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Sommario

Questa e una raccolta di esercizi indirizzati al corso di Fisica GeneraleII, elettromagnetismo, corso di laurea in Fisica. Si tratta di eserciziche propongo e svolgo a lezione durante il corso alla facolta di Fisicadell’Universita di Padova. Vuole essere di aiuto agli studenti che desideranoprovare a fare gli esercizi per conto loro, ma non sostituisce la lezione in aula.In particolare, le soluzioni, che si trovano alla fine dei capitoli, sono il piudelle volte solo accennate o e messo solo il risultato numerico. Questo sia pernon andare in competizione con il corso stesso, sia per la noia mortale che escrivere una soluzione completa di un esercizio per quanto semplice.Gli esercizi stessi vengono da una varieta di fonti, principalmente vecchi

compiti sia proposti da me sia tramandati, come “memoria del dipartimento”,dagli esercitatori del passato, spesso con modifiche e aggiornamenti.L’ordine degli esercizi segue piu o meno lo svolgimento del corso, e richiede,

ovviamente, lo studio della teoria, che qui non viene minimamente trattata.Le formule utilizzate per gli esercizi svolti in modo completo sono considerate“date”, e non vengono dimostrate o giustificate, a meno che si tratti di casiparticolari non coperti da un normale libro di testo.La correzione delle bozze e, o meglio dovrebbe essere, una parte importante

della stesura di questi esercizi: per quanto abbia fatto attenzione, errorie imprecisioni sono sempre possibili, e anzi vi saro grato se vorretesegnalarmele.Ultima nota riguardo alla licenza: questo scritto e rilasciato con la licenza

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1se lo fate, vi voglio venire a vedere! O forse no . . .

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Indice

1 Elettrostatica 1

1.1 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Moto di cariche in campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Carica immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Circuiti resistivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Magnetostatica 25

2.1 Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Induzione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Circuiti RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Campi magnetici nella materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Onde e oscillazioni 37

3.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Onde E.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Sistemi a infiniti gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Ottica 50

4.1 Rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Reticoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6 Lenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1

Capitolo 1

Elettrostatica

1.1 Legge di Coulomb

Esercizio 1

Quattro cariche puntiformi uguali, q = 1.0 µC, sono poste ai vertici di unquadrato di lato l = 0.1 m.Determinare:

a. la forza ~F su ogni carica;

b. l’energia elettrostatica Utot del sistema;

c. il potenziale V0 al centro del quadrato;

d. quale carica Q0 si deve mettere al centro del quadrato per avereequilibrio;

e. se tale equilibrio e stabile o meno.

Esercizio 2

y

x

P

Si ha una distribuzione di carica uniforme su unasfera di raggio R = 1 m, la densita di carica perunita di volume e pari a ρ = 1.9 ·10−7 C/m3. Vi eall’interno della sfera una cavita anch’essa sferica,di raggio R′ = R/2 e con centro sull’asse x ad unadistanza pari a R/2 dal centro della sfera.

a. Calcolare il campo elettrico ~E

b. e il potenziale V nel punto di P coordinate(R,R, 0) (vedi figura)

1

1.1 Legge di Coulomb Capitolo 1 Elettrostatica

Esercizio 3

Un filo di lunghezza 2l e uniformemente carico con densita lineare di caricaλ.

a. Calcolare il campo elettrico sull’asse del filo;

b. e il potenziale. Estendere al caso di lunghezza indefinita.

Esercizio 4

Calcolare il campo elettrico e il potenziale dovuto ad una sfera di raggio Runiformemente carica con densita di carica ρ.

a. Lo stesso se la carica e solo sulla superficie.

b. Oppure se e distribuita su un guscio sferico con raggio interno r.

Esercizio 5

Una piccola sfera con massa m = 11.2 mg e carica con q = 0.76 nC. Essa eappesa ad un filo lungo l = 5 cm e forma un angolo θ = 9.2 · 10−2 rad conla verticale, e si trova di fronte ad un foglio isolante e carico uniformementecon densita superficiale di carica σ.

a. Determinare σ.

b. Che angolo forma il filo se il foglio e’ un conduttore scarico?

Esercizio 6

Due fili indefiniti, paralleli, carichi uniformemente con densita di caricaλ = 10−8 C/m, con segno opposto, distano d = 5 cm tra loro.Calcolare:

a. il campo elettrico ~E in un punto che dista 3 cm e 4 cm dal filo positivoe negativo, rispettivamente;

b. la forza per unita di lunghezza di attrazione tra i fili.

Esercizio 7

Un piano uniformemente carico con densita superficiale di carica pari aσ = 1.0 · 10−6 C/m2 ha un foro circolare di raggio R = 10 cm. Sull’asse delforo, ad una distanza d = R si trova una carica puntiforme q = 2 · 10−7 C.Calcolare:

a. la forza ~F sulla carica;

b. il lavoro W per portare la carica q al centro del foro;

c. studiare la discontinuita del campo elettrico attraverso il foro,nell’ipotesi che il suo raggio tenda a zero.

2


Esercizio 8

Tre cariche puntiformi q1 = 8q, q2 = 2q e q3 = q con q = 1 · 10−12 C sonovincolate ad una circonferenza di raggio R = 9 cm e inizialmente si trovanoai vertici di un triangolo equilatero.Determinare:

a. l’energia potenziale di q2;

b. la forza agente su q2.Successivamente q3 viene spostata all’estremita del diametro cheparte da q1, mentre q2 viene lasciata libera di muoversi lungo lacirconferenza.Calcolare:

c. la posizione di equilibrio di q2;

d. l’energia elettrostatica del sistema all’equilibrio;

Esercizio 9

Da un anello sottile di materiale isolante, di raggio R = 10 cm,uniformemente carico con densita lineare λ = 1 · 10−8 C/m, viene rimossauna piccola sezione di lunghezza d = 1 cm.Calcolare:

a. il campo elettrico su un punto generico dell’asse dell’anello;

b. la forza esercitata su carica q = 1 · 10−5 C che si trova al centrodell’anello;

c. il lavoro necessario per portare la carica q all’infinito.

Esercizio 10

Un cilindro metallico di raggio R = 10 cm e altezza h, isolato e neutro, ruotaattorno al suo asse con velocita angolare ω = 3 · 103 rad/s. Gli elettroni diconduzione sono liberi di muoversi solo radialmente e quindi sono trascinatinel moto di rotazione del cilindro,Calcolare:

a. il campo elettrico dentro il cilindro;

b. la differenza di potenziale tra l’asse e la superficie esterna;

c. la densita di carica sulla superficie e nel volume.

Soluzione esercizio 1

3


a. La forza totale sulla carica in basso a destra, rispetto ad un sistemacartesiano (x, y) e:~Ftot =

14πǫ0

q2

l2

(

1 + 12√2

)

(x− y) Ftot = 1.72 N

b. Utot =12Σi 6=jUij =

14πǫ0

q2

l

(

4 + 2√2

)

= 0.48 J

c. V0 = Σi = 14Vi0 =1

4πǫ08√2

ql= 0.509 MV

d. Q0 = − q2

(√2 + 1

2

)

= −0.957 µC

e. Equilibrio instabile.


a. Uso il principio di sovrapposizione e riduco il problema ad una sferauniformemente carica R,+ρ e una R/2,−ρ. Visto che il punto P sitrova fuori dalle sfere, per il teorema di Gauss e la simmetria dellesfere, il campo e il potenziale sono equivalenti al sistema con tutte lecariche concentrate al centro delle rispettive sfere.~Etot = (2200x+ 1890y) V/m

b. Vtot = 4264 V .


a. ~E = λ2πǫ0

sin θrr Dove θ e l’angolo sotto cui viene visto il mezzo filo.

~E = λ2πǫ0

1rr nel caso di filo indefinito.

b. V (r) = λ4πǫ0

ln(

l+√l2+r2

−l+√l2+r2

)

Nel caso indefinito (l → ∞) V (r) non e definito. Invece la differenzadi potenziale e ben definita:∆V (r1, r2) =

λ2πǫ0

ln r2r1


a. Equilibrio delle forze: σ = 2.36 · 10−7 C/m2

b. Uso tecnica della carica immagine: il foglio conduttore e equivalentead una carica uguale e opposta a q posta simmetricamente rispetto alpiano stesso. Ancora dall’equilibrio delle forze; θ = 0.17 rad


a. Ex = 7.20 · 103 V/v Ey = 2.1 · 103 V/mb. F/l = 3.6 · 10−5 N/m

4



a. Uso principio di sovrapposizione e considero un piano indefinito e undisco carico −σ. F = 8 · 10−3 N .

b. L = −∆U = σQR2ǫ0

(√2− 1

)

= 9.4 · 10−4 J

c. Non c’e discontinuita a meno che il raggio del foro non tenda a zero,nel qual caso ∆E⊥ = σ

ǫ0


a. U2 = Q2V2 = 2q(

14πǫ0

8ql+ 1

4πǫ0

ql

)

= 1 · 10−12 J

b.

F x2 = 3.7 · 10−12 N

F y2 = −5.1 · 10−12 N

c. Studio il potenziale e cerco un minimo.V2 =

14πǫ0

8q2R cos θ

+ 14πǫ0

q2R sin θ

Minimo per ∂V2

∂θ= 0 cioe θ = 26.5.

d. Utot = 1.5 · 10−12 J .


a. Considero il principio di sovrapposizione tra anello completo e carica−dλ sul buco.

Ex =1

4πǫ0

λx

(x2 +R2)3/2(2πR− d)

Ey = 0

Ez =1

4πǫ0

dRλ

(x2 +R2)3/2

b. ~F (~0) = 14πǫ0

λqdR2 z = 9 · 10−4z N

c. Lext = − 14πǫ0

qλ(2πR−d)R

= −5.6 · 10−3 J


5

a. All’equilibrio gli elettroni di conduzione risentono di una forzacentrifuga dovuta ad un campo elettrico che si crea per l’accumulodi cariche sulla superficie esterna del cilindro. E(r) = mω2r

e.

b. Integrando il campo elettrico, ottengo la differenza di potenziale.

c. Usando Gauss su un cilindro coassiale di raggio r < R.

2πlE(r) = 1/ǫ0

∫ r

0ρr2πrldr

Da cui risulta che ρ(r) = 2mω2

e= 9.06 · 10−16 C costante.

Dato che la carica iniziale del cilindro era nulla, la densita di caricasuperficiale si ottiene

σ =Qsup

Ssup

=−Qint

Ssup

=−2m/eǫ0ω

2πR2l

2πRl= −0.45 · 10−16 C/m2

6

1.2 Moto di cariche in campo elettrico Capitolo 1 Elettrostatica

1.2 Moto di cariche in campo elettrico

Esercizio 11

Una carica puntiforme q = −2.0·10−7 C, massam = 2·10−6 kg, viene attrattada una carica Q = 10−4 C distribuita uniformemente entro una sfera di raggioR = 1 m e massa molto grande. Quando la particella si trova a d = 2 m dalcentro della sfera, viaggia ad una velocita pari a a v0 = 264.5 m/s verso ilcentro della sfera.Calcolare:

a. la velocita v1 quando la particella incontra la superficie della sfera;

b. la velocita v2 quando si trova al centro della sfera;

c. la distanza massima raggiunta dalla particella.

Esercizio 12

Una elettrone (e, me) con velocita v0 = 6.6 ·106 m/s attraversa uno spazio dilunghezza l = 2 cm, dove si trova un campo elettrico uniforme E = 1250 V/mperpendicolare a v0.

a. Calcolare la deflessione dell’elettrone ad una distanza L = 15 cm dopola regione con campo elettrico.

b. Supponendo che l’elettrone sia accelerato, partendo da fermo,calcolare la d.d.p. Va necessaria.

c. Calcolare il lavoro L fatto dal campo deflettente.

Esercizio 13

Un corpo puntiforme con carica q, massa m, inizialmente fermo si trovaall’interno di una sfera di raggio R uniformemente carica con densita ρ, aduna distanza r < R. Descrivere il moto.

Esercizio 14

Un sistema e formato da un anello sottile, di raggio R = 0.2 cm e un filoindefinito entrambi carichi con densita di carica uniforme. La densita linearedi carica del filo e pari a λfilo = 10 · 10−6 C/m, quella dell’anello e λanello.L’anello giace su un piano parallelo al filo, e la distanza del suo centro dalfilo e d = 45 cm. Si osserva che il campo elettrico nel punto P equidistantedal filo e dall’anello e nullo.

a. Calcolare il valore di λanello;

7

1.2 Moto di cariche in campo elettrico Capitolo 1 Elettrostatica

Un protone si trova ad una distanza L = 2.0 m dal centro dell’anello,sul suo asse e dalla parte opposta rispetto al filo, con una velocita v0diretta verso l’anello.Determinare:

b. v0 affinche il protone si fermi al centro dell’anello;

c. la forza che subisce il protone quando si trova al centro dell’anello.


a. Uso conservazione dell’energia: 12mv20+U(d0) =

12mv21+U(R) . . . v1 =

400 m/s

b. Attenzione: ho gia scelto il riferimento del potenziale U(R = ∞) = 0,devo calcolare U(0). Conosco il campo elettrico (usando th. Gauss),lo integro e ottengo la differenza di potenziale del centro della sferarispetto alla superficie.V (0) = 3

2V (R) . . . v2 = 500 m/s

c. Alla distanza massima, l’energia cinetica e nulla. Rmax = 9 m


a. Il moto e uniforme lungo x e accelerato lungo y dentro il condensatore.Deflessione ∆ = 1.61 cm.

b. Va =mv202q

= 124 V .

c. Il lavoro non e nullo perche il moto non e perpendicolare allaforza elettrica, solo all’ingresso del condensatore. Si puo calcolareintegrando la forza o calcolando la differenza di energia potenziale.L = q2E2l2

2mv20= 2 · 10−19 J = 1.25 eV

8

1.3 Carica immagine Capitolo 1 Elettrostatica

1.3 Carica immagine

Esercizio 15

Una sfera conduttrice di raggio R = 80 cm e mantenuta a potenziale zero.Ad una distanza pari a d = 1 m dal centro viene posta una carica puntiformeq = 3 · 10−10 C.Calcolare:

a. la forza cui e soggetta la carica;

b. la densita della carica indotta sulla sfera.

c. Si ripeta l’esercizio nel caso in cui la sfera sia inizialmente scarica eisolata.

d. Oppure isolata e inizialmente carica con q′ = 6 · 10−10 C.

Esercizio 16

Ad un filo indefinito verticale con densita lineare di carica λ = 1.3 ·10−6 C/me appesa, tramite un filo di lunghezza l = 20 cm, inestensibile, privo di massae dielettrico, una carica puntiforme Q2 · 10−11 C, di massa m = 11.2 mg.

a. Calcolare la posizione di equilibrio della carica;

b. si tratta di equilibrio stabile o instabile?


a. Uso carica immagine: carica qi = −Rdq a distanza xi =

R2

ddal centro

della sfera. F = 0.5 · 10−9 N .

b. So che sulla superficie E = σ/ǫ0, quindi devo calcolare il campo Esulla superficie (so gia che avra solo componente radiale). Parto dalpotenziale e poi

Er = −∂V (r = R)

∂r=

1

4πǫ0

q

R

R2 − d2

(d2 +R2 − 2Rd cos θ)3/2r

σ = ǫ0E.

c. Stessa situazione di prima, ma sulla superficie della sfera il potenzialee costante ma V (R) 6= 0. Metto una seconda carica immagine Q0 alcentro della sfera. Dato che la sfera e globalmente carica, Q0 = −qi.F = −0.435 · 10−8 N

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1.3 Carica immagine Capitolo 1 Elettrostatica

d. Metto una ulteriore carica immagine Q = q′ al centro della sfera e miriconduco al caso precedente. F = −2.73 · 10−9 N .


a. L’equilibrio si ottiene quando tan θ = λQ2πǫ0l sin θmg

, nell’ipotesi di angoli

piccoli, si ottiene θ2 = λQ2πǫ0lmg

, quindi θ = .146 rad

b.

