Fisica II – secondo modulo Lezione VIIwebca.ca.infn.it/gmanca/public/math_students/... · Lo...

Fisica II – secondo modulo Lezione VII C.C.L. Matematica, a.a.2017/18

Giulia [email protected]://people.unica.it/giuliamancahttp://webca.ca.infn.it/gmanca/public/

http://people.unica.it/giuliamanca

Calendario Lezioni

G.Manca2

Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18

Fine lezioni di teoria

Inizio laboratorio

2° parziale ?

Lun-Mer-Gio-Ven : 9-11 (teoria), Mar 15-17 (esercizi); meta` Maggio : inizio Lab !

Onde elettromagnetiche

Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 3

Lo spettro delle onde elettromagnetiche


• Sensibilità dell'occhio alla radiazione e.m. ! = λν, ν=frequenza

Microonde



Microonde

Scala delle lunghezze d'onda


Penetrazione delle onde e.m. nell'atmosfera


Produzione e di onde radio e microonde•Onde radio

➠ Sorgenti artificiali: circuiti oscillanti

•Microonde➠ Sorgenti artificiali:

- circuiti oscillanti ad alta frequenza- ciclotroni- magnetron (forno a microonde)

•Onde radio e microonde in astronomia


Sorgenti nell'infrarosso• Emissione di radiazioni elettromagnetiche da parte di corpi“caldi”•Dispositivi elettronici


Radiazione di corpo nero•Una sorgente a temperatura T emette radiazioni elettromagnetichenell'intero spettro (fatto salvo il principio di conservazione dell'energia!)• La lunghezza d'onda del massimo di emissione dipende dallatemperatura


Luce visibile


Sorgenti e propagazione della luce• I corpi portati ad una temperatura sufficientemente elevata emettono radiazione luminosa.

– Intorno ai 600oC l’emissione e’ di colore rosso scuro

– A ~1200oC l’emissione e’ arancione vivo

– A ~6000oC e’ di colore giallo-biancastro

• I corpi illuminati da una sorgente luminosa diffondono la luce in tutte le direzioni

• La propagazione della luce in un mezzo omogeneo e isotropo avviene in linea retta

• L’intensita’ di una radiazione luminosa (ovvero la potenza irraggiata per unita’ di superficiedisposta perpendicolarmente alla luce) diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza r:

! ∝#

$%

– L’intensita’ della radiazione solare che giunge sulla superficie terrestre (in direzioneperpendicolare ai raggi solari) e’ detta costante solare, ed e’ pari a 1.367 kW/m2


Ultravioletti, raggi X, raggi gamma•Sorgenti raggi ultravioletti:➠sole➠fotoni di diseccitazione di atomi➠…

•Sorgenti di raggi X➠Fotoni di diseccitazione di atomi, bremmstrahlung...

•Sorgenti di raggi g:➠Fotoni provenienti da transizioni nucleari


Proprietà generali delle onde• Un'onda è una perturbazione che si propaga

• Nelle onde elastiche, atomi e molecole del mezzo oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio

• Ciò che si propaga nelle onde non è materia, ma energia

• In maniera analoga si comportano i campi E e B nelle onde elettromagnetiche

• Le onde e.m. non hanno bisogno di un mezzo per propagarsi

• La perturbazione di un campo (elettrico o magnetico, ma anche di temperatura, pressione, densità...) che si propaga nello spazio è detta funzione d'onda

• Le onde piane possono essere descritte da:

!"#

!$"−

&

'"

!"#

!("= 0 (equazione di D’Alembert)

➠ξ = ξ ,, . : perturbazione, v = velocita` di propagazione


Equazione di D’Alembert• L'equazione è lineare in x

➠Piccole oscillazioni nel caso delle onde elastiche

➠Linearità delle equazioni di Maxwell per le onde e.m.

• Una proprietà importante: le soluzioni dell'equazionedi D'Alembert devono avere la forma:

ξ = ξ #, % = ξ # − '% oppure ξ = ξ #, % = ξ # + '%

• Poiché una combinazione linearedelle soluzioni è ancora una soluzione, la soluzione più generale avrà la forma

ξ #, % = ξ) # − '% + ξ* # + '%

• Dalla forma generale della soluzione si evince la proprietà dell'equazione di d'Alembert di rappresentare una perturbazione che si propaga con velocità ±v


ξ #+ − '%+

ξ # − '%

' % − %+

Traslazionerigida

Principio di sovrapposizione• Vale il principio di sovrapposizione:

• se due onde agiscono insieme, la perturbazione che si ottiene in ogni posizione e ad ogniistante è la somma delle perturbazioni che si otterrebbero se ciascuna onda agisseindipendentemente

• Dunque la presenza di un'onda non influenza l'altra


Sviluppo in serie di Fourier• Il teorema di Fourier afferma che una funzione periodica f(t) di periodo T, tale cheT sia divisibile in un numero finito di intervalli in cui f è continua e monotona, puòessere scritta come

• Per funzioni impulsive:


! " = $% +'()*

+$(sin /ω" + 1(cos /ω"

