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Dinamica

Monaco Alfonso

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Primo Principio (Principio di inerzia)

n  Se la sommatoria delle forze Fi agenti su un corpo è nulla allora il corpo manterrà il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché un’altra forza non agirà su di esso:

Fi = 0i=1

n

∑

v = 0; v = cost

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Secondo Principio

X

Y

F10

F1 F2

F3 F4

F6 F7

F9

Fi =m*ai=1

n

∑

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Terzo Principio (Principio di azione e reazione)

n  Per ogni forza che un corpo A esercita su di un altro corpo B, ne esiste un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dal corpo B che agisce sul corpo A.

FAB = - FBA

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Esercizio (traccia)

n  Un oggetto di massa m = 50 kg è sostenuto da due funi, una orizzontale (verso negativo delle X) e l’altra inclinata di un angolo α = 50° con la verticale.

n  Determinare le due forze che sollecitano le funi (tensioni) in condizione di equilibrio, supponendo nulle le loro masse

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Esercizio (soluzione)

1.  M = 50 kg, α = 50° •  Τ1, Τ2 = ?

T2 T1

Fg

α

x

y

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Esercizio (soluzione) 1.  M = 50 kg, α = 50° •  Τ1, Τ2 = ?

•  Nella direzione X T2 *sen α – T1 = 0

•  Nella direzione Y

T2 *cos α – Fg = 0

T2 = m*g/cos α = 50 * 9.8/cos(50°) = 762.3 N

T1 = T2*sen α = 762.3*sen(50°) = 584 N

T2 T1

Fg

α

x

y Non c’è movimento applichiamo il primo principio della dinamica

Risolviamo il sistema con le 2 equazioni:

T2*sen α – T1 = 0

T2*cos α – Fg = 0

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Esercizio (traccia)

n  Una massa m1 = 100 g è appesa ad un filo di massa trascurabile ed alla sua estremità inferiore è appesa, per mezzo di un secondo filo, anch’esso di massa trascurabile, una seconda massa m2 = 200 g.

n  Determinare le forze T1 ed T2 che sollecitano i due fili se le due masse sono ferme.

n  Se il tratto di fune tra il soffitto e il primo blocco può sopportare una tensione massima di 2.5 N, cosa succede alle masse?

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m1 = 100 g = 0.1 kg m2 = 200 g = 0.2 kg

•  T1, T2 = ?

X

Y

Fg2

Fg1

T2

T1

m2

m1

-T1

-T2

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Esercizio (soluzione) m1 = 0.100 kg, m2 = 0.200 kg •  T1, T2 = ?

X

Y

•  Per m2 : T2 – Fg2 = T2 – m2 g = 0

Fg2

Fg1

T2

T1

Applichiamo il primo principio della dinamica Avremo un’equazione per ogni massa

m2

m1

-T1

-T2

T2 = m2 g = 200 * 10-3 * 9.8 = 1.96 N

•  Per m1 : T1 – Fg1 - T2 = T1 – m1 g - m2 g = 0

T1 = m2 g + m1 g = 200 * 10-3 * 9.8 + 100 * 10-3 * 9.8 = 2.94 N

T2 – m2 g = 0 T1 – m1 g - m2 g = 0

T1 > 2.5 N La fune si spezza!!!

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Reazione vincolare La reazione vincolare dovuta al piano di appoggio è definita come la forza, subita da un corpo, uguale ed opposta al la forza con cui i l corpo preme perpendicolarmente sul piano di appoggio (principio di azione e reazione)

X

Y

Fg

N

In un piano orizzontale (se non abbiamo forze esterne con inclinazione diversa da zero):

|N| = |Fg|

Se non ci fosse reazione vincolare il blocco si muoverebbe verso il basso (ma il piano orizzontale non lo rende possibile, è un VINCOLO)

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Forza di attrito Forza di attrito statico: non c’è movimento

|Fa| = µs*|N|

µs: coefficiente di attrito statico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1

