Perché il calcolo della

probabilità e la statistica ?

Abbiamo visto al I semestre che , se l’errore

di sensibilità lo consente, misure ripetute

della stessa grandezza fisica nelle stesse

condizioni presentano una dispersione di

valori.

In queste condizioni non è possibile

prevedere quale sarà il risultato di una singola

misura: diremo che esso è una variabile

casuale che ha una certa distribuzione di

frequenza, visibile ad esempio con un

istogramma.

L’elaborazione dei dati sperimentali richiede

la conoscenza di specifici strumenti forniti

dalla statistica, la quale a sua volta fa uso del

calcolo della probabilità.

Per questo motivo cominciamo ad occuparci

del calcolo della probabilità, senza

dimenticare che questo è un corso di

Laboratorio di Fisica e non di Statistica.

Inizio della storia ( per quanto ne

sappiamo… )

Nel 1654 il nobile Antoine Gombaud ( noto

come Chevalier de Méré e accanito giocatore

) pone a Blaise Pascal e a Pierre de Fermat

questa domanda : è più probabile ottenere

almeno un 6 lanciando quattro volte un dado

o ottenere almeno un 12 lanciando 24 volte

due dadi ? I due rispondono al quesito e da

quel momento possiamo dire che sia nato il

calcolo delle probabilità, almeno nel mondo

occidentale.

Cerchiamo di precisare la nozione di

probabilità, partendo dalla definizione

classica, dovuta a Pierre Simon Laplace nel

1812.

La probabilità di evento in un esperimento è

data dal rapporto fra il numero dei casi

favorevoli e il numero dei casi possibili.

Se il numero di casi favorevoli è zero, la

probabilità è zero; se il numero dei casi

favorevoli è pari al numero dei casi possibili,

la probabilità vale 1.

Lanciando in aria una moneta non truccata

avremo la probabilità ½ di avere testa e ½ di

avere croce.

Se viene lanciata 10 volte una moneta

ottenendo sempre testa, all’11-mo lancio

conviene puntare sul simbolo “in ritardo”,

ossia croce ? No, la probabilità di ottenere

ancora testa resta sempre ½.

Nascono problemi con questa definizione di

probabilità.

Consideriamo il lancio di due monete : qual è

la probabilità dell’uscita di 2 teste ? Ci sono

due ragionamenti possibili. Il primo ci dice

che la probabilità di due teste è ¼ poiché i

casi possibili sono 4 ( TT, CC, TC, CT ). Il

secondo ci dice che la probabilità di due teste

è 1/3 , poiché i casi possibili sono due teste,

due croci, una testa e una croce.

I due risultati sono in disaccordo : quale dei

due ragionamenti è corretto ? Il primo, anche

se anche lo stesso Jean Baptiste Le Rond

d’Alembert era fautore del secondo. Il punto è

che il secondo ragionamento crea uno

squilibrio fra i casi possibili, perché TC e CT

“pesano” il doppio rispetto a TT e CC.

Occorre rivedere la definizione di probabilità.

La probabilità di evento in un esperimento è

data dal rapporto fra il numero dei casi

favorevoli e il numero dei casi possibili,

purché essi siano equiprobabili.

Si cade quindi in un circolo vizioso.

Definizione frequentistica di

probabilità ( John Venn, 1866)

È simile alla definizione classica, ma

sostituisce al rapporto numero dei casi

favorevoli/numero dei casi possibili il

rapporto numero di esperimenti effettuati con

esito favorevole/ numero di esperimenti

effettuati.

Un ragionamento “ a priori” tutto teorico

viene sostituito da una valutazione “ a

posteriori” basata sull’esperienza. Viene

assunta quindi come probabilità che un

evento si verifichi la frequenza relativa con

cui si presenta in condizioni analoghe.

Un esempio in cui la definizione classica non

è d’aiuto.

Qual è la probabilità che il primo dell’anno

2014 sia una giornata piovosa a Napoli?

Se consultando i bollettini meteorologici degli

ultimi 30 anni si scopre ad esempio che abbia

piovuto 18 volte, diremo che la probabilità di

avere un giorno di pioggia il primo gennaio

2014 sarà pari a 18/30, ossia del 60%.

