Informazioni* - INFN-BOmoggi/didattica/1-Misura.pdf · ( comprensivedi esempi, esercizi&etc) & ......

Informazioni

ORARIO: Lunedi 11.15 – 13.00 Clodia 1 Martedi 14.00 – 17.00 Clodia 1 Mercoledi 14.00 – 17.00 Clodia 1 Giovedi 9.00 – 11.00 Clodia 1 !Tutors : !Materie di base: [email protected] !!!Giovedi 5 Marzo: NO lezione !

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Ricevimento e domande

1.  Mercoledì pomeriggio dopo la lezione 2.  su appuntamento ([email protected]) •  a Bologna, DiparBmento di Fisica

viale B. Pichat 6/2, stanza C043 •  A Rimini: DiparBmento di Qualità della Vita C.so d'Augusto 237, stanza 3-‐20 (3zo piano)

Note: -‐ Scrivete solo dal vostro indirizzo unibo.it !!! -‐ Prima di scrivermi per quesBoni amministraBve controllate se la risposta è già presente sul sito docente (www.unibo.it/docenB/niccolo.moggi) 2

Stru3ura del Corso

1ma parte (Marzo à Aprile ): •  grandezze fisiche e loro misura (4 h) •  probabilità (4 h) •  meccanica (punto, corpi, fluidi) (18 h) •  termodinamica (6 h) (comprensive di esempi, esercizi etc)

2da parte ( Aprile à Giugno ): •  ele`romagneBsmo •  oscillazioni, onde •  oaca fisica e geometrica •  microfisica (fisica atomica)

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Inizio DOPO le vacanze di Pasqua in data da decidere

Tes8 consiglia8

L’uso di un libro di testo è fortemente consigliato Scegliete voi quale preferite. Ecco alcune possibilità:

•  D.C. Giancoli, Fisica, Casa Ed. Ambrosiana •  E. Ragozzino, Principi di Fisica, EdiSES •  F. Borsa, A. Lascialfari, Principi di Fisica, EdiSES •  G.Bellini, G.Manuzio, Fisica per le Scienze della Vita, ed. Piccin

•  (J.W. Kane e M.M. Sternheim, Fisica biomedica, Ed. E.M.S.I.)

•  (D.M. Burns e S.G.G. MacDonald, Fisica per gli studen4 di biologia e medicina, Ed. Zanichelli)

•  [F.R. Cavallo e F.-‐L. Navarria, Appun4 di Probabilità e Sta4s4ca per un corso di Fisica, Ed. CLUEB]

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www.bo.infn.it/c>/eser

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Il corso di Fisica

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Parte Prima

•  Il metodo scienBfico •  Grandezze fisiche: – dimensioni e unità di misura –  incertezze di misura – espressione delle grandezze misurate

•  StaBsBca: – distribuzioni –  indici di posizione e dispersione

•  Introduzione alla probabilità •  Distribuzione di probabilità degli errori ed errore sulla media

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La Scienza Naturale

•  Si occupa dei fenomeni naturali = tuè le manifestazioni della natura che entrano in relazione con i nostri sensi

– Come è faò l’universo ? – Come è faà la materia ? – quali leggi li regolano ?

non: perchè ma: come

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La Fisica

•  Si occupa delle manifestazioni più “elementari” o fondamentali, cioè dei sistemi più semplici che esistano – scienza di base da cui tu`e possono essere derivate

•  Usa il metodo scien8fico: – a`eggiamento con cui lo scienziato si pone di fronte ai fenomeni naturali

– metodo di approccio alla indagine della realtà

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La Fisica

Osservazioni (faa)

Meccanismo di funzionamento della

natura

Non è un catalogo di osservazioni come una casa non è un mucchio di ma`oni: fenomeni complessi vengono descria in termini di fenomeni più elementari

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Il metodo scien8fico

Sintesi (galileiana) di osservazione e teoria Parte dalla osservazione dei fenomeni per arrivare a cogliere il meccanismo che li regola

G. Galilei, 1564-‐1642

esperimenB modelli

esperienza ragione

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Ma come funziona il metodo ?

modello à teoria

osservazione

scelta grandezze

esperimento

formulazione modello

confronta modello

sbagliato giusto

elemento osservato ↔ grandezza fisica

immagine mentale di un fenomeno in termini noB + relazioni tra i termini

misura di una grandezza = associazione

numero ↔ grandezza

matemaBca per descrivere le relazioni

tra grandezze 12

1mo assioma

La prova di tu3a la conoscenza è l’esperimento

unico giudice della verità scien6fica Feynmann: h`p://www.youtube.com/watch?v=b240PGCMwV0 << if it disagrees with experiment... it’s wrong ! >> à  la fisica può dare risposte solo a domande susceabili di risposta quan6ta6va a`raverso una misura sperimentale

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L’esperimento

•  Serve per quan4ficare le sensazioni umane (es: caldo/freddo à temperatura) sBma quanBtaBva di una grandezza : misura

•  Grandezza = ciò che è susceabile di determinazione quanBtaBva mediante disposiBvo sperimentale (#1, #2, #3)

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2do assioma

•  La Natura risponde allo stesso modo ad osservatori diversi.

•  Cioè: le leggi della natura sono valide in qualunque tempo e luogo

à le misure sperimentali devono essere riproducibili (nel tempo e nello spazio)

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Chi garan8sce ?

•  Nessuno... •  ..la validità del metodo sperimentale sta essenzialmente nel suo successo (giusBficazione a posteriori)

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La Misura

•  Procedimento mediante il quale si associa un numero ad una grandezza

•  Procedimento operaBvo: 1. scegliere una grandezza di riferimento 2. confrontare la grandezza da misurare con l’unità di misura

unità di misura

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Risultato della Misura

Il risultato è un numero de`o ancora misura della grandezza

à  Una grandezza si esprime SEMPRE come: GRANDEZZA = MISURA x UNITÀ DI MISURA

lato aula = 10 x [metro] = 10 metri

•  u.d.m. è + piccola ⇒ misura + grande

Misura = grandezza da misurareunità di misura

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A3enzione !!!

