Formulario Matematica

Formulario

2012 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Nuovo Lezioni di Matematica

Numeri reali

Radicali doppi

a b a a b a a b± = + − ± − −2 2

2 2

Equazioni di secondo grado

ax bx c a x b b aca

21 2

20 0 4

2+ + = ≠ = − ± − ( ) , x x b

ax x c

a1 2 1 2+ = − ⋅ =

Disequazioni di secondo grado

T = ax2 + bx + c a ≠ 0

Siano x1, x2 le radici reali dell’equazione ax2 + bx + c = 0; il segno di T è:

a > 0 ∆ > 0 T a < 0 ∆ > 0 T

∆ = 0 T ∆ = 0 T

∆ < 0 T ∆ < 0 T

Equazioni irrazionali

A x B x A x B x n

A x

nn

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 12 1

0

2

+ += = ∈

=

BB xA x B x

B xn

n

( )( ) ( )

( )( )

= ≥

∈

2

00

A x B x A x B x n

A x

nn

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 12 1

0

2

+ += = ∈

=

BB xA x B x

B xn

n

( )( ) ( )

( )( )

= ≥

∈

2

00

Disequazioni irrazionali

A x B xB xA xA x B x

A x( ) ( )( )( )

[ ( )] ( )( )>

≥>

>

<

00

2

BB x A xB x

A xA x B x

( ) ( )( )

( )[ ( )] ( )

<≥

∪ ≥<

00

02A x B x

B xA xA x B x

A x( ) ( )( )( )

[ ( )] ( )( )>

≥>

>

<

00

2

BB x A xB x

A xA x B x

( ) ( )( )

( )[ ( )] ( )

<≥

∪ ≥<

00

02

Valore assoluto. Proprietà

Valore assolutoa a

aa a

se

se

≥=

− <

0

0

Proprietà

1. | a | = 0 ⇔ a = 0

2. | a | = |–a | (∀a ∈R)

3. | a · b | = |a | · | b | (∀a, b ∈R)

4. 1 1

0 0b bb a

b

a

ba b= ∀ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈R R R; ( , )

x2x1

x1 ≡ x2

x2x1

x1 ≡ x2

x2x1

x1 ≡ x2

x2x1

x1 ≡ x2

5. | a | = | b | ⇔ a = b ∨ a = –b 6. | a | ≤ b ⇔ – b ≤ a ≤ b (∀a ∈R ; ∀b∈R0

+)

| a | ≥ b ⇔ a ≤ –b ∨ a ≥ b

7. | a | ≤ | b | ⇔ a2 ≤ b2 (∀a; b∈R)

8. a a a2 = ∀ ∈( )R

9. a b a b a b a b− ≤ + ≤ + ∀ ∈( , )R

⇔ ⇔

⇔ ⇔

1

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P1(x1; y1)

P2(x2; y2)

P3(x3; y3)

distanza

punto medio di P1P2 x x y y1 2 1 2

2 2+ +

;

P P x x y y1 2 1 22

1 22= − + −( ) ( )

baricentro G del triangolo P1P2P3 area del triangolo P1P2P3 = =( )P P P S1 2 3

12

G x x x y y y1 2 3 1 2 3

3 3+ + + +

;

dove S

x y

x y

x y

=1 1

2 2

3 3

1

1

1

cioè (P1P2P3) = 12 1 2 1 3 2 3 3 2 3 1 2 1

x y y x x y x y y x x y+ + − − −

traslazione d’assi P(x; y) nel sistema xOy P (X; Y) nel sistema XO1Y, con O1(x0; y0)

diretta inversaX x xY y y

x X xy Y y

= −= −

= += +

0

0

0

0diretta inversa

X x xY y y

x X xy Y y

= −= −

= += +

0

0

0

0

Coordinate cartesiane nel piano

La retta

retta P1P2 P1(x1; y1), P2(x2; y2)

(x – x1) (y2 – y1) = (y – y1) · (x2 – x1)

retta in forma implicita

ax + by + c = 0

retta in forma esplicita

y = mx + q

coefficiente angolare

m ab

= −

retta per P0 (x0; y0)

y – y0 = m (x – x0)

condizione di parallelismo

m = m ′

condizione di perpendicolarità

m · m ′ = –1

distanza del punto P (x0; y0) dalla retta ax + by + c = 0

dax by c

a b=

+ +

+

0 0

2 2

matrice

A

a a a

a a a

a a a

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det A

a a a

a a a

a a a

=11 12 13

21 22 23

31 32 33

det A a a a a a a a a a a a a= + + −11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 311 11 23 32 12 21 33− −a a a a a a

a12a11

a21

a31 a32

a13

a33

a23

a11

a31

a21

a12

a32

a22a22

Determinante

2

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Isometrie

P (x; y) P′(x′; y ′)

