Fisica II ES (Modulo 5)

8/12/2019 Fisica II ES (Modulo 5)

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Propagacin

de ondaselectromagnticasJordi Bonastre Muoz

PID_00159139


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CC-BY-SA PID_00159139 2 Propagacin de ondas electromagnticas


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CC-BY-SA PID_00159139 Propagacin de ondas electromagnticas

ndice

Introduccin

Objetivos ................................................................................................. 7

1. Propagacin de ondas electromagnticas en un medio ........ 91.1. Propagacin de ondas electromagnticas

armnicas planas en el vaco ....................................................... 9

1.1.1. Espectro electromagntico ................................................ 11

1.2. Propagacin de ondas electromagnticas armnicas

planas en medios materiales no conductores .............................. 121.2.1. Velocidad de propagacin ................................................. 13

1.2.2. ndice de refraccin ........................................................... 14

1.3. Propagacin de ondas electromagnticas armnicas

planas en medios materiales conductores .................................... 15

1.3.1. Absorcin y profundidad de penetracin ......................... 16

1.4. Qu hemos aprendido? ............................................................... 21

2. Polarizacin ...................................................................................... 222.1. Concepto de polarizacin ............................................................. 22

2.2. Polarizacin lineal ........................................................................ 23

2.3. Polarizacin circular ..................................................................... 26


3. Reflexin y transmisin de ondas planas en un cambiode medio ............................................................................................ 283.1. Condiciones de frontera ............................................................... 28

3.1.1. Condiciones de frontera para el campo elctrico ............. 29

3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magntico .......... 31

3.1.3. Visin global y casos particulares ..................................... 323.2. Reflexin y transmisin a la interfaz entre dos medios ............... 33

3.2.1. Deduccin de las leyes de reflexin y refraccin

de la ptica para cualquier onda

electromagntica ............................................................... 34

3.2.2. Reflexin y transmisin de ondas polarizadas

con el campo elctrico perpendicular al plano

de incidencia ..................................................................... 38

3.2.3. Reflexin y transmisin de ondas polarizadas con

el campo elctrico paralelo al plano de incidencia ........... 44

3.2.4. ngulo de Brewster ........................................................... 51

3.2.5. ngulo crtico .................................................................... 55

3.3. Qu hemos aprendido?................................................................ 57


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CC-BY-SA PID_00159139 Propagacin de ondas electromagnticas

4. Reflexin y transmisin por una capa fina:interferencia .................................................................................... 594.1. Concepto de interferencia ............................................................ 59

4.2. Estudio de las reflexiones y transmisiones

en una capa fina ........................................................................... 62


5. Guas de onda ................................................................................... 695.1. Guas de onda de seccin rectangular .......................................... 69

5.1.1. Modos transversales elctricos (TE) ................................... 73

5.1.2. Modos transversales magnticos (TM) .............................. 78

5.1.3. Atenuacin en una gua de onda. Modos guiados,

modos de corte y modo dominante ................................. 81


6. Cavidades resonantes ..................................................................... 856.1. Cavidades resonantes con forma de paraleleppedo

regular ........................................................................................... 85


7. Problemas resueltos ........................................................................ 937.1. Enunciados ................................................................................... 93

7.2. Soluciones ..................................................................................... 93

Resumen .................................................................................................. 100

Ejercicios de autoevaluacin ............................................................. 103

Solucionario ........................................................................................... 105

Glosario ................................................................................................... 105

Bibliografa ............................................................................................ 106


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Introduccin

aYa hemos introducido el concepto de ondas electromagnticas como un flujode energa que se intercambia entre el campo elctrico y el campo magntico

y que se propaga por el espacio. Tambin dedujimos la expresin matemtica

a partir de las leyes de Maxwell. Sin embargo, no entramos en ningn momen-

to en cmo se produce esta propagacin.

En este mdulo nos centraremos precisamente en este aspecto, es decir, estu-

diaremos la propagacin de las ondas electromagnticas y los fenmenos que

se producen a causa de esta propagacin. Limitaremos el estudio, eso s, a on-

das electromagnticas planas armnicas, que ya os introdujimos. No obstante,buena parte de los conceptos que veremos son extrapolables a cualquier tipo

de ondas electromagnticas.

aEn el apartado 1 analizaremos cmo se produce la propagacin de una ondaelectromagntica en un nico medio, tanto en el caso de un material dielc-

trico como de un conductor. Durante el anlisis nos reencontraremos con el

concepto de ndice de refraccin que ya estudiamos. Aqu, no obstante, lo ve-

remos aplicado a una onda electromagntica en general. Tambin veremos

cmo y por qu la intensidad de las ondas se atena cuando se propagan por

ciertos materiales.

En el apartado 2 veremos que los campos elctrico y magntico pueden estar

orientados de muchas maneras respecto a la direccin de propagacin. Estu-

diaremos lo que denominaremos estado de polarizacin.

aEn el apartado 3 daremos un paso ms all y analizaremos qu sucede cuandouna onda atraviesa la interfaz entre dos medios materiales diferentes. Entre

otras cosas, volveremos a deducir las propiedades geomtricas que ya os expli-

camos para la luz, pero ahora lo haremos desde el punto de vista de la teora

electromagntica y aplicadas a las ondas electromagnticas en general.

En los ltimos apartados estudiaremos tres casos especficos de configuracio-

nes que podemos encontrar en algunos dispositivos habituales y analizaremos

cmo se comportan en ellos las ondas electromagnticas:

El primer ejemplo (apartado 4) corresponde a una capa fina de un material

dielctrico. En este tipo de configuraciones se producen interferencias, un

concepto que ya vimos en el mdulo Ondas y que aqu volveremos a ex-plicar. Deduciremos cmo son las interferencias debidas a una capa fina y

veremos algunas de las aplicaciones que utilizan este fenmeno.

Podis ver el concepto de ondaselectromagnticas y de ondaselectromagnticas planas armnicasen el mdulo Leyes de Maxwell.

Podis ver el ndice de refraccinen el mdulo ptica.

Podis ver cmo la luz atraviesa lainterfaz entre medios diferentes enel mdulo ptica.


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El segundo ejemplo que estudiaremos (apartado 5) son las guas de onda.

Se trata de dispositivos en los que un material dielctrico est envuelto de

un material conductor en todas las direcciones excepto en una. Esta confi-

guracin permite la propagacin de ciertas ondas electromagnticas de una

manera eficiente. En este mdulo analizaremos qu caractersticas presen-

tan las ondas que se pueden propagar en estas situaciones.

El ltimo ejemplo que estudiaremos son las cavidades resonantes. Veremos

que se trata de una configuracin muy similar a una gua de onda, con la

diferencia de que ahora el material conductor limita el dielctrico por todas

las direcciones, es decir, es una regin cerrada. Comprobaremos que en es-

tos dispositivos se producen ondas estacionarias y estudiaremos qu carac-

tersticas presentan.


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Objetivos

Los materiales didcticos contenidos en este mdulo proporcionan los co-nocimientos necesarios para que el estudiante adquiera los objetivos si-

guientes:

1. Conocer el mecanismo de propagacin de las ondas electromagnticas y su

tratamiento matemtico en medios naturales, tanto dielctricos como con-

ductores.

2. Saber determinar, de manera cuantitativa, la atenuacin que se produce en

una onda electromagntica a causa de la conductividad del material por elque se propaga.

3. Entender el concepto de esta polarizacin de una onda electromagntica,

conocer los diferentes tipos que hay y saber relacionarlos con las configu-

raciones posibles de los campos elctrico y magntico.

4. Entender las propiedades de los campos elctrico y magntico en las zonas

interfaciales entre dos medios materiales diferentes y saber aplicarlas a la

deduccin del comportamiento de las ondas electromagnticas en estas zo-nas interfaciales.

5. Saber aplicar los conceptos del punto 4 a la deduccin de las relaciones en-

tre las amplitudes y las intensidades de las ondas incidente, reflejada y

transmitida en una interfaz entre dos medios.

6. Conocer la dependencia de las relaciones del punto 5 respecto al ngulo de

incidencia y saber deducir la existencia de unos ngulos especiales, el n-

gulo de Brewster y el ngulo lmite o de reflexin total, y entender su sig-nificado fsico.

7. Entender el comportamiento de una onda electromagntica cuando atra-

viesa una lmina muy fina de un material dielctrico y saber determinar las

interferencias que se producen all en funcin de los parmetros de diseo

y de las caractersticas de la onda.

8. Entender el funcionamiento fsico de las guas de onda y el comportamien-

to de las ondas electromagnticas en su interior. Conocer los modos de

propagacin que se pueden producir en ellas y las frecuencias de las ondas

que se pueden propagar por ellas.


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9. Entender el fundamento fsico de las cavidades resonantes y el comporta-

miento de las ondas electromagnticas estacionarias que se establecen en

su interior. Saber determinar las caractersticas de los modos de vibracin

posibles y las frecuencias caractersticas asociadas.


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1. Propagacin de ondas electromagnticas en un medio

aYa hemos deducido, a partir de las ecuaciones de Maxwell, que la energa elec-tromagntica se propaga mediante ondas electromagnticas. Tambin descu-

brimos que la velocidad de propagacin de estas ondas en el vaco es

precisamente la velocidad de la luz en el vaco.

Sin embargo, en la vida cotidiana a la que estamos acostumbrados, el concepto de

vaco se convierte en una mera aproximacin terica, ya que buena parte de las

ondas electromagnticas se propagan en un medio material. Incluso el aire (quiz

el medio que, de manera intuitiva, encontraris ms cercano a estas caractersticas

ideales), se debe considerar como un medio material diferente del vaco.