•  “un corpo è lungo 24” •  “la densità dell’acqua è 1” •  “la memoria è 8 Giga” Queste affermazioni NON HANNO SENSO ! – Metri, pollici, anni luce… ? – Kg/litro, g/cm3… ? – Bites, bits, indirizzi… ?

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Misure indire3e

•  Combinano 2+ misure dire`e in una relazione data da una legge

•  Esempio: misura di una velocità

–  non misuro la velocità ma lo spazio percorso ed il tempo impiegato

–  uso la legge v=s/t per calcolare v

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Misura dello spessore di 1 foglio

•  Non è deò che la misura direà sia migliore o + facile

– direà: con un micrometro

–  indireà: 1. conto 1000 fogli 2. misuro lo spessore totale

3. divido:

spessore = totale / 1000

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Unità di Misura

•  È una grandezza campione – di valore numerico noto – scelta arbitrariamente – ma in modo conveniente

•  ognuno può scegliere la preferita...

Piede di Luigi XIV: in uso fino al 1799

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Sistemi di unità di misura

•  Un sistema di unità di misura è l’insieme delle unità di misura di tuè le grandezze fisiche

•  ..o di tuè le grandezze di interesse in un determinato seòre

Es: in meccanica usiamo solo: –  Lunghezze – Masse –  Tempi

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Sistemi di unità di misura

•  È possibile assegnare una u.d.m. ad ogni grandezza à sistema complesso

•  Conviene: –  ridurre al minimo il numero di grandezze fondamentali – associare una u.d.m. solo ad alcune grandezze “fondamentali” – usare unità derivate in tua gli altri casi

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1 cm

1 cm 1cm x 1cm

= 1 cm2

Unità Fondamentali e Derivate

Fondamentali = da cui tu`e le altre derivano -‐  non definibili in termini di altre grandezza -‐  concea intuiBvi -‐  indipendenB una dall’altra

Relazioni matemaBche (“leggi”) legano tra loro molte grandezze fisiche.

Derivate = combinazione matemaBca delle grandezze fondamentali

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Unità Fondamentali e Derivate

Fondamentali: Lunghezza [L] Massa [M] Tempo [t] Temperatura [T] Intensità di corrente [i] QuanBtà di materia [?] Intensità luminosa [?]

Derivate: Superficie [L]x[L] Volume [L]x[L]x[L] Velocità [L]/[t] Forza [L]x[M]/[t]x[t] Densità [M]/[L]x[L]x[L] Energia [M]x[L]x[L]/[t]x[t] ...

Spesso si usano nomi propri

Es: Forza in Newton 1 N = 1m x 1Kg / 1s2

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Scelta delle U. di Misura

•  Converrebbe meèrsi tua d’accordo •  La scelta delle u.d.m. è arbitraria ma richiede una definizione opera4va di un campione della grandezza

•  “definizione operaBva” ? – Es: definizione di TORTA: “dolce di forma

generalmente tonda a base di farina…” – UBle per idenBficare l’oggeò, ma non per realizzarlo

à Riceà per la torta: “Mescolare farina, uova, zucchero, burro e lievito fino ad ottenere un impasto…”

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•  Conviene scegliere le grandezze “meglio definite” (misurabili con miglior precisione)

•  I campioni scelB dovrebbero essere: – assoluB – permanenB –  riproducibili

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Il Sistema Internazionale (S.I.)

Basato su sole 7 grandezze fondamentali:

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Intensità di corrente: Ampere

QuanBtà di materia: moli

Intensità luminosa: candele

Temperatura: gradi Kelvin

Tempo: secondi

Lunghezza: metro

Massa: kilogrammo


•  Esistono molB sistemi più o meno razionali

•  Sistema “cgs” (molto usato in fisica): – L in cm – M in g – T in s

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Fa3o veramente accaduto

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Tempo S.I.

1 secondo = 1/86400 del giorno solare medio = durata di 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell’atomo di Cesio 133

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Lunghezza S.I.

1 METRO = 1/10000000 della distanza Polo Nord -‐ Equatore = lunghezza dell’asta campione a Parigi = spazio percorso dalla luce nel vuoto in un tempo di 1/299792458 s

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Massa S.I.

1 Kilogrammo = massa del Interna4onal Prototype Kilogram (IPK) campione di plaBno-‐iridio a Parigi

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Temperatura S.I.

1 Kelvin = 1/273.15 della temperatura del punto triplo dell’acqua

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Intensità di corrente S.I.

•  1 Ampere = intensità di corrente (costante) che, circolando in due fili paralleli posB a distanza di 1 metro, induce una forza tra i due fili pari a 2*10-‐7 Newton

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Quan8tà di materia S.I.

•  1 mole = quanBtà di materia contenente tante enBtà elementari quanB sono gli atomi contenuB in 0.012 Kg di Carbonio 12

•  Il famoso numero di Avogadro

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Intensità luminosa

•  1 candela = intensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente che eme`e una radiazione monocromaBca di frequenza 540x1012 Hz e la cui intensità energeBca in quella direzione è di 1/683 W/sr.

