Formulario Di Fisica Tecnica Ambientale

Dott. Ing. Simone Caffè

1

FORMULARIO DI FISICA TECNICA AMBIENTALE - Gas Perfetti -

- Legge fondamentale: RTpV n= TpV 1MR= Tpv 1R= Tp

1R=ρ

- Legge di Dalton (per miscele di gas perfetti): RTVpi

ii

i ��

��

�=��

��

�� n

�

��

=K kmol

J 8314R

)molecolare (massa m

Mn =

mR1

R=

1R

1

lità)comprimibi di (fattore ==T

pvZ

- Stato aeriforme di un fluido ( approssimazione per poter considerare un gas come gas perfetto):

05.0 e/o 2critica

ridottacritica

ridotta <=>=p

pp

TT

T

- Tabella delle trasformazioni:

Isoterma Isocora Isobara

cost. =T cost. =v cost. =p

cost. =pv cost. =

Tp

cost.=Tv

- Tabella delle proprietà:

Energia interna Entalpia Entropia Entropia

( )Tfnzu = ( )Tfnzh = ( )vT ,fnzs = ( )pT ,fnzs =

( ) TTcv ddu = ( ) TTcp dhd = ( )vv

TT

Tcv

dR

dds 1+= ( )

pp

TT

Tcp

dR

dds 1−=

- Fluidi incomprimibili -

(la densità non varia al variare della pressione ui ww =�

- Tabella delle proprietà:

Energia interna Entalpia Entropia

Tcddu = pvTc dddh +=

TT

cd

ds =

- Fluidi Termodinamici monofase - - Tabella delle proprietà: Energia interna Entalpia Entropia

( )vT ,fnzu = ( )pT ,fnzh = ( )pT ,fnzs = o ( )vT ,fnzs =

vpTp

TTcv

v dddu �

��

−�

�

��

�

∂∂+= p

Tv

TvTcp

p dddh��

��

��

��

�

∂∂−+=

vTp

TT

c

pTv

TT

c

vv

p

dd

ds

dd

dsp

��

��

�

∂∂+=

��

��

�

∂∂−=


2

- Formule generali:

- Calore specifico a volume costante: vv

v TQ

Tc �

�

��

�

∂=�

�

��

�

∂∂= δu

- Capacità termica a volume costante: vv cC M=

- Calore specifico a pressione costante: pp

p TQ

Tc �

�

��

�

∂=�

�

��

�

∂∂= δh

- Interpolazione lineare diretta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )minminmax

minmaxmin TT

TTTfTf

TfTf xx −−−+=

- Interpolazione lineare inversa: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) minminmax

minmaxmin T

TfTfTT

TfTfT xx +−−−=

- Massa ( proprietà additiva): �=i

iMM

- Energia interna (proprietà estensiva �==i

iU UMu U

ed additiva):

- Variazione di energia interna: vv

TT Tv

du

du

du ��

��

�

∂∂+�

�

��

�

∂∂=

vv

TcT

v du

ddu ��

��

�

∂∂+= v

vTc

T

T

T

p

pv d

udu

0 0

� � ��

��

�

∂∂+=�

vpTp

TTcv

v dddu �

��

−�

�

��

�

∂∂+=

- Entalpia: pVpv +=�+= UHuh

- Variazione di entalpia: vppv dddudh ++=

pvQ ddh Q.E. += δ

pp

TT

Tp

dh

dh

dh ��

��

�

∂∂+�

�

��

�

∂∂=

� � ��

��

�

∂∂+=��

�

��

�

∂∂+=

T

T

p

p Tp

Tp p

pTcp

pTc

0 0

dh

dhdh

ddh

pTv

TvTcp

p dddh��

��

��

��

�

∂∂−+=

- Mentalpia: 2

ghh2w

z ++=�

- Traccia termodinamica sull’esterno: � ≥−=ciclo

e 0i i

i

TQσ 0=eσ per trasf. REV.