Forza di attrito dinamico: c’è movimento

X

Y

Fg

N Fa

X

Y

Fg

N Fa s |Fa| = µd*|N| µd: coefficiente di attrito dinamico. Numero adimensionale compreso fra 0 e 1

µd < µs

F

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Esercizio (traccia)

n  Un blocco di massa M = 10 kg (considerato puntiforme) si trova su un piano orizzontale liscio (no attrito). Ad esso viene applicata una forza F di modulo 100 N che forma un angolo θ con il piano.

n  Ricavare il modulo della reazione vincolare quando θ = 0°, θ = 45° e θ =90°

n  Supponendo che θ = 0°, quanto spazio avrà percorso il blocco dopo 4 secondi sotto l’azione delle forze?

n  Se il vincolo non è liscio (coefficiente di attrito statico µs = 0.7 coefficiente di attrito dinamico µd = 0.3) quale sarà lo spazio percorso?

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1.  M = 10 kg

X

Y

Fg

N

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X

Y

1.  M = 10 kg •  N = ?

Fg

N CASO 1: FORZA ORIZZONTALE

possiamo studiare la dinamica lungo i due assi X e Y

Lungo Y le forze si equilibrano e possiamo scrivere: N – Fg = 0 N=M*g = 98 N

Per il secondo principio della dinamica:

Fi =m*ai=1

n

∑

Lungo X: F = M*a

F

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X

Y

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 45° •  N = ?

F

θ

Fg

N Lungo X :

F*senθ + N – Fg = F*senθ + N – M*g = ? Lungo Y :

F*cosθ = M*aX

FX

FY

Finchè: FY < M g

CASO 2: APPLICHIAMO UNA FORZA CON ANGOLO θ = 45°

Non c’è movimento lungo Y

N – M*g + F*senθ = 0

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X

Y

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 45° •  N = ?

F

θ

Fg

N

θ = 45°: FY = 100*sen(45°) = 70.71 N < 98 N

N = 98 – 70.71 = 27.29 N

Lungo Y : N – M*g + F*senθ = 0

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X

Y

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 90° •  N = ?

F

Fg

N

θ = 90°: FY = 100*sen(90°) = 100 N > 98 N

La forza è sufficiente a sollevare il peso e quindi non c’è più reazione vincolare

CASO 3: APPLICHIAMO UNA FORZA CON ANGOLO θ = 90°

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X

Y

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 0°, t = 4 s •  spazio percorso = ?

Fg

Il moto avviene solo lungo l’asse X

F N

Ricaviamo l’accelerazione:

F*cosθ = M*a

a = F*cosθ / M = 100*cos(0°)/10 = 10 m/s2

x = aX t2/2 = 10 * 42/2 = 80 m

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X

Y

•  N = ?

F

Fg

N Fa

In presenza di attrito c’è una forza in più da considerare (opposta al moto)!!!

Dato che il moto avverrà lungo X consideriamo solo questa componente!

bisogna verificare che la forza applicata sia maggiore dell’attrito statico: FX= F*cosθ = 100 Newton

Per la forza di attrito statico vale la relazione:

Fa = µs*N = 0.7*98 = 68.8 Newton

Reazione vincolare perpendicolare al piano

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 0°, t = 4 s, µs = 0.7

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X

Y

F

Fg

N Fa

Abbiamo quindi FX > Fa

la forza è sufficiente a vincere l’attrito!!!