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MISURE dell’UNIVERSO

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Le misure dell’Universo

•  Ci sono molB ordini di grandezza tra le misure di lunghezza, tempo, massa... possibili nell’Universo

•  dimensione nucleo atomico = = 0.000000000000001 m

•  distanza del “Sloan Great Wall” = = 10000000000000000000000000 m problema degli “zeri”

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Notazione Scien8fica

•  Esprimendo i numeri in potenze di 10 non si faBca a contare gli “zeri”

– 5000 mele = 5 x 103 mele – 3000000 bit = 3 x 106 bit – 1234 m = 1.234 x 103 m – 0.005 s = 5 x 10-‐3 s – 0.0005 s = 5 x 10-‐4 s

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Altri esempi di misure

•  Dimensione nucleo = 10-‐14 m •  Distanza SGW = 1025 m •  SBma età Universo = 4.7 x 1017 s (15x109 anni) •  Comparsa uomo sulla terra = 1013 s (3x105 anni) •  Intervallo tra 2 baaB cardiaci = 0.8 s •  Periodo vibrazione onde radio = 10-‐8 s •  Massa sole = 1030 Kg •  Massa prof di fisica = 80 Kg •  Massa globulo rosso = 10-‐16 Kg •  Massa ele`rone = 9 x 10-‐31 Kg

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Ordini di grandezza

•  L’”ordine di grandezza” esprime la misura di una grandezza con accuratezza di un fa`ore 10 (potenza di 10 + vicina alla misura) – Altezza di un uomo ~ 1 m – Raggio atomo H ~ 10-‐10 m – R nucleo H ~ 10-‐15 m – Ratomo/Rnucleo ~ 10-‐10m / 10-‐15m = 105 à l’atomo di H2 è 105 volte + grande del suo nucleo

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Stesso ordine di grandezza ?

SI NO

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A3enzione alle somme !

•  Prima di sommare in notaz. scienBfica ricordatevi di riportare gli addendi allo stesso ordine di grandezza

•  Es: 0.3241x104 + 0.54x102 = ???

= 0.3241x10000 + 0.54x100

= (0.3271+0.0054) x104 = 0.3295 x104

= 3295

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matema8ca: le potenze

Addizione a+b

Moltiplicazione a•b = a+a+a… (b volte)

Potenza ab = a•a•a… (b volte)

ab à a = base, b = esponente!

an • am à an+m (an)m à an*m an/am à an-m

È necessario saper usare le potenze

a-n = 1/an a0 = 1

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Le dimensioni dell’universo

h`p://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=0fKBhvDjuy0#t=13s

h`p://www.powersof10.com/

47

Le dimensioni dell’universo

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Mul8pli e so3omul8pli

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Dimensioni delle grandezze

•  Ogni grandezza ha associata una “dimensione” •  Indica come la grandezza viene o`enuta a parBre da quelle fondamentali

•  Esempio: –  spessore –  distanza –  spazio percorso

•  In generale : [G]=[Lα Mβ tγ]

•  NB: le dimensioni delle grandezze fondamentali sono le grandezze fondamentali stesse

stessa dimensione ! [lunghezza]!

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Grandezze Omogenee

•  “omogenee” = con la stessa dimensione •  La formula per calcolare una grandezza può essere diversa ma la dimensione sempre la stessa:

•  Si possono sommare tra loro solo grandezze omogenee..

•  ..ma molBplicare anche grandezze non omogenee

Area= L x L Dimensione [L2]

Area= π R2 Dimensione [L2]

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Analisi Dimensionale

•  In tu`e le leggi fisiche la dimensione in entrambi i laB della equazione deve essere la stessa

Equazione sbagliata

OK

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2 OK

Non si può !

Esempio analisi dimensionale

Risolvendo un problema calcolate una distanza come: x = ½ v t2 Il risultato non è una lunghezza [L] à l’equazione è sbagliata

12 vt

2 =[L][t][t2 ]= [Lt]

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Esempio analisi dimensionale

L’equazione giusta potrebbe essere x = ½ a t2

•  Questa equazione è dimensionalmente corre`a à potrebbe essere giusta

•  Ma: x = ⅓ a t2 sarebbe dimensionalmente corre`a eppure è sbagliata

12 at

2 =[L][t2 ]

[t2 ]= [L]

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Esempio famoso

E = m c2

Energia = massa x (velocità della luce)2

Quali sono le dimensioni della energia ? E = [M] x [L2/T2] = [ML2/T2]

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Esempio

•  Supponiamo che la grandezza A sia data da A=BC,

con A in [L]/[M] C in [L]/[T] •  Quali sono le dimensioni della grandezza B ?

A = BC⇒ B = AC⇒ B =

[L][M ][L][T ]

=[T ][M ]

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Esempio

•  La velocità di una auto è data da: v = at2 + bt3 (col tempo t in s) Trovare le u.d.m. di a e b

1.  Devono essere le stesse a destra e sinistra 2.  A destra: i due termini devono essere omogenei

tra di loro 3.  v = [m/s] ⇒ anche at2 e bt3 = [m/s] 4.  solo dimensionalmente posso fare: a = v/t2 = [m/s]·∙[1/s2] = [m/s3] b = v/t3 = [m/s]·∙[1/s3] = [m/s4]

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Conversione di unità di misura

•  Quando le unità di misura di un problema non sono consistenB tra di loro à è necessario converBrle

•  Non è possibile sommare misure con unità diverse tra loro: 10 Km + 7 miglia = ??? – anche se hanno la stessa dimensione

•  Devo prima converBre – Km à miglia – Miglia à Km

•  A`enzione ai prodoa: 10 Km * 7 mi = 70 Km*mi non ha molto senso

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a nostra scelta !


Le u.d.m. si possono traCare come quan4tà algebriche •  In praBca si molBplica per un fa`ore che vale 1 •  Es: converBamo 15 miglia à Km

1 mi = 1.6 Km 1 = 1.6 Km/mi

fa`ore di conversione = 1

15mi =15mi 1.6Kmmi

!

"#

$

%&= 24Km

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•  Es: converBamo 15 miglia à Km Ma conosco il fa`ore inverso 1 Km = 0.625 mi devo trovare : 1 mi = .... Km 1 Km/0.625 = 1 mi 1 = (1 Km/0.625) /mi

fa`ore di conversione = 1

15mi =15mi 1Km0.625mi!

