MATEMATICA - 5º ARITMETICA

7/27/2019 MATEMATICA - 5º ARITMETICA

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Aritmética

CESAR´SSECUNDARIA



MATEMÁTICA – 5to. año



I BIM – ARITM TICA – 5TO.

Colegio Particular Integrado CESAR´S 41

Thalesde Mileto

EscuelaPitagórica

Inicio denuestra era

GuillermoOughtred

VI a.C. V a.C. 0 1631

AÑO ACONTECIMIENTOS

VI a.C. Thales de Mileto (639 – 538 a.C.) su aporte más

importante está en el campo de la geometría (Teorema de

Thales) de ahí nace el nombre de razón geométrica y

proporción geométrica.

V a.C. La escuela pitagórica tuvo conocimiento de las proporciones

aritmética, geométrica y armónica. Fue en esta etapa que

Pitágoras crea su famoso teorema a2 = b2 + c2

1631 d.C. Los signos de razón: , y de proporción ::

Fueron introducidos por Guillermo Oughtred.



NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 1 QUINTO AÑO

RAZONES Y PROPORCIONES

RRAAZÓNZÓN

LALA HHUUMAMANNIIDDAADD Y Y LALA NNATURALEZAATURALEZA EENN NNÚÚMMEERROOSS

♣ Un grano de veneno de cobra puede matara 150 personas.

♣ Una sola pila puede contaminar 175 000litros de agua.

♣ 3 bebes por segundo nacenaproximadamente en el mundo.♣ 5 años tardo Bocaccio en escribir el

Decameron.♣ 8 ojos tienen las arañas.♣ 9 días puede vivir una cucaracha sin su

cabeza.♣ El 10% del ingreso del gobierno ruso

provienen de la venta de Vodka.♣ 16 años de edad tenía la Virgen María al

nacer Jesús, según la Biblia.♣ 20 huesos tiene aproximadamente un gato

Se denomina razón a la comparación de 2cantidades mediante una operación aritmética.

RAZÓNRAZÓN AARRIITTMMÉÉTICATICAEs la comparación mediante la sustracción.a – b = valor de la razón aritmética.

Ejemplo:Edad de Miguel 30Edad de Juan 12

30 – 12 = 18 razóna – b = k

RAZÓNRAZÓN GEOGEOMMÉTÉTRRICAICAEs la comparación mediante la división.a

= valor de la razón geométricab

en la cola.♣ 30 minutos dura aproximadamente el

orgasmo de un cerdo.♣ El 35% de la gente que usa anuncios

personales para citas están casadosactualmente.

Ejemplo:Edad de Rosa 24Edad de María 824 = razón8a

= kb

ObserObservavaciciónón:Cuando nos digan:2 cantidades son entre sí como 3 esa 2 podemos plantar.

H 3 H M= =M 2 3 2

SESERRIEIE DEDE RRAAZONESZONES GGEEOOMMÉTRÉTRIICASCAS EEQQUIVALEUIVALENNTESTESEs la igualdad de 2 o más razones geométricasque tienen el mismo valor.

a1 =a2

b1

b2

=a

3

b3=

a4

b4

an= ... = = kbn



Ejemplo:24 16 28

= = = 4

a y c : extremos ó tercera diferencialb : media diferencial ó aritmética

6 4 7 Se observa b =a + c

; c < b < a2

PPROPIROPIEEDDADESADES:

Suma de antecedentesI. = kSuma de con sec uentes

Eje mplo :

Hallar la media diferencial de 18 y 12…………………………………………………………………………………

II.Pr oducto de antecedentes

= kPr oducto de con sec uentes

…………………………………………………………………………………

Ejemplo :n = Número de razones que se

multiplican.

SERSERIIEE DEDE RRAAZONESZONES GGEEOOMMÉTRIÉTRICCASAS EEQQUIVALEUIVALENNTESTES CONCONTTIINNUUAASS

Hallar la tercera diferencial de 30 y 20

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

Luego:

a

b

c = dkb = dk2

a = dk3

b c= = = kc d

PPRROOPPORCIÓNORCIÓN GGEEOOMMÉTÉTRRICAICA

DISDISCCRREETTAA: Es cuando los términosmedios son diferentes entresí, al último término se lellama cuarta proporcional.

PPROPORCIONESROPORCIONES

Es el resultado de tener dos razones de igual

valor. Pueden ser: PROPROPPORORCCIIÓÓNN ARIARITTMMÉÉTICATICA

DISDISCCRREETTAA: Cuando los términos mediosson diferentes entre si, alúltimo término se le llamacuarta diferencial.a - b = c – d

a y d : extremosb y c : mediosd : cuarta diferencial

Ejemplo:Hallar la cuarta diferencial de 32, 24 y 10

a c=

b d

a y d : extremosb y c : medios

d : cuarta proporcionalE j emplo :Hallar la cuarta proporcional de 16, 36 y 8

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

CONCONTTIINNUUAA: Cuando los términos mediosson iguales y a cada uno deellos se les llama mediaproporcional o mediageométrica y a los términos

diferentes se les llamatercia o terceraproporcional.

COCONNTINTINUUAA: Cuando los términos mediosa bson iguales y a cada uno de =

ellos se les llama mediab c

diferencial ó mediaaritmética y a los términosdiferentes se les llamatercera diferencial.a - b = b – c

a y c : extremos o tercia proporcionalb : media proporcional



E j emplo :Hallar la media proporcional de 9 y 16

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

E j emplo :Hallar la tercera proporcional de 4 y 8

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

3. a) En una reunión se observo que por cada 3mujeres, había 7 hombres. Además elnúmero de hombres excede al de lasmujeres en 28. ¿Cuál es la relación dehombres a mujeres si se retiran 14 parejas?

Rpta.: ……………………

b) En una fiesta asisten 140 personas entrehombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay4 hombres. Si se retiran 20 parejas. Porcada mujer ¿cuántos hombres queda?

PROPPROPIIEDEDAADESDESa c

=b d

a - b c - d

a) 1,5 b) 2 c) 2,5d) 3 e) 1

4. a) En un instante el número de varones y elnúmero de mujeres son como 7 es a 8cuando se retiran 6 varones quedan en la

I. a x d = b x c III. =b d

relación de 25 es a 32. ¿Cuántas mujereshabían en el salón?

II.a + b

=b

c + dd

IV.a + ba - b

c + d=c - d

Rpta.: ……………………

b) Las edades de 2 personas están en relaciónde 5 a 7, dentro de 10 años la relación seráde 3 a 4. Hace 10 años ¿cuál era la relaciónde sus edades?

EE j jeer r cciicciiooss ddee

AA p p liliccaacciióónn

1. a) Dos números son entre sí como 3 es a 5 y susuma es 96. Calcular la diferencia de dichosnúmeros.

Rpta.: ……………………

b) Calcular A x B, si 5A = 4B ademásA + B = 72. Dar como respuesta la suma desus cifras.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

2. a) Dos números se encuentran en la relación de5/4 y su producto es 980. Hallar la suma dedichos números.

Rpta.: ……………………

b) El producto de dos números es 250 y estánen relación de 5 es a 2. Hallar el doble delmayor.

a) 10 b) 30 c) 50d) 70 e) N.A.

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 4/5 e) 1/3

5. a) En una universidad la relación de hombres ymujeres es de 5 a 7, la relación de hombresen ciencias y hombres en letras es de 8 a 3.¿Cuál es la relación de los hombres enciencias y el total de alumnos?

Rpta.: ……………………

b) En un examen los problemas resueltos y noresueltos están en la relación de 2 es a 3.Dentro de los problemas contestados, elnúmero de problemas resueltoscorrectamente y los que no están en larelación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación de losproblemas mal contestados con respecto altotal?

a) 1/15 b) 3/15 c) 2/15d) 7/15 e) 4/15

6. a) Si el corredor A compite con el corredor Ben una carrera de 100 metros A le da a Buna ventaja de 20 metros. Cuando corren Bcontra C en una carrera de 100 m. B le da aC 25 metros de ventaja. ¿Qué ventajadebería darle el corredor A a C en unacarrera de 200 m., si en los dos primeroscasos los competidores llegan al mismotiempo a la meta?

Rpta.: ……………………



b) Juan, Aldo y Pepe participan en unacompetencia de 5000 metros. Al culminarJuan le ganó a Aldo por 500 m. y Aldo a Pepepor 600 m. ¿Por cuánto le ganó Juan a Pepe?

a) 1100 m b) 1040 c) 960d) 900 e) 840

7. a) Un termómetro defectuoso indica 2º parafundirse el hielo y 107º para el aguahirviendo. ¿Cuál es la temperatura real enºC cuando marca 23º?

a) 6/9 b) 15/4 c) 13/36d) 13/360 e) 17/30

11. a) Hallar la cuarta proporcional de:a2 ; a x b ; b

Rpta.: ……………………

b) Hallar la cuarta proporcional de: a2 ; a/b ; b2

Rpta.: ……………………

c) Hallar la cuarta proporcional de 6, 15 y 10.

Rpta.: ……………………

b) La figura muestra dos relojes graduados dedistinta forma. Hallar “x” si y = 12

4 y 36

6 x 22

a) 15 b) 10 c) 18d) 20 e) 12

8. Por cada 100 huevos que compro se me rompen10 y por cada 100 que vendo doy 10 de regalo.Si vendí 1800 huevos. ¿Cuántos huevos compre?

a) 2200 b) 2000 c) 2100d) 1900 e) 2400

9. a) Si a . b . c = 1008Hallar: a + b + c en:

a) 36 b) 25 c) 30d) 40 e) 15

d) Si la tercera proporcional de 9 y a es 25.Hallar la cuarta proporcional de 35 y 12.

Rpta.: ……………………

e) Hallar la tercera proporcional de 9 y 12.Rpta.: ……………………

12. a) En una proporción geométrica continua lasuma de los extremos es 90 y la diferenciade los mismos es 54. Hallar la mediaproporcional.

Rpta.: ……………………

b) En una proporción geométrica continua lasuma de los extremos es 58 y la diferenciade ellos es 40. Hallar la media proporcional.

a) 20 b) 25 c) 27d) 36 e) 21

a b c= = = k30 35 15

Rpta.: ……………………

13. a) Se tiene una proporción geométrica discretaen el cual el producto de sus términos es2601. Hallar uno de los términos medios sila diferencia de los mismos es 14.

b) Si: a=

b=

c=

d Rpta.: ……………………7 13 15 19

Además: a + b + c = 525. Hallar “d”

a) 285 b) 280 c) 225

d) 105 e) 295

b) En una proporción geométrica continua elproducto de los 4 términos es 50 625.Hallar la media proporcional.

a) 12 b) 15 c) 18

10. a) Si:a=

b=

9 64 . Además a es a b como b es a c.c

d) 20 e) 25

Hallar: a - bRpta.: …………………… 14. a) Si: a2

- 16=

68b2

- 25=

85c2 - 49119

b) Si: a 6 c= =4 b 9

a + c

Además: a + b + c = 12Determinar: (2a + 3b - c)

Además : b = a . c Hallar :a . c

Rpta.: ……………………



b) Dada la siguiente serieCalcular a . b . c Si: a + b + c = 6

a) 15 b) 25 c) 10d) 5 e) f.d.

1 + a2

=1

4 + b2

=2

9 + c2

3 b) Si: p q r= =a b c

a) 2 b) 4 c) 6 Además: q = 4p y r = 5p

d) 8 e) 12 Determinar: E = a

2

+ b

2

+ c

2

15. a) Tres números son entre sí como 5, 7 y 8; si sesuman 5, 10 y n al 1º, 2º y 3º respectivamente,la nueva relación es ahora 11; 16; 21.Hallar “n”

(a + b + c)

a) 0,42 b) 0,21 c) 2,34d) 2,38 e) 4,2

Razones

Razón Aritmética

Razón Geométrica

Serie de razonesgeométricas equivalentes

Serie de razonesgeométricas equivalentes

continuas

Propiedades

Razones yProporciones

Proporciones

Aritmética

Geométrica

Discreta (cuarta diferencial)

Continua(tercera y media dif.)

Discreta

(cuarta proporcional)

Continua(tercera y media proa.)

Propiedades

TTaar r eeaa DDoommiicciililiaar r iiaa

1. Ana tuvo su hijo a los 18 años ahora su edad esa la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos añostiene su hijo?

a) 15 b) 13 c) 30d) 28 e) N.A.

2. En una discoteca se observa que por cada 8mujeres había 5 hombres, además el número demujeres excede al número de hombres en 21.¿Cuál es la nueva relación si se retira 16parejas?

a) 40/19 b) 23/19 c) 12/9d) 7/11 e) 7/19

3. En una fiesta hay hombres y mujeres de talmanera que el número de mujeres es al númerode hombres como 4 es a 3. Si después delreparto de comida se retiran 6 mujeres.¿Cuántos hombres hay en la fiesta si todospueden bailar?

a) 16 b) 18 c) 20d) 24 e) 30



4. En una reunión el número de hombres que bailanes al número de mujeres que no bailan como 1 a2, además el número de mujeres es al númerode hombres que no bailan como 3 es a 5.Determinar cuantas personas bailan si en totalasistieron 72 personas.

a) 8 b) 16 c) 24d) 48 e) 30

a) 80 b) 60 c) 75d) 46 e) 20

10. Sumándole un número constante a 20, 50 y 100resulta una proporción geométrica, la razóncomún es:

a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2d) 1/2 e) 1/3

5. La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4. Larazón entre las edades de B y C es 3/7. Si la

m 411. Si: =n 3

r 9=

t 14suma de las edades de las tres personas es 165.Entonces la diferencia entre la edad del mayor

y menor es:

entonces el valor de:3mr - nt

4nt - 7mres:

a) 48 b) 31 c) 26 a) -51

b) – 12

1c) 11/14

4d) 32 e) N.A.

6. En un encuentro futbolístico entre A y B

inicialmente el número de hinchas de A es al deB como 4 es a 3, pero luego del triunfo de A, seobserva que el número total de hinchas aumentaen un quinto y el de los hinchas de A en su mita.¿Cuál es la nueva relación entre los hinchas deA y B?

a) 19/15 b) 15/7 c) 16/15d) 13/15 e) 5/2

7. El número de vagones que lleva un tren A es los5/11 del que lleva un tren B, el que lleva un trenC es los 7/13 de otro D. Entre A y B llevan

tantos vagones como los otros dos. Si elnúmero de vagones de cada tren no excede de60. ¿Cuál es el número de vagones que lleva eltren C?

a) 26 b) 14 c) 39d) 52 e) 28

8. En algunos países escandinavos se realizancertámenes de escultura en hielo. En ciertaoportunidad por elaborar una de estas estatuasse uso un bloque de hielo de 800 kg. pararealizar una replica en la escala de 1:20. ¿Cuál

será el peso del nuevo bloque de hielo?

a) 400 kg b) 40 kg c) 4 kgd) 400 gr e) 100 gr

9. Calcular A + B + C sabiendo que:A es cuarta proporcional de 8, 18 y 20B es tercera proporcional de A y 15C es media proporcional de (A + B) y (B - 3)

d) -11/14 e) N.A.

12. La suma de los 4 términos de una proporción

geométrica continua es 18. Halla la diferenciade los extremos.

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

13. La diferencia entre el mayor y menor términode una proporción geométrica continua es 25.Si el otro término es 30. Hallar la suma de lostérminos, si los cuatro son positivos.

a) 120 b) 125 c) 135d) 130 e) 115

14. El valor de la razón de una proporcióngeométrica es 5/9, si el producto de losantecedentes es 1800 y la suma de losconsecuentes es 162. Hallar la suma de losextremos.

a) 108 b) 168 c) 90d) 140 e) 124

15. Hallar la suma de los 4 términos de unaproporción geométrica continua si se sabe quela suma de sus términos extremos es a su

diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entreel tercer término y la razón es 24.

a) 175 b) 164 c) 324d) 223 e) 195



Egipcios BabiloniosNacimientode Jesús Picard

Rev.Francesa

ComisiónInternacionalPesas y Med.

SisteInt.

4000 a.C. 3500 a.C. 0 1670 1789 1799 1960


4000 a.C. ∗ La cultura Egipcia se desarrollo en el valle del Nilo.∗ Los egipcios usaban el codo, el palmo y el dedo para

medir.∗ Construyeron las famosas pirámides por su avance en el

concepto de magnitud.

3500 a.C. ∗ Los Babilonios usaban la balanza de brazos iguales ypesas metálicas.

∗ Los Babilonios fueron los que dividieron lacircunferencia en 360 partes iguales.

1670 d.C. El astrónomo Picard propuso como base para un sistema demedidas, la longitud del péndulo simple y cuyas oscilacionesduren 1 segundo.

1799 d.C. Se constituyó en París, la comisión internacional de pesas ymedidas.

1960 d.C. Sistema Internacional nace por acuerdo de la undécimaconferencial general pesas y medidas (París). Muchospaíses lo han adoptado. El Perú lo ha adoptado desde31/12/1982




MAGNITUDES Y REPARTO PROPORCIONAL

MMAAT T EEMMÁÁT T IICACASS BBAABBIILLÓÓNNICAICASS

Los babilónicos vivieron enMesopotamia, en unos claros de tierrasfértiles entre los ríos Tigris yEufrattes, hacia finales del milenio IVantes de cristo.

Desarrollaron una forma abstracta deescritura basada en símboloscuneiformes.

Los babilónicos usaban la siguientefórmula para hacer la multiplicaciónmás fácil puesta que no tenían tablasde multiplicar.

SSOONRNRÍÍEE

Papá, papá ¿me haces el problema dematemáticas?o hijo, no estaría bien.ueno inténtalo de todas maneras.

a . b = (a + b)2 - a2- b2

2

La lógica es la forma correcta dellegar a la respuesta equivocada perosintiéndose contento consigo mismo.

Aun mejor es la fórmula: ¿Qué es un niño complejo?

a . b = (a + b)2

4

(a - b)2

-4

Uno con la madre real y el padreimaginario.

Un ejemplo numérico es: ¿Qué le dice la curva a la tangente?

2 . 4 =(2 + 4)

2

4

(2 - 4)2

-4

No me toques

8 = 8 Me gustan los polinomios pero hasta

cierto grado.

El 20 por ciento de las personasmuere por fumar por lo tanto el 80por ciento de las personas muere porno fumar. Asi quedó demostrado queno fumar es peor que fumar.



MMAGNITUAGNITUDDESES PPRROPORCIOOPORCIONNALALEESS PROPROPPIEDIEDAADESDES

I. A α B ⇒ B α A

MMAAGNGNIITUTUDDEESS DDIIRREECCTATAMMEENNTTEEPPROROPOPORRCCIIOONNAALL

2 magnitudes serán directamente proporcionales

si el cociente de sus valores correspondientes

II. A1

B ⇒ A α 1

α B

es siempre constante.

A

III. A α BA α C

⇒ A α B x C

A α B ⇒ = cte.B IV. A α B

Ej emplo: El espacio es D.P. al tiempo.A

1C ⇒

αA x CB x D

= cte.

e 30 60= =

t 10 20

Gráf ic ame n te :

espacio

90 30k= =30 10k

A α D

Ejemplo :

A DP BA IP C2

A α B

A x C2

⇒ B

90A

1C

α60 A C E2

⇒2

= cte.A α D2

30B . D

10 20 30tiempo

A1

E2

α

MMAAGGNNIITTUUDEDESS ININVVEERSRSAAMMEENNTTEEPPRROPOPOORCRCIIOONNAALLEESS

2 magnitudes son inversamente proporcionalescuando el producto de sus valorescorrespondiente siempre es constante.

RREPARTOEPARTO PPRROPORCIOOPORCIONNALAL

RREEPPAARRTOTO SSIIMMPLEPLE

A1

B ⇒ A x B = cte.α ProProccededimimiienentoto:

E j emplo : La velocidad es inversamenteproporcional al tiempo.

v x t = 10 x 30 = 20 x 15 = 30 x 10

Gráf ic ame n te :

V(m/s)

30

20

10

T (seg)

Se suman los índices. Se divide la cantidad entre dicha suma siendo

el cociente la constante de proporcionalidad(k).

Las partes se obtienen multiplicando cadaíndice por la constante.

E jemplo :Repetir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12

6k750 7k

12k

25k

10 20 30



750

= k = 3025

6 x 30 = 1807 x 30 = 210

12 x 30 = 360

D.P. I.P.

413648169

REREPPAARRTTOO

IINNVVEERSORSO

ProProccededimimiienentoto:

4

36482

3

m.c.m. = 3

Se efectúa en forma inversamenteproporcional a los índices.

Se multiplica a todos por el m.c.m. de losdenominadores.

Se efectúan el reparto directo.

E j emplo :Repartir 594 en forma I.P. a 2 ; 3 ; 6 y 10

4

x 3 = 4k 2k3

6482

⇒kx 3 = 2k3 3k

k =648

= 2163

2 x 216 = 432

1

21

5943

1

61

10

m.c.m.30

1x 30 = 15k2

1x 30 = 10k

31

x 30 = 5k61

x 30 = 3k10

1 x 216 = 216


AA p p lliiccaacciióónn

33k

594 = k = 19 ⇒ 15 x 18 = 27033

10 x 18 = 1805 x 18 = 903 x 18 = 54

REREPPAARRTTOO

CCOOMMPPUUESTOESTO

ProProccededimimiienentoto:

Se convierte la relación I.P. a D.P.(invirtiendo los índices).

Se multiplica los índices de las dos relacionesD.P. (o más según el caso).

Se efectúa un reparto simple directo con losnuevos índices.

E j emplo :Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez enforma I.P. a 3 y 9.

1. a) A es D.P. A B e I.P. a C. Hallar A cuandoB = 10 y C = 5. Si cuando B = 20 y C = 15.

Rpta.: ……………………

b) Si A varía D.P. con la diferencia de 2números. Cuando A = 15, la diferencia es 6.¿Cuánto vale esta diferencia si A = 18?

a) 10 b) 8 c) 5d) 6 e) 7,2

2. a) Si M es D.P. a B e I.P. a 3 C . Calcular elvalor de M cuando B = 2 y C = 64, si sesabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6.

Rpta.: ……………………

c) Si A es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar Acuando B = 2 y C = 25. Si cuando B = 5 yC = 16; A = 15.

a) 2 b) 3 c) 4



d) 5 e) 6



3. a) Si A varía proporcionalmente a B, alcuadrado de C e inversamente proporcional aD. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4 entoncesD = 2. ¿Cuánto valdrá B cuando A = 2D yD = 4C?

b) Dos magnitudes son inversamenteproporcionales, si una de ellas disminuye en1/4 de su valor. ¿En cuánto aumenta odisminuye la otra?

Rpta.: ……………………

b) Si M es D.P. con P2 e inversamenteproporcional con N/2, cuando M = 18, P = 3 yN = 8. Hallar N, cuando P es 6 y M es 45.

a) 6,4 b) 7,2 c) 8, 4d) 10,5 e) 7,8

4. a) Dos ruedas de 24 y 45 dientes estánengranadas. En el transcurso de 10 minutosuna da 280 vueltas más que la otra. Hallar lavelocidad mayor en rev/min.

Rpta.: ……………………

b) Dos engranajes de 24 y 38 dientes estánconcatenados y en el transcurso de 4minutos uno da 70 vueltas más que el otro.Hallar la velocidad menor en rev/min.

a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 60

5. a) Una rueda dentada A de 50 dientes estaunida mediante un eje con el engranaje B yeste a su vez engrana con otra C. Sabiendo

que B y C tienen respectivamente 28 y 42dientes. Si A da 3690 revoluciones porminuto. ¿Cuánto tiempo empleará la rueda Cen dar 48 000 vueltas?

Rpta.: ……………………

b) Una rueda A de 80 dientes engrana con otrarueda B de 50 dientes; fija del eje B hayotra rueda C de 15 dientes que engrana conuna rueda D de 40 dientes, Si A da 120vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará larueda D?

a) 70 b) 72 c) 60d) 90 e) 96

6. a) La potencia de un circuito varía en formaD.P. con la resistencia del conductoreléctrico y con el cuadrado de la corrienteque circula. Si la corriente se reduce a sumitad y la resistencia se triplica. ¿Quésucede con la potencia?

Rpta.: ……………………

a) aumenta 1/4 d) disminuye 1/4b) aumenta 1/8 e) disminuye 1/8

c) aumenta 1/3

7. a) Se sabe que A es directamente proporcionalal cuadrado de B y la cubo de C einversamente proporcional con la raízcuadrada de F. Del siguiente cuadrodeterminar el valor de: (x + y)

MaMaggninittudesudes CCaannttiiddaadesdes

A x 108 324B 5 2 4C 2x 3x yF 25 9 16

Rpta.: ……………………

b) Sabiendo que A es D.P. a B2, las variacionesde las magnitudes A y B se muestran en elsiguiente cuadro. Hallar: a + b + d

AA 27 6a + d d a

BB a b 4 8

a) 48 b) 21 c) 35d) 20 e) 28

8. a) El precio de un televisor a color varía enforma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. ala raíz cuadrada de la energía que consume.Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas yconsume “E” de energía su precio es deS/. 360. ¿Cuánto costará un televisor cuyotamaño es de 21 pulgadas y consume E/4 deenergía?

Rpta.: ……………………

b) El precio de una casa es directamenteproporcional al área e inversamenteproporcional a la distancia que lo separa deLima. Si una casa ubicada a 75 km cuestaS/. 45 000. ¿Cuánto costará una casa delmismo material si su área es el doble y seencuentra a 150 km. de distancia?

a) 45 000 b) 22 500 c) 11 250d) 9 000 e) 18 000



9. a) Si M y N son magnitudes proporcionalesrepresentados mediante el siguientegráfico. Calcular a . b

M

36

a

b

N8 16 a

Rpta.: ……………………

b) Si A y B son magnitudes proporcionalesrepresentadas mediante el siguientegráfico. Calcular “x”.

A

a) 14b) 12 18c) 16d) 18e) 20 6

B4 x

10. a) En el siguiente gráfico A y B son rectas y Ces la rama de una hiperbola.Si: a + b + c + m = 60Hallar “m

y

A

11. a) Repartir 6000 en forma I.P. a los números2; 3 y 6 dar la parte intermedia.

Rpta.: ……………………

b) Repartir 1800 en partes D.P. a los números2; 3 y 4. Dar la menor parte.

a) 400 b) 200 c) 300d) 800 e) N.A.