3

- Variazione di entropia: sorgentedds sTQ

TQ

e +=+= δδσδ

vTp

TT

c

pTv

TT

c

vv

p

dd

ds

dd

dsp

��

��

�

∂∂+=

��

��

�

∂∂−=

( ) vT

vp

TT

cvTT

T

v

v

Tv d

ud

s,ss0 0

0 � ��

��

��

��

�

∂∂+

+=−=∆

( ) pT

vp

TT

cpTsT

T

p

p

Tp d

h

ds,s

0 0

0 � ��

��

−��

�

��

�

∂∂

+=−=∆

- Equazioni in Tds: vpT dduds +=

pvT ddhds −=

- Energia libera di Gibbs: S-HSUG TTpV =−+=

TpV SdddG −=

- Energia libera di Helmholtz: S-U T=ϕ

TSVp dd-d −=ϕ

- Exergia: qTT��

��

� −= 01EXERGIA

( ) ( ) ( )00000 s-su-uex Tvvp −−+=

- Formule fondamentali per SISTEMI CHIUSI: - 1° Principio della Termodinamica: Per trasformazioni REVERSIBILI Per trasformazioni IRREVERSIBILI Riferito alla massa:

du=− LQ δδ 122121 UULQ −=− →→ δδ

LML =

vpsTQ ddud sorgente +=+δ

Riferito al tempo:

��

��

�

∂∂=−

τU

Pq

- Lavoro: Per trasformazioni REVERSIBILI Per trasformazioni IRREVERSIBILI

�=→

2

121 dvpL �� −=→

2

1sorgente

2

121 dd sTvpL

- Trasformazioni CICLICHE: �� =−ciclo

ii

ciclo

ii 0LQ


4

- Formule fondamentali per SISTEMI APERTI:

- Equazione di continuità: wAm ρ= massica) (portata �

- Principio di conservazione della massa: � �−=i u

ui mm ��τd

dMV.C.

- Principio di conservazione dell’energia:

��

��

�++−��

�

��

�+++−=

uu

uuu

ii

iiie z

wmz

wmPq g

2hg

2h

ddE 22

V.C. ��τ

( ) ( ) ( ) ( ) uuuiiieui vpmvpmPPPPP �� −+=−+= pulsinepulsineelicamaccanica

utilenon lavoro L

utile lavoro L

==

p

e

- Principio di conservazione dell’entropia: στ

�� +−+= �� uu

ui

ii mmTq

ssd

dSV.C.

τ

σd

dSsorgente=�

- Condizioni di regime stazionario:

��

�

��

�

�

=

=

=�=

0d

dS

0d

dE

0d

dM

V.C.

V.C.

V.C.

τ

τ

τ ui mm ��

- Lavoro (in regime stazionario):

Per trasformazioni REVERSIBILI Per trasformazioni IRREVERSIBILI

( )iuiu

u

iui zz

wwvpL −−−−−= �→ g

2d

22elica

( )iuiu

u

i

u

iui zz

wwsTvpL −−−−−−= ��→ g

2dd

22

sorgenteelica

- Potenza:

Per trasformazioni REVERSIBILI:

( ) ( ) ( )uuuiij

ijj

TmTmqTT

TP shsh1SEdd

000

V.C.0V.C.REV. −−−+��

�

�

��

�

�−+−−= � ��

τ

Per trasformazioni IRREVERSIBILI:

σ�0REV. TPP −=

OSS. Per processo ciclico in regime stazionario: � ��

�

�

��

�

�−=

jj

j

qTT

P 0REV. 1


5

“La disponibilità di flusso termico ci permette di ricavare lavoro o potenza 0TT j ≠⇔ ”

- Vapore saturo -

- Titolo: LiquidoVapore

Vapore

MMM

+=x

- Volume specifico: ( )LVL vvxvv −+=

- Energia interna: ( )LVL uuuu −+= x

- Entalpia: ( ) rhhhhh LLVL xx +=−+=

- Entropia: ( )T

xxr

sssss LLVL +=−+=


6

-TRASMISSIONE DEL CALORE - CONDUZIONE

- Ipotesi di Fourier: τd

dTkq −=′′ �

��

2m

W

- Flusso termico: Aq

q′′

=

- Equazione generale della conduzione: ( )τ

ρddT

qTk c=′′′+∇∇

- Diffusività termica: c

ka

ρ= �

��

sm2

- Eq. Generale con k=cost: τ∂

∂=′′′

+∇ Ta1

kq

T2

CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO MONODIREZIONALE SENZA GENERAZIONE INTERNA

- Eq. Generale con k=cost, 0q =′′′ : 0T2 =∇

- Geometria lineare k=cost, 0q =′′′ :

( )

( )

�==→

∆=→

>−

=′′→

−−=→

=→

s

0T

eqT

2121

211

2

2

kAdx

kAs

R termicaResistenza

RT

q Flusso

TT s

TT-kq specifico Flusso

x s

TTTxT aTemperatur

0dx

Td generale Eq.