"#

$

%&= 24Km

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Unità composte

•  10 Km/h à m/s

10 kmh×1000 m

km3600 s

h

=13.6

ms= 0.278m

s

Conversione dei km : 1 km = 1000 m à 1 = 1000m/km

Conversione delle h: 1h = 3600 s à 1 = 3600s/h

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Conversioni di superfici e volumi

A`enzione: 1 m2 significa 1m x 1m = (1 m)2 = (100 cm)2 = (100 cm)x(100 cm) = (100x100) x (cm x cm) = 104 cm2

Quindi: 1 m3 = 100x100x100 cm3

= 106 cm3 (1 milione)

Es: Litri: 1 l = 1 dm3 = 1 x (10cm)3 = 1000 cm3

= 1 x (0.1 m)3 = 0.001 m3

1 m 100 cm

1 m 100 cm

1 m 100 cm

1 litro = 1 dm3 è un VOLUME !

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non in scala !

Conversione di superfici e volumi

•  4.2 mm2 à = 4.2 ·∙ 10-‐6 m2

•  3 m3 à 3·∙ 109 mm3

1 mm2 = 10-‐3 m x 10-‐3 m = 10-‐6 m2

1 = 10-‐6 m2/mm2

1m

1mm3

1m

1m

1 m3 = 103 mm x 103 mm x 103 mm = 109 mm3

1 = 109 mm3 / m3

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Grandezze proporzionali

c = ab

a “proporzionale” b se c = costante

a∝b a

b

a∝ l2

c = al2

a “proporzionale” l2 se c = costante

Es: area quadrato ~ lato2

area

lato

aumenta a à aumenta b

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Proporzionalità inversa

a

b

a∝ 1b

c = a ⋅ba “inversamente

proporzionale” b se c = costante

Es: re`angoli di area costante (24 quadrea)

base∝ 1altezza

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Leggi si scala (*) Perchè non sono molto più grandi ?

Per evitare fra`ure : massa~(diametrofemore)2

Cioè:

dimensione S

d

m∝ S3

pressione = PesoArea

∝md 2

⇒ m∝ d 2

d 2 ∝ S3 ⇒ d∝ S3/2

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Leggi si scala (*)

S d d/S3/2

Uomo 0.3 m 1 cm 0.05 Cavallo 1 m 5 cm 0.05 Dinosauro 10 m ? 0.05

30 m ? 0.05 300 m ? 0.05

d = 0.05 ⋅S3/2 =1 m 50 m 200 m

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Grandezze adimensionali

•  Esistono anche grandezze senza dimensione: angoli, efficienze, rendimenB.... à rapporto di due grandezze che hanno la stessa

dimensione •  Angoli: •  Numero puro, ma gli assegnamo una u.d.m. arBficiale: il •  1 rad = angolo so3eso ad un arco di L = raggio

S

S’ S

R R’

ϑ

SR=S 'R '= 2π

ϑ =arcoraggio

=SR=

[L][L]

S/R è costante:

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Angoli: unità di misura

•  Le unità più comuni per gli angoli sono: – gradi sessagesimali (1° = 1/360 di circonf.) – radianB – Per una si ha: L = 2πr θ[rad] = 2πr/r = 2π

•  Conversione:

•  Quindi 1 radiante = 1rad x (360/2π) ≈ 57.3°

θ rad

2π=θ

360⇒θ =θ rad ×

3602π

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Esempio

Con quale velocità la terra ruota a`orno al proprio asse ? 1 giro al giorno. Cioè: 2π rad / giorno = 1π /12 rad/ore 360 deg / giorno = 180/12 deg/ore

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Angolo solido

•  Ω = area calo`a sferica / R2

•  u.d.m. = •  A sfera = 4πR2 à angolo solido tot = 4π

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Tipi di grandezze

•  Scalari : completamente specificate da 1 (solo) numero •  Ve3oriali : specificate da ≥ 2 numeri

3 2 1

1 2 3 4

P = (3,2) unità

Esempio. Temperatura 1 solo numero à scalare Posizione -‐  in un piano: 2 numeri à ve`ore -‐  nello spazio : 3 numeri à ve`ore

P=(3,2,2) unità

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Ve3ori

•  Veòre = oggeò matemaBco che permeè di rappresentare grandezze con caraèrisBche

(3D) – Massa, temperatura, numero di studenB : scalari

•  regole della aritmeBca ordinaria

– Velocità, Posizione, Forza : veBoriali •  RappresentaB con una freccia –  lunghezza – direzione – verso – algebra speciale v v

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Le incertezze sperimentali

•  Ogni misura sperimentale ha una incertezza •  spesso deà “errore” NON nel senso di “sbaglio”

•  Situazione ideale à valore “vero” – si oèrrebbe con una misura perfeà – non realizzabile

•  Situazione reale à indeterminazione –  inevitabilità delle incertezze di misura

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•  Ogni misura è affeà da indeterminazione: – variazioni ambientali (temp., pressione, umidità…) – disturbi esterni (vibrazioni…) – sensibilità dello strumento –  leùra (es.: errori di parallasse) – calibrazione o taratura – definizione del misurando – etc etc…

•  inclusi errori umani (“sbagli”)

à Ripetendo la misura si oèngono risultaB diversi (à casualità) !!!

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L’Errore

Incertezza = X vero – X misurato

misura valore vero

incertezza L’incertezza non è accessibile

sperimentalmente à  il valore “vero” rimane ingoto

NB: nella praBca si usa il termine “errore” per indicare “incertezza”

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Rappresentazione della misura

Si fornisce una s4ma della misura, associata ad una s4ma della incertezza sulla misura Misura di X = X s6mato ± incertezza s6mata

Es.: lunghezza tavolo = ( 320 ± 1 ) cm Vuole dire che la miglior sBma fa`a è di 320 cm e che probabilmente la misura sta in [319 – 321] cm

In assenza di incertezza sBmata, si conviene che : L = 320 cm significa che probabilmente 319 < L < 321 cm

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•  Inevitabili, non eliminabili •  Riducibili à con strumenB più precisi – Metro a nastro Vs interferometro laser

•  Fino a dove spingere la precisione della misura ?

•  Fino a che ne vale la pena – per la spesa di casa una incertezza di 50 g Ok, – per una pillola con 50 mg di principio aavo si chiede un incertezza < 1 mg (almeno!)

