Forze elastiche

prof. Chiefari

marzo 2014

Capitola 5

Forze elastiche

5.1 Introduzione

Molti oggetti solidi incontrati nella vita quotidiana ci sembrano indeformabili, mentre ( vedj figura 3 ) ...

1. per azione di F il solido si accorcial

di i3.h F

s2. una volta deformato, il corpo eser­cita una forza .r uguale ed opposta alla forza f

3. se I fie tale che i3.h/h « 1, la deformazione ereversibile

4. i3.h = ~f, dove E e il modulo di Young

Fig.3

Da tutto questo discende la legge di Hooke (vedi "De Potentia restitutiva", Londra 1678 ) : fh = -ki3.h con k = ES/h, ossia la componente longitudinale fh della forza di reazione del corpo e proporzionale ed opposta all'allungamento i3.h. Osservando la figura 4, ). si nota che la legge di Hooke vale fino a che non si raggiunge il limite di elasticita ( punta A ) ; oltre si pUG arrivare, passando per una regione di deformazione permanente ( intorno al punto A' ) al carico di rottura ( punto R ). L'andamento di fig.4 vale per la maggior parte dei metalli; i materiali fragili si spezzano appena viene superato il limite elastico.

Da notare che in generale ci sono 36 coefficienti di elasticita...

1

R

;'

;'/

/'/1. I I / I

/;' I I I ;' I I I

/ I0' ;' I I I

I I Io.e:....-----.l.--.l..--...l­ __

r

Fig.4

I [ I

J./;' /1

;' ;,r I

La forza di reazione della molla ef = -bil, in cui k ela costante elastica della molla, che dipende dal materiale, dal raggio del filo e dal raggio della spira. C'e da notare che k si misura in N/m.

Fig.S

Analoghe considerazioni si possono fare per una molla ( vedi figura S )

La costante k puo essere misurata in laboratorio, usando due differenti procedimenti, il metoda "statico" e quello "dinamico".

5.2 Metoda statico

Consiste nel misurare l'elongazione di una molla quando viene appeso ad un estremo un certo peso p = mg. Da notare che alla latitudine di Napoli, il valore dell'accelerazione di gravita g e pari a ~ 9.80m/52

Pi'll realisticamente, si mettono via via dei dischetti metallici in un supporto , agganciato ad un estremo della molla e si rnisura il corrispondente allungamento della molla stessa, che puo cssere letto su una scala millimetrata, parallela alla molla, come si vede dalle due figure seguenti.

2

In laboratorio saranno a disposizione almeno due molle, con costante elastica diversa. Per ognuna di esse, si fara un grafieo dell'allungamento in funzione della forza ( 0 meglio della massa). Per lc masse si usa una bilancia elettronica con errore di sensibilita pari a 0.01 g : per fare in modo che l'errore massimo sulle masse sia costante, C bene pesare di volta in volta tutti i dischetti prima di agganciarli al supporto. L'errore di misura sugli allungamenti Calmeno 1 mm, sicche si notera che l'errore relativo sull'allungamento emaggiore dell'errore relativo sulle masse. La variabile dipendente quindi el'allungamento. Prima di andare aventi bisogna controllare che i punti siano allineati: se c'c qualche punto che scarta di molto vuol dire 0 che cstato misurato male e quindi andrebbe rimisurato oppure si comincia a notare una deviazione dalla legge di Hooke. Una volta assicuratisi che i punti sono realmente allineati, bisogna capire che tipo di fit effettuare. Poiche l'allungamento enoto con errore massimo ma ci sono tutte Ie condizioni che l'errore statistico sconosciuto possa essere ritenuto costante per tutti i punti sperimentali, si pUG effettuare in fit non pesato e, con l'uso di Regr.Lin per esempio, ricavare i valori dei parametri della retta con i relativi errori. Se l'intercetta non c compatibile con zero, bisogna capirne il motivo : una causa possibile potrebbc essere un errata determinazione della posizione della prima aletta che influenza tutte le letture degli allungamenti. Infine la costante elastica della molla edata dal rapporto fra g e la ppndenza della retta, da cui e possibile ricavare anche 1'errore su k.