Flusso Resistenza equivalente Variazione di T Serie

( ) ieqT

minmax qR

TTq ≡−=

( ) �=i

iRR eqT �∆=−i

iTTT minmax

Parallelo ( )�−=

i iR1

TTq minmax ( ) �=i iR

1R

1

eqT

( ) iTTTT minmax ∆≡−=∆


7

- Geometria Cilindrica k=cost, 0q =′′′ :

( )

�=��

��

�=→

��

��

�

−=�

��

��

�

−=→

<>

��

��

�

−=′′→

��

��

�−=

��

��

�

−−=→

=∇→

2

1

r

r2

1T

1

1

1

2

21

2121

1

2

21

11

1

1

2

211

2

rLk2dr

rr

lnrLk21

R termicaResistenza

rr

ln

T(r)TLk2q

rr

ln

TTLk2q Flusso

rr , TT

rr

ln

TTrk

q specifico Flusso

rr

lnkL21

qT rr

ln

rr

ln

TTTrT aTemperatur

0 generale Eq.

ππ

ππ

π

CONDUZIONE IN REGIME STAZIONARIO CON GENERAZIONE INTERNA

- Eq. Generale con k=cost, 0q ≠′′′ : 0kq

T2 =′′′

+∇ �

��

′′′3m

W:q

- Temperatura (parabola): ( ) ( )22parete x-L

2kq

TxT′′′

+=

- Temperatura massima: 2

paretemax L2kq

TT′′′

+=

- Flusso specifico: xqq ′′′=′′ CONDUZIONE IN REGIME TRANSITORIO

- Eq. Generale con k=cost, 0q =′′′ : τ∂

∂=∇ TTa 2

- Variabili adimensionali θθθθ , ηηηη:

( )

��

��

�

=

−−=

τη

τθ

a2x

TTTx,T

0w

0


8

- Variabile θθθθ: ( ) ( )ηηθ erfcerf-1 ==

- erf (ηηηη): ( ) dz2

erf0

z2

�−=

η

πη e

- Funzione erf:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

0.7856C 0.7182,B 1.5577,AAxerfc

A-1xerf2

2

C-xB-

C-x-B

===≅

=

e

e

- Numero di Fourier:

finito solido al ,semifinitosolido di formule queste applicare posso 0.1,Fo Se

xa

Fo 2

<

= τ

CONVEZIONE TERMICA

- Flusso specifico: )Th(Tq fluidoparete −=′′

- Coefficiente di convezione: �

��

KmW

:h 2

- Numero di Nusselt:

lineare nepropagazio qq

Nu

khL

Nu

COND

CONV

fluido

⇔′′′′

=

=

CONVEZIONE FORZATA SU LASTRA PIANA

- Sforzo tangenziale:

0ys dy

du

=��

��

�= µτ

- Sforzo di attrito : ��

��

�=

dyduµτ

- Forza sulla superficie: AF sτ=

- Coefficiente di convezione: ∞

=

−

��

��

�−

=TT

dydT

k

hparete

0y


9

- Strato limite della velocità: ( )

99.0u

u =∞

δ

- Strato limite termico: ( )

99.0TT

TT

parete

parete =−

−

∞

δ

- Numero di Prandtl: k

c

aPr pµν ==

- Numero di Reynolds: ν

xuRe ∞=

- Viscosità cinematica: ρµν =

- MOTO LAMINARE ( ) 6x 105.0Re ⋅< :