•  Importanza della valutazione dell’errore ! 79

Confronto di misure

•  Due misure sono compa6bili se danno lo stesso risultato tenendo conto delle loro incertezze (5 ± 2) compaBbile con (8 ± 2) (10.0 ± 0.2) non compaBbile con (10.6 ± 0.2)

10.0 10.6

X1-‐X2 < ∆X1 + ∆X2

X1-‐X2 > ∆X1 + ∆X2 80

Discrepanza tra misure

Si dice discrepanza la quanBtà X1-‐X2 In generale se: X1-‐X2 > ∆X1 + ∆X2 ⇒ X1 ed X2 non sono compaBbili

SignificaBva (misure non

compaBbili)

Non significaBva (misure

compaBbili) 81

Qualità delle misure

•  Data una misura X ± ΔX u.d.m. – ΔX = errore “assoluto”: stessa dimensione di X – ΔX/X = errore “relaBvo”: adimensionale –  (ΔX/X)·∙100 = errore relaBvo percentuale

•  L’errore relaBvo è una indicazione della qualità della misura –  Infaa è chiaro che ΔX=1cm ha significato diverso se riferito ad una maBta o ad un edificio

(10±1) cm à ΔX/X = 10% 10m ± 1cm à ΔX/X = 0.1%

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Percentuale

•  Metodo per esprimere variazioni rispetto ad una quantità nota

2 % = 2/100 = 2x10-2 = 0.02 3 % di 200 = (3/100) x 200 = 6 20 % di 1000 = (20/100) x 1000 = 200 150 % di 1000 = (150/100) x 1000 = 1500

Se preferite: 3% di 200 : 3/100 = X/200 à X = (3/100)x200

“Per mille”: 1 ‰ = 1/1000 = 0.001 = 0.1% Parte per milione: 1 ppm = 1/1000000 = 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰

Soluzione di una sostanza in acqua al 5% in volume = in 1 litro di soluz., à 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di soluto

83

Percentuale

•  La percentuale è sempre relativa alla grandezza a cui si riferisce. – oggi il PIL vale 100 Geuro –  in 1 anno cresce del 2% à 102 Geuro –  l’anno successivo cala del 2% 2 % di 102 = (2/100) x 102 = 2.04 à dopo 2 anni il PIL vale: 102 – 2.04 Geuro < 100 !!!

84

Errori casuali e sistema8ci

Gli errori che possono essere evidenziaB ripetendo la misura molte volte si dicono casuali Sono dovuB al concorso di molte cause indipendenB, accidentali e non controllabili. Esempi: 1) incertezze di le`ura della scala, 2) vibrazioni dovute al passaggio di un treno

Gli errori sistema8ci si presentano uguali ad ogni ripeBzione della misura. Influenzano la misura sempre “nello stesso verso” Evidenziabili ripetendo la misura con strumenB diversi Esempi: 1) fucile che spara sempre troppo alto, 2) taratura sbagliata

85

Sensibilità (risoluzione)

Sensibilità = quanBtà minima apprezzabile

Se con molte misure ripetute non si osservano variazioni nel risultato

fluùazioni <

sensibilità

errore ≡

sensibilità

in questo caso per migliorare la misura devo usare uno strumento + sensibile

⇒ ripetendo la misura si oèngono spesso fluùazioni del risultato dovute agli errori casuali

come dire che errore = max tra larghezza fluùazioni e sensibilità

86

Errori di le3ura

Sensibilità ≈ 1/2 divisione

L1 = 3.5 cm L2 = 3.5 cm L3 = 3.5 cm

ΔL = 0.5 cm per tua

cm 87

Errori di le3ura

Sensibilità ≈ 1/2 divisione

L1 = 3.35 cm L2 = 3.45 cm L3 = 3.55 cm

ΔL = 0.05 cm per tua

cm 88

Precisione e accuratezza

Precisione = larghezza dell’ intervallo in cui si verificano le flu`uazioni casuali Accuratezza = larghezza dell’ intervallo in cui si verificano gli errori sistemaBci

PRECISO ACCURATO

PRECISO NON ACCURATO

NON PRECISO ACCURATO

NON PRECISO NON ACCURATO

89

Situazione reale

In un esperimento reale il valore vero è ignoto (= non c’è il bersaglio)

è possibile misurare la dispersione casuale..

..ma non quella sistemaBca

90

Cifre significa8ve

Usiamo le “cifre significaBve” per approssimare l’incertezza nei risultaB

Quali sono: da SX a DX tu`e quelle a parBre dalla 1ma ≠ 0

Esempi: 2345 → 4 ma anche 234.5 → 4 234 → 3 ma anche 230 → 3 ed anche 200 → 3 4 → 1 ma anche 0.04 → 1 0.0023 → 2 mentre 0.00230 → 3 0.0002345 → 4 000678.9 → 4 mentre 000678.90 → 5

91

Cifra +/-‐ significa8va

1.234

+ significaBva

-‐ significaBva

0.001234 In assenza di errore si presume una incertezza di 1 sulla cifra meno significaBva

92

Cifre significa8ve: quante sono

Tu`e quelle i cui valori sono noB con certezza + la 1ma il cui valore è incerto In qualunque risultato la cifra – significaBva deve avere lo stesso ordine di grandezza della incertezza associata alla misura.

27.0423 27.0341 27.0467 27.0509 27.0371

In questa serie di misure l’incertezza sta sulla 4ta cifra da sx che diventa la meno significaBva (quelle successive non aggiungono alcuna informazione)

27.04 27.03 27.05 27.05 27.04

ΔX=0.3 → X = 27.4 ± 0.3 OK X = 27.412 ± 0.3 no! X = 27 ± 0.3 no !

