Fondamenti statistici : Test d’Ipotesi (1)webuser.unicas.it/misure/MAQ_270/DISPENSE/6_Disp/2-Gli...

Politecnico di Milano – Dipartimento di Elettrotecnica 1

2 – Gli StrumentiAffidabilità e Controllo Qualità

Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)Test d’Ipotesi (1)

• Ipotesi statistica:• È una assunzione formulata su un particolare

aspetto della popolazione– considerazioni teoriche– Informazioni relative a popolazioni analoghe– Informazioni relative a popolazioni collegate a quella

indagata




• Ipotesi statistica non parametrica:• L’ipotesi riguarda la forma della distribuzione di

un carattere della distribuzione




• Ipotesi statistica parametrica:• È una ipotesi legata ai valori dei parametri di

una distribuzione di probabilità (es.: media, varianza, frequenza) .

Tipo di ipotesi:Tipo di ipotesi:Semplice Semplice {{ HH00: : θ θ = = θθ0 0 (Ipotesi nulla)(Ipotesi nulla)

HH11: θ : θ ≥≥ θθ0 0 (Ipotesi alternativa bilaterale)(Ipotesi alternativa bilaterale)Composta HComposta H11: θ : θ ≤≤ θθ00

HH11: θ : θ ≠≠ θθ0 0 (Ipotesi alternativa unidirezionale)(Ipotesi alternativa unidirezionale){ }




• Verifica d’Ipotesi statistica:• Osservazione di un campione casuale della

popolazione• Calcolo della statistica (Funzione Test)• Definizione della regola di decisione:

– l’insieme dei valori della funzione test che porta al rifiuto dell’ipotesi nulla è detta regione critica o regione di rifiuto

Regione di accettazione




• Individuazione della regione critica:• La distribuzione del carattere nella popolazione• il parametro• Il sistema di ipotesi a confronto• La funzione Test• La probabilità di commettere gli errori di prima

e seconda specie




• Tipi di errori:• Errore di I specie:

– Ipotesi nulla rifiutata quando è vera

• Errore di II specie: – Ipotesi nulla non rifiutata quando non è vera – α= P{errore di I specie}= P{rifiutare H0H0 è vera}– β= P{errore di II specie}= P{accettare H0H0 è falsa}




• Le procedure di verifica d’ipotesi richiedono di specificare il valore della probabilità assegnata all’errore di I specie α (rischio)

• α = livello di significatività del test; consente di individuare il punto di confine tra la regione critica e quella di accettazione

• La probabilità di commettere un errore di I specie è legata alla dimensione della regione critica e quindi alla soglia di significatività individuata da α



Verifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medioVerifica d’ipotesi sul valore medio



Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)Implicazioni del Test d’Ipotesi (1)

• La possibilità di accettare l’ipotesi nulla quando è falsa determina l’errore di II specie. E’ possibile determinarne il valore calcolando la probabilità:

• Indica la possibilità di accettare l’ipotesi H0quando invece risulta vera l’ipotesi H1

( )

11

00

10

::/

θθθθ

β

==

=

HH

HHP




• Nel caso di test unilaterale destro

• Nel caso di test unilaterale sinistro

( ) ( ) βθθ =≤= 110 // HPHHP c

( ) ( ) βθθ =≥= 110 // HPHHP c

• Nel caso di test bilaterale( ) ( ) βθθθ =≤≤= 1

'''10 // HPHHP cc




• Nel caso di test unilaterale destro sulla media con varianza nota:

• La probabilità β, assegnati α ed n, è funzione del parametro θ.

• E’ possibile, assegnato α, tracciare una famiglia di curve al variare di n.

