FISICA 2FISICA 2FISICA 2FISICA 2

Prof. Renato Magli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica a.a. 2002-03

Elementi di Elettromagnetismo quinta parte

I DIELETTRICII DIELETTRICI

• Assenza di cariche libere

• Il campo elettrico esterno modifica la struttura dellemolecole del dielettrico: POLARIZZAZIONEPOLARIZZAZIONE

• Il dielettrico polarizzato genera un campo elettrico sia al suo esterno che al suo interno: contribuisce contribuisce così alla polarizzazionecosì alla polarizzazione

Descrizione fenomenologicaDescrizione fenomenologica

Si introduce un parametro caratteristico del mezzo.Confrontiamo per es. la capacità di un condensatore

vuoto con quella del condensatore riempito con dielettrico:

0

0 V

QC

0CC

r

Se Q = cost E = E0 / rSe Q = cost E = E0 / r

Descrizione Microscopica

Atomo

Meccanica Classica: elettrone/iin rotazione attorno al nucleo conperiodo T il momento di dipoloil momento di dipolomedio è nullomedio è nullo

Meccanica Quantistica: nuvola elettronicacon simmetria sferica tutti i momentitutti i momentimultipolari sono nulli multipolari sono nulli

MolecolaPolare (H20, HCl,…):momento di dipolo 0

Non Polare (N2, CO2,…):momento di dipolo = 0

In condizioni normali, una sostanza formata da molecole polari non producecampo elettrico poiché i dipoli sono orientati casualmente (disordine termico)

In presenza di campo E esterno:In presenza di campo E esterno:

• Polarizzazione per deformazione • Polarizzazione per orientamento

Sostanze non polari: polarizz. per deformazione

Sostanze polari: polarizz. per deformazione + polarizz. per orientamento

predominante

Polarizzazione per deformazione(Elettronica; Atomica)

Polarizzazione per deformazione(Elettronica; Atomica)

Se = cost la forza F1 risentita dal nucleo è, in modulo:

3

0

2

1

3

2

0

1

4

1

4

1

R

qF

qR

qF

NB: il nucleo +q sente l’azione della sola carica elettrica contenuta nella sfera centrata in O e di raggio (vedi campo prodotto da distribuzioni di carica a simmetria sferica).

All’equilibrio, la forza F1 di attrazione coulombiana sarà equilibrata dalla forza FE esercitata dal campo:

ERq

qER

qFF

E

3

0

3

0

2

1

4

4

Modulo del momentodi dipolo p indotto dal

campo E

Epd

con polarizzabilità per deformazione elettronica

Polarizzazione per orientamentoPolarizzazione per orientamento

E’ possibile dimostrare che in un materiale polare le cui molecole abbiano un dipolo permanente p0

l’effetto dovuto alla polarizzazione per orientamento può essere descritto assumendo che su ciascuna

molecola sia presente un dipolo p il cui valor medio <p> risulta proporzionale al campo elettrico El localmente presente attraverso la relazione:

lo Ep con:KT

po

o 3

2

polarizzabilità per orientamento

Polarizzazione elettrica

pP

dqrdrrp

Vettore Polarizzazione ElettricaPolarizzazione Elettrica

S.I. [P] = [Q/L2] C / m2

l’elemento di volume deve:-essere sufficientemente piccolo per poter assumere P uniforme ed avere un’informazione puntuale-essere sufficientemente grande perché P sia regolare

Cariche di Polarizzazione

x

z

y

O

r

(r’-r)r’

d

Q(x’,y’,z’)

drr

P

rr

drrrPzyxV

rr

dPrrzyxdV

3

0

3

0

3

0

'

1

4

1

'

)'()(

4

1)',','(

'

'

4

1)',','(

avendo tenuto conto che:

333

'

1

'

'

'

'

rrrr

rr

rr

rr

il gradiente essendo fatto rispetto a (x,y,z)

Tenendo ora conto che: fAfAfA si ottiene:

''

1

'

1

rr

P

rrP

rrP

drr

Pd

rrPzyxV

''

1

4

1)',','(

0

Per il teorema della divergenza:

dSrr

nPd

rrP

S

''

1

drr

PdS

rr

nPzyxV

S

'4

1

'4

1)',','(

00

P = Pn P = - P

P = Pn P = - P

Le Equazioni dell’Elettrostatica

in presenza di Dielettrici

Le Equazioni dell’Elettrostatica

in presenza di Dielettrici

Nel vuoto:

0

/0

E

E

In presenza di dielettrico: 0 E

continua a valere per la conservatività del campo elettrostatico

priori a nota ènon 1

0PPE

PE

nPP PP

0

che sappiamo ma

PE0

PE0

Con:

Elettrico oSpostament vettore PED 0

0E

D

+

relazione strutturale:

P = P(E)

Equazioni dell’Elettrostatica

in presenza diDielettrici

Equazioni dell’Elettrostatica

in presenza diDielettrici

In generale:

zyxz

zyxy

zyxx

EEEP

EEEP

EEEP

333231

232221

131211

333231

232221

131211

TENSORE DITENSORE DIPOLARIZZABILITA’POLARIZZABILITA’

Dielettrico perfettoDielettrico perfetto: gli elementi del tensore di polarizzabilità sono indipendenti da r e da E

FerroelettricitàFerroelettricità: curva di isteresi e polarizzazione elettrica permanente

PiezoelettricitàPiezoelettricità: la polarizzazione elettrica dipende dalle sollecitazioni meccaniche

Dielettrici perfetti ed isotropiDielettrici perfetti ed isotropi:

Tensore di polarizzabilità diagonale con gli elementi uguali

elettrica ità suscettiv con EP 0

Poiché: PED 0

ED 10

detta: r = costante dielettrica relativa del materiale si ottiene:

EEDr

0 costante dielettrica assoluta

Energia Elettrostatica in presenza di Dielettrici

Per un sistema di cariche libere con distribuzione si ha:

)(2

1

2

1 2

00a EuVdU

In presenza di dielettrici il lavoro necessario per la costituzionedel sistema di cariche dipende dalla presenza delle cariche dipolarizzazione che modificano il potenziale. La (a) continua a

valere, con la differenza che la densità soddisfa all’equazione:

D e V è soluzione del problema dell’elettrostaticain presenza di dielettrici.

Con argomenti analoghi a quelli usati per le cariche libere si trova:

d EDU2

1

con densità di energia u data da: EDu 2

1

e nel caso di dielettrico isotropo:

r

r

D

Eu

0

2

2

0

2

12

1