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6. Cariche elettrichee loro moto in campidi forza

Elettrodinamica e MagnetofluidodinamicaCorso del CdL in Ingegneria dell’Energia ElettricaAnno Accademico 2019/2020

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

2Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Moto di una particella carica in campi di forza Moto in campi EM

Una particella di carica q (elettrone o ione o anche altro) e massa m, in moto in un campo elettromagnetico muove secondo le leggi si seguenti:

F = q(E + w×B)dwdt = q

m(E + w×B)

E, B: campo elettrico e campo di induzione magnetica;w: velocità della particella;FE = qE: (forza elettrica o di Coulomb) FE parallelo ad E;FL = qw x B: (forza magnetica o di Lorenz) FL perpendicolare a B e w,

perciò la forza magnetica non compie lavoro.


Moto di una particella carica in campi di forza

Moto in campo elettricoCampo B nullo (E ≠ 0, B = 0):

Una particella in moto in un campo elettrico è soggetta ad una forza elettrica (forza di Coulomb) data da:

FE = qEdwdt = q

mE

E: campo elettrico;w: velocità della particella;FE // E qualora E sia stazionario ed uniforme

il moto risulta uniformemente accelerato nella direzione di E.

q

FE= qE


Moto di una particella carica in campi di forza Moto in campo magneticoCampo E nullo, B ≠ 0, B stazionario ed uniforme:

Una particella in moto in un campo magnetico ad una forza magnetica forza di Lorenz data da:

FL = q (w×B) dwdt = q

m (w×B)

B: campo magnetico;w: velocità della particella;FL⊥B qualora w sia perpendicolare a B,

la direzione di FL è normale al sia a B che a w. FL perciò è una forza centripeta. Se B è staziona-rio ed uniforme il moto è circolare uniforme.

w

.y

xz

r

wwx

y

.B

F^


Moto di una particella carica in campi di forza

Moto in campo magneticoCampo E nullo, B ≠ 0, B stazionario ed uniforme, B normale a w

Per un moto circolare uniforme dall’ugua-glianza fra forza centripeta e accelerazione centripeta si ottiene:

w2

r = |q|wBm

w = wr = |q|Bm velocità angolare

r = ww = wm|q|B raggio di girazione

w

.y

xz

r

wwx

y

.B

F^

6

Moto di una particella carica in campi di forza Moto in campo magneticoCampo E nullo, B ≠ 0, B stazionario ed uniforme, B normale a w

L’equazione del moto è:

dwdt = q

m (w×B)

dwxdt = qB

m wy wx = wcos(wt + a)dwydt = − qB

m wx wy = ∓wsin(wt + a)

• a angolo di fase definito dalle condizioni iniziali,

• w = |q|Bm velocità angolare o frequenza di ciclotrone/frequenza di Larmor.

• xG, yG centro di girazione,

• r = ww = wm|q|B raggio di girazione o di Larmor.

w

.y

xz

r

wwx

y

.BF^ xG,yG

7

Moto di una particella carica in campi di forza Moto in campo magneticoCampo E nullo, B ≠ 0, B stazionario ed uniforme, B non perpendicolare a w//

Dall’equazione del moto la compo-nente della velocità che contribuisce alla accelerazione centripeta è la com-ponente di normale a B, w⊥. Perciò Induce un moto circolare uniforme inUn piano ad esso normale come visto precedentemente. In tal caso però w⊥sostituisce w. Tale piano si muove in direzione di B con velocità w//, componente di w parallela a B, senza subire accelerazione a causa di B. In tal caso il centro di girazione sai muove nella direzione di B con velocità w// .

r = ww = w m|q|B

⊥ ⊥


8

Moto di una particella carica in campi di forza Moto in campo magneticoCampo E nullo, B ≠ 0, stazionario ed uniforme,

Esempio:

Calcolo w ed r per elettroni con T = 1000 K

• w = 105 m/s (T ~ 1000 K per w derivante da agitazione termica)• B = 1 T • q = - e = - 1.6021 ×10-19 C• me = 0.911 × 10-30 kg


we = wr = e Bm = 1.8 × 1011 1/s

re = wwe= w m

e B = 5.7× 10-7 m

9

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, stazionari ed uniformi, E ⊥ B, w ⊥ B


La particella si muove attorno al centro di rotazione nel piano x-y a causa della forza di Lorenz indotta da B. Allo stesso tempo viene accelerata dalla forza di Coulomb dovuta a E. Dalla combinazione delle due forze si induce un moto del centro di girazione convelocità wD, moto di deriva, nella direzione perpendicolare ad E e a B.

