Fisica Tecnica Ambientale

Lezione del 2 marzo 2015

Ing. Francesco D’Alessandro

dalessandro.unipg@ciriaf.it

Università degli Studi di Perugia

Sezione di Fisica Tecnica

Corso di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura A.A. 2014/2015 1

Riferimenti

Francesco D’Alessandro Università degli Studi di Perugia

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale

Tel: 075 5853573

E - mail: dalessandro.unipg@ciriaf.it

2

www.ciriaf.it/ft

3

www.ciriaf.it/ft

4

Argomenti

• Riepilogo trasmissione di calore

• Riepilogo conduzione

• Trasmissione di calore per conduzione in regime

variabile: MURO DI FOURIER

• Applicazione del Muro di Fourier

• Esempi numerici

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Unità di misura

6

Unità di misura

7

Unità di misura

8

Riepilogo

9

Modalità di trasmissione del calore

1. Conduzione – Tipica di solidi

– Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa

– Il parametro principale è la conducibilità termica

2. Convezione – Deve partecipare un fluido

– È associata a trasporto di massa

– Il parametro è il coefficiente di convezione

3. Irraggiamento – Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse

– L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura

10

La conduzione è il principale sistema di trasmissione di calore nei solidi. Afferrando il manico di una pentola riscaldata il calore sarà condotto attraverso il metallo verso la mano.

Il manico scotta!

Conduzione

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Modalità di trasmissione del calore

1. Conduzione – Tipica di solidi

– Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa

– Il parametro principale è la conducibilità termica

2. Convezione – Deve partecipare un fluido

– È associata a trasporto di massa

– Il parametro è il coefficiente di convezione

3. Irraggiamento – Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse

– L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura

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L’aria più calda è meno densa, pertanto sale attraverso gli strati più freddi.

La convezione è il principale sistema di trasmissione di calore nei liquidi e gas. L’aria calda sopra la pentola sale verso l’alto poichè è più leggera dell’aria fredda che la sovrasta.

Convezione

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Modalità di trasmissione del calore

1. Conduzione – Tipica di solidi

– Avviene tra elementi contigui e fissi nello spazio a temperatura diversa

– Il parametro principale è la conducibilità termica

2. Convezione – Deve partecipare un fluido

– È associata a trasporto di massa

– Il parametro è il coefficiente di convezione

3. Irraggiamento – Avviene tra corpi posti l’uno in presenza dell’altro a temperature diverse

– L’energia dipende dalla quarta potenza della temperatura

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Irraggiamento

L’emissione di calore per irraggiamento è generata da tutti gli oggetti che si trovano ad una temperatura al di sopra dello zero assoluto.

L’irraggiamento è la sola modalità di trasmissione del calore che non richiede materia come mezzo di trasporto. E’ quindi l’unica possibilità di trasferire calore attraverso il vuoto.

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Conduzione

– La trasmissione di calore per conduzione si verifica all'interno dei corpi, fra elementi di materia contigui e che mantengono inalterata nel tempo la loro posizione.

– La trasmissione di calore per conduzione è tipica dei corpi solidi.

– Nei liquidi e negli aeriformi prevale un diverso meccanismo di trasmissione del calore, la convezione, ed il contributo della conduzione diventa trascurabile.

– Il parametro principale è la conducibilità termica l.

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Estrapolazione dell’evidenza sperimentale

POSTULATO DI FOURIER

“La quantità di calore dQn che attraversa in direzione normale, nel tempo dτ , una

superficie infinitesima di area dS, comunque orientata all'interno del campo termico, è

proporzionale a dS, al tempo dτ, alla conducibilità termica λ del materiale ed al gradiente

della temperatura ∂T/∂n misurato in direzione ortogonale alla giacitura di dS.”

Postulato di Fourier

n

TdSddQn

l

17

Conducibilità termica e materiali

La conducibilità termica l caratterizza i materiali per la loro attitudine a trasmettere calore nel loro interno; essa è stata introdotta per mezzo del Postulato di Fourier e si misura, nel Sistema Internazionale, in W/mK.