( ) ( ) ( )

−≤=≤== 1110 //

// Hn

xZPHxXPHHP icci σ

µθβ




• Probabilità di errore di I specie:• Concludere che il processo è fuori controllo

quando non lo è• Probabilità di errore di II specie:

• Concludere che il processo è sotto controllo quando non lo è




• Esempio:• Fasce elastiche per pistoni di automobili:

– µ = 74 mm σ = 0,01 mm n = 5

Scelto α si ha che 100(1-α)% dei campioni cadono tra: 74+Z α /2(σ’) e 74- Z α /2(σ’) con

Per Z α /2 = 3Limiti di controllo a 3 σ

nσσ ='




H0: µ=74H1: µ≠74



µµ−σµ−2σµ−3σ µ+σ µ+2σ µ+3σ

68.26%

95.46%

99.73%





68.26%

95.46%

99.73%


100(1-α)% = 99,73%

Errore di I specie: 0,0027

27 volte ogni 10000 campioni

La probabilità che un punto superi uno dei limiti a 3-sigmaè 0,00135



Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze

pARL 1=

Lunghezza media delle sequenze (ARL, Average Run Lenght):

Tempo medio al segnale (ATS, Average Time to Signal):

hARLATS ⋅=



Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::Lunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempioLunghezza media delle sequenze : esempio

3700027,011 ===

pARL


68.26%

95.46%

99.73%

La probabilità che un punto cada fuori dai limiti di controllo a 3σ è: 0,0027



Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::Dimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campioneDimensione minima del campione

21 2

⋅≥ −

εσαz

n



Fondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statisticiFondamenti statistici ::::::::DefinizioniDefinizioniDefinizioniDefinizioniDefinizioniDefinizioniDefinizioniDefinizioni

Inferenza statistica: insieme di metodi statistici, basati sul calcolo della probabilità, tendenti a valutare i risultati di una indagine campionariaIl collettivo statistico oggetto di inferenza prende il nome di popolazione (N)La parte di collettivo sottoposta all’osservazione prende il nome di campione (n)

RappresentativitàCorrettezza

Campione casuale



CONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONE (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)Tutte quelle attività che hanno lo scopo di verificare la rispondenza dei “materiali “ grezzi, semilavorati o finiti che provengono dall’esterno o dall’interno dell’azienda

Accettazione di componenti / parti di fornitura esternaControllo di lotti di fornitura (da parte del fornitore o da parte del cliente)Controllo di processiControllo di prodottiControllo di dati………



CONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONE (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

• In uno scambio commerciale vengono stabilite le regole per verificare:• L’aderenza alle specifiche• La frazione massima di elementi difettosi

ammessi dal fornitore• La frazione massima di elementi difettosi

ammessi dal produttore



CONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONECONTROLLO PER ACCETTAZIONE (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)

• Effettuati dal fornitore– Evitare il rifiuto del prodotto da parte del

committente

• Effettuati dal produttore– Evitare di accettare materiale non conforme



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1)

Il piano di campionamento è l’insieme delle regole che definiscono:• La partita o il lotto di elementi (grezzi, semi

–finiti, finiti) da considerare• Dimensione del campione da estrarre • Condizioni di accettazione o di rifiuto• Caratteristica di qualità richiesta dalla

specifica tecnica: – LQA: livello di qualità accettabile– LQT: livello di qualità tollerabile



( )2

21

*21

−−

= σµ

πσ

x

exf

Distribuzione gaussiana





La conformità del lotto è valutata in base al numero di unità conformi che costituiscono il campione• Rifiutare il lotto che dovrebbe essere

accettato• Accettare il lotto che dovrebbe essere

rifiutato




Rischio del fornitore: Rf

• Rifiuto del lotto che dovrebbe essere accettato essendo di qualità uguale o migliore di quella specificata dal LQA

Rischio del committente: Rc

• Accoglimento del lotto che dovrebbe essere rifiutato essendo di qualità peggiore di quella specificata negli accordi dal LQT



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5)

• Dimensione del lotto: N• Dimensione del campione: n• numero di accettazione : na

– Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione

• numero di rifiuto : nr – Numero massimo di elementi difettosi nel campione che

determinano il rifiuto• LQA= na /n• LQT= nr /n• Percentuale di pezzi difettosi: p• Probabilità d accettare il lotto: P(A)



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6)

Semplice: l’accettazione dipende dal controllo di un solo campioneDoppi: l’accettazione dipende dal controllo di due campioniMultipli: l’accettazione dipende dal controllo di più campioniSequenziali: l’accettazione del lotto dipende dal risultato ottenuto dopo ogni elemento collaudato




La probabilità d accettare o rifiutare un lotto, per uno stesso piano di campionamento, viene descritta mediante la “curva caratteristica operativa”• Distribuzione binomiale• Distribuzione di Poisson

– n elevato e p piccolo




( ) knkn

kpp

kn

APA

−

=

−

=∑ 1)(

0

Distribuzione Binomiale:

P(Am)…P(A2)P(A1)P(A)

pm…p3p2p1

Possiamo pensare di costruire la Curva Caratteristica Operativaa partire dalla tabella:




( )∑=

=An

k

npk

eknpAP

0 !)(

Distribuzione di Poisson:

Da utilizzare per valori elevati di n e p piccolo




Accettazione o rifiuto dei lotti• La curva operativa illustra i comportamento

di un qualsiasi piano di campionamento • Fissato Rf (α) e Rc (β) si possono

determinare LQA e LQT



P0 = limite superiore per la frazionedifettosa del lotto ritenuta accettabile

P1 = limite inferiore per la frazionedifettosa del lotto ritenuta da rifiutare

α = rischio del produttore o fornitoreβ = rischio del cliente


CURVA CARATTERISTICA OPERATIVAÈ un diagramma che indica la probabilità di accettazione di lotti in funzione della difettosa presente negli stessi



IL CONTROLLO PER CAMPIONAMENTO

Considerazioni e risultati relativi a campioni con diversa numerosità: La scelta della dimensione del campione deve essere un giusto compromesso tra sicurezza del risultato e tempi / costi di esecuzione.

Si consideri il seguente esempio.

IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)Esempio (2)




TABELLA PER IL CONTROLLO ORDINARIO PER CAMPIONAMENTO SEMPLICE PER ATTRIBUTI



Il livello di collaudo sceltodetermina il potere discriminante della prova.Il livello S1 è quello con minor potere discriminante, il livello III è quello con maggior potere discriminante.Salvo diversa indicazione e per normali necessità si usaIl livello II. I livelli speciali S1,S2, S3, S4 sono usati quando sono necessarie numerosità dicampione piccole, e possonoo devono essere tollerati i rischi determinati dal minorpotere discriminante (ad es. controlli su materiali ricavati da un processo continuo).La scelta di collaudo ordinario,rinforzato o ridotto (vedi oltre)è completamente indipendentedal livello di collaudo scelto.

LIVELLO DI COLLAUDOIL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12)



Piano di Campionamento OrdinarioIL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13)



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14)Piano di Campionamento Ridotto



IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15)Piano di Campionamento Rinforzato



Regole di commutazione tra i piani di campionamento




QUANDO È NECESSARIOProve distruttiveGrandi quantitativiControlli molto onerosi

QUANDO È OPPORTUNO

Per ridurre i costi di controlloPer stimolare il fornitore

all’autocontrollo e al miglioramento

Quando il livello di qualità ha raggiunto valori elevati che non giustificano un controllo al 100%

FASI PRINCIPALI DEL CONTROLLOPER CAMPIONAMENTO

Stabilire in anticipo la frazione difettosa accettabile

Definire la numerosità del campione, sulla base della confidenza statistica richiesta e della complessità / costo della prova

Effettuare materialmente il controllo

Nota: è sbagliato considerare aprioristicamente che un controllo al 100% dia più garanzie di un controllo statistico!

IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:IL CAMPIONAMENTO STATISTICO:SINTESISINTESISINTESISINTESISINTESISINTESISINTESISINTESI

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