Avremo quindi la seconda legge scritta come

Quando il corpo è in moto si considera il coefficiente di attrito dinamico

F*cosθ – Fa = M*a

F*cosθ – µd*N = M*a a = (F*cosθ – µd*M*g)/ M = (100*cos(0°) - 0.3 *10*9.8)/ 10 = 7.06 m/s2

x = aX t2/2 = 7.06 * 42/2 = 56.48 m

1.  M = 10 kg, F=100 N, θ = 0°, t = 4 s, µs = 0.7, µd = 0.3

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n  Per studiare il moto usiamo un nuovo sistema di riferimento “solidale” al piano inclinato. Gli assi di questo sistema saranno:

1.  Perpendicolare a l p iano inclinato (asse y)

2.  Tangente al piano inclinato (asse x)

n  Si dimostra che i t r iangol i

rettangoli ACB e DEF sono simili; n  Infatti β = γ perché sono angoli formati

da rette parallele che intersecano la stessa retta.

n  Quindi θ = α perché dati da: θ = 180° - 90° - β α = 180° - 90° - γ

Il piano inclinato

P

α

RN

X

Y

Px

Py

γ

θ α

A

B C

D E

F

β

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n  Nel nuovo sistema di riferimento il peso può essere scomposto come:

Px = P*sen(α) Py = P*cos(α)

Il piano inclinato

P

α

RN

X

Y

Px

Py

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Esercizio (traccia)

n  Un punto materiale di massa M = 5 Kg scivola su un piano inclinato senza attrito con angolo α = 30°.

n  Ricavare l’accelerazione n  Supponendo che il blocco sia inizialmente fermo e che

arrivi alla fine del piano con velocità v = 20 m/s quanto tempo ha impiegato per raggiungere l’estremo?

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1.  M = 5 kg, α = 30° •  a = ?

P

α

RN

X

Y Py

PX

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Esercizio (soluzione) 1.  M = 5 kg, α = 30° •  a = ?

•  Studiamo le componenti!! •  Lungo Y:

RN – Py= RN – P* cosα = 0

•  Lungo X: Px = P*senα = M*a

poiché le due forze si equilibrano!!!!

M*g*senα = M*a

a = g*senα = 9.8* sen(30°) = 4.9 m/s2

La massa del blocco non ha alcuna importanza in questo problema… conta solo l’inclinazione!!!!!

n  Applichiamo la seconda legge della dinamica: F = m*a

P

α

RN

X

Y Py

PX

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Esercizio (soluzione) 1.  M = 5 kg, α = 30° , v = 20 m/s, v 0 = 0 •  t = ?

•  Vale la formula: v = v0 + a*t

Lungo il piano il moto è rettilineo uniformemente accelerato

t = v/a = 20/4.9 = 4.08 s

P

α

RN

X

Y Py

PX

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Esercizio (traccia)

n  Una cassa di legno di massa 5 kg, partendo da ferma e dalla sommità, scivola lungo un piano inclinato (30°) di lunghezza L = 2 m.

n  Determinare il coefficiente di attrito dinamico sapendo che la velocità con cui arriva al suolo vale vf = 3.0 m/s

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1.  L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s •  µd = ?

P

α

Rn

X

Y Py

Px

Fa

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Esercizio (soluzione) 1.  L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s •  µd = ?

•  Asse Y: RN – Py= RN – P*cosα = 0 •  Asse X: Px – Fa = P* senα - µd*RN = M*a

M*g*senα - µd*M*g*cosα = M*a µd = (g*senα – a)/g*cosα

?

P

α

Rn

X

Y Py

Px

Fa •  Consideriamo le forze agenti sugli assi:

Come trovo a?

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Esercizio (soluzione) 1.  L= 2 m, M = 5 kg, α = 30°, vf = 3 m/s •  µd = ?

µd = (g*senα – a)/g*cosα

Moto unif. Accelerato:

vf2 = 2*L*a a = vf

2 / 2*L = 2.25 m/sec2

µd = (g*senα – a)/g*cosα = (9.8*sen(30°) - 2.25)/9.8*Cos(30°) = 0.31

P

α

Rn

X

Y Py

Px

Fa

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Esercizio (traccia)

n  Un blocco di massa m = 2 kg si trova ai piedi di un piano inclinato (angolo di inclinazione α = 30°) con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente µs = 0.5 e µd = 0.4. All’istante t = 0 viene applicata una forza di modulo F = 100 N orizzontale in modo da far salire il blocco.

n  La forza è sufficiente a far salire il blocco? Se sì, con quale accelerazione?