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1.4 Dipoli Capitolo 1 Elettrostatica

1.4 Dipoli

Esercizio 17

Un dipolo elettrico di momento p = 2 ·10−11 Cm viene posto ad una distanzad = 0.5 m da un filo molto lungo, uniformemente carico con densita linearedi carica λ = 10−8 C/m.Il dipolo e posto sul piano del filo, perpendicolare ad esso e orientato versol’esterno.Calcolare:

a. il lavoro necessario per trasportare il dipolo ad una distanza d/2 dalfilo, mantenendo costante il suo allineamento. E’ fatto dal campo ocontro il campo?

b. il lavoro necessario per ruotare di 30 il dipolo;

c. il momento torcente del dipolo prima e dopo la rotazione.

Esercizio 18

Tre dipoli elettrici identici, di momento ~p, |~p| = 1 ·10−30 Cm vengono portatidall’infinito nei punti P1,2,3, di coordinate, rispettivamente: P1(0, 0, 0),P2(0,−a, 0) e P3(0,+a, 0) con a = 1 · 10−10 m, e con il momento di dipoloorientato come l’asse z.Calcolare:

a. il lavoro compiuto dalle forze del campo durante il processo;

b. il campo elettrico ~E nei punti dell’asse z;

c. la componente lungo z della forza cui e soggetto il dipolo nel puntoP1.

Esercizio 19

Un quadrupolo elettrico e costituito da quattro cariche identiche q, duepositive e due negative, poste sui vertici di un quadrato di lato 2a, concariche dello stesso segno poste sulle diagonali.

a. Calcolare il campo elettrico in un punto su uno degli assi del quadratoad una distanza molto grande rispetto ad a.


11

1.4 Dipoli Capitolo 1 Elettrostatica

a. La forza che subisce il dipolo e~F =

(

px∂∂x

+ py∂∂y

+ pz∂∂z

)

~E

Per la simmetria del problema, la forza e radiale: Fx = pdEfilo(x)

dx

W =∫ d/2d p

dEfilo(x)

dxdx =

∫ d/2d pdEfilo =

pλ2πǫ2

= 7.2 · 10−9 J

b. W = Ui(1− cos θ) = −pλπǫ0d

(1− cos θ) = −1.9 · 10−9 J

c. M = pE sin θ = 7 · 10−9 Nm


a.

Uij = −~pi · ~Eij = −pEz,ij = +1

4πǫ0p2(

1

d3ij

)

L = −∆U = −Utot =p2

4πǫ0

(

1

a2+

1

a3+

1

(2a)3

)

= −1.9 · 10−20 J

b. Etotz = p

4πǫ0

[

2r3

− 4z2−2a2

(a2+r2)5/2

]

c. Fz = −∂U∂z

= − ∂∂z

(

−~p · ~E)

= ∂∂zpEz = p ∂

∂zEz

Fz(z = 0) = 0


a. Si puo considerare il sistema come due dipoli identici, con momentodi dipolo p = 2qa, orientati in direzioni opposte. Il campo risultantee la somma dei due campi dei dipoli.Ez(R) =

14πǫ0

[

2qa(R−a)3

− 2qa(R+a)3

]

= . . . = qa2

4πǫ01R4

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1.5 Condensatori Capitolo 1 Elettrostatica

1.5 Condensatori

Esercizio 20

Quattro gocce d’acqua, uguali e sferiche, sono portate ad uno stessopotenziale VA = 100 V e poi isolate. Successivamente coalescono a formareuna unica goccia.

a. Quale e il potenziale della goccia?

b. Quale e il rapporto tra l’energia elettrostatica finale e iniziale?

Esercizio 21

Due sferette metalliche uguali, S1 e S2, inizialmente lontane tra loro, conraggio R1,2 = 2 cm e massa m1,2 = 5 g, inizialmente scariche, vengonocollegate con fili conduttori ad una terza sfera metallica S0, R = 0.5 m,lontana da entrambe, che e carica con Q0. Successivamente i fili vengonostaccati e le sferette vengono sospese ad un unico punto tramite due filiisolanti lunghi l = 25 cm e si osserva che restano in equilibrio ad un angolodi θ = 30 con la verticale.Calcolare, trascurando gli effetti di induzione mutua:

a. le cariche q1,2 sulle sferette;

b. il potenziale della sfera S0 prima del contatto;

c. l’energia elettrostatica della sfera S0 prima del contatto;

Esercizio 22

V0

C21C

C

−

+

B

3

A

Dato il circuito in figura, con C1 = 1 µF , C2 =2 µF , C3 = 3 µF e V0 = 100 V , calcolare:

a. carica sulle armature;

b. energia elettrostatica totale del sistema;

c. cariche e energia elettrostatica totale delsistema se il punto B viene messo a terra;

d. cariche, energia elettrostatica e ∆VAB seil punto A viene scollegato e poi B vienemesso a terra.

Esercizio 23

Un condensatore e formato da due armature semicircolari di raggio R =50 cm, parallele, distanti d = 2 mm, incernierate al centro. Le armature

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si sovrappongono per φ0 = 60 e sono collegare ad una fem V0 = 50 V .Successivamente il generatore viene staccato e le armature sono ruotate inmodo da sovrapporle di φ1 = 120.Trascurando tutti gli effetti di bordo, calcolare:

a. la ddp tra le armature;

b. il lavoro delle forze esterne per fare la rotazione.Successivamente il generatore viene collegato e lo spazio tra learmature viene riempito con un dielettrico con κ = 3.

c. Determinare il lavoro compiuto dal generatore durante l’inserimentodel dielettrico.

Esercizio 24

V0

C2

C3

1C

4C

−

+

Il sistema di condensatori in figura e collegato aduna d.d.p. V0 = 15 V e i valori dei condensatorisono, rispettivamente: C2 = 10 pF , C3 = 4 pF ,C4 = 2 pF . Ai capi di C4 si misura una d.d.p.

V1 = 10 V .Calcolare:

a. Valore di C1;

b. energia elettrostatica totale del circuito.Nel condensatore C1 si inserisce una lastra di dielettrico con costantedielettrica relative κ = 5. Determinare:

c. il lavoro svolto dal generatore.

Esercizio 25

Un sistema e costituito da un condensatore con piastre quadrate, di latol = 20 cm, distanti d = 1 mm, alimentato con una ddp = 10 kV . Una delledue piastre e collegata ad una molla di costante elastica k = 5 · 104 N/m,inizialmente a riposo. Il condensatore viene caricato dal generatore esuccessivamente isolato.

a. la posizione di equilibrio d′;

b. studiare il moto delle piastre;

c. l’elongazione massima della molla.

Esercizio 26

Un condensatore piano ha armature quadrate di lato l = 20 cm, e distanti

14


h = 1 cm. Lo spazio tra le due armature viene inserita una lastra conduttricedi spessore d = 5 mm.

a. Calcolare la forza esercitata sulle piastre se il condensatore e carico eisolato.

b. Lo stesso se e il condensatore e collegato ad un generatore con ddpcostante.

Esercizio 27

Un condensatore piano con piastre di superficie Σ = 200 cm2, e distanzah = 5 mm e connesso ad generatore con ∆V = 500 V . Appoggiataall’armatura superiore si trova una lastra di dielettrico con la stessa superficieΣ e spessore d = 2 mm, costante dielettrica relativa κ = 2.Nello spazio vuoto tra le armature c’e un elettrone che viaggiaorizzontalmente con v = 5 · 104 m/s, parallelamente alle armature.

a. Calcolare il campo elettrico dentro il dielettrico.

b. la carica totale presente sulla superficie inferiore del dielettrico;

c. la forza sull’elettrone.

Esercizio 28

Un condensatore sferico ha raggio interno R1, ad un potenziale V1 = 1·104 V ,e raggio esterno R2 = 1 m, collegato a terra. L’energia elettrostatica delgeneratore e W1 = 5 · 10−2 J .La sfera esterna, inizialmente a potenziale V = 0, viene portata al potenzialeV2 = 3 · 104 V rispetto alla terra, lasciando la sfera interna isolata.L’intercapedine viene infine riempita, ad armature isolate, con un dielettricoliquido con costante dielettrica relativa κ = 2.

a. Calcolare R1.

b. L’energia del campo elettrico interno ed esterno con l’armatura esternaa potenziale V2.

c. Trovare l’energia elettrostatica del sistema con il dielettrico.

Esercizio 29

Un condensatore a facce piane e parallele, quadrate L = 5 cm, distanzah = 3 mm e collegato ad una ddp ∆V = 1 kV . Una lastra di dielettrico,di spessore s = 1 mm, κ = 4, viene inserita tra le armature con velocitacostante v. Calcolare:

a. v sapendo che nel circuito, durante l’inserimento, scorre una correntedi I = 1 µA;

15


b. la forza esterna Fext cui la lastra e sottoposta;

c. la densita di carica di polarizzazione sul dielettrico quando ecompletamente inserito.

Esercizio 30

Un condensatore piano, con armature quadrate (Σ = 0.1 m2, h = 1 cm) eriempito con un dielettrico non omogeneo la cui costante dielettrica relativaκ varia in modo continuo da κ = 3 a κ = 5, passando dall’armatura positivaa quella negativa. E’ alimentato con una ddp ∆V = 1 kV .Calcolare:

a. La capacita C del condensatore;

b. la densita di carica di polarizzazione sul dielettrico.


a. VA = 14πǫ0

QR, Q4 = 4Q, il volume e quattro volte quello della singola

goccia, quindi il raggio e R4 = R41/3. V4 = 42/3V = 252 V

b. R = 45/3 = 10.1.


a. All’equilibrio tan θ = Fe

Fp= 1

4πǫ0

q2

(2l sin θ)2mg|q| = 0.44 · 10−6 C

b. Dopo il contatto, il potenziale delle sfere e lo stesso: Q′0 = R0

Riqi.

Q0 = Q′0 + 2qi = 1 · 10−6 C. Il potenziale della sfera S0 all’inizio del

processo V0 =1

4πǫ0

Q0

R0= 1.8 · 10−6 V

c. U0 =12Q0V0 = 0.9 J .


a. C3 e in serie con il parallelo di C1 e C2.Q1 = 0.5·10−4 C, Q2 = 1.0·10−4 C, Q3 = 1.5·10−4 C. U = 0.75·10−2 J

b. Resta solo il parallelo di C1 e C2 alimentato da ∆VQ1 = 1 · 10−4 C, Q2 = 2 · 10−4, U = 1.5 · 10−2 J .

c. Parallelo di C1 e C2 con carica uguale a quella presente prima discollegare il generatore. ∆VAB = Q1+2

C1+C2= 50 V .

Q1 = 0.5 · 10−4 C, Q2 = 1.0 · 10−4 CU = 1

2(C1 + C2)∆

2VAB = 3.75 · 10−3 J

16



a. Ci =ǫ0Sd

= ǫ0dπR2 θi[rad]

2π= 23 pF Cf = 2Ci.

Le armature sono isolate, quindi la carica e costante. Vf = Ci

CfV0 =

25 V

b. Lext = +∆U = 12CfV

2f − 1

2CiV

2i = −1.44 · 10−8 J Rotazione e

spontanea.

c. Lgen = V0∆Q = V0(Q′f −Qf ) = V 2

0 Cf (κ− 1) = 2.3 · 10−7 J


a. C1 = 2 pF ;

b. Utot = 4.5 · 10−10 J ;

c. Lgen = 1.4 · 10−10 J .


a. La forza elettrostatica e costante Fes = Σ σ2

2ǫ0= l2ǫ0∆2V

2d= 17.7 N ,

la forza elastica Fel = −kx. Equilibrio quando kx = Fes: xeq =0.354 mm.

b. Il moto e armonico, attorno alla posizione di equilibrio del puntoprecedente. x(t) = xeq(1− cos (ωt))

c. xmax = 2xeq = .708 mm


a. Mentre la lastra di conduttore viene inserito per una profondita x,considero il sistema come due condensatori in parallelo, uno con euno senza lastra di conduttore. Quello con il conduttore e equivalentea due condensatori in serie, con una distanza totale tra le lastre h−d.La capacita equivalente del sistema risulta:Ceq =

ǫ0lh(x(α− 1) + l) dove α = h

h−d

L’energia elettrostatica risulta Ues =Q2

2Ceq

Nel caso di carica costante, l’energia totale e solo quella elettrostaticadel condensatore, quindi la forza che subisce la lastra eFx = −∂Ues∂x = Q2h

2ǫ0lα−1

(x(α−1)+l)2.

La forza e positiva, la lastra viene risucchiata.Si puo anche calcolare il lavoro totale durante l’inserimento dellalastra.L = −Q2h

2ǫ0l

[

1lα− 1

l

]

> 0

17


b. Con condensatore collegato, l’energia totale tiene conto anche dellavoro del generatore per mantenere la ddp costante, che risulta essereil doppio della corrispondente variazione di energia elettrostatica:quindi risulta Fx = −∂Ues+gen∂x = +∂Ues∂x

Ues =ceq∆2V

2, da cui Fx = ∆2V ǫ0l

2ǫ0(α− 1)

Sempre attrattiva, come prima.Da notare che anche se la forza e attrattiva in entrambi casi, le forzesono diverse (dipendente da x nel primo caso, costante nel nel secondo)e anche il lavoro totale risulta diverso.


a. ∆V = EV (h − d) + EDd, e EV = κED, quindi ED = ∆Vκ(h−d)+d

=

6.25 · 105 V/m; EV = 1.25 · 105 V/m.Il campo nel condensatore completamente vuoto e E = 1 · 105 V/m.

b. QP = ΣσP = Σǫ0(κ− 1)ED = 1.11 · 10−11 CLa carica sulle armature e Q = C∆V = 2.53 · 10−8 C

c. Fe = EV e


a. La capacita di un condensatore sferico e C = 4πǫ0R1R2

R2−R1, essendo

W1 =12CV 2

1 si ottiene R1 = 0.9 m.

b. Il sistema non e piu un semplice condensatore, visto che non c’e piuinduzione totale tra le armature.La carica sull’armatura interna eQ1 = V1 ∗ 4πǫ0R1 = 1 · 10−5 CSull’armatura esterna, la carica e inveceQ2 = V2 ∗ 4πǫ0R2 = 3.33 · 10−6 CInoltre c’e induzione totale tra l’armatura interna e quella esterna,quindi sulla superficie interna della armatura esterna, si trova unacarica −Q1. La carica totale che vedo dall’esterno e quindi solo Q2

(schermo elettrostatico).Il sistema e quindi equivalente ad un condensatore sferico con raggioR1 e R2 e uno sferico con R2 e R = ∞. L’energia risulta quindi:W int

2 = 12

Q2

4πǫ01/R2−1/R2

W est2 = 1

2Q2

4πǫ0R2

c. Nel dielettrico E ′ = Eint/κ, la densita di energia wdielettricoE = 1

2~E ′D =

ǫ02kE ′2 =

ǫ0E2int

2κ= wvuoto

E /κ

18


W int3 = W int

2 /κ, W est3 = W est

2 W3 = 7.5 · 10−2 J .


a. La capacita durante l’inserimento eC(x) = ǫ0L(L−x)

h+ κǫ0Lx

s(1−κ)+κh

i = dQdt

= V0C(t)dt

= V0v[

κǫ0s(1−κ)κh

− ǫ0Lh

]

Da cui si ricava v = 20.3 m/s

b. Fx = +dUES

dx= d

dx

(

12C(x)V 2

0

)

= 2.5 · 10−5 N


a. κ(x) = 3 + 2xh

1C=∫ h0

dxΣǫ0κ(x)

= h2Σǫ0

ln 53

C = 0.35 nF

b. Qarmature = C∆V = 0.35 · 10−6 C.Dentro il dielettrico ~D e costante, dato che dipende solo dalla caricalibera D = Qa

Σ.