En este mdulo trabajaremos el comportamiento de las ondas electromagn-

ticas que se propagan en medios materiales y encontraremos respuesta a algu-

nos de los fenmenos que podis observar a menudo en la naturaleza y que se

explican por la presencia de estos medios (y, de manera especial, de transicio-

nes entre medios diferentes) en el camino que siguen las ondas.

Comenzaremos el mdulo estudiando, en el primer apartado, la propagacin

de las ondas electromagnticas en un nico medio y dejaremos para ms ade-

lante los fenmenos que se producen cuando estas ondas atraviesan una in-

terfaz entre dos medios diferentes. Limitaremos el estudio, eso s, a ondaselectromagnticas armnicas y planas. Este caso es el ms simple de tratar y

nos servir para entender los fenmenos y conceptos que veremos y que son

extrapolables a una onda electromagntica cualquiera.

1.1. Propagacin de ondas electromagnticas armnicas planas en

el vaco

aYa hemos visto que una onda electromagntica armnica plana se comportay se propaga como una onda transversal; es decir, su direccin de vibracin

o de oscilacin es perpendicular a la direccin de propagacin. Para verlo, ob-

servad la figura 1.

Figura 1

Podis ver las ecuaciones de Maxwell enel mdulo Leyes de Maxwell.

Podis ver las ondas transversales en elmdulo Leyes de Maxwell.

Figura 1

Representacin esquemticade una onda electromagntica.


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En el dibujo podis observar que, para una onda electromagntica armnica

plana que se propaga a lo largo del eje z, tanto el campo elctrico (indicado

con color gris claro) como el campo magntico (indicado con color gris os-

curo) siempre tendrn una direccin perpendicular a este eje y, adems, siem-

pre sern perpendiculares entre s.

Recordad que tambin vimos que la expresin matemtica de esta onda plana

armnica es, para una onda que se propaga en la direccin :

(1)

(2)

Fijaos en que tanto las expresiones para el campo elctrico (1) como para el

campo magntico (2) estn estructuradas de la misma manera:

El primer factor ( o ) corresponde a las amplitudes de oscilacin, es

decir, a los valores mximos que pueden alcanzar los campos. Tambin in-

dica su direccin.

El segundo factor ( ) recibe el nombre de fasory se trata de un n-

mero complejo cuyo mdulo es siempre 1 y que indica la fase o el desfase

de la onda en un punto y un instante determinados.

a Los parmetros y son los que determinan las caractersticas de la onday su significado es idntico al que ya vimos con las ondas mecnicas. Si re-

cordis, es la frecuencia angular y corresponde al ritmo con el que vara

la fase en funcin del tiempo en una posicin determinada. es la cons-

tante de onda. Su direccin indica la direccin de propagacin y su mdulo

(que a partir de ahora, y para simplificar, denominaremos simplemente k)

es el anlogo de la frecuencia angular pero en el espacio, es decir, corres-

ponde al ritmo con el que vara el desfase en funcin del espacio.

Sin embargo, aunque son los parmetros y los que aparecen en las ecua-

ciones (1) y (2), en la vida cotidiana es mucho ms habitual or hablar de otros

dos parmetros: la longitud de onda () y la frecuencia (f).

La longitud de onda () es la distancia, a lo largo de la direccin de propaga-

cin, entre dos puntos consecutivos que tienen el mismo desfase (por ejem-

plo, la distancia entre dos mximos). Se puede calcular a partir del mdulo de

la constante de onda:

(3)

Atencin

No confundis el vector unita-rio en la direccin z, , con laconstante de onda .

kk

E

B

j en lugar de icomounidad de los nmerosimaginarios

Cuando se trabaja en el mbitodel electromagnetismo se utili-zaj para indicar la unidad ima-ginaria i.El motivo de esteconvenio es para que no seproduzca confusin con la co-rriente elctrica, que se indicatambin con i o I.

k

0

kj r teE E

0

j k r teB B

Recordad

Un trmino del tipo ejes unnmero complejo equivalentea:

ejcos jsen dondejes la unidad imaginaria( yj21). 1j

0E

0B

j k r te

Podis ver los parmetros y parauna onda mecnica en el mduloOndas.

kk

k

k

es la letra griega lambda.

Recordad

corresponde a una distanciay, por tanto, se mide en unida-des de longitud (m, mm, m,nm, etc.).

2k


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Los distintos tipos de ondas electromagnticas que conocemos de la vida co-

tidiana no son ms que divisiones que se han hecho en el espectro electromag-

ntico en funcin de la frecuencia (f) o de la longitud de onda ().

En la tabla 1.1 os mostramos los diferentes tipos de ondas electromagnticas

y las partes del espectro, es decir, los rangos de frecuencias o longitudes de on-da, a las que corresponden.

Tabla 1.1. Espectro electromagntico

Todo lo que hemos explicado hasta aqu se ha hecho teniendo en cuenta que

las ondas se propagan en el vaco. A continuacin, estudiaremos qu modifi-

caciones se deben considerar para explicar el comportamiento de las ondas

electromagnticas en presencia de materia.

aSi os acordis, anteriormente hicimos una divisin de los materiales en dosgrupos bsicos: dielctricos (o no conductores) y conductores. A continuacin

trataremos estos dos casos por separado.


medios materiales no conductores

aDe manera anloga a como procedimos anteriormente, comenzaremos el es-tudio del comportamiento de las ondas electromagnticas en un medio mate-

rial con el caso de que se propagan por un medio dielctrico o no conductor

Regin del espectroRango de

longitudes deonda ()

Rango defrecuencias (f)

Aplicaciones mshabituales

Observaciones

Radio

Onda larga 10 m 30 MHzSeales de radio (AM)Comunicacin submarina

Se reflejan en la ionosfera y, portanto, pueden viajar largasdistancias. Por ello se utilizan paracomunicar dos puntos lejanos dela Tierra.

Onda corta 10 cm - 10 m 30 MHz - 3 GHz Seales de radio (FM)Seales de TV

No se reflejan en la ionosfera y,por tanto, solo se pueden utilizarpara distancias cortas.

Microondas 1 mm - 10 cm 3 - 300 GHzRadarRedes sin hilos (WiFi)Hornos de microondas

Presentan mucha atenuacin en laatmsfera y, por tanto, slo sepueden utilizar para distanciasmuy cortas.

Infrarrojos 700 nm - 1 mm 3 1011- 4 1014HzTermografasVisin nocturnaControles remotos

Emisin trmica.

Luz visible 400 - 700 nm 4 1014- 7 1014Hz Instrumentos pticosRadiacin visible por el ojohumano y el de la mayora de losseres vivos.

Ultravioletas 10 - 400 nm 7 1014- 3 1016HzMedicinaEspectrofotometra

La materia los absorbe muyfcilmente.

Rayos X 0,01 - 10 nm 3 1016- 3 1019HzRadiografa diagnsticaCristalografa

Generados por radiacin deionizacin, su longitud de ondaest dentro de la escala de lostomos y los cristales atmicos.

Rayos 1011m 3 1019HzEsterilizacinRadioterapia

Generados por interaccionessubatmicas.

Podis ver los materiales dielctricos yconductores en el mdulo Leyes deMaxwell.

Podis ver el comportamiento de lasondas en el mdulo Leyes de Maxwell.Podis ver el ndice de refraccin en elmdulo ptica.


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y dejaremos para ms adelante el caso de medios conductores. Analizaremos

primero cmo es la velocidad de propagacin en un medio material y volve-

remos a trabajar con el concepto de ndice de refraccin (n), pero ahora lo ve-

remos aplicado a las ondas electromagnticas en general.

1.2.1. Velocidad de propagacin

aSi recordis, anteriormente os explicamos el efecto de introducir un materialdielctrico en una regin del espacio donde estn presentes campos elctricos

o magnticos. Los valores de la permitividad elctrica y la permeabilidad mag-

ntica para el vaco (0y 0) se sustituyen por sus equivalentes correspondien-

tes al medio en cuestin (y ).

Esta sustitucin es aplicable a todas las expresiones donde aparecen los con-

ceptos de permitividad o permeabilidad y, por tanto, tambin a la expresin

para la velocidad de propagacin de una onda electromagntica (6). As pues,

podris encontrar la velocidad de propagacin de las ondas en un medio cual-

quiera si conocis los valores de la permitividad elctrica () y la permeabilidad

magntica () correspondientes.

Podis comprobar que si sustitus, en la expresin (7), los valores de la permi-

tividad elctrica () y la permeabilidad magntica () por los valores corres-

pondientes al vaco (y ), obtendris la expresin que ya habamos visto

para la velocidad de propagacin en el vaco (6). Esto quiere decir que en el

fondo esta ltima es un caso particular de la primera.

As pues, podis ver que la velocidad de propagacin (v) de las ondas vara de

manera significativa entre un medio y otro, ya que tambin lo hacen los valo-

res de y de. Es ms, incluso dentro de un mismo medio, si este no es i. h.

l., la velocidad puede variar entre un punto y otro, ya que tanto la permeabi-

lidad () como la permitividad () dependen de muchos factores, como la den-

sidad o la temperatura.

La velocidad de propagacin (v) de una onda electromagntica en un medio es

un parmetro muy importante en el estudio de su comportamiento. Podemosencontrar multitud de tablas y documentos con los valores de esta velocidad

para la mayora de los materiales conocidos. No obstante, igual que suceda con

Podis ver el efecto de un materialdielctrico en presencia de campos en elmdulo Leyes de Maxwell.

y son las letras griegas mu ypsilon, respectivamente.La velocidad de propagacin(v) (tambin denominada velocidad de fa-

se) de una onda electromagntica en presencia de un medio material es:

(7)

donde y son, respectivamente, la permeabilidad magntica y la per-

mitividad elctrica absolutas del material.

