Esercizi svolti

Esperimentazioni di Fisica 2 A.A. 2009-2010 Elena Pettinelli

Principio di sovrapposizione: Il principio di sovrapposizione afferma che la risposta di un circuito dovuta a più sorgenti può essere calcolata sommando gli effetti delle diverse sorgenti calcolati separatamente , ovvero spegnendo le altre sorgenti. → Cortocircuitando i generatori di tensione; → Aprendo i generatori di corrente.

i

v 1/R

R=∞

R=0

+ V=0

i

V

i=0 +-

-

Esercizio1: Si deve calcolare la tensione ai capi della resistenza di 3 Ω.

Passo1: Si calcola il contributo della sola sorgente 4 A.

Le resistenze di 2Ω e 3Ω sono in serie e sono in parallelo con 1Ω.

2

12(2 3)4 1 1 3

(2 3) 12 3 2.003

i A A

V A V

+= × =+

+

= × Ω =

Passo2: Si calcola il contributo della sola sorgente 5A.

Le resistenze di 2Ω e 3Ω sono in serie e sono in parallelo con 1Ω.

2

15(2 3)5 1 1 6

(2 3) 15 3 2.506

i A A

V A V

+= × =+

+

= × Ω =

Passo3: Si calcola il contributo della sola sorgente 6V.

336 3.00

(1 2 3)V V= × =

+ +

1 2 3 2.00 2.50 3.00 2.50TOTV V V V V= − + = − + = +

Esercizio 2: Si determinino le tensioni e le correnti.

1

1

02

2

8426

E VRI AR

== Ω== Ω

Circuito parziale 1:

' '1 2

'1 2

'

10

8 0,810

t

R Rt

R R R

EI I AR

= + = Ω

= = = =

Circuito parziale 2:

1

2

'' 1 2

1 2''

02

''

1

''

2

2, 4

4,8

1, 2

0,8

t

t

R

R

R RRR R

V R I VVI ARVI AR

= = Ω+

= ⋅ =

= =

= =

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

'' '

' ''

1

2

1, 2 0,8 0, 4

0,8 0,8 1,6

0, 4 4 1,6

1,6 6 9,6

R R R

R R R

R R

R R

I I I A

I I I A

V I R V

V I R V

= − = − =

= + = + =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

Esercizio 3: Data la rete:

1

2

3

1

2

3

10060202104

E VE VE VRRR

===

= Ω= Ω= Ω

Calcolare il valore ed il verso della corrente I3 che circola nella resistenza R3. 1)Corrente erogata dal generatore 1:

' 11

2 31

2 3

10040214

EI AR RRR R

= =++

+

Derivatore di corrente:

' ' 23 1

2 3

100 10 100040 14 68214

RI I AR R

= = ⋅ =+ +

2)Corrente erogata dal generatore 2:

'' 22

1 32

1 3

608106

EI AR RRR R

= =++

+

Derivatore di corrente:

'' '' 13 2

1 3

60 2 1208 6 68106

RI I AR R

= = ⋅ =+ +

3)Corrente erogata dal generatore 3:

''' 33

1 23

1 2

20 24020 68412

EI AR RRR R

= = =++

+

' '' '''

3 3 3 31000 120 240 1360 20

68 68 68 68I I I I A= + + = + + = =

Teorema di Thevenin: Tronco bipolare di una rete ⇒ generatore equivalente di tensione.

1) Trovare il valore di E0 tra i terminali aperti; 2) Trovare il valore R0 tra i terminali aperti supponendo ogni sorgente:

C.c. i generatori di tensione; Aprendo i generatori di corrente;

Esercizio 4: Calcolo della tensione tra i punti M ed N:

1

2

108

E VE V

==

1

2

3

40210

RRR

= Ω= Ω= Ω

La tensione ai terminali MN coincide con la

tensione su R3: 3

0 11 3

1010 250MN

RE V E VR R

= = = ⋅ =+

Cortocircuitando si ha:

1 30

1 3

400 850

R RRR R

= = = Ω+

Circuito equivalente:

2 0

0 2

2

2 2 2

8 2 68 2 10

6 0,610

8 (2 0,6) 6,8

t

t

t

t

MN

E E E VR R R

EI AR

V E R I V

= − = − == + = + = Ω

= = =

= − = − ⋅ =

Esercizio 5: Si determini la corrente che circola nel carico Rc.

