Applicazioni del primo principio della

termodinamica ed utilizzo delle tabelle del

vapore: Esercizi svolti

19 marzo 2013

Esercizio 1

Un recipiente di volume ssato e con pareti adiabatiche diviso in due

parti da un setto non adiabatico. Una parte contiene 10 kg di acqua allatemperatura di 20C, l'altra, di massa pari a 2.5 kg, contiene acqua allatemperatura di 80C. Determinare la temperatura nale del sistema una voltaraggiunto l'equilibrio termico.

T1

V1 V2

T2

Vf

Tf

Figura 1.1: Schema del sistema termodinamico in esame

Soluzione

Il sistema complessivo, formato dai due sotto-sistemi 1 e 2 divisi dal setto, un sistema isolato, in quanto le pareti, sse ed adiabatiche, non consentono

n scambi di lavoro (L) n di calore (Q). Inoltre la massa (m) del sistema costante e non subisce n variazioni di quota (z) n di velocit (w). Per cuicomplessivamente dall'applicazione del primo principio della termodinamica

si ha:

U = Q+ L+mgz +m(w2)

2= 0 (1.1)

Si avr quindi che

Q1 = U1 = Q2 = U2 (1.2)

1

ricordando che il calore scambiato da un liquido legato alla sua variazione

di temperatura dalla relazione Q = mcT dove si fatto uso del calorespecico c, assunto costante con la temperatura, si ha

m1c (T1 Tf ) = m2c (T2 Tf ) (1.3)

dove la temperatura nale dei due sottosistemi la stessa poich si trovano

in equilibrio termico.

Tf =m1T1 +m2T2m1 +m2

= 32C (1.4)

La temperatura di equilibrio risulta pari alla media pesata sulle masse dei due

sotto-sistemi, e quindi pi vicina alla temperatura del sistema con massa,

ovvero capacit termica maggiore.

Esercizio 2

Un sistema termodinamico chiuso formato da un cilindro ed un pistone

mobile (Fig. 2.1) esegue una trasformazione di espansione durante la quale

scambia 40 kJ di lavoro attraverso il pistone. Sapendo che la variazione dienergia interna pari a 660 kJ, calcolare il calore scambiato da sistema.

U

Vp T Q

L

Figura 2.1: Schema del sistema cilindro-pistone

Soluzione

Applicando il primo principio per sistemi chiusi, e considerando nulle le

variazioni di quota e velocit del sistema si ottiene:

Q+ L = U = Q = U L = 660 kJ (40 kJ) = 700 kJ (2.1)

2

Si osservi che, secondo la convenzione dei segni adottata, Q positivo inquanto entrante nel sistema (energia termica entrante sistema), mentre L negativo perch eettuato dal sistema sull'ambiente (energia meccanica

uscente dal sistema).

Esercizio 3

Un contenitore termicamente isolato contiene inizialmente 130 g di ac-qua alla temperatura di 80 C ed un cubetto di ghiaccio di massa 12 g allatemperatura di 10C. Si calcoli la temperatura nale di equilibrio sapendoche:

calore specico dell'acqua ca = 4.186 kJ/(kgK); calore specico del ghiaccio cg = 2.220 kJ/(kgK); calore latente di fusione hl = 333 kJ/kg;

Soluzione

possibile identicare tre sistemi termodinamici:

ghiaccio. Scambia calore ma non lavoro con il suo ambiente; acqua. Scambia calore ma non lavoro con il suo ambiente; sistema complessivo formato dalla somma degli altri due sistemi. unsistema isolato.

Il sistema complessivo , formato da acqua e ghiaccio non scambia n calore

n lavoro con l'ambiente (sistema isolato), quindi:

U = Q+ L = 0 (3.1)

Il calore scambiato dall'acqua Qa sar i opposto di quello scambiato dalghiaccio (Qg).