1v

vy c

En este mdulo utilizaremos vpara indicar la velocidad depropagacin de una onda en

un medio cualquiera y limitare-mos cpara indicar la velocidadde propagacin de la onda enel vaco (c2,998 108m/s).

Recordad

Un medio i. h. l.es un medio: Istropo: sus caractersticas

electromagnticas no de-penden de la direccin depropagacin.

Homogneo: sus caracters-ticas son las mismas en cual-quier punto del medio.

Lineal: sus caractersticas elc-tricas y magnticas dependenlinealmente de los camposelctrico y magntico.


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la permeabilidad () y la permitividad (), lo ms habitual es encontrar valores

en trminos relativos, es decir, comparados con su equivalente para el vaco.

Por ejemplo, encontraris que la velocidad de propagacin de una onda por un

medio es xveces inferior que la que tendra si lo hiciera por el vaco. Aqu entra

en juego el concepto de ndice de refraccin de un medio.

aEl concepto de ndice de refraccin ya lo introdujimos, pero lo volveremos aexplicar en este mdulo, incluyendo ahora su relacin con los conceptos de

permeabilidad y permitividad.

1.2.2. ndice de refraccin

aYa hemos mencionado que resulta muy habitual encontrar las caractersticaselctricas o magnticas de un medio en forma relativa, es decir, en compara-

cin con las del vaco. De hecho, el ndice de refraccin (n) de un medio esuna medidad de la velocidad relativa de una onda electromagntica respecto

a la que tendra en el vaco (c2,998 108m/s):

(8)

donde ves la velocidad de propagacin de la onda en el medio en cuestin y c

es la velocidad de la misma onda en el vaco, que siempre es c2,998 108m/s.

aEl concepto de ndice de refraccin de un medio ya lo vimos, pero aplicadoslo a la luz. Ahora podis comprobar que este concepto se puede aplicar a

cualquier tipo de onda electromagntica.

Podis desarrollar la expresin (9) y sustituir los valores de las velocidades (cy

v) por sus relaciones con las permeabilidades () y permitividades () respecti-

vas que habis visto en las ecuaciones (6) y (7). Obtendris:

(10)

Podis ver el concepto de ndice derefraccin en el mdulo ptica.

Podis ver las caractersticas elctricas omagnticas de un medio en formarelativa en el subapartado 1.2.1 de estemdulo.

El ndice de refraccin (n)de un medio material se define como el co-ciente entre la velocidad de propagacin de una onda electromagntica

en el vaco (c2,998 108m/s) y la velocidad que tiene en este medio:

(9)

Dado que tanto ccomo vson magnitudes de velocidad y se miden con

las mismas unidades, el ndice de refraccin es adimensional (es decir,

no tiene unidades).

cn

v

cn

v

Podis ver el concepto de ndice derefraccin en el mdulo ptica.

0 0

1

1

cn

v


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Si juntis los trminos que se encuentran dentro de la raz, os quedar:

(11)

Si os fijis bien, los dos cocientes que aparecen dentro de la raz no son otra

cosa que sus permeabilidad y permitividad relativas, ry r, que ya vimos. Re-

cordad que eran:

a(12)

Podis comprobar que tanto rcomo rson magnitudes adimensionales (es

decir, no tienen unidades). Por tanto, el resultado de la operacin (13) tam-

bin lo ser, tal como ya habamos visto.

Hasta aqu hemos estudiado la propagacin de ondas electromagnticas en el

vaco y en medios dielctricos. En ambos casos, hemos supuesto que las ondas

se propagan de manera indefinida, sin atenuacin en su amplitud de oscila-

cin. Sin embargo, seguro que habris observado en la vida cotidiana que hay

objetos que dejan pasar la luz, otros que no y otros que lo hacen de manera

parcial. Decimos que los cuerpos presentan un cierto grado de opacidad, es de-

cir, que hay cuerpos ms opacos que otros. Lo mismo se puede aplicar a otros

tipos de ondas electromagnticas, como las ondas de radio o los rayos X (res-

pecto a estos ltimos, slo es necesario que os imaginis una radiografa, don-

de se puede ver que la piel deja pasar la luz, los rayos X, mientras que los

huesos son opacos).

Los medios conductores en general presentan una alta opacidad respecto a las

ondas electromagnticas. A continuacin estudiaremos este caso.


medios materiales conductores

El estudio de la propagacin de una onda electromagntica en un medio con-

ductor es muy similar al que hemos realizado hasta ahora para el caso del va-

0 0

0 0 0 0

1

1

n

ry rse leen mu sub errey psilon sub erre.

Podis ver la permeabilidad y lapermitividad relatives en el mduloLeyes de Maxwell.

0 0r ri

r1,

A excepcin de los materialesferromagnticos, la mayora delos materiales presentan unapermeabilidad magntica rela-tiva muy cercana a 1 (r1).Por este motivo, en algunosmbitos, como la ptica, en-contraris a menudo la expre-sin para el ndice derefraccin aproximada a:

rn

rn

El ndice de refraccin (n) de un medio cualquiera est relacionado con

la permeabilidad magntica (r) y la permitividad elctrica (r) relativas

del medio:

(13) r rn


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co de un medio dielctrico. La diferencia ms notable radica en que hemos de

tener en cuenta que la conductividad del material ahora no es insignificante.

La consecuencia principal de encontrarse en un medio material con una con-

ductividad diferente de cero es que la onda electromagntica interacciona con

el material y parte de su energa se consume durante el proceso. Podramos de-cir que la onda se desgasta a medida que se propaga. Y eso se traduce en una

reduccin de su intensidad. Lo veremos a continuacin.

1.3.1. Absorcin y profundidad de penetracin

a

Un mismo medio material puede ser ms o menos opaco en funcin de su gro-

sor; de hecho, si cortis un material muy opaco y muy delgado, puede llegar a

ser transparente. Es decir, es como si la onda electromagntica se fuera des-

gastando a medida que se adentra en el medio material. Lo que en realidad

est sucediendo es que la onda electromagntica va cediendo parte de su ener-

ga al medio, fenmeno que recibe el nombre de atenuacin.

Para la cuantificacin de esta atenuacin, podemos redefinir el concepto de

ndice de refraccin para introducir en l un trmino que incluya la atenua-

cin de parte de la energa de las ondas (las prdidas). Estos efectos se pue-

den englobar en un nuevo valor del ndice de refraccin, que ahora ser un

nmero complejo, que simbolizaremos :

(14)

La parte real de este ndice de refraccin complejo () corresponde al ndice de

refraccin normal (n) que hemos visto hasta ahora. La parte imaginaria (k)

se denomina coeficiente de extinciny explica las prdidas o la reduccin en

la amplitud de la onda a medida que se propaga por un medio. Este fenmeno

se denomina atenuaciny lo detallaremos a continuacin.

aCuando se produce atenuacin, la intensidad de la onda,I, viene regida por laexpresin siguiente:

II0ex (15)

dondeI0es la intensidad inicial, es el coeficiente de atenuacin del medio

material y xes la distancia recorida por la onda dentro del medio.

En la figura 2 podis observar una representacin grfica de la expresin ante-

rior. Podis comprobar que, a medida que la onda penetra una distancia xden-

Podis ver tambin el fenmeno de laatenuacin en el mdulo ptica.

Atencin

No las confundis. Fijaos enque tenemos tres k, la ,vector unitario en la direccinz, la correspondiente al n-mero de onda, y la kcoeficien-te de extincin. Fijaos en que laprimera es un vector, la segun-da puede aparecer como vec-tor o mdulo y la tercera es un

escalar.

k

k

se lee ene tilde.

Recordad

Un nmero complejo zes unnmero del tipo zajb,donde ay bson nmerosreales yjes la unidad de losnmeros imaginarios

( yj21).1j

n n jk

Podis ver el ndice de refraccin en elsubapartado 1.2.2 de este mdulo.

Recordad

e2,718281828459...

es la letra griega alfa.


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tro del medio, su intensidad se va reduciendo de manera exponencial, de

modo que cuanto ms grande es el valor del coeficiente de atenuacin (), ms

rpidamente se atena la onda.

Figura 2

El coeficiente de atenuacin () es una caracterstica de cada medio material y

mide la rapidez con la que se reduce la intensidad de una onda electromagn-

tica cuando se propaga por el medio.

No obstante, a menudo resulta muy interesante hablar del concepto inverso a

la atenuacin, es decir, de la capacidad de una onda de penetrar dentro de un

medio sin experimentar prdidas significativas. As, por ejemplo, en la grfica

de la figura 2 podis observar que cuando la onda penetra una distancia co-

rrespondiente a cuatro marcas del eje horizontal, la intensidad es un 20% delvalor original (o, lo que es lo mismo, se ha reducido en un 80%). Para un me-

dio con un coeficiente de atenuacin () muy grande, esta misma cada se pro-

duce en poca distancia y, por tanto, podramos decir que la onda penetra

menos distancia dentro del medio. Por el contrario, en un medio con un co-

eficiente muy pequeo sucede todo lo contrario: la onda recorre mucha ms

distancia antes de reducirse en un mismo factor.

As pues, ya hemos visto, desde el punto de vista cualitativo, que existe un

concepto de profundidad de penetracin, es decir, una distancia que puede re-

correr una onda dentro de un medio antes de atenuarse un cierto factor. Sinembargo, desde el punto de vista cuantitativo, la determinacin exacta de esta

distancia vara segn qu valor tomemos como factor de reduccin de referen-

cia. Por ejemplo, en la figura 2 no es lo mismo calcular la distancia recorrida

para una reduccin del 50% que la distancia para una reduccin del 80%.