1

2

3

1061

E VE VE V

===

1

2

3

4

310, 252

RRRR

= Ω= Ω= Ω= Ω

La corrente che circola sarà:

1 2 1 2

1 2

1 2

2 2

( )10 6 13 1

6 1 7eq AB

E E R R IE EI AR R

E V E R I V

− = +− −

= = =+ +

= = + = + =

A è aperto rispetto a B ( il verso della corrente è verso il basso):

1 20

1 2

3 0,754

R RRR R

= = = Ω+

3 3

3

3

( )

7 1 6 20,75 0, 25 2 3

eq eq c c

eqc

eq c

E E R R R I

E EI A

R R R

− = + +

− −= = = =

+ + + +

Esercizio 6: Studio della rete elettrica:

1

02

1

2

102

1010

E VI ARR

==

= Ω= Ω

101

1

1 20

1 2

10 110

100 520

EI ARR RR

R R

= = =

= = = Ω+

Circuito equivalente:

0 01 02

0 0

1 2 35 3 15MN

I I I AV R I V

= + = + == = ⋅ =

Esercizio 7:

1

2

1

2

96222c

E VE VRRR

=== Ω= Ω= Ω

Si trovi il valore della corrente che scorre nel carico Rc.

1 2

1 2

7,5oeqE EI AR R

= + =

1 2

1 2

1oeqR RR

R R= = Ω

+

027,5 5

1 2c

coeq c

RI I AR R

= = =+ +

Sovrapposizione degli effetti

Esercizio 8: Calcolare il valore della corrente sulla resistenza di carico Rc.

1

2

01

02

22296

cRRRV VV V

= Ω= Ω= Ω==

01 02 1 2

02 2

02 2 2

02 2 2

( )( )

( )

a a b

b a c b

b a c b

b c a

V V R I R I IV R I I R IV R I R I R IV I R R R I

− = + −= − +

= − +

= − −

02 2

2

02 2

2 2

0

( )

2 3

ab

c

ca b

b

V R IIR RV R RI IR R

I I

+=

+

− += +

= −

01 02 1 2 2

01 02 1 2 2

01 02 1 2

( )(2 3)( )

9 6 (2 3)4 23 8 12 26 15

15 2,56

a a b

a b

b

b b

b b

b

b

V V R I R I R IV V I R R R IV V I R R

I II I

I

I A

− = + −

− = + −

− = − +− = − −

= − −=

= =

2

2 2,5 3 22 2,5 0,5

a

a b

I AI I I A= ⋅ − =

= − = − = −

Ia Ib

Esercizio 9:

5, 255, 25

L

R

RR

= Ω= Ω

Per la maglia a sinistra (corrente in senso orario) LKT: 12,6 0sw Lv V− + + =

Per la maglia a destra (LKT): 0L RV V− + =

Caso 1: “Interruttore aperto” La tensione ai capi delle resistenze è nulla, non circola corrente.

12,6 0 12,6sw swv v V− + = ⇒ = La potenza erogata dalla batteria è nulla e quella dissipata dalle resistenze è nulla. Caso 1: “Interruttore chiuso”

012,6

sw

L R

vV V V

== =

La corrente nelle resistenze vale:

12,6 2,405,25

2, 40

LL

L

R

V VI AR

I A

= = =Ω

=

La corrente che attraversa la batteria e l’interruttore: (LKC)

02, 40 2, 40 4,80

B L R

B L R

I I II I I A− + + =

= + = + =

La potenza erogata dalla batteria:

12,6 4,80 60,5out B BP v i W= ⋅ = ⋅ = Potenza dissipata dalle resistenze:

12,6 2,40 30,2res B LP v i W= ⋅ = ⋅ = APPROCCIO ALTERNATIVO:

La tensione ai capi delle due resistenze è la stessa pv . Questa configurazione è detta parallela. La corrente si divide nel nodo di sopra e si ricombina in quello di sotto. Quindi pv e pi sono la tensione e la corrente del collegamento in parallelo.