I risultaB si riportano con un numero di c.s. che dipende dalla precisione della misura

93

C.s. ed incertezza rela8va

Il numero di cifre significaBve automaBcamente fornisce una indicazione sulla incertezza relaBva della misura

c.s. ΔX/X 21±1 2 1/21 = 5% 0.0021±0.0001 2 0.0001/0.0021 = 5%

Numero c.s. ΔX/X es. 1 10-‐100 % 5±1 2 1-‐10 % 55±1 3 0.1-‐1 % 555±1

94

Errore sugli errori

Gli errori vanno forniB con 1 cifra significaBva

Esempio: g = (9.82 ± 0.02 ) [m/s2] SI g = (9.82 ± 0.0254 ) [m/s2] NO

se c’è incertezza sui centesimi non ha senso

specificare i millesimi

95

U8lità della notazione scien8fica

La notazione scienBfica perme`e di separare le cifre significaBve dalla potenza di 10 Esempio: Numero di Avogadro Na≅6.02·∙1023 moli-‐1

In realtà è noto con 8 c.s. : Na = 602214150000000000000000 moli-‐1 NO (sembra che abbia 23 c.s.) Na = 6.0221415·∙1023 moli-‐1 OK

Na = 6.02214157843·∙1023 moli-‐1 NO Na = 6.02·∙1023 moli-‐1 OK

Na = 6.022·∙1023 moli-‐1 OK

però sto perdendo una parte della informazione

96

•  StrumenB digitali: forniscono valori approssimaB –  incertezza sulla cifra meno significaBva: 12.37 = [ 12.365 – 12.375 ] ß ΔX=0.01 – Se, ripetendo molte volte, trovo delle variazioni à la sensibilità è peggiore delle cifre riportate à errore + grande

Strumen8 digitali

97

•  StrumenB analogici: scala conBnua di valori – La divisione minima (tacche successive) dovrebbe essere ≈ sensibilità – Possibile sBmare ½ divisione – Se credo di poter disBnguere 1/10 di divisione, probabilmente sono oamista sulla sensibilità dello strumento

Strumen8 analogici

98

Approx. e troncamento

•  Approssimazione a 3 c.s.: –  l’ulBma cifra a destra che teniamo è incrementata di 1 se la cifra seguente è >=5

– L’ulBma cifra a destra che teniamo rimane com’e se la cifra seguente è < 5

– 1.234 à 1.23 – 1.567 à 1.57 (1.565 à 1.57)

•  Troncamento a 3 c.s.: – 1.234 à 1.23 – 1.567 à 1.56 (1.565 à 1.56)

99

Combinazione di due misure

Cosa succede alle c.s. quando combino 2 misure ?

Troncare al numero di decimali dell’addendo che ne ha meno

1.42 + 199.3 = -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 200.72

Approssimare al numero di c.s. del fa`ore che ne ha meno

1.42 x 199.3 = -‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ 283.048 283

100

Propagazione dell’errore

•  X=1.42±0.01 cm •  Y=199.3±0.1 cm àArea = X·∙Y = 283.006 cm2

1)  Amax=1.43 x 199.4 = 285.142 2)  Amin=1.41 x 199.2 = 280.872 Errore = (Amax-‐Amin)/2 = 2.135 à 2

àscrivo il risultato come 283±2 cm2 àsenza errore scrivo solo 283 cm2 (so`osBma)

Y

X

101

Sull’uso della calcolatrice

1.03 / 1.01 = 1.01980198.... 1.03 / 1.01 = 1.02 con arrotondamento alla cifra meno significaBva Dovendo fare molte operazioni successive, conviene tenere tu`e le cifre disponibili sul calcolatore ed arrotondare solo le c.s. del risultato finale

non hanno significato !

102

Come tra3are una soluzione

y = 2.356 ⋅1037 ×3.452 ⋅10−26

7.359 ⋅1039 ×1.602 ⋅10−19

1)  Calcolo ordine di grandezza: 10(37-‐26-‐39+19) = 10-‐9 2) Calcolo del valore: y = (2.356x3.452)/(7.359x1.602) = 0.690 3) Risultato: 0.690x10-‐9

103

Esempio

Risultato = 0.005416289 Esprimerlo con precisione dell’1% 0.005416289 ·∙ (1/100) ≈ 0.00005 Quindi devo approssimare alla 5ta cifra decimale: Risultato = 0.00542

104

Esempio

Ruota di diametro d=73 cm. Qual è la circonferenza ? C = 2πR = πd d = 73 cm è noto al ≈ 1% π = 3.141592654... è noto con >100 c.s. ma qui ne bastano 3 (1% di π ≈ 0.03 ) C = 3.14 ·∙ 73 = 229.22 à 229 Per sicurezza: C = 3.1416 ·∙ 73 = 229.34 à 229

105

Rappresentazione dei da8

A causa delle incertezze i risulta8 delle misure sono variabili aleatorie (casuali) ! Ripetendo una misura molte volte oCeniamo una distribuzione che mostra la frequenza dei vari risulta4

X = {21, 16, 24, 32, 33, 28} Di quesB 6 valori: -‐  1 cade in [10-‐20] -‐  3 cadono in [20-‐30] -‐  2 cadono in [30-‐40]

107

X = {21, 16, 24, 32, 33, 28} -‐  dividere l’asse X in n intervalli che comprendano [xmin-‐xmax] -‐ ∀xi aggiungere una unità in y in corrispondenza dell’ intervallo in cui si

trova xi

Costruzione di un istogramma

asse delle ascisse (X)

asse delle ordinate (Y)

108

Men8re coi grafici

Apparente crescita Apparentemente costante

Anche i numeri talvolta sono fuorvianB: vedi %

109

Rappresentazione numerica

Esistono vari Bpi di indici uBli a descrivere un insieme di daB •  moda •  mediana •  media •  varianza •  ..altri...

