Elettrostatica 323 maggio 2011

Campo elettrico E

Dimensioni e unità di misura di E

Principio di sovrapposizione per E

Linee di campo

Distribuzione continua di carica. Densità di carica

Campo elettrico generato da una distribuzione continua di carica

Moto di cariche in un campo elettrico uniforme

Dipolo elettrico

Campo elettrico di una carica

• Esploriamo l’azione di una carica Q mediante una seconda carica “di prova” q

• Questa carica subirà la forza di Coulomb• Questa forza è proporzionale alla grandezza

della carica esploratrice q• Se dividiamo la forza per il valore di questa

carica otteniamo una nuova grandezza, il campo elettrico, che dipende soltanto dal valore della prima carica e dalla distanza da questa carica

rr

Qk

q

FE

2

2

Campo elettrico di una distribuzione di cariche

• Supponiamo di avere una distribuzione di cariche assegnata

• Vogliamo di nuovo esplorare l’azione di questa distribuzione mediante una carica di prova q

• Per il principio di sovrapposizione la forza totale è la somma delle singole forze

• Queste forze sono proporzionali a q e quindi anche la forza totale lo è

• Se dividiamo questa forza per q otteniamo il campo elettrico generato dalla distribuzione di cariche assegnata

• Di nuovo il campo dipende solo dalla distribuzione di cariche e dalla posizione spaziale in cui si trova la carica esploratrice, ma non dal valore di questa carica

3

Principio di sovrapposizione per E

• La validità del principio per E segue dalla sua validità per le forze e dalla definizione di E in termini di forza elettrica

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Campo elettrico e azione a distanza

• Concetto alternativo all’azione a distanza• Invece di avere una carica che subisce

“magicamente” l’azione di un’altra carica attraverso il vuoto, si suppone che ad ogni carica sia associato un campo elettrico definito in tutto lo spazio e che questo sia il tramite delle azioni elettriche tra cariche

• In questa visione non esiste lo spazio vuoto

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Un momento di cautela

• La carica esploratrice dev’essere abbastanza piccola da non perturbare la distribuzione di cariche che si vuole studiare

• In linea di principio comunque piccola sia questa carica esistono i fenomeni dell’induzione e della polarizzazione per cui una perturbazione è inevitabile (limite del principio di sovrapposizione)

• Si suppone che sia sempre possibile scegliere una carica abbastanza piccola affinché questa perturbazione sia trascurabile

• Questo però contrasta con la quantizzazione della carica: non esiste carica minore di e

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Principio di sovrapposizione

• Il fatto che una perturbazione tra cariche diverse sia comunque inevitabile costituisce una difficolta` per l’applicabilita` pratica del principio di sovrapposizione

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Dimensioni e unità di misura di E

• Dalla definizione segue che E ha le dimensioni di una forza diviso una carica:

• L’unità di misura è quindi il newton diviso coulomb: u(E)=N/C

1 QFE

8

Campo di una carica puntiforme• Si ricava dall’espressione

della legge di Coulomb• Questa espressione

presume che la carica sia nell’origine delle coordinate

• Per generalità vediamo come si riscrive in caso la carica non sia nell’origine

• Questa forma ci è utile quando abbiamo più cariche

RR

QkR

R

QkRE

32

ˆ)(

rRrR

QkRE

3)(

R

r rR

9

Campo di più cariche puntiformi

n

jj

j

j rRrR

QkRE

13)(

Rir

irR

jr

jrR

• Si ricava dal principio di sovrapposizione

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Linee di campo• Sono definite in ogni punto dello spazio esclusi

quelli in cui sono presenti cariche puntiformi• Sono linee nello spazio con la caratteristica di avere

in ogni punto la tangente diretta come il campo

• Il verso è quello del campo (da carica positiva a carica negativa, oppure da carica positiva all’infinito, oppure dall’infinito a carica negativa)

• Si tracciano in numero proporzionale alla grandezza della carica: danno informazione anche sull’intensità del campo, poiche’ sono più fitte dove il campo è più intenso (lo dimostreremo quando studieremo la legge di Gauss)

Incrocio di linee

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Esercizi sul campo elettrico

• Linee di campo tra due conduttori dello stesso segno

• Limiti del principio di sovrapposizione:– Campo totale di due sfere conduttrici cariche– Campo totale di una carica puntiforme e di un

piano conduttore neutro

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Distribuzione continua di carica