Como este valor de referencia es arbitrario, hay que definir un parmetro estn-

dar para poder cuantificar esta distancia de penetracin y permitir la compara-

cin entre medios diferentes. Este parmetro se denomina profundidad de

penetracin() y se define como el valor inverso del coeficiente de atenuacin:

(16)

Figura 2

Representacin grfica de la re-duccin de la intensidad deuna onda a causa de la atenua-cin por parte del medio.

es la letra griega delta minscula. 1


18/106


La profundidad de penetracin () es un parmetro que depende tanto de las

caractersticas del material como de la onda que lo atraviesa. Su valor es:

(17)

donde encontramos los parmetros siguientes:

La conductividad del medio (). Cuanto mejor conductor es el medio,

menos podr penetrar en l una cierta onda electromagntica. En un con-

ductor ideal o perfecto (0), la onda sera completamente incapaz de pe-

netrar. Por el contrario, en un medio dielctrico, donde la conductividad

es muy pequea y se puede aproximar a cero (0), la onda podr penetrar

de manera casi indefinida. El caso extremo sera el vaco (0), donde la

onda no experimentara ningn tipo de atenuacin y, por tanto, la profun-

didad de penetracin () sera infinita.

La permeabilidad magntica del medio(). Cuanto ms magntico es el

medio, menor es la profundidad de penetracin (). As, por ejemplo, una

misma onda se atenuar de manera mucho ms rpida en un material fe-

rromagntico que en un material no ferromagntico (suponiendo que el

resto de los parmetros son iguales).

La frecuencia de la onda que se propaga(f). A diferencia de los dos fac-

tores anteriores, que dependen de las caractersticas del medio, este tercer

factor depende de las caractersticas de la onda que se propaga. Como po-

dis comprobar a partir de la expresin (17), cuanto ms alta es la frecuen-cia, menor es la profundidad de penetracin (). Por tanto, las ondas de

baja frecuencia tendrn una atenuacin ms pequea y una penetracin

mucho ms grande en el medio. Por el contrario, en las ondas de alta fre-

cuencia, el valor de puede reducirse de manera significativa.

Podis comprobar, a partir de la expresin (15), que la profundidad de pene-

tracin () corresponde a la distancia que ha de recorrer la onda para que su

intensidad disminuya un factor e.

Recordad

3,141592658979...

1f

Recordad

La conductividad elctricaes la facilidad con la que lascargas elctricas pueden circu-lar por un cierto material. correspondera a unconductor perfecto, mientrasque 0 correspondera a unaislante perfecto.

Recordad

Los materiales ferromagnticospresentan en general una per-meabilidad magntica muygrande ( ).

Recordad

e2,718281828459...La reduccin de la intensidad de una onda electromagntica cuando

esta se propaga por un medio material se denomina atenuacin. La in-

tensidad de la onda (I) a una distancia (x) al interior del medio es:

(18)

dondeI0es la intensidad inicial y es la profundidad de penetracin,

que es igual a:

(19)

donde y son la permeabilidad magntica y la conductividad elctri-

ca del medio material, respectivamente, y fes la frecuencia de la onda.

0

x

I I e

1f


19/106


Ejemplo de absorcin y profundidad de penetracin

El agua de mar presenta una conductividad aproximadamente mil veces mayor que la delagua corriente, a causa de la elevada concentracin de sales que contiene. Esta alta con-ductividad dificulta en gran medida la comunicacin con los submarinos.

La intensidad (I) de una onda electromagntica que llega a un receptor sumergido en el

agua disminuye exponencialmente segn la ecuacin (18):

donde es la profundidad de penetracin, un parmetro que disminuye con el valor dela frecuencia de la onda transmitida, segn la ecuacin (19):

Si sabemos que para una frecuencia f= 10 kHz, la profundidad de penetracin es = 2,25m, mientras que para una frecuencia 100 veces ms grande ( f= 1 MHz) tenemos que =

0,22 m, determinad:

a) La intensidad de una ondaI(expresada en % respecto a la intensidad inicialI0) a unaprofundidad de 1 m, para las dos frecuencias anteriores.b) La profundidad a la que ha de llegar la segunda onda ( f= 10 kHz) para experimentarla misma atenuacin que la primera (f= 1 MHz).c) Repetid el apartado anterior para dos frecuencias cualesquiera.

Solucin

a) Para determinar la intensidad a una cierta profundidad, hay que conocer o bien el va-lor del coeficiente de atenuacin () o bien su valor inverso, la profundidad de penetra-cin (). En este ejemplo, conocemos el segundo.

Como solo necesitamos determinar el valor de la intensidad en trminos relativos, es de-cir, queremos saber el porcentaje respecto al valor total, hemos de calcular el cociente en-tre las intensidades final e inicial. Lo encontraremos a partir de la expresin (18):

(20)

Por tanto, slo nos queda sustituir el valor de la distancia recorrida (x1 m) y la profun-didad de penetracin correspondiente:

Para la onda de 10 kHz (= 2,25 m):

Para la onda de 1 MHz (= 0,22 m):

b) La intensidad relativa de la primera onda despus de haber recorrido una distancia x1es, segn la expresin (20):

(21)

Para la segunda onda, la intensidad despus de haber recorrido una distancia x2es:

(22)

0

x

I I e

1f

0

0

x xI

I I e eI

12,25

00,064 6, 4%

x

I e eI

10,22

00,011 1,1%

x

I e eI

1

11

0

xI

eI

2

22

0

xI

eI


20/106


Como hemos de comparar las distancias recorridas por cada una de las ondas cuando es-tas han experimentado exactamente la misma reduccin en la intensidad, hay que igua-lar las expresiones (21) y (22):

(23)

Podemos igualar directamente los exponentes, ya que a los dos lados est la misma base:

(24)

Si separamos las distancias recorridas (x1y x2) a un lado y las profundidades de penetra-cin (y ) al otro, quedar:

(25)

Y, finalmente, sustituiremos los valores de las profundidades de penetracin correspon-dientes (y ):

Es decir, la onda con f= 10 kHz ha de recorrer una distancia 10 veces superior que la def= 1 MHz para experimentar la misma atenuacin.

c) Para repetir el apartado anterior para el caso de dos frecuencias cualesquiera, hay queproceder de la misma manera. Por tanto, partiremos de la ecuacin (25) y continuaremosa partir de ella. Utilizaremos el subndice 1 para la primera onda y el 2 para la segunda:

(26)

Ahora, hemos de sustituir los valores de y por las expresiones generales de la pro-fundidad de penetracin (19):

(27)

Podemos simplificar:

(28)

Por tanto, la relacin entre las distancias recorridas por dos ondas de frecuencia diferentepara que experimenten la misma atenuacin ser:

(29)

Podis comprobar que la distancia recorrida disminuye con la frecuencia, ya que la pro-porcionalidad es inversa: cuanto mayor sea la frecuencia 2 respecto a la 1, ms pequeaser la longitud de penetracin. As pues, para una buena recepcin submarina, es prefe-rible utilizar ondas de baja frecuencia, ya que presentan una profundidad de penetra-cin mayor.

1 2

1 2

x x

e e

1 2

1 2

x x

2 2

1 1

x

x

2

1

2,2510veces

0,22x

x

2 2

1 1

x

x

22 2

1 1

1

1

1fx

x

f

2 12 11 22

1

1

1f fx f

x fff

2 11 2

x

x

f

f


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1.4. Qu hemos aprendido?

En este apartado hemos visto cmo se propaga una onda electromagntica

tanto por el vaco como por un medio material. Tambin hemos visto que este

tipo de ondas siempre son ondas transversales (podis recordar la figura 1). Es

decir, que las direcciones de oscilacin o de vibracin son perpendicularesa la direccin de propagacin.

Sin embargo, hasta ahora no hemos entrado en detalle sobre cmo son estas

direcciones de oscilacin. Pensad que, para una direccin determinada, exis-

ten infinitas direcciones perpendiculares. En el siguiente apartado explicare-

mos este aspecto.


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2. Polarizacin

aAnteriormente vimos que en una onda electromagntica tanto el campo elc-trico como el campo magntico son perpendiculares a la direccin de propa-

gacin y tambin perpendiculares entre s (podis recordar la figura 1). Pero la

pregunta que nos podemos hacer es: quiere esto decir que si conocemos la di-

reccin de propagacin conoceremos por fuerza la direccin de los campos

elctrico y magntico?

Para responder a esta pregunta, podis observar la figura 3. Fijaos en que todas

las combinaciones de vectores y que hemos dibujado satisfacen las dos

condiciones:

y son perpendiculares entre s,

y son perpendiculares a la direccin de propagacin.

Figura 3

Por tanto, dada una direccin de propagacin especfica, existen infinitas con-

figuraciones posibles para los campos elctrico y magntico. En otras palabras,

los campos pueden estar puestos de muchas maneras.

En este apartado estudiaremos las diferentes configuraciones de campo elc-trico y magntico que podemos encontrar en una onda electromagntica. Es

lo que denominamos polarizacinde una onda.

aA continuacin explicaremos este concepto de polarizacin y ms adelante es-tudiaremos los tipos que hay. En concreto, limitaremos el anlisis a los dos

ms importantes: la polarizacin lineal y la polarizacin circular.

2.1. Concepto de polarizacin

Como ya hemos dicho, en una onda electromagntica los campos elctrico

y magntico vibran siempre en direcciones perpendiculares a la direccin

Podis ver la perpendicularidad entre elcampo elctrico y el campo magnticoen el mdulo Leyes de Maxwell.

E

B

E

B

E

B

Figura 3

Representacin grfica de lapolarizacin lineal.Todos los pares de vectoresy son perpendiculares entres y perpendiculares a la direc-cin de propagacin.

E

B

Observacin

No debis confundir la polari-zacinde una onda electro-magntica con la polarizacin

elctrica en un dielctrico. Apesar de tener nombres idnti-cos, son conceptos diferentes.