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )ra temperatuSpessore

Pr

xx velocità;Spessore

Rex92.4

x

locale attrito di Coeff. Re664.0

2u

)(C

xu

u332.0

lastra della fine alla calcolato locale Coeff. L

uPr332.0kh

NuLk

RePr664.0Lk

Lu

Pr664.0Lk

dxhL1

h

locale convettivo termicoscambio di Coeff. x

uPr332.0 kh

PrRe664.0(lamina) Nu

PrRe332.0(locale) Nu

31

uTu

x2

sxf

s

31

fL

Lf5.0

L33.0f3

1f

L

0xL

31

fx

33.05.0LL

33.05.0xx

δδδ

ρτ

νµτ

ν

ν

ν

==

==

=

=

====

=

=

=

∞

∞∞

∞

∞

∞

�

δ t

δ t


10

- Distanza critica di transizione: ( )

∞∞

⋅==U

105U

Rex

5criticox

criticaνν

- MOTO TURBOLENTO ( ) 6x 105.0Re ⋅> :

( ) ( )

( )( )

( ) 2.0x

2.0x

xf

33.08.0xx

Rex

037.0x

locale attrito di Coeff. Re0592.0

)(C

PrRe0296.0(locale) Nu

=

=

=

δ

Correlazione Regime di moto Note

( )( ) 5.0

xRex

92.4x =δ Laminare Lastra piana, valori locali

( )( ) 2

1

x

xfRe

664.0C =

Laminare Lastra piana, valori locali

( ) ( ) 31

21

xx PrRe332.0Nu = Laminare Lastra piana, T uniforme

6.0Pr >

( ) ( ) 31

21

xx PrRe332.0Nu =3

1

43

x1

−

��

��

�

��

��

�− ξ

Laminare Lastra piana con zona di estensione ξ non riscaldata, T uniforme

( )( ) 2

1

L

LfRe

328.1C =

Laminare Lastra piana, valori medi

( ) ( ) 312

1

LL PrRe664.0Nu = Laminare Lastra piana, valori medi, T uniforme

( ) ( )2

CPrSt xf3

2

x =

Laminare Lastra piana, valori medi, T uniforme

( ) ( ) 51

xxf Re0592.0C −= Turbolento Lastra piana, valori locale,

7x

5 10Re105 <<⋅

( ) ( ) 31

54

xx PrRe0296.0Nu = Turbolento Lastra piana, valori locale, T uniforme

60Pr6.0 ≤≤ 7

x5 10Re105 <<⋅

( ) ( ) 31

54

xx PrRe0296.0Nu =9

1

109

x1

−

��

��

�

��

��

�− ξ

Turbolento Lastra piana con zona di estensione ξ non riscaldata

( ) 31

54

L Pr871Re037.0uN�

�� −=

Turbolento Lastra piana, valori medio, T uniforme 60Pr6.0 ≤≤

8L

5 10Re105 <<⋅

( )( ) ( )L5

1

L

LfRe1742

Re

074.0C −=

Laminare e Turbolento

Lastra piana, valori medio, T uniforme 8

L5 10Re105 <<⋅

( )4

1

P

45.954

L Pr9200Re036.0uN ��

��

��

�� −= ∞

µµ

Laminare e Turbolento

Lastra piana, valori medio, T uniforme 8

L5 10Re105 <<⋅

380Pr7.0 ≤≤


11

( ) ( ) 31

21

xx PrRe453.0Nu = Laminare Lastra piana, valori locali, flusso

termico uniforme

( ) tcosTxx sNu04.1Nu == Laminare Lastra piana, valori locali, flusso

termico uniforme 7.0Pr ≥

( ) ( )4

1

4.032

D2

1

DuD PrRe06.0Re4.0N ��

��

��

�� += ∞

µµ

Moto trasversale su cilindro

5D 10Re10 <<

2.50.25 300672.0s

<<< ∞µ

µ

54

85

D

41

32

31

21

DuD 282000

Re1

Pr4.0

1

PrRe62.03.0N

��

��

�

��

��

�+

��

��

�

��

��

�+

+=

Moto trasversale su cilindro

n

s

36.0mDuD Pr

PrPrReCN ��

�

��

�= ∞

Banchi di tubi in moto trasversale

