ~"

Fig.4

Le forze agenti sulla sferetta sono :

• la forza peso, mg, diretta verso it basso

• la forza viscosa, -67rRv, diretta verso l'alto

• la spinta di Archimede, diretta verso l'alto, che vale ~7rR3Plg, in cui PI ela densita del liquido ( da notare che, se la sferetta e omogenea, il centro di spinta coincide con it centro di massa della sferetta )

II II Principio della Dinamica di scrive allora

4 ma = mi = mg - "37rR 3Pig - 67rR1]z

4

Indicando con P la densita della sEeretta, possiamo anche scrivere

OSSla

2 ."_ [1 PI] 917R­z-g -- --- z P 2 P

Questa equazione differenziale, contenente termini in i e z, e risolubile per separazione di variabili :

.. dv Z= - e z=v

dt Ponendo, per semplicita di notazione,

e

si ottiene dv -=a-bv dt

ossia dv a ­ bv

= dt

Quindi

-b dv a ­ bv

= -b dt ossia d(a-bv) =-bdt a ­ bv

per CUl d [In(a ­ bv)] = -b dt

Integrando a sinistra Era Vo e v(t) e a destra Era 0 e t,

In(a - bv) - In(a - bvo) = -b(t ­ 0) = -bt In a ­

a ­

bv b

Vo = -bt

In a-bv e a-bvQ = a ­

a ­

bv

bvo =

-bt e

Infine

(~ - v) = (~ - vo) e-bt

Per t ~ 00, alb ­ v= ~ 0 e quindi ( vedi Fig.5 )

Yo ( "oJ:) I...------------->t Fig.5

-bt v= - V = (v= - Vo )e

5

-

La grandezza lib ha Ie dimensioni di un tempo e viene chiamata costante di tempo del fenomeno ( T ). Dopo un tempo pari a 3T, e- 3T

/ T = e- 3 = 0.05 e l'esponenziale puo essere

considerato circa nullo. La sferetta raggiunge in pratica la velocita limite, a patto che sia abbastanza piccola la differenza in modulo fra Voo e Va : diversamente, bisogna aspettare per un tempo maggiore.

Ricordando Ie espressioni di a e di b,

_ 2 (p - PI) R2 - -gVOO

9 77

Quindi, se si conosce il valore di g,P,PI eRe si determina sperimentalmente Voo , epossibile determinare il valore di 77.

L'espressione per V oo poteva essere ottenuta, in modo formalmente pili semplice, cercltndo per la nostra equazione differenziale una soluzione con z = cost = V oo ' Essendo z = 0 in questo caso, si ricava immediatamente per Voo la relazione che estata scritta poco prima.

Per determinare 77 sperimentalmente con il metoda descritto, si usa un insieme di sferett8, aventi raggio diverso. Si determina, per ogni fissato R, la corrispondente V oo , si costruisce un grafico di Voo in funzione di R2

, si fa il fit dei minimi quadrati e dalla pendenza della retta si ottiene it valore di 77.

Eopportuno notare che, essendo T = ~ R2 , sferette di raggio sempre pili piccolo raggiun­

gono sempre pili presto la condizione limite.

II problema sperimentale pili serio edeterminare V oo , ossia misurare la velocita di caduta in pili punti della traiettoria e determinare la quota, a partire dalla quale, la velocita si possa considerare costante.

Puo essere di aiuto la seguente considerazione. Supponiamo, per maggior semplicita, che Ie sferette vengano fatte cadere da ferme ( Va = 0 ), lasciandole Ii bere una volta posizionate a pelo del liquido. In tal caso

da cui

e quindi z(t 2: 3T) ~ voo(t - T)

ossia la quota Z(3T), a partire dalla quale in pratica la sferetta cade con velocita costante, vale

8 (PI - p) 4 Z (3T) ~ 2VooT = -gp 2 R

81 77

La conclusione eche, se si determina, per il campione di sferette avente R maggiore, la quota a partire dalla quale si ha velocita limite, sicuramente Ie sferette, aventi raggio minore, raggiungeranno ad una quota minore la corrispondente velocita limite.

6

6.3 Determinazione del coefficiente di viscosita 17 della glicerina con il metodo della sfera cadente

Materiale a disposizione ;

• un cilindro di vetro, riempito di glicerina ( PI = 1.26 X 103 kg/m 3 a temperatura ambiente ) , alto circa 60 em , il cui diametro interno puo essere misurato con un calibro a scorrimento, e tenuto il pili verticale possibile, per motivi che vedremo fra breve

• un insieme di sferette di acciaio ( P == 7.85 X 103 kg/m3 ) di diametro diverso, suddivise

per diametro in diversi scatolini di plastica, delle quali e bene controllare il diametro con il calibro Palmer

• un cronometro

• una scala graduata

La prima cosa da fare e determinare la quota critica. Per ottenere cio, 51 potrebbe procedere nel seguente modo:

1. con l'aiuto di una scala graduata, si fissano dei traguardi equidistanti sul tubo di vetro ( tipicamente ogni 10 em e la distanza puo essere misurata allora con un calibro a scorrimento )

2. si misurano gli intervalli di tempo, necessari affinche la sferetta di raggio maggiore percorra 10 spazio fra il primo e l'ultimo traguardo, tra il secondo e l'ultimo e cos1 via

3. si ottiene in questa modo una successione di valori della velocita media, che a partire da un certo traguardo in poi apparira costante entro gli errori

4. per le sferette di raggio minore basta misurare l'intervallo di tempo intercorrente fra il passaggio delle sferette per il traguardo determinato nel punto 3) e l'ultimo traguardo.