Sostituzione delle due resistenze in parallelo con una resistenza equivalente, ovvero una resistenza che ha la stessa proprietà esterna ( pv e pi ) delle resistenze in parallelo. Per la LKC si ha:

p L Ri i i= + dove:

pL

L

vi

R= e

PR

R

viR

=

1 1( )P P

P P PL R L R

v vi i vR R R R

= + ⇒ = +

1 1 1

eq L PR R R= + 1

1 1eq

L P

R

R R

⇒ =+

da cui: P

Peq

viR

=

2,625

12.6 4,82,625

eq

P

R

i A

=

= =

Calcolata la resistenza equivalente:

SWR = ∞ se aperto 0SWR = se chiuso

Applicando LKT:

00 12,6 4,8

2,625( )P B

PB

R iBB R i A

SW P

viR R

→∞+ =→ +

= =

⎧⎪= ⎨+ ⎪⎩

0

( )

B SW P

B SW P

SW SW B

P P B

B SW B P B

B B SW P eq B

v v vv v vv R iv R iv R i R iv i R R R i

− + + == +

= ⋅= ⋅= ⋅ + ⋅

= ⋅ + = ⋅

Esercizio 10: “Partitore di tensione” La stessa corrente attraversa elementi che si trovano in serie. Per LKT:

1 2 3

1 2 3

0s

s

v v v vv v v v− + + + == + +

La tensione della batteria si ripartisce sulle tre resistenze:

1 2 3 1 2 3( )s eqv R i R i R i i R R R i R= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + = ⋅ Circuito equivalente:

Per calcolare la ripartizione:

50s s

eq

v viR

= =

1

1 1 1 11 2 3

1050

ss s

eq

v Rv R i v R v vR R R R

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅+ +

Esercizio 11: “Derivatore di corrente”

La LKC applicata al nodo A:

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

0

1 1 1( )

s

s

s eq

I I I II I I I

v v vI v v RR R R R R R

− + + + == + +

= + + = ⋅ + + = ⋅

Per calcolare la corrente che si ripartisce nei tre rami:

1 11 1

11

1 2 3

eq s

eqs

s

v R I

Rvi i IR R

Gi IG G G

= ⋅

= ⇒ = ⋅

= ⋅+ +

Esercizio 12: Calcolare la corrente i Calcolare la tensione BDV

Applicando la LKT alla maglia ABCDE:

8 24 0AB BC DEV V V+ + + − =

25

AB

BC

DE

V iV iV i

===

2 8 5 24 016 28

i i i

i A

+ + + − =

= =

Applicando LKT alla maglia BCDB: 2 8 0BDi V+ + = 12BDV V=

Esercizio 13:

Trovare valori e verso delle

correnti che circolano nella rete: 2nodi 3lati

2maglie indipendenti :

ACDBA, AFGBA

LKC 1 2 3 0i i i+ + = LKT 1 2 1 1 2 2v v R i R i− = − LKT 1 3 1 1 3 3v v R i R i+ = −

[ ]

2 1 3

1 2 1 1 2 1 3

1 2 1 1 2 2 3

1 3 1 13

3

1 3 1 11 2 1 1 2 2

3

2 2 1 21 2 1 1 2 1 3 1

3 3 3

1 2 21 2 1 1 2 1 3

3 3

1

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

5100 60 (2 10 5) (100 22

i i iv v R i R i iv v i R R R i

v v R iiR

v v R iv v i R R R

RR R R Rv v i R R v v iR R R

R R Rv v i R R v vR R

i

= − +

− = + +

− = + +

− + −=

− + −− = + +

− = + − − +

− = + + − +

− = + + − +

1 1

1 2 1 12

2

3

0)

34040 17 300 2017

100 60 40 010

20

i i A

v v R iiR

i A

= − ⇒ = =

− − − −= = =

= −

La corrente scorre in verso contrario a quello assegnato in partenza.

Esercizio 14: Trovare il valore ed il verso di i che fluisce nel tronco di circuito:

200ABV V=

Il punto A è a potenziale maggiore rispetto a B.