Il vettore polarizzazione P = κ−1κD e dipende da x tramite κ.

La densita di carica di polarizzazione sulle superficii del dielettricovale:σp = ~P n = Q

Σκ(x)−1κ(x)

σp(x = 0) = −2Q3Σ

= −2.3 · 10−6 C/m2

σp(x = h) = +4Q5Σ

= +2.8 · 10−6 C/m2

All’interno del dielettrico, la densita di carica e:

ρp = −~∇~P = −∂Px

∂x= −Q

Σ

(

2/h

(3 + 2x/h)2

)

La carica totale che si trova dentro il dielettrico si ottiene integrandola densita nel volume. QV

P = − 215Q.

Come prevedibile, la somma totale delle cariche nel dielettrico risultanulla Qtot

P =(

−1215

− 23+ 4

5

)

Q = 0

19

1.6 Circuiti resistivi Capitolo 1 Elettrostatica

1.6 Circuiti resistivi

Esercizio 31

Il circuito in figura e alimentato con una generatore reale, con fem V0 = 100 Ve una resistenza interna Ri = 10 Ω. Le resistenze hanno valori: R1 = 1.0 kΩ,R2 = 1.5 kΩ, R3 = 2.0 kΩ.

R

R3

R

R1

2

i

A

B

C

+

−

Calcolare:

a. il potenziale (rispetto a terra) dei punti A, B, e C;

b. la tensione ai capi del generatore reale.

Esercizio 32

Le resistenze del circuito in figura hanno valori: R1 = 3 Ω, R2 = 20 Ω,R3 = 12 Ω, R4 = 6 Ω, R5 = 4 Ω, R6 = 5 Ω, e la ddp ai capi del circuito e∆V = 5.4 V

R1

R2

R

R

R

R6

3

4

5

Calcolare:

a. il valore della resistenza vista ai capi del circuito;

b. la corrente su ciascuna resistenza;

c. la differenza di potenziale resistenza.

Esercizio 33

Un festone di lampadine per l’albero di Natale e composto da 50 lampadine

20


poste in serie. Una di queste si brucia, e viene esclusa dal festone,cortocircuitando i capi.

a. Collegando il festone allo stesso generatore, la luce prodotta aumentao diminuisce?

Esercizio 34

Una linea elettrica trasporta una potenza pari a WE = 45 MW ad unadistanza di L = 25 km, con due cavi di alluminio (ρAl = 2.65 · 10−8 Ωm) conuna sezione circolare di raggio R = 3 cm.La potenza dissipata non deve superare complessivamente WD = 35 kW .

a. Quale e la minima ∆V che deve essere prodotta dal generatore?

b. Quale e la caduta di potenziale tra il generatore e il carico a valle?

c. Quale sarebbe la potenza che il generatore dovrebbe erogare data la∆V del punto a. per avere il massimo trasferimento di potenza sulcarico?

Esercizio 35

Si consideri il circuito in figura.

+

−

R

R

R

R

R

R

+

−

1 2

3

4

5

6

a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.

Esercizio 36

Si consideri il circuito in figura.

+

−

+

−

+

−

+

−

3

V3

10

4

10

6

6

5

V

Ω

Ω

Ω

ΩV

V

1Ω

21

a. Calcolare la corrente su ogni resistenza.

Esercizio 37

Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: R1 = R2 = 200 Ω,R3 = 300 Ω, C = 10µC, V = 100 V e l’interruttore T inizialmente aperto.All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso, e si attende che il circuitoarrivi all’equilibrio.

+

−

C

V

R

R

R1

3

2

T

Calcolare:

a. I2 su R2 per t < 0;

b. la carica Q presente sulla capacita a regime;

c. la corrente I2 in funzione del tempo;

d. la potenza P2 dissipata sulla resistenza R2 all’istante t = 4 ms.

Esercizio 38

Gli elementi del circuito in figura sono i seguenti: C1 = 33 µF inizialmentecarico con V1 = 100 V , C2 = 100 µF carico con V2 = 50 V . La resistenzavale R = 75 Ω All’istante t = 0 l’interruttore T viene chiuso.

T

C C1 2

V=0

R

Calcolare:

a. La corrente I(t) sulla resistenza;

b. L’energia W dissipata sulla resistenza.

22

a. VA = 100 V , VB = 77.6 V VC = 44.3 V ;

b. ∆Vgen = (100− 0.22) V .


a. Rtot = 9 Ω;

b. i1 = 0.48 A, i2 = 0.12 A, i3 = 0.08 A, i4 = 0.16 A, i5 = 0.24 A,i6 = 0.6 A;

c. ∆V1 = 1.44 V , ∆V2 = 2.40 V , ∆V3 = 0.96 V , ∆V4 = 0.96 V ,∆V5 = 0.96 V , ∆V6 = 3.00 V ;


a. La luce emessa da una lampadina e proporzionale alla potenzadissipata per effetto joule. Si puo quindi ragionare in termini dipotenza dissipata da 50 o 49 lampadine. Occorre anche tenere contodella resistenza interna del generatore.I = Vgen/Ri +N ·R con N = 50, 49

PN = NVgenR2

(Ri+N ·R)2

P50 > P49 se R < Ri√50·49


a. La resistenza di ciascuno dei cavi e RF = ρLπR2 = .235 Ω

La potenza dissipata sul carico e WE = ∆V i, dove ∆V e la ddp aicapi del carico, per ipotesi, da verificare a posteriori, supponiamo chesia la stessa ddp ai capi del generatore. La potenza dissipata sui duefili e 2RF i

2 < WD. Quindi: ∆V > 164.4 kV .

b. La corrente erogata nel generatore e i = WE/∆V = 273 A, quindi suifili cadono complessivamente 128 V , trascurabili rispetto a ∆V

c. Il massimo trasferimento si ottiene quando la potenza sul carico emassima, e questo avviene quando la resistenza di carico e uguale allaresistenza interna, nel nostro caso R = 2RF . Con la ∆V del puntoa. la corrente dovrebbe essere i′ ≈ 165 kA, e quindi il generatoredovrebbe erogare Wgen = 25 GW , di cui meta verrebbe dissipata sui

23


fili, e meta sul carico. Per confronto, la potenza totale impiegata inItalia e dell’ordine di 30 GW .


a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I1 = 2.15 A,I2 = 2.62 A, I3 = −0.38 A, I4 = 1.77 A, I5 = −0.85 A, I6 = 1.77 A.


a. Nel verso indicato in figura su ogni resistenza: I10 Ω = −0.544 A,I1 Ω = 0.474 A, I4 Ω = 1.018 A, I6 Ω = −0.105 A, I3 Ω = 1.123 A.


a. i = VR1+R2

= 0.25 A;

b. Q = CV R2

R1+R2= 5 · 10−4 C;

c. I2(t) = 0.25 [A] ·(

1− 0.25e−t [ms]

4

)

d. P2 = R2I22 (t = 4 ms) = 15.45 W


a. i(t) = Qtot

RC‖

(

1− 2C‖

C1

)

et

RC‖

b. WD = Uini − Ufin =C1V 2

1 +C2V 22

2− C1+C2V ′2

2= 3.1 · 10−2 J , dove

V ′ = C1V1+C2V2

C1+C2= 62.4 V

24

Capitolo 2

Magnetostatica

2.1 Campo magnetico

Esercizio 39

Due fili rettilinei indefiniti, paralleli, distanti d = 1 m, sono percorsi in versiopposti da correnti i1 = 1 A e i2 = 2 A. Tra i due fili, e complanare ad essi,si trova una spira quadrata con lato a = 20 cm, con due lati paralleli ai filie percorsa da corrente i3.Calcolare:

a. la forza tra i fili per unita di lunghezza;

b. la posizione di equilibrio della spira.

Esercizio 40

Una spira circolare di raggio R = 10 cm e percorsa da una corrente I = 10 A.Calcolare:

a. Campo magnetico ~B sull’asse della spira;

b. ~B al centro della spira;

c. La circuitazione di ~B lungo l’asse della spira;

Esercizio 41

Un solenoide di lunghezza finita L e raggio R e costituito da N avvolgimentidi un filo percorso da una corrente I.Calcolare:

a. Campo magnetico ~B sull’asse del solenoide;

b. Il rapporto tra il campo al centro e quello di un solenoide infinito;

25

2.1 Campo magnetico Capitolo 2 Magnetostatica

c. LRaffinche il campo al centro sia 1% inferiore di quello di un solenoide

infinito;

d. Il rapporto tra il campo ai bordi del solenoide e quello al centro.

Esercizio 42 Bobine di Helmoltz

Due spire uguali, parallele, percorse nello stesso verso dalla stessa correnteI, di raggio a sono distanti 2b tra loro.Calcolare:

a. Campo magnetico ~B sull’asse del sistema;

b. la condizione per cui B(x) vicino al centro risulta indipendente da xfino alla 3a potenza;

c. fino a quali valori di x, data la condizione di cui al punto precedente,B(x)−B(0)

B(0)< 1%.

Esercizio 43

Una sottile barra di grafite (ρ = 1 · 10−5 Ωm), lunga L = 200 cm e sezionequadrata a = 2 mm, e immersa in un campo magnetico B = 0.8 T ,perpendicolare ad una delle facce laterali. Le due estremita della barra sonocollegate ad una fem V0 = 5 V .Calcolare:

a. la potenza erogata dal generatore;

b. la forza necessaria per tenere ferma la barra;

c. la d.d.p. tra le due coppie di facce opposte N(e−) = 0.5 · 1017 mm−3.

Esercizio 44

Un solenoide con densita di spire n = 10spire/cm e percorso da una corrente

I = 12 mA, ha asse perpendicolare al campo magnetico terrestre ~BT . Unago magnetico, con momento di dipolo µ = 6.6 · 10−4 Am2, massa m = 10 ge lunghezza l = 1 cm, si orienta a θ = 30 rispetto alla direzione di ~BT .

a. ~BT

b. il momento delle forze per tenere fermo il dipolo lungo BT ;

c. la frequenza di oscillazione del dipolo per piccole oscillazioni attornoalla posizione di equilibrio;

d. il lavoro meccanico necessario per invertire la direzione del dipolorispetto al punto b..

26


Esercizio 45

Un tubo cilindrico dielettrico molto lungo, con raggio R = 10 cm la lasuperficie carica con densita σ = 0.5 C/m2 e ruota attorno al suo asse convelocita angolare ω = 10 rad/s.

a. Calcolare ~E e ~B all’interno e all’esterno del del cilindro.

b. Calcolare ~E e ~B all’interno e all’esterno del del cilindro nell’ipotesi chela velocita angolare aumenti linearmente ω = αt, con α = 2 rad/s2.

27

a. F/l = 1 · 10−7 N/m;

b. x1 = 32 cm, x2 = −2.5 cm


a. B = µ0I2R

sin3 θ;

b. B(0) = 6.28 · 10−5 T ;

c. C(B) = µ0I.


a. .

b. .

c. RL> 14

d. .


a. .

b. a = 2b;

c. x < 0.305 a


a. P = 5 W ;

b. F = 1.6 N ;

c. ∆V = 10 µV .


a. BT = µ0nItan θ

= 2.6 · 10−5 T ;

b. τ = µBS = 9.9 · 10−9 Nm

c. θ = − µBtot

ml2/12θ , ω =

√

µBtot

ml2/12, ν = ω

2π= 7.76 · 10−2 Hz


28


a. E radiale all’esterno, nullo all’interno. B quello di un solenoide.

b. B e solo dentro il cilindro, quello di un solenoide, il campo E haanche una componente tangenziale dovuta alla variazione del campomagnetico. Dentro Etang = −µ0Rσα/2 ·r. Fuori Etang = −µ0R

3σα/2 ·1r.

29

2.2 Induzione elettromagnetica Capitolo 2 Magnetostatica

2.2 Induzione elettromagnetica

Esercizio 46

Una spira quadrata di lato l = 30 cm ha resistenza totale R = 0.1 ω e si trovain un piano orizzontale x, y, dove e presente un campo magnetico ~B = kxz,con k = 0.8 T/m.La spira e collegata tramite una carrucola ad un piccolo peso di massam = 10 g soggetto a gravita, in modo che il peso tira la spira verso le xpositive. Si osserva che a regime la velocita della spira e costante.

a. La corrente a regime in modulo e verso;

b. la velocita della spira a regime;

c. l’energia dissipata dalla spira sempre a regime.

Esercizio 47

Un filo rettilineo indefinito e posto sul piano di una spira quadrata di latol = 5 cm, con uno dei lati parallelo al filo stesso, ad una distanza d = 10 cmda esso. Il tutto e posto su un piano verticale sottoposto a gravita. Il filodella spira e di rame ρ = ·10−8 Ωm e sezione S = 1. · 10−2 cm2.Al partire dal tempo t = 0, una corrente I(t) inizia a scorrere sul filo,crescendo linearmente fino a raggiungere una corrente I0 = 30 A al tempoT0 = 10 s. La spira rimane ferma.

a. la fem presente sulla spira;

b. la corrente i che circola sulla spira;

c. la forza vecF cui e sottoposta la spira;

d. Dopo il tempo T0 la corrente sul filo resta I = I0 (costante), e la spira elasciata libera di muoversi. Si calcoli l’equazione del moto della spira.

Esercizio 48

Due guide conduttrici sono incernierate tra loro ad un estremo O e sonocollegate alle estremita di una sbarra di lunghezza h = 0.4 m. La sbarrascorre senza attrito lungo le guide con velocita v = 20 m/s, sempreperpendicolare ad una guida OB, partendo da O all’istante t = 0 s.La guida obliqua OA ha resistenza trascurabile, mentre l’altra (OB) ha unaresistenza per unita di lunghezza ρ = 200 Ω/m: infine la resistenza dellasbarra e R = 200 Ω. Il sistema e immerso in un campo uniforme B = 1.5 Tperpendicolare al piano dove si trova il circuito.

a. La corrente che gira sul circuito all’istante t2 = 0.1 s;

30


b. la forza sulla sbarra all’istante t2;

c. l’energia dissipata tra t0 e t2.

Esercizio 49

Due sbarre metalliche uguali, lunghe L = 15 cm, con resistenza R = 15 Ωsono incernierate ad una estremita O. L’altra estremita e vincolata a scorrerelungo una rotaia metallica rettilinea con resistenza trascurabile. L’angolo diapertura tra le due sbarre varia α = π/6 + ωt con ω = 2 rad/s. Il sistema eimmerso in un campo magnetico costante B = 0.5 T perpendicolare al pianodel circuito.Determinare:

a. la corrente I all’istante t1 = π/24 s;

b. la carica che fluisce per il punto O nell’intervallo [0, t1]

c. il lavoro eseguito sul sistema.

Esercizio 50

Una spira di raggio R = 10 cm e percorsa da una corrente I = 10 A.Coassialmente ad essa, si trova una seconda spira con raggio r = 0.5 cm,filo con sezione Σ = 0.2 mm2 e resistivita ρ = 1.7 · 10−7 Ωm, che si muovecon velocita v = 2 m/s sull’asse comune. All’istante t = 0 s si trovano sullostesso piano.

a. La posizione zmax dove la corrente indotta sulla spira piccola emassima;

b. la carica Q che fluisce sulla spira piccola tra t = 0 s e t1 quando ladistanza tra le spire e pari a R;

c. la corrente nell’instante t1;

d. il flusso attraverso la spira grande dovuta al campo generato dallaspira piccola all’istante t1.