• Come abbiamo visto la carica è quantizzata• Ma molto spesso si ha a che fare con quantità

di carica estremamente grandi rispetto all’unità elementare

• In tali casi si può ritenere con buona approssimazione che la carica vari con continuità

• Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale

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Distribuzione continua di carica

• Carica distribuita nello spazio– Densità spaziale

• Carica distribuita su di una superficie– Densità superficiale

• Carica distribuita lungo una linea– Densità lineare

• Dimensioni della densità

V

Q

dV

dQ

A

Q

dA

dQ

dl

dQ

l

Q

uniforme generale

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Distribuzione continua di carica

• Viceversa si può trovare la carica: – in uno spazio S

– su di una superficie S

– lungo una linea L

S

dVQ

S

dAQ

L

dlQ

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Campo elettrico di una distribuzione continua di carica

• Un volume infinitesimo dV intorno ad un punto A contiene una carica infinitesima dQ

• In un punto qualunque B dello spazio, tale carica dQ produce un campo elettrico infinitesimo dE a norma della legge di Coulomb

dVdQ

rRrR

dQkEd

3

AB

Rr

dV

16

R-r

Campo elettrico di una distribuzione continua di carica

• Il campo totale è la somma (integrale) di tutti questi campi infinitesimi

• La somma (integrale) va intesa in senso vettoriale

• Cioè abbiamo tre integrali (tripli), uno per ogni dimensione spaziale

dVrRrR

rk

rRrR

dQkE

V

V

3

3

)(

dVxXrR

rkE

Vx

3

)(

17

Campo elettrico di una distribuzione continua di carica

• Idem per distribuzioni superficiali: abbiamo tre integrali (doppi)

• Idem per distribuzioni lineari: abbiamo tre integrali (semplici)

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Esempi di calcolo di E

• Campo generato da un segmento uniformemente carico nel piano di simmetria. Limite per estensione infinita

• Campo generato da un disco uniformemente carico lungo l’asse di simmetria. Limite per estensione infinita

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Moto di una carica in un campo elettrico uniforme e statico

• Equazione del moto• L’accelerazione è una costante

• Siamo cioè in presenza di un moto uniformemente accelerato, e valgono tutte le leggi di Galileo relative al moto di un grave

• Se E non è parallelo ad uno degli assi del sistema di riferimento, esprimiamo l’equazione vettoriale in componenti cartesiane

amEq

E

m

qa

yy

xx

Em

qa

Em

qa

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Dipolo elettrico

• E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e segno opposto, poste a distanza l tra loro

• Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato dal prodotto (normale) della carica per il vettore distanza:

• Ove il vettor l si considera orientato dalla carica negativa a quella positiva

lqp

-q

+q

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Due tipi di dipolo

• Il dipolo può essere indotto da un campo elettrico esterno che sposta le cariche positive e negative in un sistema altrimenti simmetrico– Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso

del campo esterno

• Il dipolo può essere permanente: c’è una distribuzione asimmetrica stabile di carica– Il dipolo può avere un’orientazione arbitraria

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Forza di un campo E su un dipolo

• Forza totale

• Se il campo e` uniforme

Ftot=0 sia per dipoli indotti che permanenti

rErEqrEqrEqFFFtot

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-q

+q

r+

r-

E+

E-

p

-q

+q

r+

r-

E+

E-

p

Momento di un campo E su un dipolo

• Momento totale (rispetto al CM)

• Se il campo e` uniforme– E` nullo per momenti indotti, perche’ le forze sono

parallele ai vettori posizione delle cariche

rErrErq

rEqrrEqrFrFr

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EpErrq

-q

+q

r+

r-

E+

E-

p

-q

+q

r+

r-

E+

E-

p

Campo E non uniforme

• Se il campo non e` uniforme e il dipolo e` poco esteso nello spazio, E si puo` sviluppare in serie

• E similmente per il momento

Eppx

Exx

x

Eq

xxx

ErExx

x

ErEq

rErEqF

kk

CMkk

kk

CMk

kCMkk

CMk

CMk

CMkk

CMk

CM

tot

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Energia potenziale di un dipolo in un campo elettrico uniforme

• Per definizione è l’opposto del lavoro speso per passare dalla posizione iniziale A a quella finale B

• Introduciamo l’angolo tra dipolo e campo e scegliamo come punto a potenziale zero

• Quindi

dEpd

BALAUBUB

A

B

A

)()()(

2coscos

sin

)2()(

22

pE

dpEdEp

UU

EppEU

cos)(26