q

FE

EqF

Il campo è la regione di spazio in cui si

manifesta l’azione della forza elettrica

Il campo elettrico

le linee di forza sono uscenti dalle cariche positive

ed entranti in quelle negative

il campo si rappresenta mediante le linee di forza

il campo è tangente alle linee di forza

il numero di linee che attraversano una superficie unitaria è proporzionale

all’intensità del campo

campo elettrico generato da una carica puntiforme q

20

04

1

r

qqF

200 4

1

r

q

q

FE

vale il principio di sovrapposizione

0q

FEE i

i

2

04

1

r

dqE

dipolo elettrico

se le cariche non sono puntiformi ma distribuite su

corpi di dimensioni finite

se un campo ha modulo e direzione costante in ogni punto dello

spazio è detto uniforme (distribuzione uniforme di cariche)

dqp

momento di dipolo elettrico

momento torcente

dipolo in un campo elettrico (es. la molecola di H2O)

Ep

nAA

A

v

vettore areale

Flusso di un vettore

Il teorema di Gauss

8

AdEerficie

i

i

A

AEi

sup0

lim

AdEAE

i

i

Superficie Chiusa: Superficie che divide lo spazio in una regione «interna» e una regione esterna

204

1

r

qE

0

2

2

0

44

1

qr

r

qEAdAE

EdAAdE

i

iq

0

il flusso elettrico attraverso unasuperficie gaussiana è proporzionale alnumero di linee che entrano ed esconodalla superficie

Carica puntiforme:

0

24

q

rEdAEEdAAdE

0

24

1

q

rE

campo elettrico generato da una carica puntiforme

Alcuni esempi:distribuzione di carica a simmetria sfericadistribuzione su una/due lamine piane

la simmetria

Sistemi a simmetria piana

• Superficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra

• Il flusso vale:

• Il teorema di Gauss dice che:

• Quindi, usando la densità superficiale di carica, si ha:

EAEdSS

E 2

0

2

QEA

02

E

A

qint

Doppia Piastra

La carica totale, prendendo un cilindro che racchiude le due piastre, è uguale a zero, da cui E=0

Se si considera un cilindro interno alle due piastre si ottiene

E= /0

✓ E = 0 all’interno del conduttore✓ la carica risiede sulla superficie✓ E = /0 in un punto prossimo alla superficie del conduttore e ad essa✓ la carica si accumula nei punti della superficie a curvatura maggiore (punte)

0

int

qEAAdE

00

E

AEA

A

qint

teorema di Coulomb

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Piano conduttore carico

La superficie del cilindretto immersa nel conduttore ha flusso nullo: l’unico contributo non nullo è attraverso la superficie superiore, per cui, il campo totale vale E= /0

Consideriamo ora un piano metallico con distribuzione di carica

+ + + ++ + + + + ++ +

Cilindretto su cui applichiamo il th di GaussE

Gabbia di faraday

All’interno di un conduttore cavo, per il teorema di Gauss il Campo Elettrico è nullo. La carica si distribuisce sulla superficie in modo da schermare l’interno dal campo elettrico esterno

Moto di una particella carica in un campo elettrico uniforme

m

Eqa

amEqF

Moto parabolico

In un punto P il campo elettrico creato da una carica di 6 · 10-8C vale 60 N/C. Qual è la distanza dal punto P dalla carica che genera il campo ?

All’interno di un nucleo di un certo elemento chimico, la forza di repulsione tra due protoni vale circa 4,2 N. A che distanza l’uno dall’altro si trovano i due protoni all’interno del nucleo? (carica del protone = + 1,6 · 10-19 C).

Un campo elettrico è dovuto alla carica Q = + 0,02 C. Calcola:· L’intensità del vettore campo elettrico nel punto A a 5 m di distanza da Q.· L’intensità, la direzione ed il verso della forza che subirebbe una carica di 3 mCmessa posta in A.· Quanto vale il campo elettrico in A se, oltre alla carica Q, si trova, sulla linea di forzapassante per A, a 3 m di distanza se dalla parte opposta rispetto a Q, una carica Q´ di-3 mC

A3 m 2 m 3 m

Nr

qqFq 4

39

2

0

0

1016.225

10302.0109

4

1

mNr

QEQ /103

9

103109

'

4

1 63

9

2

0

'

mNEE QA /1036.91016.2102.7 666

'

Quale è il lavoro compiuto per muovere un protone in un campo uniforme da 200 N/C per 2 m?