1 2 1 2 3( )200 240 20 20 1

3 16 1 20

ABV V V R R R i

i A

= − + + +

− + −= = = −

+ +

Il verso della corrente è contrario a quello scelto arbitrariamente. Esercizio 15:

Si trovino: a) La d.d.p tra i punti B ed O b) La d.d.p tra i punti D ed O e la polarità di D rispetto ad O c) La d.d.p tra i punti H ed F e la polarità di F rispetto ad H d) La d.d.p. tra i punti F e G

a) BO BAV V= poiché 0AOV = ( la corrente scorre solo nella maglia AFBGA)

4BO BAV V v= =

La corrente nella maglia:

4 3

13 3 14 4

70 50 20 2,51 2 2 3 8

v vi AR R R R

− −= = = =

+ + + + + +

a) BO BAV V= poiché 0AOV =

4 4 14( ) 70 (2 3)2,5 57,5BO BAV V v R R i V= = − + = − + = b)

0

0

1 50 57,5 7,5

CB

AO

VV DO DB BO

DO DC BA BA

V V V

V V V v V V V

== ⇒ = +

= + = − + = − + =

Il punto D è positivo rispetto alla massa.

c) HFV 2

3 13

1000

50 2,5 52,5

HC

CB

BF

V v VVV v R i V

= === + = + =

152,5HF HC BFV V V V= + =

Il punto H è positivo rispetto al punto F. d) 3 4 5 7,5 12,5FG FA AGV V V R i R i V= + = + = + =

Esercizio 15: Trovare le correnti nei tre lati e la corrente uscente dal nodo A.

NODO A 0CA AB Ai i i⇒ − − = NODO B 0B AB BCi i i⇒ + − = NODO C 0C CA BCi i i⇒ − + = MAGLIA ABCA A B C A BC B CA C ABV V V R i R i R i⇒ − + = + +

Il verso è opposto a quello segnato in figura.

4 4 0CAi A A= − = la corrente nel ramo CA è nulla. 4 2 6ABi A A A= − − = − il verso è opposto a quello segnato

6A AB CAi i i A= − + = A B Ci i i= +

( ) ( )

( )

100 178 50 40 4 64 44 70 2 16

CA C BC

AB BC B

A B C A BC B C BC C BC B

A B C A BC B C B BC C BC C B

A B C BC A B C B C C B

A B C B C C BBC

A B C

i i ii i i

V V V R i R i i R i iV V V R i R i R i R i R iV V V i R R R R i R i

V V V R i R ii AR R R

= += −

− + = + + + −− + = + + + −

− + = + + + −

− + − + − + − + −= = = = −

+ + + +

Esercizio 16: Si vuole misurare la tensione tra i punti A e B

Si trovi il valore che deve presentare la resistenza Rx interna al voltmetro affinché la ddp misurata differisca dell’1% dal valore reale.

ABV ⇒ tensione tra A e B prima dell’inserimento dello strumento

'ABV ⇒ tensione dopo l’inserimento dello strumento

'

2

2

2

2 1 2

1 2 1

1

2 1 2 1

1 2 2 1 2

1 2 2 2 1

1 2 2 1

2 11 2 2 1

1

(1 0,001)

0,99

( ) 0,99 ( )0,99 0,990,99 0,99

0,01 0,990,99( 0,01 ) 0,99

AB AB

X

X

AB

AB

V V

R RRR R

RV VR R R RV V

R R R R RV VR R

R R R R R RRR RR R R R RRR RR R R R RRR R R R R

R RR R R R R RR

= −

=+

⎫= ⎪+ ⎪⇒ =⎬ + +⎪=⎪+ ⎭

+ = ++ = ++ − =+ =

+ = ⇒ =2

2 2 1

2 1 2

0,010,99

0,01X

X

RR R R R

R R R R

+

=+ +

2 12 2

1 2

2 2 1

2 1 2

2 1 1

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 2 1

1

0,99( )0,01

( ) 0,990,01

0,99 0,990,01 0,01

0,99 0,990,01 0,010,99 0,99(1 )

0,01 0,010,01 0,99(

0,01

X X

XX

XX

XX

X

X

R RR R R RR R

R R R RRR R R

R R R RRR R R RR R R RR

R R R RR R RR

R R R RR R RR

R R

= ++

+=

+

= ++ +

− =+ +

− =+ +

+ −+

2 1

2 1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

0,99)0,01

0,990,01 0,01

0,990,01( )99

( )

X

X

X

R RR R

R RRR R

R RRR R

R RRR R

=+

=+

=+

=+

La resistenza interna deve essere 99 volte più grande del parallelo tra R1 ed R2.

