EVOLUZIONE NEL TEMPO DI SISTEMI DINAMICI - LAR-DEIS … · Un sistema lineare stazionario ......

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093034

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EVOLUZIONE NEL TEMPO EVOLUZIONE NEL TEMPO DI SISTEMI DINAMICIDI SISTEMI DINAMICI

CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica

Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 2008/2009

2SommarioSommarioCalcolo della evoluzione nel tempo dello stato x(t) di un sistema dinamico

1) Caso generale non lineare

2) Caso lineare non stazionario

3) Caso lineare stazionario

uingresso

yuscitaΣ

x stato


3SistemiSistemi a a statostato vettorevettoreConsidereremo ora sistemi dinamici in forma ingresso-stato-uscita, ove x, y, z sono opportuni segnali appartenenti a spazi vettoriali

Si hanno dunque:1. Sistemi monovariabili o SISO (Single-Input Single-Output)

se p = q = 12. Sistemi multivariabili o MIMO (Multi-Input Multi-Output)

se p > 1, q > 1

uingresso

yuscita

Σ

x stato


4SistemiSistemi a a statostato vettorevettoreModello matematico

Lineare

Non lineare

Stazionario Non Stazionario

Con A(t), B(t), C(t), D(t)continue a tratti

Stazionario Non Stazionario


5SistemiSistemi a a statostato vettorevettoreUn sistema lineare stazionario (caso particolare) è rappresentato:

nel caso MIMO da 4 matrici (A, B, C, D)nel caso SISO da (A, b, c, d).

B C

D

u f x y+

+

x(0)

u : ingresso; y : uscita; f : azione forzante; x : stato

A : matrice del sistemaB : matrice di distribuzione degli ingressiC : matrice di distribuzione delle usciteD : matrice del legame algebrico ingresso/uscita


6SistemiSistemi a a statostato vettorevettoreProblema: definire (calcolare) l’evoluzione dello stato x(t) a partire da date condizioni iniziali x0 e assegnato un certo ingresso u(.)

x(0)

t x(t)

traiettoria

Spazio degli stati

Insieme delle velocitàammissibili

t

u

t1 t2 t3


7EsempioEsempio

Robot a 2 gradi di libertà

θ1

θ2

θi: variabile di giuntoτi: coppia applicata al giuntomi: massa del braccioai: lunghezza braccioaci: posizione baricentroIi: momento di inerziag: accelerazione gravitàSi, Ci: sin(θi), cos(θi)

Date le coppie τ1 e τ2, determinaregli andamenti di θ1 e θ2

! ! ! Problema non semplice…

Del tipo


8SistemiSistemi non non linearilineariTeorema. L’equazione differenziale

ammette una unica soluzione x(t) se1. La funzione f(x, ·) è continua a tratti ∀ x ∈ Rn, ∀ t ≥ t02. Per ogni t ≥ t0 che non sia punto di discontinuità di f(x, ·) e per ogni

coppia di vettori x1, x2 valga la condizione di Lipschitz

Dimostrazione. Basata sulla successione di funzioni convergenti alla soluzione (successione di Peano-Picard)

Corollario: La soluzione x(t) è una funzione continua


9SistemiSistemi non non linearilineariRimane il problema del calcolo della soluzione della eq. differenziale

Metodi numericiMetodi analitici

Calcolo numerico dell’integrale di una funzione data per campioni

f(t0), f(t1), …, f(tn)

Metodo dei rettangoli

Metodo dei trapezi (interpolazione lineare nei periodi elementari)

t

f

t

f


10SistemiSistemi non non linearilineariRegola di Simpson (interpolazione quadratica nei periodi elementari)

(n pari => num. campioni dispari)

h: 0.5Metodo rettangoli: 3.00236726015005Metodo trapezi: 2.85542094707693Metodo Simpson: 2.87929762575957


0 1 2 3 4 5 6-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Funzione




11SistemiSistemi non non linearilineariMetodi di Runge-Kutta

Sostituendo la derivata con il rapporto incrementale relativo al passo di discretizzazione h si ottiene

espressione che corrisponde ai primi due termini dello sviluppo in serie di Taylor della funzione x(ti+1):

I “metodi di Runge-Kutta” approssimano lo sviluppo in serie di Taylor sostituendo le derivate di ordine superiore al primo con una opportuna combinazione lineare dei valori della derivata prima, calcolati in vari punti dell’intervallo elementare.


