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8/16/2019 Boletin 5º MARZO.pdf

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“Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Marzo 2013

Lideres en Educación 5to Grado de Secundaria2

1. Utilizando cuatro cifras 4 podemos formar:

UNO =

DOS =

Continúa y forma todos los números naturales hasta el20, recuerda que puedes utilizar las seis operacionesfundamentales.

2. Es fácil expresar el número 24 por medio de tresochos: 8 + 8 + 8. ¿Podrá hacerse esto mismo utilizandono el ocho, sino otras tres cifras iguales?El problema tiene más de una solución.

3. El número 30 es fácil de expresar con tres cincos:5 × 5 + 5. Es más difícil hacer esto mismo con otrastres cifras iguales. Pruébelo.

4. Exprese el número diez empleando cinco nueves.Indique, como mínimo, cuatro procedimientos de losmúltiples que hay para realizarlo.

5. Exprese el número 100 de cuatro modos distintos,empleando cinco cifras iguales.

6. ¿Cuál es el número mayor que puede usted escribir concuatro unos?

7. Escribe un conjunto de cinco números tales que supromedio sea 24. Dar como mínimo cinco conjuntos.

8. Mencione tres números de diferente cantidad decifras, cuyo promedio sea 36.

9. Se puede:

a. Obtener una unidad mediante tres cincos.b. Obtener un dos mediante tres cincos.c. Obtener cuatro mediante tres cincos.

10. Ordene los dígitos del 0 al 9 en dos fracciones cuyasuma sea 1.

11. Si se toma en orden los dígitos del 1 al 9, hayexactamente 11 formas en que es posible intercalar lossignos más y menos para obtener una suma cuyoresultado sea 100, una de ellas es: 123 - 45 - 67 + 89 =100. Calcula por lo menos, tres formas más.

12. Da tres ejemplos de números irracionalescomprendidos entre y .

13. El número 3785942160, que contiene los dígitos, divisible por varios enteros de una cifra. Halla todosus divisores de una cifra.

14. Los números perfectos son aquellos en los cuales suma de sus divisores, excepto él, es el mismo númeEjemplo: 28 es un número perfecto, pues sus divisore

son: 1; 2; 4; 7; 14 y la suma de ellos es:1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Calcula otro número perfecto

15. Utilizando una y solamente una vez las cifras: 1; 2;4; 5; 6; 7; 8 y 9 resulta posible formar de diversosmodos una variedad de números primos.Ejemplo: 2; 5; 7; 43; 61; 89. Hallar otros númeroprimos.

16. Escribe:

a. Tres treces de forma que adquieran su máximovalor sin emplear ningún signo.b. Tres cuatro de forma que adquieran su máximvalor sin emplear ningún signo.

17. Dados los números 3 600; 14 500 y 2 000 extraer lraíz cuadrada de cada uno de ellos, empleando en cacaso un método diferente.

18. ¿Cuál es el número de tres cifras, que cumple condición de que el producto de sus cifras es igual a suma?

19. Se tiene una balanza de dos platillos y tres pesas de1; 3 y 9 kilos. ¿Cuántos pesos diferentes se podránpesar?

20. Usando ocho ochos deben obtenerse numeralesque, una vez sumados, den por resultado el número 1 00Dar dos formas diferentes.

2 3

ARITM TICANIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO

RAZONAMIENTO - L GICO

44

44

44

44

4444

4

4

4

4


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Proposición lógicaAntes de dar el concepto de lo que es una proposición,trataremos de establecer cuáles de las siguientesexpresiones son verdaderas o falsas:

a. 9 es divisible por 4.b. Miguel Grau tuvo úlcera estomacal.c. 6 es un número entero y par.d. ¿Qué tiempo hace hoy?e. ¡Socorro!f. x + 3 > 5

Después de analizar cada una de ellas concluimosque (a) es falsa y (c) es verdadera; respecto de (b) esprobable que dudemos en responder, pero lo cierto esque es o verdadera o falsa y no ambas ya que en larealidad debe haber ocurrido que Miguel Grau tuvo ono úlcera estomacal, pero sólo una de las posibilidadeses correcta.

Por otra parte notamos que no tiene sentidoafirmar que (d) y (e) son verdaderas o falsas yfinalmente para establecer la verdad o falsedad de (f)necesitamos conocer el valor de “x” y no lo tenemos.

A los enunciados que como (a), (b) y (c) sonunívocamente verdaderos o falsos se les denominaproposiciones; por esta razón (d) y (e) no sonproposiciones (En general las preguntas y lasexclamaciones no son proposiciones). Debemos anotartambién que la expresión (f), si bien no es proposición,depende del valor de “x” para serlo; a este tipo deexpresiones se les denomina funciones proposicionaleso enunciados abiertos.

De lo anterior se desprende que:

Una proposición es toda expresión libre deambigüedad y que tiene la propiedad de que esverdadera o falsa, pero sólo una de ellas.

Si una proposición es verdadera se le asignará elvalor de verdad simbolizado por “V” y si es falsa se leasignará el valor de verdad simbolizado por “F”.

Notación: Representaremos las proposiciones porletras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto,

como: “p”; “q”; “r”; “s”, etc, que llamaremos variablesproposicionales.

Conectivos u operadores lógicos A partir de dos proposiciones dadas podemos formauna tercera, si las unimos mediante expresiones com“y”; “o”; “si.......... entonces”; “........... si y solo si ...........”,etc. A estas expresiones de enlace los llamaremoconectivos u operadores lógicos.Por ejemplo:

p: 20 es un número par.q: 20 es divisible por 5.“p” y “q”: 20 es un número par y es divisible por 5.

A. La negación (~)

Representa la inversión del valor de verdad de unproposición.Por ejemplo:

p: 13 es un número primo.Su negación es:

~p: No es cierto que 13 es un número primo.

Observamos en el ejemplo que “p” es verdadero y“~p” es falso; esto es porque “p” y “~p” tienenvalores de verdad opuestos. En general:

B. Conjunción ()

Dos proposiciones se enlazan por medio de lpalabra “y” para formar una nueva proposición. Por ejemplo:

p: Roxana comió pescado.q: Roxana se indigestó.

La proposición quedaría:

“p” y “q”: Roxana comió pescado y se indigestó El valor de verdad de una conjunción será dado polos valores de verdad de las proposiciones que lcomponen y de acuerdo a la siguiente tabla:

p p

V F

F V

~

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 02 QUINTO GRADO

LOGICA MATEM TICA

No "p"No es cierto que "pNo es el caso que "

Se lee:


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C. Disyunción inclusiva ()

Dos proposiciones se enlazan por medio de lapalabra “o” para formar una nueva proposición.

Por ejemplo:

p: 4 es menor que 7.q: 4 es igual a 7.

La proposición quedaría:

“p” o “q”: 4 es menor que 7 o igual a 7.

El valor de verdad de una disyunción inclusiva serádado por los valores de verdad de las proposicionesque la componen y de acuerdo a la siguiente tabla:

Se lee: “p” o “q”

Nota: También existe la llamada disyunciónexclusiva que se denota por "p q"; se lee “o p o q” y es verdadera cuando solo una de las componenteses verdadera.

D. La condicional ()

Si "p" y "q" representan proposiciones cualesquiera,la condicional de “p” y “q” se denota por “p q” yse lee “si p, entonces q”. En “p q”, la proposiciónrepresentada por “p” se denomina antecedente y larepresentada por “q”, consecuente. Se dicetambién que el antecedente implica al consecuente.

Tratemos de precisar el significado de lacondicional en un ejemplo:

“Si fumo un cigarro, entonces me au menta lapresión arterial”.

El ejemplo afirma que en el caso que fume uncigarro debe ocurrir necesariamente que meaumente la presión arterial; esto es que si el

Antecedente es verdadero, el consecuente también debserlo.

Notemos también que sólo será falsa cuando ocurrque me fume un cigarro y no me suba la presión arteriesto es cuando el antecedente sea verdadero y elconsecuente falso.

Por otra parte no se afirma que individualmente eantecedente o el consecuente sean verdaderos o falsos.

A partir de lo anterior consideraremos queunacondicional sólo es falsa si tiene antecedente verdaderoy consecuente falso y convendremos en que el valor deverdad de “p q” viene dado en la siguiente tabla:

E. La bicondicional ()

Se denota por “p q” y se lee“p si y solo si q”.“p q” afirma que “p q” y a la vez“q p” estoes quedeben darse las dos condicionales .Es decir los valores de verdad de“p q” dependen

de los valores de“p q” y “q p”, entonces:

En resumen:

Tabla de verdad

A menudo es necesario representar proposicionecompuestas que pueden a su vez tener comocomponentes otras proposiciones compuestas; en estcaso es necesario el uso de los signos de colecció(paréntesis, corchetes, etc.).

p q p q

V V V V F FF V FF F F

p q p q

V V V V F VF V VF F F

p q p q

V V V V F FF V VF F V

p q p q q p (p q) (q p)

V V V V V V F F V FF V V F FF F V V V

p q p q

V V V V F FF V FF F V

"p" y "q""p" no obstante "q""p" además "q""p" sin embargo "q""p" cada vez que "q""p" pero "q"

Se lee:

Si "p" entonces "q

"p" implica "q""q" porque "p""p" dado que "q"

Se lee:

"p" si y solo si ""p" es condiciónnecesaria y su-ficiente para "q".

Se lee:


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A esta representación mediante variablesproposicionales, conectivos lógicos y signos decolección la llamaremos fórmula proposicional. Así porejemplo:

p [ (~p q) ~q ]

Si en la fórmula anterior, se sabe que “p” es V y “q” esF, el valor de verdad lo obtenemos de la siguienteforma:

En otros casos es necesario determinar los valores deverdad de una fórmula para todas las combinaciones delos valores de verdad de las componentes, a esteproceso se le denomina evaluar una fórmula en unatabla de verdad, por ejemplo:

Los números indican el orden en que se handesarrollado los conectivos, primero se hadesarrollado las negaciones 1 , luego se desarrolló elparéntesis 2 , para después desarrollar el corchete 3, siendo el resultado final de la evaluación la columnadebajo del número 4.