Qg = Qa (3.2)Il calore scambiato dal ghiaccio pu essere scomposto in 3 contributi:

riscaldamento dalla temperatura iniziale (T1g = 10 C) no allatemperatura di fusione (Tl = 0

C)

Qg1 = mgcg(Tl T1g) = 0.2664 kJ (3.3)

3

calore latente di fusione. In questa fase il calore assorbito non causal'innalzamento della temperatura del sistema ma la progressiva fusione

del solido.

Qg2 = mghl = 3.996 kJ (3.4)

Riscaldamento no alla temperatura di equilibrio TfQg3 = mgca(Tf Tl) (3.5)

Nel calcolo di Qg3 is fatto uso del calore specico dell'acqua perchoramai il sistema passato interamente allo stato liquido.

Il calore scambiato dal sistema termodinamico acqua :

Qa = maca (Tf T1a) (3.6)

Dall'equazione (3.2)

Q1g +Q2g +Q3g = Qa (3.7)Utilizzando le espressioni (3.5) e (3.6) si ottiene

Q1g +Q2g +mgcg(Tf T1g) = maca (Tf T1a) (3.8)

Si osservi che la temperatura nale comune ad entrambi i sistemi termodi-

namici considerati perch i due sistemi si trovano in equilibrio termodinamico.

Sostituendo i valori di Q1g e Q2g, e risolvendo per Tf si ottiene:

Tf =mgcgT1g +mgcaTl Q1g Q2g

(ma +mg)ca= 66 C (3.9)

Esercizio 4

Dell'aria a temperatura T1 = 293 K e velocit w1 = 1 m/s attraversa uncondotto inclinato a sezione costante. La dierenza di quota tra la sezione di

ingresso e di uscita di 10 m. All'uscita la temperatura dell'aria di T2 =40 C e la velocit w2 = 3 m/s. Determinare la quantit di calore scambiata(q) per unit di massa lungo il condotto, supponendo che non ci siano scambidi lavoro. Si utilizzino le formule di Langen per il calcolo del calore specico

dell'aria (a = 992.082 J/kgK; a = 703.248 J/kgK; b = 0.134 J/kgK2 )

4

Soluzione

Dall'espressione del primo principio della termodinamica per sitemi aper-

ti, ricordando che non si hanno scambi di lavoro, si ottiene:

q = h2 h1 + w2 w12

+ gz (4.1)

Considerando l'aria assimilabile ad un gas perfetto la variazione entalpica si

pu valutare come:

h2 h1 = cp2T2 cp1T1 (4.2)Si osservi che, avendo considerato l'aria come un gas perfetto (ma non ideale),

la funzione di stato entalpia, rimane funzione della sola temperatura del

gas, ma i calori specici non sono costanti lungo la trasformazione, bens

dipendono dalla temperatura attraverso le formule di Langen cp = a + bT .In particolare si ottiene:

cp1 = 1031 J/(kgK)

cp2 = 1034 J/(kgK)(4.3)

Avendo avuto l'accortezza di convertire la temperatura di uscita in Kelvin

T2 = 40C = 313 K. Sostituendo i valori nell'eq. (4.1) si ottiene:

q = 21567 J/kg (4.4)

Esercizio 5

Un recipiente chiuso contiene una miscela di acqua allo stato liquido e

di vapore in condizioni di saturazione alla temperatura di 120C. Sapendoche il titolo x = 0.85, si determinino pressione entalpia, entropia e densitdella miscela.

5

Soluzione

Figura 5.1: Estratto delle tabelle del vapore saturo.

Dalle tabelle del vapore, di cui un estratto riportato in Fig. 5.1, si

ottiene che la pressione di saturazione alla temperatura di 120C di 1.987bar. La tabella in Fig. 5.1 riporta le principali grandezze di stato al variare

della temperatura per il liquido saturo e vapore saturo. Le propriet della

miscela acqua/vapore in condizioni intermedie si calcolano per interpolazione

lineare utilizzando come variabile interpolante il titolo.

h(x) = xhv + (1 x)hl = 0.85 2706 kJ/kg + (1 0.85) 503 kJ/kg= 2376 kJ/kg(5.1)

analogamente per le altre grandezze:

s(x) = xsv + (1 x)sl = 6.890 kJ/(kgK) (5.2)v(x) = vsv + (1 x)vl = 0.758 m3/kg (5.3)La densit si ricava come l'inverso del volume specico:

=1

v= 1.32 kg/m3 (5.4)

Esercizio 6

Un recipiente contiene vapore alla pressione p = 25 bar ed alla temper-atura T = 400C; calcolare entalpia ed entropia speciche del sistema.