F=qE

A

B

CD

BA

B

A

B

A

ABrr

qqdr

r

qqrdFL

11

44

1

0

0

2

0

0

LBC = LDA = 0 (F spostamento); LCD = -LAB Ltot = 0 F è conservativa

Energia potenziale elettrostatica: è il lavoro compiuto dalle forze del campo per portare la carica q0 immersa nel campo E da un punto A ad un punto B lungo un

percorso qualunque

BAAB UUL

B

A

B

A

ABAB sdEqsdFLUUU

0

il campo elettrico è conservativo

Le forze elettriche sono conservative

• Consideriamo una particella carica che si spostaattraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico:

una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissala carica negativa possiede più energiapotenziale e meno energia cineticalontano dalla carica fissa positiva, e …più energia cinetica e meno energiapotenziale vicino la carica positiva fissa.L’energia totale si conserva

+

-

posizione di riferimento (U = 0) U(P) = lavoro compiuto dalle forze del campo per portare una carica di prova da P all’infinito

P

P

PP

PP

sdEqsdEqLU

LUU

00

[U] = [L] nel S.I. si misura in J

0q

UV

B

A

AB sdEq

L

q

UV

00

il potenziale in un punto è l’energia potenziale per unità di carica

000 q

L

q

U

q

UVVV ABAB

AB differenza di potenziale tra 2 punti

[V] = [U / q0] nel S.I. si misura in Volt, 1V = 1J / C

Potenziale elettrico

Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forzauguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa dellapresenza del campo E.

essendo: lavoro = forza spostamento

A B

q0 E

Felet

Fapplicata = -Felet

ÞIndipendente dalla carica.

P

P

PP sdEqsdEqLU

00

B

A

AB sdEq

L

q

UV

00

La d.d.p. è una misura del lavoro che una carica può compiere

EddsEEdssdEVVV

B

A

B

A

B

A

BA

EdEldsEdsEsdEVV

C

A

C

A

C

A

CA coscoscos

lAC

dAB

VB = VC superfici equipotenziali (superfici alle linee di E)

A B

CDifferenza di potenziale in un campo elettrico uniforme

Superfici equipotenziali

Si chiama superficie equipotenziale • il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico

assume uno stesso valore• La superficie equipotenziale è perpendicolare in ogni punto

alla linea di forza del campo che passa per quel punto

Se tra due armature vi è una d.d.p. di 10 V e una forza esterna spostasse unacarica da 1 C da un punto a ad un punto b vicine alle due armature, la caricaacquisterebbe una energia potenziale = (1 C) x 10 V) = 10 J.Se la carica valesse 2 C l’energia potenziale acquistata sarebbe di 20 J

La d.d.p. è una misura del lavoro che una carica può compiere

1 eV = 1.6 x 10-19 CV = 1.6 x 10-19 JElettronvolt:

Potenziale dovuto ad una carica puntiforme

P

PPP

PPP

PP

r

q

rr

q

r

q

r

drqdr

r

qsdE

q

UV

1

4

11

4

1

4

44

1

000

20

200

r

qrV

04

1

potenziale dovuto ad una distribuzione

continua di cariche r

dqV

r

dqdV

00 4

1

4

1

per un insieme di cariche puntiformi:

i

ii

r

qVV

04

1

dr

dVE

r

qrV

04

1

204

1

r

qrE

P

P sdEV

carica puntiforme

relazione tra campo e potenziale

Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale

•mattone spostato yi yf carica spostata rf

L = F d cos(q)Gravità Elettrico

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

Fg=mg

yi

yf

Fg=mg

h

FG = mg (giù)

LG = -mgh

UG= +mgh

rf

FE = kq1q2/r2

(sinistra)

LE = -kq1q2/rf

UE= +kq1q2/rf

FE

Calcolare il potenziale in un punto posto a 50 cm da una carica puntiforme di 10 mC. E se la carica fosse stata -10 mC?