12. a) Dividir el número 410 en partes I.P. a 2/3; 6 y 11/9. Hallar la parte mayor.

Rpta.: ……………………

b) Repartir S/. 9000 en forma I.P. a losnúmeros 1/20; 1/30; 1/40. Dar comorespuesta la parte intermedia.

a) S/. 2000 b) S/. 3000 c) S/. 4000d) S/. 5000 e) N.A.

13. a) Dividir 400 directamente proporcional a12 , 75 , 147 , y 363 . Dar como

respuesta la suma de las 2 menores partes.

Rpta.: ……………………

b) Repartir 36 en partes proporcionales a28 , 63 , 343 y dar como respuesta la

mayor de las partes.

a) 2b) 4 2m

c) 6d) 7 m

e) N.A.

B

C

x4 a b c

a) 15 b) 18 c) 6d) 9 e) 21

14. a) Repartir S/. 2712 entre 3 personas de modoque la parte de la primera sea a la segundacomo 8 es a 5 y que la parte de la segundasea a la de la tercera como 6 esa 7. Hallarla diferencia entre la mayor y menor de laspartes.

b) Si A y D son magnitudes proporcionalesrepresentadas mediante el siguientegráfico. Calcular “x”

A

Rpta.: ……………………

b) Repartir S/. 3936 entre 3 personas de modoque la parte de la primera sea a la segundacomo 7 es a 6 y que la segunda sea a la de latercera como 4 es a 5. Hallar la parte

a) 50b) 30c) 20d) 40e) 60

a

40

16

D4 20 x

intermedia.

a) S/. 1344 b) S/. 1152 c) S/. 1536d) S/. 1056 e) S/. 1440



15. a) Repartir S/. 4536 en 4 partes cuyoscuadrados sean directamente proporcionalesa: 20; 45; 80; 125. ¿Cuál es la mayorcantidad repartida? Magnitudes

Directa (Gráfico)

Rpta.: ……………………

b) Al repartir 42 900 en 3 partes; tales que loscuadrados de dichas partes soninversamente proporcionales a: 75; 147 y243. Dar como respuesta la menor cantidadrepartida.

Proporcionales Inversa (Gráfico)

Propiedades

Directoa) 18 900 b) 10 500 c) 13 500d) 10 800 e) 10 000

16. a) Al repartir una cantidad en forma I.P. a 1 y2 y a la vez también I.P. a 1/6 y 1 se obtuvoque la parte menor fue S/. 7 200. ¿Cuál fuela cantidad repartida?

RepartoProporcional Inverso

Compuesto

Rpta.: ……………………

b) Se reparte una cantidad en forma D.P. a 7 y12 y a la vez I.P. a 10 y 15; además se obtuvoque la parte menor resulta ser S/. 5 600.¿Cuál fue la cantidad repartida?

a) 15 000 b) 12 000 c) 18 000d) 9 000 e) 64 000

17. Tres ciclistas deben recorrer una distancia y seponen de acuerdo para distribuirse S/. 94500en forma directamente proporcional a sus

velocidades. Efectuando el recorrido resultoque el primero tardo 3 horas, el segundo 5horas y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió elmás veloz?

a) S/. 35 000 b) 55 000 c) 40 500d) 45 000 e) 50 500

18. Las edades de siete hermanos son númerosconsecutivos, si se reparte una suma de dineroproporcionalmente a sus edades, el menorrecibe la mitad del mayor y el tercero 80 000.¿Cuánto recibe el quinto si el primero es el

mayor?

a) 64 000 b) 60 000 c) 56 000d) 54 000 e) 81 000

TTaar r eeaa DDoommiicciilliiaar r iiaa

1. Repartir S/. 1600 D.P. a 1, 4, 5 y 6. Dar comorespuesta la parte mayor.

a) 500 b) 600 c) 700

d) 604 e) 720

2. Repartir S/. 4 950 en forma I.P a 12, 18 y 6.Indicar la mayor parte.

a) 500 b) 600 c) 700d) 604 e) N.A.

3. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36, 60 y 45 e I.P. a 16, 24 y 60. Se observo que ladiferencia entre el mayor y menor de las parteses 5600. La suma de cifras de la cantidadrepartida es:

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

4. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 10, 35 y 45 y a la vez I.P. de 1/4, 3/2 y 5/2, se obtuvoque la parte mayor resulto ser S/. 3000, ¿Cuálfue la cantidad menor?

a) 6 000 b) 4 000 c) 2 400d) 6 100 e) 5 400



5. Se divide el número 747 en tres partes talesque sus raíces cuadradas sean proporcionales alos números 3, 5 y 7. La suma de los dígitos dela parte menor es:

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) 5

6. Las edades de 4 hermanos son cantidadesenteras y consecutivas. Se reparte una sumade dinero proporcionalmente a sus edades detal manera que el menor recibe los 4/5 delmayor. ¿Cuánto recibe el mayor, si el segundorecibe S/. 140?

a) S/. 100 b) 110 c) 120d) 150 e) 140

7. Repartir 93 000 en tres partes tales que laprimera sea a la segunda como 2 es a 3 y que la

segunda sea a la tercera como 2 es a 7. ¿Cuáles la menor de ellos?

a) 12 000 b) 18 000 c) 63 000d) 15 000 e) 21 000

8. Si 3 A es D.P. a M y P2 y cuando A = 1; M = 20 yP = 3. Calcular el valor de M cuando A = 8 yP = 6.

a) 2 b) 4 c) 12d) 10 e) 8

9. Se tienen 3 magnitudes A, B y C tales que A esD.P. a C a I.P. a B . Hallar A cuando B = C

2

sabiendo que A = 10, B = 144 y C = 15.

a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) 15

10. Una rueda A de 90 dientes engrana con otrarueda B de 60 dientes y fija al eje B hay otrarueda C de 15 dientes con la cual engrana unarueda D de 45 dientes. Si la rueda A da 10R.P.M. ¿Qué tiempo empleo la rueda D en dar500 revoluciones?

a) 25 b) 20 c) 15d) 27 e) 30

12. El peso “w” de un cilindro varíaproporcionalmente a su altura “h” y al cuadradodel diámetro “d” de su base. ¿Cuál es la sumade números con que se llenará los espacios en

blanco de la siguiente tabla?

w 25 7,2

h 2,5 4 2

d 2 0,6

a) 4,80 b) 5,04 c) 6,80d) 7,20 e) 7,44

13. El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de ladistancia que lo separa de Lima y D.P. a su área.Un cierto terreno cuesta 500 mil soles y otro

terreno de doble área y situado a una distanciacuádruple que la anterior costará:

a) S/. 250 000 d) S/. 500 000b) S/. 375 000 e) N.A.c) S/. 450 000

14. El sueldo de un empleado es directamenteproporcional a su rendimiento e inversamenteproporcional al número de días que ha faltado atrabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual deS/. 600 y su rendimiento es como 5 y falto 4días entonces. ¿Cuál es el sueldo de Carlos, su

rendimiento es como 8 y falta 3 días?

a) S/. 960 d) S/. 1 440b) S/. 1 080 e) S/. 980c) S/. 1 280

15. Hallar (x + y + z) del siguiente gráfico y de latabla.

(B - 5)

49

x

a) 110 min b) 200 c) 100d) 170 e) 50 12 z 21

(A - 6)

11. Dos veteranos de guerra tienen concedidaspensiones que son D.P. a las raíces cuadradasdel número de balazos que recibieron. Si elprimero recibió 24 balazos más que el segundo ylas pensiones están en la relación de 91 a 65.¿Cuántos balazos recibió el segundo?

A 18 27 a

B 25 y 54

a) 39 b) 90 c) 50d) 60 e) 40



EscuelaPitagórica

Inicio denuestra era

El promedio(Average)

V a.C. 0 100 aprox.


V a.C. La Escuela Pitagórica, fundada por Pitágoras cuyo lema era:“Los números rigen el mundo”. Tuvieron conocimiento de

las proporciones aritméticas, geométricas y armónica y por

consiguiente las medias aritmética, geométrica y armónica.

100

aprox.

De la palabra latina Havaria, se deriva la palabra moderna

Average (Promedio).




PROMEDIOS

ENGENGAAÑÑOOSOSO PPROROMMEEDIDIOO:: LOLOSS AAUTUTOOMMOOVVIILLISTASISTAS

Pedro y Pablo son dos automovilistas quehacían habitualmente el mismo viaje deida y vuelta entre dos ciudades, cadauno en su coche:

En cierta ocasión hablaron del asunto yPedro dijo a Pablo:- El viaje de ida lo hago a 80 km/h y

la vuelta a 60 km/h.Pablo contesto a Pedro:Por las características de un coche yde la carretera hago el viaje de ida yvuelta a la velocidad constante de70 km/h, que es el promedio de lasvelocidades que Ud. me ha dicho demodo que empleamos el mismotiempo en el viaje.

¿El razonamiento de Pablo escorrecto? ¿Emplean el mismo tiempo en el

viaje?

Sol.:

EENNGGAAÑÑOOSOSO PPRROOMEDIMEDIOO::ELEL VENDEVENDEDDOORR DEDE NANARRANANJJASAS

Un vendedor ambulante se puso a venderuna cesta de naranjas a razón de 10monedas cada 5 naranjas.En el momento de la venta cambio deopinión e hizo un montón con las 58naranjas más gordas y otro con las 57más pequeñas.Las gordas las vendió a 5 monedas cada 2naranjas y las pequeñas a 5 monedascada 3 naranjas.

¿Era esto lo mismo que la intenciónprimera?

Sol.:



MMEDIAEDIA GEOGEOMMÉÉTRITRICCAA (P(Paarara ddooss ccaannttiidadades)des) PPRROOMMEDIOSEDIOS M.G.-(A, B) = A x B

PROPROMMEEDDIIOO AARRIITTMMÉTÉTIICOCO ((PP..AA..))Si tenemos “n” números ordenados en forma

Ejm.: Hallar la media geométrica de 9 y 16.

creciente. M.G.(9, 16) = 9 x 16 = 12

a1 < a2 < a3 < … an

“n” números

Se define el promedio aritmético como aquelnúmero comprendido entre el menor y el mayorque puede reemplazar a todos ellos sin que susuma se altere.

P.A. (“n” números) =a1 + a2 + a3 + … +

ann

a1 < P.A. < an

9 12 16

Media proporcionalcocientes iguales

PROPROMMEDIOEDIO AARRMMÓÓNNIICCOO (P.(P.HH.).)Es aquel valor comprendido entre el mayor y elmenor y que puede reemplazar a todos ellos sinque la suma de sus inversas se altera.

nEjm.:Hallar el promedio aritmético de 2, 5, 9 y 12.

P.H.(“n” números) =1

+ 1

a1 a2+

1...

1a3 an

P.A. = 2 + 5 + 9 + 12 = 74

Ejm.: Hallar el P.H. de 4, 6 y 9

MMEDIAEDIA AARRIITTMMÉTIÉTICCAA (P(Paarraa ddoossccaannttiidadades)des)

P.H.(4, 6, 9) = 31+

1+

1 = 108

19= 5

1319

M.A. (A, B) = A + B

2

4 6 9

Ejm.: Hallar la media aritmética de 12 y 1818 + 12

MMEDIAEDIA AARMRMÓNIÓNICCAA (P(Paarraa dosdos cacannttiiddaadedess))

M.A.(18, 12) =2

= 15M.H.(A, B) =

2=1

+ 1

A . B2A + B

A B12 15 18

equidista de 12 y 18 Ejm.: Hallar la media armónica de 40 y 60.

PROPROMMEEDDIIOO GEOGEOMMÉÉTTRRIICCOO ((PP.G.).G.)Se define el promedio geométrico de “n”números como aquel valor comprendido entre elmayor y el menor y que puede reemplazar a

M.H.(40, 60) = 2 x 40 x 60

40 + 60= 48

todos ellos sin que su producto se altere.

P.G. (“n” números) = n a1 . a2 . a3 ... an

a1 < P.G. < an

Ejm.: Hallar el P.G. de 5, 6, 9

PROPROPPIEDIEDAADESDES DEDE PROPROMMEEDDIOS:IOS:

1. Para números no iguales el promedioaritmético es mayor que el promediogeométrico y este a su vez es mayor que elpromedio armónico.

P.A. > P.G. > P.H.P.G.(4, 6, 9) = 3 4 x 6 x 9 = 6



M.G

2. Para dos números a y b se cumple:b) Se vendieron 150 ejemplares de ElM.A.(a, b) =

a + b2

M.H.(a, b) = 2aba + b

mayor promedio

menor promedio

Comercio a S/. 3 cada uno y 100 ejemplaresdel Correo a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuál es elprecio promedio de los diarios emitidos?

a) S/. 2 b) S/. 2,5 c) S/. 1,252

(a, b) = M.A.(a, b) . M.H.(a, b)

d) S/. 1,8 e) S/. 2,4

3. a) En un grupo de 6 personas ninguna de ellas⇒ a = b

Observación:Si M.A(a, b) = M.G.(a, b) = M.H.(a,b)

⇒ a = b

3. Para los números iguales se cumple que P.A. y P.G. y P.H. son iguales.

k + k + kEjm.: P.A.(k, k, k) = = k3

P.G.(k, k, k) = 3 k . k . k = k

3

es menor de 15 años. Si el promedio de lasedades es 18 años. ¿Cuál es la máxima edadque puede tener una de ellas?

Rpta.: ……………………

b) El promedio de las edades de 4 hombres es48, ninguno de ellos es menor de 15 años.¿Cuál es la máxima edad que podría teneruna de ellos?

a) 51 b) 53 c) 57

d) 54 e) 604. a) Halle “n” si el promedio geométrico de 2;

22 ; 23; 24; … 2n es 64.P.H.(k, k, k) = = k1

+ 1+

1k k k

Rpta.: ……………………

b) Hallar “x” si el promedio geométrico de 2x,P.A. = P.G. = P.H. = k 22x y 8x es 1024.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6


AA

p plliiccaacc

iióónn

5. a) Si 12 y 93

5son la media geométrica y

armónica de dos números a y b. Hallar a + b

Rpta.: ……………………

1. a) Dos números son entre sí como 2 : 1 si se b) La media aritmética de 2 números es 6 y suduplica el primero y se quintuplica elsegundo su promedio es 9. El promediooriginal de los números es:

media geométrica es 4de los números.

2 . Hallar el mayor

Rpta.: ……………………

b) Dos números son entre sí como 7 es a 9. Sisu media aritmética es 88. Hallar ladiferencia de los números.

a) 22 b) 33 c) 11d) 44 e) N.A.

2. a) A lleva tres cursos de 6, 5 y 5 créditoscuyas notas son 15; 12,5 y 12,7 respecti-vamente. Si B ha llevado cuatro cursos de 2,3, 2 y x créditos obteniendo de notas: 12,13, 12 y 15 respectivamente, con los cualessus respectivos promedios ponderados sonlos mismos. Hallar “x”

Rpta.: ……………………

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

6. a) El promedio de las edades de 3 personas esigual a p si se aumenta una persona más elpromedio disminuye en 2. Entonces hay una

persona por lo menos que es mayor que lacuarta.Rpta.: ……………………

b) El promedio de las edades de tres personases de 12 años, si agregamos una cuartapersona cuya edad es de 24 años entonces:

a) El promedio no se altera b)El promedio aumenta en 2 c)El promedio aumenta en 3 d)El promedio disminuye en 2 e)N.A.



PM

1 2 3 10

7. a) La media aritmética de 5 números es 120. Sile agregamos 5 nuevos números, la mediaaritmética queda aumentada en 80. ¿Cuál esel promedio aritmético de los 5 nuevosnúmeros?

13. Sabiendo que:a1 − 1

= a2 − 2

= a3 − 3

=1 2 3 y

...a10 − 10

10

Rpta.: ……………………

b) Si a un grupo de 5 números se le agrega los

números 18, 12 y 10 se observa que su mediaaritmética disminuye en 4 unidades.Determinar el promedio aritmético de estenuevo grupo de números.

a) 20 b) 24 c) 21d) 28 e) 30

8. El promedio aritmético de 50 números es 16. Sia 20 de ellos se les añade 7 unidades y a losrestantes se les quita 3 unidades. ¿Cuál es elnuevo promedio aritmético?

a) 10 b) 17 c) 15

d) 20 e) 189. De 500 alumnos de un colegio cuya estatura

promedio es de 1,67 m 150 son mujeres. Si laestatura promedio de todas las mujeres es de1,60 m. ¿Cuál es el promedio aritmético de laestatura de los varones de dicho grupo?

a) 1,7 m b) 1,59 c) 1,71d) 1,64 e) 1,68

10. Halle la media geométrica de M y N. Si:M = xn . xn . xn ... xn

1 4 44 2 4 443

"m" veces

N = (y5m . x) (y5m . x)...1 4 4 4 2 4 4 443

"n" veces

a) 4m b) x2m c) x3mn

d) xmn/2 e) N.A.

P.A.(a , a , a ...a ) = 11

Calcular el valor de:R = a1 . a3 . a5 . a7 . a9

a) 32 400 b) 30 240 c) 34 200d) 31 200 e) 30 180

14. La media aritmética de 150 números de cuatrocifras, todas impares, es 6125 y de otros 250números también de cuatro cifras, todasimpares, es 7400. ¿Cuál es la media aritméticade los números de cuatro cifras, todas impares,no considerados?

a) 3125 b) 3175 c) 3225d) 3025 e) 3075

15. Sea Yk una variable que representa ingresos en

nuevos soles: si la variable Yk esta relacionadacon Xk (gastos) de la forma:YK = XK – 3; para k = 1, 2, 3, … n¿Cuál es el promedio aritmético de los Xk si elpromedio de los Yk es 15?

a) 12 b) 13 c) 18d) 20 e) 12

romedio Aritmético.edia Aritmética.

11. Si el promedio de los “n” primeros númerosmúltiplos de 3, positivos es 57 y el promedio delos “m” primeros impares positivos es 43entonces (m + n) es:

a) 80 b) 85 c) 90d) 95 e) 100

12. Se tiene 100 números, A es el promedioaritmético de los 30 primeros y B es elpromedio aritmético de los números restantes.Se sabe que la media geométrica y media

Promedios

Promedio Geométrico.Media Geométrica.

Promedio Armónico.

Media Armónica.

Propiedadesarmónica de A y B son 10 2 y 13

13

respectivamente. ¿Cuál es el mayor valor delpromedio aritmético de los 100 números?

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 14




1. El mayor promedio de 2 números es 21. Si ladiferencia entre ambos números es 12. ¿Cuál esel número menor?

a) 10 b) 12 c) 15d) 17 e) 21

2. Hallar 2 números sabiendo que su mediaaritmética es 5 y su media armónica 24/5.

a) 7 y 3 d) 6 y 4b) 8 y 2 e) 5 y 4, 5

c) 6,5 y 3,53. Se sabe que el promedio aritmético de 2

números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es elpromedio geométrico de los 2 números?

a) 6 b) 7 c) 4d) 8 e) 3 2

a) 51 b) 50 c) 53d) 52 e) 54

9. Si el promedio de 20 números es 50, siagregamos 10 números cuyo promedio es 20.¿Cuál es el promedio final?

a) 42 b) 45 c) 40

d) 40,5 e) 42,5

10. El promedio aritmético de 50 números es 38siendo 45 y 55 dos de los números, eliminandoestos 2 números el promedio de los restantes es:

a) 33,6 b) 37 c) 38,1d) 37,5 e) N.A.

11. La media aritmética de 70 números es 40 y lamedia de otros 30 números es 50. Si a cadauno de los números del primer grupo se leaumenta 10 unidades y también a c/u de losnúmeros del segundo grupo se le disminuye en

20. ¿En cuánto varía el producto original de los100 números considerados?a) aumenta en 1 d) disminuye en 11b) disminuye en 1 e) no varíac) aumenta en 11

12. Calcular la estatura promedio en metros de 3personas, sabiendo que miden: “a” cm, “b” cm y“c” metros

4. El promedio aritmético de 2 números es 22,5 ysu promedio geométrico es 18. La diferencia delos números es:

a) 7 b) 17 c) 27

d) 20 e) 9

a)a + b + c

100

b)a + b + 10c

100

c)a + b + c

3

d)a + b + 100c

300

e)a + b + c

300

5. El producto de la media armónica y la mediaaritmética de 2 números enteros es igual altriple de la media geométrica de ellos. Hallar elproducto de los números.

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

6. Si M.A. x M.H. de A y B es 196 y M.A. x M.G.de A y B es 245. ¿Cuál es la diferencia entre A

y B?

a) 25 b) 24 c) 23

13. Pepe compro 50 acciones de una compañía aS/. 600 cada una y 2 meses más tarde compro25 acciones más a S/. 560 cada una. ¿A quéprecio deberá comprar 25 acciones adicionalespara tener un promedio de S/. 580 por acción?

a) S/. 570 b) S/. 560 c) S/. 530d) S/. 540 e) S/. 550

14. El promedio aritmético de “n” números es “p”,cuando se consideran “m” números más, elpromedio aumenta en 1. Calcular el promedio

aritmético de los “m” números.d) 22 e) 21

7. Las edades de 4 hermanos son proporcionales a

a) p + 2 b)

m

n + p c)m

n +p+1m

2, 3, 4 y 5. Hallar la edad del menor si elpromedio de todas las edades es 21.

a) 12 b) 30 c) 14d) 10 e) 24

8. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Sininguno tiene más de 59 años. ¿Cuál es la edadmínima que podría tener una de ellos?

d) + p + 1 e) N.A.n

15. El promedio aritmético de “n” número es 3. Elpromedio de la cuarta parte de estos númeroses 2,4 y el promedio de los 2/3 de los restanteses 1,2. Calcular el promedio de los restantes.

a) 7,5 b) 6,2 c) 6,0d) 7,2 e) 8,2



Nacimientode Jesús Brahmagupta

Leonardo dePisa

Descubrimientode América Euler

0 VI d.C. 1202 1492 1768


S. VI d.C. Brahmagupta escribió un libro sobre Aritmética –

Álgebra – Geometría. El cual desarrollada cuestiones

sobre enteros, fracciones, medidas regla de tres,

interés simple, progresiones y algunos problemas sobre

geometría plana.

1180 – 1250

d.C.

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, en el

año 1202, escribió un libro “Liber Abaci” (Libro del

abaco) en el que se encuentran expuestos:

Aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de

tres simple y compuesta, la división proporcional,

problemas de progresiones y ecuaciones…

1768 d.C. Apareció la “Aritmética Universal” de Euler en el cual

se generalizan las reglas de resolución de problemas

aritméticos.




REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

Regla de Tres Simple(relaciona solo 2 magnitudes)

Directa Inversa

• 965 km/h es la velocidad que alcanzaun estornudo en tu boca.

• En estrellar tu cabeza contra la paredusas 150 kilocalorías.

• El músculo más fuerte del cuerpohumano es la lengua.

• 2000 años antes de Cristo, los egipciosusaban estiércol de cocodrilo comoanticonceptivo.

• Antes de las batallas, los centurionesromanos pasaban por la manicura yademás se depilaban el vello de las

piernas.• La palabra fornicar deriva del latín“fornice” que significa curvatura de los

Ejemplo:Si Cecilia digita 20problemas en 8minutos. ¿Cuántos

digitará en una hora?

Solución:

Ejemplo:Quince cocinerosprepararon un buffeten 3 h y 20 minutos.

¿Cuánto habríantardado si trabajan20 cocineros?

Solución:

puentes y callejones era donde sepodían alquilar los servicios de lasprostitutas romanas.

• La zona de México conocida comoYucatán viene de la conquista, cuandoun español le preguntó a un indígenacomo llamaban ellos a ese lugar… elindio le dijo: Yucatán lo que el españolno sabía era que le estabacontestando: “no soy de aquí”.

RREEGLAGLA DEDE TTRRESES

Es una forma práctica de resolver problemasrelacionados a magnitudes proporcionales, seclasifica en: simple y compuesta.

Regla de Tres Compuesta(relaciona más de 2 magnitudes)

Existen varios métodos para resolver estos tiposde problemas; una de ellas es el MÉTODO DEMAGNITUDES.

Ejemplo:425 obreros hacen en 12 días, de 8 horas diarias350 m de una carretera. ¿Cuántos obreros

serán necesarios para que en 10 días de 12 horashagan 280 m. de la misma carretera?

Solución:





1. a) Para pintar una esfera de 20 cm de radio degasto 64 000. ¿Cuánto se gastara parapintar una esfera de 25 cm de radio?

Rpta.: ……………………

b) Un cubo de madera cuesta 12 soles.¿Cuánto costará otro cubo de la mismamadera pero de doble arista?

a) 24 b) 48 c) 60

d) 72 e) 96

2. a) Un recipiente contiene 58 litros de agua con2 litros de alcohol. ¿Qué cantidad de aguase debe adicionar para que agregando mediolitro de alcohol se tenga por cada litro demezcla 0,04 litros de alcohol?

Rpta.: ……………………

b) En un recipiente que contiene 8 litros deagua se han disuelto 750 gramos de azúcar.¿Qué cantidad de agua se habrá evaporado

cuando el litro de liquido restante contenga220 gramos de azúcar?

a) 6,8 l b) 3,4 c) 4,6d) 5,6 e) 3,6

3. a) Cuatro caballos cuya fuerza está represen-tada por 150 kg. cada uno, llevan un cocheque pesa 1640 kg. ¿Cuántos caballos senecesitan para llevar el mismo coche, si lafuerza de cada caballo se representa por100 kg.?

Rpta.: ……………………

a) 20 h; 16 cig d) 16 h; 20 cigb) 12 h; 18 cig e) 18 h; 12 cigc) 30 h; 15 cig

4. a) Para levantar 800 kg. se emplean 3 obreros

que utilizan una máquina que duplica lafuerza. Si para levantar 1600 kg. se empleauna segunda máquina que triplica la fuerzaempleando “n” obreros. Hallar “n”

Rpta.: ……………………

b) En una fábrica había 80 obreros, se calculaque el jornal que cobraba cada unodiariamente iba a alcanzar para 10 díastranscurridos 4 días se retiraron 20obreros. ¿Diga para cuántos días más de lo

calculado alcanzó el dinero?

a) 8 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

5. a) Una cinta metálica esta graduada errónea-mente con 40 pies donde en realidad solohay 39 pies con 8 pulgadas. ¿Cuál es laverdadera longitud de una distancia que condicha cinta marcó 480 pies?(1 pie <> 12 pulgadas)

Rpta.: ……………………

b) Un automóvil pesa 2,7 T.M. ¿Cuánto pesarauna reducción a escala de 1:10 hecho delmismo material?

a) 270 kg b) 2,7 c) 0,027d) 27 e) 0,27

6. a) Un móvil aumenta su velocidad en 1/3.¿Cuántas horas diarias debe estar enmovimiento para recorrer en 4 días ladistancia cubierta en 6 día de 8 horas

diarias?

b) Jorge es un empedernido fumador, se fuma5 cigarros por cada 4 horas quetranscurren. Compra una caja de fósforos yobserva que para encender un cigarro tieneque utilizar siempre 2 fósforos. ¿Encuántas horas Jorge consumirá toda la cajade fósforos (1 caja de fósforos de 40palitos) y cuántos cigarros consumirá?