De acuerdo al resultado obtenido, una fórmulaproposicional recibe un nombre especial, así tenemos

que:a. Si la fórmula resulta verdadera para cualquier

combinación de los valores de verdad de lascomponentes, la fórmula se denominatautología.

b. Si por el contrario resulta, siempre falsa recibe elnombre decontradicción.

c. Si no es tautología ni contradicción, la fórmularecibe el nombre decontingencia.

Observaciones:

1. Consideramos dos tipos de proposiciones:simples son aquellas que no contienen conectivos lógicoscompuestas que son las que contienen conectivoslógicos.

2. El número de posibles combinaciones de los valode verdad de “n” proposiciones c omponentes es 2n.Por ejemplo:Si: n = 2 hay: 22 = 4 combinaciones

Si: n = 3 hay: 23 = 8 combinaciones

3. Llamamos fórmulas proposicionales equivalentesaquellas que al ser unidas porel conectivo “ ” resultauna tautología. La equivalencia se denota por “ ”.

1. De acuerdo con la definición, ¿cuántas de lasiguientes expresiones son proposiciones?

* La división entre cero no existe.* 4973 es un número primo.* Micaela Bastidas murió a los 14 años.* El principito no podía comprender a los adultos.* ¿Miguel Grau nació en Piura?* ¡Vive la experiencia!* Mi mejor experiencia, fue a los 17 años.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son simples

* 24 es número compuesto.* El número 20 es par y el 15 es impar.* Los números 40 y 27 son pares.* Juan y Pedro son primos.* Juan y Pedro son peruanos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

p [ ( p q) q ] ~ ~ V F

F V V

V V

V

F

p q p [ ( p q) q ] ~ ~

V V F F V V V F V V V

V F V F V V F V F

F V F V F V V F V

F F F V F F F V F

V V

F F

F V

1 2 3 14

p V V F F

q V F V F

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

PRACTICANDO EN CLASE.


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3. Determinar el valor de verdad de cada una de lassiguientes proposiciones:

I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8.II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III. Madrid está en España o Londres está en Francia.

a) VFV b) VVV c) VFFd) FVF e) FFF

4. Un esquema conjuntivo representa a la proposición:

a) Tanto Pizarro como Paolo son jugadores.b) La fiesta empezó al igual que el concurso.c) Marco y Rubén toman chicha con ron.d) Carlitos asiste a clases, sin embargo no escucha

clases.e) Todas.

5. ¿Qué proposición es: “Es el caso que eres postulante site preparas en la academia”?

a) Conjuntiva b) disyuntivac) bicondicional d) condicionale) negativa

6. Simbolizar:

“No es el caso que Carlos sea médico o abogado; en

conclusión, Carlos no es abogado”. a) ~p q qb) ~q ~(p q)c) ~(p q) ~qd) ~(p q) ~qe) ~(p q) ~q

7. “El fiscal de la nación ejercerá sus funciones salvo queno jure”.

La proposición anterior es:

a) Conjuntiva b) bicondicionalc) disyuntiva d) condicionale) negativa

8. Una proposición disyuntiva inclusiva, será:

a) Héctor es soltero o casado.b) Si hay dinero; iremos de vacaciones.c) La leche está fría o caliente.d) Rommel es líder y orador.e) Eres tú o soy yo, ¿quién se casará con Diana?

9. En la siguiente tabla:

Los valores de verdad que deben reemplazar a locírculos en el orden indicado son:

a) VVVV b) VFFV c) VVFFd) FFFF e) FVFV

10. Indicar el valor de verdad de:I. p (p q)II. (p q) (p q)III. ~[(p q) p]

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FVF e) FVV11. Si la proposición: (p~q) ~r s) es falsa, deducir

el valor de verdad de: (~p ~q) ~pa) Vb) Fc) V o Fd) no se puede determinare) ninguna

12. Si: (p ~q) r; es falsa, determinar los valores deverdad de “p”, “q” y “r”.

a) VVF b) VFF c) VVVd) VFV e) FFF

13. ¿Cuántas de las siguientes expresiones sonproposiciones?- ¡Dios mío.......... se murió!- El calor es la energía en tránsito.- Baila, a menos que estés triste.- Siempre que estudio, me siento feliz.- El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífer

marino.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

02. Dadas las siguientes expresiones:- El átomo no se ve, pero existe.- Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutria- Toma una decisión rápida.- Hay 900 números naturales que se representan con

tres cifras.- La Matemática es ciencia fáctica.- Es imposible que el año no tenga 12 meses.

¿Cuántas no son proposiciones simples?a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

p q V V 1 V F 2F V 3F F 4

[(p q) p] q


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1. Dadas las proposiciones:

p: Marco es comercianteq: Marco es un próspero industrialr: Marco es ingeniero

Simbolizar el enunciado:“Si no es el caso que, Marcos sea un comerciante y unpróspero industrial, entonces es ingeniero o no escomerciante”.

a) ~(p q) (r p)b) (~p q) (r q)c) ~(p q) (r p) d) ~(p q) (r ~p)

e) (~p ~q) (~r p)

2. Los valores de verdad de las proposiciones “p”, “q”, “r” y “s” son respectivamente V, F, F y V.Obtener los valores de verdad de:

I. [(p q) r] s II. r (s p) III. (p r) (r ~s)

a) VFF b) FVV c) VVVd) VVF e) FFF

3. Hallar la tabla de verdad de:

a) VVFF b) VFFV c) VFVFd) VVVV e) FFFF

4. Si: (~p) r; es verdadero; los valores de verdad de:

I. (p s) (r s)II. (p r) sSon:a) VV b) VF c) FVd) FF e) faltan datos

5. Sabiendo que:* (p q) ~r; es falsa* (s p) r; es verdadera¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones soncorrectas?

I. ~(p s) VII. (s r) FIII. q s V

a) I y II b) I y III c) II y IIId) todas e) sólo una de ellas

6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones sonequivalentes?

A: (~p q) (~r ~p)B: p (r q)C: ~q ~p

a) A y B b) A y C c) B y Cd) A, B y C e) no son equivalentes

7. Si las siguientes proposiciones:p ~q y q p son falsas.

Determinar el valor de verdad de:I. (q p) ~(q ~p)II. (q ~p) (q p)

a) VV b) VF c) FFd) FV e) N.A.

8. De la falsedad de la proposición:(p ~q) (~r s) se deduce que el valor de verdadde los esquemas:

I. (~p ~q) (~q)II. (~r q) [(~q r) s]III. (p q) [(p q) ~q]

Son respectivamente:a) VFV b) FFF c) VVVd) VVF e) FFV

9. Indicar el valor de verdad de:

I. (~p ~q) (p q)Es una contradicción.

II. [(p q) (q r)] (p r)Es una tautología.

III. [p (p q)] (q r)Es una contingencia.

a) VVV b) VVF c) VFFd) VFV e) FVV

10. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones compuestas tautológicas?

I. (p ~q) (~p q)II. (q ~p) (p ~q)III. (~q p) (q ~p)

a) Sólo I b) sólo II c) sólo IIId) I y II e) I y III

p q

V V V FF VF F

(p q) (p q)

TAREA DOMICILIARIA Nº 01.


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1. Si la proposición compuesta: (p q (r t) es falsa.Indicar las proposiciones que son verdaderas:

a) p; r b) p; q c) r; td) q; t e) p; r; t

2. Si la proposición: p (r s) es falsa, ¿cuántas de lassiguientes proposiciones son verdaderas?

I. (~s t) ~p II. r pIII. t ~r IV. (r p) (s t)

a) Ninguna b) una c) dosd) tres e) cuatro

3. De las proposiciones, ¿cuál es una contradicción?

I. ~[ ~(p q) q ] (p q)II. ~[ ~p q ] (p q)

a) I b) II c) I y IId) ninguna e) F.D.

4. De la falsedad de: (p~q) (~r ~s) se deduce quelos valores veritativos de:I. ~(~q ~s) ~p

II. ~(~r s) (~p ~q)III. p ~[q ~(s r)] son:

a) FFV b) FFF c) FVFd) FVV e) VFF

5. Si la proposición : es falsa. Hallar elvalor de verdad de p; q y r en ese orden.a) VVF b) FFF c) FFVd) FVF e) VFV

6. Determinar el valor de verdad de cada una de lasiguientes proposiciones:I. Si: 3 + 1 = 7, entonces: 4 + 4 = 8

II. No es verdad que: 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.III. Madrid está en España o Londres está en Franciaa) VFV b) VVV c) VFFd) FVF e) FFF

r ~q) p ~(

TALLER Nº 01.


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1. Función proposicionalEs aquel enunciado que contiene una variable y quetiene la propiedad de convertirse en verdadero o falsopara cierto valor de la variable. Las funcionesproposicionales se pueden representar por: p(x), q(x),r(x), etc., donde "x" sería la variable.Ejemplos:

p(x) : x - 2 > 18q(x) : x2 + 4 = 16r(x)

: “x” es un número primo

Si en la primera función proposicional p(x) a "x" ledamos diferentes valores tendremos:

Para: x = 10 p(10): 10 - 2 > 188 > 18 (falso)

Para: x = 23 p(23): 23 - 2 > 1821 > 18 (verdadero)

Como puede verse, dependiendo del valor de la variablepodemos obtener resultados diferentes.

2. Cuantificadores universal y existencial

2.1. Cuantificador Universal Si a una función proposicional, le anteponemos laexpresión "para todo x", estaremos indicando elsentido universal de dicha función proposicional,obteniéndose ahora una proposición lógica.Notación:

Se lee: "para todo x, tal que, se verifique p(x)".Ejemplo:Si tenemos una función proposicional:P(x): x + 5 > 2 [no es proposición lógica] y ahora le agregamos el cuantificador universal

" ".x: P(x)

x: x + 5 > 2 [proposición lógica]Tendremos una proposición lógica, cuyo valor esfalso, por que no todos los valores de "x" cumpliránla proposición, por ejemplo: para x = -4, no secumple. Entonces es falso que para todo "x", secumpla:x + 5 > 2

2.2. Cuantificador Existencial Si a una función proposicional, le anteponemos expresión "existe un x tal que", estaremosindicando el sentido existencial (que exista) dedicha función:Notación:

Se lee: "existe un x, tal que, se verifique p(x)"."existe por lo menos un x, tal que, se

verifique p(x)"."al menos un x, verifica p(x)".