31



a. i = mgkl2

= 1.36 A, verso orario.

b. v = Rikl2

= 1.982 m/s

c. P = Ri2 = mgv = 0.186 W


a. fem = µ0Il2πT

log l+dd

= 1.22 · 10−8 V

b. i = 3.58 µA

c. Ftot =ilµ0I(t)

2π

(

1d− 1

d+l

)

= 3.6 · 10−13t[s] N verso il basso.

d. d2xdt2

= g − 1ρδ

[

µ0I0l8πx(l+x)

]2dxdt


a. I(t) = hRv/2ρvt+R

= 10 mA;

b. F = ihB = 6 · 10−3 N

c. W =∫ t2t1

(Bhv/2)2

ρvt+Rdt = B2h2v

4ρln(

R+ρvt2R

)

= 9.9 · 10−3 J


a. I(t) = BL2

4Rcos (α + ωt) = 2.65 · 10−4 A

b. Uso legge di Felici Q = BL2

4R

[

sin π4− sin π

6

]

= 3.88 · 10−5 C

c. W =∫ t10

ǫ2

2Rdt = B2L4ω

16R

[

α + sin 2α2

]π/4

π/6= 3.47 · 10−7 J


a. z = ±R/2b. Q = rµ0IΣ

4ρR

[

123/2

− 1]

= 1.2 · 10−7 C

c. i(t1) = 1.96 · 10−6 A

d. Φ(z) =M(z = R)I(t1) = 6.8 · 10−16 T/m2

32

2.3 Circuiti RL Capitolo 2 Magnetostatica

2.3 Circuiti RL

Esercizio 51

Il circuito in figura e costituito da tre resistenze R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω,R3 = 30 Ω, una induttanza L = 2 H e un generatore con f.e.m. V = 100 Ve un interruttore S inizialmente aperto.

R R

R LV

1

2

3S

Calcolare la corrente i1,2 sulle resistenze R1,2 nelle seguenti condizioni:

a. immediatamente dopo la chiusura di S;

b. a regime con S chiuso;

c. immediatamente dopo l’apertura di S (una volta raggiunto lacondizione di regime);

d. a regime con S aperto.

Esercizio 52

Il circuito in figura e costituito da due resistenze R1 e R2 = 500 Ω, unainduttanza L = 10 mH, un generatore con f.e.m. V = 100 V e uninterruttore T inizialmente aperto chiuso su A.

R L2

R1

V

T

Si osserva che la corrente erogata dal generatore all’istante t∗ = L/R1 e paria Igen(t

∗) = 200 mA.Calcolare:

a. il valore della resistenza R1;

b. l’energia magnetica Wmag immagazzinata nell’induttanza per tempit≫ t∗;

c. l’energia dissipata sulla resistenza R2 dopo che l’interruttore T vienecommutato su B.

33

2.3 Circuiti RL Capitolo 2 Magnetostatica


a. L si comporta come circuito aperto: i1 = i2 =V

R1+R2= 3.3 A;

b. i1 =V

R1+R1R2R1+R2

= 4.55 A; i2 =V−i1R1

R2= 2.73 A, i3 = 1.82 A;

c. i1 = 0 A, i2 = ib3 = 1.82 A;

d. ii = 0 A.


a. I(t) = VR1

(

1− e−Rt/L)

Quindi R = 315 Ω

b. WL = 12L(

VR1

)2= 5 · 10−4 J ;

c. uguale a WL

34

2.4 Campi magnetici nella materia Capitolo 2 Magnetostatica

2.4 Campi magnetici nella materia

Esercizio 53

Un solenoide ideale ha densita di spire n = 10 /cm, raggio r = 5 cm ed epercorso da una corrente i = 0.05 A. Coassiale ad esso si trova una spiracircolare di raggio R = 10 cm e percorsa da una corrente I = 1.5 A, in versoopposto a quello del solenoide.Sull’asse comune, ad una distanza pari a R dalla spira, si trova un dipolo conmomento µ = 6.6 · 10−4 Am2.Calcolare:

a. il campo magnetico ~B nel punto dove si trova il dipolo;

b. il lavoro esterno Lext per ruotare il dipolo di θ = 60;

c. il momento delle forze τ necessario per tenere fermo il dipolo nellaposizione precedente se l’interno del solenoide viene riempito con unagas con suscettivita magnetica χm = 8 · 10−2

d. il flusso sul solenoide del campo della spira;

35

2.4 Campi magnetici nella materia Capitolo 2 Magnetostatica


a. b = 5.95 · 10−5 T ;

b. Lext = 1.96 · 10−8 J ;

c. τ = 3.67 · 10−8 Nm;

d. Φsol = 1.48 · 10−5 Wb.

36

Capitolo 3

Onde e oscillazioni

3.1 Equazioni di Maxwell

Esercizio 54

Due lastre metalliche circolari coassiali con raggio r = 3 m e distanzad = 0.05 m, inizialmente caricate con carica uguale e opposta pari aQ = 5 · 10−5 C, si allontanano, rimanendo parallele a se stesse con velocitav = 0.03 m/s. Un generatore mantiene costante la differenza di potenzialetra le piastre.Determinare:

a. La densita della corrente di spostamento Js all’istante t = 0 s;

b. La circuitazione del campo magnetico ΓB su un cerchio coassiale diraggio r = 0.1 all’istante t = 2 s;

c. Il campo magnetico B in un ponto generico della circonferenza;

d. Cosa succede se la circonferenza viene spostata fuori dell’asse delsistema?

Esercizio 55

Un condensatore piano, con armature circolari di raggio r1 = 50 cm, distantih = 5 cm, e collegato ad un generatore di f.e.m. costante V0 = 100 V ,con resistenza interna R0 = 5 Ω tramite un interruttore. Tra le piastre delcondensatore di trova un avvolgimento toroidale, con N = 104 spire, coassialeal condensatore e ortogonale alle sue armature. La sezione dell’avvolgimentoe rettangolare con lati a = 4 cm e b = 2.5 mm, e raggio medio r2 = 20 cm.L’avvolgimento toroidale e chiuso su una resistenza R = 20 Ω e collegato adun galvanometro balistico.

37

3.1 Equazioni di Maxwell Capitolo 3 Onde e oscillazioni

Determinare:

a. Il rapporto R = q/Q tra q la carica che fluisce nel galvanometrotra il momento della chiusura dell’interruttore e il raggiungimentodi condizione stazionarie, e Q, la carica presente sulle piastre delcondensatore a regime.

b. Lo stesso rapporto se il condensatore non e nel vuoto ma in undielettrico omogeneo di costante dielettrica κ = 5.

38

3.1 Equazioni di Maxwell Capitolo 3 Onde e oscillazioni


a. Is =1

c2µ0

∂ΦE

∂t= ǫ0

∂ΦE

∂t

C = ǫ0πr2

d= 5 nF

js = ǫ0∆V v

(d+vt)2= 1.06 · 10−6 A/m2(t = 0 s) ; 2.19 · 10−7 A/m2(t =

2 s)

b. ΓB = µ0jsΣ = 8.65 · 10−15 Tm

c. B(r) = µ0rjs2

= 4.13 · 10−13 T

d. Risposta a 1 e 2 non cambia, mentre a 3 sı´ .


a. B(r) = r2c2

∂E∂t

q = ∆ΦB

R∂E(t)∂t

= V0

hR0Ce− t

R0C

q = Nabr22c2R

V0

R0Ch

Q = V0/C ; q/Q = 11.5

b. ǫ0 → ǫ = κǫjs → κjs , C → κCq′/Q′ = 1/κ · q/Q = 2.3

39

3.2 Onde E.M. Capitolo 3 Onde e oscillazioni

3.2 Onde E.M.

Esercizio 56

La radiazione solare cede alla superficie terrestre 2.2 calorie/cm2/minuto (lacosiddetta costante solare). Supponendo che l’onda EM sia piana e incidanormalmente alla superficie terrestre, calcolare:

a. i valori massimi di E e B;

b. la pressione sulla superficie terrestre p.

Esercizio 57

La radiazione solare sulla superficie della terra vale 1532 W/m2. Sapendoche la distanza media terra-sole RT = 149 · 109 m, la massa del sole valeMs = 1.99 · 1030 kg, calcolare:

a. La potenza irradiata dal sole;

b. la pressione di radiazione sulla terra e il suo rapporto con la pressioneatmosferica;

c. la dimensione di una vela solare, perfettamente riflettente, in gradodi compensare l’attrazione gravitazionale per una astronave di massam = 1000 kg;

d. il rapporto tra la forza gravitazionale e la forza di pressione per unasferetta nera di dimensione a e densita ρ. Si calcoli il rapporto pera = 3 · 10−5 cm e ρ = 2.5 g/cm3.

40

3.2 Onde E.M. Capitolo 3 Onde e oscillazioni


a. < S >= 1532 W/m2

|S| = |E×B|µ0

= E·Bµ0

= cǫ0E2

< |S| >= |S|/2 , E0 =√

2<S>cǫ0

= 1.07 kV/m

B0 = E0/c = 3.58 · 10−6 T

b. =< S > /c = 5 · 10−6 N/m2


a. L⊙ = 4πR2Φ = 4.2 · 1026 Wb. prad = Φ/c = 5 · 10−6 N/m2

prad/patm = 5 · 10−11

c. Fp = 2Sprad =2SL

4πR2c, FG = GM⊙m

R2

S = 2πGM⊙mcL⊙

= 6 · 105 m2 = (770 m)2

d. Fp = pπa2Fp

FG= 3L⊙

16πacρGM⊙= rc

a

rc = 1.6 · 10−5 cm

41

3.3 Circuiti RLC Capitolo 3 Onde e oscillazioni

3.3 Circuiti RLC

Esercizio 58

Circuito RLC in serie e alimentato con una f.e.m. alternata V (t), C = 1.5 pF ,L = 2 mH, R = 150 Ω. Mantenendo costante la frequenza di risonanza ωr

e tempo di decadimento γ del circuito, si sostituiscono i tre elementi delcircuito. La nuova capacita e C ′ = 0.75 pF .Determinare:

a. L′

b. R′

c. Il rapporto tra la potenza assorbita dal circuitoW eW ′ alla frequenzadi risonanza.

d. Quanto vale questo rapporto al di fuori delle condizioni di risonanza?

Esercizio 59

Si consideri il circuito in figura: RL = RC = 100 Ω, L = 10−3 H, C = 100 nF ,Veff = 220 V , ν = 50 Hz.

V

R

C L

c RL

Calcolare:

a. La frequenza di risonanza ωR;

b. La potenza dissipata dal circuito;

Esercizio 60

Un circuito RLC in serie e alimentato da una f.e.m. V (t) = V0 · cos(ωt),V0 = 10 V . Il Q−valore e Q = 10, e la larghezza della risonanza ∆ω = 5·104 se la potenza dissipata alla risonanza P ris = 0.25 W .Determinare:

a. Frequenza di risonanza ωr;

b. I valori di R, L e C;

c. La frequenza ω alla quale la corrente e sfasata di π/4 rispetto allatensione;

d. La potenza media dissipata nel caso precedente;

42


Esercizio 61

Si consideri il circuito RLC in figura, alimentato da una f.e.m. alternata confrequenza ω.

VL

R

C

Determinare:

a. I(t) in funzione di V (t) e discuterne l’andamento;

b. La potenza dissipata dal circuito;

Esercizio 62

Si consideri un circuito RLC con i tre elementi posti in parallelo e alimentatida una f.e.m. alternata V (t) = V0 cos(ωt), V0 = 110 V , ν = 60Hz, R = 50 Ω,L = 2 H, C = 1 µF .Determinare:

a. La corrente che circola su R, C e L rispettivamente;

b. La corrente totale I e lo sfasamento rispetto a V ;

c. La potenza dissipata;

Esercizio 63

Si consideri un circuito costituito da due circuiti LC accoppiati da una C,ovvero da una L o da una RDeterminare:

a. Le correnti che circolano su ciascuna maglia;

b. I modi normali del sistema;

c. La potenza dissipata;

Esercizio 64

Un circuito e costituito da un generatore di tensione sinusoidale, conampiezza V0 = 12 V e frequenza ν = 50 Hz, che alimenta un parallelodi una resistenza R = 87 Ω, una induttanza L = 0.14 H, e un condensatoreC = 33 µF .

43


RLCV

Calcolare:

a. l’impedenza complessa totale del circuito (modulo Z0 e anomalia φ);

b. la pulsazione ωr per la quale l’ampiezza della corrente e massima;

c. la massima carica Qmax presente sulle piastre del condensatore;

d. la corrente Ig erogata dal generatore nell’istante in cui la carica sulcondensatore e massima;

e. la potenza media erogata dal generatore Wgen;

f. la potenza dissipata dalla resistenza a ν = 50 kHz;

g. verificare che la soluzione per la corrente soddisfa il principio dellaconservazione della carica;

h. la massima/minima frequenza cui puo lavorare il generatore se essoe in grado di fornire, al massimo, una corrente Imax = 1 A (sugg.per frequenza massima si faccia l’approssimazione che 1

Lω≫ ωC e,

viceversa, per la frequenza minima di supponga che ωC ≫ 1Lω

) ;

44

a. LC = L′C ′ ⇒ L′ = 4 mH

b. τ = 1/γ ; γ = R/L⇒ R′ = RL′/L = 300 Ω

c. Potenza dissipata solo da R W = RI2 = V 2/R

W ′/W = V 2/2RV ′2/2R

= RR′ = 0.5


a. Y = 1/Z = ( ω2RC2

1+ω2R2C2 +R

R2+ω2L2 ) + iω( C1+ω2R2C2 − L

R2+ω2L2 )ω = ω0 = 1/LC

b. = V0/2Z · cosφ = Veff · Ieff · cosφ


a. ωr = ∆ω ·Q = 5 · 10−5 s−1

b. = VeffIeff = V 20 /2R

R = 200 Ω L = R/∆ω = 4 mH C = 1/(ω20L) = 1 nF

c. φ = arctan 1/ωC−ωLR

= π/4ω1 = 5 · 104 rad/s ω2 < 0

d. =V 20

4R= 0.125 W


a. Z = R + i( 11/(ωL)−ωC

)

I(t) = V/|Z|cos(ωt− φ)

|Z| =√

R2 + 1(1/(ωL)−ωC)2

tanφ =1

1/(ωL)−ωC

R

Anti-risonanza per ω = 1/LC

b. = V 20 /2|Z| · cosφ


a. IC(t) = iωCǫ(t) = −4.15 · 10−2 sin(ωt) AIL(t) = 1/(iωL)ǫ(t) = 1.46 · 10−1 sin(ωt) AIR(t) = ǫ(t)/R = 2.2 cos(ωt) A

45

b. Y = 1/Z = 1/R + i(ωC − 1/ωL) = Y0eiδ

Y0 = 2 · 10−2 Ω−1

tan δ = ωC−1/ωL1/R

= 4.75 · 10−2

Itot = 2.2 A

c. = VeffIeff cos δ = 1.21 · 102 W


a. ω21 = 3/LC ω2

2 = 1/LC


a. Y = 1Z

= 1R+ i

(

ωC − 1ωL

)

= Y0eiφ = 1.69 · 10−2[Ω−1]e−i0.82[rad]

Z = 1Y0e−iφ = 59.2[Ω]ei0.82[rad]

b. ωr =√

1LC

= 465 s−1

c. Q(t) = VC(t)C massima quando e massima VC = Vgen. Qmax = V C =3.96 · 10−4 C

d. Igen = IR+ IC + IL: su L e C la corrente e sfasata di π/2 rispetto allatensione del generatore, mentre e in fase su R. La carica e massimaquando la tensione e massima, quindi quando la corrente su L e C enulla. Resta solo la corrente su R. Itot = IR = V/R = 0.14 A

e. Wgen = V Itot2

cosφ = V 2

2Z0cosφ = 0.83 W

f. Wgen = V IR2

= V 2

2R= 0.83 W

g. Itot = IR+IL+IC = V((

1ωL

− ωC)

sin(ωt) + 1Rcos(ωt)

)

= VZ0

cos(ωt+

φ)

h. Con le ipotesi fatte, ad alta frequenza, il modulo dell’ammettenza

totale si approssima a Y HF0 ≈

√

(

1R2 + (ωC)2

)

e quindi la corrente

totale risulta pari a: V Y HF0 < Imax, da cui si ricava ωmax <

1C

√

(

Imax

V

)2 − 1R2 = 2.5 · 103 s−1

Analogamente, per basse frequenze Y LF0 ≈

√

(

1R2 +

(

1ωL

)2)

e quindi

ωmin >1

L

√

( ImaxV )

2− 1R2

= 86 s−1

46

3.4 Sistemi a infiniti gradi di liberta Capitolo 3 Onde e oscillazioni

3.4 Sistemi a infiniti gradi di liberta

Esercizio 65

Una corda e vincolata a due estremi distanti L = 0.5 m e la frequenzafondamentale di oscillazione e di ν = 440 Hz.Determinare:

a. La distanza tra gli estremi L′ perche la frequenza fondamentale divibrazione diventi ν ′ = 550 Hz.

b. La variazione della tensione della corda ∆T perche la frequenza diventiν = 435 Hz.