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Esercizio (soluzione) 1.  α = 30°, vf = 4 m/s, µd = 0.4, µs = 0.5, m = 2 kg •  a = ?

P α

Rn

X

Y

Py

Px

Fa

F

α

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•  Perpendicolare al piano :

RN – Py – F*senα = RN – m*g *cosα – F*senα = 0

•  Tangenziale al piano:

F *cosα - Px = F*cosα – m*g*senα > µs*RN

RN = mg*cosα + F*senα = 66.97 N

Si deve verificare che

= 76.8 N = 33.485 N

P α

X

Y

Py

Px

Fa

F

α

Rn

35


P α

Rn

X

Y

Py

Px

Fa

F

α

F*cosα – m*g*senα - µd*RN = m*a

a = (F*cosα – m*g*senα - µd*RN )/m = 25 m/s2

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Esercizio (traccia)

n  Un uomo di 60 kg è fermo in un ascensore che scende con accelerazione di 5.2 m/s2 orientata verso il basso.

n  Quanto vale la forza che subisce l’uomo dal pavimento?

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T

y

P

1.  M = 60 kg, a = 5.2 m/s2

a

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T

y

P

1.  M = 60 kg, a = 5.2 m/s2

a

L’uomo nell’ascensore subisce una forza T dovuta al pavimento dell’ascensore stesso.

Per il secondo principio della dinamica: T – P = - M*a

Quindi: T = P - M*a = 60*(9.8 – 5.2) N = 276 N

39

Esercizio (traccia)

n  Un sasso di massa 2 kg è in rotazione, su una circonferenza, attaccato ad una fune di lunghezza 150 cm con velocità costante di 4 m/s. Determinare la forza con cui il sasso è vincolato sulla circonferenza

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Esercizio (soluzione) m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s

v

R

y

x

Fc

41


m = 2 kg; L = 1.5 m; v = 4 m/s

v

R

y

x

Fc Fc = m*ac = m*v2/R

m*v2/R = 2*16/1.5 = 21.3 N

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Momento delle forze

n  Il momento di una forza, o momento torcente è definito come:

M = r ✕ F |M| = |r |*|F|*senΘ

r = distanza tra il punto di applicazione della forza ed il punto di applicazione del momento

r M Θ

F

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Leve

n  Una leva è costituita da un’asta rigida che può ruotare intorno ad un punto fisso chiamato fulcro. Per una leva in equilibrio:

Mi = 0i=1

n∑

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Esercizio (traccia)

n  Un corpo viene posato su una bilancia a bracci diseguali di lunghezze 10 cm e 5 cm. Avendo sospeso il corpo al braccio più piccolo ed essendo esso equilibrato da un peso di 18 N, quanto vale il peso del corpo?

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L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P1 = 18 N

P P1

l L

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L = 10 cm = 0.1 m l = 5 cm = 0.05 m P1 = 18 N

P P1

l L

Mi = 0i=1

n∑

xM1 M Fissando un asse z con verso positivo uscente: P*l – P1*L = 0 P = P1*L/l = 18*.1/0.05 = 36 N

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Esercizio (traccia)

n  Un’asta omogenea incernierata ad un estremo viene mantenuta in posizione orizzontale da una forza di 180 N agente sull’altro estremo perpendicolare all’asta ed orientata verso l’alto. Quanto vale la massa dell’asta?

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F = 180 N In fisica un’asta omogenea è un’asta con una massa non trascurabile e tutta concentrata (approssimazione) nel centro dell’asta.

P

F L/2 L/2

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Esercizio (traccia)

F = 180 N

P

F L/2 L/2

Mi = 0i=1

n∑

Fissando un asse z con verso positivo uscente: M – M1 = 0 F*L – P*L/2 =0 m = 2*F/g = 36.7 kg

M xM1

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