Esplorazione del primo teorema di Euclide con il software Cabri

Dato un triangolo rettangolo, determinare la relazione esistentetra ipotenusa, cateto e proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Per costruire un triangolo rettangolo utilizziamo la proprietà che ognitriangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

Costruzione:

∆ Su una semiretta di origine A fissare un punto B

∆ Determinato M, punto medio di AB, costruire la circonferenza di centro Mpassante per A

∆ Costruire la semicirconferenza ( comando Arco di circonferenza) per A, B eun punto della circonferenza

∆ Fissato C sulla semicirconferenza costruire il triangolo ABC

O

A B

Equazione

della parabola

OX = AC

OY = AH

C = K ( ortocentro)

H

X

Y P

x² - 8 y = 0

O = circocentro

$1$AB=

F

G

ED

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo perché l'angolo che insiste sullasemicirconferenza ACB e' la metà dell'angolo piatto al centro AOB.

∆ Costruire la perpendicolare per C ad AB e l’intersezione H tra taleperpendicolare ed AB

∆ Costruire l’altezza relativa all’ipotenusa CH e la proiezione AH

∆ Nascondere gli oggetti del disegno lasciando solo il triangolo, la suaaltezza e la semicirconferenza

O1

A B

Equazione della

parabola

OX = AC

OY = AH

C = K (

HX

Y

P

O = $1$

AB=

F

G

ED

Si vuole ora studiare la relazione tra il cateto AC, la proiezione AH e l’ipotenusaAB

∆ Disegnare un piano cartesiano di centro O con il comando Mostra gli assi

∆ Costruire con il comando Compasso la circonferenza di centro O e raggio ACe chiamare X la sua intersezione con l’asse delle ascisse

∆ Costruire con Compasso la circonferenza di centro O e raggio AH echiamare Y la sua intersezione con l’asse delle ordinate

∆ Tracciare le perpendicolari per X e Y ai rispettivi assi e costruire il punto Pindividuato dalla loro intersezione

∆ Costruire il luogo geometrico descritto da P al variare di C sullasemicirconferenza prima con il comando Traccia successivamente con Luogo

Si tratta di una parabola, infatti avvicinando il puntatore alla conica compare lascritta “Questa parabola”.

∆ Individuare cinque punti di tale luogo e con il comando Conica disegnare laconica passante per i 5 punti

Si tratta di una parabola passante per l’origine la cui equazione è del tipo chenel caso in questione si può scrivere .

∆ Con il comando Coordinate ed equazioni si determina l’equazione dellaconica

∆ Con il comando Puntatore cliccare sul punto C spostandolo lungo lasemicirconferenza

Muovendo il punto C sulla semicirconferenza l’equazione della parabola risultainvariata. Questo significa che il rapporto tra e rimane costante, cioè nondipende dal variare della lunghezza dei due lati. Notiamo infatti che variano iraggi delle due circonferenze, ma non varia l’apertura della concavità dellaparabola.

Esploriamo ora se vi è qualche relazione tra l’equazione della parabola e ildiametro della semicirconferenza. Per facilitare l’esplorazione facciamo variare ildiametro AB in base a numeri stabiliti dall’utente.L’equazione della parabolacambia e l’apertura della concavitàaumenta o diminuisce trascinandoil punto B lungo la semiretta.Osserviamo che il valore dellalunghezza di AB non è altro cheil coefficiente della y.Dunque il parametro kdella parabola assume il significato geometrico della lunghezza del segmentoAB, cioè k = AB.Poiché X = AC e Y = AH si ha che X2 = kY si trasforma in AC2 = AB · AHSi può dunque affermare:

Primo teorema di EuclideIn un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

Lunghezza di AB Equazione della parabola

1 cm X2 – Y = 0

2 cm X2 – 2Y = 0

3 cm X2 – 3Y = 0

4 cm X2 – 4Y = 0

5 cm X2 – 5Y = 0

O1

1

A B

Equazione

della parabola

OX = AC

OY = AH

C = K ( ortocentro)

H

X

Y P

x² - 8 y = 0

O = circocentro

$1$AB=

F

G

ED

O1

1

A B

Equazione

della parabola

OX = AC

OY = AH

C = K ( ortocentro)

H

X

Y P

x² - 8 y = 0

O = circocentro

$1$AB=

F

G

ED

O

A B

Equazione

della parabola

OX = AC

OY = AH

C = K ( ortocentro)

H

X

Y P

x² - 8 y = 0

O = circocentro

$1$AB=

F

G

ED

Questo è il grafico che si costruisce utilizzando il software Cabri.

Per poter visualizzare il grafico esegui il Download della presentazionee del software Cabri Géomètre II Plus. Successivamente clicca su questaicona per aprire il collegamento. Sposta il punto “C” sullasemicirconferenza e osserva come varia il grafico.

Questo lavoro è stato realizzato da Surdi Paolo,

alunno della classe 3’ sez. “C” del Liceo Scientifico “V. Fardella”