I valori numerici di l variano fortemente a seconda del materiale considerato: si va dai centesimi di W/mK per i gas fino a centinaia di W/mK per i metalli.

n

TdSddQn

l

18

• L'equazione di Fourier è lo strumento fondamentale per lo studio dei campi

termici all'interno dei corpi: in linea di principio, note le condizioni al contorno,

integrandola nel volume, si ottiene l'andamento spaziale della temperatura ad un

certo istante; poi, effettuando ulteriori integrazioni spaziali in tempi successivi, è

possibile seguire nel tempo le modifiche della configurazione spaziale della

temperatura.

Equazione di Fourier

l

l

TH

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

19

Equazione di Fourier – casi particolari

• In regime stazionario ed in assenza di sviluppo interno di calore, l'equazione di Fourier diventa:

0

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

lDiffusività termica D

[m2/s]

l

l

TH

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

20

Equazione di Fourier – casi particolari

• Se , l e sono indipendenti dalla temperatura:

• la distribuzione delle temperature è indipendente dalla natura del corpo: in regime stazionario il campo termico dipende soltanto dalla geometria del corpo e dalle condizioni ai limiti.

0

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

21

Parete piana in regime stazionario

T

T1

T2

x

F

s

q = dQ/(dS d τ ) Flusso termico per unità di superficie

)( 21 TTs

q l

La quantità di calore che si trasmette, per unità di superficie e di tempo, in regime stazionario attraverso una parete omogenea di spessore s, è direttamente proporzionale alla conducibilità l del materiale ed alla differenza fra le temperature delle facce estreme ed è inversamente proporzionale allo spessore s della parete.

211 TT

s

xTT

Andamento della temperatura

22

[W/m2]

[K]

Trasmissione di calore per conduzione in regime variabile

Muro di Fourier

23

Consideriamo un mezzo solido seminfinito, costituito da un semispazio di materiale omogeneo e isotropo, delimitato da una superficie limite piana. Le proprietà termofisiche del mezzo, calore specifico γ, densità ρ, conducibilità termica λ, sono indipendenti dalla temperatura e dal tempo. Non siano presenti sviluppi interni di calore (H=0). 24

Tm = valore medio temporale della temperatura sulla superficie limite;

o = semiampiezza dell'oscillazione sulla superficie limite;

o = periodo dell'oscillazione;

w = 2/o = pulsazione dell'oscillazione.

Impostiamo un andamento nel tempo della temperatura sulla superficie limite T(0,) di tipo sinusoidale

ωτsenTτT om ),0(

25

Collochiamo l’origine dei tempi ad un istante tale che gli effetti del transitorio siano esauriti. Poiché la temperatura non dipende da y e z, e avendo ipotizzato l’assenza di sviluppo interno di calore, l’equazione di Fourier :

diventa

Inizialmente il mezzo si trovi ad una temperatura costante ed uniforme Tm, quindi sia sottoposto all'oscillazione di temperatura sulla faccia limite; esiste un transitorio iniziale, esaurito il quale si instaurano, in una generica sezione, cicli successivi di temperatura tra loro identici: il regime si dice permanente stabilizzato.

τ

T

λ

H

z

T

y

T

x

T

γρ

λ

2

2

2

2

2

2

T

x

TD

2

2

26

Valori di diffusività termica D per alcuni materiali

𝐷 =λ

𝛾𝜌 [m2/s]

Diffusività termica D • è una caratteristica intrinseca del corpo in quanto dipende

esclusivamente da parametri relativi al materiale di cui è composto. • La diffusività termica può essere vista come il rapporto tra la capacità

che ha un materiale di condurre energia termica (conducibilità l), e la sua capacità di accumulare energia (capacità termica volumica = *).

• Un alto valore di diffusività termica indica una veloce propagazione dell’energia termica, mentre un valore basso, indica che nel materiale è preponderante l’accumulo.