Esercizio 66

La frequenza fondamentale di una corda di violino e di ν = 440 Hz, e la sualunghezza e L = 0.4 m. La densita della materiale con cui e fatta la corda eρ = 7.86 · 103 kg/m3, e la sezione ha diametro di d = 10−3 m.Calcolare:

a. La tensione della corda

b. L’impedenza caratteristica della corda

c. La tensione cui deve essere tesa per avere frequenza ν ′ = 460 Hz

d. Cosa succede se la corda viene sostituita con un’altra con densita 25%piu alta, mantenendo costanti gli altri parametri?

Esercizio 67

Una corda e vincolata ad un muro e ha una massa di M = 2 kg appesatramite una carrucola (di massa e dimensioni trascurabili) posta ad unadistanza di L = 1 m dal muro. La massa della parte orizzontale della cordae pari m = 0.6 kg. Sulla corda si propaga un’onda armonica trasversale diampiezza ψ0 = 10−3 m e λ = 0.25 m.Calcolare:

a. La velocita v dell’onda trasversale;

b. La velocita massima di ciascun punto della corda prima dellariflessione;

c. L’equazione del moto dell’onda;

d. Il flusso medio di energia nell’unita di tempo e di superficie che fluisceattraverso una sezione arbitraria della corda;

47


Esercizio 68

Un’onda sonora armonica con ν = 300 Hz si propaga in aria in condizioneSTP (T = 293 K, P = 1 atm, Vm = 22.4 l,Mm = 29 g, γ = 1.4). L’ampiezzadell’onda di spostamento e pari a ψ0 = 3 · 10−8 m.Determinare:

a. L’ampiezza dell’onda di pressione ∆p;

b. L’ampiezza dell’onda di densita ∆ρ;

c. L’intensita dell’onda I (W/m2) e B (dB);

Esercizio 69

Una sbarra di alluminio lunga L = 1m, vincolata al centro, e colpita in modolongitudinale ad una estremita e risuona ad una frequenza di ν = 2500 Hz.Sapendo che la densita dell’alluminio e ρAl = 2710 kg/m3, il modulo di YoungY = 70 GN/m2, la densita dell’aria e ρa = 1.3 kg/m3 e la costante adiabaticadell’aria e γ = 1.4, (si ricordi inoltre che la velocita del suono in un solido e

pari a v =√

Y/ρ) determinare:Commento: questo esercizio e nato come fusione di due altri esercizi, ma e venuto male . . .

a. La velocita del suono nell’alluminio vAl;

b. La velocita del suono nell’aria vair;

c. Dove si dovrebbe vincolare la sbarra per ottenere una frequenza diν = 3750;

d. Spiegare qualitativamente come cambia la frequenza della sbarra se ilcolpo e trasversale invece che longitudinale e spiegare il perche;

Esercizio 70

Un tubo sonoro aperto contiene aria (considerata gas perfetto) a 0 C, e lungoL = 0.75 m e vibra alla frequenza del modo fondamentale. A seguito di unavariazione della temperatura dell’aria ∆t, la frequenza varia di ∆ν = 10 s−1.Sapendo che la velocita del suono nell’aria a 0 C e pari a v = 331 m/s,calcolate

a. ∆t.

48

a. L′ = L νν′= 0.4 m

b. ∆TT

= T ′′−TT

=(

ν′′

ν

)2 − 1 = −2.3%


a. T = π(d/2)2ρl · (2Lν)2 = 764 N


a. v =√

( mgM/L

)

b. vmax = ψ(x, t)max = ψ02πvλ= 0.143 m/s

c. Onda progressiva ψ(x, t) = ψ0 cos(kx − ωt) k = 2π/λ = 25.1 m−1

, ω = 2πν = 2πv/λ = 144 rad/s cui va aggiunta quella regressiva(riflessa) che insieme danno luogo ad un’onda stazionaria ψ(x, t) =2ψ0 sin(kx) sin(ωt)

d. ΨE = 1/2ρlψ20ω

2v = 34.9 · 10−3 W/m2


a. ∆p = pγv

∂φ∂t

= vρ0∂φ∂t

∆pmax = vρ0ψ02πν v =√

γRTµ

= 342.6 m/s

ρ0 =Mmole/Vmole = 1.3 kg/m3 ∆pmax = 0.025 atm

∆p′ = ∆p√

T/T ′ = 0.024 atm

b. ∆ρ = ∆pv2

= 2.17 · 10−7 kg/m3 ∆ρ′ = ∆ρ(T/T ′)3/2 = ...


a. vAl = νλ = ν2L = 5000 m/s

b. vairvAl

=√

( γpρAl

Y ρair)

c. x = λ/4 = v/(4ν) = 1/3 m

d. vtran =√

N/ρ , N < Y ⇒ v⊥ < v‖


a. λ = 2L vs = λν ν =√

γRT/m/(2L) ∆ν =√

γR/m√T+t−

√T

2L√

γR/m = vs√T= 20 t = 25.3

49

Capitolo 4

Ottica

4.1 Rifrazione

Esercizio 71

Un raggio di luce bianca orizzontale attraversa un prisma con indice dirifrazione n e apertura α = 4 deg, colpisce uno specchio verticale esuccessivamente uno schermo. L’indice di rifrazione del prisma valeColore λ (nm) n(λ)Blu 434 1.539

Giallo 589 1.517Rosso 768 1.511

La distanza tra il prisma e lo specchio e d = 1m, mentre quella tra lo specchioe lo schermo e d′ = 4 m.Determinare:

a. l’angolo che deve formare lo specchio con la verticale per avere unraggio uscente orizzontale per la luce gialla;

b. la dispersione della luce bianca sullo specchio;

c. la dispersione sullo schermo.

Esercizio 72

Un sottile fascio di luce incide su un prisma con angoli 30 − 60 − 90

perpendicolarmente all’ipotenusa. L’indice di rifrazione del prisma e n = 2.1.Calcolare:

a. le superfici e gli angoli di uscita della luce;

b. i rapporti delle intensita dei raggi uscenti rispetto a quello entrante.

50

4.1 Rifrazione Capitolo 4 Ottica

Esercizio 73

Si consideri un prisma isoscele fatto con un materiale con indice di rifrazionen:

a. Quale deve essere l’angolo di apertura perche ogni raggio incidente suuna faccia sia totalmente riflesso dall’altra faccia?

Esercizio 74

Una larga piscina circolare ha una profondita h = 2/3d dove d = 84 m e ildiametro. Un osservatore e posto ad una distanza dal bordo della piscina aduna distanza pari alla altezza dal bordo stesso.

a. Quanto deve essere riempita d’acqua (n = 4/3) la piscina perchel’osservatore riesca a vedere il centro della piscina?

51



a. Con l’approssimazione di angoli piccoli δ = α(n−1) = 2.068 (Angolouscita prisma rispetto orizzontale)θ = δ/2 = 1.034 (Angolo inclinazione specchio)

b. δblue = 3.763 · 10−2 rad δrosso = 3.567 · 10−2 rad ∆xspecchio = ∆δ · d =1.955 mm

c. ∆xschermo = ∆δ · (d+ ds) = 7.822 mm


a. θL = arcsin(1/n) ≈ 28.5 Luce incide su cateto maggiore con angolo30 > θL, riflessione totale. Dopo riflessione su ipotenusa con60 > θL, riflessione totale. Poi su cateto minore con 0, quindi inparte esce e in parte viene riflessa. La parte riflessa fa il camminoall’indietro, sempre con riflessione totale, e esce da dove e entrata.Se il primo cateto colpito e quello minore, il risultato non cambia.

b. Nella prima riflessione si ha: T =(

4nn+1

)2= 87.4%, R = 1 − T =

12.6%. Nella seconda riflessione sul cateto, il raggio uscente haintensita relativa T ·T = 76.4%. Nell’ultima riflessione sull’ipotenusa,la parte uscente e T · R · T = 9.6%. In totale esce il 98.6% della luceentrante, il rimanente ripete le stesse riflessioni.


a. Serve un po’ di geometria. . .θ1,2,3 sono angoli di incidenza sulla prima faccia, rifrazione dalla primafaccia, incidenza sulla seconda faccia, rispettivamente. Riflessionetotale se θ3 > θL = arcsin(1/n)

• primo caso: il raggio di luce rifratto all’interno del prisma e dallaparte del vertice del prisma rispetto all’asse della prima faccia.

θ3 = α− θ2 > θL , θ2(max) = θL ⇒ α > 2θL

• secondo caso: raggio di luce rifratta e nel semipiano piu lontanodal vertice rispetto alla normale alla prima faccia.

θ3 = θ2 + α > θL , θ2(min) = 0 ⇒ α > θL


52


a. x livello di acqua nella vasca, r angolo rifrazione, i angolo incidenzad/2 = x tan r + (2d/3− x) x = d/6 1

1−tan r= 37.4 m

53

4.2 Interferenza Capitolo 4 Ottica

4.2 Interferenza

Esercizio 75

Due fori di Young in aria distano d = 0.1 mm e illuminano uno schermo aL = 20 cm con luce monocromatica: si osserva che i due max di ordine 10distano tra loro ∆x±10 = 24 mm.Calcolare:

a. λ

b. ∆x delle frange luminose sullo schermo.

c. λ′ nel vuoto perche la figura di interferenza non cambi rispetto all’aria,se tutto il sistema viene immerso in acqua (n = 4/3).

Esercizio 76

Un interferometro di Young ha 3 fori con apertura a << λ e separaterispettivamente da d, 3/2d.Calcolare, ponendo F0 l’intensita a θ = 0:

a. La posizione θm del primo massimo;

b. l’intensita del primo massimo rispetto a quello centrale;

c. l’intensita a θm/2.

Esercizio 77

Un’onda piana monocromatica λ = 550 nm incide perpendicolarmente suschermo opaco con due fenditure parallele. La figura di interferenza si formasu uno schermo posto sul piano focale di una lente con potere diottricoP = 3 dr. Due frange successive distano D = 5mm.Determinare:

a. La distanza tra le fenditure;

b. la larghezza delle fenditure, osservando che il massimo di ordine 8 none visibile;

c. Davanti ad una fenditura si pone una lamina di spessore uniforme50 µm e le frange si spostano di 20 massimi.Determinare l’indice di rifrazione del materiale.

Esercizio 78

Una sorgente di luce monocromatica λ = 504 nm incide perpendicolarmenteuna lamina cuneiforme, con n = 1.4 e apertura α = 0.1 rad. Si osservano

54


frange chiare e scure parallele allo spigolo. La lunghezza della lamina eL = 45mm .Calcolare:

a. La distanza x dallo spigolo delle prime tre frange scure;

b. idem per le chiare;

c. La frangia lungo lo spigolo e chiara o scura?

d. E quella all’altra estremita del cuneo?

e. Il numero totale di frange chiare e scure.

Esercizio 79

Un ricevitore di onde radio e posto sulla riva di un lago ad una altezzah = 30 m s.l.l. e riceve segnali ad una λ = 1m da una galassia lontana siadirettamente sia per riflessione su lago.Calcolare:

a. Lo sfasamento δ dei due raggi in funzione dell’angolo α (altezzasull’orizzonte);

b. Per quale valore di α l’intensita e massima sul rivelatore.

Esercizio 80

Un film sottile di spessore d = 300 nm, n = 1.5 e illuminato da luce biancacon incidenza normale.Calcolare la lunghezza d’onda corrispondente alla colorazione dominante delfilm se osservato:

a. in riflessione;

b. in trasmissione.

Esercizio 81

L’interferometro in figura e illuminato con luce monocromatica λ =612.2 nm: il raggi (paralleli) sono fatti passare per tubi di uguale lunghezzal − 20 cm, inizialmente vuoti e si osservano un sistema di frange. Il tubosuperiore viene quindi riempito con un gas e si osserva che la frangia centralesi sposta e occupa la posizione occupata prima dalla 98-esima frangia.

55


Calcolare:

a. l’indice di rifrazione n del gas;

b. la minima ∆n osservabile.

Esercizio 82

Un film di sapone verticale e illuminato da luce di sodio λ = 589 nm. Laparte superiore, osservata in riflessione, e nera, mentre si vedono 5 frangechiare in basso e il centro della 5a frangia e sul bordo inferiore. L’indice dirifrazione dell’acqua saponata e n = 1.33.

a. Calcolare lo spessore del bordo inferiore e superiore.

Esercizio 83

Una lente e coperta da un film per ridurre la riflessione. L’indice di rifrazionedel film e della lente sono nf = 1.2 e nl = 1.4, rispettivamente. Si consideriluce ad una lunghezza d’onda λ = 5000 A.Calcolare:

a. Lo spessore minimo del film per minimizzare l’intensita della luceriflessa.

b. Quale dovrebbe essere nf perche la riflessione sia la minima assoluta.

c. In quest’ultimo caso, la riflessione puo essere ridotta a 0?

Esercizio 84

Una sorgente di luce con λ = 400 nm illumina perpendicolarmente 2 lastredi vetro lunghe l = 10 cm: le lastre sono a contatto ad un estremo e separataall’altro da un foglio di alluminio di spessore s. Osservo che i bordi sonoscuri, e sono visibile 250 frange chiare.Calcolare:

a. Lo spessore s;

b. La precisione sulla misura di s.

Esercizio 85

L’interferometro in figura opera con luce quasi monocromatica λ = 480 nm,∆λ = 1 nm. I due specchi inferiori sono semi-riflettenti, mentre quellisuperiori normali e distano h.

56


S R

α

x

Calcolare:

a. Di quanto si deve variare h per osservare due massimi successivi.

b. La massima distanza h per avere interferenza.

c. Successivamente un cuneo sottile, con α = 2, n = 1.3, viene inseritonel cammino ottico superiore (si trascuri la deviazione del raggiostesso).Si calcoli la variazione di profondita ∆x per osservare due minimisuccessivi.

Esercizio 86

Due antenne radio emettono onde sferiche a frequenza ν = 300MHz in fase,e distano p = 30 m. Ad una distanza d1 = 1 km, formando un triangolorettangolo di cateti p e d1 , c’e un ricevitore.

a. Calcolare ∆φ delle onde sul ricevitore.A d2 = 2 km dall’antenna piu vicina, su prolungamento del cateto d1c’e un secondo ricevitore.Calcolare:

b. Il rapporto tra le intensita I1/I2;

c. Supponendo di mettere il tutto in un mezzo, quale deve essere lacostante dielettrica ǫr, per rendere nullo il segnalo sul primo rivelatore.