Ejemplo:p(x): x - 3 > 10 [función proposicional]x: p(x) x: x - 3 > 10 [proposición lógica]

Para verificar que es una proposición lógicapodemos darnos cuenta que si x = 15, se cumple desigualdad, ya hemos encontrado por lo menos u"x", que verifique p(x), por lo tanto es unaproposición lógica, cuyo valor es verdadero.

3. Negación de proposiciones que tienen cuantificadores

Sea la proposición:x: p(x)

Su negación será:

De la misma forma, si tenemos la proposición:x: p(x)su negación será:

Ejemplos:i. x: x = 7

~[ x: x = 7] = x: x 7ii. x: "x" es un número par.

~[ x: x es un número par] =x: "x" no es unnúmero par.

iii. x: x2 >1~[ x: x2 > 1] =x: x2 1

x: p ó x/p ó ( x) [p ](x) (x) (x)

x: p ó x/p ó ( x)(p )(x) (x) (x)

~[ x: p ] = x: p (x) (x)~

~[ x: p ] = x: p (x) ~ (x)


L GICA CUANTIFICACIONAL.


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4. Circuitos lógicos

El valor de verdad de una proposición puede asociarsecon interruptores que controlan el paso de lacorriente. Así si una proposición es verdadera, elinterruptor estará cerrado y la corriente pasará. Si laproposición es falsa, el interruptor estará abierto y lacorriente no pasará.

Los interruptores pueden estar en serie o paralelo: Equivalencia Lógica

4.1. Serie p q

4.2. Paralelo p q

4.3. Mixto (p q) (~r)

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones son funcionesproposicionales?

I. p (x): x2 + x > 4

II. q (x): "x" es un número imparIII. r (x): 3x + 7

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y III e) I y II

2. Dada la función proposicional: p (x): x3 - 2x > 0Hallar los valores de verdad para: x = -1; x = 2; x = 1

a) VVV b) VVF c) VFVd) FVV e) FVF

3. Dado el conjunto: A = {3;4;5;6}Hallar el valor de verdad de cada proposición.

I. x A: x + 3 > 4II. x A/x - 5 > 1III. x A/x2 - 15 > 0

a) VVF b) FFF c) FVFd) VFV e) VFF

4. Dado el conjunto: B = {-1; 0; 1; 2}Hallar el valor de verdad de cada proposición.I. x B/x2 < 0II. x B: x2 + 1 0III. x B / (x + 1) (x - 1) > 2

a) FVV b) FVF c) FFVd) VVF e) VFV

5. Dadas las proposiciones: p, q y rp: x IR/x2 > 0

q: x IR: x 2 + x < 1r: x IR:

Hallar el valor de verdad de:(p ~q) (q ~r)

a) V b) F c) V o Fd) F.D. e) N.A.

6. La negación de la expresión:"Para todo número real "x" existe un número real "ytal que: x.y0"

a) x IR; y IR: x.y < 0b) x IR; y IR: x.y = 0c) x IR; y IR: x.y < 0d) x IR, y IR: x.y < 0e) N.A.

7. Hallar la expresión equivalente al circuito mostrado:

a) (p q) r b) (p q) ~rc) (p q) ~r d) (p q) re) (p q) ~r

8. Hallar la expresión equivalente del circuito mostrado

a) p (r s)b) (p q) (r ~s)c) (p q) (r ~s)d) (p q) (r ~s)e) (p q) (r s)

9. "El fiscal de la nación ejercerá sus funciones salvo qno jure"La proposición anterior es :a) Conjuntiva b) Bicondicional

c) Disyuntiva e) Condicionale) Negativa

p = V p = F

p

q

~r

p

q

~sr

p q

p

q

p

~r

q



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1. Dado el conjunto:A = {1; 2; 3; 4; 5}

Decir el valor de verdad de:

I. x A/x2 - 9 = 0II. x A/x + 3 > 7III. x A/x + 5 < 4

a) VVV b) VFV c) VVFd) VFF e) FFF

2. Si: U = {1; 2; 3; 4; 5}¿Cuál es el valor de verdad de las siguientesproposiciones?

I. x U: x 3 x < 4II. x U: x + 2 < 8 x > 6III. x U: x + 2 = 5 x - 1 = 2

a) VVV b) FFV c) VFFd) FVV e) FFF

3. Dado el conjunto:M = {3; 4; 5; 6}

¿Cuántas de las siguientes proposiciones sonverdaderas?

I. x M/(2x - 5) 1

II. x M; y M/x3

+ y3

> 16III. x M; y M/x + y > 6IV. x M/2x < 11

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son funcionesproposicionales?

I. "x" es un número par.II. (x2 - 3x + 2) - (5x + 2)III. todos los gatos son negros.

a) I y II b) Todas c) Sólo Id) Sólo III e) II y III

5. Simplificar el siguiente circuito:

a) b) c)

d) e)

6. Simplificar la proposición que corresponde al circui

a) b) c)d) e)

7. La proposición equivalente más simple del siguiecircuito:

Es:a) p b) q c) rd) p e)

8. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S20. Cuánto se ahorraría si hacemos una instalaciómínima; pero equivalente a:

a) 80 b) 100 c) 140d) 160 e) 180

9. Hallar el equivalente del circuito:

a) ~ p b) ~ q c) ~ p Ù qd) p Ú ~q e) p

10. Hallar el equivalente del circuito:

a) p b) ~ p c) qd) p Ù q e) p Ú q

11. Hallar la expresión equivalente que representa circuito:

a) p b) ~ p c) qd) ~ q e) (p Ù q)

A Bq p

q

p

p

q

q p q p ~

q p

q p ~

q ~ p ~

q

p

p

q

pq

q p q p ~ q p

q p ~

q ~

p ~

pq

q p

p

p q

r

r t NM

q

q ~

r r

p p

q p

~ p

~ q

~ p~ r

~p

~q~p

~p

qp

~(p q)

r~(p q) ~q



12/189



LGEBRA.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO.


13/189



irracional

si

cuando

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

según

Estructura

fraccionaria

Número de soluciones

será

Cuando presenta variablesen su denominador.

x+1x+2

x-1x-3+

= 1

Compatible Incompatible oabsurda

cuando

Admite por lomenos una solución

No existe ningunasoluciónC.S. =

y es

Determinada Indeterminada

si

Existe un númerofinito de soluciones

El número de solu-ciones es ilimitado

así

Ejemplo:4(x-3)+2x+5=6+2(3x-6)

al reducir se obtiene:5 = 6

la ecuación es absurda

Cuando la incógnita se en-cuentra dentro de un radical.

Ejemplo:x+1 + x - 4 = 7

su el

Ejemplo:

si

si

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

Forma general

Análisis de sus raíces

si

Teoremas

de

a 0 b R x = -

solución única(compatible determinada)

ba

Transposición

* a+b = c a = c - b

* ab = c a = * = c a = bc

ax + b = 0

si

a = 0 b = 0 0 x = 0"x" admite cualquier solución(compatible indeterminada)

a = 0 b 0 0x = -bno existe ningún valor "x"que multiplicado por cero

da como resultado -b(Incompatible o absurda)

Cancelación

si

* a+c = b+c a = b, si:c R * ac = bc a = b, si: c 0

* =

a = b, si: c 0ab

ac

bc

cb


14/189



1. Resolver:

(x + 2) (x + 3) - x(x + 2) = 3(x + 2) - 6

a) 1 b) 0 c) -1d) indeterminado e) incompatible

2. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

3. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 7

4. Resolver:

a) 90 b) 95 c) 92d) 99 e) 98

5. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

6. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

7. Resolver:

a) 6 b) -6 c) 6 y -6d) indeterminado e) incompatible

8. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 deuna, más 1/3 de la otra sumen 10. Hallar o indicar lamayor de las partes.

a) 12 b) 18 c) 22d) 24 e) 28

9. ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 8, y la mitad m5, dan 122?

a) 60 b) 80 c) 100d) 140 e) 200

10. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, la cual quedan todavía 15 metros. Búsquese la longitde la pieza.

a) 40 m b) 60 c) 80d) 120 e) 160

11. Repartir 100 soles entre tres personas, de manera qula primera reciba 5 soles más que la segunda, y quésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuántorecibe la tercera persona?

a) S/.20 b) 22 c) 24d) 25 e) 50

12. Repartir 90 dólares entre tres personas, de maneraque la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe lsegunda?

a) $ 35 b) 30 c) 20d) 10 e) 60

13. Resolver:

a) 4 b) 5 c) 6d) 10 e) 12

14. Resolver:

a) 90 000 b) 80 000 c) 950 000d) 9 500 e) 45 000

15. Resolver:(x - 1) (x - 2) + (x - 1) (x - 3) = 2(x - 2)(x - 3)

a) 1 b) 6/7 c) 7/3d) 3/7 e) 11/3

3

12x54

5

9x3x

14x33

7x2

2

7x5

98xx

99...

12

99

6

99

2

992

22

14x

4

8x

3

2x5

03

22

4

3x5

3

5x2

6x4

x76x

45x

98

471

5x

67

31

x65

0004509

x4

3

xx6x2

3

x5



15/189



1. Resolver: 5x + 50 = 4x + 56

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

2. Resolver: 16x - 11 = 7x + 70

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 9

3. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

4. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

5. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

6. Resolver:

a) 1 b) 60 c) 62d) 63 e) 68

7. Resolver:

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 16

8. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

9. Resolver:

a) 1 b) 12 c) 18d) 36 e) 40

10. Resolver:

a) 12 b) 18 c) 36d) 41 e) 42

11. La ecuación:

(a + b)x + b - 2 = 7x - 1

es indeterminado, hallar "ab".

a) 1 b) 3 c) 5

d) 6 e) 912. Dar el valor de "a", si la raíz de la ecuación:

Es: x = -2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

13. Resolver:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3d) 1/2 e) 1/7

14. Resolver:

a) 60 b) 61 c) -60d) -61 e) 62

15. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

16. Resolver:

a) a - b b) a + b c) a 2 - ab + b 2 d) a 2 + b 2 e) a 2 - b 2

113

x

2

xx

4015

x95x3

3x2

35

x16x3

31x

5x5

156x5

4x3

2x

26

x55

4

x3

7

6x32ax

22xx

17x5

x

4

x

3

x

2

x

2

11x2

2

x219x2

1xb

1ab

xa

1ba



16/189


17/189



EXPONENTES Y RADICALES

definimos

tenemos

b.b.b ... b = b n ; n IN

exponente natural

"n" veces

Exponente nulo

a = ;-n

Exponente negativo

n > 0a° = 1 ; a 0

Exponente fraccionario

a =mn am

n

Multiplicación debases iguales

a . a = a m+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

bn ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

ana ; a 0m-n

Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

babn

Consecuencia

= aam n pa qa

r s(np+q)r+s

mpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

a = a m m

n np p

Además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

an1

.

a


EXPONENTES I.