12SistemiSistemi non non linearilineariI metodi di Runge-Kutta sostituiscono le derivate di ordine superiore al primo con una opportuna combinazione lineare dei valori della derivata prima, calcolati in vari punti dell’intervallo elementare.

Ad esempio, il metodo di Runge-Kutta del terzo ordine consiste nella relazione

con


13SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariSi consideri ora un sistema lineare non stazionario del tipo

Per i sistemi lineari vale la proprietà di scomposizione del moto e della risposta

Moto libero Moto forzato

Risposta libera Risposta forzata


14SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariDa

Per via della linearità della funzione si deve potere scrivere

Dove Φ(.,.) viene detta matrice di transizione di stato e deve ovviamente fornire la soluzione della eq. differenziale omogenea



15SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariSi consideri il sistema lineare non stazionario omogeneo

x(t) vettore n x 1A(t) matrice reale n x n di funzioni continue a tratti

Si definisce la matrice di transizione dello stato come la (unica) soluzione dell’equazione differenziale matriciale

dove X(t) è una matrice reale n x n ed I la matrice identità n x n

La Φ(t,t0) ha come colonne le n soluzioni corrispondenti alle condizioni iniziali x(t0) = ei, essendo ei la i-esima colonna della matrice identità


16SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariLa soluzione della (1) è data da:

Proprietà della matrice di transizione

Nonsingolarità: la matrice è non singolare per ogni coppia (t, t0) – conseguenza della unicità della soluzione di (1)

Invertibilità:

Componibilità:

Separabilità:

Evoluzione nel tempo del determinante:


17SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariCalcolo della matrice di transizione

La matrice di transizione si può determinare in due modi:

Successione di Peano-Baker

Metodi di Runge-Kutta: basati sulla integrazione numerica passo passo di equazioni differenziali del tipo

su di un passo di integrazione specificato δt


18OperazioniOperazioni susu matricimatriciData una matrice m x n i cui elementi sono funzioni del tempo:

La derivata rispetto al tempo o l’integrale nel tempo della matrice A(t) sono matrici m x n con elementi le derivate o gli integrali degli elementi aij(t)


19SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariSi consideri il sistema lineare non stazionario non omogeneo

Teorema: La soluzione della (2), per u(t) continua a tratti assegnata in [t0, t1] e x0, t0 dati, è



20SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariDimostrazione: Data una generica matrice X(t), derivando l’uguaglianza X-1(t) X(t) = I si ottiene:

per cui si ha

Essendo ed utilizzando la (2) si ha:

da cui integrando

dove c è un vettore costante che dipende dalle condizioni iniziali. Utilizzando le proprietà di componibilità e invertibilità della Φ si conclude la dimostrazione.


21SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariLe precedenti relazioni servono per l’analisi dei sistemi MIMO lineari non stazionari:

Si ottiene infatti

B(t) C(t)

D(t)

u f x y+

+

x(0)


22SistemiSistemi linearilineari non non stazionaristazionariGli integrali nelle (3) e (4) sono integrali di convoluzione. Si definiscono le funzioni

dette rispettivamente:

matrice di risposta all’impulso ingresso-statomatrice di risposta all’impulso ingresso-uscita.

Se il sistema non è puramente dinamico, cioè D(t) ≠ 0, l’impulso agisce direttamente sull’uscita; in caso contrario lo stato x(t) èespresso da una funzione continua e l’uscita y(t) è continua a tratti

δ(t): impulsodi Dirac in t = 0


23ImpulsoImpulso di Diracdi DiracImpulso di Dirac

Si dimostra che per il seguente sistema vale

Ricordando che , si nota che un ingresso impulsivo equivale ad uno stato iniziale (sistemi a tempo continuo)

t0 + τt0

1/τ

t

Δ(τ,t0,t)

Questa funzione, al limite per t →∞, tende ad un segnale di area unitaria e valore infinito, indicato con δ(t-t0)


24ImpulsoImpulso di Diracdi DiracSi ha dunque:

Nel casi di sistemi a tempo discreto, l’impulso δ(k-h) è il segnale uguale a 1 per k = h, zero altrimenti.

Nel caso dei sistemi a tempo discreto non è vero che un ingresso impulsivo equivale ad uno stato iniziale (ha un effetto ritardato di 1).


