Propagazione delle varianze,

conosciuta come propagazione

degli errori.

Siano x1, x2, … x n n variabili casuali e

poniamo

, , … ) = y ( )

Supponiamo inoltre nota la matrice delle

covarianze delle x e vogliamo determinare la

varianza di y.

Se facciamo uno sviluppo in serie di Taylor,

bloccata al primo ordine, intorno al valore

= ( , , … )

di (x1, x2, … x n ), abbiamo

y ( ) = y( ) + ∑ - )

più termini di ordine superiore e dove la

derivata è calcolata in = .

Il valore atteso di questa espressione vale

{ ( )} )

più termini di ordine superiore, poiché ogni

termine del primo ordine vale zero.

Solo nel caso in cui le quantità ( xi – μi )

siano piccole, i termini di ordine superiore

possono essere trascurati.

A questo punto si può ottenere la varianza di

y.

V{ ( )}=E{ ( ) [ ( )]}2 { ( ) ( )}

Per quanto detto prima, sempre trascurando i

termini di ordine superiore, si ha che

V{ ( )} ∑ ∑

( )

dove le derivate sono calcolate in = .

Per n variabili indipendenti tutti i termini di

covarianza sono zero e la varianza di y vale

V{ ( )} ∑ (

)² ( )

Un esempio.

Consideriamo la media aritmetica di n

variabili indipendenti x1, x2, … x n aventi tutti

la stessa varianza σ²:

=

∑

Le derivate parziali di y rispetto ad ogni xi

valgono 1/n e le derivate di ordine più alto

sono nulle.

Ne consegue, senza nessuna approssimazione

che la varianza della media aritmetica vale

) = ∑ (

)² σ²

²

Campione e popolazione

Una funzione di densità di probabilità f(x) per

una variabile continua o, equivalentemente,

un insieme di probabilità nel caso discreto

descrivono le proprietà di una popolazione. In

fisica si associa una variabile casuale all’esito

di una osservazione e la p.d.f. f(x)

descriverebbe l’esito di tutte le possibili

misure su un sistema se le misure fossero

ripetute infinite volte nelle stesse condizioni

sperimentali. Poiché ciò è impossibile, il

concetto di popolazione per un fisico

rappresenta un'idealizzazione che non può

essere ottenuta nella pratica.

Un reale esperimento consiste di un numero

finito di osservazioni e una successione x1, x2,

… xn di una certa quantità costituisce un

campione di dimensione n. Per questo

campione possiamo definire la media

aritmetica o media del campione

=

∑

e la varianza del campione

=

∑

- )²

la cui distribuzione dipenderà dalla

distribuzione parente e dalla dimensione del

campione Le due quantità sono funzioni di

variabili casuali e sono anche esse variabili

casuali. Infatti se prendiamo un nuovo

campione di dimensione n otterremo in

generale una nuova media aritmetica e una

nuova varianza : ossia queste grandezze

avranno una loro distribuzione, che dipenderà

dalle proprietà della distribuzione “parente” e

dalla dimensione n del campione.

Il nostro obiettivo è adesso come ricavare, a

partire dalle informazioni che ricaviamo da

un campione, informazioni che riguardano

l’intera popolazione. Naturalmente il

campione deve essere rappresentativo della

popolazione, altrimenti, come accade spesso

nei sondaggi, si ottengono risultati sbagliati.

Per la legge dei grandi numeri la media del

campione tende alla media della popolazione

al tendere di n all’infinito.

Infatti questa legge ( nella forma debole )

prevede che, dato un intero positivo ε, la

probabilità che la media del campione

differisca da μ di una quantità maggiore di ε

tende a zero nel limite di n infinito :

Si può anche dimostrare che il valore atteso

della media del campione coincide con la

media della popolazione e che il valore atteso

di s2 coincide con σ

2 .

Distribuzioni di probabilità

Si possono diverse distribuzioni di

probabilità: quelle di cui parleremo per il

momento è la distribuzione binomiale, quella

di Poisson, quella uniforme, quella normale e

quella del χ².

Distribuzione binomiale. Supponiamo di avere due esiti esclusivi A e Ā

di un certo esperimento: A è chiamato un

“successo” e Ā un “insuccesso”. Per ogni

esperimento sia p ( 0 ≤ p ≤ 1 ) la probabilità

che si verifichi un successo e q=1-p la

probabilità di un insuccesso. Allora per una

successione di n prove indipendenti, la

probabilità di avere r successi e n-r insuccessi

è data :

) ( ) pr

( 1-p)n-r

dove il coefficiente binomiale

( ) =

)

tiene conto che non è importante l’ordine con

cui si verificano gli r successi. Questa

distribuzione si dice anche di Bernoulli, dal

nome dello scienziato svizzero Jakob

Bernoulli.