Podis ver la polarizacin en elmdulo Ondas. Podis ver lapolarizacin elctrica en undielctrico en el apartado 1 delmdulo Leyes de Maxwell.

E

B


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de propagacin y perpendicular entre ellos. Tambin hemos visto que existen

infinitas orientaciones posibles que satisfacen estas dos condiciones. La pre-

gunta que nos hacemos ahora es: los campos mantienen la misma direccin

a medida que una onda electromagntica se propaga?

La respuesta es que depende del caso. Por ejemplo:

a Podemos encontrarnos con que, efectivamente, los campos mantengan

(oscilen en) la misma direccin todo el tiempo. Este es el caso de la polari-

zacin lineal, que veremos ms adelante.

a

Pero tambin podra suceder que las direcciones de los campos elctrico y

magntico no se mantuvieran constantes, sino que fueran variando. Eso s,

siempre lo haran respecto a un plano perpendicular a la direccin de pro-

pagacin como el de la figura 3, ya que en caso contrario ya no sera unaonda transversal. A continuacin veremos que este tipo de configuracin

corresponde a las polarizaciones circular o elptica (esta ltima la citaremos

pero no la estudiaremos).

Por otra parte, no podemos olvidar que buena parte de las ondas electromag-

nticas que se crean de manera natural no se pueden englobar en ninguno de

los casos anteriores. Esto se debe a que estas ondas electromagnticas son, en

realidad, superposiciones de muchas ondas producidas por un nmero muy

grande de fuentes diferentes y dispuestas de manera aleatoria (por ejemplo, los

tomos de una bombilla de incandescencia). En consecuencia, estas ondas es-tn polarizadas en todas direcciones, aunque lo que decimos es que se trata de

ondas no polarizadas.

El conocimiento del concepto de polarizacin es vital y necesario para entender

bien otros conceptos que veremos ms adelante. Por ejemplo, en una interfaz

de cambio de medio, dos ondas electromagnticas aparentemente similares se

pueden comportar de manera diferente en funcin de su polarizacin.

A continuacin, veremos los dos tipos de polarizacin ms importantes: la po-larizacin lineal y la circular. Para simplificar el texto, en el estudio nos referire-

mos siempre a las direcciones solo del campo elctrico ( ) y obviaremos las del

campo magntico ( ). Este hecho no afecta al resultado, ya que, como ya he-

mos visto, el campo magntico siempre tiene direccin perpendicular al campo

elctrico y a la direccin de propagacin. Por tanto, si conocemos las caracters-

ticas de uno de los dos y la direccin de propagacin, tendremos las del otro.

2.2. Polarizacin lineal

El primer estado de polarizacin que estudiaremos ser la polarizacin lineal.

Decimos que una onda electromagntica presenta este estado de polarizacin

Podis ver la polarizacin lineal en elsubapartado 2.2 de este mdulo.

Podis ver la polarizacin circular en elsubapartado 2.3 de este mdulo.

Recordad

Los campos elctrico y

magntico siempre son per-pendiculares entre ellos.

E

B

E

B


24/106


si su campo elctrico ( ) siempre oscila o vibra en la misma direccin a me-

dia que la onda se propaga.

En la figura 4a podis observar un ejemplo de una onda electromagntica con

polarizacin lineal. Podis comprobar que si observamos la onda desde de-

lante, es decir, si nos ubicamos en un punto en el camino de propagacin dela onda, lo que veremos es que los vectores de los campos elctrico ( ) y mag-

ntico ( ) trazan siempre una lnea recta. De aqu viene el nombre depolari-

zacin lineal.

Figura 4

En la figura 4b mostramos tambin una onda electromagntica con polariza-

cin lineal pero ahora hemos hecho que la direccin del campo no coincida

con ninguno de los ejes de coordenadas. De esta manera, podis comprobar

que sus componentes respecto a estas direcciones dibujan ambas una forma

sinusoidal y, adems, se encuentran en fase entre s. En otras palabras, para

una onda que se propaga en la direccin z, cuando el campo es mximo en el

eje xtambin lo es en el ejey, y lo mismo sucede para los mnimos. Este ltimo

punto es importante; implica que podemos considerar una onda polarizada li-

nealmente en una cierta direccin como una suma de dos (o ms) ondas po-

larizadas de forma lineal en direcciones diferentes, siempre y cuando estas se

encuentren en fase. Utilizaremos esta propiedad ms adelante.

Figura 5

E

E

B

Figura 4

Representacin grfica de lapolarizacin lineal.Cuidado! Solo hemos dibuja-do la proyeccin del campoelctrico E. Recordad que elcampo magntico Bes perpen-dicular.

Figura 5

Descomposicin de un campoelctrico polarizado linealmen-te en dos componentes inde-pendientes tambinpolarizadas de forma lineal.


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En la figura 5 os mostramos un ejemplo de un campo elctrico que est pola-

rizado linealmente, es decir, que oscila en una misma direccin, marcado por

el ngulo respecto al eje x. Podis comprobar que este campo se puede repre-

sentar como una composicin de una componente que vibra en el eje x( )

y de otra que lo hace en el ejey( ).

Un ejemplo donde est involucrada la polarizacin lineal lo podis encontrar

en la luz solar que se refleja sobre la superficie del agua, que despus de refle-

jarse queda, en buena parte, polarizada linealmente. Si observamos el agua

con una cmara o unas gafas que dispongan de un filtro que impida el paso

de ondas con esta polarizacin, no veremos toda esta luz solar reflejada en el

agua. En consecuencia, el agua se ver mucho ms transparente que cuando

la observamos a simple vista (de hecho, muchas fotografas de aguas supues-

tamente cristalinas estn hechas con filtros de este tipo, precisamente para eli-

minar buena parte de los reflejos de la luz solar).

Otro aspecto que subraya la importancia de la polarizacin lineal es el hecho

de que cuando las ondas inciden sobre una interfaz entre dos medio materia-

les, la onda reflejada est polarizada linealmente de manera parcial o incluso

total. Esto quiere decir que buena parte de las ondas que detectamos (la luz

misma, por ejemplo), como en general son el resultado de mltiples reflexio-

nes sobre los objetos que existen alrededor, estarn a menudo polarizadas de

manera lineal. Por este motivo muchas gafas de sol se construyen con vidrios

que incluyen filtros para luz polarizada, ya que de esta manera se aumenta la

eficacia sobre lo que interesa filtrar (por ejemplo, la luz reflejada sobre la nie-

ve) pero no sobre el resto.

Una vez introducida la polarizacin lineal, en la que el campo elctrico siem-pre oscila en una misma direccin, pasaremos a estudiar un caso un poco ms

complejo: la polarizacin circular.

Decimos que una onda electromagntica presentapolarizacin lineal

si el campo elctrico (o magntico) siempre oscila en una misma di-

reccin.

Esto es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largode la direccin z, las componentes del campo elctrico (o magntico) en

las direcciones xeyse encuentran en fase entre ellas.

(30)

xE

yE

j kz tx yE E jE ei

j kz tx yB B eB i j


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2.3. Polarizacin circular

aComo ya hemos mencionado, decimos que una onda electromagntica pre-senta polarizacin circular si los campos elctrico o magntico no oscilan

siempre en la misma direccin a medida que la onda se propaga, y adems va-

ran de una determinada manera, que veremos a continuacin.

En la figura 6a podis visualizar un ejemplo de una onda con polarizacin cir-

cular. En el primer esquema podis comprobar que, para una onda que se pro-

paga a lo largo del eje z, las componentes del campo elctrico en las

direcciones xey( y ) estn desfasadas un ngulo /2. En otras pala-

bras, cuando la componente es mxima, la componente es mnima, y

al revs. En el segundo esquema, las flechas corresponden a la composicin de

estas dos componentes desfasadas.

Figura 6

Por otra parte, la figura 6b muestra el dibujo imaginario que traza el vector del

campo elctrico. Como podis comprobar, la proyeccin sobre un plano per-

pendicular a la direccin de propagacin (el plano de la parte inferior de la fi-

gura), corresponde a una circunferencia y de aqu proviene la denominacin

polarizacin circular.

Podis ver el concepto de polarizacinen el subapartado 2.1 de este mdulo.

xE

yE

xE

yE

Figura 6

Representacin grfica de lapolarizacin circular.Cuidado! Solo hemos repre-sentado las dos componentesdel campo elctrico y no he-mos representado el campomagntico.

Decimos que una onda electromagntica presenta polarizacin circu-

larsi la proyeccin del campo elctrico (o magntico) respecto a un pla-

no perpendicular a la direccin de propagacin dibuja un crculo.

Eso es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largo

de la direccin z, las componentes del campo elctrico (o magntico) en

las direcciones xeyse encuentran desfasadas un ngulo /2:

(31)

2

j kz tj kz tx yE E i e E ej

2

j kz tj kz tx yB B i e B j e


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2.4. Qu hemos aprendido?

En este apartado hemos estudiado el concepto de polarizacin de las ondas

electromagnticas. Este concepto detalla cmo estn puestos los campos

elctrico y magntico respecto a la direccin de propagacin de la onda.

aHemos estudiado los dos tipos de polarizacin ms comunes: la polarizacinlineal y la polarizacin circular.

Existe un tercer tipo de polarizacin que denominamospolarizacin elptica.

No entraremos en detalle sobre este tipo de polarizacin porque queda fuera

de los objetivos de la asignatura, pero s diremos que se trata de un caso gene-

ral que engloba las dos polarizaciones anteriores.

Recursos en Internet

Ms informacin sobre polari-zacin (en ingls):http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/polclas.html#c1

Podis ver la polarizacin lineal en elsubapartado 2.2 de este mdulo.Podis ver la polarizacin circular en elsubapartado 2.3 de este mdulo.