6

Soluzione

Figura 6.1: Estratto delle tabelle del vapore saturo.

Dalle tabelle del vapore saturo, riportate in Fig. 6.1, si ricava che la

temperatura di saturazione del vapore a 25 bar pari a Ts = 224C. Essendo

T > Ts il uido si trova in condizioni di vapore surriscaldato. Pertanto necessario far riferimento alle tabelle dell'acqua/vapore surriscaldato, di cui

un estratto riportato in Fig. 6.2.

Figura 6.2: Estratto delle tabelle del vapore surriscaldato.

Nella tabella in Fig. 6.2 non sono presenti i dati relativi alla pressione

di 24 bar. quindi necessario procedere all'interpolazione lineare tra le

pressioni di 24 bar (Punto A nel seguito) e 26 bar (Punto B nel seguito) ed

alla temperatura di 400C. Utilizzando l'espressione della retta per due punti

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abbiamo

h hAp pA =

hB hApB pA = h = hA +

hB hApB pA (p pA) = 3240 kJ/kg (6.1)

s sAp pA =

sB sApB pA = s = sA +

sB sApB pA (p pA) = 7.0175 kJ/kgK (6.2)

Esercizio 7

Una caldaia produce vapore alla pressione di 40 bar ed alla temperaturadi 300C. Supponendo che il uido si trovo inizialmente alla temperatura di60C, tracciare le trasformazioni termodinamiche e calcolare il calore assor-bito da 1 kg di acqua. Si trascuri lo scambio di calore verso l'esterno dellacaldaia.

Soluzione

(a) diagramma entropico (b) diagramma di Molliere

Figura 7.1: Rappresentazione delle trasformazioni sui diagrammi T s edh s.

La temperatura iniziale del uido minore della temperatura di satu-

razione alla pressione di 40 bar (Ts = 250.3C). All'uscita dalla caldaia si

hanno condizioni di vapore surriscaldato poich la temperatura, in questo

caso maggiore della temperatura di saturazione. Pertanto la trasformazione

termodinamica seguita dal uido nella caldaia, rappresentata in Fig. 7.1, pu

essere divisa in tre parti:

1-2 riscaldamento del liquido dalle condizioni iniziali no alla condizione di

liquido saturo. La trasformazione una isobara, che risulta sostanzial-

mente coincidente con la curva limite inferiore nei diagrammi T s edh s;

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2-3 vaporizzazione del liquido. In questa fase il calore assorbito dall'ac-

qua viene interamente assorbito dal calore latente di vaporizzazione, di

conseguenza la temperatura rimarr costante durante tutta la fase di

vaporizzazione. La trasformazione si dice isotermobarica ed rappre-

sentata dal tratto orizzontale (2-3) sul piano T s, e dalla retta (2-3)tangente alla curva limite inferiore sul piano h s;3-4 surriscaldamento del vapore saturo. Una volta terminata la fase di va-

porizzazione la temperatura ricomincia ad aumentare lungo l'isoterma

di surriscaldamento (3-4).

Figura 7.2: Estratto delle tabelle del vapore.