$( = 256%

7! " sin /ω" 1( = 2

56%

7! " cos /ω"$( = 2

56%

7! " sin /ω"

! " = 6%

+$ ω sinω" + 1 ω cosω" 8ω

$ ω = 1π 6;+

+! " sinω"8" 1 ω = 1

π 6;+

+! " cosω"8"

Se sovrapposizione insieme

continuo termini armonici

Onde armoniche• Possiamo trattare le onde periodiche basandoci sulle onde armoniche del tipo

ξ ", $ = ξ&sin * " − ,$ + ϕ

➠k è il numero d'onda [L-1], f la costante di fase

• Possiamo riscrivere la funzione d'onda nella formaξ ", $ = ξ&sin *" − ω$ + ϕ


ω = *, pulsazione [t-1 ]

λ =2π

*lunghezzad'onda[l]

Inoltre:

D =2π

ωperiodo [t]

ν =1

D=ω

2πfrequenza [t-1]

, = λνvelocita` [lt -1]

Onde armoniche• In tutti i punti di un piano perpendicolare all'asse x, la fase !" −ω% dell'onda piana ξ ", % = ξ)sin !" − ω% sarà la stessa

• Il fronte d'onda è dunque un piano perpendicolare all'asse x➠il fronte d'onda è definito come una superficie su cui, in un dato istante,

la fase è costante

• La funzione d'onda piana può essere scritta in una forma indipendente dal sistema di coordinate scelto

ξ .⃗, % = ξ)sin ! ⋅ .⃗ − ω%

il vettore d'onda k indica la direzione di propagazione

• L'equazione di d'Alembert diventa:

∇1ξ −2

34546

574= 0 =>

546

594+

546

5;4+

546

5<4−

2

34546

574= 0


Onde sferiche• Un'onda emessa da una sorgente puntiforme in un mezzo isotropodarà luogo a un fronte d'onda sferico

• L'ampiezza dell'onda dipende da r

• L'intensità è proporzionale al quadrato dell'ampiezza

• Ogni superficie sferica avente centro nella sorgente verràattraversata dalla stessa Potenza P

• Dunque: ξ ", $ = & " sin *" − ω$ & " - ∝ / " =0

1234

ξ ", $ =56

3sin *" − ω$ => Onda sferica armonica

& " =ξ7

"=> / " =

/7

"-


Sorgente puntiforme

L'equazione di d'Alembert in coordinate polari sferiche• La forma dell'equazione di d'Alembert in coordinate polari sferiche siottiene ricordando che

∇"ξ =1

&"'

'&&"'ξ

'&

•Dunque:(

)*

+

+)&"

+,

+)−

(

.*

+*,

+/*= 0

• Poiché (

)*

+

+)&"

+,

+)=

(

)

+* ),

+)*(da dimostrare)

posto 1 = &ξ

➠+*2

+)*−

(

.*

+*2

+/*= 0 ; 1 & = 14sin 8& − ω: ; ξ & =

2 )

)=

2;

)sin 8& − ω:


Onde elettromagnetiche piane• Partiamo dalle equazioni di Maxwell nel vuoto in assenza di sorgenti

• Cerchiamo una soluzione di onda piana, che si propaga lungo x

• E e B dipenderanno solo da x e da t, quindi saranno nulli tutti i termini del tipo:

!"#

!$= 0; !"#

!'= 0 ; !(#

!$= 0 ;

!(#

!'= 0 ; ) = *, ,, -

• Scrivendo le eq. di Maxwell in componenti ed eliminando i termini nulli:!".

!/= 0 ; !(.

!/= 0 ; !".

!0= 0; !(.

!0= 0

• Le componenti x di B ed E sono costanti.In assenza di sorgenti :

1/ *, 2 = 0 3/ *, 2 = 0


Onde e.m.piane

• I) + III) =>

• II) + IV) =>

• E e B si propagano lungo l'asse x con velocità ! =#

$%&%

• Nota: se le onde e.m. si propagano in un mezzo materiale, anzichè nel vuoto, la

velocità sarà ' =#

$&< !

• Le funzioni d'onda devono essere funzioni di x-vt () = *, ,)

-. = -. / − '1 , 2. = 2. / − '1


34-5

3/4− ε7µ7

34-5

314= 0

34-:

3/4− ε7µ7

34-:

314= 0

342:

3/4− ε7µ7

342:

314= 0

3425

3/4− ε7µ7

3425

314= 0

3-5

3/=32:

31

3-:

3/= −

325

31

32:

3/= ε7µ7

3-5

31

325

3/= −ε7µ7

3-:

31

I)

II) IV)

III)

Onde e.m. pianePongo ! = # − %&,

'(

')=1,

'(

'*=-v

•'+,

')=

'-.

'*=>

'+,

')=

'-.

'*

'+,

'(

'(

')=

'-.

'(

'(

'*=>

'+,

'(= −%

'-.

'(

➠/0 = −+,

1(A meno di una costante che descrive eventuali casi stazionari)

➠/2 =+.