Una pili rapida alternativa al punto 2) e di misurare gli intervalli di tempo compresi fra il passaggio della sferetta per il primo traguardo e fra il passaggio per il secondo traguardo, .... secondo e terzo, terzo e quarto e cos1 via e controllare se questi intervalli di tempo sono uguali fra di lora entro gli errori.

In realta , " a posteriori", si ricava che, sfruttando il valore di 7) della glicerina noto in letteratura, per una sferetta di acciaio , avente 8 mm di diametro, la quota critica supera di poco il centimetro. Le differenze di velocita che allora si possono trovare sono dovute ad altri effetti. Ad esempio la legge di Stokes vale nell'ipotesi di una sferetta che si muove in un fluido di dimensioni infinite. Per una sferetta che si muove in un cilindro pieno di fluido, bisogna tener conto di due effetti. 11 primo e dovuto agli estremi del cilindro e puo essere minimizzato , utilizzando solo la parte centrale del tubo. 11 secondo e dovuto alle dimensioni finite del diametro D del cilindro e provoca una diminuzione del valore sperimentale della velocita limite, rispetto a quello trovato per un fluido infinito. Una espressione pili corretta

7

per 17 e stata data da Faxen ( 1922) per una sferetta che cade esattamente lungo l'asse centrale del tubo :

2 (p - PI) 2[ ( d ) ( d ) 3 _(d) 5]17 = 99 V R 1 - 2.104 D + 2.09 D - 0.90 D oo

dove d e il diametro delle sferette. Si vede allora che solo se si grafica V<Xl in funzione di R2 [1 - 2.104 (~) + ... J si ottiene un andamento lineare. Da notare che se D = 3 cln e d = 0.3 em, il fattore correttivo vale 0.79 !!!!.rv

C'e da notare inoltre che le V oo sono determinate dividendo una stessa quantita L distanza fra i traguardi di riferimento, e i tempi too corrispondenti. Questo fatto introduce uan correlazione fra i diversi valori di V<Xl: infatti, se il valore "vero" di L e stato sottostimato, allora tutte Ie V oo sono sottostimate e se it valore "vero" di L e stato sovrastimato, allora tutte Ie V<Xl sono sovrastimate. Si puo ovviare a questo inconveniente ad es. conglobando il termine L nella pendenza della retta

1 2 ]- ex: R [1 - 2.104... t<Xl

C'e da notare ancora che in laboratorio vengono misurati i diametri d delle sferette. no si aspetta allora :

0, equivalentemente, 18L 17 1

t -- ­00 - 9 (p - PI) d;j j

dove d;jj = d2[1 - 2.104... ].

Potrebbe sembrare superfiuo ricordare che, avendo a disposizione per un fissato diametro un campione di sferette , e possibile determinare, dalla distribuzione dei tempi di caduta delle sferette aventi uguale diametro, una media aritmetica e una sigma della media, per cui l'errore su t<Xl puo essere considerato di tipo statistico, mentre rimane di tipo massimo quello su d;jf .

1e formule precedenti suggeriscono che la variabile dipendente sia too : infatti questa e l'unica scelta possibile, visto che non si possono ritenere costanti fra di loro gli errori statistici sconosciuti su d;jf e quindo non si puo fare un fit non pesato di -;.- in funzione di

eJJ

t<Xl' Tuttavia bisogna aspettarsi un aumento del X2 per aver trascurato l'errore su d;jj'

Ce da notare pero che la presenza di D in d;j j introduce una certa correlazione fra i diversi valori di d;ff' Questo vuol dire che, se l'effetto non e trascurabile, bisogna fare 3 fit, il primo con D dato dalla nostra migliore stima e gli altri due variando D di ±6D e vedendo l'effetto sulle stime dei parametri del fit. Questo vuol dire anche che, per ogni fit, nella stima dell'errore massimo su d;j j) il diametro del tubo deve essere considerato privo di errore. Tuttavia, prima di fare tre fit, si puo effettuare un controllo sull'errore di d;jj) dato da

6d;jj = 2d{ 11 - 3.156(d/D) 16d + 1.052(d/D)26 D}

Se il secondo termine di questo errore e molto minore del primo, si puo dedurre che la correlazione sia trascurabile e che quindi sia inutile effettuare tre fit.

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Per concludere : dalla pendenza b della retta ( nota con errore di tipo statistico ) e possibile ottenere TJ e il suo errore, ricordando che L tuttavia e affetta da errore di tipo ma.SSlmo.

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