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3. Reflexin y transmisin de ondas planas en uncambio de medio

Hasta aqu hemos visto cmo se propagan las ondas electromagnticas por un

nico medio. Sin embargo, una onda electromagntica que se propaga por un

medio material generalmente entra en l a travs de una superficie de separa-

cin que lo separa de otro medio (por ejemplo, el aire o el vaco). Es en estas

interfaces de separacin donde se producen los fenmenos ms interesantes

desde el punto de vista del comportamiento de las ondas electromagnticas.

aYa os mostramos un pequeo avance de estos fenmenos cuando os describi-mos el comportamiento de la luz al pasar de un medio a otro con un ndice de

refraccin diferente. No obstante, nos limitamos a describirlo y no explicamos

el porqu de estos comportamientos. Esto es lo que haremos en este apartado.

En el primer apartado retomaremos las ecuaciones de Maxwell que os hemos

introducido en el mdulo anterior y las estudiaremos en el caso concreto que

necesitamos: la frontera entre dos medios. Ms adelante aplicaremos este re-

sultado para analizar el comportamiento de una onda electromagntica al in-

cidir sobre una interfaz.

3.1. Condiciones de frontera

Las ondas electromagnticas, al pasar de un medio a otro, deben satisfacer una

serie de condiciones. Estas condiciones son aplicables a los campos elctrico y

magntico en toda la regin cercana a la zona de separacin de los dos medios,

que denominaremos a partir de ahora zona interfacialo interfaz de cambio de

medioy se deducen a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para facilitar el estudio

de estas condiciones haremos el anlisis de las componentes normales (perpen-

diculares a la interfaz) y tangenciales (paralelas a la interfaz) por separado. Para

entender mejor cmo son estas componentes, podis observar la figura 7.

En el esquema podis visualizar una interfaz entre dos medios materiales y las

respectivas componentes del campo elctrico ( ) a ambos lados:

En el medio 1, el campo elctrico es , y sus componentes normal y tan-

gencial a la superficie son y , respectivamente.

En el medio 2, el campo total es y las componentes son y .

Para simplificar la imagen, slo hemos incluido las componentes del campo

elctrico, pero el mismo procedimiento es aplicable tambin al campo magn-

tico .

Podis ver un avance de la reflexin en elmdulo ptica.

E

1E

1nE

1tE

2E

2nE

2tE

B


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Figura 7

A continuacin, estudiaremos por separado las condiciones que deben satisfa-

cer el campo elctrico, por una parte, y el campo magntico, por la otra, en la

zona interfacial entre dos medios cualesquiera. Como ya hemos dicho, para

cada estudio analizaremos por separado las componentes normales y las com-ponentes tangenciales a la superficie de contacto. Comenzaremos primero

con el anlisis de las del campo elctrico y, despus, haremos lo mismo con las

del campo magntico.

3.1.1. Condiciones de frontera para el campo elctrico

Las componentes normales (o perpendiculares) y tangenciales (o paralelas) a

la superficie de separacin, del campo elctrico, deben satisfacer, en la zona

interfacial entre dos medios cualesquiera, una serie de condiciones. Para en-

contrarlas procederemos con el razonamiento siguiente:

Suponed en primer lugar que no existe ninguna carga elctrica en la zona in-

terfacial. Esto quiere decir que el nmero de lneas de campo que entran en la

interfaz por un lado es el mismo que las que salen por el otro. Es decir, el cam-

po elctrico es el mismo en los dos lados.

Ahora suponed que s que existen cargas en la zona interfacial. Bajo este su-

puesto, s que habr generacin o destruccin de lneas de campo y, por tanto,

el campo elctrico no ser el mismo en ambos lados. Es decir, habr una dis-

continuidad en el valor del campo elctrico. En la figura 8 podis ver un ejem-

plo simplificado con una sola carga puntual (en realidad, hay carga en toda la

superficie de separacin, pero dibujamos slo una porque as se ve mejor la

idea que queremos transmitir).

En el dibujo, fijaos en la descomposicin del campo elctrico en componentes

normales y tangenciales (lneas discontinuas) a la superficie de separacin de

los dos medios. Podis comprobar que las componentes tangenciales o parale-

las a la interfaz ( ) son idnticas en los dos lados, mientras que las com-

ponentes normales ( ) presentan una cierta discontinuidad (un

salto) en la magnitud, ya que en un lado apuntan en un sentido y en el otro

apuntan al otro.

Figura 7

Representacin grfica de lascomponentes normal y tan-gencial del campo elctrico enla zona interfacial.

1 2t tiE E

1 2n niE E


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aLa determinacin del valor exacto de este salto en el valor del campo no laharemos en detalle. S que os diremos que se puede deducir a partir de la ley

de Gauss para el campo electrosttico, que ya vimos.

Figura 8

Por lo que respecta a la componente tangencial, ya hemos dicho que es idn-

tica en los dos lados de la interfaz.

Una vez determinadas las condiciones que debe satisfacer el campo elctrico

en una zona interfacial, procedemos a estudiar las del campo magntico.

Podis ver la ley de Gauss para el campoelectrosttico en el mdulo Leyes deMaxwell.

Figura 8

Representacin grfica de lascomponentes normal y tan-gencial del campo elctrico enpresencia de una carga elctri-ca en la interfaz entre dos me-dios

Para facilitar la claridad de lasexpresiones, utilizaremos

simplemente Epara indicar elmdulo de una magnitud

vectorial

Recordad

El campo elctrico ( ) y elcampo de desplazamientoelctrico ( ) estn relaciona-dos por la permitividad del me-dio material (), segn laexpresin siguiente, si el mate-rial es istropo, homogneo ylineal:

E

E

D

D E

Las componentes normales(o perpendiculares) del campo elctrico en

cada uno de los dos lados de una interfaz entre dos medios materiales

(E1nyE2n) deben cumplir la condicin siguiente:

E1nE2n (32)

donde y son las permitividades elctricas de los dos medios y es

la densidad superficial de carga en aquella regin de la zona interfacial.

Esta misma expresin se puede reescribir en trminos del campo de des-

plazamiento elctricoD:

D1nD2n (33)

Las componentes tangenciales(o paralelas) del campo elctrico a la

zona interfacial entre dos medios materiales (E1tyE2t) son idnticas en

las dos caras de la interfaz:

E1tE2t (34)


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3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magntico

a

Para determinar las condiciones correspondientes al campo magntico, se

puede aplicar el mismo razonamiento que hemos aplicado para el campo elc-

trico en el apartado anterior. Sin embargo, si os acordis, vimos que no existen

cargas magnticas y, por tanto, las lneas de campo magntico no se puedengenerar ni destruir en ningn lugar.

En la figura 9 podis observar un ejemplo de un campo magntico creado por

una corriente elctrica que circula por la interfaz entre dos medios. La direc-

cin de la corriente elctrica es perpendicular al plano del papel y el smbolo

indica que el sentido de la corriente es hacia dentro. Hemos mostrado slo

un caso muy simplificado con un nico hilo de corriente puntual; en reali-

dad, hay corriente en toda la superficie, pero dibujaremos slo una porque as

se ve mejor la idea que queremos transmitir. Podramos llegar a la misma con-

clusin si la corriente fluyera por toda la interfaz.

Figura 9

En el dibujo podis comprobar que la discontinuidad (el salto) en la magnitud

del campo magntico se produce solo en la componente tangencial, mientras que

la componente normal se mantiene igual en los dos lados de la interfaz.

a

La determinacin de la expresin exacta del salto en la componente tangen-

cial en la superficie de separacin no la explicaremos en detalle, pero s queavanzaremos que se puede deducir a partir de la ley de induccin de Faraday

y de la ley de Ampre-Maxwell, que ya os explicamos.

Recordad

En un diagrama, para repre-sentar vectores o direcciones

perpendiculares al plano delpapel se utiliza la notacin si-guiente:o para indicar que el senti-do es hacia dentro (del lectorhacia el papel),

o para indicar que el sen-tido es hacia fuera (del papelhacia al lector).

Podis ver el razonamiento de por quno existen cargas magnticas en elmdulo Leyes de Maxwell.

Figura 9

Representacin grfica de lascomponentes normal y tan-gencial del campo magnticoen presencia de una corrienteelctrica en la interfaz entredos medios.

Las componentes normales(o perpendiculares) del campo magntico

en la zona interfacial entre dos medios materiales (B1nyB2n) es idntica

en los dos lados:

B1nB2n (35)

Podis ver la ley de Faraday y la ley deAmpre-Maxwell en el mdulo Leyesde Maxwell.


32/106


La densidad de corrientejtiene el mismo papel que la densidad de carga en

el caso de las condiciones de frontera para el campo elctrico. Sin embargo, fi-

jaos en el subndice . Este smbolo quiere decir perpendicular y aqu se uti-

liza para indicar que solo hay que tener en cuenta la componente de la

corriente elctrica perpendicular a la direccin que se ha tomado como com-

ponente tangencial.

Este matiz es necesario porque, a pesar de que solo existe una nica direccin

normal en la interfaz, hay infinitas direcciones que se pueden considerar

como tangenciales o paralelas. Imaginaos, por ejemplo, que el plano del papel

que estis leyendo corresponde a una interfaz entre dos medios materiales.

Cualquier raya que dibujis en ella seguir una lnea paralela a este plano y,

por tanto, se podr considerar como componente tangencial.

3.1.3. Visin global y casos particulares

Ahora que ya hemos visto cmo son las condiciones que deben satisfacer tan-

to el campo elctrico como el magntico, las visualizaremos en conjunto en la

tabla 3.1.