Ma qual è il numero di prove che bisogna

effettuare per avere una stima affidabile della

probabilità ? L’intuizione ci suggerisce che

più grande è il numero di prove più affidabile

è la stima della probabilità, ma resta una

margine di vaghezza. Per questo motivo, nei

casi in cui possiamo usare la definizione

classica ( come nel lancio di una moneta ) si

ricorre al ragionamento “a priori”, senza ad

esempio lanciare 800 volte una moneta e

ottenere che la probabilità di ottenere testa sia

di 413/800 solo perché è uscita testa 413

volte.

In termini matematici possiamo dire che la

probabilità che si verifichi un evento è pari al

limite della frequenza relativa quando il

numero delle prove tende ad ∞.

Definizione soggettivistica (

Frank Plumpton Ramsey, Bruno

de Finetti, anni 1926-1930)

Ci sono casi in cui nessuna delle due

precedenti definizioni di probabilità sono

d’aiuto, specialmente quando ci occupiamo di

eventi non ripetibili.

In un librettino non facilmente reperibile di

Giuliano Spirito dal titolo “Matematica

dell’incertezza” c’è il seguente esempio che

può aiutare a capire.

Supponiamo che lo studente Alessio

scommetta 3 contro 1 ( se perde pagherà 3, se

vince incassa 1) che sia corretta la soluzione

da lui data ad un certo problema. Per Alessio

ci sono tre possibilità che la soluzione sia

giusta contro una che la soluzione sia

sbagliata, come succede nel caso di un

sorteggio da un’urna, contenente 3 palline

rosse ( soluzione giusta) e 1 nera (soluzione

sbagliata). In conclusione Alessio sta dando

una valutazione ( soggettiva ) di probabilità

e attribuisce una probabilità ¾ ( 75%) al

realizzarsi dell’evento soluzione giusta.

Tutte e tre le definizioni non sono quindi in

generale soddisfacenti. Tuttavia esiste una

teoria assiomatica ( dovuta ad Andrej

Nikolaevič Kolmogorov nel 1933) che cerca

di fornire una base teorica comune.

Sia S l’insieme di tutte le possibili modalità di

un fenomeno e A e B due sottoinsiemi di S. Si

definisce probabilità un numero reale tale che

a) P(A) ≥ 0

b) P(A U B) = P(A) + P(B) se A∩ B = Ø

c) P(S) = 1

dove con A U B si indica il sottoinsieme di

modalità che appartengono o ad A oppure a

B, con A ∩ B il sottoinsieme di modalità che

appartengono sia ad A sia a B ed infine con Ø

l’insieme vuoto.

I diagrammi di Venn, illustrati in figura,

aiutano a capire Ā, il complemento di A,

l’unione A U B e l’intersezione A ∩ B.

In particolare si può vedere che

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

( si evita di contare due volte gli eventi in

comune ad A e B ). Tale regola è nota come

regola di addizione per le probabilità. Se i

sottoinsiemi A e B sono mutuamente

esclusivi ( ossia se i cerchi in figura non

hanno punti in comune ) A∩ B = Ø e P(A ∩

B) = 0.

Se B = Ā, AUĀ= S e A∩Ā = Ø, per cui

P(S) = P(AUĀ) = P(A) +P(Ā) = 1.

Un altro concetto importante è quello di

probabilità condizionale ( chiamata anche

probabilità condizionata). Si scrive P(B│A) ed esprime la probabilità che si verifichi

l’evento B sotto la condizione che si sia

verificato l’evento A. Si intuisce che la

probabilità condizionale ha qualcosa in

comune con A ∩ B ed infatti per definizione

P (A ∩ B ) = P(B│A) P(A)= P(A│B) P(B)

Quindi:

P(B│A)= P (A ∩ B ) /P(A)

P(A│B)= P (A ∩ B ) /P(B)

Che succede se il verificarsi dell’evento B

non dipende dal precedente verificarsi

dell’evento A ?

Si dice che A e B sono indipendenti fra di

loro e

P (A ∩ B ) = P(B) P(A)= P(A) P(B)

che è la regola di moltiplicazione degli eventi

indipendenti.

Possiamo adesso sapere qual è la probabilità

di ottenere un 12 nel lancio di due dadi.