𝐷 =𝑊

𝑚𝐾

𝑘𝑔𝐾

𝐽

𝑚3

𝑘𝑔

27

D (m2/s * 10-5) D (m2/s * 10-7)

ATTENZIONE:

ERRORE NEL

LIBRO

La soluzione dell’equazione è dove Il prodotto βx è un numero puro; esso è denominato ritardo di fase e misura lo sfasamento, in radianti, tra l'oscillazione termica all'ascissa x e quella imposta sulla superficie limite.

T

x

TD

2

2

)x(seneT),x(T x0m w

0D

28

L’equazione mostra che la variazione di temperatura, ad una data distanza x dalla superficie limite x = 0, ha ancora un andamento sinusoidale, con lo stesso periodo di oscillazione che si ha sulla superficie limite. La semiampiezza decresce con legge esponenziale

)x(seneT),x(T x0m w

xβoex )( 29

Effetto della variazione della fase

Effetto della variazione dell’ampiezza

RICHIAMI: Onde sinusoidali

30

ωτsenTτT om ),0( )x(seneT),x(T x0m w

Nel

do

min

io d

el t

emp

o

31

La semiampiezza decresce con legge esponenziale

0

x

ox

o ee)x(l

(x) è l’inviluppo dei valori massimi (e minimi) degli andamenti di temperatura in funzione di x, costruiti per qualsivoglia valore di . In figura sono costruiti gli andamenti relativi a due istanti 1 e 2, in funzione della distanza x dalla superficie limite.

)x(seneT),x(T x0m w

Nel

do

min

io d

ello

sp

azio

32

Il rapporto tra la semiampiezza di oscillazione a distanza x e quella sulla superficie limite prende il nome di fattore di smorzamento μ(x) dell'oscillazione termica: Il tempo di ritardo r è definito come l'intervallo di tempo che intercorre tra l'istante in cui si verificano un massimo o un minimo di temperatura sulla faccia limite e l'istante in cui essi si trasmettono sulla sezione ad ascissa x

0Dx

x

o

ee)x(

)x(

l

w

00

r2

x

D2

xx

)x(seneT),x(T x0m w

ωτsenTτT om ),0(

)x(seneT),x(T x0m w

Osservazioni: • la semiampiezza di oscillazione decresce all'aumentare dell'ascissa x • il tempo di ritardo aumenta all'aumentare dell'ascissa x

33

34

Andamento del fattore di smorzamento di alcuni materiali in funzione dello spessore della parete.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x(m)

0 = 24 h

Rame

Fibra di vetro

Calcestruzzo

Muro di

mattoni

35

0Dx

x

o

ee)x(

)x(

D (m2/s * 10-5)

D (m2/s * 10-7)

Andamento del tempo di ritardo r di alcuni materiali in funzione dello spessore della parete.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

r(h)

x(m)

0 = 24 h

Rame

Calcestruzzo

Fibra di vetro

Muro di mattoni

36

D (m2/s * 10-5)

D (m2/s * 10-7)

Dπ

τx

ω

xβτr

0

2

Il flusso termico per unità di superficie che attraversa la faccia limite può essere valutato per mezzo del postulato di Fourier: Il flusso termico ha, come la temperatura, un andamento periodico. Il flusso entrante nel mezzo è mediamente nullo; infatti esso ha segno positivo in un semi-periodo, durante il quale il calore è accumulato dal mezzo stesso, ed ha segno negativo nel successivo semi-periodo, durante il quale è restituito all'esterno.