5.3 Metodo dinamico

Se si estende la molla e poi la si abbandona, si hanno oscillazioni con W = Jk/m, dove m e la massa sospesa alla molla. lVIisurando il periodo T = 21r/w = 21rJm/k , si determiua k. In pratica si fa un grafico di T2 in funzione di me, se i punti sono allineati, dalla pendenza della retta di best-fit si ricava k. Anche qui la variabile dipendente e la massa: il periodo viene determinato misurando almena 20 volte la durata di almeno 20 oscillazioni consecutive e tuttavia il rapporto fra sigma della media e media e maggiore dell'errore relativo sulk masse Ovviamente bisogna effettuare un fit pesato e controllare alla fine la bonta del chi quadro. Per un motivo, che vedremo fra breve, l'intercetta non puo essere compatibile con zero. 11 valore di k si ottiene dividendo per la pendenza il termine 41r2 , da cui e possibile ricavare anche l'errore.

Si puo fare un grafico, su scala logaritmica,

In T = In(21r) - 0.51n k + 0.51n m

e, dopo aver controllato che la pendenza sperimentale della retta di hest fit sia compatibile con 0.5, ricavare k dalla stima dell'intercetta : tuttavia questo metoda puo essere pericoloso, perchc epili difficile il controllo degli errari sistematici.

Sia che si grafichi T 2 in fUIlzione di m sia che si grafichi lnT in funzione di lnm, il best .fit deve essere pesato.

5.4 Conclusioni

1. metodo statico E' buona norma evitare che i valori delle masse, poste nel supporto , siano fra loro

3

intervallate di una quantita eostante ( evitare per esempio 109, 20g, 30g ... ) sia per ridurre gli errori sistematiei, sia per evitare ehe, a causa degli eHori di sensibilita ehe possono eoprire Ie fluttuazioni statistiehc, i punti risultino per.fettamente allineati ( fatto questo che " potrebbe" generare sospetti ... ) Rieordarsi infine ehe il secchiello Canche esso una massa sospesa I

2. metoda dinamico Una molla reale ha una sua massa, che non 2: sempre leeito trascurarc. Se f-L Eo la massa della molla, si pUG vedere ehe, piu correttamente,

Inoltre, per fare oscillare la molla, Eo sufficiente un piccolo spostamento dalla posizio­ne di equilibrio : questo riduce l'effetto di indesidcrate oscillazioni trasversali, che si aggiungono alle oseill3ozioni verticali e che perturbano naturalmentc l'andamento del fenomeno.

Per misurare T, conviene misurare la durata t di un certo numcro n eli oscillazioni ( T = tin) eel inoltre eonviene effettuare misure ripetute eli t, per 30vcre alla fine la migliore stima eli T e elel suo errore elella media.

3. Dulcis in fundo

• Controll3ore i v3olori trovati dei p30rametri delle rette : in p3orticolare, se i valori delle intercette non sono compatibili can zero, cercare di capirne il perche.

• Controllare 130 eonsistenza dei v3olori di k ottenuti con i due metodi e, in caso 3offermativo, fare la media pesata.

• Si pUG dimostrare ( vedi ad es. Mencuccini-Silvestrini, csercizio V.10 ), ehe el ue molle poste in serie ( vedi figure seguenti ) , aventi costanti k1 e k:2, sono equi­valenti ad unica molla aventc costante elastica kt = (klk2)/(k1 + k2). Nella lczione precedente abbiamo visto come si ricava l'errore su k L. Dopa avere misu­rato la costante elastica, con il metoda statico, eli due molle in serie, eontrollare la consistenza Era valore teorico e quello sperimentale .

E abbastanza opportul1o ricordare che i problemi di consistenza prima esposti Sl [1­

solvanG abbastanza semplicemente, se si estudiato ad es. il §5.8 del Taylor 0 se si c capito come applicare il test del X2

.

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