Per avere un 12 è necessario che nel lancio

del primo dado esca un 6 ( evento A con

probabilità 1/6 ) e che nel lancio del secondo

dado esca ancora un 6 ( evento B con

probabilità 1/6). Ottenere un 12 è

l’intersezione degli eventi A e B, che sono

indipendenti fra di loro, sicché la probabilità

di ottenere un 12 nel lancio di due dadi è

1/6x1/6, ossia 1/36.

E la risposta ad Antoine Gombaud ?

Eccola finalmente.

Qual è la probabilità di ottenere almeno un 6

lanciando 4 volte un dado ? Conviene

introdurre l’evento complementare, ossia

quello di non ottenere nessun 6 in 4 lanci.

Calcoliamo la probabilità di questo ultimo

evento: occorre che non esca nessun 6 nel

primo lancio ( probabilità 5/6), nessun 6 nel

secondo lancio ( probabilità 5/6) e così via.

La probabilità di non ottenere nessun 6 in

quattro lanci è quindi uguale a

5/6x5/6x5/6x5/6 = 625/1296 = ~ 48%

per cui la probabilità che non esca almeno un

6 e circa il 52%.

Qual è la probabilità che lanciando 24 volte

due dadi si ottenga almeno un 12 ? L’evento

complementare a questo è che non esca

nessun 12 in 24 lanci.

Abbiamo visto che la probabilità che esca 12

in un lancio è 1/36. La probabilità che non

esca nessun 12 in un lancio è allora 35/36 e la

probabilità di non ottenere nessun 12 in 24

lanci è 35/36 elevato alla 24, che vale circa

49%. Quindi la probabilità che lanciando 24

volte due dadi si ottenga almeno un 12 è circa

il 51% .

Conclusione : è più facile ( sia pure di poco )

ottenere un 6 in 4 lanci di un dado che 12 in

24 lanci di due dadi.

Il calcolo della probabilità e le

“coincidenze”

C’è un largo convincimento che le

coincidenze di eventi siano altamente

improbabili e che il loro verificarsi richiedano

giustificazioni esterne al fatto in sé. Sentiamo

dire spesso “non può trattarsi di una semplice

coincidenza” ma è vero ?

Facciamo un esempio.

In una stanza ci sono 5 persone e si scopre

che di 2 di loro sono nati nello stesso mese :

è una coincidenza imprevedibile e

significativa ? Vediamo.

Cominciamo a calcolare la probabilità

dell’evento complesso mesi tutti diversi, che

consiste nel fatto che il mese della seconda

persona sia diverso dal mese della prima e

che il mese della terza persona sia diversa dai

mesi delle prime due e che il mese della

quarta sia diverso da quello delle prime tre e

il mese della quinta sia diverso da quello delle

prime quattro. Questa probabilità vale

11/12x10/12x9/12x8/12

ossia 7920/20736=55/144.

Ma l’evento mesi tutti diversi è l’evento

complementare dell’evento atteso ( almeno

due mesi uguali) , che ha quindi una

probabilità di verificarsi pari a 89/144, ossia

circa il 62% , probabilità per nulla piccola.

Distribuzioni di probabilità

Una variabile casuale X è una grandezza di

cui non si può prevedere con certezza il

valore osservato. Si ha solo una legge di

probabilità.

Tale variabile può essere discreta, se può

assumere solo un numero finito di valori xi(

ad esempio gli esiti del lancio di un dado,

l’altezza degli studenti presenti in aula, etc..).

Avremo allora che P( X = xi ) = Pi .

Possiamo definire una funzione di

distribuzione cumulativa F(xi ) come la

somma di tutte le Pj , con l’indice j che varia

fra 1 e i.

Possiamo definire un valore aspettato di x, il

cui simbolo può essere E(x) dall’inglese

expectation value oppure da <x>:

E(x) = ∑j Pj xj

con l’indice j che assume tutti i possibili

valori.

La variabile può essere continua. Avremo

allora che

P ( x ≤ X ≤ x + dx ) = f(x) dx

dove f(x) è la p.d.f. di x, ossia la funzione

densità di probabilità( p.d.f. in inglese sta per

probability density function). L’integrale di

f(x) dx, esteso a Ω, l’insieme di definizione

delle x, deve valere 1, poiché la probabilità

totale che la variabile x assuma un certo

valore in Ω deve valere 1.