Esercizio 87

Un’onda piana monocromatica λ = 550 nm incide perpendicolarmente suschermo opaco con due fenditure parallele. La figura di interferenza si formasu uno schermo posto sul piano focale di una lente con potere diottricoP = 3 dr. Due frange successive distano D = 5mm.Determinare:

a. La distanza tra le fenditure;

b. la larghezza delle fenditure, osservando che il massimo di ordine 8 none visibile;

c. Davanti ad una fenditura si pone una lamina di spessore uniforme50 µm e le frange si spostano di 20 massimi.

57


Determinare l’indice di rifrazione del materiale.

58



a. ∆x±10 = 20Lλdλ = d

20L∆x±10 = 6 · 10−7 m

b. ∆x = λLd

= 1.2 mm

c. ∆x′ = λ′Lnd

= λLd

= ∆xλ′ = nλ = 798 nm


a. Risolvo se E(θ) = E + Eeiδ + Eei52δ δ = 2πd

λsin θ

I ∝ |E2| = E2(3 + 2(cos δ + cos 32δ + cos 5

2δ))

Massimo per δ = 4π θ1 =2λd

b. I( θ12) = I(0)/9


a. ∆z = f∆θ = fλ/d quindi d = fλ/∆z = 3.7 mm

b. Minimo di diffrazione coincide con massimo di interferenza di ordine8. λ

L= 8λ

d, quindi L = d/8 = 34 µm.

c. ∆φ = 2πλ(n− 1)h = 20 · 2π, quindi n = 1 + 20λ

h= 1.22.


a. ∆φ = 2πnλ2xα + π

Frange chiare se ∆φ = 2kπ: x = (2k+1)λ4αn

= 0.9, 2.7, 4.5 mm

b. Frange scure se ∆φ = (2k + 1)π: x = kλ2αn

= 0., 1.8, 3.6 mm

c. La frangia e scura

d. La frangia e scura L/passo = 25

e. Si vedono 26 scure e 25 frange chiare.


a. ∆φ = −4πλh sinα + π

b. sinαmax = λ4h

= 0.48


a. ∆φ = 2πλn(2d) + π λmax = 4nd

2k+1nel range ottico solo λ = 600 nm

59

b. ∆φ = 2πλn(2d) λmax = 2nd

knel range ottico solo λ = 450 nm

Tuttavia, il coefficiente di riflessione e pari a R = 4% (e quello ditrasmissione T = 96%), quindi il raggio che viene riflesso internamentedue volte risulta avere una intensita di circa 0.15% rispetto a quellotrasmesso. La differenza di intensita e tale da non produrre (quasi)nessuna interferenza, quindi la luce trasmessa risultera bianca comequella incidente. Nel caso di riflessione, entrambi i raggi vengonoriflessi una volta, quindi hanno una intensita simile e pertanto siosserva l’interferenza.


a. ∆φ = 2πλl(n− 1) = N2π n = 1 +Nλ/l = 1 + 3 · 10−4

b. 2πλl(n1 − n2) = π ∆n = λ

2l= 1.53 · 10−6


a. Nella parte superiore lo spessore non contribuisce allo sfasamento dellaluce diretta e riflessa: d < λ/2Per la parte inferiore: ∆φ = 2π

λ2dn + π = 2kπ k = 5 d = 9λ

4n=

9.96 · 102 nm = 1.0 µm


a. ∆φ = 2πλ2dn = π d = λ

4n1= 0.104 µm

b. R1 = (n1−n2

n1+n2)2 = 0.826 R2 = 5.9 · 10−3

Riflessione minima per n1 =√n0n2 = 1.18

c. Riflessione non e nulla perche non tutta la luce viene riflessa dallaseconda interfaccia, ma in parte (R− 1) viene trasmessa.


a. ∆φ = 2πλ2xs

l+ π Scuro per x = 0 (k = 0) e x = l (k = 250)

s = kλ2= 50 µm

b. ∆ss

= ∆kk

= 1/250 = 4 · 10−3

s = 50± 0.2 µm


a. ∆φ = 2πλ2h ∆h = λ

2= 240 nm

60

b. Tempo di coerenza della luce ∆t∆ω ≈ 1 ∆t = 2πλω∆λ

2h < ∆x = λ2

∆λ=

0.115 mm

c. ∆φ = 2πλdα(n− 1) = 2π ∆d = λ

α(n−1)= 45.7 µm


a. ∆φ = 2πλ

p2

2d1= 2.83 rad

b. ∆φ2 =2πλ

p2

2d2= 81 R =

(1+cos∆φ1)d22(1+cos∆φ2)d21

= 0.17

c. λ′ = λ/n = λ√ǫµ

ǫr = (λ/λ′)2 = 1.23


61

4.3 Diffrazione Capitolo 4 Ottica

4.3 Diffrazione

Esercizio 88

I fari di un’automobile D = 1.3 m, λ = 500 nm, sono osservati da unosservatore la cui pupilla ha un diametro di 5 mm.

a. Calcolare la distanza massima per cui si distinguono i due fari L.

b. In queste condizioni, la separazione sulla retina (che dista p =∼24 mm dalla pupilla) dell’immagine dei due fari x.

Esercizio 89

Un telescopio ha una lente principale con apertura pari a D = 25 cm e focalef = 60 cm. Esso viene usato per osservare una coppia di stelle, angolarmentemolto vicine tra loro.

a. Nell’ipotesi che la luce delle stelle sia rossa, si calcoli la minimadistanza angolare α per poterle distinguere.

Esercizio 90

Un’onda piana monocromatica λ = .55 µm incide perpendicolarmente unoschermo opaco su cui sono presenti due fenditure parallele. La figura diinterferenza si forma su uno schermo, posto sul piano focale di una lente conpotere diottrico P = 3 diottrie. Si osserva che due frange chiare successivedistano d = 5 mm.Calcolare:

a. la distanza l tra le fenditure;

b. la larghezza della singola fenditura, osservando che il massimo diordine 8 non risulta visibile;

c. Davanti ad una delle fenditure si pone una lamina con spessoreh = 50 µm, e si osserva che le frange si spostano di 20 massimi.Calcolare l’indice di rifrazione n del materiale.

Esercizio 91

Un fascio di luce monocromatica colpisce normalmente una fenditura largaw = 5λ. Si vuole far sı che la luce che attraversa la meta superiore dellafenditura sia abbia un ritardo di fase pari a π rispetto alla meta inferiore.

a. Come si puo fare?

b. Come risulta la figura di interferenza risultante?

62

a. La pupilla viene investita da due fronti d’onda piani e si comportacome un foro circolare diffusore. L’immagine di ogni fascio luminosoe una figura di diffrazione λ≪ d. Il primo mimino di diffrazione si haad un angolo θ = 1.22λ

d. Le due figure di diffrazione si possono dire

risolte se il massimo del secondo disco coincide (o e piu lontano) conil primo minimo del primo disco: criterio del (lord) Rayleigh.Quindi i due fari risultano risolti, considerando solo la diffrazione dellapupilla, se D

L> 1.22λ

d, quindi se L < 10.7 km.

Questo risultato e in contrasto con l’esperienza: una primaosservazione e che, data la curvatura terrestre, la distanzadell’orizzonte per una persona i cui occhi siano a circa 1.70 cm daterra risulta essere circa 5 km, inferiore alla distanza di risoluzione deifari secondo il calcolo di prima. Quindi, in una pianura, non appenai fari sono visibili, sono anche risolti: il che e accade.Il fattore che abbiamo trascurato e la dimensione dei sensori (coni ebastoncelli) sulla retina.

b. La distanza sulla retina delle immagini dei due fari, o meglio, delcentro delle rispettive figure di diffrazione, risulta x = θp = D

L.

Questa va confrontata con la dimensione dei sensori, che e circa di5 µm. Perche le due immagini risultino distinte, devono colpire duesensori non adiacenti, quindi devono distare circa x > 10 µm. Ilche porta ad un angolo minimo di risoluzione θm = x

p∼ 4 · 10−4 rad.

Con questa risoluzione angolare, la distanza minima dovra essere circaL ∼ 3.2 km che e un valore piu ragionevole.Si poteva risalire all’angolo minimo di risoluzione, osservando che alladistanza di visione distinta (Ld ∼ 20 cm), l’occhio normale e in gradidi risolvere circa un decimo di mm. θ = 0.1

200∼ 5 · 10−4 rad, in buon

accordo con i numeri precedenti.


a. La lente e un foro circolare investito da una onda piana, che quindiproduce una immagine di diffrazione circolare di raggio r = f∆θ =f · 1.22λ/D ≈= 2 µm, stimando λ ≈ 650 nm.Il minimo α risolvibile e quindi α > ∆θ = 3 · 10−6 rad posto che isensori sullo schermo siano piu piccoli di ∼ 1µm.

63



a. D = λP l

quindi l = λPD

= 3.7 mm

b. Minimo di diffrazione corrisponde all’ottavo massimo di interferenza:λ/L = 8λ/d, L = d/8 = 34 µm

c. ∆φ = 2πλh(n− 1) = 20 · 2π, quindi n = 1 + 20λ/h = 1.22.


a. Per esempio mettendo una lamina di spessore d = λ2(n−1)

davanti ameta fenditura.

b. Posso considerarlo come due fori di Young, distanti w/2 e larghi w/2,con uno sfasamento ulteriore di π tra il primo e il secondo.I(θ) = I0 · (sin2 φ) · sin2 φ

φ2 con φ = wπ2λ

sin θ

64

4.4 Reticoli Capitolo 4 Ottica

4.4 Reticoli

Esercizio 92

Un fascio piano di onde e.m. con frequenza ν = 1011 Hz incide su unoschermo conduttore piano su cui sono praticate 5 fenditure parallele e lunghe,di larghezza a = 6 mm e passo p = 18 mm.Calcolare:

a. quanti massimi di segnale sono presento oltre a quello a θ = 0;

b. la posizione di questi massimi;

c. quanto deve essere largo un rivelatore per raccogliere tutta l’energiadel primo massimo se la distanza tra le fenditure e il rivelatore eL = 1 m

Esercizio 93

Luce piana, monocromatica, λ = 0.6 µm colpisce un reticolo con N = 5fenditure parallele e lunghe, con passo p = 9 µm e larghezza a << λ. Adistanza di 1 m e posto una lente con potere P = 2 dt, e si osserva la figuradi interferenza di Fraunhofer su schermo posto sul piano focale della lente.Calcolare:

a. La distanza sullo schermo tra il massimo principale e quello di ordine1;

b. Il numero di max secondari compresi tra due max primari;

c. Sposto lo schermo per osservare l’immagine delle fenditure: quale deveessere la distanza tra queste immagini?

Esercizio 94

Un fascio di luce con λ = 514.5 nm (Argon) incide normalmente su un reticolocon N = 6000 righe/cm.Calcolare:

a. Il piu elevato ordine di massimo principale;

b. La distanza tra il max 0 e max 1 se l’immagine e focalizzata con lentecon f = 12 cm;

c. La dimensione minima del reticolo per risolvere nel max del primoordine il doppietto λ = 514.5÷ 514.6 nm

Esercizio 95

Un reticolo con N = 8000 fenditure di larghezza a = 3 µm e passo p = 8 µm

65


viene illuminato con luce monocromatica e normale λ = 0.4 µm. La luceviene osservata su piano focale di una lente.Calcolare:

a. Il numero di massimi principali;

b. L’intensita del max di ordine 4 rispetto a quello di ordine 0;

c. Il minimo diametro della lente per non aumentare la larghezza deimassimi.

Esercizio 96

Un reticolo e illuminato da luce λ = 5550 Anormale e osservata con unalente. Si vedono massimi corrispondenti a sin θ = 0.2, 0.4, 0.6. L’intensitadella 3a riga e 25% di quella centrale.Calcolare:

a. Il passo del reticolo;

b. La larghezza minima delle fenditure;

c. La dispersione massima D = ∂θ∂λ

d. La max separazione angolare per il doppietto del sodio λ =5890, 5896 A.

Esercizio 97

Un reticolo con 5000 fenditure per cm, larghezza L = 5 cm e illuminato conluce λ = 0.55 µm in condizioni di Fraunhofer.Calcolare:

a. Il numero di massimi principali;

b. la minima larghezza delle fenditure per cui il max di ordine piu elevatoe assente;

c. La distanza tra il max di ordine 0 e 1 se visto con lente con P = 3 dr;

d. Il minimo ∆λ risolvibile.

66

a. Il conduttore assorbe le onde e.m., quindi siamo in presenza di unreticolo formato da 5 fenditure. La posizione dei massimi principalidi interferenza e data da:

sin θn = nλ

p

Il piu grande ordine di massimi principali si ottiene forzando ilsin θn < 1, il che porge: nmax = int p

λ. Nel nostro caso p

λ= 6,

quindi il massimo ordine visibile sarebbe il numero 6, per un totaledi (6 · 2) + 1 = 13 massimi, per tenere conto di quelli a destra e asinistra n = ±1,±2, . . . e del massimo centrale. Il massimo principaledi ordine 6 si ha per sin θ6 = 1, il che non e molto fisico, visto checorrisponderebbe a θ6 = 90.Occorre poi tenere conto dei minimi di diffrazione, ossia del cosiddettofattore di forma. Essi sono presenti per:

sin θm = mλ

ae, nel caso coincidano con i massimi di interferenza, rendono invisibiliquesti ultimi. Occorre percio verificare se vi siano coppie di interi consegno n,m, con n < 6 tali da verificare sin θm = sin θn, ovvero taliche:

n

m=a

p= 3

Si trova cosı che i minimi di diffrazione di ordine ±1 e ±2corrispondono ai massimi di interferenza di ordine ±3 e ±6,rispettivamente.Quindi i massimi effettivamente visibili sono ((6 − 2) · 2) + 1 = 9.Per inciso, il massimi di ordine ±6 non risulta comunque visibileperche sovrapposto ad un minimo di diffrazione, togliendoci quindidall’imbarazzo se dichiararlo visibile o meno (non sarebbe visibile).

b. La posizione dei massimi e: xn = L · tan θn = L tan arcsin(nλp) dove

l’approssimazione per angoli piccoli non vale nel nostro caso (tranneche per n = ±1).n x±n

1 ±16.9 cm2 ±35.3 cm4 ±89.4 cm5 ±150.8 cm

67

c. La distanza tra un massimo principale e il minimo immediatamenteadiacente e pari a ∆θ = λ

Np, ed equivale alla semi-larghezza del

massimo principale. Per raccogliere tutta la luce ho quindi bisogno diun rivelatore largo:

∆zriv = 2 · L λ

Np= 6.67 cm

.


a. Massimi principali sono: xn = f · sin θn = f nλp, quindi ∆x0,1 = f λ

p=

3.3 cm

b. Tra due massimi principali vi sono N − 1 minimi e N − 2 massimisecondari.

c. Per osservare sullo schermo l’immagine delle fenditure 1pL

+ 1qL

= 1fL

che porge: qL = 1 m.La distanza tra le immagini delle due fenditure sullo schermo e quellaoriginale moltiplicata per l’ingrandimento: y′ = q

py = y


a. Il passo e p = 1/N = 1.67 µm, nmax <pλ= 3.23, quindi il massimo

ordine di massimi principali e’ il terzo.

b. La posizione del massimo centrale e x0 = 0. Quella del massimo diordine n e xn = nfλ/p (nell’approssimazione di angoli piccoli). Quindix1 = 3.7 cm.

c. Il potere risolutivo del reticolo e λ∆λ

< nN , dove N e il numerototale di fenditure N = Nl · D, al primo ordine risulta quindiD > λ

Nl∆λ= .875 cm. Se invece avessi considerato il terzo massimo

principale, dove il potere risolutivo e massimo, la larghezza sarebbestata un terzo D3 = .286 cm.


a. nmax < d/λ = 20, quindi ci sono 20 · 2 + 1 = 41 massimi principalidi interferenza. Si deve tenere conto anche del fattore di forma, ladiffrazione della singola fenditura, che ha dei minimi in corrispondenzaa sin θm = mλ/a. Se questi corrispondono ai massimi di interferenza,allora questi ultimi non sono visibili. Cio avviene se nλ/p = mλ/acioe se n

m= 8

3, e quindi per (m,n) = ±(3, 8),±(6, 16). Quindi ci sono

41− 4 = 37 massimi visibili.