Si può dimostrare ( vedi “Severi”) che μ=

E(r) = np e che la varianza V(r) =np(1-p).

Il grafico che segue mostra l’andamento di

una binomiale per diversi valori di p e di n:

all’aumentare di n tende ad una distribuzione

normale.

Distribuzione di Poisson

In una distribuzione binomiale può capitare

che p sia molto piccola ed n molto grande,

sicché il valore atteso μ = np può essere

considerevole.

Nel caso limite che p tenda a zero ed n tenda

all’infinito con μ finito, si dimostra che la

binomiale può essere scritta come

)

con r=1,2,….

che costituisce la distribuzione scoperta da

Siméon_Denis Poisson.

Un tipico caso in cui si applica questa

distribuzione è quella degli eventi rari.

Si può dimostrare che E(r) = μ e che la

varianza vale ancora μ.

La prossima figura illustra la distribuzione di

Poisson per diversi valori di p: anche essa

tende ad una distribuzione normale al

crescere di μ.

Distribuzione uniforme

Immaginiamo di avere una variabile continua

x che abbia p.d.f. costante sull’intero

intervallo in cui essa sia definita. Allora

) =

con a ≤x ≤ b fornisce una p.d.f. costante.

Si può vedere che

)

)

)

)²

)

dove F(x) è la funzione di distribuzione

cumulativa.

La prossima figura illustra f(x) e F(x).

Distribuzione normale ( o di Gauss )

Questa distribuzione deriva da una

binomiale quando n tende all’infinito. Fu

trovata inizialmente da Abraham de

Moivre e da Pierre-Simon de Laplace;

deve il suo nome anche a Gauss in quanto

egli l’ha applicata agli errori di misura. La

p.d.f. normale ad una dimensione ha la

forma generale :

)

√ )

con - ∞ ≤ x ≤ ∞

Si può dimostrare che E(x) = μ e che V(x) =

σ2. Quindi i parametri μ e σ

2 che compaiono

nella distribuzione hanno il solito significato

di valore medio e varianza della distribuzione.

La distribuzione normale è simmetrica

intorno a μ e quindi la mediana coincide con

μ. Inoltre ha la sua moda ( ossia il suo

massimo) per x = μ. Si può vedere inoltre che

ad una distanza ± σ da μ si hanno due punti di

flesso. La figura successiva illustra differenti

distribuzioni normali aventi la stessa media.

La distribuzione normale N(μ, σ2 ) può essere

trasformata in una forma più conveniente

mediante l’introduzione della variabile ridotta

z = (x-μ)/σ.

Questo dà origine alla p.d.f. normale

N(0,1) = 1/√2π exp( -1/2 z2 )

con z compreso fra -∞ e +∞.

Questa forma di p.d.f. è più semplice da

tabellare perché dipende dalla sola variabile z.

La distribuzione cumulativa G(z) gode della

proprietà che G(-z) = 1 – G(z). La successiva

figura illustra N(0,1) e la sua funzione di

distribuzione cumulativa.

La funzione di distribuzione cumulativa

standard G(z) è usata per determinare il

contenuto di probabilità di un dato intervallo

per un valore distribuito normalmente e

viceversa per determinare un intervallo

corrispondente ad una certa probabilità.

Sia x una variabile casuale distribuita secondo

N(μ, σ2 ). Vogliamo determinare la probabilità

che x cada entro un certo intervallo [a,b].

Ora P( a ≤ x ≤ b) = P( x ≤ b) – P( x ≤ a), che è

equivalente a scrivere che

P( a ≤ x ≤ b) = G[(b-μ)/σ] - G[(a-μ)/σ].

Usando le opportune tavole si trova che :

P( - ) 2 G(1) -1 = 0,6827

P( - ) 2 G(2) -1 = 0,9545

P( - ) 2 G(3) -1 = 0,9973

La prossima figura mostra N(μ, σ2 ) con le

varie zone che corrispondono a scarti da μ

pari a 1 σ, 2 σ e 3 σ.

È interessante sapere che la media aritmetica

di un campione di dimensione n , estratto da

una popolazione normale, si distribuisce

normalmente con media μ e varianza σ2/n .