Tabla 3.1

Hemos optado por mostrar algunos elementos de la tabla 3.1 de las dos mane-

ras posibles. El motivo es que, a pesar de que en este texto utilizaremos la pri-

mera forma (es decir, slo en funcin de y ), es muy habitual encontrar

en muchos textos las condiciones escritas de la segunda forma (es decir, en

funcin de los campos de desplazamiento elctrico y de la intensidad de

campo magntico ).

Densidad de corriente

En la figura 9 habis visto unejemplo de una densidad decorriente perpendicular a lacomponente tangencial (j).

Recordad

El campo magntico ( ) y laintensidad de campo magnti-co ( ) estn relacionados porla permeabilidad del mediomaterial (), segn la expre-sin siguiente:

B

H

BH

La diferencia entre las componentes tangenciales(o paralelas) de los cam-

pos magnticos en cada uno de los lados de una interfaz entre dos medios

materiales (B1tyB2t) es proporcional a la componente perpendicular de la

densidad superficial de corriente en aquella regin de la interfaz:

(36)

donde 1y 2son las respectivas permeabilidades magnticas yjes la

densidad de corriente que circula por la interfaz. Esta misma expresin

se puede reescribir en trminos de la intensidad de campo magnticoH:

H1tH2tj (37)

Campo elctrico Campo magntico

Componentes

normales

1E1n2E2nD1nD2n

B1nB2n

Componentes

tangencialesH1tH2tj

1 2

1 2

t tB B j

1 2t tE E

1 2

1 2

t tB B j

E

B

D

H


33/106


Resulta interesante estudiar las condiciones de continuidad de la tabla para un

caso particular: cuando no hay ninguna carga ( 0) ni corriente (j0) sobre

la interfaz. Esta situacin es muy habitual y, dado que las expresiones se sim-

plifican de manera notable, vale la pena analizarla.

Las condiciones de continuidad para interfaces donde no hay ninguna carga( 0) ni ninguna corriente elctrica (j0) son:

Tabla 3.2

Una vez conocidas las condiciones que deben satisfacer los campos elctrico ymagntico en una zona interfacial, y que son consecuencia directa del cum-

plimiento de las leyes de Maxwell, pasaremos a aplicarlas en el estudio del

comportamiento de las ondas electromagnticas cuando se encuentran con

una interfaz de cambio de medio.

3.2. Reflexin y transmisin a la interfaz entre dos medios

a

Cuando una onda electromagntica incide en una superficie de cambio de me-

dio, su comportamiento no ser aleatorio, sino que vendr determinado porlas condiciones de frontera que os acabamos de introducir.

a

Anteriormente vimos que el comportamiento de la luz cuando incide sobre

una superficie de cambio de medio se rige por unas leyes determinadas. A con-

tinuacin, deduciremos estas mismas leyes a partir de estas condiciones de

frontera y, de esta manera, podremos comprobar que se pueden aplicar a cual-

quier tipo de onda electromagntica.

En primer lugar, haremos una serie de suposiciones que nos simplificarn la

deduccin. Son las que enunciamos a continuacin.

Campo elctrico Campo magntico

Componentes

normales

1E1n2E2nD1nD2n

B1nB2n

Componentes

tangenciales E1tE2t

H1tH2t

1 2

1 2

t tB B

Podis ver las condiciones de frontera enel subapartado 3.1 de este mdulo.

Podis ver el comportamiento de la luzal cambiar de medio en el mduloptica.

1) La zona interfacial se puede considerar como un nico plano infini-

to, es decir, como una zona suficientemente delgada, infinitamente ex-

tensa y completamente plana.

2) En la zona interfacial no hay ninguna carga elctrica (0) ni nin-

guna corriente elctrica (j0). Esto quiere decir que se pueden aplicar

las condiciones de frontera de la tabla 3.2.

3) Los dos lados de la zona interfacial son suficientemente extensos

como para negligir las posibles reflexiones mltiples que se pudieran

producir a causa de la presencia del otro extremo.


34/106


Ninguna de las suposiciones anteriores afecta de manera significativa al resul-

tado final y las pocas modificaciones que introducen quedan fuera del objeti-

vo de este mdulo.

a

Una vez consideradas estas simplificaciones, veamos qu sucede cuando una

onda electromagntica incide sobre la interfaz. La experiencia cotidiana nos

dice que parte de la onda se reflejar y parte se transmitir hacia el segundo

medio. Estudiaremos las caractersticas tanto de la onda reflejada como de la

onda transmitida. En ambos casos podris comprobar que llegaremos al mis-

mo resultado que encontramos anteriormente.

3.2.1. Deduccin de las leyes de reflexin y refraccin de la ptica

para cualquier onda electromagntica

Como ya hemos dicho, cuando una onda electromagntica incide sobre una

interfaz de cambio de medio, una parte se refleja y no llega a penetrar en el

segundo medio, mientras que la otra parte atraviesa la interfaz y contina pro-

pagndose por el segundo medio. A continuacin, estudiaremos las caracters-ticas de estas dos ondas.

Para simplificar, trabajaremos solo con el campo elctrico. Recordad que la di-

reccin del campo magntico se puede determinar directamente a partir de la

del campo elctrico.a

Comenzamos por escribir las expresiones de los campos elctricos correspon-

dientes a las ondas incidente (38), reflejada (39) y transmitida (40). Como ya

hemos dicho, estamos suponiendo que se trata de ondas armnicas planas con

polarizacin lineal:

(38)

(39)

(40)

donde , y son las amplitudes, , y son las constantes de

onda y i, ry tson las frecuencias angulares de las ondas incidente, refleja-

da y transmitida, respectivamente. Por tanto, fijaos en que el subndice iquie-

re decir incidente, el subndice r, reflejada y el subndice t, transmitida.

En la figura 10 podis visualizar un esquema con las ondas incidente, reflejada

y transmitida.

Recordad

Un medio i. h. l.es un medio: Istropo: sus caractersticas

electromagnticas no de-penden de la direccin depropagacin.

Homogneo: sus caracte-rsticas son las mismas encualquier punto del medio.

Lineal: sus caractersticaselctricas y magnticas de-penden linealmente de loscampos elctrico y magnti-co.

4) Los medios de los dos lados son i. h. l. (istropos, homogneos y li-

neales) y no magnticos.

5) La onda incidente es una onda armnica plana y est polarizada li-

nealmente.

Podis ver las caractersticas de las ondasreflejadas y de las ondas transmitidas enel mdulo ptica.

Recordad

Los campos elctrico y mag-ntico ( ) siempre son per-pendiculares entre s.

E

B

Recordad

x y zk r k x k y k z

0

i ij k r ti iE E e

0

r rtr

rr

kjeE E

0

t tj k r tt teE E

0iE

0rE

0tE

ik

rk

tk


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En el esquema de la figura podis identificar los elementos siguientes:

Plano de la interfaz: plano que contiene la interfaz de separacin entre los

dos medios. En el dibujo, corresponde al plano xz.

Plano de incidencia: ms adelante veremos que las ondas incidente, refle-

jada y transmitida se propagan sobre un mismo plano, este es el plano deincidencia. Se trata de un plano perpendicular a la interfaz. En el dibujo,

corresponde al plano xy.

ngulos de incidencia (i), de reflexin (r) y de transmisin (t):ngulos

que forman las direcciones de propagacin de las ondas incidente, reflejada y

transmitida respecto a una direccin perpendicular al plano de incidencia.

Figura 10a

Figura 10b

Corte transversal

es la letra griega theta minscula(pronunciada como la zeta

castellana).

Figura 10

Representacin grfica de las

ondas incidente, reflejada ytransmitida.

Recordad

El smbolo indica una flechaentrando en el papel; y el sm-bolo indica una flecha sa-liendo del papel.


36/106


a

Durante el instante preciso en el que la onda entra en contacto con la interfaz,

las tres ondas presentes (incidente, reflejada y transmitida) coexisten y, como

se encuentran en la zona interfacial, los campos elctrico y magntico han de

satisfacer las condiciones de frontera que ya os hemos introducido. En concre-

to, analizaremos la condicin que debe satisfacer la componente tangencial

del campo elctrico, que recordemos que haba de ser idntica a los dos ladosde la interfaz (E1tE2t). Por tanto, tendremos:

EitErtEtt (41)

dondeEites la componente tangencial del campo elctrico de la onda inciden-

te,Ertes la de la onda reflejada yEttes la de la onda transmitida. Fijaos en que,

dado que solo hemos tomado una componente del vector, no hay que poner

la flechita de vector.

Dado que la condicin de la expresin (41) se debe satisfacer en cualquier ins-

tante y en cualquier punto de la interfaz, a partir de las ecuaciones (38), (39)

y (40) deducimos que:

itrt tt (42)

(43)

La condicin (42) implica que las frecuencias de oscilacin son las mismas

para las tres ondas. La condicin (43) lleva a las consecuencias siguientes:

1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propagan en

el mismo plano. Este plano lo denominamosplano de incidenciay ya lo hemos

mencionado en la figura 10.

Figura 10c

Proyeccin en los ejes

Podis ver las condiciones de frontera enel subapartado 3.1 de este mdulo.

i r tk r k r k r


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2) Como , tendremos que:

kizsen ikrzsen r (44)

es decir, que la proyeccin en el eje zde y es igual a la componente zde

, que es equivalente a:

(45)

y, por tanto:

sen isen r

ir (46)

aEs decir, que el ngulo de reflexin debe ser igual al ngulo de incidencia, que

es la ley de la reflexinque ya vimos.

3) Como , tendremos que

kizsen iktzsen t (47)

que es equivalente a:

(48)

y, por tanto:

n1sen in1sen t (49)

aLa relacin (49) es la ley de Snellque ya vimos, aplicada a la luz, y que aqupodemos comprobar que se puede ampliar a cualquier onda electromagntica.