68

b. I4/I0 =sin2 Φ4

Φ24

dove Φ4 =πaλsin θ4 =

πad. Quindi I4/I0 = 0.045

c. La larghezza angolare del massimo principale e ∆θ = λNd

. Larisoluzione della lente non deve essere superiore a tale larghezzaangolare, quindi: 1.22 λ

D< λ

Nd, cioe D > 1.22Nd = 7.8 cm


a. sin θmaxn = nλ

pquindi, considerando il primo massimo, p = λ/0.2 =

2.78 µm.

b. I3I0

= sin2(frac3πap)

(frac3πap)2= 0.25. Risolvendo numericamente l’equazione, si

ottiene a/p ≈ .2, quindi a ≈ 0.556 µm

c. La dispersione di ottiene derivando la relazione sin θ = nλ/p e si

ottiene D =(

(

pn

)2 − λ2)−1/2

, che, per i valori del problema, e

all’ordine 3 (il quarto ha un’intensita di solo il 4% quindi poco visibile)D3 = 1.39 rad/µm

d. ∆θ = D3 ·∆λ = 8.3 · 10−4 rad.


a. nmax < p/λ = 3, quindi ho 3 · 2 + 1 = 7 massimi.

b. Minimi di diffrazione sin θ3 = 3λ/p = λ/a, quindi a = p/3 = 0.67 µm

c. ∆x = λpP

= 9 cm

d. considero il max di ordine 2 (il piu elevato visibile), ∆λ > λ2nL

=1.1 · 10−5 µm

69

4.5 Polarizzazione Capitolo 4 Ottica

4.5 Polarizzazione

Esercizio 98

Un reticolo con N fenditure orizzontali, larghe a e con passo p, e postoperpendicolarmente a superficie di un liquido con n = 2.0. Il reticolo e colpitonormalmente alla sua superficie da onda piana λ = 0.6 µm. Si osserva chela luce del massimo principale di ordine 3, riflessa dal liquido, e polarizzatalinearmente.Determinare:

a. Il numero dei massimi principali;

b. Il minimo valore di a per cui il massimo principale di ordine piu grandenon e visibile;

c. Il numero di massimi principali se il reticolo e immerso in un liquidocon n = 2 e illuminato con la stessa ν.

Esercizio 99

Un sottile fascio di luce non polarizzata monocromatica, con intensita I0 =1.2 W/m2 si propaga lungo l’asse x e attraversa nell’ordine:

• un polarizzatore lineare con asse ottico α lungo y;

• una lamina di quarzo di spessore d = 0.018 mm, n0 = 1.5442ns = 1.5533 e asse ottico parallelo a asse z;

• un secondo polarizzatore lineare con asse ottico che puo ruotareliberamente.

Si osserva che l’intensita del fasci emergente dal sistema non dipendedall’orientamento dell’asse ottico del secondo polarizzatore. Determinare:

a. la lunghezza d’onda λ della luce incidente;

b. l’angolo α;

c. l’intensita della luce I1 dopo il primo polaroid;

d. l’intensita della luce I2 dopo il quarzo;

e. l’intensita della luce I3 dopo il secondo polaroid;

Esercizio 100

Una sorgente non polarizzata emette luce ad una lunghezza d’onda λ =550 nm e illumina due fori di Young di larghezza D = 1 mm e distanti traloro d = 5 mm. Calcolare:

70


a. la posizione del massimo di terzo ordine su uno schermo a distanzal = 10 m;

b. il rapporto tra l’intensita del massimo di terzo ordine rispetto a quelloprincipaleSuccessivamente si pongono due polaroid P1 e P2 dietro alle duefenditure. Discutere come cambia la figura nei seguenti casi:

c. l’asse ottico di P1 e parallelo a quello di P2;

d. gli assi ottici di P1 e P2 sono perpendicolari;

e. si calcoli inoltre quanto vale il rapporto di cui al punto 2 nei due casi.

Esercizio 101

Una cella di lunghezza l = 1 cm contiene una soluzione acquosa dimolecole organiche ed ha indice di rifrazione nsx e ndx per luce polarizzatacircolarmente a sinistra e a destra, rispettivamente: (nsx − ndx) = 2 · 10−5.Un fascio di luce polarizzata linearmente con λ = 550 nm entra nella cella.

a. Discutere lo stato di polarizzazione della luce uscente.

Esercizio 102

E’ disponibile in commercio un film costituito da un polarizzatore lineare euna lamina a λ/4 in successione, con assi ottici a π/4 tra loro. Si discuta:

a. l’effetto di tale film su un raggio di luce non polarizzata se vieneattraversato prima il polarizzatore e poi la lamina in termini sia diintensita che di stato di polarizzazione;

b. lo stesso se il film e rovesciato, e quindi viene attraversata prima lalamina e poi il polaroid;

c. come si puo fare a capire il verso del film?

Esercizio 103

Quattro polaroid perfetti, ciascuno con asse ottico ruotato di 30 rispetto alprecedente, sono posti in successione e illuminati con un raggio di luce nonpolarizzato.

a. Calcolare l’intensita della luce rispetto a quella incidente dopo ciascunpolaroid.

b. Cosa succede se tolgo i polarizzatori intermedi (numero 2 e 3)?

71

a. La luce del massimo di ordine 3 incide la superficie del liquido adun angolo corrispondente all’angolo di Brewster, diventando cosı‘polarizzata.

θ3 = arctan1

n= 26.6

Da cui si ricava il passo del reticolo: p = 3λsin θ3

= 4 µmIl massimo ordine di massimi e: nmax <

pλ= 6.67 e il numero totale

di massimi principali: Nmax = 2nmax + 1 = 13.

b. Il massimo di ordine piu elevato e il 6: perche risulti non visibile devecoincidere con il primo minimo di diffrazione della singola fenditura.sin θm = λ

a= sin θ6 =

6λp

a = p6= 0.67 µm

c. Se cambia il mezzo in cui il sistema e immerso, la lunghezza d’ondadella luce incidente diventa λ′ = λ/n. Il massimo ordine di massimidiventa quindi: n′

max <pλ′ = 13.3, e quindi il numero totale di massimi

principali N ′max = 2n′

max + 1 = 27.


a. La luce che emerge dalla lamina deve essere polarizzata circolarmente:dato che quella dopo il primo polarizzatore e polarizzata linearmente,la lamina deve introdurre un ritardo di ∆φ = π

2(λ4) per la λ incidente.

∆φ = π2= d(ns − no)

2πλ, λ = 4d(ns − no) = 6.55 · 10−7 m

b. Perche la luce diventi polarizzata circolarmente dopo la lamina, il suoasse ottico deve essere a 45 rispetto alla direzione della polarizzazionelineare entrante, quindi α = 45.

c. Il polaroid non fa passare la componente della luce perpendicolareall’asse ottico: I1 ∝ (Ey

0 )2, I0 ∝ (Ey

0 )2 + (Ez

0)2. Visto che Ey

0 = Ez0 ,

I1 = I0/2 = 0.6 W/m2

d. La lamina introduce un ritardo di fase tra il raggio ordinario e quellostraordinario, ma non assorbe (idealmente): I2 = I1 = I0/2 =0.6 W/m2

e. I3 = I2/2 = I0/4 = 0.3 W/m2


72

a. L’angolo del terzo massimo e: sin θ3 = 3λd. Quindi la posizione del

massimo sullo schermo e x3 = lθ3 = 3.3 mm. Si noti che siamo incondizioni di Fraunhofer.

b. L’intensita dei massimi principali dipende solo dal fattore di forma delreticolo, non da quello di struttura.R3 =

sin2 Φ3

Φ23

= 0.25 , Φ3 = πDλsin θ3

c. La figura di interferenza non cambia. Se la sorgente rimane la stessa,allora l’intensita delle fenditure si riduce a meta e in conseguenzal’intensita dei massimi principali si riduce a 1/4 rispetto al casoprecedente.

d. Non c’e’ piu alcuna figura di interferenza. Il campo elettrico della lucedella prima fenditura e sempre perpendicolare a quello della seconda.In questo modo l’intensita sullo schermo risulta essere:

I ∝< E2tot >=< ( ~E1 + ~E2)

2 >=< ~E1

2+ ~E2

2>=< E2

1 + E22 >

Cioe non e piu presente il termine del doppio prodotto ~E1 · ~E2,responsabile dell’interferenza, poiche ~E1 ⊥ ~E2.

e. Il rapporto non cambia, poiche dipende solo dal fattore di forma, cherimane identico, e non da quello di struttura.


a. Scomponiamo la luce entrante in due componenti: una polarizzatacircolarmente destra e una sinistra. La cella fara ritardare unacomponente rispetto all’altra di una fase ∆phi = d(ns − nd)

2πλ

Ex = E0x cos(ωt− kz) = E0

2cos(ωt− kz) + E0

2cos(ωt− kz)

Ey = 0 = E0

2sin(ωt− kz)− E0

2sin(ωt− kz)

Dove si possono riconoscere le due componenti circolare destra (Ex ∝+cosφ Ey ∝ +sinφ) e sinistra (Ex ∝ +cosφ Ey ∝ − sinφ).Dopo la cella, il campo elettrico ha la forma E ′ = Edx + Esx(φ =φ+∆φ), dove la componente sinistra ha subito un ritardo di fase ∆φ

E ′x = E0

2cos(ωt− kz) + E0

2cos(ωt− kz +∆φ)

E ′y = E0

2sin(ωt− kz)− E0

2sin(ωt− kz +∆φ)

E’ possibile dimostrare che la polarizzazione all’uscita continua adessere lineare, ma con un asse ruotato rispetto a quella entrante diun angolo tanα = Ey

Ex= tan ∆φ

2. Il conto trigonometrico e piuttosto

noioso ma si puo semplificare scegliendo un istante t per cui ωt−kz = 0e si ottiene:

73


tanα = Ey

Ex= − sinφ

1+cosφ= −0.11 rad


a. Consideriamo il verso per cui il polaroid si trova prima della lamina.Il polaroid dimezza l’intensita luminosa e polarizza la luce lungo ilsuo asse ottico. Successivamente la lamina fa diventare circolare lapolarizzazione.Quindi la luce esce polarizzata circolarmente e con intensitadimezzata.

b. Nel caso opposto, la lamina non ha alcun effetto sulla luce (nonpolarizzata) incidente, ne in termini di intensita ne di polarizzazione.Successivamente il polaroid rende la luce polarizzata linearmente eriduce a meta l’intensita.Quindi luce esce polarizzata linearmente e con intensita dimezzata.

c. Se abbiamo a disposizione un secondo polaroid, e facile controllarese la luce uscente ha intensita uniforme al ruotare dell’asse otticodell’analizzatore (caso a)) oppure no (caso b) ).Senza un analizzatore, si puo far riflettere la luce uscente da unospecchio e farla passare di nuovo attraverso il nostro film.Nel caso a), la luce riflessa dallo specchio risulta essere ancorapolarizzata circolarmente, ma con verso opposto. La lamina a λ/4la rende di nuovo polarizzata linearmente, ma con asse perpendicolarerispetto a prima e successivamente il polarizzatore, che e ortogonale,non fa passare nulla. Quindi non si vede luce riflessa.Nel caso b), la luce polarizzata linearmente resta tale anche dopo lariflessione, passa senza variazioni attraverso il polarizzatore e quindiviene resa polarizzata circolarmente dalla lamina. Quindi si vedeluce, polarizzata circolarmente, e con intensita pari a meta di quellaentrante.


a. E2 = E2⊥+E2

‖ e E2⊥ = E2

‖ dato che la luce incidente e non polarizzata(si intendono i valori mediati nel tempo)

I1 =I02

~E1 = E2⊥⊥ + E2‖‖ = E1 cosα⊥ + E1 cosα‖ dove α = 30. Lacomponente ⊥ non passa attraverso il polarizzatore: E2

2 = E21 cos

2 α,

74


quindi

I2 = I1 cos2 α =

I02cos2 α

.Analogamente:

I3 =I02cos4 α

I4 =I02cos6 α = 0.21 I0

b. Se i polarizzatori centrali non ci sono, l’angolo tra i due rimanenti(primo e quarto) risulta essere di 90, quindi non passa luce dopol’ultimo polaroid.

75

4.6 Lenti Capitolo 4 Ottica

4.6 Lenti

Esercizio 104

Due lenti biconvesse sono posizionate lungo il cammino ottico di un fascio diluce, separate da una distanza d. Il fascio di luce e parallelo e esce parallelodopo le due lenti. Se si sposta la seconda lente di a si forma una immaginead una distanza b da essa. Noto il raggio di curvatura delle lenti R = 30 cm,a = 10 cm, b = 15 cm e d = 30 cm, determinare:

a. L’indice di rifrazione n della seconda lente;

b. la distanza focale f della prima lente.

Esercizio 105

La distanza focale di un microscopio e 5 mm, quella dell’oculare 48 mm. Unoggetto e posto ad una distanza dall’obbiettivo pari a 5.1mm: ricordando cheper un osservatore la “visione distinta” avviene per una distanza di 240 mm,calcolare:

a. la lunghezza del microscopio;

b. l’ingrandimento dell’oggetto.

Esercizio 106

Uno specchio sferico concavo circolare ha un diametro d = 30 cm e frecciaf = 1.5 cm, e riflette un oggetto posto a 4 m dalla sua sperficie.

a. Dove si forma l’immagine?

b. E’ reale o virtuale?

Esercizio 107

Si vuole proiettare l’immagine di un oggetto su uno schermo distante 3.20 m.Si hanno a disposizione tre diverse lenti, di focale, rispettivamente f =95, 80, 45 cm.

a. Come si possono posizionare le lenti?

Esercizio 108

Una sorgente luminosa si trova tra uno specchio e uno schermo paralleli.

a. Trovare la distanza dallo specchio per cui l’illuminazione dello schermodiventi (m/n) volte quella senza specchio.

Esercizio 109

76


Un oggetto si trova ad una distanza D da uno schermo. Si vuole proiettarel’immagine dell’oggetto sullo schermo ingrandita di un fattore I.

a. Che lente devo usare, e dove deve essere messa?

Esercizio 110

Un pesce si trova ad una profondita di p = 40 cm sotto la superficie di un lago(n = 1.33) ed e osservato da una lente convergente con focale f = 400 cmche si trova d = 20 cm sopra la superficie del lago. Determinare:

a. Dove e osservata l’immagine del pesce (che si assuma su asse otticodella lente)

b. Quale e l’ingrandimento con cui si vede il pesce?

Esercizio 111

L’indice di rifrazione puo essere aumentato diffondendo impurita in un mezzotrasparente: e possibile in questo modo costruire lenti di spessore constante.

a. Si consideri un disco di raggio a e spessore d, trovare n(r) per ottenereuna lente di focale F. Porre n(0) = n0.