0xx

T

A

Qq

l

)cos(sinq 0 wwl

)x(seneT),x(T x0m w

n

TdSddQn

l

0

xx

TAτλQ

Nel caso della superficie limite x=0

37

Applicazioni del muro di Fourier

Parete esposta a variazioni climatiche giornaliere

38

Andamento qualitativo della temperatura giornaliera esterna durante la stagione invernale

Andamento qualitativo della temperatura giornaliera esterna durante la stagione estiva

REGIME STAZIONARIO

REGIME VARIABILE

39

Quando la superficie esterna di una parete è sottoposta ad una sollecitazione termica periodica la sua temperatura varia in accordo con essa. Le oscillazioni termiche si propagano attraverso gli strati del muro. Le oscillazioni periodiche di temperatura su ogni strato della parete e sulla faccia interna si verificheranno con un certo ritardo τ e con un fattore di smorzamento μ (Teoria del Muro di Fourier).

40

Se consideriamo una parete come una porzione del mezzo seminfinito (visto prima) compresa

tra il piano ad ascissa x = 0 e quello ad ascissa x=s (s è lo spessore della parete), allora

l'andamento nel tempo della temperatura sulla faccia interna della parete è dato da:

ssineT),s(T s0m w

41

Vogliamo calcolare lo smorzamento μ e il tempo di ritardo tr in corrispondenza della superficie

interna di una parete esposta a variazioni climatiche giornaliere.

Sulla faccia esterna di una parete, a seguito delle variazioni climatiche giornaliere,

si stabilisce un andamento periodico della temperatura di periodo 0 = 24h.

Sia inoltre: Tmax = 45°C; Tmin = 20°C, pertanto: Θ0 = 12,5°C; Tm = 32,5°C.

a) Muratura di pietra sa = 2 m λa = 3.5 W/mK γa = 0.84 kJ/kgK= 840 J/kgK ρa = 2800 kg/m3

Da = 1.5*10-6 m2/s

b) Lastra di polistirolo sb = 0.024 m λb = 0.042 W/mK γb = 2.4 kJ/kgK= 2400 J/kgK ρb = 25 kg/m3

Db = 7*10-7 m2/s

42

Se fossimo in condizioni di regime stazionario il flusso di calore che viene trasmesso per

conduzione attraverso le due pareti sarebbe lo stesso poiché:

a) Muratura di pietra sa = 2 m λa = 3.5 W/mK γa = 0.84 kJ/kgK ρa = 2800 kg/m3

Da = 1.5*10-6 m2/s

b) Lastra di polistirolo sb = 0.024 m λb = 0.042 W/mK γb = 2.4 kJ/kgK ρb = 25 kg/m3 Db = 7*10-7 m2/s

75,1ss b

b

a

a ll

43

a) Muratura di pietra sa = 2 m λa = 3.5 W/mK γa = 0.84 kJ/kgK ρa = 2800 kg/m3

Da = 1.5*10-6 m2/s

b) Lastra di polistirolo sb = 0.024 m λb = 0.042 W/mK γb = 2.4 kJ/kgK ρb = 25 kg/m3 Db = 7*10-7 m2/s

h 38105,1

86400

2

2

2 60

D

sr

h 6,0107

86400

2

024,0

D2

s7

0r

In virtù dell'elevato spessore della parete il tempo di ritardo è molto elevato, pari a circa 1 giorno e mezzo.

Per effetto del modesto spessore della parete il tempo di ritardo è modesto, dell'ordine di circa mezz'ora.

44

a) Muratura di pietra sa = 2 m λa = 3.5 W/mK γa = 0.84 kJ/kgK ρa = 2800 kg/m3

Da = 1.5*10-6 m2/s

b) Lastra di polistirolo sb = 0.024 m λb = 0.042 W/mK γb = 2.4 kJ/kgK ρb = 25 kg/m3 Db = 7*10-7 m2/s

Il flusso termico in condizioni di regime variabile, è diverso nei due casi in quanto

regolato da valori differenti della temperatura sulla superficie interna della parete.

586400105,12

1056

0

ee Ds

C 0006,05,12105 50 s

84,086400107024,0

70

eeD

s

Cs 5,105,1284,00

La temperatura sulla faccia interna si mantiene costante e pari a 32,5 °C.

La temperatura sulla faccia interna varia tra 22 e 43°C.

45