25SistemaSistema linearelineare stazionariostazionario omogeneoomogeneo

La matrice di transizione coincide con l’esponenziale di matrice, cioè

definita con lo sviluppo in serie di potenze

e che converge in norma per ogni t. Infatti, posto m = || A ||, per cui è || Ai || · mi, si ha


26SistemaSistema linearelineare stazionariostazionario omogeneoomogeneoNota bene: data una matrice m x n:


27PerchPerchèè esponenzialeesponenziale di di matricematrice??Consideriamo la coppia di equazioni differenziali

Nel caso di equazioni scalari del tipo , la soluzione è data da una funzione u(t) = u0 ea t, e ovviamente il suo comportamento per t che tendeall’infinito dipende dal segno e valore di a (o della sua parte reale).

Cerchiamo soluzioni esponenziali anche per il caso matriciale, cioè

Se così è, sostituendo nella eq.ne differenziale si ha


28AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriSi è così visto che da eq.ni differenziali si arriva a formulare un problema algebrico del tipo

Per la soluzione del problema occorre quindi cheil vettore x sia nello spazio nullo di (λ I - A)λ sia scelto in modo che (λ I - A) abbia uno spazio nullo!

Lo scalare λ deve quindi essere tale da verificaredet(λ I - A) = 0 autovalore

(λ I - A) x = 0 autovettore


29AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriLa soluzione al problema di partenza è quindi data da funzioni del tipo

dove c1 e c2 sono opportuni costanti da definire sulla base delle condizioniiniziali

In questo caso si ha

Si può verificare che


30AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriData una matrice A, n x n, reale o complessa, si consideri l’equazione:

Questa equazione ammette soluzioni x ≠ 0 se e solo se (λ I - A) è singolare, cioè se e solo se

Il primo membro è un polinomio q(λ) di grado n detto polinomio caratteristico di A. Esso ha coefficienti reali se A è reale.

La (2) è detta equazione caratteristica di A ed ammette n radici λ1, …, λn in generale complesse, dette autovalori o valori caratteristici di A.

Se A è reale, gli autovalori complessi sono coniugati a coppie.

L’insieme σ(A) di tutti gli autovalori di A è detto spettro di A

Teorema di Cayley-Hamilton: ogni matrice soddisfa la sua equazione caratteristica, cioè q(A) = 0

(1)

(2)


31AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriEsempio: Data la matrice A


32AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriAd ogni autovalore λi corrisponde almeno un vettore xi, reale o complesso, che soddisfa la (1), detto autovettore o vettore caratteristico di A.

Se xi è un autovettore, anche α xi lo è. Si possono dunque utilizzare autovettori normalizzati (a norma unitaria, ponendo α = 1/||xi||) .

Se A è reale, gli autovettori corrispondenti ad autovalori complessi coniugati sono complessi coniugati.

Sia A una matrice n x n reale o complessa. Se gli autovalori di A sono distinti, i corrispondenti autovettori sono linearmente indipendenti.


33AutovaloriAutovalori ed ed autovettoriautovettoriEsempio

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3



[V, D] = eig(A)



[V, D] = eig(A)

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Essendo v = [0, 1]T un autovettore, questa “direzione”non è modificata dalla moltiplicazione per A.


36MatriciMatrici similisimiliDue matrici A e B si dicono simili se esiste una matrice non singolare T tale che

Matrici simili hanno gli stessi autovalori. Infatti da B = T-1 A T con T non singolare segue

E quindi det(λ I - A) = 0 sse det(λ I – B) = 0

La proprietà di similitudine consente di risolvere più semplicemente un sistema lineare stazionario omogeneo

Infatti, posto x = T z, z = T-1 x, si può scrivere:


37

Una importante trasformazione di similitudine è quella che trasforma una generica matrice quadrata A alla forma di Jordan, particolarmente adatta per lo studio di sistemi dinamici.Nel caso in cui, data una matrice A generica, si possa trovare una matrice B similetale che il corrispondente esponenziale eB t sia facilmente calcolabile, allora si può ottenere

Se A fosse simmetrica, non ci sarebbero problemi in quanto ammetterebbe nautovettori linearmente indipendenti, e dalla relazione

ponendo T = [t1, …, tn] si avrebbe A T = T Λ con Λ matrice diagonale degli autovalori, quindi