È interessante sapere inoltre che (n-1) s2/ σ

2 si

distribuisce come un χ2 con n-1 gradi di

libertà, come vedremo in seguito.

Concludiamo con l’enunciare il teorema del

Limite Centrale dovuto sempre a Laplace.

Se x1, x2, … x N sono un insieme di N variabili

casuali indipendenti, ognuno aventi media

della popolazione μi e varianza finita ,

allora la variabile

∑ ∑

√∑

ha, come distribuzione limite, una

distribuzione normale, centrata su zero e

varianza pari ad 1.

In particolare la media aritmetica di n misure

xi della stessa grandezza fisica x nelle stesse

condizioni tende ad una distribuzione normale

con media µ e varianza σ² per n anche

se la distribuzione di x non è normale: la

cosa importante è che la varianza sia finita.Il

motivo per cui in laboratorio è consigliabile

effettuare misure ripetute è proprio legato al

Teorema del Limite Centrale.

La distribuzione del χ2

Consideriamo una grandezza x, che si

distribuisca secondo una distribuzione

normale, centrata intorno a X con varianza

σ². Introduciamo il concetto di variabile

standard z definendola come z = (x-X)/σ.

Si può dimostrare che z si distribuisce

secondo una distribuzione normale, centrata

sullo zero e con varianza pari ad 1.

Consideriamo ora ν variabili standard zi.

Possiamo definire allora la grandezza χ2

come la somma dei quadrati di ν variabili

standard:

Il parametro ν viene chiamato numero di

gradi di libertà.

Si può ricavare la funzione di distribuzione

fν(χ2), tale che fν(χ

2) d χ

2 dia la probabilità di

trovare un valore del chi quadro compreso fra

χ2 e χ

2+d χ

2:

dove C è un fattore di normalizzazione. Si

può vedere che

C= 2½ν

Γ(½ν)

dove Γ è la funzione Gamma di Eulero, che le

seguenti proprietà :

Γ(x+1) = x Γ(x)

Γ(½) = √π

Γ(1) = 1

A questo punto è possibile ricavare la

probabilità P(χ2

> χ2

0 ), ossia la probabilità di

trovare un valore di χ2

maggiore di uno

fissato χ2

0 .

e quindi ottenere il valore atteso e la varianza

del chi quadro :

In alcune situazioni è più opportuno usare il

cosiddetto chi quadro ridotto, definito come

rapporto fra il chi quadro e il numero di gradi

di libertà. Si ha in tal caso

La tabella A.16 del Severi mostra i valori del

χ2

ridotto ordinati per righe, individuate dai

valori di ν e per colonne individuate dai

valori di P(χ2/

χ20/ν ). La tabella D del

Taylor illustra i valori di P(χ2/

χ20/ν ) in

funzione di ν e di χ20/ν.

Nella figura seguente sono riportati gli

andamenti della funzione di distribuzione

fν(χ2)=f(u,ν) al variare di χ

2 per diversi valori

di ν.

In particolare si nota che f1 (χ2) , essendo

proporzionale a exp(-χ2/2)/√ χ

2, diverge per χ

2

tendente a zero.

Inoltre si nota che f2(χ2), essendo

proporzionale a exp(- χ2/2 ) , ha l'andamento

di un esponenziale decrescente.

Per ν maggiore di due, la funzione vale zero

per χ2

uguale a zero, manifesta un massimo

per un valore del χ2

pari a ν-2 e poi decresce

con una coda, più o meno lunga, verso lo

zero al divergere di χ2.

Come si vede, la funzione non è simmetrica,

ma tende, al crescere di ν ad una distribuzione

normale di pari valore atteso e varianza.

Nella pratica questo limite si ritiene raggiunto

per ν pari a circa 30.

È opportuno rimarcare infine che , quando

viene usato ai fini di test di ipotesi, il χ2

sperimentale χ2

0 deve essere tale che

P(χ2 > χ

20 ) ≥ 0.05

( ossia l'area sottesa dalla funzione di

distribuzione fra χ2

0 e ∞ deve essere

maggiore od uguale al 5 per cento ), affinché

l'ipotesi non sia rigettata. Talora questo taglio

del 5 per cento viene portato al 10 per cento.

Il motivo di questo taglio è dovuto al

desiderio di ridurre la possibilità di accettare

per buona un'ipotesi falsa a costo di perdere

un'ipotesi buona ma avente bassa probabilità

di verificarsi.