Esercizio 112

Un oggetto lungo 5 mm e posto a 50 cm da una lente di una macchinafotografica, sull’asse ottico. L’immagine e focalizzata sulla pellicola ed elunga 1 mm. Se la pellicola viene spostata indietro di 1 cm, l’immaginesi sfocalizza di 1 mm (Cioe l’immagine di un punto luminoso diventa larga1 mm).

a. Calcolare il rapporto focale F della lente (F = f/D, D larghezzalente).

Esercizio 113

Un uomo di di 55 anni e in grado di mettere a fuoco immagini poste tra100 e 300 cm. Si consideri l’occhio come un sistema ottico formato da unalente convergente con focale variabile (cristallino) posto a 2 cm dallo schermo(retina).Determinare:

a. la lunghezza focale del cristallino al punto lontano;

b. quella del punto vicino;

c. la lunghezza focale nella parte inferiore delle sue lenti bifocale permettere a fuoco un punto distante 25 cm;

77


d. perche e necessario che le lenti siano bifocali.

Esercizio 114

In ambito astronomico e stato proposto uno specchio parabolico ottenutoruotando mercurio (liquido) attorno ad un asse.Determinare:

a. la forma dello specchio che si ottiene in questo modo: l’equazione dellasuperficie e l’equazione ottica dello specchio;

b. la velocita angolare cui si deve ruotare il mercurio per avere unadistanza focale di 10 cm.

Esercizio 115

Uno specchio sferico orizzontale focalizza luce parassiale (prossima all’asse eparallela) ad una distanza di 20 cm. Si riempie la concavita dello specchiocon acqua (n = 4/3) e si illumina il sitema dall’alto attraverso un forellinopraticato su uon scehrmo pure orizzontale.

a. Determinare la distanza alla quale si deve porre lo schermo foratoperche l’immagine sia a fuoco sullo schermo stesso (autocollimazione).

Esercizio 116

Due vetri di orologio identici (concavo-convessi con uguale curvature equindi a spessore costante) sono incollati tra loro al bordo e uno dei duee riflettente dalla parte interna. In condizioni di autocollimazione (vediproblema precedente) il fuoco e ottenuto a 20 cm.

a. Determinare la distanza L per ottenere autocollimazione se lo spaziotra i due vetri e riempito di acqua (n = 4/3).

Esercizio 117

Un oggetto e posto a 10 cm da una lente convergente con focale fc = 10 cm:successsivamente si trova, ad una distanza d = 5 cm, una lente divergentecon focale fd = −15 cm.

a. Determinare posizione, ingrandimento e tipo dell’immagine finale.

Esercizio 118

Un sistema ottico e formato da due lenti convergenti L1 e L2, di focalef1 = 10 cm e f2 = 90 cm, rispettivamente, poste ad una distanza di 60 cmtra di loro, sullo stesso asse ottico.

78


Un oggetto di dimensioni L = 10 cm e posto sull’asse ottico del sistema, adun distanza di 30 cm da L1 dalla parte opposta di L2.

a. Determinare posizione, ingrandimento e tipo dell’immagine finale.

Esercizio 119

Un oggetto luminoso di dimensioni trasversali non nulle e posto alla sinistradi una lente convergente di focale f = 10 cm di h = 40 cm. Una secondalente convergente di focale f = 20 cm e posta alla destra della prima ad unadistanza di 30 cm.Determinare:

a. il diagramma dei raggi luminosi;

b. la posizione dell’immagine finale;

c. l’ingrandimento dell’immagine.

79



a. d = fI + fIIConsidero la seconda lente 1/p+ 1/q = 1/fp = (d + a) − fI , q = b , Ottengo, risolvendo il sistema:

fII =a2

(

−1 +√

1 + 4ba

)

= 8.23 cm1fII

= (n− 1) 2R

, n = 1.61

b. fI = d− fII = 21.77 cm


a. La lunghezza del microscopio e in pratica la distanza tra l’oculare el’obbettivo. Considero l’obbiettivo:1/p+ 1/q = 1/f , q = 255 mmL’oculare deve essere posizionato in modo che l’immaginedell’obiettiva sia sul suo piano focale. Quindi: Lmicroscopio = q+foc =∼30 cm

b. Ingrandimento dell’obbiettivo: Iob = q/p ∼ 50Ingrandimento dell’oculare: Ioc = Ld/foc = 5Ingrandimento microscopio: I = Iob × Ioc = 250


a. Considero arco di cerchio con diametro d e freccia f e con raggio dicurvatura R:(R− f)2 + (d/2)2 = R2 , R = f2+(d/2)2

2f= 75.8 cm

1d+ 1

l= 2

R, l = 41.8 cm

b. Visto che l’oggetto si trova ad una distanza maggiore della distanzafocale dello specchio, l’immagine e reale.


a. 1/p+ 1/q = 1/f , d = p+ q

Che risolto fornisce: p1,2 = d/2±√

(d/2)2 − fd

L’equazione ha soluzioni reali solo se f ≤ d/4 = 80 cm

f = 95: non ha soluzioni: impossibile

f = 80: 2 soluzioni conicidenti: p = q = d/2. Ingrandimento I = 1

80


f = 45: 2 soluzioni simmetriche: p1 = 2.66 m, I1 = 0.2 e p2 = 0.54 m,I2 = 4.9


a. L’illuminazione dello schermo e pari al flusso di energia che lo colpisce.La sorgente emette luce in modo isotropo, quindi il flusso per unitadi superficie risulta proporzionale a: I = I0

r2, dove r e la distanza tra

la sorgente e la superficie considerata.Sia d la distanza della sorgente dallo schermo, e x quella della sorgentedallo specchio. Lo specchio forma una immagine della sorgente aduna distanza pari a d+2x dallo schermo. L’illuminazione totale delloschermo e quindi pari a Itot = Idiretta + Iriflessa =

I0d2

+ I0(d+2x)2

ItotIdiretta

= 4x2+4dx+2d2

(d+2x)2= m

n

x = −d2·(

1±√

nm−n

)

Si trova che m e n sono limitati dalle seguenti relazioni: m > n,m ≤ 2n; il che significa che, al massimo, l’intensita puo essereraddoppiata. m = 2n se x = 0, cioe la sorgente e addossata allospecchio. Attenzione: non e la condizione di massima illuminazione.


a. Sia x la distanza tra la lente e lo schemo, e f la distanza focale dellalente.Considero l’ingrandimento: I = x

D−x= x−f

f. Che risolta porge:

x =D±

√D2−4f

2

Da cui si ricava che l’ingrandimento vale I =D±

√D2−4f

D∓√

D2−4fe la distanza

focale deve essere f = DII+1


a. Se considero solo l’acqua, profondita apparente del pesce e p′ = pn=

30 cm, ingrandimento trasversale I = 1.Considero la lente: 1/p + 1/q = 1/f ; q = −60 cm, ingrandimentotrasversale I = q/p = 6/5Il pesce viene visto da osservatore ad una distanza di 60 cm dallalente, dalla parte opposta all’osservatore (immagine virtuale), quindiviene visto nella stessa posizione in cui si trova realmente.

b. L’ingrandimento trasversale del pesce e pari a I = 6/5,

81



a. E’ necessario ritardare la fase di una onda piana che colpisce il discoin modo che l’onda uscente abbia superfici con fase costante pari asemisfere con centro nel fuoco della lente.Se considero un raggio luminoso sull’asse e uno che colpisce il discoad una distanza r dall’asse, il ritardo di fase h dovra essere tale dasoddisfare l’equazione (h+ F )2 = r2 + F 2 dove F e la distanza focaledella mia lenta, ovvero il centro delle onde semisferiche che fuoriesconodal disco. Con la solita approssimazione di raggi parassiali (r ≪ F ),risulta: h = r2

2F

Tale differenza di cammino ottico e dovuta al diverso indice dirifrazione che incontra il raggio assiale da quello laterale.h = (n(r) − n(r = 0)) · d = r2

2Fcioe l’indice di rifrazione in funzione

della distanza dall’asse (r) dovra risultare:n(r) = n0 − r2

2dF


a. Dall’ingrandimento trasversale: I = qp

= 15

e dall’equazione dei

punti coniugati 1f

= 1p+ 1

qricavo q = 10 cm, e conseguentemente

f = 8.33 cm.Considero l’immagine sfocata, e considero i raggi luminosi che passanoper la parte distale della lente: essi vengono focalizzati nel pianofocale e poi definiscono la larghezza dell’immagine sfocata. Quindi idue triangoli aventi come vertice il fuoco e come basi rispettivamentela lente (D) e l’immagine sfocata s sono simili: le loro altezze conorispettivamente q e d.Quindi ricavo: D = s

dq = 1 cm. Infine, F − number = f

D= 8.33


a. Considero inizialmente il punto lontano e l’equazione dei punticoniugati 1

f= 1

p+ 1

q.

La distanza tra l’immagine e la lente e la profondita dell’occhoiq = 2 cm (un valore di 24 mm sarebbe mediamente piu corretto).p = 300 cm, quindi fFAR = 1.987 cm PFAR = 50.3 D.

b. Al punto vicino: p = 100 cm, fNEAR = 1.961 cm PFAR = 51 D.

c. Per un occhio normale, la distanza di visione distinta e circa 25 cm:oggetti piu vicini non vengono messi a fuoco corretamente. In questacondizione, il potere diottrico del cristallino e pari a Pdistinta = 54 D.

82


Nell’ipotesi che cristallino e lente di correzione si possano considerareaddossate (ipotesi che vale per lenti a contatto, ma non per occhialiordinari):1f= 1

focchio+ 1

flente

Il massimo potere diottrico dell’occhio del soggetto e 51 D, quindi lalente ne deve fornire Plente = 3 dt per arrivare a equagliare il poterediottrico di un occhio normale.Analogamente, al punto lontano, un occhio normale deve essere ingrado di mettere a fuoco un oggetto all’infinito (se vogliamo esserepiu precisi, ad una distanza maggiore della distanza iperfocale). Inquesto caso Pinfinito = 50 D e la lente deve fornire un contributo paria Plente = −0.3 D, quindi serve una lente divergente.


a. Considero un elemento di volume dV sulla superficie del mercurio, cheforma un angolo θ rispetto all’orizzontale. Le forze che agiscono suquesto volumetto sono: forza peso, forza centrifuga (e un sistema noninerziale) e forza di reazione. Sia x l’asse orizzontale (verso l’esterno),e y quello verticale (verso l’alto).~Fg = −gρdV y , ~Fc = ρω2rdV x ~R = −( ~Fg + ~Fc)

dzdr

= tan θ = Fc

Fg= ω2r

g

Risolvendo l’equazione differenziale: dz = ω2rgdr con condizione al

contorno Z(r = 0) = 0, si ottine z(r) = ω2r2

2g

Quindi si tratta di una parabola.

b. Il fuoco di una parabola y = ax2 con vertice in (0, 0) e in (0, 14a). Per

noi F = (0., g2ω2 )

Quindi per avere f = 10 cm ω = 7 rad/s


a. Per lo specchio f = R/2 = 20 cm quindi R = 40 cm.Si consideri ora lo stesso specchio riempito d’acqua: considero sempreraggi parassiali. Essi vengono riflessi dallo specchio in modo taleda essere focalizzati ad una distanza pari a f da esso anche inpresenza del liquido. I raggi riflessi, uscendo dall’acqua, vengonorifratti secondo le leggi di Snell. Sia O il centro dello specchio,F il fuoco in assenza di acqua, F ′ quello con l’acqua e A il puntodove un generico raggio riflesso attraversa l’interfaccia acqua-aria 1.L’angolo con il quale i raggi vengono riflessi dallo specchio (rispetto

1NdA: un disegno aiuterebbe...

83


alla verticale) e tan θ = AOFO

e l’angolo con il quale gli stessi raggiescono dall’acqua: tan θ′ = AO

F ′O. Inoltre, per angoli piccoli, nθ = θ′.

Quindi: FO′ = FOn

= 15.Piu semplicemente, si tratta di un diottro aria acqua con raggio dicurvatura infinito, quindi 1/p = −n/q. Per raggi incidenti, p = ∞quindi anche q = ∞, cioe non vengono deviati. Per quelli in uscita,q = − p

n, con p = −R

2.

Dalla legge dei punti coniugati: 1p+ 1

q= 2

x= 1

f ′ si ricava x = 2f ′ =30 cm


a. In aria, il primo vetro non fa nulla, perche il suo spessore e costante,il secondo agisce come uno specchio sferico f = R

2. In condizioni di

autocollimazione, x = 2f = R = 20 cm.Se all’interno c’e’ acqua, questa si comporta come una lente cheviene attraversata due volte, prima e dopo la riflessione dallo specchiointerno. Da notare che il sistema si puo scomporre in questi fattori:una lente piano-concava, la cui superficie concava e data dal primovetro d’orologio (quello trasparente), con incollato uno specchio sfericoriempito di acqua. Inoltre, le lenti piano-concave hanno da un lato nonaria, ma acqua, quindi un mezzo con indic di rifrazione n. In questocaso, la legge dei punti coniugati e 1

p+ n

q= 1

f. La focale della lente e

1f= (n− 1) 1

R

In alternativa, si puo considerare che la lente sia in aria, e che lospecchio sia in acqua. Per cui cambia la distanza focale dello specchiof ′ = f/n (vedi esercizio precedente): ossia si puo immaginare dimettere uno spessore constante di aria in mezzo alla lente.Il raggio di luce incontra quindi, nell’ordine: una lente piano concava,uno specchio sferico in acqua, di nuovo la lente piano concava.L’immagine di ogni elemento e la sorgente per l’elemento successivo.Prima lente (x e posizione immagine): 1

L+ n

x= n−1

RSpecchio (y e

posizione immagine): − 1x+ 1

y= 2

RSeconda lente (L e distanza di

autocollimazione): −ny+ 1

L= n−1

R.

Risolvendo il sistema si ottiene L = 12 cm.


a. Per la prima lente l’oggetto si trova sul fuoco, quindi l’immaginee all’infinito q1 = ∞. Per la seconda lente: p2 = ∞ quindi

84


q2 = f2 = −15 cm. Quindi la posizione dell’immagine coincide conquella dell’oggetto.Dato che abbiamo immagini all’infinito, non si puo parlare diingrandimenti trasversali, ma occorre ragionare con gli angolo.L’angolo sotto il quale viene vista l’immagine della prima lente eθ = L

f1, essendo L la dimensione trasversale dell’oggetto. Dopo la

seconda lente, l’immagine viene sempre vista sotto lo stesso angolo, maadesso ad una distanza f2 dalla lente. Quindi le dimensioni trasversalidell’immagine della seconda lente risultano: L′′ = θf2 = Lf2

f1.

L’ingrandimento quindi risulta I = f2f1. Il sistema ottico ricorda un po’

il telescopio, con pero immagini intermedie all’infinito e non l’oggettoe l’immagine finale.L’immagine e’ ovviamente virtuale, e risulta non invertita.


a. L’immagine di L1 e reale, invertita. 1p1

+ 1q1

= 1f1

porge: q1 = 15 cm.L’ingrandimento e I1 =

q1p1

= 0.5.L’oggetto della seconda lente si trova a p2 = 45 cm da essa, el’immagine, usando l’equazione delle lenti, si trova a q− 2 = −90 cm.L’immagine e’ non invertita e virtuale. L’ingrandimento risulta I2 =−2.Quindi la posizione dell’immagine finale e a 30 cm prima della primalente, quindi coincide con l’oggetto, l’ingrandimento totale e I = −1,quindi ha le stesse dimensioni trasverse, ma risulta invertita rispettoall’oggetto.


a. L’immagine finale e virtuale, rovesciata e risulta ingrandita.

b. L’esercizio e del tutto analogo al precedente, si danno solo i risultatinumerici.Immagine prima lente: q1 = 40/3 cm. Immagine seconda lenteq2 = −100 cm

c. Ingrandimento Itot = −2

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