.

10

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, stazionari ed uniformi, E ⊥ B, w ⊥ BPer q > 0 si induce un moto circolare in senso orario nel piano perpendicolare a B. La forza di Coulomb dovuta a E accelera la carica positiva quando si muove verso il basso e la decelera quando si sposta verso l'alto. Il raggio di rotazioner = wm/(q B), aumenta per l’aumento di w e diminuisce per la diminuzione di w. r raggiunge il suo valore massimo nella parte superiore della sua traiettoria e raggiunge il suo valore minimo nella parte inferiore. Ciò si traduce in una traiettoria epiciclica con una velocità di deriva wDE del centro di girazione perpendicolare a B e ad E (deriva di campo elettrico).

.

11

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, stazionari ed uniformi, E ⊥ B, w ⊥ B

Per q < 0 si induce un moto circolare in senso antiorario nel piano perpendicolare a B. L’accelerazione indotta da E si ha quando la particella si muove verso l'alto e la decelerazione quando si muove verso il basso. Il raggio di girazioner = wm/(q B), è massimo nel in alto ed è minimo nella parte bassa della traiettoria. Ciò risulta in una velocità di deriva di campo elet-trico wDE nella stessa direzione e verso indotta per la carica positiva.


.

12

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, stazionari ed uniformi, E ⊥ B, w ⊥ BLa velocità di deriva del campo elettrico dovuta a un campo elettrico è:

wDE = E×BB2

Si definisce un nuovo sistema di riferimento è per cui la velocità della particella è data da:

w’ = w - wDEL’equazione del moto è:

F = q(E + w×B) dwdt = q

m(E + w×B) dw’dt + d

dtE×BB2 = q

m E + w’×B + &B2 (E×B) ×B

dw’dt = q

m (w’×B)

Equazione di un moto circolare uniforme in un piano x-y con velocità wDErispetto al sistema ove la carica si muove con velocita w.

(E×B)×B = (E × B)'B - B2E = - B2E

13

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, staz. ed uniformi, E⊥B, w 𝑒 B non perpendic.

Quando w non è perpendicolare a B, cioè quando w// e w⊥ (w = w⊥ + w//, con w⊥ componente di w perpendicolare a B e w// componente di w parallelo a B) sono diversi da zero, il centro di girazione si sposta in direzione di B con velo-cità w//. w// rimane costante qualora E sia perpendicolare a B (E = E⊥). Il piano della velocità di deriva, si muove nella direzione di B con velocità w//.


E

E

w//

14

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo elettricoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, staz. ed uniformi, E 𝑒 B non perpendicolari

Quando E non è perpendicolare a B, si ha E = E⊥ + E//, con E⊥ componente diE perpendicolare a B e E// componente di E parallelo a B, entrambi diversi da zero. Si origina un moto di deriva normale a B ed E⊥, e con modulo

wDE = E×BB2 wDE = EB

E// stazionario uniforme produce un'accelerazione costante del centro di girazione nella direzione di B.


⊥

15

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di campo gravitazionaleCampo E = 0, mg≠ 0, B ≠ 0, staz. ed unif., B e mg non perpend.mg/q, come E, è un a forza per unità di carica che accelera la particella lungo la propria direzione. Come E⊥ anche mg⊥/q quindi dà origine ad un moto di deriva:

wDg = mg×BqB2 wDg = mg

qB⊥

•B

g

q > 0

q < 0

g ≠ 0g = 0

wD,g

wD,g

⊥ ⊥

⊥

⊥

In questo caso però il verso di wDg dipende dal segno di q. La particella è accelerata da mg⊥ con r in aumento quando si muove verso il basso. Il moto circolare è orario per q>0 e antiorario per q<0 con verso opposto di wDg.


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Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di curvaturaCampo E = 0, B ≠ 0 staz. e non uniforme (𝛁 ⊥B ≠ 0).

Pochè B è ovunque solenoidale, un gradiente di B non nullo è indice di una curvatura delle linee di forza. Una componente perpendicolare a B della variazione dell’induzione magnetica produce una deriva del moto della carica wDC, velocità di deriva di curvatura, che ha due cause: wDC = w’DC + w’’DC. La prima di esse è dovuta alla variazione del raggio di girazione r = mw/(qB) che

diminuisce con l’aumento di B. La seconda è dovuta ad una forza centrifuga che si induce sulla carica che si muove lungo le linee di flusso di B, come vedremo più avanti.