Esercizio 17: ”Derivatore di corrente”

4

PP

P

Ri iR

i i i

µ

µ

=

= −

Misura della resistenza interna di un amperometro:

Se si inserisce in parallelo una 0,3PR = Ω la corrente nello strumento diminuisce del 20%.

La i esterna rimane costante.

0,80 0, 200, 20 0, 200,3 0,0750,80 0,80

a P

a P

R i R i

R R

=

= = = Ω

Esercizio 18: “Partitore a vuoto”

0u

u

RI

= ∞

=

Tensione in uscita.

Partitore a carico:

2

2

1( )

ueq

u

u eq

eq

R RRR R

V R I

V R R I

=+

=

= +

1 1

2 2

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 21

2

( )

equu

eq eq eq

u u

u u uu

u u u u u

u

RV V V VR R R R R

R R R RR R R R R RV V V VR R R R R R R R R R R R RR

R R

= ⇒ =+ +

+ += = =

+ + + +++

1 2

2

1 2

2 1 2

2

2

1 2

( )

1

u

u

u

u

V R R IV R I

VIR R V VV R R RIR

RV VR R

= +=

⎫= ⎪+ ⎪⇒ =⎬ +⎪=⎪⎭

=+

3 34 43 4

1 4 2 3 1 4 2 3

341 3 2 4

1 4 2 3

( )

0 0

G G GR RR RV V V V V V

R R R R R R R RRRV R R R R

R R R R

= − = − = −+ + + +

= ⇒ − = ⇒ =+ +

Esercizio 19:

Ricavare la tensione tra i morsetti C e D.

Con riferimento alla maglia CDBC e chiamando V3 la tensione ai capi di R3 e V4 la tensione ai capi di R4, applicando la LKT:

3 4 0V V V+ − =

La tensione tra A e B è nota e vale VG.

Per il principio di sostituzione:

4

41 4

GRV V

R R=

+

Analogamente si può calcolare V3:

3

32 3

GRV V

R R=

+

Condizione di equilibrio del ponte!

Esercizio 20:

1

2

3

1006020

V VV VV V

===

1

2

3

2104

RRR

= Ω= Ω= Ω

Calcolare valore e verso della corrente I3 che attraversa la resistenza R3 del circuito.

a) ' 11

2 31

2 3

10040214

VI AR RRR R

= =++

+

Per il derivatore di corrente: ' ' 23 1

2 3

100 10 100040 14 68214

RI I AR R

= = ⋅ =+ +

b) " 22

1 32

1 3

" " 13 2

1 3

608106

60 2 1208 6 68106

VI AR RRR RRI I A

R R

= =++

+

= = ⋅ =+ +

c) ''' 33

1 23

1 2

' '' '''3 3 3 3

20 24020 68412

1000 120 240 2068 68 68

VI AR RRR R

I I I I A

= = =++

+

= + + = + + =

Esercizio 21:

1

2

1

2

1

2

10

14

5

5

5510

cc

cc

I

I

C

I mA

I mA

R K

R K

R KR KR K

=

=

= Ω

= Ω

= Ω= Ω= Ω

Si trovi la d.d.p. ai capi del carico RC.

2

2

1

1

1

2

2

2

2' 3

2

' 3 3' 3

' 3 3 31

'' 3 3'' 3

'' 3 3 32

' ''

( )5 10

( )

5 10 5 10 25010 105 10 5 10 5 10 15

5 10 5 10 35014 105 10 5 10 5 10 15

250 350 600 415 15 15

C I

C I

IAB CC

I

IAB CC

I

AB AB AB

R R RR

R R R

R RV I V

R R R

R RV I V

R R R

V V V

−

−

+= = × Ω

+ +

× ⋅ ×= = × =

+ + × ⋅ × ⋅ ×

× ⋅ ×= = × =

+ + × ⋅ × ⋅ ×

= + = + = = 0V

Esercizio 22:

CIRCUITO SIMBOLICO (Dominio dei fasori)

Utilizzando le leggi di Kirchoff simboliche e la legge di Ohm simbolica si ha:

1

1

m

m

V RI Ij C

VIR

j C

ω

ω

= +

=+

Da cui:

11

1 1

mm

C

VVj CV I

j C j RCRj C

ωω ω

ω

= = =++

CV è il fasore ( )Cv t→

Il modulo di CV è dato dalla:

2 2 2 21 ( ) 1 ( )m m

CV VVj RC RCω ω

= =+ +

1arg 0 ( )CV tg RCω−= −

* il modulo del quoziente è uguale al quoziente dei moduli ** l’ argomento del quoziente è uguale alla differenza degli argomenti.