18/189



1. Efectuar:

a) a3b5 b) a5b3 c)d) a-3b-5 e) 1

2. Reducir:

a) 1/4 b) 1/2 c) 1d) 2 e) 4

3. Calcular el valor de:

a) 1 b) 3 c) 4,5d) 5 e) 6,5

4. Reducir:

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

5. Calcular:

a) 27 b) 28 c) 29d) 31 e) 33

6. Si: mm = 3El equivalente de:Es:a) 3m+1 b) 311 c) 27d) 3 e) 9

7. Efectuar:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Calcular:

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

9. Calcular el valor de:

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

10. Efectuar:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 1 024

11. Efectuar:

a) 36 b) 66 c) 48d) 65 e) 72

12. Reducir:

a) 54 b) 63 c) 45d) 9 e) 7

13. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Reducir:

a) 1 b) a c) bd) a/b e) b/a

2 4 3 2 3 3 4 2

4 2 3 5 2 6 2 2(a ) . (b ) . (a ) . (b )

(a ) . (b ) . (a ) . (a )

2m2x

m2x3x

16.84.2

M

12 4 21 1

3 2

0x;8.4.2P2x

x1x

x4x

x

14

1

4

1S

1

3

11

5

1

1mmmS

1n2n

3n4n

22

22B

1)2,0(25,0P 125,012,0

0,52 2 31 1 12

2 3 3

5

1

m 2mm 3m 8.432L

1mm

m3m

3.8

4.6F

3a

1aa1a

3

333M

13125243008,0P

nmmn

nm1

b.ab.a

.)ba

(Q

5 3

1

a b

1mmmS



19/189


20/189



La importancia de las notacionesLa utilización y escogencia de símbolos para denotar conceptos o procesos matemáticos ha resultado

importancia. Antes del siglo XVI el único hombre que introdujo conscientemente el simbolismo para el álgebr(alrededor del 250 d.C.). Otros cambios de notación fueron esencialmente abreviaciones de palabras. Alrededorpor ejemplo, se usaba “m” para menos y “p” para más. + y- se supone fueron introducidos por los alemanes en ese mismo sEl = fue introducido por el inglés Robert Recorde (1510 - 1550). Viéte usó ~ para la igualdad, y Descartes usmisma. Descartes usó Ö : para la raíz cuadrada.

Para que se tenga una idea de la importancia de la notación, mencionemos que el matemático italiano Jerónimsu libro Ars Magna (1545).

escribía:“x2 = 4x + 32” como “quadratu aeqtur 4 rebus p: 32”

Fue el francés Viéte quien realizó cambios decisivos en el uso de símbolos en el álgebra. Fue el primsistemáticamente letras para las variables o potencias de la variable, y también las usaba como coeficientes.Otro ejemplo para que se perciba que todas las dimensiones de las matemáti

son históricas, elaboradas por personas de carne y hueso en algún momento: la notación x2 para x • x(tan natural) seestandarizó hasta que la introdujo Gauss en el siglo XIX.

EXPONENTES Y RADICALES

definimos

tenemos

b.b.b.b. .......b = b n ; n IN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = ;-nExponente negativo

n > 0a° = 1 ; a 0

Exponente fraccionario

a =mn a m

n

Multiplicación debases iguales

a . a = a m+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

b n ; b 0ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

a na ; a 0m-n

Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n an b

abn

Consecuencia

= aam n pa qa

r s(np+q)r+s

mpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

a = a m m

n np p

Además:

= |a|a 2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0a nn

a n1

a

.


EXPONENTES II.


21/189



1. Reducir:

a) abc b) a2b2c2 c) anbncn d) an + bn e) anbncn- n

2. Reducir:

a) 5 b) 25 c) 625

d) 1024 e) 1253. Simplificar; x0

a) x6 b) x8 c) x12 d) x21 e) x25

4. Simplificar:

a) 5 b) 6 c) 45/2d) 3 e) 15

5. Simplificar: x > 0

a) 0 b) 1 c) 2d) x e) 4

6. Reducir:

a) 5 b) 7 c) 9d) 12 e) 18

7. Indicar el exponente final de "x", si: x > 0, en:

a) 7n b) c)

d) e)

8. Encontrar la suma de los exponentes de "x" e "y", x > 0, y > 0 en:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/5d) 1/7 e) 1/3

9. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 2m e) 8

10. Reducir:

a) 1/2 b) 3 c) 1/3d) 4 e) 2

Bloque III

1. Simplificar:

a) √ 2 b) √ 3 c) 9d) 27 e) 80

2. Si:

Calcular:

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

nnnn

nnnnnn

cbacbcabaS

45 5 5 5 5 51 5 25

5 51 5 25 )5.5(M

n n n n 4n4

n n n n 16n3n2nn

)x(

x........x.x.xK

..........6666

.........909090S

3 3 3 444

8 8 8 777

........xxx

..........x.x.xE

.......1212121352E

radicalesn""

7 7 7 7 3333 x........x.x.xS

8 8 33 ...................yxyxS

13m22

26m

16.2.)2(4.2.16

E

n2

n

n2n2n

2n2nn

12

24

8168

S

n7

n1n

41n

3.3

81E

...........303030x

3 3 3 ........xxxE

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

n

1n

7

17

n1n

7.2

7

nn

7.2

17

n

n

7.2

17


22/189



1. Expresar como una potencia de 2.

a) 216 b) 217 c) 2117 d) 28 e) 1024

2. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 16

3. Simplificar:

a) 1/3 b) 3 c) -3d) -1/3 e) 1/6

4. Reducir:

a) 3 b) 9 c) 10d) 8 e) 6

5. Simplificar:

a) 2 b) 4 c) 16d) 512 e) 256

6. Simplificar:

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 8

7. Simplificar:

a) / / b) / / c) / / d) xy e) / /

8. Calcular:

a) 5 b) 7 c) 5 +√ 3 d) 5 +√ 3 e) 5 +√ 9

9. Reducir:

a) ab b) a/b c) b/ad) a + b e) a - b

10. Reducir:

a) 1/11 b) 11 c) 10d) 7 e) -11

11. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Calcular:

a) 2 b) 3/2 c) 4/3d) 5/4 e) 0

13. Simplificar:

a) 1 b) n c) nn

d) e)

322333222222 )2()2).(2.(])2[(E

124

64

1K

13)27()27(M

12416

81

1S

82 2 2 222 )2(K

4 52 73P 8 . 8 . 8

3 3x y x y

5 5 55 5 5... 9 9 9 ...

20062006

2006 2006

a bS ; ab 0

a b

2006

yx)yx(

yx

111111

E

3n 3n4423n

13n

24

20E

5 5 5 ........818181

64

64

64

P

5)nn(nn1nn n

n5nn )n(P

n

n

nn

n

TAREA DOMICILIARIA Nº 03


23/189



1. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

2. Reducir:

a) 1/2 b) 2 c) 4d) 8 e) 216

3. Simplifique:

a) a b) 1 c) a + 1d) a2 e) aa

4. Proporcionar el exponente final de "x"

a) 1/2 b) 2 c) 16d) 4 e) -8

5. Simplificar:

a) x b) x2 c) xx

d) x-1

e) x20

6. Reducir:

a) 2 b) 3 c) 6d) -6 e) -2

25 16 5

4 5 27 25

)2(

)42(

P

1 3 93 33 3 )22(L

a

2a1 aa 2a1

2a1 1aa2

a.a

)aa(J

xxxx

3

5

7

S =

-4

4-4

-0,5

40 30 50 300 600985838 xxxx

radicales................222

radicales................666S

TALLER Nº 03


24/189



Definición: Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo orig

Notación: * Ángulo∡AOB: AOB,* Medida del ángulo AOB: m∡AOB = a°.

Región Interior de un ángulo Región Exterior de un ángulo

Clasificación de los Ángulos por su Medida:

Bisectriz de un ángulo:

Ángulos Adyacentes:

ºO

A

B

Elementos1. Vértice : O

2. Lado s : OA y OB

º

0º < < 90º

* Ángulo Agudo

º

= 90 º

* Ángulo Recto

º

* Ángulo Obtuso

9 0º < < 1 80 º

º

O

A

B

º bisectriz

ºº

N

M L

bisectriz

ºº

a º bº

cºd º

GEOMET A.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO

NGULOS


25/189


26/189


27/189



04. Calcule: "x".

a) 15° b) 12° c) 18°d) 10° e) 16°

05. Calcule:( ).

a) 15° b) 30° c) 18°d) 18° e) 24°

06. Del gráfico, calcule el mayor valor entero de "xº", si eltriángulo ABC es acutángulo.

a) 50° b) 44° c) 56°d) 57° e) 58°

07. Si : y la medida del ángulo ABC es agudo,calcule el menor valor entero impar de "xº".

a) 46° b) 47° c) 45°d) 43° e) 44°

08. En el gráfico : y se tienen "n" ángulos demedidas "". Calcule:°.

a) b) c)

d) ( +) e) 09. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº"

a) 50° b) 35° c) 41°d) 40° e) 52°

10. El doble del complemento de un ángulo sumado cosuplemento de otro ángulo es igual al suplemento dprimer ángulo. Calcule la suma de las medidas dichos ángulos.

a) 100° b) 45° c) 90°d) 180° e) F.D.