Il calore complessivamente assorbito dall'acqua pu essere calcolato ap-

plicando il primo principio per sistemi aperti (q + l = h), tra le condizionidi ingresso ed uscita dalla caldaia. Ricordando che il lavoro scambiato nul-

lo (l = 0), ed utilizzando i dati di entalpia ricavati dalle tabelle del vaporesurriscaldato (Fig. 7.2) si ottiene

q = h4 h1 = 2962 kJ/kg 254 kJ/kg = 2707 kJ/kg (7.1)Si osservi che le tabelle del vapore generalmente riportano nella stessa tabella

i dati relativi sia al vapore surriscaldato (T > Tsat) sia all'acqua liquida(T < Tsat), mentre i valori relativi al uido in transizione di fase sono tabellatiseparatamente.

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Esercizio 8

Un contenitore rigido e chiuso contiene 10 kg di acqua ed 1 kg di vaporein condizioni di equilibrio alla pressione di p1 = 1 bar. Viene fornito caloreal sistema no al raggiungimento di una pressione p2 = 5 bar. Calcolare laquantit di calore fornita al sistema ed il titolo del vapore nelle condizioni

iniziali e nali.

Soluzione

La trasformazione pu essere ecacemente rappresentata nel piano ter-

modinamico p v come eettuato in Fig. 8.1, dove si pu osservare chel'aumento di pressione a volume costante porter ad aumento del titolo della

miscela.

p1

p

p2

v

2

1

Curva Limite Superiore

Curva limite inferiore

Vapore saturo

Figura 8.1: Rappresentazione della trasformazione sul piano p v.

Il titolo nelle condizioni iniziali pari al rapporto tra la massa di vapore

mv1 e quella totale mtot = mv1 +ml1:

x1 =mv1mtot

= 0.09 (8.1)

Poich il volume del contenitore non cambia, e non vi sono scambi di massa

con l'ambiente, si avr che il v1 = v2. In entrambi gli stati il volume specicodella miscela si pu calcolare come media pesata dei volumi specici del

liquido saturo e del vapore saturo

v1 = x1vv1 + (1 x1)vl1 = x2vv2 + (1 x2)vl1 = v2 (8.2)

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Figura 8.2: Estratto delle tabelle del vapore saturo.

Dalle tabelle del vapore saturo, di cui riportato un estratto in Fig. 8.2,

si ricavano i valori dei volumi specici in corrispondenza delle curve limite:

vl1 = 0.001043 m3/kg

vl2 = 0.001093 m3/kg

vv1 = 1.6940 m3/kg

vv2 = 0.3748 m3/kg

(8.3)

Sostituendo i valori nell'eq. 8.2 e risolvendo per x2 si ottiene:

x2 =x1vl1 + (1 x1)vv1 vl2

vv2 vl2= 0.408 (8.4)

Il calore somministrato al sistema si calcola attraverso il primo principio

per sistemi chiusi, nell'ipotesi di lavoro nullo

U = Q+ L = Q (8.5)

La variazione di energia interna pu essere calcolata come U = mtot(u2 u1), dove l'energia interna specica iniziale e nale calcolata per interpo-lazione dalle tabelle del vapore.

u1 = x1uv1 + (1 x1)ul1u2 = x2uv2 + (1 x2)ul2(8.6)

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Se nelle tabelle del vapore a disposizione i valori dell'energia interna non

fossero direttamente tabellati, come nel caso di Fig. 8.2, possono essere

ricavati dal valore dell'entalpia attraverso la denizione di entalpia stessa

h = u+ pv:

uv1 = hv1 p1vv1 = 2675 103 J/kg 1 105 Pa1.694 m3/kg= 2506 103 J/kg

ul1 = hl1 p1vl1 = 417 103 J/kguv2 = hv2 p2vv2 = 2561 103 J/kgul2 = hl2 p2vl2 = 812 103 J/kg

(8.7)

Si presti particolare attenzione all'utilizzo delle unit di misura nelle eq. 8.7,

J per l'energia e Pa (anzich bar) per la pressione, al ne di ottenere la'o-

mogeneit`a dimensionale dell'equazione. Utilizzando inne i valori in eq. 8.7,

l'eq. 8.6 ed il primo principio per sistemi chiusi si ottiene il calore scambiato

Q = U = mtot(u2 u1) = 2278 kJ (8.8)

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