Probabilità 02 - 1 / 53 Lezione 4 Probabilità. Probabilità 02 - 2 / 53 Nella prima parte... La...

Probabilità 02 - 1 / 53

Lezione 4Probabilità


Nella prima parte ...

La definizione classica della probabilità:

n

sE P

La definizione frequentista della

probabilità: N

nE E

N limP

La definizione assiomatica della

probabilità:

assiomi diKolmogoroff

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A


Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità

definizione:

La probabilità P di un evento E è il limite a cui

tende il valore della frequenza relativa fE di E

quando N tende all’infinito.

N

nE E

N limP


Definizione a priori ( o “classica” ) della probabilità

definizione:

La probabilità P di un evento E è il rapporto fra

il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili

Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente.

La probabilità P di un evento E è certamente adimensionale!

n

sE P


Definizione assiomatica di probabilità

Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A•

•

• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi

dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:


parte 2Dalla probabilità

alla statistica


Sommario

• La probabilità: – funzioni di probabilità

• Variabili casuali– concetto di “variabile casuale”

• Popolazione oggetto– grandezza caratteristica – Introduzione ai modelli della popolazione oggetto

• funzione “di probabilità cumulativa”• funzione “densità di probabilità

• Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete


Funzioni di probabilità:

la necessità di un approccio corretto e rigoroso


Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff

Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di probabilità.

esempio 1:

• Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere: , ‚, , , .

• L’esperimento casuale consiste nella estrazione in successione di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta.

• Lo spazio campione S è dato da:

S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }


Necessità di approccio corretto e rigoroso

S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }

• Definiamo poi i seguenti eventi:

– E1: la prima pallina estratta sia bianca

– E2: la seconda pallina estratta sia bianca

– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera

– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche

– E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5

– E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5






S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }

• Lo spazio campione S è finito

ed è composto da 20 “punti campione”: # S = N = 20

Nsss N 121 P P P• I punti campione sono equiprobabili pertanto:

S

ii

#

# EE P

• Se si introduce la funzione

è abbastanza agevole verificare che essa soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.



• La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la probabilità che “la prima pallina estratta sia bianca”, cioè la probabilità dell’evento

E1.

S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) } : # S = 20

E1 = {(,‚), (,), (,), (,),

(‚,), (‚,), (‚,), (‚,) } : # E1 = 8

20

8

S

11

#

# EEP



S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }

• Definiamo poi i seguenti eventi:










S = { (●,●), (●,○), (○,●), (○,○) }



S = { (●,●), (●,○), (○,●), (○,○) }• Definiamo poi i seguenti eventi:







• individuata la probabilità p j di

ciascun punto campione: p j =

P [{ sj }] con j = 1, 2, … , N e con p j = 1

N

j 1

• definiamo per ogni evento Ei S:

• E1: la prima pallina estratta sia bianca

ij Esj

iE:

P p

j

20

8

20

6

20

21 EP


Dal confronto dei risultati potremmo dedurre che anche il primo metodo è corretto dato che i risultati sono uguali


• definiamo per ogni evento Ei S:

ij Esj

iE:

P p

j

20

8

S

11

#

# EEP

20

8

1:

Esj

1

j

EP p

j

Con il processo deduttivo è anche possibile dimostrare che60 è divisibile per 7


Funzione di probabilità

Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A•

•

• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi

dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:


Variabili casuali


(T,T) > (T,C) ?

Variabile casuale

premessa• Gli spazi campione possono essere insiemi di oggetti, di

grandezze fisiche, di descrizioni, ecc. non necessariamente trattabili dai comuni operatori matematici.

• La applicazione che realizza questa trasformazioneè la variabile casuale.

• Volendo definire dei modelli adatti allo studio di fenomeni casuali è pertanto opportuno rappresentare gli elementi dello spazio campione mediante numeri reali.

• Per fare ciò dobbiamo stabilireuna corrispondenza fra le possibili manifestazioni del fenomeno casuale trattato

e gli elementi di R .


Variabile casuale

definizione:

La variabile casuale X è una funzione avente come dominio

lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato

che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.

requisito:

l’insieme di tutti gli elementi

s S tali che la loro

immagine X(s) sia minore

di un determinato x R deve essere un evento.

x2 E = { s1, s3 }


Variabile casuale

esempio:Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete:

S = { (T,T), (T,C), (C,C) }Definiamo la variabile casuale X come: il “numero di teste risultanti”:

X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sX


Variabile casuale

requisito:

l’insieme di tutti gli elementi

s S tali che la loro

immagine X(s) sia minore

di un determinato x R deve essere un evento.

x2 = 2 E = { s0, s1 } = = “no 2 teste”

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sX


Variabile casuale

Nello spazio campione S non è rappresentata la “popolazione dei lanci effettuati”, ma sono presenti solo i “possibili risultati”.