11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y Ctal que: m∡AOD = 148° y m∡BOC = 36°.Calcule la medida del ángulo formado por labisectrices de los ángulos AOB y COD.

a) 108° b) 36° c) 92°d) 56° e) 74°

12. Se tiene los ángulos consecutivos POQ, QOR y ROde tal manera que:m∡POR = 32°+ K y m∡QOS = 88° - K.Calcule la m∡QOR, si el ángulo POS es recto.

a) 22 + K b) 30° c) 68° - Kd) 40° e) 16+

13. Se tiene los ángulos consecutivos POQ, QOR y ROde modo que el rayo⃗ es bisectriz del ángulo POS.Calcule la m∡QOR. Si:m∡

QOS-m∡

POQ = 140°.

a) 70° b) 100° c) 35°d) 150° e) 110°

5x

4x

3 º

120º 2 º

3 º

L 1

L 2

x

3 2º

A

B

C

L // L1 2

L 1

L 2

x

E

DC

BA

L // L1 2

L 1

L 2

xº- 2yº 3yº+ xº


28/189


29/189



1. En el gráfico, AB = BCCalcule “x”

a) 45ºb) 120ºc) 60ºd) 70ºe) 37º

2. Determine “x”, Si: 21 LL son mediatrices deBC yAB .

a) 30ºb) 15ºc) 20ºd) 36ºe) 45º

3. Calcular “x”

a) 90ºb) 100ºc) 120ºd) 130ºe) N.A.

4. Según el gráfico, calcular el valor “x”

a) 110ºb) 120º

c) 130ºd) 150ºe) 95º

xº

º º ºº

xº

xº

º

º 2 º

A C

º

º

2 º

L1 B

L2 xº

75º

PA Q C

150º

2

xº

º2 º

TALLER Nº 01.


30/189


31/189


32/189



1. En el gráfico : PA = 2 y BR - RC = 3.Calcule PQ.

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 7

2. En un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto Dexterior al triángulo, tal que el segmento̅ intersecta al lado ̅ .Si m∡ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el menorperímetro entero de la región del triángulo.

a) 52 b) 24 c) 22d) 46 e) 48

3. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores deltriángulo ABC están dadas en grados sexagesimales.Calcule el valor entero más pequeño (en gradossexagesimales) que puede tomar "bº".

a) 45° b) 46° c) 40°d) 35° e) 36°

4. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero.Calcule : "xº".

a) 10° b) 45° c) 36°d) 72° e) 30°

5. En el gráfico, calcule "x".

a) 60° b) 45° c) 36°d) 72° e) 30°

6. Del gráfico : AB = BC y MN = AC.Calcule : "xº".

a) 15° b) 30° c) 5°d) 20° e) 40°

7. Calcule "xº", si ; AM = NC.

a) 40° b) 60° c) 80°d) 90° e) 70°

8. Calcule "xº". (AP=PQ)

a) 10º b) 20º c) 25ºd) 30º e) 35º

9. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, mide A8; BC = 15, se traza la altura̅ y las bisectrices̅ y

̅

de los ángulos ABH y HBC, respectivamentCalcule : PQ.a) 2 u b) 4 u c) 5 ud) 6 u e) 3 u

A

B

R

C

P

Q

2

3

B

A C

2bº-aº

aº-bºa º+ bº

xº

70 º

B

AC

ºº

xº

º3 3 º

xº

x

x

B

N

M

A C

B

M

CA N

60º

20ºxº

80º

x10º

30º

10º

A

P

B

Q

C

PROBLEMAS PARA LA CLASE


33/189



1. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado porla bisectriz interior del ángulo A, y la bisectrizexterior del ángulo C es siete veces la medida delángulo B. Calcule la medida del ángulo B.

a) 12° b) 18° c) 24°d) 36° e) No existe

2. En el gráfico, NM = NC y̅ es bisectriz del ánguloACN. Calcule la m∡BAC.

a) 65° b) 45° c) 55°d) 75° e) 60°

3. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 13.Calcular el perímetro de su región.

a) 23 b) 31 c) 18d) 26 y 31 e) 28

4. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es elde menor medida?

a) ̅ b) ̅ c) ̅ d) ̅ e) ̅

5. Según el gráfico, calcule "xº".

a) 135° b) 95° c) 150°d) 100° e) 110°

6. En el gráfico, los triángulos ABC y DEF soequiláteros, AM = MB. Calcule "xº".

a) 55° b) 40° c) 30°d) 60° e) 50°

7. En un triángulo acutángulo las longitudes de dos de lados suman 30. Calcule el mayor valor entero qupuede tomar la altura relativa al tercer lado.

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

8. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT, si : AAT, BC = AC.Calcule el máximo valor entero de la medida del ángCBT.

a) 36° b) 35° c) 30°d) 45° e) 44°

9. En un triángulo ABC, sobre ̅ y ̅ se ubican lospuntos "P" y "Q" respectivamente, donde : m∢PAQ =m∢PQA = 16º, m∢AQC = 97º, m∢QAC = 30º.Calcule la m∢PCA.

a) 18º b) 20º c) 30ºd) 25º e) 23º

10. En un triángulo ABC, se traza la Ceviana̅ , si : BC =AT y m∢BAC = 60º - 2xº;m∢CBT = xº, m∢BCA = 2xº.Calcule la m∢CBT.

a) 5º b) 8º c) 10ºd) 12º e) 15º

11. En un triángulo ABC se traza la Ceviana̅ , si : AB =PC; m∢BAC = 10, m∢BCA = 2 y m∢CBP = . Calcule "".

a) 5º b) 8º c) 9ºd) 10º e) 12º

B

A C

40º

N

M

60 º 61 º59 º

6 3 º

B

C

D

EFA60 º

60 º

61 º 61 º

50º

x

45º

40 º

x

AM E

B

D

C

F



34/189



01. En el gráfico, AB=BC, AF=FE=EB.Calcule la m∡BCA.

a) 30º b) 40º c) 45ºd) 60º e) 50º

02. En el gráfico, calcule: xº.

a) 30º b) 40º c) 45ºd) 60º e) 70º

03. En el gráfico, mº+nº=100º.Calcule:

a) 80º b) 100º c) 140ºd) 150º e) 170º


a) 20º b) 30º c) 40ºd) 50º e) 60º

05. Si: aº+bº+cº+dº=165º.Calcule: mº+nº.

a) 130º b) 165º c) 180ºd) 200º e) 220º

06. En el gráfico, mº+nº=120º.Calcule: xº+yº.

07. En el gráfico BCDE es un cuadrado: AB=BC. Calcm∡EAD.

a) 15º b) 20º c) 30º

d) 37º/2 e) 53º08. En el gráfico, calcule: pº+qº.

a) 100º b) 120º c) 150ºd) 140º e) 200º

B

A CE

F 60 º

xº

120º

m

m

º º

mº

nºº

º

20º

xº

a º

nºm º

bº d º

cº

xº

aº

yº

bº

mº

bºaº nº

DE

AB

C

100º

120ºm

mn

n

pºqº


REPASO.


35/189




a) 20º b) 24º c) 26ºd) 28º e) 30º


a) 30º b) 35º c) 40ºd) 45º e) 50º

03. En el gráfico, calcule: aº+bº+cº+dº.

a) 210º b) 50º c) 400ºd) 200º e) 360º

04. En el gráfico, m∡CQE=148º.Calcule la m∡AEQ.

a) 26º b) 27º c) 28ºd) 29º e) 30º


a) 30º b) 40º c) 45ºd) 47º e) 50º

06. En el gráfico, calcule:

.a) 100º b) 120º c) 130ºd) 126º e) 145º


a) 50º b) 40º c) 60ºd) 70º e) 80º

08. En el gráfico, AC=BC, calcule: xº.

a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 70º

09. En el gráfico, BC=12u. Calcule: CD.

a) 9u b) 10u c) 11ud) 12u e) 13u

10. En el gráfico, el triángulo BCD es equilátero. Calculm∠ACD.

a) 40º b) 45º c) 50ºd) 35º e) 38º

xº

120º

b

b

2xº

2 xº

3 5 º

140º

cº

dº

aº

bº

A

C

B

E

Q

xº

35 º

25 º

30 º

40 º

º º

º

º

5x

2x 3x

xº

130º

xº

100º

A

B

C

B

A C

D

A

B

C

D45 º



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37/189



* Ángulo Trigonométrico:Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamadodesde una posición inicial hasta otra posición final; debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un sDe esta forma, debemos considerar dos tipos de rotación:

Consideraciones:

1. El ángulo de una vuelta:

2. Para sumar o restar ángulos trigonométricos, se debe procurar tenerlos en un solo sentido; de preantihorario. Para ello, se recomienda el cambio de sentido así:

3. La rotación que genera un ángulo trigonométrico puede hacerse de manera indefinida en cualquiera de losmencionados.

* Sistemas de Medición Angular:1. Sistema Sexagesimal (Inglés):Es aquel que tiene como unidad a un grado sexagesimal (1º), que viene a ser la

parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

También, tenemos sus sub - unidades:

2. Sistema Centesimal (Francés):Es aquel que tiene como unidad a un grado centesimal , que viene a ser la parte del ángulo de una vuelta. Esto es:

Posición inicial

P o s i c i ó n f i n a l

OA

B

Vértice

Giro horario(o sentido horario)

Posición inicial

P o s i c

i ó n f i n

a l

O

Vértice

Giro antihorario(o sentido an tihorario)

A

C

(-) (+ )

AO

O A

B

O A

B

-

º360Vuelta1360Vuelta1º1

"3600º1"60'1'60º1

)1( g

gg 400Vuelta1400Vuelta11

TRIGONOMETR A.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO

SISTEMA DE MEDICI N ANGULAR I


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También, tenemos sus sub - unidades:

3. Sistema Radial o Circular (Internacional):Es aquel que tiene como unidad a un radián (1rad); que viene a medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el circunferencia.Esto es:

Obsv. : Los ángulos trigonométricos generados en sentido antihorario tienen asociada una medida positivque los ángulos trigonométricos generados en sentido horario tienen asociada una medida negativa.

Consideraciones:1.

2.

3.

4.