Rpta.: ……………………

b) Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos.¿En cuánto tiempo 50 monos comerán 150plátanos?

a) 50 min b) 6 c) 18d) 150 e) 12



7. a) Una compañía industrial posee 3 máquinasde 84% de rendimiento para producir 1600envases cada 6 días de 8 horas diarias detrabajo. Si se desea producir 3000 envasesen 4 días trabajando 7 horas diarias.¿Cuántas máquinas de 90% de rendimiento

se requieren? Rpta.: ……………………

b) Para arar un terreno con 4 tractores, lohacen en 12 días. La fuerza de los tractoresesta representada por 9 y la resistencia delterreno por 6. ¿Cuánto tardaran para ararotro terreno de igual extensión, 3 tractoressi la fuerza esta representada por 8 y laresistencia del terreno por 7?

a) 20 días b) 21 c) 23

d) 22 e) 25

8. a) Si “n” hombres trabajando 8 h/d hacen 80mde una obra en 10 días y “m” hombres en 6días harían 60 m de una obra si trabajarían6 h/d. Determinar el valor de “n” si:m + n = 48

Rpta.: ……………………

b) Un reservorio cilíndrico de 8m de radio y 12de altura, abastece a 75 personas durante20 días. ¿Cuál deberá ser el radio de un

recipiente de 6 m. de altura que abaste-cería a 50 personas durante 2 meses?

a) 8 m b) 16 c) 11d) 24 e) 18

9. a) Si (2x - 15) hombres en (n + 1) días hacen la

enésima parte de una obra y (n2 - 1) hombrescon rendimiento igual la mitad que el de losanteriores hacen el resto de la obra en “x”días. Hallar “x”

Rpta.: ……………………

b) Treinta obreros deben entregar una obra en29 días, 5 días después de iniciado eltrabajo se decidió que se entregue 9 díasantes del plazo fijado para lo cual secontrató 10 obreros más y se trabajó cadadía 2 horas más. ¿Cuántas horas diarias setrabaja inicialmente?

a) 8 b) 10 c) 12d) 9 e) 6

10. a) Las máquinas M1 y M2 tienen la misma cuotade producción semanal, operando 30 y 35horas respectivamente. Si M1 trabajo 18

horas y se malogra debiendo hacer M2 elresto de la cuota, diga ¿Cuántas horas debetrabajar M2?

Rpta.: ……………………

b) Se necesitan 12 hombres o bien 18 mujerespara efectuar una obra en 30 días.¿Cuántas mujeres hay que añadir a 8hombres para hacer una obra el triple que laprimera de difícil en 36 días?

a) 15 b) 33 c) 20

d) 12 e) 9

11. Cecilia es el doble de rápida que Diana y estaestá es el triple de rápida que Silvia. Juntasparticipan en una carrera de postas(recorriendo espacios iguales) logrando elequipo una marca de 27 segundos. ¿Cuántotardaría Cecilia en hacer sola todo elrecorrido?

a) 12 seg. b) 10 c) 24d) 9 e) 15

12. Un envase esférico lleno de cierta sustanciapesa 5 libras pero vacío una libra. ¿Cuántopasará otro envase esférico del mismo material

y lleno con la misma sustancia, si su radio es eldoble del anterior?

a) 32 libras b) 33 c) 34d) 35 e) 36

13. Una cuadrilla de 22 obreros, trabajando 5horas diarias, han empleado 6 días para abriruna zanja de 220 m. de largo, 1 m de ancho y0,625 m. de profundidad. ¿Cuántos días másempleará otra cuadrilla de 12 obreros,trabajando 4 horas diarias para hacer otrazanja de 100 m. de largo; 1,5 m. de ancho y 1 m.de profundidad?

a) 5 b) 4 c) 9d) 3 e) 6



14. Las eficiencias de un hombre, una mujer y unniño para realizar un trabajo, están en larelación de 3 : 2 y 1 respectivamente. Si dichaobra puede realizarla 2 hombres y 3 mujeres,trabajando juntos en 15 días. ¿En cuántos díasrealizaran el mismo trabajo un hombre, una

mujer y un niño?

a) 20 b) 15 c) 25d) 10 e) 30

15. 32 obreros se comprometen a realizar una obraen 16 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabode 8 días solo ha realizado los 2/5 de una obrapor lo que se aumenta 8 obreros más y trabajantodos durante 4 días más dándose cuenta queno terminarán la obra en el plazo fijado ydeciden aumentar las horas diarias de trabajo.

¿Cuántas horas diarias aumentarán?

a) 3 h b) 5 c) 7d) 4 e) 2

RREEGGLLAA DEDE TRTREESS


1. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. delado, un peón cobra 300 soles. ¿Cuánto cobrarapor sembrar otro terreno cuadrado de 12 m. delado?

a) 108 b) 109 c) 110d) 111 e) 107

2. 300 hombres tienen alimentos para 51 días. Siestos alimentos deben alcanzar para 153 días.

¿Cuántos hombres deben disminuirse?

a) 100 b) 205 c) 210d) 180 e) 200

3. Si por pintar un cubo me cobran 30 pesos.¿Cuánto me cobraran por pintar otro cuyovolumen es 8 veces el anterior?

a) 50 b) 90 c) 360d) 200 e) 120

SIMPLE

DIRECTA INVERSA

COMPUESTA 4. La habilidad de dos trabajadores son como 5 y

13. Cuando el primero haya realizado 280 m3 decierta obra. ¿Cuánto habrá realizado el otro?

a) 358 m3 b) 628 m3 c) 78 m3

d) 728 m3 e) 738 m3

5. Un ingeniero puede construir un tramo deautopista en 3 días con cierta cantidad demáquinas; pero emplearía un día menos si se ledieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá

ejecutar el mismo tramo con una sola máquina?

a) 36 días b) 42 c) 48d) 30 e) 32

6. Un grupo de obreros realiza una obra en “d”días, pero si agregamos 8 obreros, el número dedías disminuirá en 1. Calcule “d” si es el mayorentero posible, además el número de obrerosiniciales es menor que 45.



a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

7. Diez obreros tienen que hacer un trabajo en “n”días. Luego de 4 días de iniciada la obra, 2obreros se retiran originando un atraso de 3

días. Hallar “n”

a) 16 días b) 15 días c) 12 díasd) 18 días e) 10 días

8. En una comunidad cuatro hombres y una mujercultivan un terreno en 24 días. Si se aumentaun hombre y una mujer cultivan el mismoterreno en 6 días menos. ¿En cuántos díascultivarán el mismo terreno los 4 hombressolos?

a) 24 b) 27 c) 36d) 21 e) 16

9. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días.

¿En cuántos días talarán 16 leñadores 16árboles, si estos últimos son 1/4 menosrendidores que los anteriores?

a) 10 b) 8 c) 9d) 12 e) 16

10. En 6 días, 16 obreros han construido una pared

que tiene de largo 18 m. de altura, 6 metros y95 cm. de espesor. Si hubieran trabajado solo12 obreros. ¿Cuántos días habrían empleado?

a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) 9

11. Si 4 cajistas en 20 días, trabajando al día 6horas, componen 80 folletos de 50 páginas cadafolleto y de 30 líneas cada página, ¿Cuántos díasnecesitaran 10 cajistas trabajando al día 8horas, para componer 100 folletos de 500

páginas cada folleto y de 40 líneas cada página?

a) 10 b) 30 c) 15d) 12 e) 9

12. Una cuadrilla de 15 hombres se comprometen aterminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9días solo han hecho 3/7 de la obra. ¿Concuántos hombres tendrán que ser reforzadospara terminar la obra en el plazo fijado?

a) 15 b) 18 c) 20d) 21 e) 19

13. El transporte en carro de 20 toros hasta unadistancia de 800 km. pesando cada toro 400 kg.ha costado S/. 4000. ¿Qué distancia se habrátransportado 50 toros de 1200 kg. cada uno

costando el transporte S/. 18 000?

a) 980 km. b) 1040 c) 1080d) 1120 e) 1320

14. Una cuadrilla de 40 obreros hacen los 3/10 deuna obra en 18 días trabajando 7 h/d, luego delos cuales abandonan el trabajo 10 obreros porenfermedad. ¿En qué fracción debe aumentarla eficiencia de los obreros que quedan si estosaumentan en una hora el trabajo diario y deseanterminar la obra una semana antes de lo

planificado?a) 1/4 b) 3/5 c) 5/8d) 3/4 e) 2/5

15. La hierba crece en un prado con igual rapidez yespesura. Se sabe que 60 vacas se la comeríanen 25 días y 40 vacas en 45 días. ¿Cuántasvacas se comerán todo la hierba en 75 días?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50



Egipcios Babilonios Griegos Romanos MahaviraLeonardo de

Pisa

ApareceMCM de

fracciones

4000 a.C. 3500 a.C. VI a.C. 0 850 d.C.Inicio de

nuestra era

1202 XVI


4000 a.C. Al principio los egipcios solo usaron las fracciones unitarias1/2, 1/3, 1/4 …, conociendo sólo 2/3 y 3/4 como las nounitarias.

3000 a.C. Los Babilonios utilizaron el denominador constante 60 y suspotencias.

VI a.C. Los griegos al igual que los egipcios, ellos utilizaron elnumerador constante 1, valiéndose de letras paranumeradores diferente de la unidad.

850 d.C. Mahavira fue quien dio la regla de división de quebrados

Los romanos adoptaron el denominador constante 12.

1202 Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominaciónde números quebrados al llamarle números ruptos (rotos),

empleó la raya de quebrado para separar numerador ydenominador.

XVI Aparece la reducción de quebrados a un comúndenominador por medio M.C.M. y su simplificación pormedio del M.C.D.



F = =


NÚMEROS RACIONALES

LLOOSS NÚMNÚMEERROOSS Y Y SSUU SISIGGNIFNIFIICADOCADO

La astrología como ciencia existe desdeantes de cristo, esta demostrando queexisten fuerzas en el universo que seinfluyen mutuamente:Así los planetas influyen directamente enlos seres vivos.Los colores influyen en nuestra

personalidad. Incluso los números tienenun significado que influye en nosotrosveamos:

1. Lo que empieza la voluntad, el padre, launificación, el corazón.

2. La dualidad, urgencia de conciliar, losopuestos, la madre, sopesar los que seopone, actuar con calma.

3. la creación, lo que produce buenosresultados. Hacer las cosas para quesean bellas.

4. Estabilidad. Hacer las cosas con orden

y con bases sólidas, no conviene serimpulso consecución de resultadosmateriales.

5. Eliminar las fantasías. Es el número dela intuición pero basado en realidadestangibles, controlando las personas.

6. El número del amor, el sexo y lasdecisiones también es el número de lasseparaciones y divorcios.

7. Anuncia victoria pero con muchasluchas conviene actuar con serenidad.

8. Justicia y paciencia.9. Representa la soledad pero entendida

como una etapa de soledad que puedetener beneficios espirituales.10. Cambios, movimientos positivos y

negativos. Indica que nada es estable.

CCoonncceeptptooEs la relación entre dos términos en donde unode ellos llamado denominador nos indica laspartes en que se ha dividido una determinadaunidad y la otra llamada numeración nos indicalas partes que tomamos de esta división.

NoNotactaciiónón

p Numerador partes tomadasq Denominador división total

CCllaassiifficicaacciióónn

I. P or c o mparac ión de su s t érminos

IA. Prop ia .- Cuando el denominador esmayor que el numerador D > N.

IB. Impropia.- Cuando el denominadores menor que el numerador D < N.

Ejemplo:

a

< 1 a < bba

;5

;1

;2

7 9 3 7

a

> 1 a > bb10 7 9; ;3 4 2

II. P or su deno min a d or

IIA. Ordinaria.- Es aquella cuyodenominador es diferente de unapotencia de 10.

IIB. D ecimal.- Es aquella cuyodenominador es una potencia de 10.



Ejemplo:

9

,3

,1

4 11 2

MMí í nniimmoo CCoomúnmún MMúlúlttiipploloEl MCM de varias fracciones irreductibles esigual a MCM de los numeradores entre el MCDde los denominadores.

7

,10

13

,100

19

1000 , ...

Ejemplo 1 : Hallar el MCD y MCM

de :21

,9

y5

III. P or comparación de los deno min adores8 16 6

IIIA. Hom o g é nea .- Son aquellas cuyosdenominadores son iguales.

IIIB. Heterogé n ea .- Son aquellas condenominadores diferentes.

Ejemplo:

MCD :

MCM:

MCD(21, 9, 5)=

MCM(8, 16, 6)

MCM(21, 9, 5)=

MCD(8, 16, 6)

148

3152

Ejemplo 2 : Calcular el MCM de:

3

,

2

/

2

,

5

12 324 4 7 7 ,15 150

3

,7

/3

,4

5 9 11 9

NÚNÚMMEERORO DDEECICIMMALAL

Frac c ió n R educt ible o Equ ivalenteEs aquella cuyo numerador y denominador tienenun divisor común diferente de la unidad, es decirse puede simplificar.

Es aquel que consta de una parte entera y de unaparte decimal.

41

92332 , 0

1322316

Ejemplo:

14 Simplificando

2

14=

2

parteentera

partedecimal

21 3 21 3 CCllaassiifficicaacciióónn

8 Simplificando

1

8=

1 I. Exact o s o limita d o s24

Fracción Irreducti ble

3 24 3

0,75 = 75100

Es aquella cuyo términos son primos entre sí.

Ejemplo:

0,8 =810

5,

9,

4,

7

7 11 9 3

II. Inexa c to s o I lim itados

IIA. Perió dicos Puro

MMCCDD –– MMCCMM DEDE NNÚÚMMEERROOSSFFRRACACCCIOIONNARIOSARIOS

0,aaa … = 0,a =a9

MáMáxxiimomo CCoomúnmún DDiiv v iisorsorEl MCD de varias fracciones irreductibles esigual al MCD de los numeradores entre elMCM de los denominadores.

0,2121 … =



IIB. Pe rió d ic os M ix tos

0,abbb… = 0,ab = ab − a

90



0,3222... = ………………………

0,48383… = ………………………

0,02333… = ………………………

1,333… = ………………………

3,24222… = ………………………

0,15 = ………………………

0,92 = ………………………

0,251 = ………………………

4,2525 = ………………………

10,32 = ………………………

0,342 = ………………………

6,27 = ………………………

1. a) Encontrar un quebrado de denominador 84que sea mayor que 1/7 pero menor que 1/6.

Rpta.: ……………………

b) Si se añade 5 unidades al denominador de7/15. La fracción aumenta o disminuye ¿encuanto?

a) aumenta en 7/60b) aumenta en 9/60c) disminuye en 1/60

d) disminuye en 7/60e) se mantiene igual

2. a) Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4;sumar dichas diferencias, multiplicar lasmismas, dividir la suma por el producto,hallar la tercera parte del cociente yextraer la raíz cuadrada del resultado.Entonces se obtiene.

Ejemplo:

Si se cumple que:

b) Simplificar:

3 . 4 + 3 + 2 − 1

Rpta.: ……………………

) ) 8 5 10 9 6 . 2 =3

+ 1

0,00a + 2(0,0a + 0, a)

= 0,73 6+

1− =

1 2+

4− = 7 4 3

Hallar: “a” 15

6 5 3 9 12

Solución: a) 5/6 b) 21 c) 13/12d) 45 e) N.A.

3. a) Calcular un número sabiendo que si a lacuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5de su 3/8 y se restan los 3/8 de su quintaparte, se obtiene 21.

Rpta.: ……………………

b) ¿Cuánto le falta a 2/3 para ser igual alcociente de 2/3 entre 3/4?

a) 1/3b) 1/6c) 2/9d) No le falta nadae) es mayor que el cociente



4. a) Hallar una fracción tal que si se le agrega sucuadrado, la suma que resulta es igual a lamisma fracción multiplicada por 110/19.

Rpta.: ……………………

b) Si a los términos de 2/5 le aumentamos 2

números que suman 700, resulta unafracción equivalente a la original. ¿Cuálesson los números?

a) 200 y 500 d) 100 y 600b) 200 y 600 e) 250 y 450c) 150 y 550

b) Un padre le pregunta a su hijo, ¿Cuántogastó de los S/. 1800 de propina que le dió?El hijo le responde: Gaste los 3/5 de lo queno gaste ¿Cuánto no gasto?

a) S/. 1115 b) 1125 c) 1130d) 675 e) 775

8. a) Después de haber perdido sucesivamentelos 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los5/12 del nuevo resto, una persona hereda60 800 soles y de este modo la pérdida sereduce en la mitad de la fortuna primitiva.¿Cuál es dicha fortuna?

5. a) La distancia entre Lima y Trujillo es de540 km. a los 2/3 de la carretera, a partirde Lima, esta situada la ciudad de Casma, ala quinta parte de la distancia entre Lima yCasma, a partir de Lima, se encuentra la

ciudad de Chancay. ¿Cuál es la distanciaentre Chancay y Casma?

Rpta.: ……………………

b) A un alambre de 91 m. de longitud se le da 3cortes de manera que la longitud de cadatrozo es igual a la del inmediato anterioraumentado en su mitad. ¿Cuál es la longituddel trozo más grande?

a) 43,10 m b) 25,20 m c) 37,80 md) 38,00 m e) 40,30 m

6. a) Los 3/8 de un poste están pintados deblanco, los 3/5 del resto de azul y el restoque mide 1,25 de rojo. ¿Cuál es la altura delposte y la medida de la parte pintada deblanco?

Rpta.: ……………………

b) Un granjero reparte sus gallinas entre sus 4hijos. El primero recibe la mitad de lasgallinas, el segundo la cuarta parte, eltercero la quinta parte y el cuarto las 7

restantes. Las gallinas repartidas fueron:

a) 80 b) 100 c) 140d) 130 e) 240

9. a) De un tonel que contiene 320 litros de vinose sacan 80 litros que son reemplazados poragua. Se hace lo mismo con la mezcla porsegunda y tercera vez. ¿Qué cantidad devino queda en el tonel después de la terceraoperación?

Rpta.: ……………………

b) De un tonel que contiene 320 litros de vinose sacan 1/8 y son reemplazados por agua.Se hace lo mismo con la mezcla por segunda

y tercera vez. ¿Qué cantidad de vino quedaen el tonel después de la tercera operación?

Rpta.: ……………………

b) Un cartero dejo 1/5 de las cartas que llevaen una oficina, los 3/8 en un banco, si aún lequedan 34 cartas para distribuir. ¿Cuántascartas tenía para distribuir?

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) N.A.

7. a) Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí,luego recupero 1/3 de lo que no recupero yentonces tengo S/. 42. ¿Cuánto me quedaríaluego de perder 1/6 de lo que no logrérecuperar?

Rpta.: ……………………

a) 200 b) 214 c) 236d) 284 e) N.A.

10. a) Los 3/4 de un tonel más 7 litros, son depetróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua.¿Cuántos litros son de petróleo?

Rpta.: ……………………

b) Después de sacar de un tanque 1600 litrosde agua, el nivel de la misma descendió de2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros había que añadirpara llenar el tanque?

a) 32 000 b) 48 000 c) 24 000d) 16 000 e) N.A.



11. Cierta clase de paño se reduce después dellavado en 1/6 de su longitud y en un 1/5 de suanchura. ¿Qué longitud de paño nuevo esnecesario emplear para tener 30 m2 de paño,después de mojado, si el paño tenía antes0,90 m de ancho?

NÚMNÚMEEROROSS RARACCIIOONANALLEESS

a) 100 m b) 50 m c) 40 md) 80 m e) 60 m

12. a) Operar y dar el valor de “M”

CLASIFICACIÓN

PropiaImpropiaOrdinariaDecimal

NÚMERO DECIMAL

Exactos

0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5M =

) ) ) ) ) Homogénea P. Puro0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5

Rpta.: ……………………

b) El valor exacto de la siguiente operación es:(0,123232...) (3,666...)

6,777

Heterogénea InexactosP. Mixto

a) 2/3 b) 1/15 c) 1/5d) 1/45 e) 3/5

13. a) Hallar x + y si:


x+

y= 0,62

9 11 1. Colocar >, < ó = según el caso:

b) Hallar x + y

Rpta.: ……………………I.

1

2………………

13

x+

y= 0,96 II.

2………………

43 63 11

III.5

………………6

9 11

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 12 IV. 811

……………… 12

14. a) Calcular el valor de (a + b + c) en: V.6

………………12

8 16) ) )

0,00a + 0,00b + 0,00c = 0,10

Rpta.: ……………………

VI.

VII.

4………………

211 511

………………1

13 2

b) Calcular el valor de (a + b) en:)

VIII.4

………………1

13 30, ab + 0, ba − 0,1

= 1,3IX.

7………………

22 7

a) 4 b) 9 c) 11

d) 15 e) 17

15. a) Hallar “N”. Sabiendo que:N

= 0, x(x + 1) (2x + 1)37

Rpta.: ……………………

b) Halla “x” en:N

= 0,x(x - 1)11

a) 4 b) 3 c) 1

d) 2 e) 5



2. Un puente cruza un río de 760 pies de ancho,en una orilla se sostiene 1/5 del puente y enla otra orilla 1/6. ¿Cuál es la longitud delpuente?

a) 1000 pies b) 1200 c)1100 d) 1300 e) N.A.

3. Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cadauno.

Si se vacían los 3/5 de las 15 botellas.¿Cuántos litros quedan?

a) 8 l b) 10 l c) 12 l

d) 9 l e) 11 l



4. Una persona recibe viáticos por 4 días, el a bprimer día gastó la quinta parte; el segundo día 10. Si +

5 11= 0,781

gastó 1/8 del resto; el tercer día los 5/3 delprimer día; el cuarto día el doble del segundodía y aún le quedo 15000 soles. ¿Cuál fue lacantidad entregada?

a) S/. 50 000 b) 75 000 c) 150 000d) 90 000 e) 45 000

5. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resultatriplicada si se agrega a sus dos términos sudenominador?

a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5d) 5/13 e) 2/9

6. Una propiedad es de dos hermanos, la parte del1ero. es 7/16 y el valor de la partecorrespondiente a otro hermano es S/. 63 000.

¿Qué valor tiene la propiedad?

a) S/. 120 000 b) 150 000 c) 140 000d) 112 000 e) 108 000

7. Si a los términos de una fracción irreductible,se le suma el triple del denominador y alresultado se le resta la fracción resulta lamisma fracción. ¿Cuánto suman los términos dela fracción original?

a) 11 b) 8 c) 3

d) 13 e) 10

Hallar: a + b

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.

11. Dado:

0,m1 + 0,m2 + 0,m3 =1411

Hallar “m”

a) 5 b) 2 c) 1d) 4 e) 3

12. Dado:

0,n3 + 0,n4 + 0,n7 =

49

Hallar: “n”

a) 5 b) 2 c) 3d) 1 e) 4

13. Hallar la suma del numerador más eldenominador de la fracción que debo sumar a lafracción periódica 0,8787… para ser igual a lafracción periódica 1,2121…

a) 6 b) 2 c) 4

d) 3 e) 5

8. Yo poseo los 3/5 de una hacienda llamada“Paramo”, si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cuáles son

14. Si suma a 21

2dos mitades de 2

1, luego sumo

2

3correctas? el doble de lo que ya sume; multiplico por los

5

I. Me quedan 9/40 de la hacienda. de dos mitades de 21

2 y finalmente divido

II. Me quedan los 5/8 de mi parte.III. Vendí menos de 1/4 del total de la

hacienda.

a) Solo I b) Solo II c) Solo III

d) I y II e) II y III

9. En un salón de 50 alumnos se observa que laséptima parte de las mujeres son rubias y laonceava parte de los hombres usan lentes.¿Cuántos hombres no usan lentes?

a) 22 b) 28 c) 2d) 20 e) 4

entre los tres tercios de lo que me queda.¿Cuánto es lo que me queda?

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) N.A.

15. Un moribundo reparte su fortuna entre suscuatro hijos. Al primero le da 1/3 del total, alsegundo 1/4 del resto, al tercero 1/5 del nuevoresto, quedando $ 600 para el último. ¿Cuál erala fortuna del moribundo?

a) $ 1200 b) 1000 c) 1500d) 1600 e) 1800




REPASO

1. En cierto momento de una fiesta el número demujeres y el número total de asistentes, estánen la relación de 3 a 7; además el total dehombres y las mujeres que no bailan están enla relación de 3 a 2. Indicar cuántas personashay si en total están bailando en este momento20 personas.

a) 196 b) 210 c) 180d) 175 e) 240

♣ 42 dientes tiene un perro, mientras que elhombre 32.

♣ 50 años aproximadamente tenía AlonsoQuijano cuando enloqueció y setransformo en Don Quijote.

2. Los contenidos de dos depósitos de agua están

en relación de 3 a 5. Si de uno de ellos sepasan 4 litros al otro, la nueva relación seríade 5 a 7. ¿Cuál es el contenido de cadadepósito? Dar como respuesta la suma.

a) 80 l b) 88 c) 96d) 104 e) 112

♣ 50 veces su propio peso es lo que puede3. Si:

a=

c y (a – b) (c - d) = 729

levantar una hormiga. b d♣ El 97% de agua esta en los mares, el 3%

es agua dulce. De este 3% el 97% esta enHallar: R = ac − bd

los polos congelada, el 2% esta en las

corrientes subterráneas y el 1% es la quetenemos acceso. De este 1% el 57% estaen lagos, el 38% pertenece a la humedad

a) 9 b) 27 c) 81d) 3 e) 243

4. Si se cumple que:a=

b=

cdel medio, el 8% es vapor, el 1% esta enorganismos vivos y el 1% esta en los ríos.

x y z

3ac + b2

Esto nos deja 0,02% de agua para toda la Además: y2

+ 3xz= 16

humanidad.♣ Más de 200 venas tiene el pene.♣ 350 veces su tamaño puede saltar una

pulga.♣ 8,848 metros tiene el monte Everest en el

Himalaya, pero no tiene nada que hacer allado del Monte Olimpo en Marte 26 km dealtura.