•B q > 0

q < 0

B ≠ 0B = 0wD,C

wD,CB

∇⊥ ∇⊥

∇⊥

17


Da una teoria del primo ordine la deriva di curvatura causata dalla variazione del raggio di girazione si ottiene:

w’DC = r 𝛁 B2B w⊥ w’DC = r

2R w⊥

dove R è il raggio di curva-tura di B. Si dimostra che, ipotizzando che nella regio-ne considerata non vi sia corrente, 𝛁×B = 0 e ∇⊥B/B = 1/R.


•B q > 0

q < 0

B ≠ 0B = 0wD,C

wD,CB

∇⊥ ∇⊥

∇⊥

⊥

18


Se w// ≠ 0, una componente del moto di q è lungo B, con raggio R (raggio di curvatura) la carica si muove lungo linee di flusso di B curve. su q agisce una forza centrifuga mw//

2/R, che, per unità di carica è mw//2/(Rq). Si quindi ha una

seconda componente della velocità di deriva di curva-tura perpendicolare a B ed a 𝛁 ⊥B :

.i

.

B

B

ΔT

m wR

2

w=w'+w"

B

!

mw//2

R

w’’DC = mw//2

BRq = w//2

RwPoiché le due velocità di deriva di curvatura sono nelle stessa direzione si ottiene:

wDC = w’DC + w’’DC

wDC = r2R w⊥+ w//

2

Rw =

= 1Rw

w 2

2 +w//2⊥

19

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di spostamentoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, E ⊥ B, B staz. e unif., E unif. non stazionario

Anche in questo caso due sono le cause che inducono deriva: la prima causa è la velocità di deriva di campo elettrico wDE , la seconda causa è dovuta alla non stazionarietà del campo elettrico, 𝜕E/ 𝜕t. La velocità di deriva indotta wDS è detta velocità di deriva di spostamento. Mentre wDE è nella direzione normale a B ed a E, wDS è nella direzione di E.


.B

E

y

x

z wDE

wDS

20

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di spostamentoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, E ⊥ B, B staz. e unif., E unif. non stazionarioSi considera E in direzione x e B lungo z. Si suppone inoltre, in prima approssimazione, una variazione del primo ordine ove:

E(t) = Ex(t)i = (Ex0 + Ex’ t)i con Ex’ = costanteDall’equazione del moto si ha:

dwdt = q

m(E + w×B) mq

dwxdt - wyB = Ex0 + Ex’ t

mq

dwydt + wxB = 0

mqB

d2wydt2 + wy = 1B Ex0 + Ex’ t


.B

E

y

x

z wDE

wDS

21

Moto di una particella carica in campi di forza Moto di deriva di spostamentoCampo E ≠ 0, B ≠ 0, E ⊥ B, B staz. e unif., E unif. non stazionario

mqB

d2wydt2 + wy = 1B Ex0 + Ex’ t

La soluzione dell’omogenea associata ha comesoluzione l’usuale velocità di deriva di campoelettrico wDE .

Una soluzione particolare wy’ dell’equazione non omogenea, porta ad una ulteriore compo-nente della velocità di deriva lungo x, la velocità di deriva di spostamento wDS:

wy‘ = - 1B Ex0 + Ex’ t che in m

qdwydt + wxB = 0

wDS = wx i = mqB2 Ex’ i = m

qB2.E.t i

.B

E

wDE

wDS

y

x

z


22

Moto di una particella carica in campi di forza Velocità di deriva

Ø Deriva di campo elettrico: wDE = EB (in y)

Ø Deriva di campo gravitazionale: wDg = mgqB (in y)

Ø Deriva di curvatura: wDC = 1Rw

w 2

2 +w//2 (in y)

Ø Deriva di spostamento: wDS = mqB2

.E.t (in x)

⊥

⊥

⊥


23

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in moto

/n

i S

Per un circuito piano percorso dalla corrente i si definisce come momento magnetico il vettore:

µ = iS /ndove S è l’area della superficie ed /n è il versore nor-male ad essa e verso determinato dalla regola della mano destra rispetto alla direzione della corrente i.

