Fisica: lezioni e problemi

Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni

1. Le rappresentazioni di un fenomeno

2. I grafici cartesiani

3. Le grandezze direttamente proporzionali

4. Altre relazioni matematiche

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Un fenomeno può essere rappresentato con:

•una tabella •un grafico •una formula

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto

da cui esce un flusso d’acqua costante.

Fenomeno: un recipiente viene riempito da un rubinetto

da cui esce un flusso d’acqua costante

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante tabella: la

quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende

dall’intervallo di tempo trascorso.

Il flusso d’acqua del rubinetto è costante– Ogni minuto dal rubinetto escono 2 litri d’acqua

– Ogni minuto la quantità d’acqua nel recipiente cresce di 2 litri

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante formula:

q = 2 · tt : tempo trascorso.– variabile indipendente; unità di misura: minuti

q : quantità d’acqua accumulata.– variabile dipendente; unità di misura: litri

2 : portata d’acqua del rubinetto.– costante; unità di misura: litri/minuto

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Rappresentazione del fenomeno mediante grafico

Asse orizzontale (ascisse)

– variabile indipendente t

Asse verticale (ordinate)

– variabile dipendente q

A ogni punto del grafico corrisponde

una coppia di valori della tabella

Lezione 1 - Le rappresentazioni di un fenomeno

Tabella: conoscenza del fenomeno limitata ad alcuni

intervalli di tempo.

Grafico: visione sintetica e immediata del fenomeno.

Formula: rappresentazione più astratta ma più completa

Le formule hanno validità generale;

uno stesso tipo di formula si può applicare a fenomeni

fisici molto diversi:– Legame matematico tra le variabili: è possibile calcolare la

quantità d’acqua accumulata in un istante qualsiasi.

(variabile dipendente) = (costante) × (variabile indipendente)

La rappresentazione grafica è un potente strumento matematico per

rappresentare due grandezze relative allo stesso fenomeno

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Lezione 2 - I grafici cartesiani

I grafici cartesiani permettono di visualizzare la relazione

tra due grandezze fisiche.

Per tracciare un grafico cartesiano occorre:

-Tracciare gli assi, cioè due rette

perpendicolari, fissando il verso di

percorrenza

-Associare a ogni asse una grandezza e

un’unità di misura

-Scegliere la scala per ciascun asse

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Ogni coppia di valori della tabella individua un punto.

Uniamo i punti con una linea per visualizzare l’andamento.

In un grafico che

rappresenta una

tabella di dati, l’unità

di misura e la scala

associate ai due

assi sono

indipendenti tra loro.

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Grafico di una funzione espressa da una formula.

y = 2x2

- Si costruisce una tabella di punti

- Si rappresentano i punti nel grafico

In questo caso non si associano grandezze e

unità di misura agli assi cartesiani

Lezione 2 - I grafici cartesiani

La pendenza di una retta è il rapporto tra variazione

dell’ordinata e incremento dell’ascissa di due suoi punti.

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Appendiamo a una molla masse

diverse, misuriamo l’allungamento ogni

volta e costruiamo tabella e grafico.

-Per interpolazione troviamo le

coordinate di punti intermedi

-Per estrapolazione troviamo le

coordinate di punti esterni

all’intervallo della tabella.

Il significato fisico dei valori ottenuti

deve essere verificato.

Lezione 2 - I grafici cartesiani

Il risultato della misura di una grandezza è affetto da errore.

L’incertezza di un punto del grafico è rappresentata da un rettangolo;

i lati del rettangolo sono pari agli errori assoluti sulle due variabili.

Il legame più semplice fra due grandezze variabili è quello di

diretta proporzionalità

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se

al raddoppiare di x anche y raddoppia, al triplicare di x

anche y triplica e così via.– Il lato e il perimetro di un quadrato sono grandezze direttamente

proporzionali

– la massa e il volume di una sostanza sono grandezze direttamente

proporzionali.

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Se y e x sono variabili direttamente proporzionali, il loro

rapporto è costante:

k è la costante di proporzionalità.

-La formula rappresenta tutte le possibili coppie di valori delle variabili,

ad esclusione della coppia (0; 0)

Lezione 3 - Grandezze direttamen-te proporzionali

Grafico di variabili direttamente

proporzionali: punti allineati con

l’origine degli assi.

La curva corrispondente è una retta

passante per l’origine.

In molti fenomeni, le grandezze fisiche sono legate da relazioni

che non sono di diretta proporzionalità

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione

che descrive la correlazione è del tipo:

a è b rappresentano dei valori costanti

-Se si prende un recipiente già parzialmente pieno e lo si riempie con

un rubinetto a portata costante, la quantità d’acqua q nel recipiente e il

tempo t sono grandezze correlate linearmente.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico di variabili correlate

linearmente: punti allineati tra loro ma

non con l’origine degli assi.

La curva corrispondente è una retta

non passante per l’origine.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili legate da proporzionalità

quadratica, vale una formula del tipo:

a rappresenta una costante

-L’area e il raggio di un cerchio sono legate da proporzionalità

quadratica. Al raddoppiare del raggio l’area diventa 4 volte più grande,

al triplicare del raggio l’area diventa 9 volte più grande …

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico di variabili legate da

proporzionalità quadratica:

una particolare curva detta

parabola.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro

prodotto si mantiene costante. Vale una formula del tipo:

k rappresenta una costante

-In una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la

massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente

proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, …

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Grafico che rappresenta due

variabili inversamente

proporzionali: una particolare

curva detta iperbole.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Se y e x sono variabili legate da proporzionalità inversa

quadratica, vale una formula del tipo:

k rappresenta una costante

-y è inversamente proporzionale al quadrato di x

-Prismi a base quadrata di uguale volume (equivalenti) hanno lato di

base e altezza legati da proporzionalità inversa quadratica.

Lezione 4 - Altre relazioni matematiche

Il grafico di variabili legate da

proporzionalità inversa

quadratica ha la forma

rappresentata in figura.

Unità A2 - La rappresentazione di dati e fenomeni

Rappresentazione di fenomeni fisiciRappresentazione di fenomeni fisici

Mediante tabellaMediante tabella

Proporzionalità diretta Proporzionalità diretta

Mediante formulaMediante formulaMediante graficoMediante grafico

Correlazione lineare Correlazione lineare

Proporzionalità inversa Proporzionalità inversa

Proporzionalità quadratica Proporzionalità quadratica

Proporzionalità inversa quadratica

Proporzionalità inversa quadratica