♣ 40 000 km/h es la velocidad que debealcanzar un cohete para vencer laatracción de la tierra.

♣ 9 460 800 000 000 kilómetros mideaproximadamente un año luz.

a3 + b3 + c3

Calcular: R =z3

+ x3+ y

3

a) 8 b) 2 c) 4d) 16 e) 64

5. Si 3 A varía en forma D.P. con B2 y B varía enforma I.P. con C , si cuando A = 9, B = 4,C = 24. Hallar el valor de A cuando B = 8 yC = 3.

a) 9/2 b) 4/3 c) 3/4d) 9/8 e) 3/8

6. Entre A y B existe una relación deproporcionalidad; se tiene valores de estasmagnitudes en el siguiente cuadro:



A x 20 4 32 8 x + y

B 27 75 3 y 12 z

Calcular (x + y + z)a) 7803 b) 8007 c) 7815

d) 7963 e) 314167. Un padre desea repartir “k” soles entre sus

hijos en forma proporcional a sus edades queson 6, 9 y 12 años, luego cambia de opinión y elreparto lo realizará cuando la suma de susedades sea 45 años; motivo por el cual uno deellos recibirá 38 soles más. Calcule “k”

a) 1710 b) 855 c) 432

obreros y trabajan todos desde allí a 5 h/d.Calcular “n” si el trabajo se hace en el tiempoestablecido.

a) 40 b) 8 c) 52d) 54 e) 56

13. Un comerciante vendió las 2/5 partes de su

mercadería perdiendo 1/5 de su precio decosto. ¿Cuánto debe ganar en la venta de laspartes restando para recuperar su capital?a) 2/15 del precio de costob) 1/5 del precio de costoc) 1/4 del precio de costod) 1/3 del precio de costoe) 2/5 del precio que le costaron

14. Al simplificar al máximo la expresión:d) 683 e) 975

8. El promedio de 30 números consecutivos es0,19 -

1

33+ 0,05 +

a

1, se obtiene la fracción3

62,5 y el promedio de otros 20 númerosconsecutivos es 81,5. ¿Cuál es el promedio de

los 10 mayores del 1er. grupo y los 10 mayoresdel segundo grupo?

a) 155 b) 145 c) 175

irreductible . Hallar a + bb

a) 17 b) 18 c) 21d) 31 e) 41

15. Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:d) 168 e) 159 5 7, ,

37 1133 3

,75 8

9. A una convención asistieron médicos,ingenieros y profesores, siendo el promedio deedades de 42; 31,5 y 21 años respectivamente.Si la cantidad de médicos e ingenieros están enla relación de 2 a 3 y la cantidad de profesorese ingenieros en la relación de 5 a 4.Determinar la edad promedio de todos losasistentes.

a) 27,2 b) 28,4 c) 29,4d) 28,5 e) 30,2

10. Si la MA y la MH de dos números enteros seencuentran en la relación de 25 a 16. Halle ladiferencia de los números, si su suma es 150.

a) 90 b) 100 c) 115d) 120 e) 135

11. Seis obreros se comprometen en hacer unaobra en 6 días trabajando 6 horas diarias. Siluego de 2 días de trabajo se retiran 2obreros. ¿En qué tanto por ciento deberánaumentar su eficiencia cada uno de losrestantes para que pueda entregar la obra enel plazo fijado?

a) 20% b) 30% c) 40%d) 45% e) 50%

12. Una obra será hecha por 30 obrerostrabajando 7 h/d, luego faltando 12 días paraterminar la obra se retiran 20 obreros y noson reemplazados hasta 5 días después por “n”

¿Cuántos dan lugar a fracciones periódicosmixtos?

a) Todas b) 3 c) 2d) 1 e) Ninguna


1. En una reunión de padres de familia se pudoobserva que el número de hombres y el númerode mujeres estaban en la relación de 4 a 7. Encierto momento se retiraron la mitad de losasistentes de los cuales la tercera parte eranhombres y el resto mujeres. ¿Cuál era la nuevarelación entre el número de hombres y elnúmero de mujeres que quedaron?a) 11/20 b) 7/13 c) 13/20d) 11/13 e) 7/10

2. Sumándole un mismo número a: 20, 50 y 100,resulta una proporción geométrica, la razóncomún es:

a) 5/3 b) 4/3 c) 3/5d) 1/2 e) 1/3



3. Si:R

= 80

= T

= 32

9. El promedio aritmético de cuatro númerosenteros es 47,25 y el promedio armónico es 20

5 I 13 AAdemás : R + T = 72Calcular : A + I = ?

a) 20 b) 25 c) 30d) 28 e) 42

4. Una rueda A de 2/3 m. de radio engrana conotra B de 45 dientes y 2 m. de diámetro; fijaal eje B hay otra rueda C de 60 dientes con lacual engrana una rueda D de 20 dientes. Si larueda A da 18 RPM. Hallar el número devueltas dado por D.

a) 18 b) 24 c) 36d) 48 e) 27

5. 5 niños A, B, C, D, E llevaban 11, 12, 13, 14, 15naranjas respectivamente. Se encuentran con

el padre de E, comen todos en partes igualeslas naranjas y el padre les da en pago de lo quecomió 195 soles. ¿Cuánto recibió C?

a) S/. 3 b) 21 c) 39d) 57 e) 75

6. Tres hermanos se reparten cierta cantidad dedinero proporcionalmente a sus edades que son20, 28 y 36 años, luego de que cada uno gastola tercera parte de lo que recibió, decidenrepartirse lo que queda en partes iguales por loque cada uno de ellos dio al otro S/. 252.¿Cuál fue la cantidad repartida inicialmente?

a) S/. 1323 b) 2646 c) 3969d) 5292 e) 6615

7. Para la producción de zapatos por la campañaescolar se distribuyo la producción entre lasempresas: A, B y C en forma proporcional a 3,6 y 2 respectivamente. Si dichas empresasproducen: 45, 54 y 40 zapatos respec-tivamente. Calcular la producción media pordía.

respectivamente. Hallar la media aritméticade dos de ellos, si se sabe que su mediageométrica es 40 5 .

a) 70,5 b) 85,5 c) 89d) 90 e) N.A.

10. 12 obreros de la misma habilidad prometenhacer una obra en 15 días, pero cuando hanhecho la mitad, abandonan 8 obreros. ¿Quéhabilidad con respecto a los primeros debentener los 5 obreros nuevos que se contratanpara cumplir con el tiempo establecido?

a) 20% más b) 30% más c) 40% másd) 50% más e) 60% más

11. Una azucarera esférica llena de azúcar pesa600 g. Si el contenido de esta azúcar pesa 500g. más que la azucarera. ¿Cuánto pesaría laazucarera llena de azúcar si tuviera el doble deradio?

a) 4,4 kg. b) 4,6 kg. c) 4,8 kg.d) 4,3 kg. e) 4, 5 kg.

12. Un grupo de 30 obreros se comprometen hacer30 m. de una zanja en 30 días. A los 5 días deempezado el trabajo se aumenta 5 obreros y10 días después se aumenta 5 obreros más.¿Cuántos días emplearon en hacer la obra?

a) 20 d b) 23 d c) 25 dd) 27 d e) 28 d

13. Una pelotita cae de cierta altura y en cadarebote pierde 1/4 de la altura anterior, sidespués de 3 rebotes consecutivos lograelevarse 27/16 dm. ¿De qué altura cayóinicialmente?

a) 108 dm b) 60 dm c) 4 dmd) 180 dm e) 40 dm

14. Jorge, al apostar, pierde 1/3 de su dinero; enuna segunda apuesta pierde 3/5 de lo que lequedaba y en la tercera apuesta pierde los 4/7

a) 89 b) 581

c) 4911 del resto. ¿Qué parte de su dinero inicial le ha

quedado?d) 59 2 e) 46 13 3 a) 4/35 b) 31/35 c) 8/35d) 27/35 e) 17/35

8. El promedio de las notas en un curso de 30alumnos es 52. Los primeros 6 obtuvieron unpromedio de 80 y los últimos 10 sacaron 31

15. Se tiene la siguiente condición:xsabiendo que los restantes ninguno superó los

60 puntos. Calcular el menor promedio posible0,3 <

22< 0,8

que alcanzaron 4 alumnos de esos restantes.

a) 140 b) 45 c) 42,5d) 48 e) 52,5

¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?a) 14 b) 12 c) 13d) 15 e) 11



II BIM – ARITM TICA – 5TO.



NÚMEROS DECIMALES

“El ser humano es como un quebrado: El numerador es lo que él es y eldenominador lo que él cree que es. Cuanto mayor es el denominador,más pequeño es el quebrado”.

Léon tolstoi.

NÚMEROE jemplo :

Si se cumple que:

486234 , 930516

Parte Parte

Entera Decimal

CLASES DE NÚMEROSDECIMALES

0,00 a + 2(0,0 a + 0,

a) Hallar la cifra “a”Rpta.: ...........................

= 0,73

I. EXACT O S O L I M IT A DOS :EJERCICIOS

0,75 =75

=100 0,8 =

8=10

DEAPLICACIÓN

II. INEXACTOS O I LIMITADOS :

a) Pe rió d ic os Pu ro s :

0,aaa,,,... = 0, a =a

9

0,2121 .... = .................

Hallar la fracción generatriz de cada expresión:

1. 0, 15 =

2. 0, 92 =

3. 0, 25 1 =

b) Pe rió d ic os M ix tos

0,abbb .... = 0 , a b=

ab − a90

4. 4, 25 2 5. . .. =

5. 10 , 32 =

6. 0, 34 2 =

0,3222 ... = .................

0,48383 ... = .................

7. 6, 27 =

8. 16 ,4 =

0,02333.... = ................. 9. Si:a+

b= 0,781 . Hallar a + b

1,333 ........ = .................

3,24222...... = .................

5 11

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.



10. Operar y dar el valor de “M” 9. Hallar el valor de “n”0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5M =

0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 + 0,05 3+

3+

3+

3+ ...... = n,75

a) 10 b) 1 c) 0,1d) 100 e) 10

-1

11. Hallar la el valor de “n”

124

64 44

122

424

0 4 43

"11" fracciones

10. Hallar “x + y”x+

y = 0,96

5+

5+

5+

5+ .... = 4,6

3 11

124 4

644

124

24

04 43

"n" fracciones

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

x y

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 12

11. Dado: 0,n3 + 0,n4 + 0,n7 =49

12. Hallar “x + y” si: + = 0,629 11

hallar “n”

a) 5 b) 2 c) 3a) 8 b) 5 c) 4d) 12 e) 6

d) 1 e) 4

12. Hallar “x” en:13. Dado: 0,m1 + 0,m2 + 0,m3 = 14

; hallar “m”11 N

= 0, x(x - 1)11a) 5 b) 2 c) 1

d) 4 e) 3

14. Hallar el valor de “b” si se cumple que:

a) 4 b) 3 c) 1d) 2 e) 5

a+

b= 0,(a + 1) (a + b) 13. Hallar “N”11 9

Sabiendo que:a) 3 b) 2 c) 5d) 7 e) 4 N

= 0, x(x + 1) (2x + 1)37

15. Sabiendo que:

Hallar “a”

N= 0,a(a + 1)10 a) 17 b) 27 c) 18

d) 37 e) 11

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 4

14. Calcular el valor de ( a + b ) en :

0, ab + 0, ba - 0,1 = 1,3

1 . 0, 45 =

2. 0, 518 =

3. 1 ,24 =

4. 0, 56 =

5. 1 ,27 =

6. 0, 22 5 =

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

a) 4 b) 9 c) 11d) 15 e) 17

15. Hallar la suma del numerador más el

denominador de la fracción que debo sumar a

la fracción periódica 0,8787... para ser igual a

la fracción periódica 1,2121...?

a) 6 b) 2 c) 4d) 3 e) 5



7. 1 , 27 77 . . . =

8. 42 ,8 =



Maximus

3000 a.C. 1340 2003


Los egipcios tenían una idea rudimentaria del tanto porciento.

3000 a.C.

1340

Maximus – Planudes. El método de prestarse ydevolver ya los usaba Fibonacci y Maximus Planudes enEuropa y Borghi los publicó en un libro de aritméticacomercial.

Actualidad

En un tratado de Pacioli se muestra la forma práctica

que empleamos ahora.




REGLA DEL TANTO POR CIENTO I

LA MATEMÁTICA ESINHERENTE AL HOMBRE

Desde la aparicióndel hombre, muchoantes de que

CONCEPTO

Es una o más partes bañadas de las 100 partesen que se ha dividido un número.

aprendiera a pensarde si mismo, arazonar o a tener

siquiera el primerconcepto, todo loque le rodeaba le

4 x 100 = 4 por ciento = 4% =

7 x 100 = 7 por ciento = 7% =

En general:

41007

100

hablaba ya dematemáticas. Elnúmero de plantas,la 4distancia de sucueva al río, el

A% de N = = a x N 100

No m en c latura :tamaño de la presaque debía atrapar, el grupo formado por unconjunto de mamuts, la altura para coger losfrutos, la comparación de la rapidez entre

los animales que debía atrapar, el lapsoentre la noche y el amanecer, el transcurrirde los días, el crecimiento de su tribu, todolo que le rodeaba no hacia sino conducirlopor un camino incipiente e inevitable de la

P = porcentajeN = númeroR = resultado

C asos B á sic o sI. P % N = ?

a% de N = R

matemática: el de comparar, agrupar ycontar, la escena de un escarabajo queamasa pelotitas de estiércol quizá le sugirióque la forma esférica en la más adecuadapara hacer rodar y transportar cuerpos. Dela araña que teje su tela para capturar suspresas posiblemente aprendió a tejerfibras, construyendo redes adecuadas paracapturar sus alimentos, etc.Así vació la matemática junto con el hombre,no porque el hombre lo inventará, sino porsus necesidades propias y porque el lenguajede la naturaleza esta dado en conceptos derelaciones y funciones matemáticas.Por eso debemos tener en cuenta, que lasmatemáticas tienen su aplicación en la vidadiaria.

Hallar el 15% de 200Sol:

II. P% ? = R

El 20% de que número es 60.Sol:




III. ?% N = R¿Qué porcentaje de 300 es 20?

O p erac iones con porcenta j e s

I. Suma y/o restas

EJERCICIOSDE

APLICACIÓN

1. a) ¿Qué porcentaje del 0,5% de 200 es el 20%del 0,2% de 800?

a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N

Ejem:23% A + 17% A =

II. Producto

Rpta.

b) ¿3, que porcentaje es de 10% del 30% de2000?

a) 3% b) 5% c) 8%d) 6% e) 4%

a% x b% = a b abx = %

2. a) ¿Cuál es el número cuyo 30% del 80% del 70%

100 100 100 de los 4/5 de su 20% equivale a 40% de la

quinta parte del 140% de las 6/10 de 5?

Ap lic a c io n e s:

I. Var iac io n es p orce n tu ales• Se trabaja solo con variables las

constantes se eliminan.Ejm:El radio de una circunferenciadisminuye en 10% ¿en qué porcentajevaría el área?

Sol:

II. Au m en tos y De sc u e n to s su c esivos

Ejm:¿A qué único descuento equivale dos de20% y 20%?

Sol.

Rpta.

b) ¿Cuál es el número cuyo, 10% de los 2/3 de su21% equivale al 20% de los 3/10 de 7?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 60

3. a) Si gastará el 30% del dinero que tengo yganará el 28% de lo que me quedaría, perderíaS/. 1560. ¿Cuánto tengo?

Rpta.

b) Si gastará el 20% del dinero que tengo y

ganará el 10% de lo que me quedaría, perderíaS/. 840. ¿Cuánto dinero tengo?

a) S/. 6000 b) 6500 c) 7000d) 7500 e) 8000

4. a) Si “P” aumenta en 60% se iguala a “Q”. ¿Quéporcentaje de “Q” es lo que aumenta “P”?

Rpta.



b) Si “A” es 150% de “B”, ¿Qué porcentaje es B

de “A + B”?

a) 25% b) 30% c) 40%d) 20% e) 40%

5. a) El 40% del 50% de “x” es el 30% de y. ¿Quéporcentaje de (2x + 7y) es (x + y)?

Rpta.

b) Si el 84% N es igual al 105% de (N - 120).

¿Qué porcentaje de “N” representa 192?

b) ¿En qué porcentaje varía el área de un círculocuando su radio se reduce en 30%?

a) 49% b) 51% c) 30%d) 20% e) N.A.

9. a) En la expresión a . b2 . cSi a, b y c disminuyen en 20% entonces elvalor de la expresión disminuye en:

Rpta.

b) Si “A” aumenta en 10% y “B” aumenta en 20%

3

a) 24 b) 36 c) 48entonces

(3A )(2B), se incrementa aproxima-

5d) 16 e) 32

6. a) Se tiene un triángulo cuya base disminuye el10% y su altura el 20%. ¿En cuánto disminuyesu arco?

damente en:

a) 140% b) 145% c) 150%d) 152% e) 60%

Rpta.

b) En un triángulo la base se reduce en 10%mientras que la altura se aumenta en 10%entonces el área:

a) Se reduce a 99/200

b) No varíac) Se reduce en 1%d) Aumenta en 10%e) Depende de las medidas

7. a) Si los lados de un cuadrado se triplican. ¿Enqué porcentaje aumentará su arco?

Rpta.

10. a) ¿A qué único descuento equivale dosdescuentos de 10% y 20%?

Rpta.

b) ¿A qué único descuento equivale dos aumentossucesivos del 5% y 10%?

a) 14,5% b) 20,5% c) 30,5%d) 18,5% e) N.A.

11. a) Dos descuentos sucesivos del 20% y 10% y unaumento del 10% equivalen a un únicodescuento de:

Rpta.

b) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un

cuadrado, cuando su lado aumenta en 20%?

a) 20% b) 21% c) 44%d) 55% e) 80%

8. a) Se tiene un círculo. Si el radio se reduce a1/3. ¿En qué porcentaje se reduce el área(aproximadamente)?

Rpta.

b) Dos aumentos de 30% y 40% seguido de un

descuento del 50% equivalen a:

a) Descuento de 9%b) Aumento de 9%c) Descuento de 11%d) Aumento de 11%e) N.A.



12. a) En una tienda de un centro comercial seexhibe el siguiente cartel; 40% de descuento+ 10% por esta semana + 5% con tarjetaahorrin. Si en dicha semana una persona seacerca a comprar con la tarjeta ahorrin unacamisa de precio S/. 120. ¿Cuánto pagará

finalmente?

Rpta.

b) Metro anuncia su rebaja increíble 20% + 30%de descuento por su aniversario. ¿Cuántopagará un cliente por una casaca cuyo preciode lista es de $ 100?

a) $ 56 b) 44 c) 35d) 72 e) N.A.

13. a) En una compañía trabajan 60 personas dondeel 20% son mujeres. ¿Cuántas mujeres debencontrolarse para que el 25% del personal seade mujeres?

Rpta.

b) En una reunión el 60% del número de hombreses igual al 20% del número de mujeres. ¿Quéporcentaje del total son hombres?

a) 40% b) 25% c) 30%d) 15% e) 75%

14. a) En un salón de clases el 40% de los alumnosson hombres. Si falta el 25% de las mujeressolo asisten 27 mujeres. ¿Cuál es el total dealumnos del salón?

Rpta.

b) En una compañía trabajan 160 personas dondeel 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres debencontrolarse para que el 40% del personal seade mujeres?

a) 60 b) 80 c) 25d) 30 e) 40

15. a) De los animales de una granja el 30% del totalson patos, el 20% son gallinas y el 50% pavos.Si el número de pavos fuera el doble. ¿Quéporcentaje del total serían patos?

Rpta.

b) En una granja de aves, el 40% es de gallinas.Si se ha vendido el 205 de gallinas. ¿En quéporcentaje ha disminuido el número de aves?

a) 10% b) 6% c) 8%

d) 12% e) 7%

TAREADOMICILIARIA Nº 2

1. Hallar el 40% del 20% de 200.

a) 16 b) 32 c) 26d) 24 e) N.A.

2. Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10%

equivale a un único descuento de:

a) 80% b) 50% c) 62%d) 64% e) 72%

3. En una granja el 25% del total de animales sonpollos, el 30% son conejos y los restantes cuyes.Si el número de pollos fuera el doble. ¿Quéporcentaje del total serán los cuyes?

a) 24% b) 36% c) 40%

d) 48% e) 54%

4. ¿En qué porcentaje varía el área de un cuadradosi su lado varía en un 100%?

a) 400% b) 200% c) 300%d) 280% e) 350%



5. ¿En qué porcentaje varía el área de unrectángulo cuando su largo aumenta en un 20% ysu ancho se disminuye en un 50%?

a) 80% b) 40% c) 50%d) 69% e) 95%

6. Calcular el 20% del 30% del 80% de 5/8 de

8000

a) 200 b) 240 c) 320d) 400 e) 250

7. El 30% del 20% de los 2/5 de un númeroequivale al 24% del 0,01% de 1000. Hallar dichonúmero.

a) 100 b) 0,2 c) 1d) 120 e) N.A.

8. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A

qué único descuento equivale?

a) 48% b) 52% c) 44%d) 36% e) N.A.

9. Si Juan pierde el 40% del dinero que tiene yluego gana el 50% de lo que le queda estaríaperdiendo S/. 57 800. ¿Cuánto tenía Juan?

a) S/. 578 000 d) 520 000b) 600 000 e) N.A.c) 480 000

10. Una piedra pomez es introducida en agua, alsacarle se notó que su peso aumenta en 36%. Sise saca la mitad del agua. ¿En qué porcentajedisminuirá el peso de la piedra pomez?

11. Si la longitud de una circunferencia aumenta en

40%. ¿Qué ocurre con el área del círculo?

a) Aumenta 40% d) Aumenta 44%b) Aumenta 69% e) Aumenta 32%c) Aumenta 96%

12. En un triángulo si la base aumenta en 25%. ¿Encuánto debo disminuir la altura para que el áreano varíe?

a) 37,5% b) 12,5% c) 25%d) 50% e) 20%

13. El 15% de un número es el 12% de otro.

Entonces el 305 de la suma de los números es:

a) 36% del mayorb) 35% del mayorc) 45% del mayord) 54% del menore) 54% del mayor

14. El 10% del 20% de a es igual al 30% del 40% deb. ¿Qué porcentaje de (3a + 2b) es (2a – 3b)?

a) 30% b) 45% c) 80%d) 75% e) 25%

15. En un partido de fútbol de 90 minutos de juegose pierde el 10% con retención de pelota, el 10%del tiempo restante en fouls, el 10% del tiempoque ahora resta en amonestaciones. ¿Cuántosminutos de juego efectivo se realizará en elpartido de fútbol?

a) 35 b) 40 c) 63d) 65,61 e) 72

a) 30% b) 134

17c) 15

217

d) 25 e) 18




TANTO POR CIENTO II

APLICACIONESCOMERCIALES

CONCEPTOS PREVIOS

I. P.v. : Precio de Venta

a) Pv = Pc + G P.c. : Precio de costo

Ejemplo 1: Metro anuncia su rebaja increíble 30%en el precio de cualquier producto.Decir cual es el precio de venta, deuna bicicleta que su precio de lista esde $ 140.00

Solución:

b) Pv = Pc - P

II.

G : Ganancia

P. : Pérdida

Ejemplo 2: Wong tiene su promoción, por lacompra de un producto, el segundotiene una rebaja increíble del 40%.¿Cuál es el precio de un primerproducto, si por el segundo pagoS/. 120? (ambos productos son

GN = GB – G GN : Ganancia Neta

GB : Ganancia BrutaG : Gastos

III.

PF = PL = PM PF : Precio fijado PL

: Precio de lista PM :Precio de marca

♦ Para el punto I en “a”, este precio de venta escuando existe ganancia y en “b” cuando existe

perdida.

♦ Para el punto II la ganancia neta es el saldo netodescontando todos los gastos originados.

♦ En el punto III generalmente el precio fijado, elprecio de lista y el precio marcado son iguales.

idénticos)

Solución:

Ejemplo 3: Saga por su aniversario. Saga-FalabellaPremium (7 años), repotencia susproductos haciendo un descuento del30% sobre el precio de lista. ¿Decircuál es el precio de venta, sabiendo que

aún haciendo la rebaja anunciada latienda gane el 40% del precio decosto?

Solución:



EJERCICIOSDE

APLICACIÓN

SONRIE

1. a) ¿A cómo hay que vender lo que ha costado S/2100 para ganar el 30%?

Rpta.

b) Un comerciante compró una bicicleta a 1200soles y la vendió ganando el 20% del costo. ¿Acuánto la vendió?

a) S/. 1440 b) S/. 1400 c)S/. 1300d) S/. 1700 e) N.A.

Errar es humano, pero echarle la culpa

al otro es más humano todavía.

Ningún tonto se queja de serlo, no les

debe ir tan mal.

Estudiar es desconfiar de la

inteligencia del compañero de al lado.

No hay mujer fea, solo belleza rara.

El alumno no copia, solo compara

resultados.

2. a) Un comerciante dice haber obtenido un 20%de ganancia sobre el precio de venta. Calcularel porcentaje de ganancia con respecto alcosto.

Rpta.

b) Un libro que costo 140 soles se vende ganandoel 20% del precio de venta. ¿En cuánto sevendió?

a) S/. 150 b) S/. 180 c) S/.200d) S/. 175 e) S/. 130

3. a) Dos televisores se han vendido en 9600 soles,ganando en uno el 20% del precio de costo yen el otro perdiendo el 20% del precio decosto. ¿Se gano o perdió y cuánto?