De hecho, lo que habis podido ver tambin es que hemos llegado a las mis-

mas de la ptica pero ahora a partir de las leyes de Maxwell.

a

i rkk r r

Recordad

Como : c

k i nv v

k n

c

k

r

rk r

1 1sen seni tn z n zc c

Podis ver el mdulo pticageomtrica de esta asignatura.

i tk r k r

Recordad

Como : c

k i nv v

k nc

1 2sen seni tn z n zc c

Podis ver la ley de Snell aplicada a la luzen el mdulo ptica.

Podis ver las condiciones de la pticageomtrica en el mdulo ptica.

Cuando una onda electromagntica incide sobre una interfaz de con-

tacto entre dos medios no conductores, las direcciones de las ondas in-

cidente, reflejada y transmitida deben satisfacer las condiciones de la

ptica geomtrica que ya estudiamos:

1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propa-

gan en el mismo plano (denominadoplano de incidencia).

2) El ngulo de reflexin debe ser igual al ngulo de incidencia: ir.

3) El ngulo de transmisin se relaciona con el ngulo de incidencia

mediante la ley de Snell: n1sen in2sen t.


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En resumen, podis ver que se puede determinar en todo momento el recorri-do que seguirn tanto la onda reflejada como la onda transmitida solo con el

conocimiento de:

el ngulo de incidencia (i),

los ndices de refraccin de los dos medios involucrados (n1y n2).

No obstante, enseguida toparis con algunas cuestiones que an no se han re-

suelto:

Cmo son las intensidades de los haces reflejado y transmitido? Es decir,

cmo vara la amplitud de la onda? Habr siempre el mismo comportamiento segn cules sean las caracters-

ticas de la onda incidente?

a

Reflexionemos primero un poco respecto a la segunda pregunta. Si analizis

las condiciones de frontera que ya hemos visto y que hemos resumido en las

tablas 3.1 y 3.2, podis deducir que los campos presentan comportamientos

diferentes en la zona interfacial en funcin de cmo estn orientados respecto

a la superficie. Esto quiere decir que, en efecto, observaremos diferencias en el

comportamiento de las ondas segn la orientacin de los campos, es decir, se-

gn su polarizacin.

aA pesar de que, a priori, el anlisis completo de la incidencia sobre una interfazpuede parecer muy complicado, recordad que ya os explicamos que una onda po-

larizada en una direccin se puede descomponer como la suma de distintas ondas

polarizadas en diferentes direcciones. Por tanto, podemos estudiar por separado

el comportamiento de cada una de estas ondas en las que se ha descompuesto.

Dado que la descomposicin se puede hacer en cualquier nmero de componen-

tes y respecto a cualquier direccin, hay que elegir una configuracin que simpli-

fique los clculos y nos sea de utilidad. Las direcciones que elegiremos son:

polarizacin con el campo elctrico perpendicular al plano de incidencia,

polarizacin con el campo elctrico paralelo al plano de incidencia.

aA continuacin, analizaremos las componentes de cada uno de estos dos casosespecficos. Ms adelante los veremos de manera conjunta y tambin estudia-

remos algunos casos particulares.

3.2.2. Reflexin y transmisin de ondas polarizadas con el campo

elctrico perpendicular al plano de incidenciaLa primera configuracin que analizaremos ser la de una onda que est pola-

rizada de forma lineal con su campo elctrico perpendicular al plano de inci-

i, ry t son los ngulos de las ondas incidente, reflejada y transmitida

medidos desde un plano perpendicular a la superficie. n1y n2son los

ndices de refraccin de los medios respectivos.

Podis ver la condiciones de frontera enel subapartado 3.1 de este mdulo.

Podis ver la polarizacin en el apartado2 de este mdulo.

Podis ver de manera conjunta estas dospolarizaciones y algunos de sus casosparticulares en los subapartados 3.2.4 y3.2.5 de este mdulo.


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dencia. El objetivo que perseguimos es ver cmo vara la amplitud de la onda

al reflejarse y refractarse. En la figura 11 podis visualizar esta configuracin.

En el dibujo podis comprobar que la direccin perpendicular al plano de inci-

dencia corresponde a la direccin del eje zy, por tanto, es paralela al plano de la

interfaz. Esto quiere decir que, en esta configuracin, el campo elctrico solo ten-dra componente tangencial respecto a la interfaz del cambio de medio.

Figura 11a

Figura 11b

Tall transversal

Condiciones de frontera del campo elctrico

Si aplicis la condicin de frontera para la componente tangencial del campo

elctrico (podis consultar la tabla 3.2), tendris que:

EiErEt (50)

Figura 11

Ondas incidente, reflejada ytransmitida en una interfaz en-tre dos medios para el caso enel que la onda incidente estpolarizada con el campo elc-trico perpendicular al plano deincidencia.

Recordad

El smbolo indica una flechaentrando al papel.El smbolo indica una fle-cha saliendo del papel.


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dondeEi,EryEtson, respectivamente, los campos elctricos para las ondas in-

cidente, reflejada y transmitida.

La ecuacin (50) muestra la relacin entre los campos elctricos de las ondas

incidente, reflejada y transmitida. Sin embargo, podis observar que esta ex-

presin no es suficiente para determinar el valor exacto de los campos elctri-cos reflejado y transmitido, ya que tenemos dos incgnitas (Er) y (Et).

Necesitamos, pues, encontrar una segunda condicin.

Condiciones de frontera del campo magntico

La segunda condicin la podis encontrar si procedis de manera anloga con

el campo magntico. En este caso, la aplicacin de las condiciones de fronte-

ra para las componentes tangenciales resulta (podis consultar la tabla 3.2):

(51)

dondeBi,BryBtson los campos magnticos para las ondas incidente, reflejada

y transmitida, iy tson los ngulos de incidencia y de transmisin y, como

suponemos que se trata de medios no magnticos, podemos hacer 120en la ecuacin (51) y simplificar:

(52)

Y utilizando que i= r (ecuacin (46)) tenemos:

(BiBr)cos iBtcos t (53)

Para encontrar las relaciones entre las amplitudes de los campos elctricos, uti-

lizamos la relacin entre los campos elctrico y magntico que ya vimos:

(54)

Si simplificis el trmino c, que se encuentra en los dos lados, obtendris la se-

gunda condicin buscada:

an1(EiEr)cos in2Etcos t (55)

As pues, con las ecuaciones (50) y (55) lo que hemos encontrado son dos re-

laciones entre parmetros: los campos elctricos de la onda incidente (Ei), de

la onda reflejada (Er) y de la onda transmitida (Et). Os las volvemos a mostrar

una al lado de la otra:

EiErEt (56)

n1(EiEr)cos in2Etcost (57)

1 1 2

cos cos cosi i r r t t B B B

0 0 0

cos cos cosi i r r t t B B B

Recordad

La relacin entre los camposelctrico y magntico es:

y, por tanto:

1

B Ev

n

B Ec

1 2cos cosi r i t t n n

E E Ec c

Podis ver la relacin entre los camposelctrico y magntico en el mduloLeyes de Maxwell.


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En las expresiones (56) y (57) hay dos parmetros desconocidos,EryEt, y un ter-

cero que s que es conocido,Ei. Podis combinar estas expresiones para encontrar

una expresin individual para cada uno de los valores desconocidos.

Determinacin de la onda reflejada

Para encontrar la primera relacin, la que determina la amplitud de la onda

reflejada, sustituid el valor deEtde la ecuacin (56) dentro de la ecuacin (57):

n1(EiEr)cos in2(EiEr)cos t (58)

A continuacin, agrupad en un lado los trminos dependientes deEry en el

otro los deEiy sacad factor comn:

n1Ercos in2Ercos tn1Eicos in2Eicos t

(n1cos in2cos t)Er(n1cos in2cos t)Ei (59)

As encontraris la primera de las relaciones que estbamos buscando, la rela-

cin entre la onda reflejada y la onda incidente:

(60)

Determinacin de la onda transmitida

Para encontrar la segunda relacin, la de la amplitud de la onda transmitida,

ahora debis aislar el valor deEren la ecuacinEiErEt(56):

ErEtEi (61)

I sustituimos este valor en la ecuacin (57):

n1(EiEtEi)cos in2Etcos t (62)

Como antes, podis agrupar en un lado los trminos que dependen deEty en

el otro los que dependen deEiy despus sacar el factor comn:

n1E

tcos

in

2E

tcos

t2n

1E

icos

in1cos in2cos t)Et(2n1cos i)Ei (63)

Y as encontramos la segunda de las relaciones que estbamos buscando:

(64)

Las ecuaciones (60) y (64) demuestran que se pueden determinar, en todo mo-

mento, los cocientes entre las amplitudes de las ondas reflejada e incidente y de

la onda transmitida e incidente, respectivamente, si se conocen nicamente los

ndices de refraccin de los dos medios (n1y n2) y el ngulo de incidencia (i).

Bien, en la figura tambin aparece el ngulo de transmisin, (t), pero este lo po-

demos encontrar a partir del ngulo de incidencia mediante la ley de Snell (49).

1 2

1 2

cos coscos cos

r i t

i i t

E n n

E n n

1

1 2

2 coscos cos

t i

i i t

E n

E n n


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Estos cocientes se denominan coeficientes de Fresnel para polarizacin per-

pendicular, y se simbolizan, de manera respectiva, rspara la onda reflejada y

tspara la onda transmitida.

Los coeficientes de Fresnel (rs) y (ts) expresan la relacin entre las amplitudes

de las ondas reflejada y transmitida respecto a la amplitud de la onda inciden-

te. Cabe sealar, tambin, que lo que conocemos de modo habitual como in-

tensidadde una onda no es esta amplitud, sino el valor medio

Fisica II ES (Modulo 5)

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