Gli strumenti di misura

Una misura si effettua mediante uno

strumento, un dispositivo che fornisce

una risposta quantitativa al confronto tra

la grandezza in esame e la corrispondente

unità di misura.

Uno strumento può essere schematizzato

da tre parti :

Un elemento rivelatore, sensibile

alla grandezza da misurare ( per

esempio il mercurio contenuto nel

bulbo di un termometro)

Un trasduttore, che trasforma

l’informazione ottenuta dal

rivelatore in una grandezza più

facilmente utilizzabile dallo

sperimentatore ( per esempio il

bulbo e il capillare trasformano una

variazione di temperatura in una

variazione di volume e quindi in

una variazione della quota

raggiunta dal pelo del mercurio )

Un dispositivo che fornisce

visivamente o graficamente il

risultato della misura ( per esempio

la scala graduata incisa lungo il

termometro, la posizione di un

indice mobile su una scala

graduata, come in una bilancia da

salumiere, o un display numerico )

Nel seguito indicheremo con G la

grandezza fisica in se stessa, con M(G) il

risultato della misura di G, con V(G) il

valore effettivo, sconosciuto, che aveva G

al momento della misura e con R(G) la

risposta dello strumento usato.

Non dimentichiamo che la risposta di uno

strumento analogico è il numero di

divisioni che leggiamo su una scala

graduata.

Per completare l’operazione di misura

occorre conoscere come varia la risposta

R(G) al variare di V(G). Occorre effettuare

la taratura dello strumento, mediante ad

esempio un grafico che faccia

corrispondere un valore della risposta al

valore della grandezza fisica G, supposta

nota per altra via.

Bisogna notare che erroneamente spesso

gli studenti chiamano taratura di uno

strumento quello che è invece un

semplice controllo dello zero dello

strumento stesso.

Un metodo alternativo di taratura è

quello di confrontare la risposta dello

strumento, di cui ignoriamo la taratura,

con la risposta di uno strumento di

riferimento. Il relativo grafico dovrebbe

essere una retta, bisettrice del primo

quadrante e passante per l’origine.

Vedremo più in là degli esempi di taratura

di strumenti, in particolare quella di un

dinamometro e quello di un termometro

a liquido.

Caratteristiche generali di uno

strumento: portata, soglia, sensibilità,

precisione e prontezza.

La portata e la soglia sono

rispettivamente il valore massimo e

quello minimo della grandezza da

misurare registrati dallo strumento.

La sensibilità S è legata alla variazione

minima apprezzabile e significativa del

valore di G ad un certo istante e, quindi,

in uno strumento analogico al minimo

spostamento misurabile di un indice su

una scala graduata.

Essa viene definita come la derivata di

R(G) rispetto a V(G), determinata nei vari

punti della scala, ossia da

Sperimentalmente S viene determinata

approssimando la derivata con il rapporto

incrementale, con l’avvertenza che il

denominatore può tendere a zero fino a

quando rimane significativo.

Nel grafico di taratura di R(G) in funzione

di V(G), S costituisce la pendenza della

curva e può essere costante, se la curva è

una retta.

In un normale metro della vita di ogni

giorno, in cui le divisioni sono

equispaziate di 1 mm, ci sono 1000

divisioni ( che costituiscono la risposta

dello strumento) e quindi S vale 1000

divisioni/m= 1 divisione/mm.

Bisogna non confondere il numero delle

divisioni con quello delle incisioni ( o

tacche ) sulla scala , che sono in questo

caso 1001 contando anche la tacca dello

zero.

In un doppio decimetro, con divisioni

spaziate di 1 mm, avremo ancora una

sensibilità di 1 divisione/mm. Se la

spaziatura fosse di 0,5 mm avremmo una

sensibilità di 2 divisioni/mm.

Le modalità di lettura sulla scala graduata

introducono un’incertezza sul valore : si

tratta dell’errore di sensibilità.

Quando si legge la posizione di un indice

su una scala, si cerca di individuare la

divisione più vicina all’indice.

Quindi tutte le posizioni di un indice che

differiscano tra di loro di più o meno

mezza divisione ( quando è possibile

apprezzarla… ) daranno origine alla stessa

lettura, che avrà a sua volta un’incertezza

di più o meno 0,5 divisioni/S. Più in

generale se indichiamo con 2ΔR(G)min la

minima variazione di risposta misurabile,

la corrispettiva incertezza su V(G), 2ΔV(G),

sarà data da 2ΔR(G)min /S.