Rpta.

b) Un comerciante vende las dos últimasbicicletas que le quedan en S/. 1200 cada una.En una ganó el 25% en la otra perdió el 25%¿qué afirmación es correcta?

a) no gano ni perdió d) perdió S/. 200b) ganó S/. 160 e) N.A.c) perdió S/. 160

4. Un comerciante posee 2 refrigeradoras igualesvende el primero perdiendo el 20% del precio deventa. Diga que porcentaje del precio de ventadebe ganar en la segunda para recuperar sudinero.

a) 14,18% b) 14,28% c) 13,18%d) 15 e) 13,28



5. Un comerciante rebaja en 18% el precio de sumercadería. Diga en que porcentaje deberáaumentar el volumen de sus ventas para que suingreso bruto aumente en un 23%.

a) 20% b) 30% c) 50%

d) 40% e) 60%

6. Un objeto se ofrece con el 20% de recargo yluego se descuenta el 20% por factura. Eldescuento es del:

a) 0% b) 5% c) 6%d) 4% e) 10%

7. Un artículo se ha vendido en S/. 5400 donde seesta ganando el 35% del costo. ¿A cómo se debióvender el mismo artículo para ganar el 20% delprecio de venta?

a) S/. 4000 b) S/. 3500 c)S/.4500d) S/. 4800 e) S/. 5000

8. Si el precio de un objeto se le recarga el 20% yresulta igual al precio de otro descontado en un30%. Si el primero cuesta S/. 17500. ¿Cuál es elprecio del segundo?

a) S/. 20 000 b) 24000 c) 25000

d) 30 000 e) 28 000

9. El precio de un objeto se recarga en el 25%.

¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que sepodrá hacer sobre el precio de venta para noperder?

a) 20% d) más de 20%b) entre 15% y 20% e) 25%c) 30%

10. A vende un objeto a B ganando el 20%B vende el objeto a C ganando el 25%C vende el objeto a D perdiendo el 10% yD vende el objeto a E ganando el 40% si E pagoS/. 1134 por el objeto. ¿Cuánto ganó A en laventa de dicho objeto?.

a) S/. 100 b) S/. 120 c) S/. 150d) S/. 135 e) S/. 200

11. Para fijar el precio de un artículo uncomerciante aumento su costo en el 75% pero elvendedor hizo al cliente dos descuentos del 20%más 20% ¿Qué porcentaje del costo resultóganando el comerciante?

a) 12% b) 40% c) 16%d) 15% e) N.A.

12. En una tienda se le hace al cliente 2 descuentossucesivos del 10% y 20% y aún ganan el 40% delcosto. Si el departamento de compras de dichatienda compro un artículo en S/. 3600, diga queprecio debe fijar para su venta.

a) S/. 4500 b) 5600 c) 7000d) 6000 e) 4800

13. Un comerciante vendió el 40% de los artículosque compró ganando el 40% del precio de costo,el 20% del resto perdiendo el 20%, la cuartaparte de lo que quedaba la regalo y el resto lovendió sin ganar ni perder. Si en toda la ventaganó S/. 480 ¿cuántos artículos compró si cadauno le costo S/. 10?

a) S/. 3000 b) 2000 c) 300d) 200 e) 4000

14. El costo de un artículo consta básicamente dedos componentes: materia prima y mano de obra,hubo una alza de precios en los doscomponentes, por lo que la materia primaaumentó en un 40% y la mano de obra aumentaen un 100% por lo que el costo del productoaumento en un 50%. Calcular la relación decostos de la materia prima y la mano de obrainiciales.a) 5 : 1 b) 3 : 5 c) 4 : 7d) 5 : 2 e) 1 : 5

15. Que precio se debe fijar a un artículo para queal hacer un descuento equivalente al 70% de losgastos se obtenga una ganancia neta del 10% delprecio de venta, los gastos y el precio de compraestán en la relación de 1 a 17 y la ganancia brutaes S/. 540?

a) S/. 3940 b) 3654 c) 3726d) 3420 e) 3582




1. Se compró un nintendo en S/. 600 y luego sevendió perdiendo el 25% del precio de costo.¿En cuánto se vendió?

a) S/. 520 b) 450 c) 380d) 460 e) N.A.

2. Luego de hacer dos descuentos sucesivos de20% y 10% un artículo costo S/. 288 ¿cuál erasu precio?

a) S/. 600 b) 500 c) 400

d) 300 e) N.A.3. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se

vendió en S/. 180 habiéndose hecho undescuento del 20%?

a) S/. 225 b) 226 c) 224d) 220 e) N.A.

4. Alva compra 50 botellas de gaseosa a S/. 1 cadauna. Si decide venderlas ganando el 40% en cadabotella. ¿Cuál es el monto obtenido por la ventade las botellas?

a) S/. 1,4 b) 20 c) 70d) 60 e) 120

5. Mafalda vende una revista a S/. 28 ganando el40% del precio de compra ¿Cuánto le costo larevista a Mafalda?

a) S/. 12 b) 18 c) 20d) 21 e) 23

6. Un televisor me costo S/. 450 y lo vendí a S/.600. ¿Qué porcentaje del precio de venta gane?

a) 100/3% b) 20% c) 25%d) 30% e) 15%

7. Un DVD es vendido a S/. 320 ganando el 25%del precio de compra. ¿Cuál fue la gananciaobtenida?

a) S/. 220 b) 250 c) 54d) 60 e) 64

8. Pamela vende un florero a S/. 80 con unapérdida del 30% de su precio de venta. ¿Cuálfue el precio de compra?

a) S/. 56 b) 104 c) 100d) 80 e) 98

9. El precio de costo de un artículo, representa el

60% del precio de venta. ¿Qué porcentaje delprecio de venta es la ganancia?

a) 5% b) 10 c) 30d) 40 e) 45

10. Se compra un artículo en S/. 120. ¿Qué preciodebe fijarse para la venta, para que teniendo undescuento del 25% todavía se gane el 20% delcosto?

a) S/. 156 b) 172 c) 196d) 192 e) 189

11. Un comerciante rebajo en 12% el precio de sus

mercaderías, para que sus ingresos aumenten en10%. ¿En qué porcentaje debe aumentar laproducción?

a) 5% b) 10 c) 15d) 25 e) 30

12. Una persona compró un reloj en S/. 69, comotenía necesidad urgente de dinero, tuvo quevender el reloj perdiendo el 15% de la ventacuál fue el precio de venta?

a) S/. 62 b) 48 c) 58d) 52 e) 60

13. María compra una cartera y le hacen dosdescuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pagóS/. 11,20. ¿Cuánto costaba la cartera?

a) S/. 18 b) 20 c) 24d) 28 e) 30

14. Una persona compra un terreno y lo vendeganando 1/5 del precio de compra. Si la venta lahubiese realizado incrementando el precio en10% entonces su ganancia se hubieseincrementado en:

a) 10% b) 25 c) 30

d) 50 e) 6015. Se vende un lapicero en S/. 56 ganando un

porcentaje sobre el costo igual al número desoles que costo el lapicero, hallar el costo dellapicero.

a) S/. 25 b) 30 c) 42d) 40 e) N.A.




REGLA DE INTERÉS

Es la ganancia o pérdida de un determinado bien enun lapso de tiempo, de acuerdo a una tasa deimposición.

I = C x r % T

I : Interés ganadoC : Capital

Observación:

Cuando el interés no me indique en que unidades detiempo se esta tomando. Se asume que es en años.Si el tiempo me lo dan en meses se divide toda laexpresión entre 12 y si es en días entre 360.

r% : TasaT : Tiempo

I = C x r•

T

100 12I = C x r

•100

T 360

Ejemplo:Hallar el interés producido por S/. 2500impuesto a 5 años al 20%

Solución:

Observación:

♦ Quincenal : 15 días

♦ Mensual : 1 mes

♦ Bimestral : 2 meses

♦ Trimestral : 3 meses

♦ Semestral : 6 meses♦ Anual : 12 meses

♦ Bi Anual : 24 meses

Equivalencias:

5 % mensual : 60% anual2% bimestral : 12 anual15% semestral : 30% anual, etc.

Monto: Es el saldo total, se obtiene sumando elcapital, más los intereses.

M = C + I

M = C(1 + rt)

Ejemplo:Hallar el monto producido por S/. 5000, al 30%durante 3 años.

Solución:



EJERCICIOSDE

APLICACIÓN

1. Calcular el interés producido por S/. 3000impuestos durante 3 años, al 30%

a) S/. 2000 b) 2500 c) 2700d) 2800 e) 2900

2. Determinar el interés generado al depositar S/.3600 al 5% trimestral durante 7 meses.

a) S/. 100 b) 300 c) 340d) 420 e) 500

3. ¿Cuál es el capital que se coloca al 25% durante

3 años, para obtener un interés de S/. 1620?a) S/. 1620 b) 1920 c) 200d) 2006 e) 2160

4. ¿A qué tasa de interés la suma de S/. 20000llegaría a un monto de S/. 28000 colocada a uninterés simple en 1 año 4 meses?

a) 10% b) 20 c) 30d) 35 e) 40

5. ¿Cuál es el monto producido por un capital deS/. 7200 colocados al 4% anual durante 3 años y4 meses?

a) S/. 7500 b) 8000 c) 8160d) 9000 e) 9160

6. ¿Cuál es el capital que colocado al 6% quincenalgenera en 2 meses un monto de S/. 7200?

a) S/. 30000 b) 40000 c) 50000d) 55000 e) 60000

7. Se tiene un capital prestado a una determinadatasa de interés de tal manera que en 5 mesesproduce un monto de S/. 33750 y en 7 meses elmonto producido es de S/. 35250. ¿Cuál sería el

monto al terminado del año?a) S/. 30000 b) 39000 c) 40000d) 49000 e) 50000

8. Cuando un capital se presta durante 4 años elmonto que se obtendría sería S/. 12000 pero sise prestará por 5 años sería S/. 13500. Hallar elvalor de la tasa de interés.

a) 10% b) 15 c) 18d) 20 e) 25

9. La cuarta parte de un capital se presto al 20% yel resto al 16%. Si en 8 meses se obtuvo unmonto total de S/. 16700. ¿Cuánto es el capital?

a) S/. 15000 b) 14000 c) 13000d) 12000 e) N.A.

10. Si un capital se impone a ganar interés de lasiguiente manera: el 20% al 40% anual, el restoal 25% semestral. Al cabo de cuánto tiempo sehabrá cuadriplicado el capital?

a) 5 años d) 6 años y 2 mesesb) 5 años y 7 meses e) 6 años y 3 mesesc) 6 años

11. Los 2/5 de un capital han sido impuestos al 30%,1/3 al 35% y el resto al 40% si el interés totalfue 41200 soles anuales. Calcular el capital.

a) 135000 b) 380000 c) 120000d) 68000 e) N.A.

12. Los 3/5 de un capital se prestan al a% anual y elresto al b% anual. Si al cabo de 4 años producenmontos iguales. Hallar a.b. sabiendo 3a+2b = 175.

a) 1000 b) 1250 c) 1350d) 1500 e) 2000

13. Los 2/7 de un capital se impone al 20% y alresto al 40%. Si luego de 9 meses el monto esS/. 7040. ¿Cuál fue el capital?

a) S/. 4000 b) 4500 c) 4600d) 5600 e) N.A.

14. Martín impone los 4/7 de su capital al 4% y elresto al 5% y resulta un interés anual de S/.3100. ¿Qué cantidad fue impuesto al 4%?

a) S/. 42500 b) 58000 c) 28000d) 40000 e) 30000

15. Un capital impuesto a interés simple durante 7meses produjo un monto de S/. 41040. Si el

mismo capital se hubiera impuesto a la misma en10 meses el monto resultaría S/. 43200. Hallarla tasa anual.

a) 10% b) 20 c) 22d) 24 e) N.A.




1. Calcular el interés producido por S/. 3000impuestos al 15% durante 3 años.

a) S/. 500 b) 600 c) 800d) 1000 e) N.A.

2. Determinar el interés generado al depositar S/.3600 al 9% trimestral durante 8 meses.

a) S/. 500 b) 624 c) 700

d) 764 e) 864

3. ¿Cuál es el capital que se coloca al 30% durante5 años, para obtener un interés de S/. 3000?

a) S/. 1000 b) 1200 c) 1500d) 2000 e) 3500

4. ¿A qué tasa de interés la suma de 20000 llegaráa un monto de 30000 colocado a un interéssimple en un año y 6 meses?

a) 10% b) 20 c) 30

d) 40 e) N.A.

5. ¿Cuál es el monto producido por un capital deS/. 8000 colocados al 9% anual durante 4 años y7 meses?

a) S/. 8000 b) 53000 c) 6000d) 11000 e) 11300

6. ¿Cuál es el capital que colocado al 9% quincenalgenera en 2 meses un manto de S/. 7000?

a) S/. 10000 b) 15000 c) 18000

d) 20000 e) 30000

7. Calcular el interés producido por S/. 3680 quese han impuesto al 30% durante 5 años.

a) S/. 3680 b) 4000 c) 4680d) 5000 e) 5520

8. Determine las tasas equivalentes.I. 5% mensualII. 10% bimestralIII. 25 % quincenalIV. 30% semestral

a) I, II b) II, IV c) III y I

d) I, II y III e) Todas9. Se deposito S/. 720 a una tasa del 30% anual,

produciendo un interés de S/. 36. ¿Cuántotiempo estuvo el capital depositado?

a) 1 mes b) 2 meses c) 3 mesesd) 4 meses e) 5 meses

10. Si a un capital se le suma los interesesproducidos en 26 meses, se obtiene unacantidad, que es al capital prestado como 63 y50. ¿A qué tasa fue colocada?

a) 10% b) 11 c) 11,5d) 12 e) 12,5

11. Después de cuánto tiempo un capital colocado al20% de interés simple se triplica.

a) 1 año b) 2 años c) 3 añosd) 5 años e) 10 años

12. ¿En cuánto se convertirá S/. 84000 al 1,5%mensual durante 18 días?

a) S/. 84156 b) 84256 c) 84356d) 84756 e) 84956

13. ¿A qué tasa de interés trimestral se haimpuesto un capital, que en 6 años y 3 mesesproduce un interés que es el 60% del monto?

a) 6% b) 8 c) 10d) 7 e) 9

14. Si el interés de un capital a los 4 meses y medioes S/. 360 ¿cuál será dicho capital, si al año y 3meses genera un monto de 2750?

a) S/. 1250 b) 1750 c) 1450d) 1000 e) 1550

15. Hallar la tasa de interés anual a la que se debeimponer un capital para que en dos años genereun monto que sea el 140% del capital.

a) 16% b) 18 c) 20d) 22 e) 24




REGLA DE MEZCLA

LA HUMANIDAD Y LA

NATURALEZA E N

NÚMEROS

∗ Un gramo de veneno

de cobra puede

matar a 150personas.

∗ Una sola pila puede

contaminar 175 000

litros de agua.

∗ 3 bebes por segundo nacen aproxima-

damente en el mundo.

∗ 5 años tardo Bocaccio en escribir el

Decameron.

∗ 8 patas tienen las

arañas.

∗ 9 días puede vivir

una cucaracha sin

su cabeza.

∗ El 10% del ingreso

del gobierno ruso

provienen de la

venta de vodka.

∗ 16 años de edad tenía la Virgen María al

nacer Jesús, según la Biblia.

∗ 20 huesos tiene aproximadamente un

gato en la cola.

∗ El 35% de la gente que usa anuncios

personales para citas están casados

actualmente.

ENGAÑOSO PROMEDIO

Un vendedor ambulantese puso a vender unacesta de naranjas razónde 10 monedas cada 5

naranjas.

En el momento de la venta cambio de opinióne hizo un montón de 58 naranjas más gordas

y otro con los 57 más pequeñas.Las gordas las vendió a 5 monedas cada 2naranjas y las pequeñas 5 monedas cada 3naranjas.

¡Esto era lo mismo que la intención primera!

Solución:



MEZCLAS

Es la unión íntima de varias sustanciashomogéneas. Estos tipos de ejercicios lopodemos dividir en tres casos:

PRIMER C A S O :Se tiene dos sustancias que se mezclan entresí, luego se retiran fracciones de la mezcla y serellena con cualquiera de las sustancias puras.

Ejem: Se tiene un barril en donde hay 30litros de OH y 12 litros de agua, sesaca la tercera parte y sereemplaza con agua, luego la mitad ytambién se reemplaza con H2O.¿Qué cantidad de OH queda?

Solución:

Cantidad Precios Costo(S/.) (S/.)

36 15 540

22 12 264

42 30 1260

100 kg. 2064

Si 100 kg. cuestan 2064 soles 1 kg. costará2064

= S/. 20.64100

En general:Cantidades: C1, C2 ………… Cn

Precios unitarios: P1, P2, ……… Pn

Solución:

Es decir: P =Costo Total

Cantidad Total

TERCER CA S O :Consiste en hallar las cantidades de cadaingrediente, conociendo el precio medio, losprecios unitarios y la cantidad total.

Ejemplo:Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otrode 27 soles el litro, resultando en total 128litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidad setomó de cada uno?

S E GUNDO CA SO :Consiste en determinar el precio medio de lamezcla, conociendo los precios unitarios(calidades) y las proporciones (cantidades) decada uno de los ingredientes.

Solución: a lts. de S/. 43b lts, de S/. 27

Por dato: a + b = 128

Ejemplo:¿Cuál es el precio de lamezcla que resulta decombinar 36 kg. de té a15 soles el kg. con 22 kg.de té a 12 soles el kg. y

Como: Pn =

Reemplazando: 32 =

C1 x P1 + C2 x P2

C1 + C2

a x 43 + b x 27

C1 + C2

con 42 kg. de té a 30soles el kg.?

32a + 32b = 43a + 27b

5b = 11a



Pero: a + b = 128↓ ↓

2. a) En un depósito hay 4 lt. de leche y 2 lt. deagua en otro depósito hay 3 lt. de leche y 5 de

a +11a

5= 128

agua. Si del primer depósito pasan al segundo3 lt. de la mezcla. ¿Cuántos litros de lechehay ahora en el segundo depósito?

16a

5= 128

Rpta. a = 40 lts. b = 88 lts.

M ÉTO DO D E L A S P A :

a → 43 32 – 27 = 5

32

b → 27 43 – 32 = 11

b) En un depósito hay 18 lt. de agua y 12 lt. deleche. Se retiran 8 litros de la mezcla.¿Cuántos litros de leche salen?

a) 4,8 b) 4,2 c) 3,2d) 3,6 e) 5,4

3. a) Un auto llena su tanque con 12 galones degasolina con aditivos donde los aditivosrepresentan 1/6 de la mezcla. ¿Cuántosgalones de gasolina se debe añadir para que

los aditivos representen 1/9 de la mezcla?Se cumple:

a=

5b

a + b=

5 + 11;

11128

= 16

Rpta.

a 5 a 5Finalmente: a = 40 lts. b = 88 lts.

EJERCICIOSDE

APLICACIÓN

1. a) Martha prepara una deliciosa y refrescantenaranjada mezclando 2 vasos de zumo denaranja y 8 vasos de zumo de naranja y 8vasos de agua.

Rpta.

b) Una señora prepara el desayuno mezclando

b) En un depósito que tiene 48 tazas de agua se

agregan 4 tazas de cloro (lejía). ¿Qué partede la mezcla resultante es agua?

a) 1/25 b) 1/26 c) 2/25d) 1/13 e) 12/13

4. a) Un barman prepara una deliciosa sangría,

mezclando dos medidas de vino, 19 medidas degaseosa y 2 medidas de jugo de naranja.¿Qué parte o fracción de dicho preparado,representa el vino?

Rpta.

b) Se mezclan en una jarra 5 tazas de agua con

1/2 taza de zumo de limón. ¿Qué parte de lamezcla resultante es agua?

a) 10/11 b) 1/11 c) 3/8d) 1/9 e) 2/9

11

tazas de leche evaporada con 23

2 4 tazas 5. a) En un depósito se mezcla 20 litros de agua y60 litros de leche, luego se extrajo 16 litros

de agua hervida. Sirve a su esposo media tazade esta mezcla. ¿Cuánto de leche evaporadahay disuelta en la taza?

a) 3/17 b) 4/15 c) 2/11d) 5/9 e) N.A.

de la mezcla y se reemplaza con la mismacantidad de agua. Se vuelve a extraer 20litros de esta mezcla. ¿Cuántos litros deleche salen en total?

Rpta.



b) En un recipiente hay 32 litros de leche pura;se consume la mitad y se completa con agua.Se vuelve a consumir la mitad de la mezcla yse vuelve a completar con agua. ¿Cuántoslitros de leche pura quedan en el recipiente?

Rpta.

6. Un radiador de 16 litros se llena con agua, luegose sacan 4 litros y se reemplaza con líquidorefrigerante puro; después se sacan 4 litros dela mezcla y se reemplazan con el mismo líquido.Esta operación se repite por tercera y cuartavez; la fracción de agua que queda en la mezclafinal es:

a) 1/4 b) 81/256 c) 27/64d) 45/128 e) N.A.

7. a) En un barril se colocan 50 litros de vino A y

50 litros de vino B, si cada litro de vino Acuesta S/. 10 y cada litro de vino B cuesta5. ¿Cuánto cuesta 36 litros de la mezcla

Rpta.

b) En un costal se colocan 20 kg. de arroz tipo Ade S/. 3 el kg. y 30 kg. de arroz de tipo B deS/. 2 el kg. ¿Cuánto costarán 25 kg. de dichamezcla de arroz?

a) S/. 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 20

8. a) Un comerciante desea obtener 180 litros devinagre a S/. 4 el litro mezclando cantidadesconvenientes de dos calidades cuyos preciospor litro son S/. 3,6 y S/. 4,2. Hallar ladiferencia entre las cantidades de los dostipos de vinagre que se han mezclado.

Rpta.

b) Se han mezclado dos tipos de aceites deprecios S/. 5 y S/. 8 el litro, resultando unprecio medio de S/. 5,9. Hallar la proporciónde la mezcla.

a) 2/3 b) 3/7 c) 5/7d) 2/9 e) N.A.

9. a) Se han mezclado tres calidades distintas deun mismo cereal cuyos precios unitarios porkg. son S/. 8, S/. 10 y S/. 14, resultando parala mezcla un precio medio de S/. 12. Si losdos primeros entran en la proporción de 3 a 4

y se han obtenido 85 kg. en la mezcla.¿Cuántos kilos entran del tercero?

Rpta.

b) Se mezclan 45 litros de vino de 40 soles ellitro con vino de 24 y 36 soles el litro.Resultando un precio medio de 34 soles ellitro. Hallar la cantidad total de mezclasabiendo que por cada 5 litros del segundohay 7 litros del tercero.

a) 45 b) 90 c) 135

d) 150 e) N.A.

10. a) Para obtener 96 kg. de café cuyo precio medioes de S/. 16 ha sido necesario mezclar doscalidades de café cuyos precios por kg. sonS/. 15 y S/. 18. Determinar que cantidad dedinero representa el café de menor calidad,en la mezcla.

Rpta.

b) Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con

otro de 27 soles el litro, resultando en total128 litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidadse tomo de cada uno?

a) 40 – 88 b) 40 – 68 c) 50 – 78d) 20 – 52 e) N.A.

11. a) Se mezclan 2 sacos de trigo de S/. 85 el sacocon doble cantidad de S/. 112 el saco.Queriendo luego obtener trigo que se puedavender a 100 soles el saco. ¿Cuántos kg. de90 soles el saco deberá añadir a la mezcla que

se había efectuado, si el peso de cada saco es100 kg.?

Rpta.

b) ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta decombinar 25 kg. de trigo a S/. 8 el kg. con15 kg. de trigo a S/. 12 el kg. y con 10 kg. detrigo a S/. 10 el kg.?



a) 9,6 b) 7,5 c) 4,8d) 6,3 e) N.A.

12. a) ¿Cuántos litros de agua se deben mezclar con42 litros de leche de S/. 3,8 el litro para queel litro de mezcla cueste S/. 3,5?

Rpta.

b) Se mezclan ingredientes de 20 y 10 soles elkg. Si el precio medio es de 18 soles. Hallar elpeso total de la mezcla si la diferencia depesos de c/u de los ingredientes es 30 kg.

a) 40 b) 45 c) 48d) 50 e) 60

13. Se hace una mezcla de vino de 70 y 60 soles el

litro, con agua. La mezcla tiene un precio de 50soles. Se sabe que la cantidad de agua es los2/5 de la cantidad de vino de 60 soles. ¿En quérelación están la cantidad de vino de 70 y 60soles?

a) 1/2 b) 5/2 c) 3/2d) 1/4 e) 2/5

14. Doscientos ochenta kilogramos de harina de “a”soles el kg. se han mezclado con 560 kg. de

harina de ab soles el kg. obteniéndose un precio

medio de aa soles el kg. Hallar: a + b.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) más de 8

15. Dos clases de vino se han mezclado en losdepósitos A y B. En el depósito “A” la mezclaserá en la proporción de 2 a 3 respectivamente yen el depósito “B” la proporción de la mezcla esde 1 a 5. ¿Qué cantidad de vino debe extraersede cada depósito para formar otra mezcla quecontenga 7 litros de la primera clase y 21 litrosde la otra clase?

a) 12 y 16 b) 10 y 18 c) 18 y 10d) 13 y 15 e) 15 y 13


1. Se tienen 80 litros de una solución de H2SO4 yH2O donde los 3/4 son agua. ¿Qué cantidad deagua debe agregarse para que el H2SO4

represente los 2/9 de la mezcla?

a) 10 litros b) 40 c) 20d) 30 e) 25

2. Se tienen 80 litros de una solución de HCL,donde los 3/5 son agua. ¿Cuántos litros de HCLdebe agregarse para que el agua solo represente

1/5 de la mezcla?

a) 30 b) 120 c) 80d) 160 e) N.A.

3. En una taza con café, la esencia representa 1/6de la taza. Si la taza tiene capacidad de 1/3 delitro. ¿Qué cantidad de esencia de café hay enla taza?

a) 1/20 litros b) 1/9 c) 4/5d) 1/5 e) 1/18

4. En un recipiente se mezclan 45 litros de unlíquido A y 80 litros de un líquido B. Se retira3/5 de esta mezcla. ¿Cuántos litros de líquido Aquedan en el recipiente?

a) 15 b) 18 c) 12d) 9 e) 10

5. De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros deagua; se extraen 20 litros de la mezcla y sereemplazan con agua y nuevamente se sacan 20

litros de la mezcla y son reemplazados por agua.¿Cuántos litros de vino hay en la última mezcla?

a) 36 litros b) 44 c) 50d) 30 e) 27

6. Un depósito esta lleno con leche se extrae lasexta parte, y se rellena con agua, luego se sacala mitad y se resuelve a reemplazar con agua.¿Cuánto de leche pura queda?



a) 2/11 b) 3/4 c) 5/7d) 9/12 e) N.A.