Conversión entre sistemas:Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo se expresa en otras udiferentes a la primera. Por ejemplo, convertir:

1) 30º al sistema radial 3) 36º al sistema centesimal

2) al sistema radial 4) al sistema sexagesimal

* Fórmula general de conversión:Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), gcentesimales (C) y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico, tenemo

Además:# de minutos sexagesimales = 60 S # de segundos sexagesimales = 3600 S# de minutos centesimales = 100 C # de segundos centesimales = 10000 C

sgsmmg 10000110 0110 01

R

R

L

B

A

O

R

Si : L = R = 1rad

Además :

1 Vuelta = 2 rad

g1 1º rad 1

rad 200180ºrad 240060º3 gg

smgg 25081"5027'109º20080º1

z"y'xº "z'yºx smgsmg zyx zyx

º30 º36

g40 g90

40 g 90 g

Rad

C

ºSg

10C

9S

dondeDe

R 20 0C

18 0S

:

Rrad


39/189


40/189



1. Con los datos del gráfico, simplificar la expresión:

a) 1 b) 2 c) 5d) 7 e) 9

2. Calcular "n" en:

a) 19 b) 20 c) 21d) 29 e) 30

3. Siendo S y C lo conocido para un cierto ángulo; talesque:S = 1 + 3 + 5 + 7 +... + ("n" términos)C = 2 + 4 + 6 + 8 +... + ("m" términos)S y C∈ ℤ+, exprese (2n + m) º en radianes.a) rad b) rad c) radd) rad e) rad

4. Señale el menor valor entero de "n", si se cumple:

= 3' + 6' + 9' + 12' + 15' +...

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 10

5. Del gráfico, calcular:

a) b) c)

d) e)

6. Si la medida de un ángulo se expresa como̅ ° ytambién como( 1)0̅ , señale el mayor valor quetoma su medida circular.

a)πrad b) πrad c)πrad d)πrad e) πrad

7. Hallar el ángulo que forman las prolongaciones de direcciones AB y ED expresada en radianes en dond

, , .

a)π b) π c)π d) π e)π

8. Se crea un sistema de medición angular "MOSHEcuya unidad es 1*, verificando:

En un triángulo, las medidas de sus ángulos están enrelación de 2 , 5 y 8.¿Cuál es la medida del menor, en el sistema "MOSHE

a) 3,2* b) 6,4* c) 4,8*d) 5,6* e) 7,2*

9. Efectuar :

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

10. Calcular:

A. 1,24 B. 2,24 C. 2,16D. 2,26 E. 2,4

751

z3y4x5

11150E

x" ym zs

11340rad

)1n(n'1...

20'1

12'1

6'1

2'1

z2y9x10C

xº

yg z rad

º60 º75 º45

A

B

C

D

E

16*18º-160 g

140 g - 12º

340

2

'20

º1Q

m

g

''10

1

'1

40K

m3

s



41/189



1. Del gráfico, calcular "x".

A. 3 B. 5 C. 7D. 9 E. 8


A. 5 B. 6 C. 7D. 4 E. 3


A. 3 B. 5 C. 7D. 9 E. 11


A. 1 B. 3 C. 5D. 6 E. 10

5. Del gráfico, calcular:

6. Reducir:

A. 57 B. 58 C. 60D. 61 E. 62

A C

B

310

rad

(9x-1)g

A C

B

35

rad

(11x-3)°

150g

(6-18x)g

(10x+2)°

(2 - 7x)g

(8x+6)°

y30xK

5 yg

3x°

'5

'52

'4

'41

'3

'31K

TALLER Nº 01


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43/189



1. Determine el ángulo en radianes, si se cumple :

a) π rad b) π rad c) π rad d) π rad e) π rad

2. Sabiendo que la suma de los números de gradoscentesimales con el número de grados sexagesimalesde un ángulo es a su diferencia como 57 veces sunúmero de radianes es a 2.¿Cuánto mide el ángulo en radianes?

a)π rad b)

πrad c)

πrad

d)πrad e) πrad3. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de

grados centesimales excede a su número de gradossexagesimales en 2.

a)π rad b)π rad c)π rad d) π rad e) π rad

4. La diferencia de las inversas de las medidas de un arcoen grados sexagesimales y en grados centesimales esigual a su medida en radianes dividido por 2.Hallar la medida de dicho arco.

a) π rad b) 6º c)π rad d) 7 grados centesimales.e) 10 grados centesimales.

5. Si los números que representan la medida de un ánguloen los sistemas sexagesimales y centesimales son

números pares consecutivos, el valor del complementodel ángulo, expresado en radianes, es :

a) π b)π c) π d) π e) π

6. Hallar la medida de un ángulo en radianes, si susnúmeros convencionales (S, C y R).Verifican :

a) π b) π c) π

d)π e)

π

7. Siendo S, C, R, los números convencionales para mismo ángulo.Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.

a)π rad b)π rad c)π rad d) π

rad e) π

rad

8. Señale el menor valor de un ángulo en radianes, qverifica :


9. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nreducir:

10. Calcule la medida circular de un ángulo que cumple

Siendo "S", "C" y "R" lo conocido.

11. Señale la medida radial de un ángulo que cumple:

12. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un miángulo. Calcule la medida sexagesimal de dicho ángsi se cumple:

4

3

200

R C

19

CS

12960

SCR

216

100

120

C

108

S3

33

777888 R CS4R 20

10

C

9

S

abab5 baC2S3

22

2S CK C S

S C R 6

180 200

2 2 2S C 20R S C R

9 10

S C R 373 4

; ab > 0



44/189



01. Calcular : ""

02. Calcular :

a) 10 b) 100 c) 50d) 7 e) 25

04. Resolver :

Siendo S. C y R lo conocidoa) 0,001 b) 0,01 c) 0,1d) 1 e) 10

05. Siendo S, C y R lo convencional, donde :

Calcular "R".a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06. Calcular "R", si :

a)π b)

π c)

π

d) π e) 07. Del gráfico. Hallar : ""

a) 11 b) 10 c) 15d) 16 e) 20

08. Calcular :

a) 11 b) 10 c) 15d) 16 e) 20

09. Exprese "" en radianes :

Siendo S, C y R los conocidos.


10. Calcular : "R"; si :

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 1/4

11. Si :

Calcular : x + y + z.a) 60 b) 61 c) 62d) 63 e) 65

12. Calcular "R",si:

a)π b) π c) π

d) π e) π

a) - 20º b) 20 ºc) - 18ºd) 18ºe) 9º

º3rad 36

º65150Dg

R 20-S

R 20C

CS2

SCD

1247

5R -S

5

5R S

3R 25 S)-(CS)(C

2

(4-16 )g9º

m

mg

40

603

'25

'55º2D

g

m

mgº

S

)C2(CC'(5S)'ºS

4

R R

9,0

CCC

SSS

z"y'ºxc'

c'cº b'

b' bº a'

a'ºa"

'º

R 52SR 197C

R 15C340

S12

777


REPASO


45/189



1. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide :

; siendo esta medida la máximaposible. Señale la medida circular del mayor ángulo queforma las bisectrices interiores de los otros dosángulos del triángulo.a) π rad b) π rad c) π rad d) π rad e) π rad

2. Calcular :

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5

d) 5/3 e) 6/5

3. Calcular : "x"

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 30

4. Siendo S, C y R los conocidos :

. Calcular "R"a) π b) π c) π d)π e)π

5. Calcular :

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

6. Calcular : a/b. Si :

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

22

22

ba

bab28a

' b b

ºxxD

mg

(11x-2)º(x-90)g

O

rad 45

19)ºCS(

20'º1402D

mg

gm

mg

a

º b

b'

b'ºa

b

ba

TALLER Nº 02


46/189



Estas preguntas requieren de la habilidad de pensar clara y deductivamente desde un grupo de reglas orestricciones. Esta sección pretende evaluar el manejo dedetalles, las habilidades de deducción formal, lacomprensión de cómo las reglas/normas limitan y ordenanel comportamiento y la habilidad de manejar muchos datossimultáneamente para solucionar problemas. Cada grupode preguntas está basado en un conjunto de condiciones.Podría ser útil hacer un esquema.

En este material, encontramos diversos tipos deejercicios en cuya resolución debemos tener en cuentasiempre lo siguiente:

- La información que nos da el problema necesita serordenada.

- Se debe verificar que la respuesta final que hallemoscumpla con las condiciones del problema.

Hemos dividido el presente material de modo que seafácil identificar el tipo de ordenamiento y las reglas que

se debe respetar para su resolución. Esta división es lasiguiente:

A. ORDENAMIENTO LINEAL

a. Ordenamiento creciente o decrecienteb. Ordenamiento lateralc. Ordenamiento por posición de datos

- Problemas sobre carreras

- Problemas sobre edificiosa. Ordenamiento creciente o decreciente

Para estos problemas hay que tener en cuenta losiguiente:

A no es mayor queB

- Equivale a decir queA es menor o igual queB.

A no es menor queB

- Equivale a decir queA es mayor o igual aB.

b. Ordenamiento lateral

Izquierda derechaOeste esteOccidente oriente

Decir: "Rommel está a la derecha de Luis", no implque necesariamente estarán juntos.

Decir: "Sebastián está entre Andrea y Paula" noimplica que necesariamente estarán juntos(adyacentes)

• Ejemplo 1

Ana, Betty, Cecilia y Diana viven en la misma caMario observa que Ana vive al Este de Cecilia, y qBetty no vive al Oeste de Diana. Además Ana vientre Diana y Cecilia. ¿Quién es la que vive más Oeste?

Resolución:

Si Betty no vive al oeste de Diana, entonces vivirá este:

Ana vive entre Diana y Cecilia:Cecilia - Ana - Diana - Betty

Rpta.: Cecilia vive más al oeste

c. Ordenamiento por posición de datos

- Problemas sobre carreras.Decir: "José llegó 2 puestos detrás de Edwin" implicque por ejemplo: si Edwin llegó en 1er luga

José tuvo que haber llegado en 3er lugar.- Problemas sobre edificios.Decir: "Vanessa vive más arriba que María" no imp

que necesariamente viven en pisos adyacentes(contiguos)

Además:Recuerda que cualquier afirmación que se haga debcumplirse necesariamente en todos los casos para qusea verdadera. Si con los datos que se tengan no sepuede determinar el ordenamiento exacto, entoncespara que una afirmación sea verdadera, debe cumplirsen todos los ordenamientos posibles.