Il fattore 2 serve a ricordarci che

l’indeterminazione sulla lettura di R(G)

comporta che il valore effettivo è

compreso fra

R(G)-ΔR(G)min e R(G)+ ΔR(G)min

e quindi il valore della grandezza misurata

cade nell’intervallo compreso fra

M(G)-ΔV(G) e M(G)+ ΔV(G)

Per convenzione si esprime questa

indeterminazione indicando come

risultato della misura

M(G) ± ΔV(G)

La quantità ΔV(G) è detta errore di

sensibilità, perché lo strumento non è

sensibile in un intervallo pari a 2 ΔV(G)

intorno al valore misurato.

Quanto detto finora si applica agli

strumenti analogici. Per gli strumenti

digitali non si può parlare di sensibilità ma

solo di errore di sensibilità. A meno di

istruzioni particolari date dal costruttore,

si può assumere che in uno strumento

digitale 2 ΔV(G) sia pari ad un’unità sulla

cifra meno significativa.

Attenzione :

su alcuni libri si confonde la

sensibilità S con la risoluzione,

che è il più piccolo valore di G

che lo strumento può misurare.

La precisione è legata al fatto che le

misure ripetute della stessa grandezza

fisica, in condizioni ambientali costanti,

non danno lo stesso risultato, ma

mostrano una dispersione, che dipende

dalle caratteristiche costruttive dello

strumento, che sono a loro volta

influenzate da attriti, giochi meccanici,

fenomeni di isteresi, fluttuazioni di livelli

elettrici. Lo strumento sarà tanto più

preciso quanto più stretta è la larghezza

di questa dispersione: vedremo

successivamente come quantificare il

concetto di precisione.

La prontezza è legata al tempo necessario

affinché lo strumento risponda ad una

data variazione della grandezza da

misurare.

Per esempio un termometro, immerso

inizialmente nel ghiaccio fondente e poi

immerso nell’acqua bollente, non

raggiungerà istantaneamente la

temperatura finale ma impiegherà un

certo tempo, che dipende da termometro

a termometro. Questo tempo a sua volta

dipende da un tempo caratteristico τ, che

può essere ottenuto sperimentalmente.

I vecchi termometri clinici ( quelli alti circa 20 cm

! ) richiedevano quasi 10 minuti di attesa prima

di poter sapere se uno aveva la febbre oppure

no.

Cifre significative

Il risultato di una misura è espresso in generale

da un numero avente una parte intera e una

parte decimale, separate dalla virgola.

Nei casi, in cui si hanno numeri molto maggiori o

molto minori di 1, si preferisce usare la

cosiddetta notazione scientifica, che consiste

nello scrivere il dato con una sola cifra prima

della virgola moltiplicato per una opportuna

potenza di 10.

Ad esempio il numero 0,000123 può essere

scritto in notazione scientifica come 1,23∙10-4 e il

numero 12345,6789 come 1,23456789∙104.

Chiameremo cifre significative di un numero

tutte le cifre, compreso lo zero, a partire da

destra fino all'ultima, diversa da zero, a sinistra.

Se usiamo la notazione scientifica, questa

definizione si applica solo al termine che precede

la potenza di 10.

Esempi:

0,000123 = 1,23∙10-4 ha 3 cifre significative.

12345,6789 = 1,23456789∙104 ha 9 cifre

significative.

0,0001230 = 1,230∙10-4 ha 4 cifre significative, in

quanto lo zero a destra è significativo. Questo è

dovuto al fatto che quando scriviamo 1,23∙10-4

vogliamo dire che esso è maggiore di 1,22∙10-4

e minore di 1,24∙ 10-4, mentre, quando scriviamo

1,230∙10-4 vogliamo dire che esso è maggiore di

1,229∙10-4 e minore di 1,231∙10-4. In definitiva

l'ultima cifra a destra indica in qualche modo il

livello di precisione con cui conosciamo la

grandezza in esame. D'altra parte questo livello

di precisione non può dipendere dalla scelta

delle unità di misura e questo implica che gli zeri

a sinistra del risultato non siano significativi.