7. De un tonel que contiene 100 litros de vino sesacan 40 litros que se reemplazan por agua. Sehace lo mismo con la mezcla por 2da., 3era. y4ta. vez. ¿Qué cantidad de vino queda en eltonel después de la cuarta operación?

a) 12 litros b) 13 c) 14

12. Con dos clases de café de S/. 11 y S/ 12 el kg. sequiere hacer una mezcla que resulte a S/. 11,70el kg. de manera que entre de la segunda clase12 kg. más que de la primera. ¿Qué cantidaddebe entrar de cada clase?

a) 9 y 21 kg. b) 12 y 34 c) 15 y 27d) 16 y 24 e) N.A.

13. Un comerciante mezcla “a” litros de vino de

d) 1224

25e) 16 S/. 12 el litro con “b” litros de vino de S/. 18 y

obtiene vino de S/. 13. Si invierte los volúmenesiniciales de vino, hallar el precio de la venta de

8. De un depósito que contiene aceite se sacan las2/3 partes de su contenido menos 40 litros, enuna segunda operación se sacan los 2/5 del resto

y por último se sacan los 84 litros restantes.Determinar la capacidad del depósito.

a) 280 litros b) 260 c) 300d) 250 e) 290

9. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litrosde vino de S/. 8,40, con 8 litros de S/. 9 y con12 litros de S/. 12?

a) 10 b) 15 c) 12d) 18 e) N.A.

10. Un comerciante tiene 12 litros de vino que

cuesta S/. 5 el litro, se agrega cierta cantidadde agua y se obtiene un precio medio de S/. 4 ellitro. Calcular la cantidad de agua que seagregó.

a) 5 litros b) 4 c) 3d) 2 b) 8

11. Una cierta cantidad de azúcar que cuestaS/. 120 el kg. se mezcla con 100 kg. de azúcarde S/. 180 el kg., si el precio de la mezcla es S/.142,5. Hallar dicha cantidad.

a) 133 kg. b) 166 c) 16623

un litro de la nueva mezcla.

a) S/. 20 b) 17 c) 15d) 18 e) 16

14. Se tiene recipientes de 40 y 60 litros decalidades diferentes se extraen “a” litros decada uno y lo que se saca de uno se hecha en elotro y viceversa, quedando entonces ahoraambos recipientes de igual calidad. Calcular “a”.

a) 40 l b) 60 c) 64d) 70 e) 45

15. Un recipiente contiene cierta cantidad de lechepura. Se bebe 1/3 del contenido y se reemplazapor agua, luego se vende 1/4 de la mezcla

resultante y se reemplaza por agua, finalmentese derrama 1/5 del a nueva solución y se vuelve areemplazar por agua. ¿Qué fracción de lechepura queda?

a) 4/7 b) 2/9 c) 11/7d) 9/13 e) N.A.

d) 160 e) 100




Colegio Particular Integrado CESAR´S82


MEZCLAS ALCOHÓLICAS

Conceptualmente hablando se llama mezcla a la unióníntima de varias sustancias, aunque comercialmente sepuede afirmar que mezcla es el procedimiento quetienen por finalidad reunir artículos o sustancias deuna especie, tratando de obtener de varios precios oporcentajes diferentes, uno en común para ellos.

4. Se mezclan 15 litros de alcohol de 80° con 45litros de alcohol de 60°. ¿Cuántos grados tendrála mezcla?

a) 70° b) 65° c) 75°d) 72° e) 69°

Mezclas alcohólicas:

%alcohol = alcohol x 100 %total

5. A 80 litros de una mezcla alcohólica al 60% se le

agrega una cierta cantidad de agua pura parareducir su pureza a sus dos terceras partes.Hallar la cantidad de agua añadida.

EJERCICIOSDE

APLICACIÓN

1. En un recipiente se mezclan 20 lde alcohol puro y

60 l de agua. Determine la concentración opureza alcohólica de la mezcla.

a) 20° b) 25° c) 32°d) 30° e) 28°

2. Halle el grado de una mezcla de:

A. 9 litros de alcohol puro con 66 litros de agua.B. 8 litros de alcohol puro con 32 litros de agua.

a) 12 ° y 15° b) 10° y 12° c) 12° y 20°d) 15° y 18° e) 26° y 30°

3. Se mezclan 20 l, 16 l, 14 lde alcohol de 40°,25° y 50° respectivamente. Halle el grado de lamezcla.

a) 35° b) 38° c) 40°d) 42° e) 43°

a) 20 l b) 40 c) 60d) 80 e) más de 80

6. ¿Cuál es el grado de la mezcla alcohólica queresulta de la combinación de alcohol de 80%,alcohol puro y agua con volúmenes de 20 l, 40 l,

40 lrespectivamente?

a) 60° b) 56° c) 65°d) 62° e) 75°

7. Un depósito con capacidad de 150 litros contienealcohol y agua en la relación de 4 a 1. ¿Cuánto hayque agregar de alcohol puro para que la purezaaumente en 10°?

a) 150 l b) 200 c) 100

d) 80 e) 120

8. Se quiere obtener 100 l de alcohol de 74%mezclando 30 litros de alcohol el 80% concantidades de alcohol puro y agua. ¿Qué cantidadde agua se usa?

a) 20 l b) 30 c) 40d) 50 e) 60



9. Se mezcla alcohol de 54°, alcohol de 90° y aguaen la proporción de 6, 6 y n. Hallar “n” si lamezcla es del mismo grado de uno de los

15. Cuando un litro de agua es añadido a una mezclade ácido y agua, la nueva mezcla tiene 20% deácido y cuando un litro de ácido es añadido a la

ingredientes. nueva mezcla el resultado tiene 33 13 de ácido.

a) 7 b) 3 c) 5

d) 4 e) 2

10. Se tienen 2 mezclas alcohólicas, una d 40 l al80% de alcohol puro y otra de 60 l al 75% dealcohol, ¿Cuántos litros se deben intercambiarpara que ambas mezclas tengan el mismoporcentaje de alcohol?

a) 24 l b) 40 c) 30d) 38 e) 20

11. La mezcla de “x” litros de alcohol de 60°, con 2x

litros de alcohol de 45° y 360 litros de agua dauna mezcla alcohólica de 40°. Hallar “x”

a) 360 l b) 240 c) 480d) 540 e) 560

12. Se tiene una mezcla alcohólica de 240 litrosdonde el volumen de agua representa el 60% delvolumen de alcohol puro. ¿Cuántos litros dealcohol se le debe echar a la mezcla alcohólicapara obtener una mezcla de 80°?

a) 480 l b) 410 c) 510d) 200 e) N.A.

13. Se mezcla alcohol de x° con alcohol de (x + 42)°en la relación de volúmenes de 5:9respectivamente obteniéndose alcohol de 55°.Hallar el grado de alcohol si la relación devolúmenes se invierte.

a) 47° b) 49° c) 38°d) 43° e) 56°

14. Se tiene 120 l de una mezcla alcohólica de 10%de pureza, luego se quiere vender la mezclaganando el 33,3% por cada litro (el costo de cadalitro de alcohol puro es S/. 30). Calcular el preciode venta de cada litro.

a) S/. 6 b) 4 c) 5d) 4,8 e) 4,5

¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla

original?

a) 33,3% b) 25% c) 30%d) 35% e) 33,6%


1. Se tiene 25 litros de alcohol al 80%. ¿Cuántoslitros de agua se debe agregar para rebajarlo al60%?

a) 8,3 b) 9 c) 7,5d) 6 e) N.A.

2. La cantidad de onzas de agua que se necesita pararebajar al 30% el contenido de alcohol de unfrasco de loción de afeitar de 9 onzas que

contiene el 50% de alcohol es:a) 6 onzas b) 7 onzas c) 8 onzasd) 2 onzas e) 9 onzas

3. En un depósito que contiene una mezcla de 90litros de alcohol y 10 litros de agua. ¿Quécantidad de alcohol debe añadirse para que lamezcla sea del 95% de pureza de alcohol?

a) 100 l b) 85 c) 105d) 95 e) 90

4. Un litro de mezcla esta formado por 75% dealcohol y 25% de agua y pesa 960 gramos.Sabiendo que un litro de agua pesa 1000 gr.determinar el peso de un litro de mezcla quetiene 15% de alcohol y 85% de agua.

a) 974 gr. b) 986 c) 992d) 996 e) 982





5. ¿Cuántos litros de agua debe añadirse a 10 litrosde alcohol que es 95% puro, para obtener unasolución que sea 50% puro?

a) 8 l b) 6 c) 7d) 9 e) 19

6. Pepe mezcla 25 litros de alcohol al 40% con 15litros de alcohol al 80%. ¿Cuál es laconcentración de la mezcla resultante?

a) 35% b) 40% c) 55%d) 65% e) 45%

7. Maritza mezcla 60 litros de alcohol de 12° con 40litros de alcohol de 26°. Hallar la pureza de lamezcla resultante.

a) 17,6° b) 18,6° c) 14,6°d) 12,1° e) 17,4°

8. ¿Qué volumen de agua hay que agregar a 36 litrosde alcohol al 25% para que la mezcla resultantesea de 18%?

a) 13 l b) 14 c) 15d) 16 e) 17

9. Se tiene 60 litros de alcohol al 40%. ¿Cuánto deagua habrá que agregarle para que laconcentración disminuya en 10%?

a) 10 litros b) 20 c) 30d) 40 e) 25

10. El laboratorio CHIP necesita obtener aguaoxigenada de 55° si tiene agua oxigenada de 75° y45° respectivamente. ¿En qué proporción deberámezclarlos para obtener dicha concentración?

a) 3 a 1 b) 1 a 2 c) 2 a 3d) 2 a 5 e) 2 a 4

11. Si un litro de mezcla formado de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gr. ¿Cuánto pesara unlitro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75%de agua?

a) 992 gr. b) 950 c) 930d) 900 e) N.A.

12. Se tiene 30 litros de alcohol al 30%. El 40% deesta mezcla se echa a un recipiente que contienecierta cantidad de agua de modo que se obtiene

alcohol al 20%. ¿Cuántos litros de agua contieneeste recipiente?

a) 6 litros b) 14,4 c) 8,4d) 8 e) 12

13. Si 20 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuántode agua se debe evaporar para que la nuevasolución contenga 20% de sal?

a) 5 b) 10 c) 15

d) 3 e) 8

14. ¿Cuántos litros de agua debe agregarse a unamezcla de 5 litros de vino y agua al 80% depureza, con la finalidad de rebajarle al 25%?

a) 20 l b) 16 c) 11d) 12 e) N.A.

15. De un recipiente lleno de agua retiro el 40% de loque no retiro y de lo que he retirado devuelvo el40% de lo que no devuelvo, entonces ahora quedan78 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros nodevolví?

a) 10 l b) 9 c) 8d) 20 e) 15




REPASO GENERAL

1. 0,18 + 0,15 =

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3

d) 0,4 e) N.A.

2. Hallar x en : 0,6 + 0,3 + 0,4 =x9

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

3. Si : 2, 6 - 1,3 = 1, xy

Hallar : x + y – 3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. En una reunión de 40% del total de personas

son hombres, si se retiran la mitad de éstos.¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?

a) 12,5%b) 25%c) 33,3%d) 50%e) Faltan datos

5. Tengo el 80% de lo que no tengo. ¿Cuántotengo, si tenía 3600 dólares?

a) 2000 b) 1600 c) 2400d) 1000 e) 1400

6. ¿El 20% de que número es el 40% del 5% de600?

a) 600 b) 6 c) 6000d) 60 e) 300

7. Se vendió un automóvil en $6500, ganando el30% del costo. ¿Cuánto costo el automóvil?

a) $ 3 800 b) 4 700c) 5 000 d) 5 400e) 5 900

8. Se vende un radio ganando el 20% del precio

de costo, más el 10% del precio de venta. Si elprecio de costo es de 30 Soles. ¿Cuál es elprecio de venta?

a) S/. 35 b) 37 c) 39d) 40 e) 42

9. Al precio de un carro se le hace un descuento del

10% y luego se le hace otro descuento del 20%

pagando por el carro 3 600 Soles. ¿Cuál era el

precio original del carro?

a) S/. 4 000 b) 7 000c) 5 000 d) 4 500e) 5 500

10. ¿Qué interés produce un capital de S/. 4000 alser prestado al 7,5% trimestral durante 1 año3 meses?.

a) S/. 900 c) 1500 e) 2100b) 1200 d) 1800

11. ¿Qué capital produce mayor interés anual?I. S/. 18000 al 6% trimestralII. S/. 24000 al 9% semestralIII. S/. 28800 al 30% bianual

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e ) Igual interés




12. Hallar la tasa de interés trimestral a la que seha prestado un capital durante 1 año, 5 meses

y 12 días, de tal manera que el interésproducido sea el 29% del capital.

a) 20% c) 10% e) 8%

b) 40% d) 5%

13. Se mezclan tipos de café en la relación de 2 esa 5 y la mezcla se vende ganando el 25%, sehace una nueva mezcla similar pero en la relaciónde 5 es a 2 y la nueva mezcla se vende ganandoel 20%. Si el precio de venta en ambos casos esel mismo, se pide calcular en qué relación estánlos precios de costos unitarios.

a) 11/10 b) 11/9 c) 13/7

d) 43/41 e) N.A

14. Si mezclamos 48 litros de agua con 12 litros dealcohol. ¿Cuál es la concentración de la mezcla?

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5d) 2/5 e) 3/4

15. Un depósito con capacidad de 150 litroscontiene alcohol y agua en la relación de 4 a 1.¿Cuánto hay que agregar de alcohol puro paraque la pureza aumenta en 10°?

a) 150 l b) 200 c) 100d) 80 e) 120

16. ¿Cuántos litros de agua debe añadirse a 10litros de alcohol que es 95% puro, paraobtener una solución que sea 50% puro?

a) 8 l b) 6 c) 7

d) 9 e) 4

TareaDomiciliaria Nº7

1. Hallar : 0,711 + 0,177 =

a) 6/9 b) 7/9 c) 8/9d) 1 e) N.A.

2. Hallar x en : 0,6 + 0,4 =x9

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) N.A.

3. 7,31 + 0,6 = a,bcd . Hallar: a + b

a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) N.A.

4. ¿Qué porcentaje del 0,5% de 200 es el 20%del 0,2% de 800?

a) 32% b) 22% c) 18%d) 15% e) 21%

5. El largo de un rectángulo aumento en 20% y elancho disminuye en 20% entonces el área del

rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál es el áreainicial?

a) 200 m2 b) 300 c) 2 000d) 4 000 e) 1 600

6. En una reunión de 150 personas las mujeres

constituyen el 60% de los presentes. ¿Cuántasparejas deben llegar a esta reunión, para que elnúmero de hombres constituya el 45% de todoslos asistentes?

a) 50 b) 65 c) 70d) 75 e) 80



7. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo quecosto 4 soles, sabiendo que se va hacer unarebaja del 20% de dicho precio y aún se ganaráel 20% del precio de costo?

a) S/. 5,5 b) S/. 5,75 c) S/. 6

d) S/. 6,5 e) S/. 6,75

8. Una señorita va a comprar 5 metros de telacuyo precio por metro es de 42 soles. Si ellapaga 182 soles por los 5 metros. ¿Quéporcentaje de descuento a recibido?

a) 13,3 % b) 12,8 c) 15,3d) 14,2 e) 16,8

9. Los 2/3 de un capital se imponen al 4% anual

de interés simple, la sétima parte del resto al8% y el resto al 12%. Si al cabo de 15 meses elmonto es S/. 54480. Determinar cuánto deeste monto es interés.

a) 4800 b) 4008 c) 8040d) 4080 e) 8400

10. Se prestó un capital al 7%, si se hubieraprestado por 2 años más al mismo porcentaje,el interés hubiera sido el 125% del anterior.

¿Cuál fue el tiempo de imposición?.

a) 5 años b) 8 c) 10d) 7 e) 12

11. Se impone S/. 4800 al 9% durante año ymedio. ¿Qué capital sería necesario aumentarpara que en una año 8 meses al 6% de interésse duplique?.

a) S/. 8140 b) 8400 c) 8200

d) 8160 d) 8180

12. ¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta decombinar 36 kg. de té a 15 soles el kg. con 22kg. de té a 12 soles el kg. y con 42 kg. de té a30 soles el kg. Si se quiere ganar el 25% en laventa?

a) S/. 20,64 b) 25,80 c) 25,20d) 24,00 e) N.A.

13. Se realiza una mezcla de 200 lt de vinos de S/.4 ; S/. 5 y S/. 6 el litro, obteniéndose vino deS/. 5,60 el litro. Si del segundo ingredientehay el doble que del primero. ¿Qué cantidadse puso del tercero?

a) 80 lt b) 120 c) 140d) 90 e) 100

14. Se mezclan 45 litros de vino de 40 soles ellitro con vino de 24 y 36 soles el litro.Resultando un precio medio de 34 soles el litro.Hallar la cantidad total de mezcla sabiendo quepor cada 5 litros del segundo hay 7 litros deltercero.

a) 45 lt b) 90 c) 135d) 150 e) N.A.

15. Se tiene 240 cc de una mezcla alcohólica de75°. Qué cantidad de agua se debe añadir paraque la proporción de alcohol y agua se invierta?

a) 240 cc b) 480 c) 360d) 600 e) 450



III BIM – ARITM TICA – 5TO.



5 500 a.c.

Los sumerios, antecesores de los Caldeo – Asiriosanteriores a los Egipcios, constituyen la civilización

mas antigua que ha dejado documentos históricos,indicadores del conocimiento que tuvieron de unsistema numérico.

3 000 a.c.

Los Babilonios utilizaron la idea del valor de posiciónpara representar a los números mayores que 59, sinnecesidad de nuevos símbolos la base de su sistemaera 60.

S. XVIIIsaac Newton en su Libro “La Aritmética Universal”intenta dar un concepto de número.

850 d.c.Ma Ha Vira, su aporte más interesante esta en sus

leyes sobre la división (hacia el año 850 d.c.)



“La verdadera causa de la degradación de unhombre es la ignorancia”

NUMERACIÓN

Diferentes Sistemas de Numeración

Descom posiciónPolinómica

Cambios de Base

Cultiva tu mente y

tu alma antes que te

tu cuerpo.




NUMERACIÓN I

“El hombre que hace las cosas difíciles

parezcan fáciles es el educador ”

NU NUMMEER R AACCIIÓNÓN

Estos ejem plos:

Una mano de

Un par de

La potencia de las

bases disminuyen de

1 en 1.

¡Practiquemos juntos!

Nos indica que existendiferentes sistemas denumeración.

R R EECCUUEER R DDAA

a, b, c < n

a) 210(3) = 2 x + 1 x + 0

b) 1 211(4) = 1 x + 2 x + 1 x + 1

c) 10 312(5) = 1 x + 3 x + 1 x + 2

abc (n) = n = 2, 3, ...

¡SIGA¡SIGAMMOOSS AAPPR R EE N NDDIIEE N NDDOO!!Ejemplo:

1. Hallar “x” en:

a75 (8)

= 25a

DESCODESCOMMPPOOSSIICCIIÓNÓN PPOOLLII N NÓÓMMIICACA

Observemos el siguiente ejemplo:

4284 = 4 000 + 200 + 80 + 4

También lo podemos expresar así:

4 284 = 4 x 1 000 + 2 x 100 + 8 x 10 + 4

= 4 x 103

+ 2 x 102

+ 8 x 10 + 4

Descomposición Polinómica

R R ECUEECUER R DADA

DeDessccomomppoossiicciióónn PoPollininómómiiccaa

a x + 7 x + 5 = 2 x + 5 x + a

64a + = 250 + a

63a =

a = 3

¡¡VVAAMMOSOS TUTU PUEDEPUEDESS!!




Ejemplo: Halla: “n”

114(n) = 234(6)

1 x + 1 x + 4 = 2 x + 3 x + 4

n2

+ - 90 = 0

n +10

n -

n =

¡A¡AYYÚDAÚDAMMEE AA CCOOMMPPLLEETTAAR R !!

El siguiente cuadro:

Sistema Base

Binario 23

Cuaternario 45678

Notario 9Decimal 10

1. Indica lo incorrecto:

A) 234(5) ( )

B) 116(3) ( )

C) 2 111(4) ( )

2. Coloca un número para que sea (V) o (F)respectivamente:

A) 134( ) ( )

B) 1 003( ) ( )

C) 1 32(4) ( )

3.

a) Hallar a + b. Si: ab − ba = 72

R R EECCUEUER R DDAA

A mayor numeral

aparente corresponde

menor base

Ejemplo:

menor mayor

251(7) = 2 014(4)

mayor menor

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

b) Hallar a + b. (b: par)

111(b) = ab(5)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4.a) Hallar “a”

a1a(8) = 1106(7)

Otras bases:

10 = αa) 5 b) 4 c) 7

11 = β

12 = γ

1αβ3 = 1(10)(11)3(13) (13)d) 8 e) 6

13 = λ b) Hallar “a” aa3(5) = 333(4)

a) 2 b) 1 c) 0d) 4 e) 3

78 Colegio Particular Integrado CESAR´S





5. Coloca un número para que sea (V) o (F)respectivamente:

A) 326( ) ( )

B) 121(4) ( )

C) 131( ) ( )

6. 23(n) + 54(n) = 110(n)

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A.

a) 10 – n b) 11 – n c) 9 + nd) n + 1 e) 13 - n

11. Se tiene un número de dos cifras al que se leinvierte el orden de sus cifras. La diferencia delos cuadrados de dicho número es 891. Hallar elnúmero y dar su suma de cifras.

a) 7 b) 6 c) 4d) 9 e) 5

12. Durante una fiesta la que asistieron xy

hombres e yx mujeres, en un momento dado el7. Si los numerales: 22p(n) ; n31m(6) ; 1002(p); número de hombres que no bailan es (2x - y) y el

2n1(m) ; están correctamente escritos.Hallar “m + n + p”

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) N.A.

número de mujeres que no bailan es (x + y).Hallar el número de asistentes.

a) 155 b) 165 c) 176d) 187 e) 143

8. Hallar “x” en:

123(x) = 53(x+2)

13. Sabiendo que 4 210m = mmm

Determinar el valor de “m”

a) 5 b) 6 c) 7a) 4 b) 6 c) 5d) 4,5 e) 7

El 10% del ingreso del gobiernoruso proviene de la venta de

vodka.16 años de edad tenía la virgenMaría al nacer Jesús, según laBiblia.

d) 8 e) N.A.

14. Lo que le falta a N = b(b + 1)(a + 1) para llegar a

1 000 es abb . Hallar: a + b

a) 6 b) 7 c) 10d) 8 e) 9

15. El menor número de base 9 formado por todaslas cifras impares. ¿Cuántos ceros tiene alescribirlo en base 2?

a) 2 b) 4 c) 8d) 10 e) 11

9. Hallar “x”a) (x − 1)(x − 1)(x − 1)(x) = 2 211(6)

a) 3 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

965 km/h es la velocidad quealcanza un estornudo en tu boca.

El músculo más fuerte del cuerpohumano es la lengua.

b) Hallar “n” (2n)3n(6) = 3n3(7)

a) 2 b) 1 c) 0d) 4 e) N.A.

10. Si un entero de dos cifras es “n” veces la sumade sus cifras, el número que se obtiene alintercambiar el orden de sus cifras es la sumade sus cifras, multiplicada por:



9. Determinar el valor de “a” si:13(a − 1)a = (a + 1)(a / 2)8

1. Si: 1 331(n + 1) = 1 000(6)Hallar: “n”

a) 6 b) 5 c) 7d) 4 e) 8

2. Un número aumentado en el triple de su cifra dedecenas resulta 93. Hallar la suma de suscifras.

a) 11 b) 7 c) 9d) 6 e) 8

3. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales asiete veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 6d) 3 e) N.A.

10. Hallar la suma de los valores absolutos yrelativos del número 2 311(6).

a) 7 y 547 b) 7 y 435 c) 7 y 842d) 5 y 32 e) N.A.

11. Sabiendo que: ab3 4 = ba4 5Hallar: “a + b”

a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) N.A.

12. Si los números están correctamente escritos:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2m3(p) ; 54n(7) ; 213m ; 3p1(n)

4.

x1x4

x.4

..4...2

....4...

4....4

x3x

2"n"

cifras iguales

= 4095

Hallar: “m + n + p”

a) 15 b) 18 c) 19d) 20 e) N.A.

Hallar: N = nnn13

expresado en base 10.

a) 2 193 b) 2 196 c) 2 396d) 2 186 e) 2 176

13. Hallar “x” si se cumple: 13x04= 120

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Si: aba = b b a 5 2 2 14. Un número se escribe en el sistema binario

Hallar: a + b

a) 4 b) 8 c) 2d) 6 e) 10

6. Hallar: (a + b + n)Si: 121(n) = 6ab ; a < 3

a) 31 b) 30 c) 29

d) 28 e) 27

como 101010, en que base se representará como132.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) N.A.

15. Si: ab3n = (a − 1)cd(6)Calcular “n” si es impar y cuanto vale.

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) N.A.7. Sabiendo que:

Hallar: “a + b”

a0b11 = b0a13

a) 9 b) 12 c) 10d) 11 e) N.A.

8. Sabiendo que: a0b = b0a7

¿Cuántos valores puede tomar ab ?

a) 1 b) 4c) 2 d) 5e) N.A.



En el año 1761 Tambert matemáticoalemán demostró que π es un númeroirracional, es decir, no es expresablemediante una fracción de númerosenteros.




VII a.c.

Los griegos tuvieron un sistema numérico diferente eimperfecto, porque no conocieron el sistema deposición ni la cifra cero. Antes de Arquímedes nopudieron representar un número mayor de 9 999.

II a.c.

El sistema de numeración china fue decimal, y separecía al sistema egipcio en que para los númerosmayores tuvieron símbolos especiales.

100 a.c.

El origen exacto por lo cual los romanos emplearonrayas verticales para indicar el 1, 2, 3, 4, no seconocen, pero la opinión mas generalizada es queprovienen de los dedos de la mano.

850 d.c.Ma Ha Vira, su aporte más interesante esta en sus

leyes sobre la división (hacia el año 850 d.c.)