Oeste Este

Cecilia Ana

Diana Betty

RAZONAMIENTO MATEM TICO.NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 01 QUINTO GRADO

ORDEN DE INFORMACI N I


47/189



B. ORDENAMIENTO CERRADO : En estos casos loselementos estarán ordenados de manera que formenuna figura cerrada.Debemos tener en cuenta lo siguiente :

Ejemplo:Seis amigos se sientan alrededor de una mesacircular con seis asientos distribuidossimétricamente. Si se sabe que :

* Ana se sienta junto y a la derecha de Betsy yfrente a Cecilia.* Daniel no se sienta junto a Betsy.* Eduardo no se sienta junto a Cecilia.

Si Fernando es el más animado de la reunión.¿Dónde se sienta?

a) Entre Cecilia y Eduardo b) Frente a Danielc) Entre Betsy y Cecilia d) Frente a Betsye) Entre Cecilia y Daniel

C. RELACIÓN DE DATOS (CUADROS DEAFIRMACIONES) : En estos problemas

encontraremos elementos que están relacionados bajoun mismo patrón pero con diferentes características.Debemos tener en cuenta lo siguiente :* La característica de "A" sólo lo tendrá "A"· no

podrá existir otro elemento con la mismacaracterística.

* Llámese característica a los distritos donde vivenlas formas de movilizarse, las carrerasprofesionales que siguen, etc. ...

Ejemplo :Arturo, Bruno, Carlos y Dante viven en los siguientdistritos : Barranco, Lima, Magdalena y San Borj

pero no necesariamente en ese orden. Además caduno tiene una ocupación diferente: DibujanteElectricista, Periodista y Vendedor. Se sabe que :* Arturo no es Vendedor ni vive en Lima.* El Periodista vive en Barranco.* Carlos es dibujante.* El Electricista vive en Lima y es muy amigo

Dante.

Barra.. Lima Mag. S.B D E P VArturoBrunoCarlosDante

¿Quién vive en Barranco?a) Arturo b) Bruno c) Carlosd) Dante e) No se puede determinar

D. PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN : En estos problemasdebemos suponer a manera de hipótesis la respuesta verificar que cumpla con todos los datos del enunciadPor lo tanto se trata de aplicar la siguiente estrategia.

Ejemplo:Un sultán propuso el siguiente problema a un reo. "Heaquí tres cofres : uno rojo, otro azul y otro blanco.Cada uno tiene una inscripción :En el rojo dice : "La llave de la celda está en estecofre"En el azul dice : "La llave de la celda no está en estcofre"El blanco dice : "La llave de la celda no está en el cofrojo"De las tres inscripciones, una es cierta. Si eres capazde adivinar en cuál está la llave te dejaré libre"

¿Qué cofre debió elegir el reo?

Frente a “A” odiametralmente

opuesto

A

B C

D EF

A la derechade “A” están“C” y “E”

Jun to y a laizquierda de “A” está “B”

Cuan do un problem a tenga una sola respuesta y esta se encuen tre en un conjunto peq ue ño de po sibilidad es, pod em os descartar can didato s a ser solució n, si al supon er

que alguno d e ellos lo e s, llegam os a una con tradicción . Esta form a de razonar se llam a

PRINC IPIO DE S UPO S ICIÓN


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01. Jéssica es más alta que Alexandra y más gorda queCarmen. Carmen es más alta que Katiuska y másdelgada que Alexandra.

Si Katiuska es más baja que Jéssica y más gorda queAlexandra. ¿Quién es más alta y más delgada queKatiuska?a) Jéssica b) Carmenc) Alexandra d) Jessica y Carmene) Jessica y Alexandra

02. En una carrera participaron 5 atletas: Sandro, Luis,Iván, Roberto y Gabriel. Al término de la carrera cadauno llegó en un puesto diferente y se sabe que :* Roberto llegó antes que Luis, pero después que

Gabriel.

* Sandro no llegó antes que Iván.* Iván llegó en tercer puesto.Según lo expuesto, ¿cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas?I. Roberto llegó en segundo lugar.II. Iván llegó antes que Luis.III. Sandro llegó en quinto lugar.a) Sólo I b) Sólo II y III c) Sólo I y IIId) Sólo I y II e) Sólo III

03. Tres amigos : María, Lucía e Irene viven en un edificiode 5 pisos, donde los otros dos pisos están vacíos.Sabiendo que María vive más arriba que Irene y queLucía, y adyacente a los dos pisos vacíos.¿Cuáles de las siguientes es correcta?a) María vive en el tercer piso.b) Lucía vive en el primer piso.c) El cuarto piso está vacío.d) Lucía vive más arriba que Irene.e) María vive en el cuarto piso.

04. Se sabe que Liliana realiza 5 actividades (A; B; C; D yE) una por día, desde el lunes hasta el viernes.Si :* B se realiza después de D.* C se realiza 2 días después de A.* D se realiza jueves o viernes.¿Qué actividad se realiza el miércoles?a) E b) D c) Cd) B e) A

05. En una carrera participan 6 chicas, obteniéndose lossiguientes resultados :* Ana no llegó en un lugar impar.* Carmen llegó equidistante a Fabiola y a Betsy, quién

llegó en último lugar.* Elena deberá entrenar más si desea obtener el

título.

¿En qué lugares llegaron Diana y Fabiolarespectivamente?a) 2º y 3º b) 1º y 2º c) 3º y 2º

d) 1º y 4º e) 3º y 4º06. Don Pascual, que ha recibido la visita de sus 7 nieto

A; B, C, D, E, F y G les ha prometido darles su propsiempre y cuando se formen en fila india obedeciendlas siguientes condiciones :* A debe ubicarse inmediatamente delante de E.* D no puede ubicarse delante de A.* G debe ubicarse cuarto y delante de E.* F no puede ubicarse primero.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) E se ubicará detrás de D.

b) C se ubicará detrás de F.c) F se ubicará delante de E.d) B se ubicará delante de C.e) A se ubicará delante de F.

07. Cinco primos: Francisco, Sebastián, Adrián, SandraKiara se sientan en una misma fila de seis butaca juntas de un cine. Si se sabe que :* Sebastián no se sienta junto a Sandra, pero hay

una persona sentada en cada uno de sus lados.* Kiara, se sienta en uno de los extremos de la fila.* Adrián se sienta 3 butacas a la izquierda de Kiara.* Hay dos butacas entre Francisco y la butaca vacía.* Sandra se sienta en el quinto asiento a partir de

donde está sentada Kiara.¿Qué asiento, a partir de donde está Kiara, estávacío?

a) Primero b) Segundo c) Tercerod) sexto e) Quinto

08. Un choque en cadena de 6 carros es originado por uimprudente parada de Susan que tiene carro azul, eauto blanco de Sonia está adyacente al de Clara yBárbara. Andrea no tiene carro azul y chocó a ClarUn carro rojo chocó a Andrea.Sabiendo que hay 2 carros rojos, 2 azules, uno blanc y uno verde, y que dos autos del mismo color no pueestar juntos.Hallar el tercer auto que choca y su chofer.a) Sonia - blancob) Andrea - azulc) Clara - rojod) Clara - azule) Sonia - verde

PROBLEMAS PARA LA CLASE


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09. A una fiesta fueron invitadas 3 parejas de enamorados y de ellos se tiene la siguiente información :* Hay dos peruanos, dos argentinos y dos brasileños.

* Juan es peruano y la esposa de Orlando esbrasileña.

* No hay dos hombres de la misma nacionalidad.* No hay una pareja de esposos de la misma

nacionalidad.¿Qué nacionalidad tiene Orlando y que nacionalidadtiene la esposa de Antonio?a) Argentino - peruano.b) Brasileño - argentino.c) Peruano - brasileño.d) Brasileño - peruano.e) Argentino - brasileño.

10. Sobre una misma fila de un tablero de ajedrez setienen seis piezas ordenadas de tal manera quecumplen las siguientes condiciones :* Adyacentes al rey y al peón hay un lugar vacío en

común.* El alfil está a la izquierda de la dama.* El caballo está a la derecha de los demás y junto al

peón.

* La torre está a la derecha de la dama y junto a unacasilla vacía.¿Cuál de las siguientes proposiciones es correcta?a) Entre la torre y el rey hay un lugar vacío.b) Entre la torre y la dama hay un lugar vacío.c) Entre el rey y la dama hay un lugar vacío.d) El alfil no está a la izquierda de los demás.e) El caballo está contiguo a un lugar vacío.

11. Seis automóviles numerados del 1 al 6 participan enuna competencia de la fórmula 1. Si del resultado finalde la carrera se sabe que :

* Los tres primeros lugares los ocupan autos connumeración impar.* El auto 2 llegó inmediatamente después del 1.* La diferencia en la numeración entre el segundo

auto y el quinto es 3.* La diferencia en la numeración entre el segundo

auto y el tercero es 2.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) El auto con el número 4 llegó en quinto puesto.b) El auto con el número 5 llegó primero.c) El auto con el número 6 llegó antes que el auto con

el número 2.

d) El auto con el número 3 llegó dos puestos antes queel auto con el número 1.e) El auto que tiene el número 2 llegó primero.

12. En una carrera participan tres parejas de esposos, loVidal, los Mejía y los Espinoza.* Los esposos llegaron antes que sus respectiva

esposas.* La señora Espinoza llegó antes que el señor Vidal* El señor Mejía no llegó primero y fue superado p

una dama.La señora Vidal llegó quinta, junto después que sesposo.¿En qué puesto llegaron el señor y la señora Mejírespectivamente?a) 4 - 6 b) 3 - 6 c) 3 - 4d) 2 - 6 e) 2 - 4

13. Seis amigos : A, B, C; D; E y F viven en un edificiopisos que tienen dos departamentos por piso.Si se sabe que :* Tres departamentos tienen ventana a una avenid

bien transitada y los otros tres a un apacible jirón.* D vive en el tercer piso y está cansado del ruid

producido por el intensivo tráfico.* F vive en un piso más arriba que B, y éste má

arriba que E.* A le gusta contemplar el tráfico desde su balcón.Son ciertas :I. B vive en el segundo piso con ventana al jirón.II. C vive en el primer piso con ventana a la avenida.