Vxxx

r

qrV 5

69

0

108.15.0

)1010(109

4

1

Vxxx

r

qrV 5

69

0

108.15.0

)1010(109

4

1

Due armature piane e parallele sono caricate affinché vi sia una d.d.pdi 120 V. Se la distanza è di 1 mm, quanto vale il Campo Elettrico? Cosa accadrebbe se le due armature fossero poste a 10mm?

mmKVmVxxdr

dVE /120.0/10120

101

120 3

3

3 KV/mm

Rigidità dielettrica dell’aria

mmKVmVxxdr

dVE /12/1012

1010

120 6

6

Valutare il campo Elettrico e il potenziale nel punto O, considerando che tutte le cariche poste ai vertici valgono 0.2 C e il lato vale 10 cm

Valutare il campo Elettrico e il potenziale nel punto P posto a 10 cm da A, considerando che tutte le cariche poste ai vertici valgono 0.2 C e il lato vale 10 cm

P

Potenziale di un conduttore carico isolato

✓ogni punto della superficie del conduttore si trova allo stesso potenziale

✓il potenziale all’interno del conduttore è costante (schermi elettrostatici e gabbia di Faraday)✓l’intensità di E è grande nei punti che hanno un

raggio di curvatura piccolo e convesso (potere delle punte)

0 B

A

AB sdEVV

Filo conduttore

Essendo un unico conduttore il potenziale è costante:

2

1

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

01

1

0 4

1

4

1

r

r

r

r

r

r

r

r

q

q

S

q

S

q

r

r

q

q

r

q

r

qrV

Da cui:Se r1>r21<2

2

2

0

2

1

1

0

1

4

1

4

1

r

qrV

r

qrV

Due cariche puntiformi di grandezze 4×10-8 C e 9×10-8 C si trovano nel vuoto a 50 cm di distanza. In quali punti si annullano l’intensità del campo elettrico e il potenziale ?

q1 q250 cm

2

1

0

14

1

r

qE

21 EE

2

2

0

2)50(4

1

r

qE

2

2

2

1

)50( r

q

r

q

Il potenziale non può essere mai nullo in questo caso (somma fra termini positivi)

La differenza di potenziale che dà origine ad un fulmine può raggiungere 109 V e la carica coinvolta può arrivare fino a 40 C. Quanta energia è liberata nella scarica?

0q

UV

JxqVUEn

91040

un’area pari al Portogallo

Sardegna

Condensatori

Il condensatore è il sistema più semplice per avere un

campo elettrico costante e poter immagazzinare energia

elettrostatica.

Consideriamo due piani metallici separati da un isolante.

Il processo di carica termina quando i morsetti della

batteria e i piani del condensatore sono uguali

Simbolo del condensatore

++

+

+

Carica

Q

Potenziale VV 2V

Q

2Q

1

1

04

1

r

qrV

La carica Q su di un conduttore isolato e il suo potenziale V sono direttamente proporzionali.

Condensatori

Q = CV

[C] = [q/V]

nel S.I. si misura in Farad,

1F = 1C/V

…si usano i sottomultipli

Si dice Capacità di un conduttore il rapporto tra

la sua carica e il suo potenziale, cioè la carica

per unità di potenziale

la carica Q e il potenziale V sono

proporzionali, e la proporzionalità è la

capacità C del condensatore.

Condensatori

Capacità, Condensatori e dielettrici

La capacità di un conduttore dipende

- dalla sua forma

- dalla presenza di altri conduttori

- dall’isolante interposto (dielettrico).

Capacità di un conduttore sferico

isolato

++

+

+

R

QkV R

k

R

R

Qk

Q

V

QC

04

RC0

4

La capacità del conduttore sferico isolato dipende solo dal

raggio e dal dielettrico.

Capacità, Condensatori e dielettrici

Capacità della Terra

Il risultato precedente ci permette di calcolare la capacità

del globo terrestre che è un conduttore.