“El camino por los preceptos es largo; breve yeficaz por los ejemplos”

NUMERACIÓN

DescomposiciónPolinómica

Cambio de Base de Base10 a base ≠10

De base ≠10 a base ≠10




NUMERACIÓN II

I.I. CACAMMBBIOSIOS DEDE BBAASSESES

AA)) DDee BBaasese 1100 aa BBasasee ddiiferenferenttee ddee 1010

Este método se conoce

como el “Método de las

Divisiones Sucesivas”.

¡P¡PR R ACTIQUACTIQUEEMMOSOS JJUU N NTTOOSS!!

Ejemplo:

60 a base 5.

60 5

0 12 5

2 2

∴ 60 = (5)

Ejemplo:

42 a base 2

42 2

120 a base 4.

120

30

0 21 2 710 2 1

1

105 2

12

0 1

Luego:

120 = 1 320( )

B)B) DDee babasese ≠≠ 1010 aa bbaasese ≠≠ 1010

R R EECCUEUER R DDAA

Se toma el último

cociente y luego los

residuos.

Para realizar estecambio primer o

aplicamos D. Polinómica

y luego divisiones

sucesivas

∴ 42 = 101010(2)



0

Ejemplo:

121(3) a base 4

1. Descomposición

121(3) = 1 x2

+ 2 x + 1

1. Hallar: a + b + c

aabc (7) = babb(5)

= + + 1= 16

a) 4 b) 5 c) 8d) 9 e) 10

2. Hallar: a2

+ b2

+ c2. Si: abc = cba

2. Divisiones (8) (17)

16 a) 33 b) 34 c) 35d) 36 e) 320 4

1 3. Hallar: a + b. Si: aba = 23(b + a)

∴ 121(3) = 1_ (4)

Resuelve el

siguiente

ejercicio:

1 101(2) a la base 5:

¡Es muy Fácil!

Ahora practicamos juntos.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

4. Hallar: a + b. Si: baab = 99(1 + ba)

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) 9

5. Si: abc (n+1) = 146(n)

de = d(d + e)

Hallar: a + b + c + e – d

a) 9 b) 11 c) 12d) 10 e) 13

Descomposición:

1 101(2) = 1 x3

+ 1 x2

+ 0 x + 1

= + 4 + 1

6. ERYKA(S)

= 5059(6)

Hallar: E + R + Y + K + A + S

a) 10 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

= 13

Divisiones:

7. Hallar: “n”

455(n) = 354(n+1)

13 5

2

a) 6 b) 7 c) 5d) 8 e) 9

8. Hallar a + b en: 3(2a)(6)

= 4a (b)

∴ 1 101(2) = (5) a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9



125

9. Hallar a + b + c + d

21ab01(3) = c5d(9)

15. Si se cumple 4a(ab)

= a0a 8

a) 11 b) 22 c) 33d) 44 e) 55

10. Hallar en el sistema decimal: axya(8)

= bbxy(12)

Además: (n − 2)(n2 )(n + 4) = cde 7

Hallar: a + b + c + d + e + n

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) N.A.

a) 3 375 b) 1 958 c) 1 978d) 3 375 e) 3 895

11. Una persona nació en el año 19aa y en el año 350 veces su tamaño puede saltar19bb cumplió (4a + 5b) años . ¿Cuál fue el año una pulga.en que tuvo (a + b)

2años de edad?

a) 1 981 b) 1 976 c) 1 967d) 1 955 e) 1 971

9460 800 000 000 kilómetrosmide aproximadamente un añoluz.

12.a. Un ciclista viaja por una carretera a

velocidad constante parte en el km a0b y

una hora después esta en el km aab . Si en la

primera media hora llego al km(a + b)

ab0 . Hallar:

1. Completar:a) 3 b) 14 c) 15d) 16 e) N.A.

b. El cuadruplo de un número es de la forma

ab , pero si al número se le multiplica por 3

y luego se le divide entre 2 se obtiene ba .Hallar: (a - b)

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 8

13. El mayor número de 3 cifras de la base “n” serepresenta en base 5 como 4 021. Hallar “n”.

a) 9 b) 10 c) 8d) 7 e) N.A.

14. El menor número de 4 cifras de la base “n” se

escribe en la base diez como 5ab . Hallar a + b +n y expresar el resultado en base 2.

a) 1 0112 b) 1012 c) 1 1112

d) 3542 e) N.A.

a)6

= (8)

b) 354

6

= (7)

c) 3567 = (9)

d) 6667 = (8)

2. aba (c) = m1c (9)

Hallar el valor de “b” sabiendo que: m > 5

a) 6 b) 7 c) 9d) 13 e) N.A.

3. Hallar (a + b). Si: aba 7 = 221

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) N.A.

4. 1(a + 1)a14 = 1a1

Hallar: “a”

a) 2 b) 6 c) 8d) 4 e) N.A.



5. aba 8 = 1106n

Hallar: a + b

a) 7 b) 8 c) 9d) 7 e) N.A.

13. Hallar “n + b” en la siguiente expresión:

abb6 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

a) 3 b) 5 c) 4d) 6 e) N.A.

6. Convertir 1(R + 2)3(R

+3)

a base (R + 2)

a) 234(R + 2) b) 563(R + 2) c) 219(R + 2)

d) 999(R + 2) e) N.A. Los hindúes tuvieron ya un conjuntode numerales, que recibieron el

7. Si se cumple: abc8 = 1

Hallar: a + b + n

036n nombre de número de Bamami porentonces carecían del numeral cero yhacia escaso uso del valor de posición

a) 15 b) 18 c) 20d) 24 e) N.A.

8. Si se cumple: 1312[101n] = 1312

Hallar: “n”

a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.

9. Si se cumple que:

(a + 1)(b + 2)(c + 3)(d + 4)7=

926

Hallar: “a + b + c + d”

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

10. Hallar “x + y + z” si se cumple:

(x + 1)(y − 3)(z + 2)6 = 200

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

11. Hallar “a . b . c” si se cumple:

abc = 216

aunque la base fue 10 (300 d.C.)

14. Se cumple que:

(n − 1)(n3 )(n + 3) = abc8

Calcular: E = ca caca b

a) 12 b) 13 c) 11d) 10 e) N.A.

15. Se arrojan 3 dados, el resultado del primero semultiplica por 7, se suma el resultado delsegundo dado y se multiplica todo por 7, porúltimo se suma el resultado del tercer dado,obteniendo así 136. ¿Cuál fue el resultado decada dado? Dar como respuesta el menor:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

(5) (7)

Los egipcios usaron jeroglíficos paraa) 6 b) 12 c) 18d) 21 e) 8

12. Hallar “a + b + c”; si: 567 = abc

presentar a los números, es decirimágenes de objetos que de algunamanera se relacionaban con el número

que se deseaba representar 3300 a.C.8 9

a) 9 b) 10 c) 15



d) 17 e) N.A.



“La calidad en las cosas es buena, pero lacalidad en el ser humano es mejor ”

Enésimo término

PROGR ESIÓNAR ITMÉTICA Suma de términos

Término Central




PROGRESIÓN ARITMÉTICA

“Si lees poco, actuarás como muchos;

si lees mucho actuaras como pocos”

A. TÉRMINO ENÉSIMO

¡¡VeVeaamosmos elel ssiigguiuieennttee ee j jememplplo!o!Hallar el término 30.

Se llama Progresión Ar itméticaa una sucesión de números en

el cuál un término cualquier adiferente del primero, seráigual al anterior aumenta, en un

cantidad constante llamadorazón (r)

LLuuego:ego:

6, 9, 12, 15, … an

30

EE jem jemppllo:o:

8, 16, 24, 32, 40, …

16 - 8 24 - 16 32 - 24

8 8 8

A esta diferenciacomún se les llaman

razón.

Recuerda esta

clasificación

an = ??, a1 = , n = , r =

Reemp la z and o :

an = + (30 - 1)3

an = 93

Hallar el décimo término:8, 12, 16, 20, …

an

= ??, a1

= , n = , r =

P.A. Creciente

r > 0

10, 15, 20, 15, 30

P.A.

Descendiente

r < 0

40, 37, 34, 31

P.A. Trivial

r = 0

6, 6, 6, 6

Reemplazando:

an = + ( ) - 1 4

an = 44+5 +5 +5 +5 -3 -3 -3 0 0 0



+

B. TÉRMINOCENTRAL

Tratemos de resolver elsiguiente ejemplo:

- Hallar el términocentral X

Hallar la suma de términos de la siguiente P.A.de 40 términos.

2, 4, 6, …………………………………. 80

Sn = ?? , an = , a1 = , n =

ReemReemppllaazzaannddoo::

Apliquemos lasiguiente fórmula

Sn = =

2 . 40

= 82 .Sn =

Tc =

LueLueggo:o:

an + a1

2 2

Sn = 1640

an = , a1 = T c = ??

T c = 18 +2

= 10

6, , , X, , , , 54

1. En la P.A. (… -59, -61) determinar el número dean = , a1 = T c = ?? términos, si la suma de todos ellos es nulo.

T c = 54 +2

= 30

a) 60 b) 58 c) 61d) 63 e) 62

2. La suma de 3 números en P.A. creciente es 27, ysu producto es 504. Hallar el menor término.

C. SUMA DE TÉRMINOS a) 3 b) 5 c) 6d) 4 e) 9

Aplicaremos la siguientefórmula:

an + a

3. Dada la P.A.

49.

− 3,

5, − 2,2

3 , ...

2

que terminó es

Sn =

. n2 a) 100 b) 120 c) 105d) 110 e) 112



4. Si la suma de los “n” primeros términos de una

P.A. es Sn = 2n + 3n2

Indicar el 10º término

a) 59 b) 58 c) 61d) 63 e) 64

8. El cuarto término de una P.A. es 16 y el décimotérmino es 28. Hallar el término 50.

a) 108 b) 110 c) 106d) 112 e) 109

9. Sea P.A. {a, b, c, d} de razón r.2 2 2 2 2

5. Dadas las sucesiones: Calcular: M = {a + d – b – c }: r

15, 17, 19, 21 ………………….-12, -7, -2, 3 ………………….¿Qué términos correspondientes de estas dosprogresiones tienen el mismo valor?

a) 9 b) 10 c) 12d) 14 e) 6

6. Hallar el valor de “S”, si está en P.A.S = 23(x) + 30(x) + 35(x) ………+ 155(x)

a) 1312 b) 1812 c) 1216d) 1412 e) 1640

7. Dadas las P.A.3, 2x, 3x, ………………a, 2x, 2a, ………………Hallar “a”

a) 4 b) 2 c) 6d) 8 e) -6

La invención del O se debe a los

a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) 6

10. En la sucesión5+

9+

13+

17…3 5 7 9

¿Qué lugar ocupa el término 61/31?

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

11. Hallar un número de 3 cifras que aumenta en

270 cuando se invierte el orden de sus 2primeras cifras y disminuye en 99 cuando seinvierte el orden de sus cifras extremas.Sabiendo que la suma de sus cifras es 20.

a) 685 b) 675 c) 715d) 695 e) 785

12. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro

sabiendo que para enumerar sus últimas 36páginas se emplearon la misma cantidad de tiposque se empleo en las 1eras. 63 páginas.

a) 1002 b) 1008 c) 948d) 998 e) N.A.

13. Calcular el término de lugar 21 en la siguiente

hindúes en el siglo IX, fueron losárabes los que lo introdujeron en

progresión aritmética a8b; a93; b04; ba5

Europa. Al parecer el primer

matemático importante que cero alsigno 0 fue el árabe Muhammad IbnAl – Khwarizmi, en el 810 de nuestraera, aunque no adquiría su actualsignificado hasta el siglo XVII

a) 302 b) 303 c) 310

d) 350 e) N.A.

14. Determinar la suma de los 70 primeros númerosnaturales impares, y dar como respuesta la sumade las cifras del número hallado.

a) 13 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A.



15. En la siguiente P.A.

1a7 ; 12a7 ; (a − 1)(a − 1)7

Hallar el vigésimo término:

a) 547 b) 1247 c) 607

d) 1267 e) N.A.

4. En la siguiente progresión aritmética de razón7, hallar: “x + y + z + w”

33; xy ; zw

a) 15 b) 12 c) 21d) 18 e) N.A.

5. En la siguiente progresión aritmética, hallar elvalor de razón.

32; ab ; 44; cd ; …

Los problemas de interés los conocíanlos indios, pero fueron los árabes losque lo introdujeron en España.

a) 4 b) 6 c) 12d) 5 e) 1

6. En la siguiente progresión aritmética, hallar lasuma del primer término y la razón.

ab; 48; cd; xy; ...

a) 24 b) 36 c) 48d) 60 e) N.A.

1. Hallar el vigésimo segundo término de lasiguiente progresión:

2, 4, 6, 8, 10, …

a) 22 b) 44 c) 20d) 48 e) N.A.

2. Dada la siguiente P.A.:

7. Indicar el décimo noveno término de laprogresión aritmética siguiente:

16(n) ; 27(n) ; 40(n); …

a) 176(n) b) 185(n) c) 260(n)

d) 350(n) e) N.A.

8. El término que ocupa el lugar 100 de una P.A. es404. El 4to. término es 20, calcular el 1er.término.

a2; a4; a6; ... ;3a2 a) 8 b) 9 c) 13

Hallar el número de términos:

a) 149 b) 150 c) 151d) 152 e) N.A.

3. En la siguiente progresión aritmética. Hallar elvalor de la razón:

x3; x6; y2; y5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

d) 400 e) N.A.

9. ¿Cuántas cifras se emplearan al escribir todoslos números enteros de 3 cifras menores que

571?

a) 1413 b) 1400 c) 1600d) 1500 e) N.A.

10. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir

11, 12, 33, … 8787?

a) 165 b) 175 c) 330d) 540 e) N.A.



11. La suma de los términos de la progresión

33; 39; 45; 51; … ; 567 es:14. En la numeración de las abc páginas de un libro

a) 27 000 b) 10 550 c) 19 000d) 6 000 e) N.A.

se han empleadoHallar a + b + c.

1abc tipos de imprenta.

12. Hallar el término central en la siguiente P.A.(x + 3) ; (5x) ; (8x - 1); … ; (x + 103)

a) 40 b) 50 c) 60d) 55 e) N.A.

13. ¿Cuántos términos hay en la sucesión?23n ; 30n ; 34n ; … ; 636n

Sabiendo que forman una progresión aritmética.

a) 76 b) 77 c) 79

d) 80 e) N.A.

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

15. Para enumerar las páginas de un libro de aa

hojas, se ha utilizado bbb tipos de imprenta.Si: a – b = 3, determinar a x b.

a) 4 b) 10 c) 18d) 28 e) N.A.

El origen exacto por lo cual losromanos emplearon rayas verticalespara indicar 1,2, 3, 4, no se conocen,pero la opinión más generalizada esque provienen de los dedos de lamano. (100 a.C.)




CONTEO

“La sabiduría solo se encuentra con

el esfuerzo y tesón por ser mejor ”

FormFormaa::

Resolvamos el siguienteejemplo:

¿4Cuántos números de 3

cifras impares hay en elsistema decimal?

a b b a1 02 .. .

. .

. .9 .

99 x 10

Cantidad %

90

En las primeras cifras

no puede ir el cero

a b c

1 1 1

3 3 3

7 7 7 Cantidad x x 5 = 125

9 9 9

5 5 5

¿Cuántos númeroscapicúas de 4 cif r as

1. ¿Cuántos números de cuatro cifras terminan en2 en base 6?

a) 181 b) 180 c) 182d) 190 e) N.A.

2. ¿Cuántos números de la forma:

hay en el sistema a 30

b b

en base 14 existe: decimal? a 2

a) 26 b) 27 c) 28d) 29 e) 30



3. Calcular la suma de las cifras el producto:

P = 77……7 o 999……99

“n” cifras “n” cifras

a) 8n b) 7n c) 9n

d) 6n e) N.A.

4. ¿Cuántas cifras se escriben en la numeración delas 300 pag. de un libro?

a) 691 b) 592 c) 792d) 1000 e) N.A.

5. ¿Cuántos ceros inútiles hay en:0001, 0002, 0003…………………… 7000?

a) 1107 b) 1108 c) 1109

a) 20 b) 100 c) 200d) 250 e) 300

11. ¿Cuántos números mayores que 300 peromenores que 800 se pueden formar utilizandosolo las siguientes cifras: 0, 2, 3, 5, 6, 7 y 9?

a) 169 b) 195 c) 168d) 190 e) N.A.

12. ¿Cuántos números de cuatro cifras del sistemanotario empiezan y terminan en la misma cifra?

a) 648 b) 312 c) 452d) 428 e) N.A.

13. ¿Cuántos numerales, en base 12, existen de la

b d) 1110 e) 1121 forma: a(a + 2) (8 − b) ?

2

6. Hallar el número de valores en:43, 52, 61, 70 …………………. 7000

a) 45 b) 54 c) 90d) 48 e) 70

a) 774 b) 664 c) 654d) 644 e) 634

14. ¿Cuántos números de la forma:

existen?

a(2a)(b + 1)(3b) ,

7. ¿Cuántos números de 3 cifras que siempreempiecen y terminen en cifra par existen?

a) 200 b) 300 c) 400d) 600 e) N.A.

8. ¿Cuántos números de 4 cifras que empiezan concifra impar existen en el sistema octal?

a) 2048 b) 6005 c) 7500d) 8000 e) N.A.

9. ¿Cuántos números de la forma abba existen enel sistema decimal?

a) 90 b) 50 c) 80d) 95 e) N.A.

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

15. De los números del 1 al 1000 no se marcan ni unsolo número que contenga la cifra 2 ó la cifra 5.¿Cuántos números se marcan?

a) 500 b) 510 c) 511d) 515 e) 512

10. ¿Cuántos números de la forma aa(2b)b c

existen?



2



6. ¿Cuántos números de tres cifras comienzan o

terminan en 7?

42 dientes tiene un perro,mientras que el hombre 32.

50 veces su propio pero es lo quepuede levantar una hormiga.

1. ¿Cuántos numerales de tres cifras queempiecen y terminen en cifra par existen?

a) 200 b) 300 c) 400d) 500 e) N.A.

2. ¿Cuántos números de la forma

(a + 1)(b − 2) a (2b) existen?

a) 900 b) 180 c) 220d) 120 e) 360

7. ¿Cuántos números de 4 cifras existen, quetengan por lo menos una cifra par y por lomenos una cifra impar?

a) 8375 b) 9000 c) 7875d) 8500 e) N.A.

8. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras,empiezan en cifra impar y su cifra de segundo

orden es un número par?

a) 250 b) 200 c) 280d) 300 e) 240

2

a) 15 b) 30 c) 40

d) 50 e) N.A.

3. ¿Cuántos números pares de 4 cifras existentales que empiecen en cifra impar?

a) 5000 b) 4498 c) 4000d) 4500 e) N.A.

4. ¿Cuántos números impares de la forma:

9. ¿Cuántos números pares de 4 cifras empiezanen 6?

a) 500 b) 450 c) 250d) 350 e) 550

10. ¿Cuántos números de cuatro cifras del sistema

un decimal empiezan y terminan en la mismacifra y además su cifra de segundo orden es unvalor par?

a) 660 b) 760 c) 560d) 550 e) 500aa b(b + 6)c

2 existen?

a) 1600 b) 160 c) 260d) 2600 e) 360

5. ¿Cuántos números pares de 4 cifras empiezanen 6?

a) 500 b) 450 c) 250d) 350 e) 550

El número raíz cuadrada de dosaparece por primera vez al aplicar losgriegos el Teorema de Pitágoras paracalcular la diagonal de un cuadrado delado 1.



11. ¿Cuántos números de tres cifras del sistema 14. ¿Cuántos números de la forma:

notario tienen como cifra de primer orden un a − 2

b + 1 ; existen en el sistema

ab cvalor impar y como última cifra un múltiplo de 3 4

tres?

a) 72 b) 90 c) 84d) 120 e) N.A.

12. ¿Cuántas cifras se utilizan para escribir todoslos números de 3 cifras que utilizan por lomenos una vez la cifra 4 en su escritura?

a) 252 b) 282 c) 300d) 182 e) N.A.

decimal?

a) 20 b) 10 c) 30d) 40 e) 50

15. ¿Cuántos números de la siguiente forma existen

(a + 4)(4 − a)(4b)(3 − b)(18) ?

a) 20 b) 32 c) 48d) 63 e) 72

El número raíz cuadrada de dosaparece por primera vez al aplicar losgriegos el Teorema de Pitágoras paracalcular la diagonal de un cuadrado delado 1.

13. ¿Cuántos números existen de la forma:

(a − 1)(a + 3)(b + 2)(b + 8)(c + 1)2c ?

a) 192 b) 256 c) 182d) 216 e) N.A.

El 97% de agua está en los mares,el 3% es agua dulce.De este 3% es 97% esta en lospolos congelada, el 2% esta en lascorrientes subterráneas y el 1%es la que tenemos acceso.De este 1%, el 57% esta en lagos,el 38% pertenece a la humedaddel medio el 8% es vapor, el 1%esta en organismos vivos y el 1%esta en los ríos.Esto nos deja 0,02% de agua paratoda la humanidad.




ADICIÓN

Los Quipucamayocs, usaron el ábacoen el Imperio incaico 1350.

Hasta fines del siglo XVIII, los númerosnegativos no fueron aceptados universalmente.

Sin embargo los matemáticos de la India enel siglo VII, usaban los números negativos paraindicar deudas y los representaban con un círculosobre el número; admitían soluciones negativas en lasecuaciones pero no las tomaban en consideraciónporque decían que “la gente no aprueba las raícesnegativas”

Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamabaa los números negativos “falsos”, pero en su Ars.Magna (1545) los estudio exhaustivamente.

John Wallis (1616 - 1703), en suAritmética Infinitorum (1655) demuestra laimposibilidad de su existencia diciendo que “esosentes tendrían que ser a la vez mayores que elinfinito y menores que cero”.

Leonardo Euler es el primero en darles el

estatuto legal; en Anteitung Zur Álgebra (1770) tatade demostrar que (-1) (-1) = (+1); argumenta que elproducto tiene que ser +1 o -1 y que, sabiendo que secumple (1) (-1) = -1 tendría que ser: (-1) (-1) = +1.

Hoy una de las preguntas más repetidas enlas clases de matemáticas es ¿Por qué menos pormenos es más?

Es difícil encontrar una respuesta sencilla yconvincente, ya que la regla es puramente arbitraria

y se adopta solo para que no aparezcancontradicciones, pero existen varias justificacionesclaras y aceptables:

Equivalente lingüístico la doble negativaequivale a una afirmación:

Ejemplo:No es cierto que Pepito no tenga libroequivale.

Pepito tiene libro.

Un ejemplo más fácil de vitalizar es el de laisla Barataria donde hay ciudadanos“buenos” a los que se les asigna el signo (+) yciudadanos “malos” a los que se les da elsigno (-). También se acuerda que “salir” dela isla equivale al signo (-1) y entrar a la islaequivale el signo (+)

Si un ciudadano bueno (+) entre (+) aBarataria, el resultado para la isla espositivo (+) (+) = (+)

Si un ciudadano malo (-) sale (-) deBarataria, el resultado para la isla espositivo: (-1) (-1) = (+)

Si un ciudadano bueno (+) sale (-) deBarataria, el resultado para la isla esnegativo (+) (-) = (-)



2

2

Si un ciudadanomalo (-) entra(+) a Barataria,el resultadopara la isla esnegativo(-) (+) = (-).

F. Suma de los “n” primeros productos de dosenteros consecutivos.

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … 7475 … + n(n+1)n(n + 1)(n + 2)

=3

SUMASNOTABLES

A. Suma de los “n” primeros enteros positivos.

1 + 2 + 3 + … + n =n(n + 1)

2

Ejemplo:

Ejemplo:1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 … 74 x 75

=74(74 + 1)(74 + 2)

3

= 140 600

G. Sumas triangulares

S1 = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2

1 + 2 + 3 + … + 48 = 48(48 + 1) = 1176 S2 = 2

2

+ 3

2

+ 4

2

+ 5

2

+ … + n

2

2 S3 = 32 + 42 + … + n2

B. Suma de los “n” primeros números parespositivos.2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

n(n + 1) 2

S1 + S2 + S3 + … + Sn = 2

Ejemplo:2 + 4 +6 + … + 92 = 46(4 + 1)

= 2162

C. Suma de los “n” primeros números impares

positivos.1 + 3 + 5 + 7 + … (2n - 1) = n2

Ejemplo: 1 + 3 + 5 + … + 59 = 302

= 900

D. Suma de los “n” primeros cuadradosperfectos.12 + 22 + 32 + … + 6

2

62(62 + 1)(2 x 62 + 1)

1. Averiguar el valor de las siguiente sumas:

S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 44 Rpta. R = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 75 Rpta.=

6

= 81 375

E. Suma de los “n” primeros cubos perfectos.2

T = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 91 Rpta.

N = 12 + 22 + 32 + … + 252

Rpta.

2. Decir el resultado de las siguientes sumas:

13 + 23 + 33 + … n3 = n(n + 1)

Ejemplo:2

N = 40 + 45 + 50 + … + 195 Rpta.E = 11 + 22 + 33 + … + 154 Rpta.

13 + 23 + 33 … 243 = 24(24 + 1)

R = 81 + 100 + 121 + 144 + … + 625 Rpta. Y = 9 + 12 + 15 + 18 + … + 150 Rpta.