III. E vive en el tercer piso con ventana a la avenida.a) Sólo I b) I y II c) I y IIId) Sólo III e) Todas

14. Sobre una mesa hay un lapicero, una crayola y plumón.Si sabemos que :* A la izquierda de la crayola hay un lapicero.* A la derecha del plumón está el que pinta azul.* A la izquierda del que pinta azul está el que pint

verde.* A la derecha del que pinta rojo hay un plumón.

¿Qué objeto está a la derecha de todos?a) El plumón rojob) Lapicero rojoc) Crayola azuld) Crayola rojae) Lapicero azul

15. Seis amigos, Armando, Beatriz, Carmen, DanErnesto y Jorge, compitieron en una carrera de autosdonde no hubo empates. El orden en que los autocruzaron la meta cumple con las siguientes condicion* Beatriz no fue la primera ni la última.* Carmen cruzó la meta antes que Dante y Ernesto.

* Jorge llegó en tercer lugar.¿Cuál de los siguientes puede ser el orden en que loautos cruzaron la meta, del primero al último?

TAREA DOPMICILIARIA Nº 01


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1. Tres jugadores: Bruno, Enrique y Luis, cada unopertenece a un equipo distinto: U, AL y SC. Cada unousa una camiseta que tiene un número distinto: 7; 10;21 y además cada jugador tiene un puesto diferente:arquero, defensa y delantero.Se sabe lo siguiente:

* Bruno no es arquero y lleva el número 10.* Luis juega en la U y no tiene el número 21.* El defensa lleva el número 21.* El que juega en AL no lleva el número 10.¿Quién juega en SC?

• Almendra, Karina, María Pía y Soledad tienen, cadauna, una mascota diferente: tortuga, perro, gato ycanario, aunque no necesariamente en ese orden. Y sesabe que:

* Almendra le dice a la dueña del gato que la otratiene una tortuga.

* Karina le dice a la dueña de la tortuga que sumascota y la de María Pía se llevan bien.

2. ¿Qué mascota tiene Soledad?

3. Si María Pía tiene un perro, entonces se puede afirmarcon certeza que:

I. Karina tiene un canario.II. Almendra tiene un canario.III. El gato y el canario se llevan bien.

4. Si Karina no tiene un gato, entonces se puede afirmarcon seguridad que:

a) Karina tiene un perrob) Almendra tiene un canarioc) María Pía tiene un gatod) Almendra tiene un perroe) Karina tiene un canario

• Cinco personas ejercen diferentes profesiones:veterinario, médico, ingeniero, abogado y matemáticoviven en ciudades distintas: Iquitos, Ayacucho, JuliacLima y Huancayo.

* Francisco viajará a Iquitos, ciudad que no conocpara participar en un congreso de veterinarios.

* Pablo es el mejor amigo del médico y viajará Ayacucho para visitar al ingeniero.

* El matemático no vive en Juliaca.* José Luis no vive en Lima y Rubén tampoco.* El que vive en Lima es médico y el abogado viv

Huancayo.* Rubén desearía ser ingeniero y quisiera vivir e

Huancayo.5. ¿Quién vive en Juliaca?

6. ¿Qué profesión ejerce Rubén?

7. Pablo es el mejor amigo de:

TALLER Nº 01


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01. Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentesprofesiones : Ingeniero, Profesor, Abogado y Médico;pero ninguno en ese orden. Y se sabe que :* Carlos, el Abogado y el Médico juegan fútbol.* Raúl, el Médico y el Abogado juegan ajedrez.¿Qué profesión tiene Pedro?a) Ingeniero. b) Médico. c) Abogado.d) Profesor. e) Contador.

02. Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor deuna mesa circular con seis asientos distribuidossimétricamente.Además :

* D no se sienta junto a B.* A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.* E no se sienta junto a C.¿Junto a quiénes se sienta F?a) C y E b) C y B c) A y Dd) C y A e) B y E

03. Julio invita a cenar a sus amigos : Violeta, Mónica,César, Freddy y Alberto; éste último no pudo asistir.Los asistentes se sientan alrededor de una mesacircular con seis asientos distribuidos simétricamente.* Julio se sienta junto a Freddy y César.

* Frente a Freddy se sienta Violeta.* Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío.¿Adyacente a quiénes se sienta Freddy?a) Julio y Violeta b) Mónica y Albertoc) Mónica y César d) Julio y Mónicae) Violeta y César

04. En una reunión se encuentra un carpintero, un escritor,un sastre y un maestro. Ellos se llaman (aunque nonecesariamente en el orden dado) : Carlos, Enrique,Jorge y Gerardo.Además se sabe que :

* Carlos y el carpintero están enojados con Gerardo.* Enrique es amigo del maestro.* El escritor es familiar de Gerardo.* El sastre es muy amigo de Jorge y del maestro.* Carlos hace años que escribe libros de Historia.Mientras que el sastre es ... Gerardo es ...a) Enrique - maestro.b) Enrique - carpintero.c) Jorge - maestro.d) Jorge - carpintero.e) Enrique - escritor.

05. En una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutircuatro obreros : A, B, C y D y tres empleados : X, Y, Z.Sabiendo que :

* Ningún empleado se sienta junto a otro empleado.

* B se sienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ello¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones soncorrectas?I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos.II. X se sienta junto a B.III. A se sienta junto a Y.a) Sólo I b) I y II c) Sólo IId) Sólo III e) I y III

06. Hay cuatro amigos, cada uno con una determinaafición a un juego : sapo, ajedrez, dominó, damas ytener una mascota : loro, gallo, perro y canario; y fumar : Hamilton, Marlboro, Winston y Nevado.Se sabe que :

* Pío fuma Hamilton.* El que juega sapo tiene el loro.* Luchín no tiene el canario.* El que fuma Marlboro juega ajedrez.* Alejandro juega dominó.* El que fuma Winston tiene el perro.* Jaime no juega ajedrez.* El que juega damas fuma Nevado.

Se pregunta :¿Quién fuma Winston?a) Alejandro b) Pío c) Luchínd) Jaime e) Jaime o Pío

07. En una mesa circular hay seis asientos simétricamencolocados, ante la cual se sientan 6 amigas a jugamonopolio. Si Lucía no está sentada al lado de Letini de Juana. María no está al lado de Cecilia ni dJuana, Leticia no está al lado de Cecilia ni de MaríIrene está junto y a la derecha de Leticia.¿Quién está sentada junto y a la izquierda de María?a) Lucía b) Leticia c) Irened) Cecilia e) Faltan datos

08. Cinco personas ejercen diferentes profesiones:Veterinario, Médico, Ingeniero, Abogado y

Matemático. Viven en ciudades distintas : IquitosAyacucho, Juliaca, Lima, Huancayo.* Francisco viajará a Iquitos, ciudad que no conoce, pa

participar en un congreso de veterinarios.* Pablo es el mejor amigo del Médico y viajará

Ayacucho para visitar al Ingeniero.* El Matemático no vive en Juliaca y a Enrique no

gustan los animales.* José Luis no vive en Lima y Rubén tampoco vive

Lima.* El que vive en Lima es Médico y el Abogado viv

Huancayo.

* Rubén desearía ser ingeniero y quisiera vivir eHuancayo.¿Quién vive en Juliaca?a) Rubén b) Pablo c) José Luis


ORDEN DE INFORMACI N II


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01. Gabriela, Mónica y Carolina tienen diferentes aficiones y gustos en deportes (vóley, aeróbicos y tenis),Literatura (novela, poesía y drama), Licores (vino,pisco y cerveza) y colecciones (llaveros, cerámicas ylibros).Se sabe que :* A Mónica no le agrada el vóley.* A la que le agrada el tenis, gusta del pisco.* La que colecciona llaveros lee dramas.* A la que le gusta el vóley toma cerveza.* Gabriela disfruta cuando juega tenis o lee poesía.* Carolina colecciona libros.¿Cuál de las siguientes alternativas, muestra unaasociación incorrecta?a) Mónica - cerámica.b) Mónica - vino.c) Mónica - drama.d) Carolina - novela.e) Gabriela - pisco.

02 Cinco amigos : A; B, C, D y E se sientan alrededor deuna mesa circular y se sabe que :* Las sillas (5) se encuentran distribuidas

simétricamente.* A se sienta junto a B.* D no se sienta junto a C.Podemos afirmar con certeza que :

I. D se sienta junto a A.II. E se sienta junto a C.III. B se sienta junto a D.a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) I y III e) Todas

03. Rommel, Alex, Luis y Eduardo practican los siguientesdeportes, Fútbol, Atletismo, Natación y Tenis; y vivenen los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja yMiraflores.Se sabe que :* Luis no vive en Los Olivos ni en Breña.* El atleta vive en Los Olivos.

* Rommel vive en Miraflores.* Eduardo es Futbolista.* El nadador nunca ha emigrado de San Borja.¿Qué deporte practica Rommel?a) Natación b) Atletismo c) Fútbold) Tenis e) Basketball

04. Alicia, Carmen, Franci y Edith, tienen diferentesprofesiones : Periodista, Médico, Kinesiólogo yMatemático y viven en las ciudades X, Y, Z y W.Se sabe que :* Franci no vive en X ni en Y.* El médico vive en X.

* Alicia vive en W.* Edith es Kinesióloga.* El periodista nunca ha emigrado de Z.¿Qué profesión tiene Alicia?

a) Abogado b) Médico c) Periodistad) Kinesióloga e) Matemático

05. Cuatro amigas (Eva, María, Carmen y Trini) salebailar con cuatro amigos (Pablo, Raúl, Damián y LuA lo largo de la velada, las cuatro chicas habránbailado, entre muchas, las siguientes piezas; un vals, rock, un bolero y un tango. A la salida, hicieron lsiguientes afirmaciones:Eva : Disfruté más bailando el vals con Pablo, que erock con Raúl.María : Cuando bailaba el vals con Damián, noquedamos solos en la pista.Trini : Nunca más volveré a bailar un bolero con PablCarmen :Luis me dió un pisotón mientras bailábamoel bolero.Cuando bailaron el tango, ¿quién era la pareja dCarmen?a) Luis b) Pa

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