In generale nessun indice può fornire tu`a la informazione contenuta nella distribuzione stessa...

indici di posizione

indici di dispersione

Usiamo i voB di Pierino come esempio. La pagella è: X={2, 3, 5, 3, 1, 4, 4, 7, 3, 5, 6}

110

Moda, Mediana, Media

MODA valore che ha la frequenza massima MEDIA

MEDIANA valore di mezzo

esistono casi in cui sono coincidenB

111

Moda, Mediana, Media

•  Moda = il valore di X cui corrisponde la frequenza massima

X={2, 3, 5, 3, 1, 4, 4, 7, 3, 5, 6} ⇒ moda = 3

•  Mediana = il valore di mezzo quando i valori sono daB in ordine crescente

X = {1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7} ⇒ mediana = 4

•  Media (aritme4ca): <X> = (1+2+3+3+3+4+4+5+5+6+7) / 11 = 3.9

X =< X >= x1 + x2 +.....+ xnn

112

Errore sulla media

•  incertezza sulla media < che sulle singole misure

– Gli errori casuali spingono con uguale probabilita i valori misuraB al di sopra e al diso`o del valore vero.

– se gli errori sono casuali >0 e <0 sono equiprobabili Δx➝ 0 per N grandi

Δx = x − xvero =1N

xii=1,N

N

∑$

%&&

'

())− xvero =

1N

(xi − xvero )i=1,N

N

∑valori >0 e <0

113

Distribuzioni

unimodale unimodale

bimodale senza moda

114

Medie pesate

•  Al fine di promuovere Pierino, il preside potrebbe decidere che ginnasBca (7) e religione (6) “contano + delle altre materie”

•  Perciò a`ribuisce un “peso” diverso ad ogni voto ed il peso del 6 e del 7 sarà + grande degli altri

•  Quanto di più ? Per es 10 volte di più : <X>= (1·∙1+2·∙1+3·∙1+3·∙1+3·∙1+4·∙1+4·∙1+5·∙1+5·∙1+6·∙10+7·∙10) / (1+1+1+1+1+1+1+1+1+10+10) = 5.517 ...quindi Pierino sarà comunque bocciato

X =< X >= x1p1 + x2p2 +....+ xn pnp1 + p2 +....+ pn

115

Esercizio

Qual è la temperatura T dell’acqua che si oaene mescolando 1lt a 0 C con ½ lt a 60 C ? •  si oaene una T intermedia tra 0 e 60 C •  1 lt ha più “influenza” del ½ lt sulla media •  usiamo il volume dell’acqua come peso per fare una media pesata della temperatura:

•  Nota: occorre una valutazione ad-‐hoc per decidere che pesi a`ribuire... vedi il preside di Pierino...

< T >= (1lt ×0oC)+ (0.5lt ×60 oC)(1lt + 0.5lt)

=(0+30)lt oC1.5lt

= 20 oC

116

Indici di dispersione •  Ogni distribuzione è cara`erizzata anche da una

“forma” (oltre che da una “posizione”). •  Un indicatore della “larghezza” della distribuzione è lo

“scarto quadraBco medio” (o “deviazione standard”)

σ x =(xi − x )

2

i=1

n

∑n−1

σ = media delle deviazioni dei valori rispe`o alla media della distribuzione (quanto sono “dispersi” i da4 aCorno alla media)

<x>=3.91 σ = 1.76

117

La deviazione standard

Altezza degli studenB: 200, 147, 173, 185, 160 (cm) media = 173 cm deviazione standard = 18 cm

118

Il problema generale Popolazione totale

(o distrubuzione teorica) non conosciuta

media = valore vero

Campione parziale so`o-‐insieme della popolazione

media misurabile

N individui

Sono possibili Nn campioni diversi

n individui

119

Distribuzioni limite

•  In molB casi ripetendo molte prove l’istogramma assume una forma definita che dipende dal fenomeno misurato

120

•  Per N prove → ∞ e larghezza intervalli → 0 si oaene una distribuzione limite cioè una curva descri`a da una funzione f(x) –  x ∈ reale ⇒ curva con4nua –  x ∈ interi ⇒ funzione a scalini

Distribuzioni limite

f(x) non è misurata ma è la distribuzione teorica che governa il fenomeno misurato e può avere forma analiBca Esempio: Ma può assumere qualunque forma 121

x = risultato di una prova

f(x) = numero di prove con esito x (frequenza di x)

f (x) = e−x2

2σ 2

Alcune distribuzioni note

I fenomeni naturali di Bpo aleatorio

sono governaB da leggi che seguono

distribuzioni diverse La descrizione dei fenomeni

dal punto di vista di queste distribuzioni di chiama sta4s4ca

122

Distribuzione Gaussiana

•  Alcune “forme” sono più frequenB in natura •  Es: peso e altezza della specie umana (e altre) seguono la legge di Gauss

123

Quando si misurano le cara`erisBche di una popolazione omogenea, la media è il valore 4pico di ciascun elemento del campione misurato

Distribuzione Gaussiana

f (x) = Nσ 2π

exp −(x −m)2

2σ 2

"

#$

%

&' m, σ = parametri

Simmetrica dx-‐sx rispe`o al pto di max Xmax = m (media)

Larga 2σ nel pto di flesso (d2f(x)/d2x=0)

m-‐σ m+σ

124

m

Dsitribuzione Gaussiana

•  m determina la posizione della curva lungo x •  σ determina la larghezza della curva a`orno ad m

m= -‐5 σ = 1

m= +5 σ=3

m=15 σ=5

125

Distribuzioni di Probabilità

•  P(X=xi) ➠ Probabilità che la variabile aleatoria X assuma il valore xi

•  La “funzione di probabilità” di una variabile aleatoria X associa ad ogni valore xi la sua probabilità P(X=xi)

•  Proprietà: – discrete:

– conBnue:

P(xi ) =1i∑

f (x)dx =1−∞

+∞

∫

Deve esserci la certezza (P=1) che un valore qualsiasi esca sempre (assioma delle Prob)

•  P(risultato in un intervallo finito [a,b]) = f (x)dx ≤1x=a

x=b

∫126

yi

Distribuzioni di probabilità

•  Se yi rappresentano la probabilità degli esiB xi ⇒ probabilità totale = area totale = 1