⊥

Per una particella carica in orbita attorno a B si definisce il momento magnetico della carca dato da:

µ = - pr2 qw2p

BB poiché: i = qw2p , S = pr2, /n = - B

B

µ = - 12 mw⊥

2 BB2 = - pr2 q2

2pm B poiché: w = wr = qBm

µ = pr2 qw2p = WB = q2

2pmFB dove: W⊥=12mw⊥

2, FB =p r2B

⊥

24

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in motoTeorema dell’invarianza di μ:

Per variazioni lente di B nel tempo e nello spazio, il momento magnetico associato al moto di una particella carica è in variante (costante nel tempo e nello spazio).

Si consideri una variazione lenta di B nel tempo. A causa di questa variazione si induce una f.e.m. efem sull’orbita della particella data da:

efem = ∮E ' dl = ∬SdBdt ' d/n dS ≅ pr2 dB

dtLa potenza elettrica PEl associata è data dalla f.e.m. per la corrente i= qω/(2π):

PEl = iefem = p r2 dBdt

qw2p = µ dB

dtPer la conservazione dell’energia, la variazione di energia cinetica W⊥ risulta uguale alla potenza elettrica PEl (non vi è influenza di B su q in direzione //):

PEl = dWdt

⊥

25


Teorema dell’invarianza di μ:

PEl = dWdt

dWdt = µ dB

dt poichè PEl = µ dBdt

Ma W⊥ = µB dWdt = µ dB

dt + B dµdt B dµ

dt = 0

Poichè B ≠ 0 dµdt = 0 cioè µ costante in t.

Analogamente si dimostra che, anche per lente variazioni di B nello spazioμ è costante. Perciò μ risulta essere un’invariante del moto.


⊥ ⊥

⊥

µ = W⊥/B

26

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in motoConseguenze dell’invarianza di μ:

Due sono le fondamentali conseguenze dell’invarianza di μ che caratteriz-zano il moto di una particella carica in un campo magnetico:1. Poiché µ ∝ FB, per l’invarianza di µ una carica si muove su orbite per

cui il flusso di B si mantiene costante. Poiché il flusso di un vettore solenoidale, quale è B, è costante attraverso le sezioni di un tubo di flusso, la carica deve quindi muoversi sulle superficie di un tubo di flusso di B.

2. Poiché µ = W⊥/B ed è invariante, quado aumenta B deve anche aumentare W⊥ e quando B diminuisce deve anche diminuire W⊥. Ma poichè B non compie lavoro sulla particella, W = W⊥ + W// = cost. Quindi quando aumenta W⊥, W// deve diminuire e quando diminuisce W⊥, W// deve aumentare sino alla riflessione del moto in direzione parallela.


27

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in motoUna particella carica quindi si muove su superfici di tubi di flusso di Bavvolgendosi attorno a B e con una componente della velocità in direzione parallela a B, che diminuisce quando B aumenta sino ad essere riflessa.

28

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in motoNel moto di una carica in un campo magnetico la diminuzione della sua velocità parallela al campo B, per B crescente, sino alla riflessione della particella carica, è conseguenza dell’invarianza del momento magnetico associato e della costanza della sua energia cinetica.


Per il moto nei punti a e b (vedi figura) di particelle cariche in un campo B si ha:

w 2

Ba= w

2

Bbw⊥a

2 + w//a2 = w⊥b

2 + w//b2

w//b2 = w//a

2 + w⊥a2 1- Bb

Ba

La componente w//b si annulla per:

⊥ a ⊥ b

w//a2

w8a

2 = BbBa

- 1

29

Moto di una particella carica in campi di forza Momento magnetico di una carica in motoRapporto di specchio

Si definisce rapporto di specchio quanto segue: R = BMaxBmin


Da: w//a

2

w8a

2 = BbBa

- 1

le cariche che partono da a e ven-gono riflesse dall’aumento di Bsono quelle per cui:

w//a2

w8a

2 ≤ R - 1

od anche wa

2

w8a

2 ≤ R

30


Cono di perditaSi definisce angolo di perdita quanto segue: tan qM = w a

2

w//a2 limite = R-1


Le cariche in a con direzione della velocità all’interno del cono di perdita definito dall’angolo q(con direzione di w rispetto all’asse q < qM) fuggono, quelle con direzione all’esterno (con direzione di w rispetto all’asse q > qM) vengono riflesse.

⊥

31


Fascie di van Allen


⊥

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in Ingegneria dell’Energia Elettrica

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