Esercizio 23:

51000

RC Fµ= Ω=

I è una corrente sinusoidale di intensità I=2° e di frequenza f=50Hz. Si calcoli la tensione ai capi del tronco di circuito. SOLUZIONE:

2 2 23

1( )

1 1( ) 2 (5) 11,852 50 10

R CV V V R j IC

V I R VC

ω

ω π −

= + = −

= + = + =⋅

Esercizio 24:

1031,83

1002

50

M

RL mH

VV V valore efficace

f Hz

= Ω=

= = ←

=

Si calcolino la corrente assorbita dal bipolo e lo sfasamento: SOLUZIONE:

2 2

1 1

2100

100 7,07200( )

arg 0 1 45

VI

V jlVI

R j LVI A

R LLI tg tg

R

ω

ωω− −

=

= +

=+

= = =+

= − = = o

Esercizio 25: Dato il circuito: Ricavare la tensione tra i punti A e B. SOLUZIONE: Circuito simbolico 4rad

sω→ = , R rimane invariato.

Il condensatore: 1 1 1

4 1 4j C j jω= = Ω

⋅

L’induttanza: 4 0,5 2j L j j Hω = ⋅ ⋅ = La tensione del generatore ha ampiezza 2 e fase nulla ⇒ fasore è 2. CIRCUITO SIMBOLICO:

Si applica la LKC al nodo A:

0C R LI I I+ + =

Applichiamo la legge di Ohm simbolica, introducendola nella relazione precedente:

1

2 01 1 24

47 2

4 4 0,5549 4 53

2arg 90 180 747

( ) 0,55cos(4 74 )

C C C

C

C

C

C

V V VVIZ j

jjV V

j

V V

V tg

v t t V

−

−= ⇒ + + =

=− +

= = ≅+

⎛ ⎞= − − − ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

≅ −

o o o

o

Esercizio 26:

SOLUZIONE: Circuito simbolico ⇒ I resistori restano invariati. Il condensatore:

3

1 1 10100 10

jj C jω −= = − ⋅ Ω

⋅ ⋅

L’induttore:

10j L jω = ⋅ Ω La tensione del generatore ha ampiezza 1 e fase nulla ⇒ fasore 1.

Il circuito può essere semplificato come: Il condensatore e la resistenza sono in serie:

1 2 10Z j= − ⋅ Ω L’induttore e la resistenza sono in serie:

2 5 10Z j= + ⋅ Ω Z1 e Z2 sono in parallelo:

1 2

1 2

(2 10) (5 10) 110 30(2 10) (5 10) 7

P

P

Z ZZZ Z

j j jZj j

=+− ⋅ + −

= = Ω− + +

L’impedenza vista dal generatore è:

131 3037P

jZ Z −= + = Ω

Circuito equivalente:

2 2

1

1 7131 30

7 0,052131 30

30arg 0 12,9131

( ) 0,052cos(100 12,9 )

I AZ j

I A

I tg

i t t A

−

= =−

= ≅−

−⎛ ⎞= − ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

≅ +

o

o

Esercizio 27:

Ricavare il circuito equivalente di Thevenin. SOLUZIONE: 1) Calcolo della tensione a vuoto VT:

Si applica la LKC al nodo 1 con corrente che attraversa l’induttore di valore 2 e fase 0.

2

10 22

V Vj

−+ =

Da cui: 14 7 7

1V j V

j= = −

+

Applicando la LKT alla maglia 1234:

2 2 4 7 7 7 3TV j V j V j V= − + = + − = − 2)Impedenza equivalente:

2 2 2 2 2 22 2

2

(2) (1 ) 2 12 1 1 1Tj j j j j j jZ j j j

j j j j− ⋅ − − + + −

= + = + = = = + Ω− − − −

10 0∠ °

2 0∠ °