Se Ω è l’intervallo [a,b], l’integrale di f(x’)

dx’fra a e x viene chiamato funzione di

distribuzione cumulativa:

( ) ∫ ( )

F(x) vale 0 se x=a e vale 1 se x=b.

Possiamo definire ancora un valore aspettato

di x, come

( ) ∫ ( )

Da notare che la mediana della funzione

densità di probabilità viene definita come

quel valore di x per cui F(x) =1/2.

Il valore atteso è un caso particolare dei

momenti di ordine k ( con k intero positivo)

intorno a x0 .

μk (x0 ) = E [(x- x0 )k ]

che vale ∑j Pj (xj - x0 ) k

nel caso discreto e

vale ∫ ( ) ( )

nel caso continuo.

Se x0 = 0, i momenti si intendono definiti

intorno all’origine.

Quindi μ1 (0 ) = E(x) = μ. Questa grandezza

viene chiamata anche valore medio o media

della distribuzione.

Il secondo momento intorno a μ, ossia

μ2 (μ ) = E [(x- μ )2 ]

viene chiamato varianza della distribuzione,

che solitamente viene indicata col simbolo σ².

La quantità σ è detta deviazione standard.

La varianza dà informazioni sulla larghezza

della distribuzione intorno al suo valore

medio, cosa che non può fare E (x- μ ) perché

è uguale a zero.

Si può vedere che

σ² = E(x² ) - μ², per cui

E(x² ) = σ² + μ².

Si può vedere anche che

E [(x- μ )2

] = E(x² ) – [E(x)]²

La quantità β, definita come il rapporto fra

E [(x- μ )3

] e σ², è il coefficiente di

asimmetria ( skewness ) perché è

caratteristica delle funzioni di distribuzione di

probabilità non simmetriche rispetto al valore

medio. Se β è positiva o negativa, la

distribuzione è più estesa a destra o a sinistra

di μ.

Possono essere definiti altri coefficienti,

legati ai momenti di ordine superiore ma noi

non ne parleremo in questo corso di

laboratorio.

Diseguaglianza di Bienaymé-

Čebičev

Sia g(x) una funzione non negativa della

variabile casuale x con p.d.f. f(x) e varianza

σ² . Si può dimostrare che, se esiste E(g(x)),

allora P(g(x) ≥ c) ≤ 1/c E(g(x)) dove c è una

costante qualunque.

Se in particolare g(x) è uguale a ( x-E(x))² si

ricava che

P[ (│x-E(x) │≥ λσ ] ≤ 1/λ²

che è chiamata diseguaglianza di Bienaymé-

Čebičev.

Se λ=1, si ha un risultato banale ma al

crescere di λ diventa sempre più piccola la

probabilità di trovare grossi scarti dalla media

μ.

Densità di probabilità congiunta

di N variabili.

Finora abbiamo considerato il caso in cui la

p.d.f. dipenda da una sola variabile casuale.

L’estensione a diverse variabili x1, x2, … x n

consiste nel considerare la funzione di densità

di probabilità congiunta f(x1, x2, … x n), che

supporremo positiva, che assuma un singolo

valore in ogni punto (x1, x2, … x n ) di uno

spazio Ω a n dimensioni e che sia

normalizzata opportunamente.

∫

f(x1, x2, … x n) dx1 dx2 …. dxn = 1.

Possiamo ancora sfruttare quanto abbiamo

introdotto nel caso che n=1.

In particolare

μi =E( xi ) = ∫

xi f(x1, x2,.. x n) dx1 dx2 ..dxn .

Possiamo anche introdurre la matrice delle

covarianze Vij = E[ (xi - μi )(xj - μj ).

Questa matrice è molto importante per i fisici.

Essa è simmetrica : Vij = Vji .

Gli elementi della diagonale principale sono

le varianze.

Un elemento fuori diagonale principale Vij

con i ≠ j è chiamato covarianza di xi e xj ed è

denotato col simbolo cov(xi , xj ).

Viene introdotto anche il coefficiente di

correlazione ρ(xi , xj ), definito da

ρ(xi , xj )= cov(xi , xj ) / σi σj

e che è compreso fra +1 e -1.

Se ρ(xi , xj ) = +1 (-1), xi e xj sono

completamente correlate positivamente (

negativamente). Se ρ(xi , xj ) = 0, xi e xj sono

scorrelate.