τv

ttrraassllaazziioonnee ddii vveettttoorree (( ;; ))vv aa bb

P Pτ

v → ′ tale che PP @′ = v

τ τv v

: :′ = +′ = +{ = ′ −

= ′ −{−x x ay y b

x x ay y b

1

S P PC

SCsimmetria di centro taleC x x(( ;; ))00 00

→ ′ cche PC CP= ′

Sx x xy y y S

x x xy y yC C: :

′ = −′ = −

= − ′= − ′

−22

22

0

0

1 0

0

Sr simmetria rispetto alla retta r

r y y Sx xy y yr: := ′ =′ = −

0

02

r x x Sx x x

y yr: := ′ = −

′ =0

02

r y x Sx yy xr: := ′ =′ ={

r y x S x y

y xr: := − ′ = −

′ = −

r y mx q Sx

mm x my mq

yr: :

( )= +

′ =+

− + −

′ =

11

1 2 2

11

22

+++ − +

mmx m y q2

22 1 2( )

Circonferenza

centro (α; β) raggio = r (x – α)2 + (y – β)2 = r2 #: x2 + y2 + ax + by + c = 0

centro − −

= + −a b r a b c2 2 4 4

2 2;

tangente in P0(x0; y0) Œ # xx yy a

x xb

y yc0 0

0 0

2 20+ +

++

++ =

lunghezza circonfenza = 2π · r area del cerchio = πr 2

lunghezza arco = r · α area del settore = 12

2r ⋅α

(α è l’ampiezza in radianti dell’angolo al centro corrispondente)

Parabola

• con asse di simmetria parallelo all’asse y g : y = ax2 + bx + c

vertice − −

ba a2 4

; D ∆ = b2 – 4ac

fuoco − −

ba a2

14

; D

direttrice ya

= − +14D

asse di simmetria x ba

= −2

tangente in P0(x0; y0) Œg y y

axx bx x

c+

= ++

+00

0

2 2

• con asse di simmetria parallelo all’asse x g : x = ay2 + by + c

vertice − −

D4 2a

ba

;

fuoco 14 2− −

Da

ba

;

direttrice xa

= − +14D

asse di simmetria y ba

= −2

tangente in P0(x0; y0) Œg x xayy b

y yc

+= +

++0

00

2 2

3

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• con i fuochi sull’asse x : xa

yb

2

2

2

2 1− =

(oppure Ax2 – By2 = C con A, B, C positivi)

vertici (a; 0), (–a; 0) fuochi (c; 0), (–c; 0)

c a b= +2 2 eccentricità e c

a= >1

asintoti y ba

x= , y ba

x= −

tangente in P x y0 0 0( ; ) ∈ − =

xx

a

yy

b0

20

21

• con i fuochi sull’asse y :yb

xa

2

2

2

2 1− =

(oppure By2 – Ax2 = C con A, B, C positivi)

vertici (0; b), (0; –b) fuochi (0; c), (0; –c)

c a b= +2 2 eccentricità e cb

= >1

asintoti y ba

x= , y ba

x= −

tangente in P x y0 0 0( ; ) ∈ − =

yy

a

xx

b0

20

21

Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria

• con i fuochi sull’asse x x2 – y2 = a2

vertici (a; 0), (–a; 0)

fuochi ( ; ), ( ; )a a2 0 2 0−

c a= ⋅ 2

eccentricità e = 2

asintoti y = x, y = –x

• con i fuochi sull’asse y y2 – x2 = a2

vertici (0; a), (0; –a)

fuochi 0 2 0 2; , ;a a( ) −( )c a= 2

eccentricità e = 2

asintoti y = x, y = –x

Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti

xy = k asintoti x = 0, y = 0

se k > 0 vertici k k k k; , ; ,( ) − −( )se k < 0 vertici k k k k; , ;−( ) −( )

Iperbole equilatera traslata

y ax bcx d

= ++ c ≠ 0 ad – bc ≠ 0

asintoti x dc

y ac

= − =,

se a ≥ b c a b= −2 2 fuochi (c; 0), (–c; 0) se a < b c b a= −2 2 fuochi (0; c), (0; –c)

eccentricità e ca

= <1 eccentricità e cb

= <1

tangente in P0(x0; y0) Œ % xxa

yyb

02

02 1+ =

(oppure Axx0 + Byy0 = C)

area della regione limitata dalla ellisse = πab

Iperbole

Ellisse

%: xa

yb

2

2

2

2 1+ = (oppure Ax2 + By2 = C con A, B, C positivi)

vertici (a; 0), (–a; 0), (0; b), (0; –b)

4

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