IL 5º POSTULATO DI EUCLIDE

I postulati di EuclideNella stesura degli Elementi, l’opera di formidabile

sistematizzazione della matematica ellenistica, svolta in termini rigorosamente ipotetico-deduttivi, Euclide enuncia cinque postulati. I primi quattro sono:

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.

2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.

3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.

4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

EnunciatoData una retta r ed un punto P esterno ad essa,

esiste una sola retta s parallela ad r e contenente P.

ConseguenzeIl quinto postulato ha importanti

conseguenze; in particolare il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, il teorema di Pitagora, il valore di p.

Teorema della somma degli angoli interni di un triangolo

EnunciatoLa somma degli angoli

interni di un triangolo qualsiasi è

pari ad un angolo piatto.

Teorema di PitagoraEnunciato

In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente (equiestesa) al quadrato costruito sull'ipotenusa. (Con riferimento al disegno a destra Q = Q1 + Q2)

OsservazioniIn base agli altri postulati della geometria di Euclide si può

dimostrare che esiste almeno una retta parallela ad r e contenente P. Basta infatti condurre per P una qualsiasi retta t trasversale, che formerà un angolo a con r, e quindi costruire un angolo a' uguale ad a in P. La retta s, secondo lato di a' è allora parallela a r per il teorema degli angoli alterni interni.

Resta però il dubbio che ripetendo questo procedimento con un'altra trasversale si ottenga la stessa retta parallela s. Sembrerebbe "ovvio" che la parallela sia sempre la stessa ma Euclide non riuscì a dimostrare questa unicità e si vide costretto a introdurla per mezzo di un postulato (il cui enunciato era in verità piuttosto diverso da quello usato oggi).

Bibliografia

Da “Matematica in Ipertesto”

Jolene