“Mappatura” di S

(C,C) 0

(T,C) 1

(C,C) 2

Variabile casuale


Popolazione oggetto

• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.

• Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)

• Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).


Popolazione oggetto

Misurazione Variabile casuale


Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale

Caratteristica comune dellapopolazione

oggetto

Misure della caratteristicacomune della

popolazione oggetto

con dimensione fisica

con unità di misura

adimensionaleValori della

variabile casuale X


Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale

Caratteristica comune dellapopolazione

oggetto

Misure della caratteristicacomune della

popolazione oggetto

Valori della

variabile casuale X

Francesca Piccinini e Simona Gioli

h = 1,85 metri


Dallo spazio campione alla retta reale

tramite la variabile casuale

definizione:

La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo

spazio campione S e come codominio la retta reale,

fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.

convenzione:

Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con

x i valori che

essa assume


La modellazione della popolazione oggetto:

le funzioni di probabilità e le variabili casuali


Modello della popolazione oggetto

Le funzioni di probabilità, cioè la

– densità di probabilità fX ( x ) e la

– distribuzione cumulativa di probabilità FX ( x ),

sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione

oggetto per quanto è attinente al

valore (della misura) della caratteristica comune.


Funzione di distribuzione cumulativa

definizione:

Data una variabile casuale X si definisce

funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) quella funzione che:

• ha per dominio l’asse reale• ha per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ]• ed è definita come:

FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]



FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]

A rigore:

La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità dell’evento costituito

da tutti i punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .



FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]

In termini semplificati:

La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X

la somma delle probabilità dei punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .


Le funzioniper le

variabili casualidiscrete


Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta

esempio:

Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete:

S = { (T,T), (T,C), (C,C) }

Sia X la variabile casuale che indica il “numero di teste risultanti”:

X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sX


spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) }

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sXvariabile casuale:

probabilità deitre punti campione:

P (s0) = 0,25

P (s1) = 0,5

P (s2) = 0,25

Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta

FX ( x ) = P [ X x ]


riassumendo: Funzione di distribuzione cumulativa

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sX

P (s0) = 0,25

P (s1) = 0,5

P (s2) = 0,25

FX ( x ) = P [ X x ]


Funzione di densità discreta

definizione:

Data una variabile casuale discreta X avente codominio

{ x1 , x2 , … , xn , … } R si dice

“ funzione di densità discreta di X ” o “ funzione di probabilità ”

quella funzione fX ( x ) che:

• ha per dominio l’asse reale,• ed è definita da:

j

jj

Xxx

njxxxXxf

se

conse ,,,2,1,

0

P



In termini semplificati:

La funzione di densità discreta associa ad ogni

valore x della variabile casuale X la probabilità del

punto campione s che ha immagine X ( s ) uguale ad x

j

jj

Xxx

njxxxXxf

se

conse ,,,2,1,

0

P


spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) }

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sXvariabile casuale:

probabilità deitre punti campione:

P (s0) = 0,25

P (s1) = 0,5

P (s2) = 0,25


j

jj

Xxx

xxxXxf

se

se

0

P


riassumendo: Funzione di densità discreta

)(2

)(1

)(0

)(

2

1

0

TT,se

CT,se

CC,se

ss

ss

ss

sXP (s0) = 0,25

P (s1) = 0,5

P (s2) = 0,25

j

jj

Xxx

njxxxXxf

se

conse ,,,2,1,

0

P



• Gli elementi dell’insieme { x1 , x2 , … , xn , … } R vengono indicati con il nome di “punti massa”.

• La funzione di densità discreta fX ( x ) è una funzione

da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà:

più precisamente: fX ( x ) > 0 per ogni x = xj e

fX ( x ) = 0 per ogni x xj

ove la sommatoria è estesa a tutti punti massa x1 , x2 , … , xn , …

R xxf x ,0

1j

jx xf


Legami fra fX e FX ( x )

• La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )

è legata alla funzione di densità discreta fX

della stessa variabile casuale X dalla relazione:

xxj

jX

j

xf:

FX (x)


funzione di

densità discreta fX ( x )

funzione di distribuzione

cumulativa F X ( x )


xxj

jX

j

xf:

FX (x)



• La funzione di densità discreta fX è legata alla

funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )

della stessa variabile casuale X dalla relazione:

j

jjh

j

Xxx

xxhxxxf

se

0

lim0

FX FX


funzione di distribuzione

cumulativa F X ( x )

funzione di

densità discreta fX ( x )


jjh

jX xxhxxxf

se0

limFX FX


Variabili casualicontinue

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