= 90 000



3. Sumar y dar el resultado:

T = 9 + 12 + 17 + 24 + … (30 sumandos)U = 6 + 10 + 16 + 24 + … (50 sumandos)L = 5 + 8 + 13 + 20 + … + 229I = 12 + 16 + 21 + 27… (15 sumandos)O = 3 + 12 + 22 + 33 … (20 sumandos)

4. Hallar “a”

A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + a = 120

B = (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) … + (a + 81) = 81 2

5. Determina las siguientes sumas:

S = 123 + 124 + 125 + … + 12100

P = 217 + 219 + 2111 + … + 2131

6. Calcular las tres últimas cifras de las siguientessumas:

M = 7 + 77 + 777 + … 777 …7

25 cifras

N = 64 + 6464 + 646464 + … 64 …64

64 cifras

7. Sabiendo que la suma de 25 números enteros

consecutivos es 775. Hallar la suma de los 25números consecutivos siguientes.

a) 920 b) 1400 c) 825d) 975 e) 2100

10. Hallar “N” si se cumple:1 + 2 + 3 + 4 + … + N = mpmp p ≠ 0

a) 100 b) 101 c) 102d) 72 e) 76

11. Si se cumple:

1 + 2 + 3 + … + N = aaaHallar: 12 + 22 + 32 + … + N2

a) 17 408 b) 16206 c) 15 408d) 12 406 e) 18 302

12. Hallar la suma de cifras del resultado de:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … (100 sumandos)

a) 99 b) 100 c) 101d) 87 e) 89

13. Determinar la suma de cifras de:7 + 97 + 997 + … 999…997

60 cifras

a) 67 b) 68 c) 69d) 70 e) 71

14. Hallar: p + q + r, si:

abc + cba = 1272

bac + acb = pqr7

a) 6 b) 7 c) 8d) 5 e) 4

15. La suma de 21 números enteros y consecutivosse halla comprendido entre 1060 y 1090. Hallarel término central.

8. Si: 3ab + c4a = xxx4 a) 31 b) 52 c) 73

Hallar: a + b + c + x

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

9. Hallar el valor de P + U + G, si:

UPC + UCP + UP = PUC

a) 10 b) 11 c) 12d) 15 e) 17

d) 50 e) 51

Los egipcios y Caldeo Asirios yatienen conocimiento de la adición.(3500 a.C.)




x74y + z7x + 5yx2 = yyx68

1. Calcular el valor de:12 + 15 + 18 …. (30 sumandos)

a) 1665 b) 1565 c) 1555

d) 1666 e) 1265

2. Cumpliéndose que:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

10. ¿Cuál es el valor de PARA si se cumple que:RAU + 5RU + E68 = PERU ?

a) 1343 b) 1232 c) 1343d) 1333 e) N.A.

ab8 + caa + b84 = 2328 11. Si: ab + bc + dd = (c − 1)ddHallar: abc

a) 786 b) 687 c) 678d) 876 e) 768

3. Calcular las últimas 3 cifras del resultado de:6 + 66 + 666 + … (30 sumandos)

a) 420 b) 520 c) 620d) 820 e) 720

4. Sabiendo que:abcde47 + 47abcde = 12132233Hallar: a + b + c + d + e

a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 29

5. Calcular (a + b + c) si:a1a + a2a + a3a + ... + aaa = 8bc1

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

6. Si:b42a + dab3 + ac68 = ecba4Calcular: (a + b + c + d + e)

a) 20 b) 22 c) 23d) 19 e) 18

7. Hallar la suma de todos los números de cuatrocifras que comienzan con 5 y terminan en 3.

a) 549 800 b) 594 800 c) 584 800

d) 539 800 e) 544 800

8. Hallar “c” en la siguiente suma:a74b + 5ba2 + c7a = bba68

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

9. ¿Cuál es el valor de “z” en la siguienteoperación?

Hallar: a x c + b

a) 10 b) 15 c) 20d) 8 e) 11

12. Hallar el valor de ANA si:2A + 3A + ... + 10A = ANA

a) 474 b) 585 c) 696d) 676 e) N.A.

13. Hallar la suma de los 40 términos de lasiguiente serie:9 + 99 + 999 + 9999 + … 999 …9

40 cifras

Dar como respuesta la suma de las cifras delresultado.

a) 40 b) 38 c) 47d) 45 e) 50

14. Calcular el término de lugar 100, en:31, 46, 64, 85, …

a) 16 049 b) 16 069 c) 16 350d) 16 381 e) N.A.

15. Hallar la suma de cifras de E.E = 1 + 3 + 5 + 11 + 33 + 55 + 111 + 333 + 555 …

(60 sumandos)

a) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) N.A.

Los signos + y – posiblemente fueronutilizados por los comerciantes, comosimples marcas indicativas del exceso(+) o falta (-) de pero en lasmercaderías que recibían.




SUSTRACCIÓN

SUSTRACCIÓN O RESTA

Es una operación que tiene por objeto dadas doscantidades.Minuendo y sustraendo, obtener una tercerallamada diferencia, que determina la cantidad deunidades en que el minuendo excede alsustraendo.

M − S = DM : MinuendoS : SustraendoD : Diferencia

COMPLEMENTO ARITMÉTICO

El complemento aritmético de un númeropositivo es lo que le falló a dicho número paraser igual a una unidad de orden inmediatosuperior.Ej:

C.A(12) = 100 − 42 = 58

C.A.(228) = 1000 − 228 = 772C.A. (4325) = 10 000 − 4325 = 5675

En general: C.A.(N) = 10K − N

PROPIEDADES

1. La suma de los tres términos de una

sustracción es igual al doble del minuendo,es decir:

M + S + D = 24

2. Dado: ab − ba = pq ,Donde a > bSe cumple que:

p + q = 9

3. Dado:

abc − cba = mnpdonde : a > cSe cumple que:

n = 9m + p = 9a − c = m + 1

K número de cifras de N.

REGLAPRÁCTICA

Para hallar el complemento aritmético de unnúmero, a partir de su mayor orden por restarlas cifras de 9 y a la última cifra significativa de10, si hay ceros al final estos permanecen en elC.A.

Ej:910

C.A. (104683) = 895317

9 10

C.A. (234500) = 765500



En los países latinos las palabras más y menos, como indicativos de laadición y de la sustracción están

dados por las palabras Plus y Minus(de la que generalmente se usaban susiniciales P y M) los signos + y –podrías venir de la deformación dedichas letras.

5. Calcular el valor de a . b . c si:

abc = cba + 2xy

abc = 1535 − cba

a) 54 b) 126 c) 36

d) 63 e) 162

6. Calcular: a . b . c, si:

abc − cba = 2pm

abc + cba = 84m

a) 32 b) 70 c) 35d) 36 e) 72

1. La diferencia de dos números es 305, si al mayorle quitamos 20 y al menos le aumentamos 85. Lanueva diferencia es:

a) 350 b) 200 c) 240d) 180 e) 179

7. Un número de 3 cifras es tal que:

abc − cba = mn3Si se sabe que la suma de sus cifras es 19. Hallar

el valor de : a2 + b2 + c3

a) 150 b) 151 c) 152d) 149 e) 153

8. Hallar: c + d + e, si:2. La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de

una sustracción es 19 456 y el minuendo es elcuádruplo del sustraendo, hallar el sustraendo.

a) 2432 b) 1216 c) 3648d) 608 e) 3040

3. Sabiendo que:

abc − cba = xy5

y a + c = 11

Determinar el valor : a2 + c2

a) 74 b) 65 c) 73

d) 64 e) 91

4. Si: abc + cba = 5

abc − cba = 1

Donde cada asterisco es una cifra.Hallar: “b”

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

5cde − edoc = 2579 ; (0 = cero)

a) 15 b) 12 c) 13d) 15 e) 9

9. Si: abc + bca + cab = 2109

abc − bca = 265

Hallar: a . b . c

a) 224 b) 208 c) 196d) 221 e) 168

10. La diferencia de 2 números es “x” al aumentar “y”el mayor y quitar “z” al menor, la nueva diferenciaes:

a) x − y − z d) x – y + z

b) x + y − z e) x − 2y

c) x + y + z



11. Si:

C.A. (a + 2)(b + 3)(c + 4)

= (a + 1)(b − 2)2c

Entonces el valor de (a + b + c) es:

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 11

12. Hallar: abc − cba

Si: C.A. ( abc ) = x74

a) 297 b) 594 c) 396d) 198 e) N.A.

13. Sabiendo que:

abc + C.A.( cba ) = mnp7Hallar: m + n + p

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 19

14. ¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que alrestarle su complemento aritmético dan comodiferencia un número de 2 cifras que termina encero?

a) 9 b) 10 c) 90d) 50 e) 99

15. Con tres cifras que suman 19 se forma un númerode tres cifras de tal manera que su complementoaritmético sea otro número de 3 cifras peroconsecutivas crecientes. Hallar la cifra de 2doorden del número.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

Los árabes ya tenían una idea de laresta. (900)

1. La suma de los 3 términos de una resta es 6veces el sustraendo. Si la diferencia es 34.Hallar el minuendo.

a) 63 b) 42 c) 48d) 51 e) 57

2. Un numeral de 3 cifras es tal que al restarle eldoble de su C.A. resulta 523. ¿Cuál es dichonúmero?

a) 523 b) 741 c) 841d) 736 e) 839

3. El doble de un número de 3 cifras excede altriple de su C.A. en 380. Hallar el número.

a) 575 b) 676 c) 678d) 576 e) N.A.

4. Si: abc = cba + xyz

Calcular: xy + yz

a) 18 b) 36 c) 81d) 72 e) 90

5. La suma de los C.A. de los 3 términos, de unasustracción es 180. Calcular la suma de las cifrasdel minuendo, si además se sabe que los trestérminos de la sustracción son de 2 cifras.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

6. Si: abc − cba = mnp

Hallar: mnp + npm + pmn

a) 1995 b) 1997 c) 1998d) 1999 e) N.A.



III BIM – ARITM TICA –

7. Si se sabe que:

abc − cba − cba = eab

eab − bae = 99

Entonces el valor de a + b + c − e es:

a) 15 b) 19 c) 11d) 20 e) 17

12. Hallar el número de cifras cuyo complementoaritmético sea igual a la cantidad de cifrasnecesaria para escribir la seria natural desde 1hasta al mismo número inclusive dar comorespuesta la suma de sus cifras.

a) 18 b) 12 c) 13d) 14 e) 16

8. Si el número ab7 se resta de su 13. Si C.A. el 13. Si: C.A. ( ab7 ) = xxx + ab7resultado es un número de 3 cifras iguales. Darel valor de a + b.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9. La diferencia entre los C.A. de un número de 4

cifras y otro de 3 cifras es 5380. Si la suma dedichos números es 4780. Hallar la suma de cifrasdel menor?

a) 12 b) 13 c) 25d) 21 e) 11

10. Hallar: C.A. (a + b +c)

Si : C.A. ( abc ) − abc = 632

a) 27 b) 47 c) 67d) 87 e) 77

11. La diferencia del C.A. de ab1 y este número; esun número de 3 cifras consecutivas.Hallar (a + b)

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Hallar: a + b

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

14. En una resta si al minuendo se le agrego 2

unidades en las decenas y al sustraendo se leaumento 5 unidades en las centenas entonces ladiferencia disminuye en:

a) 52 b) 520 c) 480d) 502 e) 410

15. ¿Cuántos números de cuatro cifras son tales queel C.A. de su C.A tiene 2 cifras?

a) 80 b) 81 c) 89

d) 90 e) 91

8848 metros tiene el monte Euresten el Himalaya, pero no tiene nada quehacer al lado del Monte Olimpo enMarte 26 km de altura.




MULTIPLICACIÓN

MULTIPLICACIÓN

M x m = P ⇔ M + M + M … + M = P“m”

veces

Donde:M : Multiplicandom : multiplicador

P : producto

PROPIEDADES

1. C ONMUT A T I VA

A x B = B x A

2. A SO C I A TI V A

A x [B x C] = [A x B] x C

3. INVERSO M U LTIPLICA T I VO

1A x = 1

A

4. EL E M ENTO NE U T R O M U L T I PLIC A TI V O

A x 1 = A

OBSERVACIONES

I. Dado una multiplicación cualquiera.

4 3 2 1

3 7

3 0 2 4 7 Producto Parcial

1 2 9 6 3 Producto Parcial

1 5 9 8 7 7

II. Es criptoarimética si:

abcde x 8 = ............ 2

Luego: 8e = ............ 2

Puede ser 4 ó 9

III. Multiplicación por complemento.

abcde x 99

abcde x [102 − 1]

abcde00 −a bcde

_ _ _ _ _ _

IV. Multiplicación por sumar y restar.

13 N = … 4567 ……. “α”5 N = … 2315 ……. “β”

16 N = … xyzw

Primero restamos: “α − β”

8N = … 2252 … “θ”

Multiplicamos x 2.

16N = … 4504



III BIM – ARITM TICA –

Los griegos tuvieron un gran auxiliaren la tabla de doble entrada desde laépoca de Pitágoras 500 a.C.

5. Hallar un número de 3 cifras que multiplicadopor 73 termina en 417. Dar el producto de suscifras.

a) 15 b) 18 c) 32d) 42 e) 72

6. El producto de dos números es 768, al agregarle14 unidades al multiplicando el producto seria1216. Calcular el multiplicador.

a) 28 b) 32 c) 24d) 36 e) 44

7. Hallar : a + b + c + d + e, si:

1. En cuántas veces su valor habrá aumentado elabcde7 x 5 = 7abcde

producto de tres factores sabiendo que uno deellos aumento en su duplo, otro en su triple y eltercero en su cuádruple.

a) 24 veces b) 59 c) 60d) 20 e) 30

2. El producto de dos números es 720 si se añaden6 unidades al multiplicando, el producto esentonces 816. ¿Cuál es el multiplicador?

a) 82 b) 36 c) 45d) 16 e) 32

3. El producto de un número por “a” es 448 y por“b” es 336. Hallar el producto de este númeropor el mayor número capicua de 3 cifras que sepuede formar con “a” y “b”.

a) 48 608 b) 54 303 c) 51608d) 38 416 e) 27 548

4. Hallar: E = (b + c) − (a + d)

Si en la multiplicación abcd x 95 la diferenciade los producto parciales es 15 372.

a) 12 b) 6 c) 3d) 8 e) 10

a) 19 b) 20 c) 21d) 24 e) 27

8. Un producto consta de dos factores uno de elloses un número de 2 cifras. Si a dicho factor se lereduce en la suma de su cifra, el producto sereduce en su quinta parte. Hablar uno de losfactores.a) 32 b) 40 c) 45d) 62 e) 75

9. Hallar: “m − n”

Si: nnmm = 13 . n . mm

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

10. Si se sabe que:19N = …………………………… 54113N = …………………………… 107

Hallar la suma de las tres últimas cifras de 72N.

a) 10 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

11. El producto de dos números es: 66 778, si elmultiplicador disminuye en 17 unidades, el nuevoproducto será 63 837. Halar la suma de losnúmeros.



a) 428 b) 559 c) 276d) 386 e) 632

12. Si a uno de los factores de una multiplicación se

le aumenta 15 unidades, entonces el producto1. Hallar: a + b + c + d + e

aumenta en 840 unidades, pero si se le disminuye

25 unidades al otro, el producto disminuye en

Si se sabe que: 1abcde x 3 = 1abcde

575. Hallar el producto inicial.

a) 1342 b) 1666 c) 1288d) 1242 e) 4219

13. Sabiendo que:

abcd x 67 = … 0424

Hallar: a + b + c + d

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 20

14. Sabiendo que:

abcd x 99 = … 6443Hallar: a . b . c . d

a) 560 b) 280 c) 630d) 480 e) 320

15. Hallar la suma de las cifras del producto.

M = 718 x 99 … 972 cifras

a) 657 b) 648 c) 328d) 999 e) 653

John Napier inventa el juego detablas de multiplicar llamado los“Husos de Napier” posteriormentepúblico la primera tabla de logaritmos(1617).

a) 26 b) 24 c) 20d) 25 e) 27

2. El producto de 9 números naturales es 24, entoncesla suma de dichos números, que es un número primovale:

a) 17 b) 13 c) 11d) 19 e) 23

3. Sabiendo que:abc x a = 5201

abc x b = 2972

abc x c = 2229

Hallar: abc2

a) 544 316 b) 552 049 c) 673 151d) 662 046 e) 324 426

4. ¿Cuál es el menor número que multiplicado por37, da un producto cuyas cifras son todoscuatro? Dar la suma de sus cifras.

a) 5 b) 6 c) 3d) 12 e) 14

5. ¿Cuál es el número de 5 cifras que 10. al sermultiplicado por da un producto formado por lasmismas cifras pero dispuestas en orden inverso?Dar la suma de sus cifras.

a) 27 b) 26 c) 18d) 24 e) 19

6. Si a un número se le agrego 2 ceros a la derecha,este aumenta en 381 150. Hallar el númerooriginal y dar la suma de sus cifras.

a) 16 b) 42 c) 28d) 64 e) N.A.



7. Si: abc x 19 = … 541

abc x 13 = … 107Calcular la suma de las 3 últimas cifras del

producto abc x 12.

a) 16 b) 19 c) 20d) 21 e) N.A.

8. Dado: abcde x 999 = … 47253Hallar : a + b + c + d + e

a) 27 b) 32 c) 24d) 39 e) 36

9. Hallar la suma de las cifras del producto que

13. En una multiplicación la suma de los 4 términoses 1997. Si el multiplicador se triplica entoncesla suma de los 3 términos resulta 5845. Hallar elmultiplicando.

a) 173 b) 73 c) 89

d) 93 e) N.A.

14. Hallar un abcd que multiplicado por 37, termina

en bcd8 . Dar como respuesta (a + b + c + d)

a) 15 b) 14 c) 16d) 18 e) N.A.

15. Sabiendo que:resulta de multiplicar un número por 37,

sabiendo que la diferencia de los productosparciales es 772.

a) 14 b) 13 c) 16d) 15 e) N.A.

10. Si: abcd x m = 16410

abcd x n = 22974

abcd x p = 13128

Hallar la suma de cifras del resultado demultiplicar abcd por el menor capicua de 5 cifrasque se puede formar con las cifras m, n y p.

a) 48 b) 33 c) 51d) 53 e) 45

11. Si el producto abcd x 999 termina en las cifras

… 2736; en consecuencia el valor de: a+b+c+d es:

a) 12 b) 13 c) 11d) 15 e) 17

12. Hallar el producto de dos números sabiendo quesi a uno de ellos se le disminuye en 16 dichoproducto disminuye en 672, pero si al otro se leaumenta en 19 el producto aumenta en 1083.

a) 1647 b) 2394 c) 1974d) 2444 e) 2450

mnp x m = 2930

mnp x n = 4688

mnp x p = 3516

Hallar : mnp x pnma) 401410b) 401014c) 144010d) 401014e) N.A.

LOS NÚMEROS Y SU SIGNIFICADO

1. El padre, la unificación elcorazón.

2. La dualidad, la madre, actuar concalma.

3. La creación, hacer las cosasbellas.

4. Estabilidad materialista.5. Intuición basada en cosas

tangibles.6. Amor – Sexo – Separaciones.7. Victoria con muchas luchas.8. Justicia y paciencia.9. Soledad para obtener beneficios

personales.10. Cambios positivos y negativos.

Indica que nada es estable.




DIVISIÓN

DIVISIÓN

DIVISIÓN ENTERA

Es la operación inversa de la multiplicación quetiene por objeto, dados dos números, dividendo(D) y divisor (d), hallar un tercer número llamadocociente (q) que indica cuantas veces contiene eldividendo al divisor.

D d

R q

B2. División entera inexacta por exceso.

D d

Re q + 1 D = d(q + 1) − Re

PROPIEDADES

1. En toda división se cumple que el residuo esmenor que el divisor.

Cero < residuo < divisor

D : dividendod : divisorq : cocienteR : residuo

CLASES DE DIVISIÓN

A. DIVISIÓN ENTE R A E XACTA

Es aquella en la cual el dividendo contiene aldivisor un entero de veces, es decir cuandoel residuo es cero.

D d

0 q D = d . q

2. En la división entero inexacta, se cumpleque:

Residuo máximo = divisor − 1

Residuo mínimo = 1

3. Cuando una división se realiza por defecto y

por exceso, se cumple que la suma deresiduos es igual al divisor.

R + Re = divisor

4. Si se multiplica o divide el dividendo ydivisor de una división entera por un mismonúmero, el cociente no varia pero el residuosegún el caso, queda multiplicado o divididopor dichos números.

KD = Kdq + rK

B. DIVISIÓN ENTERA I NEXACTAD dq r

= +K K K

Cuando el residuo es mayor de cero.

B1. División entera inexacta por defecto.

D d

R q D = d . q + R




a) 493 b) 375 c) 588d) 174 e) 573

Los egipcios dividían duplicando y tomandomitades.105 ÷ 16

4. En una división el dividendo es 498 y el residuo17. ¿Cuál es la mínima cantidad que se puedeaumentar al dividendo para que el cociente

1 vez 16 ….. 162 veces 16 ….. 32*4 veces 16 ….. 64*8 veces 16….. 128

1/2 veces 16….. 8*1/4 veces 16….. 41/8 veces 16….. 21/16 veces 16….. 1*

326481105

241/21/ 1 66 9

16

aumente en dos unidades?

a) 48 b) 52 c) 55d) 57 e) 62

5. Se sabe que en una división entera el divisor es30 y el residuo 12. Cuántas unidades como mínimo

1er. Paso 2do. Paso 3er. Paso

Se necesitan buscar los números que en la2da. columna sumen 105. Luego la suma delos correspondientes número de la columna

de la izquierda, nos da el cociente buscadoo sea 6 916

1. Dividiendo un número entre 113, se halla por

resto 11 y dividiendo entre 108, el resto es 31, sien las dos divisiones el cociente es el mismo. Cuáles el producto de las cifras del dividendo?

a) 24 b) 36 c) 48d) 54 e) 72

2. ¿Cuántos números de tres cifras existen talesque al dividirlos entre 37 de un resto igual aldoble del cociente respectivo?

a) 16 b) 20 c) 24d) 36 e) 37

3. La suma de los cuatro términos de una divisiónentera inexacta es 641. Si al dividendo y aldivisor se le multiplica por 7, la nueva suma detérminos será 4 349. ¿Cuál es el menor valor deldividendo?

se le puede disminuir al dividendo, para que elcociente disminuya en 11 unidades.

a) 311 b) 315 c) 312

d) 314 e) 313

6. ¿Cuántos número menores que 400 pueden serdividendo de una división cuyo cociente es 12 ycuyo resto es 14?.

a) 10 b) 14 c) 18d) 24 e) 20

7. Cuántos números de 3 cifras existen tal que aldividirlos entre otro entero, se obtiene comocociente un número igual al resto e igual a la raízcuadrada del divisor.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. El cociente de una división entera es 11 y el restoes 39. Hallar el dividendo si es menor que 500.Dar como respuesta el número de solucionesposibles,

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Mahavira, su aporte más interesanteesta en sus leyes sobre la división(850 d.C.)




9. Al dividir el número abc entre el número bc seobtiene 11 de cociente y 80 de reta.Hallar : a + b + c

a) 15 b) 17 c) 18d) 19 e) 20

10. Si redivide un número de 3 cifras entre elnúmero formado por sus dos últimas cifras seobtienen 12 por cociente y 17 como resto. Hallardicho número. Dar su suma de cifras.

a) 14 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

11. ¿Cuántas divisiones inexactas de dividendo 353 yresiduo 9 existen?

a) 2 b) 4 c) 6d9 8 e) 10

12. Hallar la suma de todos los números de trescifras que la dividirse entre 23, dan un residuoigual al triple del cociente.

a) 728 b) 718 c) 780d) 772 e) 572

13. Al residuo de una cierta división le faltan 8unidades para ser máximo. Si se suman 6416

unidades el dividendo, el cociente aumenta en 89 y el residuo se vuelve máximo. ¿Cuál es el divisor?

a) 45 b) 58 c) 72d) 81 e) 90

14. Determinar el número N si es el mayor posible yademás al dividirlo entre 50, se obtiene un restoque es el triple del cociente.

a) 1079 b) 750 c) 890d) 913 e) 848

15. Los números 242 y 14 son el dividendo y el divisorde una división inexacta. Si se aumenta 28unidades al divisor. ¿En cuánto tiene queaumentarse el dividendo para que no varié elcociente ni el resto.

a) 466 b) 456 c) 486d) 476 e) 496

40 000 km/h es la velocidad que debealcanzar un cohete para vencer la

atracción de la tierra.

1. ¿Cuántos números positivos cumplen con lacondición de que al ser divididos entre 25 se

obtiene un resto igual al sextuple del cocienterespectivo?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. En una división inexacta, al resto le faltan 35unidades para ser máximo y le sobran 29unidades para ser mínimo. ¿Cuál es el valor deldividendo si el cociente es 23?

a) 1495 b) 1550 c) 1501d) 1548 e) 1524

3. En una división el cociente es 156 y el residuo es6, al agregarle 1000 unidades al dividendo y alrepetir la división se obtiene un cociente de 173 yun residuo de 54. Hallar el dividendo.

a) 8742 b) 7242 c) 8552d) 8662 e) 8870

4. En una división le falta 15 unidades el residuopara ser máximo y seria mínimo al restarle 18unidades. Hallar el dividendo si el cociente es eldoble del residuo por exceso.

a) 1039 b) 1139 c) 939d) 1239 e) 1339



5. Hallar el mayor número entero que al dividirloentre 70 se obtenga un cociente que es la raízcuadrada del resto.

a) 602 b) 632 c) 532

d) 624 e) 642

6. En una división el cociente es 18 y el divisor eldoble del cociente y el residuo el máximo posible.Hallar la suma de cifras del dividendo.

a) 12 b) 17 c) 21d) 25 e) 29

7. Cuántos números menores que 500 existen talesque al ser divididos entre otro se obtienecociente 15 y resto 17?

a) 8 b) 12 c) 14d) 15 e) 32

8. La suma de los cuatro términos de una división es425. Si se multiplica por 5 al dividendo y aldivisor y se vuelve a efectuar la operación, lasuma de los términos sería 2073. Hallar elcociente respectivo.

a) 13 b) 11 c) 12d) 14 e) 17

9. En una división de números enteros, el resto es 7.al multiplicar el dividendo por 3, se obtiene 5 comonuevo resto. Calcular el divisor.

a) 423 b) 432 c) 523d) 532 e) 543

12. Hallar un número que dividido entre 62 un cocienteigual al residuo por defecto, siendo este igual alresiduo por exceso.

a) 1953 b) 1960 c) 1995d) 9180 e) N.A.

13. En una división entera donde el dividendo estacomprendido entre 600 y 700 el divisor es 87, si elresiduo por defecto es mayor que el residuo porexceso en 23 unidades. ¿Cuál es el dividendo?

a) 609 b) 664 c) 641d) 696 e) 625

14. En una división inexacta, el dividendo es 17883, elcociente 64 y el residuo por defecto excede alresiduo por exceso en 33. Hallar el divisor.

a) 278 b) 276 c) 277d) 274 e) 273

15. Se divide un número de 4 cifras. Entre otro de doscifras, obteniéndose. como cociente 145 y comoresiduo 23, 29 y 41 respectivamente. Hallar eldividendo.

a) 7563 b) 7634 c) 7345d) 7537 e) 7436

MATEMATICA - 5º ARITMETICA

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