N1,5 = nii=1

i=5

∑ = 6

f = niN1,5

ni

N. di prove

Frequenza relaBva di xi

N1,5 = yii=1

i=5

∑ =1

f = yi 127

Distribuzione uniforme

Conosciamo la distribuzione di P associata alla variabile “lancio del dado”: tu`e le facce sono uguali, quindi sono equiprobabili (P. “a priori”) ⇒ la distribuzione è uniforme

f(x) = costante (se fosse conBnua)

Esempio: calcolo di P(x>3) :

16 dx = 1

6 [x]36 = 1

6x=3

x=6

∫ [6−3]= 16 ×3= 0.5

P(xi ) = 16 ∀xi

P(xi∑ ) = 16 +

16 +.... =1

128

Esempio: lancio di 2 dadi

Distribuzione della variabile “somma delle due facce” •  ci sono 11 possibilità da 2 (1+1) a 12 (6+6)

distribuzione triangolare simmetrica

7 è il valore +probabile ed anche il valore medio

P=1/36 P=2/36 P=3/36

P=4/36 P=5/36

P=5/36

P=4/36

P=3/36

P=2/36

P=1/36

129

Distribuzioni di Probabilità

Funzione che associa una Prob ad un numero ∈R associato ad un evento di uno spazio Ω

130

Perchè Gauss è importante

•  Teorema del limite centrale: la ∑ di un numero sufficientemente grande di variabili aleatorie indipenden4 approssima una distribuzione di Gauss –  vale anche se le singole variabili non sono gaussiane e sono diverse tra loro, a pa`o che nessuna abbia un peso prevalente sulle altre (= ordine di grandezza)

•  Caso di una misura ripetuta molte volte: –  le flu`uazioni casuali sono molte, piccole, indipenden6

–  se non ci sono incertezze sistemaBche ma solo casuali ⇒ i risulta8 sperimentali sono distribui8 secondo una gaussiana (la gaussiana è la legge di distribuzione degli errori casuali) 131

Il valore più a3endibile

•  In praBca non conosciamo la distribuzione teorica

•  Possiamo misurare il parameteri dei daB e ricostruire una funzione fmeas(x) gaussiana basata su quella media e deviazione standard

Il valore medio della funzione o`enuta è il + probabile ⇒ il + a`endibile !

132

in assenza di sistemaBci

Valore misurato

incertezze casuali

Il valore “vero”

Dopo molte prove ci sarà lo stesso numero di misure sopra e so`o il valore vero con distribuzione ftheor(x) gaussiana

133

Valore vero

media della distribuzione

teorica

valore vero

Il valore + probabile di ftheor(x) = valore vero

La miglior s8ma del vero

Il valore + probabile (media) dei da8 misura8 è la migliore s6ma del valore vero

Allo stesso modo si ha che:

Xmedio misurato➝ Xvero

Media della fmeas(x) o`enuta dai daB

Media della ftheor(x) teorica

valore + probabile

valore vero

σmisurato ➝ σvero

per Nprove➝∞

134

Osservazioni

•  La curva gaussiana è simmetrica rispe`o ad m:

•  Si può calcolare che:

f (x)dx−∞

m∫ = 0.5= f (x)dx

m

+∞

∫ cioè P(x>m) = P(x<m) = 0.5

f (x)dx ≅ 0.678m−σ

m+σ∫

Frazione dell’area totale: [m-‐σ<x<m+σ] ≅ 68% [m-‐2σ<x<m+2σ ≅ 95% [m-‐3σ<x<m+3σ] ≅ 99.7%

135

68%

Interpretazione probabilis8ca

•  In assenza di errori sistemaBci, la distribuzione delle misure è approssimata da una gaussiana

•  Nell’intervallo ±1σ dalla media è compreso il ≅68% dell’area

⇒ se faccio una ulteriore misura, la probabilità di trovare un risultato compreso in ±1σ dalla media = 68% – per ±2σ ≅ 95% – per ±3σ ≅ 99% – etc

136

68%

Conclusioni 1 e 2

1.   la migliore s8ma del valore “vero” = Xmedio

2.  Poichè σda8 → σtheor –  la migliore s8ma della incertezza su ciascuna

singola misura è σ –  anche quando non so valutare l’errore sulla singola

misura dalle condizioni sperimentali, posso s4marlo dalla larghezza della distribuzione (finita) delle misure ripetute (∀i: xi±σ)

–  il 68% delle misure fa`e cade in Xmedio±σ

137

X1

X3

X2

Distribuzione delle medie

Se la popolazione totale è gaussiana con media Mpop e RMS σpop Misuro dei campioni Xi -‐ ogni Xi segue Gauss con media: m1≠m2≠...mn...≠Mpop

σ1 ≠ σ2 ≠... σn ... ≠ σpop -‐  distribuzione delle medie mi segue Gauss con media Mpop

(media delle medie)

Pop.

Misura ripetuta = misura di un campione parziale della popolazione totale infinita

138

Errore sulla media

Per campioni Xi di N individui la larghezza della distribuzione delle medie mi è data da:

-‐  perme`e di sBmare l’errore sulla media di un singolo campione

-‐  σcampione miglior sBma di σpop

σ m =σ pop

N

σ X =σ X

N

distribuzione delle medie

popolazione

campioni Xi

139

Conclusioni 3

•  Facendo N misure ripetute la migliore s8ma del risultato è :

– Ripetendo, il 68% delle Xmedio cade in ±σ/√N – ho il 68% di Probabilità che Xmedio=Xbest sBa in un intervallo di ±σ/√N dal valore vero

140

Xbest = Xmedio ±σ X N

valore + probabile

in 100 prove

Esempio

Lancio un dado 100 volte, quante volte esce 3 ? •  In questo caso la distribuzione di Prob è nota ed è quella uniforme – posso quindi dare un valore aèso : P(3)=1/6 invece che un valore ricavato dalla media di 100 lanci

E(x) = P(3) x 100 = 1/6 x 100 = 17

•  Valore aèso in una una distribuzione di valori medi oènuB in molte serie di prove (100 lanci per ogni serie) = 16.66666....

•  Perciò il risultato di 16.666... sarebbe il valore medio su molte serie di 100 lanci ciscuna

141

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