Propagazione delle varianze,

conosciuta come propagazione

degli errori.

Siano x1, x2, … x n n variabili casuali e

poniamo

( , , … ) = y ( )

Supponiamo inoltre nota la matrice delle

covarianze delle x e vogliamo determinare la

varianza di y.

Se facciamo uno sviluppo in serie di Taylor,

bloccata al primo ordine, intorno al valore

= ( , , … )

di (x1, x2, … x n ), abbiamo

y ( ) = y( ) + ∑ ( - )

più termini di ordine superiore e dove la

derivata è calcolata in = .

Il valore atteso di questa espressione vale

{ ( )} ( )

più termini di ordine superiore, poiché ogni

termine del primo ordine vale zero.

Solo nel caso in cui le quantità ( xi – μi )

siano piccole, i termini di ordine superiore

possono essere trascurati.

A questo punto si può ottenere la varianza di

y.

V{ ( )}=E{ ( ) [ ( )]}2 { ( ) ( )}

Per quanto detto prima, sempre trascurando i

termini di ordine superiore, si ha che

V{ ( )} ∑ ∑

( )

dove le derivate sono calcolate in = .

Per n variabili indipendenti tutti i termini di

covarianza sono zero e la varianza di y vale

V{ ( )} ∑ (

)² ( )

Un esempio.

Consideriamo la media aritmetica di n

variabili indipendenti x1, x2, … x n aventi tutti

la stessa varianza σ²:

=

∑

Le derivate parziali di y rispetto ad ogni xi

valgono 1/n e le derivate di ordine più alto

sono nulle.

Ne consegue, senza nessuna approssimazione

che la varianza della media aritmetica vale

( ) = ∑ (

)² σ²

²

Campione e popolazione

Una funzione di densità di probabilità f(x) per

una variabile continua o, equivalentemente,

un insieme di probabilità nel caso discreto

descrivono le proprietà di una popolazione. In

fisica si associa una variabile casuale all’esito

di una osservazione e la p.d.f. f(x)

descriverebbe l’esito di tutte le possibili

misure su un sistema se le misure fossero

ripetute infinite volte nelle stesse condizioni

sperimentali. Poiché ciò è impossibile, il

concetto di popolazione per un fisico

rappresenta un'idealizzazione che non può

essere ottenuta nella pratica.

Un reale esperimento consiste di un numero

finito di osservazioni e una successione x1, x2,

… xn di una certa quantità costituisce un

campione di dimensione n. Per questo

campione possiamo definire la media

aritmetica o media del campione

=

∑

e la varianza del campione

=

∑ (

- )²

la cui distribuzione dipenderà dalla

distribuzione parente e dalla dimensione del

campione Le due quantità sono funzioni di

variabili casuali e sono anche esse variabili

casuali. Infatti se prendiamo un nuovo

campione di dimensione n otterremo in

generale una nuova media aritmetica e una

nuova varianza : ossia queste grandezze

avranno una loro distribuzione, che dipenderà

dalle proprietà della distribuzione “parente” e

dalla dimensione n del campione.

Il nostro obiettivo è adesso come ricavare, a

partire dalle informazioni che ricaviamo da

un campione, informazioni che riguardano

l’intera popolazione. Naturalmente il

campione deve essere rappresentativo della

popolazione, altrimenti, come accade spesso

nei sondaggi, si ottengono risultati sbagliati.

Per la legge dei grandi numeri la media del

campione tende alla media della popolazione

al tendere di n all’infinito.

Infatti questa legge ( nella forma debole )

prevede che, dato un intero positivo ε, la

probabilità che la media del campione

differisca da μ di una quantità maggiore di ε

tende a zero nel limite di n infinito :

(

Si può anche dimostrare che il valore atteso

della media del campione coincide con la

media della popolazione e che il valore atteso

di s2 coincide con σ

2 .

Se il nostro campione è costituito da n coppie

( xi, yi) di valori di due grandezze casuali x e

y, si può definire la covarianza del campione

come

Cov (x,y ) =

∑ ( )( )

In questa espressione e sono le medie

aritmetiche del campione delle x e delle y

rispettivamente. Si può allora dimostrare che

il valore atteso della covarianza del campione

coincide con la covarianza della popolazione

delle x e y.