1

Dunque posso scrivere B in termini di E

• 3 = 30 # − %& 45 + 32 # − %& 8̂ => / = −+, ):1*

145 +

+. ):1*

18̂

1) 3 = %/

2) 3 ⋅ / = 0

3) 3×/ = 3/4#

• E e B sono perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda

• LE ONDE ELETTROMAGNETICHE SONO TRASVERSALI

• E e B sono propozionali tra loro

• La costante di proporzionalità è c (nel vuoto) o v<c (in un mezzo materiale)Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 30

Ci ricordiamo…?

•Onde trasversali


Indice di rifrazione• Il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e quella in un mezzo materiale èl'indice di rifrazione del mezzo

! =#

$

• n =1 per il vuoto, n>1 per tutti gli altri mezzi

$ =%

&'=

%

&(&)'(')

=*

&('(

(κ, = µ., κ0 = εr)

• In molti mezzi materiali, 34 = 1 entro un'accuratezza di 10-5, per cui

! ≈ 34

➠ n in generale dipende dalla lunghezza d'ondaFisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 32

Indice di rifrazione e dipendenza da l


Densità di energia delle onde e.m. • La densità di energia associata al campo elettrico e al campo magnetico nel vuoto è:

• Abbiamo visto che per onde piane E=cB. Dunque:

• La densità di energia si ripartisce in maniera uguale tra campo elettrico e campo magnetico• Il risultato, ottenuto per onde piane, è valido in generale


!"#

!V=1

2ε)*

+!",

!V=

1

2µ).+

!"/0

!1=!"#

!V+!",

!V=1

2ε)*

+ +1

2µ).+ =

1

2ε)*

+ +1

2µ)

*+

3+=1

2ε)*

+ +1

2µ)ε)µ)*

+

!"/0

!V= ε)*

+

Vettore di Poynting• Calcoliamo il flusso di energia per unità di tempo

• Considero il volume dV disposto perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell'onda

• !"#$ = ε'()dV = ε'(

)dΣ-dt =/

01(2dΣdt

• La potenza istantanea e` 3 = 4567

d8 = ε'-()dΣ =

9

012)dΣ- =

/

01(2

• Possiamo associare a questa quantità il vettore

• ;⃗ = ε'-() <= =

9

012) <= ovvero ;⃗ =

/

01(×2 VETTORE DI POYNTING

• Il vettore di Poynting segue la direzione di propagazione dell'onda ed ha modulo pari all'energiache nell'unità di tempo attraversa una superficie perpendicolare alla direzione di propagazione


=

-d?

dΣ

Intensità• Per un'onda armonica piana:

•Questa quantità è il flusso istantaneo di energia per unità di tempo• Il valore medio è

ovvero, con !eff = %&'


( = ε*!'+ = ε*+!*'sin' /0 − ω3

(4 = ε*+!*' 1678*

9:sin' /0 − ω3 ;3 = 1

2 ε*+!*'

= = (4 = 12 ε*+!*' = ε*+!eff'

Esercizio: generalizzare l'espressione del vettore di Poynting e dell'intensità nei mezzi omogenei ed isotropi

Pressione di radiazione• Oltre all'energia, le onde e.m. trasportano quantità di moto

• Su una superficie illuminata, la luce esercita una pressione

• Infatti, supponiamo che l'onda e.m. incida normalmente su una superficie su cui è presente una carica con densitàsuperficiale s

• E mette in moto la carica dq dandole la velocità v

• dFe=dq E giace sul piano della superficie

• dFe non esercita pressione, ma cede alla carica una potenza:

• L'intensità assorbita dalla carica è:


!E

B

. dq

v

"#$ ⋅ '⃗ = ")*'

+ ="#$"Σ

⋅ '⃗ =")

"Σ*' = σ*'

(assumo che la superficie assorbacompletamente l'energia dell'onda e non rifletta)

Pressione di radiazione• Il campo magnetico non compie lavoro su dq

• B agisce su dq tramite !"# = !%'⃗×)

• dFm è perpendicolare alla superficie ed esercita pressione

*+,- =-./

-0=

-1

-0') = σ') =

345

6=

7

6(I=Intensita` ceduta dall’onda)

• Inoltre l'impulso per unità di superficie dovuto all'onda è: -./

-0!8

questa è la quantità di moto ceduta all'unità di superficienell'unità di tempo

• Se invece l'onda viene riflessa, comunicherà alla superficie una quantità di moto doppia. Anche la pressione sarà doppia (cfr urto elastico e totalmente anelastico)

• Abbiamo dunque, per incidenza normale:

*+,- =7

6Assorbimento completo

*+,- =97

6Riflessione completa

• Nel caso di incidenza ad un angolo q, si ha :; = :<cos9θ;

=>Solo la componente della quantità di moto normale alla superficie contribuisce all'interazione; inoltre l'area investita èmaggiore


Perché la coda delle comete non segue la traiettoria del nucleo?


Ipotesi di Keplero → pressione della luce (corpuscolare) del sole

Fisica II – secondo modulo Lezione VIIwebca.ca.infn.it/gmanca/public/math_students/... · Lo...

Documents

Transcript of Fisica II – secondo modulo Lezione VIIwebca.ca.infn.it/gmanca/public/math_students/... · Lo...