4.08.0DuD PrReN = Banchi di tubi in moto parallelo

- Temperatura media: 2

TTT p

m∞+

=

- Forza: fL2

f ACU21

F ∞= ρ

CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI

- Temperatura media in un condotto: ( )drruTRU

1T

R

02

mm �=

- Portata massica: 2

m RUAwm πρρ ==�

- Relazione della velocità: ��

��

��

��

�−=2

m Rr

12uu


12

- Distribuzione di T nel condotto: ��

��

−��

��

�−��

��

�′′=−

247

Rr

41

Rr

kRq

TT2

m

- Lunghezza di avviamento: ( )DA Re05.0

Dx

=

- Conservazione della quantità di moto: �

��

∂∂+−=+

drdu

rrr

11dxdp

drdu

vdxdu

u νρ

- Moto completamente sviluppato:

��

��

�

=

=

0v

0dxdu

- Profilo di velocità (Hagen Poiseville): ( )��

��

��

��

�−��

��

�−=22

Rr

14R

dxdp

ruµ

- Velocità massima: ( )µ4

Rdxdp

0uu2

max ��

��

�−==

- Velocità media: ( )�==R

02

maxm rdrru

R2

2u

u

- Fattore d’attrito:

fDL

2U

p

Du

21

dxdp

f

2

2m

∞=∆

��

��

�−=

ρ

ρ

- Fattore d’attrito di Bernoulli: ��

��

�∆=∞ ρ

DU2

Lp

f 2

- Fattore d’attrito di Bernoulli (LAMINARE): Dm Re

64

DR2u

64f ==

- Eq. dell’energia:

��

��

�

∂∂

∂∂=

∇=

rT

rrr

1a

DDT

TkDDT

c 2p

τ

τρ

- Eq. di bilancio energetico: ��

�ui hh

mp

m

m2 dTcuRRdx2qq

−

=′′= ρππ


13

Caso 1°: .tcosq =′′′ (imposto) .tcoscRu

q2dx

dT

pm

m =′′

=ρ

- Numero di Nusselt: .tcos1148

kD

TTq

khD

Nump

D ==−

′′==

- T della parete (legge di Newton): hq

TT mp

′′+=

Caso 2°: .tcosTT mp =− .tcosdx

dTp =

- Numero di Nusselt:

( )

DxPrRe

Gz

Gz86.1uN14.0

p

31

D

=

��

�

�

��

�

�= ∞

µµ

- Numeri di Peclet e Nusselt:

8.0

p

Pe025.00.5Nuk

cDwPrRePe

costante termicoflusso a circolari Condotti

+=

==ρ

Regime turbolento:

- Lunghezza di avviamento:

Rexx

60Dx

AA

A

≠

≅

- Correlazione di Colburn:

( ) ( )60

Dx

10Re160Pr7.0

PrRe023.0Nu

4D

318.0

D

>∪>∪≤≤

=

- Temperatura del film: 2

TTT ui

film

−=

CONVEZIONE NATURALE SU LASTRA PIANA VERTICALE (x verticale)

- Coeff. di dilatazione volumetrica: tcosp.tcosp T

1Tv

v1

==��

��

�

∂∂−=�

�

��

�

∂∂= ρ

ρβ


14

- Eq. di Bernoulli:

imitel strato dello fuori vigente

gxpp

0gpp

g2U

x

0x

0x2

∞

∞−=−

=−++

ρρρ

- Velocità: ( )∞∞ −=��

�

��

� −= TTgx2gx2u 2 βρ

ρρ

- Velocità caratteristica di fine lastra: )TT(gLu pc ∞−= β

- Numero di Grashof: ( )

2

4

2p

3

kLqgTTgL

Grν

βν

β ′′=

−= ∞

- Numero di Reynolds caratteristico: GrLu

Re cc ==

ν

- Numero di Rayleigh: ( )

2p

3

x

TTgxRa

νβ ∞−

=

- Relazioni:

0.339

41

xx9

2

0.13RaNuo turbolentMoto10Ra

Ra59.0Nulaminare Moto10Ra

PrGrPrReRa

=→�>

=→�<

==

MUTUO SCAMBIO TERMICO TRA CONDUZIONE E CONVEZIONE (ALETTA)

- Eq. di scambio termico: ( ) ( )∞∞ −+−= TThATThAq 0alettaparetebase

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