FF

C

Nm

m

k

RC m70810708,0

109

1037,6 3

2

2

9

6

Induzione elettrica

46

+ +

++

+++++ + + +

Condensatore piano

S

QE

00

EdxxExdExdEV

12

d

S

SQd

Q

Ed

Q

V

QC 0

0

- Determinare la capacità di un condensatore a facce piane e parllelecon armature costituite da rettangoli metallici (10 cm x 2 cm) separati da uno strato di aria di 1 mm- Determinate la carica su ciascuna armatura se collegato ad una batteria da 12 V. - Calcolate il campo elettrico nella regione tra le armature - stimate la superficie delle piastre necessarie per ottenere la capacità di 1 F.

pFd

SC 7.17107.17

101

1021085.8 12

3

312

0

Q = CV=17.7 x 10-12 x 12= 0.212 nC

mVdr

dVE /1012

101

12 3

3

!!!!!!10000

101.11085.8

1101 28

12

3

0

ml

mC

dS

A seconda di quale isolante è interposto fra le armature la capacità di un

condensatore cambia valore.

La presenza di un dielettrico comporta l’esistenza di una tensione massima

sopportabile. Quando si supera quel valore si avrà una scarica elettrica che

buca il dielettrico.

C = 0A/d : capacità di un condensatore in vuoto

C = rC0 :condensatore con un dielettrico

La presenza di un dielettrico aumenta la quantità

di carica di un fattore r a parità di V

Se si ha un condensatore senza dielettrico e

successivamente si inserisce un dielettrico r

allora il potenziale si riduce di r a parità di Q

Q = CV

La capacità di un condensatore aumenta di un fattore r

se tra le sue armature si pone un dielettrico.

Dove

C0 = capacità nel vuotor = costante dielettrica relativa

del dielettrico

0CC

r

Condensatori e dielettrici

+Q -Q

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

+Q -Q

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

- + - +

EpE0

Effetti molecolari nei dielettrici

• Dielettrici con dipolo permanente: in questo caso le

molecole polari tendono ad allinearsi con il campo, ma

l’agitazione termica inibisce questo processo ed il campo che

si oppone è minore del campo del condensatore. Se si

aumenta il campo l’allineamento aumenta.

• Se il dielettrico è inizialmente neutro la presenza del campo

sposta il baricentro delle cariche positive da quello delle

cariche negative. Si crea un campo elettrico opposto a quello

delle piastre è la somma vettoriale è il campo risultante.

• Entrambi i dielettrici considerati riducono il campo e

aumentano la capacità poiché la carica rimane costante

C = q/V

Energia di un condensatore

22

0 2

1

2''

1CV

C

qdqq

CVdqdLL

q

+_

Per caricare condensatore piano dovremo fornire delle cariche ai due

piatti.

Man mano che i piatti si caricano le nuove cariche dovranno vincere

sempre più forza repulsiva dovuta alla presenza delle cariche

precedenti.

Il Lavoro necessario a vincere la forza repulsiva è fornito dalla energia chimica

di una batteria e si immagazzinerà nel condensatore sotto forma di energia

potenziale elettrica U.

In un certo istante q’ sarà la carica accumulata dal condensatore ed il suo

potenziale sarà V’ = q’/C. L’incremento di una successiva quantità di carica dq’

richiederà un lavoro dL = V’dq’ = (1/C)q’dq’

Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenziale fra le piastre del

condensatore U = ½ CV2

energia immagazzinata in un condensatore

C

qdqVdqdL U

C

Qdq

C

qL

Q

2

2

0

22

2

1

2

1

2VCVQ

C

QU

condensatore piano

d

SC

EdV

0

Densità di energia - Condensatori

Tenendo conto che

Volume

EnergiaEnergia Densità

d

SC e che EdV

Avremo: SdEdEd

SCVL

222

2

1

2

1

2

1

2

2

1 E

Volume

Energia

Sd

L Densità di

Energia:

Densità di energia

2

0

2

02

1

2

1E

d

VU

In qualunque punto dello spazio dove ci sia un campo elettrico E la sua densità di energia è data da

La formula precedente associa l’energia accumulata al campo

elettrico tra le armature del condensatore.

Può essere generalizzata a qualunque campo elettrico comunque

generato.