MatriciMatrici similisimili

l’esponenziale di una matrice realesimmetrica ha tutti gli elementiconsistenti in una combinazione linearedelle esponenziali dei suoi autovalori, che sono tutti reali

Autovettori


38Matrici simili Matrici simili -- esempioesempioData la matrice:

Si ha:

E quindi

In questo modo è semplice calcolare la soluzione z(t) a partire da z0, e quindi risalire alla soluzione x(t) del problema iniziale


39Forma di Jordan Forma di Jordan complessacomplessaCaso generale. Una generica matrice reale A n x n ha gli autovalori, in generale, complessi: λ1, …, λm, m · n. La forma di Jordan (complessa) è:

dove Ji,j, blocco di Jordan relativo all’autovalore λi, è dato da

Matrice diagonalea blocchi


40Forma di Jordan Forma di Jordan realerealeLa forma di Jordan complessa si può ricondurre a reale, traendo vantaggio dal fatto che valori complessi nei blocchi e in T sono associati ai complessi coniugati.Siano:

λ1, λ2, … λh gli autovalori reali di A μ1, μ2, …, μh i loro ordini di molteplicità

σ1 ± j ω1 , σ2 ± j ω2 , …, σk ± j ωk , gli autovalori complessiν1, ν2, … νk i loro ordini di molteplicità

per cui è n = μ1+μ2 + … + μh + 2 (ν1 + ν2 + … + νk)Forma di Jordan reale:

R1, … Rn sono blocchi corrispondentiad autovalori reali ,

C1, …Ck sono blocchi reali di “nuovotipo”, corrispondenti ciascuno a unacoppia di blocchi complessi coniugatidella forma di Jordan complessa.


41Forma di Jordan Forma di Jordan realerealeI blocchi corrispondenti ad autovalori reali sono del tipo:

N.B.:


42Forma di Jordan Forma di Jordan realerealeI blocchi corrispondenti ad autovalori complessi coniugati sono del tipo:


43Forma di Jordan Forma di Jordan realerealeScrivibile anche come


44Forma di Jordan Forma di Jordan realerealeIn definitiva, in eA t si ritroveranno termini del tipo:


45SoluzioneSoluzione delldell’’equazioneequazione differenzialedifferenziale

In conclusione, per il calcolo dell’evoluzione dello stato x(t):

Sistemi non lineari: in generale tecniche numeriche

Sistemi lineari non stazionari: Φ(t,t0) (succ. Peano Baker)

Sistemi lineari stazionari: eA t (forma di Jordan)

x(0)

t x(t)

traiettoria

Spazio degli stati

Insieme delle velocitàammissibili


46EsempioEsempio 11Determinare la soluzione x(t) del sistema dinamico descritto da

Calcolo degli autovaloriGli autovalori λ1 e λ2 della matrice A si calcolano uguagliando a zero il determinantedella matrice (λ I – A), cioè:

In questo caso si ha:

e quindi

cosa del resto ovvia visto che la matrice A è triangolare bassa e quindi i suoi autovalorisono gli elementi sulla diagonale.


47EsempioEsempio 11Calcolo degli autovettoriDetto t il generico autovettore associato all'autovalore λ, deve essere

e quindi:per λ = -1

per λ = -2


48EsempioEsempio 11Si ha dunque

Verifica:

Dalla relazione x = T z otteniamo z = T-1 x e quindi lo stato iniziale è


49EsempioEsempio 11La soluzione del nuovo sistema (in z) è quindi data da

ed in definitiva:

Verifica in Matlab/Simulink

z

To Workspace3

y1

To Workspace2

y

To WorkspaceStep

x' = Ax+Buy = Cx+Du

State-Space1

x' = Ax+Buy = Cx+Du

State-Space

K*u

MatrixGain

t

To Workspace1Clock


50EsempioEsempio 11

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Andamento di x

Tempo (sec) 0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Andamento di z

Tempo (sec)

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Andamento di T z

Tempo (sec)

Andamenti di [x1; x2]

Andamenti di [z1; z2]

Andamenti di T*[z1; z2]


51EsempioEsempio 22Determinare la soluzione x(t) del sistema dinamico descritto da

Calcolo degli autovaloriGli autovalori λ1, λ2 e λ3 della matrice A si calcolano uguagliando a zero il determinantedella matrice (λ I – A), cioè:

In questo caso si ha:

e quindi


52EsempioEsempio 22Calcolo degli autovettoriDetto t il generico autovettore associato all'autovalore λ, deve essere (λΙ −Α) t = 0 e quindi:

per λ = -1

per λ = -2

per λ = -3


53EsempioEsempio 22Si ha dunque

Verifica:

Dalla relazione x = T z otteniamo z = T-1 x e quindi lo stato iniziale è


54EsempioEsempio 22La soluzione del nuovo sistema (in z) è quindi data da

ed in definitiva:

Verifica in Matlab/Simulink

z

To Workspace3

y1

To Workspace2

y

To WorkspaceStep

x' = Ax+Buy = Cx+Du

State-Space1

x' = Ax+Buy = Cx+Du

State-Space

K*u

MatrixGain

t

To Workspace1Clock


55EsempioEsempio 22

Andamenti di [x1; x2 ; x3]

Andamenti di [z1; z2 ; z3]

Andamenti di T*[z1; z2 ; z3]

0 2 4 6 8 10-3-2.5

-2-1.5

-1-0.5

00.5

11.5

2Andamento di z

Tempo (sec)0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Andamento di x

Tempo (sec)

0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Andamento di T z

Tempo (sec)


56SistemiSistemi a tempo a tempo discretodiscretoSi consideri il sistema a tempo discreto lineare non stazionario omogeneo

Analogamente al caso tempo continuo, si definisce la matrice di transizione dello stato Φ(k,h) come la matrice che ha come colonne le n soluzioni corrispondenti alle condizioni iniziali x(h) = ei, essendo ei la i-esima colonna della matrice identità. La matrice di transizione soddisfa la

Contrariamente al caso a tempo continuo, la matrice di transizione dei sistemi a tempo discreto può essere singolare.


57SistemiSistemi a tempo a tempo discretodiscretoNel caso stazionario, in cui la (1) diviene

la matrice di transizione dello stato coincide con la potenza dimatrice, cioè si ha

Infatti


58SistemiSistemi a tempo a tempo discretodiscretoIn relazione al sistema lineare stazionario non omogeneo

si ricava la relazione

facilmente dimostrabile per verifica diretta e, per il sistema complessivo


59SistemiSistemi a tempo a tempo discretodiscretoLa matrice di risposta all’impulso ingresso-stato e la matrice di risposta all’impulso ingresso-uscita sono


60StabilitStabilitààDefinizione: Il sistema omogeneo

è asintoticamente stabile se è

Teorema: il sistema (1) è asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A sono tutti con parte reale negativa

Dim. Basata sul fatto che λ = ρ, oppure λ = σ + j ω e quindi

NB: pure i termini tn eλ t tendono a 0 per t -> ∞


61StabilitStabilitààDefinizione: Il sistema omogeneo

è asintoticamente stabile se è

Teorema: il sistema (2) è asintoticamente stabile se e solo se gli autovalori di A hanno tutti modulo minore di 1

Dim. Basata sul fatto che λ = ρ, oppure λ = ρ ej ϕ e quindi


62AppendiceAppendice

Spazi vettoriali e matrici:

DefinizioniAlcune proprietà geometriche


63AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometriche{e1, e2, e3}: base principale (colonne della matrice I)V: sottospazio (insieme di vettori)v1, v2: base del sottospazio VV = [v1. v2]: matrice di base del sottospazio V

Data A n x n, V si dice invariante in A se èA V ⊆ V

La somma e l’intersezione di due invarianti è un invariante

Cambiamenti di baseAl posto della base e1, e2, e3 si assume una nuova base h1, h2, h3 con T = [h1, h2, h3] non singolare.Si indica con x il vettore delle componenti di un punto p nella base principale, con z le componenti nella nuova. Si ha

x = T z, z = T-1 xNella nuova base, ad A n x n corrisponde

A1 = T-1 A T

e1

e3

e2

v1 v2

V

e1

e3

e2

h1

h3h2

p


64AlcuneAlcune proprietproprietàà geometrichegeometriche

Data una matrice A, m x n, si definiscono i sottospazi


65PseudoinversaPseudoinversa di di unauna matricematriceSia dato un sistema lineare espresso dalla relazione

A x = bCNS perché esso ammetta almeno una soluzione è che

b ∈ im A (1)

Se questa è soddisfatta, detta x0 una soluzione particolare, l’insieme delle possibili soluzioni è

x = x0 + ker Ae in forma parametrica

x = x0 + K αin cui K è una matrice di base di ker A e α ∈ Rq arbitrario, con q = dim(ker A)