Ad esempio se riteniamo di avere un'incertezza

Δl di 1 mm su una lunghezza, misurata con il

doppio decimetro, la significatività di questa

incertezza non può cambiare se usiamo i multipli

o i sottomultipli dell'unità di lunghezza :

Δl = 1 mm = 0,1 cm =1∙10-3 m = 1∙10-6 km

ha sempre una sola cifra significativa.

Da quanto detto prima, non si può scrivere il

risultato di una misura con un numero molto

grande ( infinito al limite ) di cifre significative,

perché questo implicherebbe un'incertezza

molto piccola ( nulla al limite ) sulla misura

stessa. D'altronde anche la stima dell'incertezza

è frutto di una misura e quindi anche l'errore va

scritto con un numero limitato di cifre

significative.

Nei laboratori di ricerca si possono organizzare

esperimenti di alta statistica ( in cui si raccoglie

un elevato numero di eventi ), tali da giustificare

un errore scritto con due cifre significative. Nelle

normali prove di laboratorio però l'errore va

scritto con una sola cifra significativa, con

un'eccezione, rappresentata dai casi in cui la

prima cifra significativa dell'errore sia un 1

oppure un 2. Supponiamo che la stima

dell'errore dia un numero del tipo 0,1413... :

scrivere questo errore con una sola cifra

significativa (ossia 0,1) comporterebbe un errore

di arrotondamento troppo grande, per cui è

meglio scrivere 0,14 con due cifre significative.

In ogni caso è opportuno avere almeno una cifra

significativa in più nei calcolo intermedi, per

evitare spiacevoli arrotondamenti da parte del

calcolatore da noi usato, e applicare le regole

precedenti solo al momento di scrivere il

risultato finale.

Avendo scritto l'errore con il corretto numero di

cifre significative, a questo punto il risultato della

misura va scritto con lo stesso numero di cifre

decimali dell'errore : si scriverà ad esempio 99 ±

1 mm e non 99,0 ± 1 mm.

Le regole, enunciate precedentemente, valgono

anche per le misure indirette, ossia per quelle

misure, il cui risultato dipende dai valori di altre

grandezze, misurate direttamente. Il volume di

un parallelepipedo costituisce un esempio di

misura indiretta, una volta che sia stata misurata

la lunghezza dei tre spigoli.

Restano infine da fissare alcune norme, da

seguire nell'eliminare le cifre eccedenti.

Se la prima cifra eliminata è <5, basta

effettuare un semplice troncamento :

ad esempio se il dato è 0,147... e deve essere

scritto con una sola cifra significativa, il

risultato finale va scritto come 0,1.

Se la prima cifra eliminata è > 5 oppure è 5

seguita da almeno un'altra cifra diversa da

zero, si aumenta di 1 l'ultima cifra rimasta.

Per esempio 0,16 si scrive 0,2 con una sola

cifra significativa, mentre 0,551 si scrive 0,56

con due cifre significative e 0,6 con una sola

cifra significativa ; 0,99 si scrive 1 con una

sola cifra significativa.

Rimane il caso ambiguo in cui l'ultima cifra

eliminata è solo un 5 oppure è un 5 seguito

da zeri : i criteri esposti prima non sono

applicabili. Bisogna stabilire un criterio ad

hoc : per non rischiare di fare scelte

sistematiche , un possibile modo di fare è

quello di aumentare di 1 l'ultima

cifra, se il numero, che si ottiene dal

troncamento, è un numero dispari, e

di lasciarla inalterata nel caso contrario.

Supponiamo di dover scrivere con

tre cifre significative 4,875 e 4,885. Il primo

numero, troncato a tre cifre

significative, è 4,87 ed è dispari, per cui si

scrive correttamente 4,88.

Il secondo numero troncato è 4,88, ossia

pari, e quindi rimane 4,88.

Un’utile avvertenza.

Scrivere il valore di una grandezza

fisica con un numero decimale

consente di valutare il numero di cifre

significative. Lo stesso non accade se il

numero è intero.

Se diciamo che la distanza fra due

punti è 1000 m intendiamo che la

distanza è compresa fra 999 m e 1001

m oppure che semplicemente è

maggiore di 500 m e minore di 1500 m

?

In alcuni libri si fa l’ipotesi che i tre

zeri presenti in 1000 non siano

significativi perché uno potrebbe

scrivere che la distanza è di 1 km.

Resta tuttavia l’ambiguità.