66PseudoinversaPseudoinversa di di unauna matricematrice

Se la (1) non è soddisfatta, si può ricercare il valore di x tale da minimizzare l’errore (norma euclidea) che si commette

|| A x1 – b||2 minima

Se A è quadrata e non singolare, allora im A = Rn, ker A = {0} per cui la soluzione esiste ed è unica, definita da

x = A-1 b

A

A-1

Rn

Rn

im A


67PseudoinversaPseudoinversa di di unauna matricematriceSe A non è quadrata o è singolare, allora la sua inversa non esiste e si deve utilizzare la pseudoinversa A+

Data la matrice A m x n, vi sono in generale due casi: m < n; m > n1) m < n rank A = min(m,n) = m → im (A) = Rm

∀ b ∃ x t.c. b = A x (ne esiste piu` di uno!)

x = A+ b ∃ ker(A) t.c. ∀ x ∈ ker(A) -> y = A x = 0→ x = A+ b + xn -> b = A(A+ b + xn) = b, ∀ xn ∈ ker(A)→ x = A+ b + (I – A+ A) α espressione generale della soluzione

x = A+ b ha norma minima

R n

R m

im A

A

A+

0

ker A


68PseudoinversaPseudoinversa di di unauna matricematriceSe A non è quadrata o è singolare, allora la sua inversa non esiste e si deve utilizzare la pseudoinversa A+

Data la matrice A m x n, vi sono in generale due casi: m < n; m > n2) m > n rank A = min(m,n) = n ∀ x ∃ ! b t.c. b = A x ∀ b ∈ im (A) ∃ ! x t.c. b = A x (x = A+ b) se b ∉ im (A) → @ x t.c. b = A x se pero` b0 ∉ im (A) → ∃ x0 = A+ b0 → b = A x0 = A A+ b0 ≠ b0 (A A+ ≠ I)|| b – b0 || e’ minima

R n

R m

A

A+

im A


69PseudoinversaPseudoinversa di di unauna matricematrice

x0

xb

R n

R mim Aim AT

ker A

ker AT

x0


70Norme di vettori e matriciNorme di vettori e matriciNorma: generalizzazione della nozione di distanza (lunghezza).

Norma di vettore: La norma ||·|| di un vettore x ∈ Rn è una funzioneRn → R tale che:

Norme comuni in Rn :

Norma euclidea


71Norme di vettori e matriciNorme di vettori e matriciEsempio: Dato x = [1, -2, 2]T → ||x||1 = 5, ||x||2 = 3, ||x||∞ = 2.

Lemma: Siano ||x||a e ||x||b due norme di x ∈ Rn. Esistono infinitiscalari positivi k1, k2 tali che

Le norme ||·||a e ||·||b sono dette equivalenti. Vero ∀ coppia di normein Rn.

Esempio:

Dato x = [1, -2, 2]T, allora:


72Norme di vettori e matriciNorme di vettori e matriciUn vettore x può essere moltiplicato per la matrice A: y = A x. Per mettere in relazione la `dimensione' di y e di x, si definisce la norma di matrice come segue.

Norme di matrici (indotte). Sia ||x|| una norma di x ∈ Rn.

Una matrice A ∈ Rn x n ha la norma indotta da ||·|| definita come:

Segue che:


73Norme di vettori e matriciNorme di vettori e matriciAlcune norme di matrici:

Se


74AutovaloriAutovalori, , AutovettoriAutovettori, , AutospaziAutospaziSia A una matrice quadrata n x n a valori in R.

DefinizioneSi chiama polinomio caratteristico di A il polinomio di grado n

DefinizioneSi chiama equazione caratteristica di A l’equazione

DefinizioneLe n soluzioni dell’equazione caratteristica sono detti autovalori di A


75AutovaloriAutovalori, , AutovettoriAutovettori, , AutospaziAutospaziDefinizioneSi definisce molteplicità algebrica dell’autovalore la sua molteplicitàcome radice di .Un autovalore con molteplicità algebrica 1 è detto semplice .

Si chiama polinomio caratteristico di A il polinomio di grado n

DefinizioneSi chiama equazione caratteristica di A l’equazione

DefinizioneLe n soluzioni dell’equazione caratteristica sono detti autovalori di A

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FINEFINE

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