LICEO CLASSICO “F. SCADUTO”- BAGHERIAprof. Ciro Scianna

IL PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

LA TERMODINAMICA

• La termodinamica è quella parte della Fisica natasostanzialmente per esigenze di carattere tecnico legateall’invenzione della macchina a vapore. Il problema dellatermodinamica era quello di trovare le modalità migliori perottenere lavoro meccanico dal calore, sfruttando la tendenzaspontanea del calore a passare da corpi a temperatura più altaa corpi a temperatura più bassa.

• Nasce all’inizio dell’800 e si sviluppa in parallelo conl’industrializzazione. È il tipico caso di una scienza nata perquestioni particolari, di natura tecnica ed economica, ma lecui conclusioni assumono portata universale.

• La termodinamica viene classificata come una teoriafenomenologica, perché le sue leggi vengono enunciate sullabase delle osservazioni sperimentali e la loro validità risiedenel fatto che non sono mai state contraddette dall’esperienza.

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LA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA• L’esperimento di Joule è stato decisivo per l’affermazione che il calore non è una

sostanza ma una particolare forma d’energia. D’ora in poi, per calore intenderemol’energia che un corpo cede o riceve per la differenza di temperatura con altricorpi.

• Sulla base di queste considerazioni, possiamo allora dare una diversa e più correttainterpretazione a tutti quei fenomeni meccanici nei quali non si conserva l’energiameccanica per l’azione di forze non conservative (attriti).

• Le forze d’attrito, capaci di compiere solo lavoro negativo, sono state introdottenella meccanica per esprimere appunto questa continua sottrazione di energia disistemi in moto.

• Macroscopicamente quello che si osserva è che la continua sottrazione di energiameccanica al sistema si manifesta con un corrispondente riscaldamento delsistema stesso e quindi con una produzione di calore.

• Ma se il calore è una forma di energia noi possiamo pensare che l’energiameccanica diminuisca e nello stesso tempo aumenti della stessa quantità l’energiatermica così che la somma delle due, ossia l’energia totale, rimanga, in effetti,costante.

• Questo allargamento del principio di conservazione dell’energia meccanica fino acomprenderne i fenomeni termici rappresenta, nella sostanza, quello che è notocome “il primo principio della termodinamica”. Ma una simile formulazione, privadi ogni criterio quantitativo, è scientificamente insufficiente. Per dare una vestequantitativa al primo principio è necessario considerare più da vicino la relazionetra calore e lavoro nelle trasformazioni termodinamiche.

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LAVORO E TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

a) Lavoro in una trasformazione isobara

Consideriamo l’espansione di un gas perfetto dal volume V1

al volume mantenendo costante la pressione. Se il gas sitrova in un cilindro chiuso da un pistone mobile a perfettatenuta, quando il gas si espande i pistone si solleva diun’altezza h:

Se S è la sezione del pistone, la forza esercitata dal gas è F=pSe il lavoro compiuto dal gas nell’espansione è:

L = pSh = p( - ) = p V

L’espressione L = p V è valida in generale per una espan-sione a pressione costante.

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In figura viene rappresentata la trasformazione nel piano diClapeyron:

Si nota che il lavoro è rappresentato dall’area del rettangolotrat teggiato ABCD.

Nel caso generale in cui la pressione varia nel corso dellatrasformazione, si può dimostrare che il lavoro fatto dal gasverso l’esterno è rappresentato dall’area compresa tra lacurva, l’asse delle ascisse e le ordinate agli estremi della

trasformazione

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b) Lavoro in una trasformazione isocora.

• Ovviamente se il volume non cambia il lavoro è uguale a zero.

c) Lavoro in una trasformazione isoterma.

• Consideriamo un gas perfetto che si espande a temperaturacostante T come rappresentato in figura:

• Il lavoro compiuto dal gas è rappresentato dall’areatratteggiata, il cui calcolo non è possibile con metodielementari. Utilizzando il calcolo integrale si trova:

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d) Lavoro in una trasformazione adiabatica• La trasformazione adiabatica è una trasformazione che

avviene senza scambi di calore con l’ambiente esterno.Il sistema è quindi isolato termicamente. In unatrasformazione adiabatica cambiano tutte e tre levariabili di stato, pressione, volume e temperatura. Se ilsistema è formato da gas perfetto, la trasformazioneadiabatica segue la legge di Poisson espressa dallaformula:

dove l’esponente è il rapporto tra il calorespecifico a pressione costante e quello a volumecostante. Facendo uso dell’equazione di stato del gasperfetto, è possibile eliminare p dall’eq. precedente eottenere: ;oppure, eliminando V:

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• Poiché >1, se rappresentiamo graficamente unatrasformazione adiabatica sul piano di Clapeyron ela confrontiamo con una isoterma che passa per unsuo punto, si vede che l’adiabatica è più ripida dell’isoterma:

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• Il lavoro effettuato in una trasformazione adiabaticapuò essere calcolato con lo stesso metodo visto nelcaso di una trasformazione isoterma, cioèconsiderando l’area racchiusa dal grafico dellatrasformazione sul piano di Clapeyron, così daottenere l’espressione:

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e) Lavoro in una trasformazione ciclica

• Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui lo statoiniziale coincide con lo stato finale. Nel piano di Clapeyron unatrasformazione ciclica è rappresentata da una linea chiusa:

• Il lavoro verso l’esterno è rappresentato dall’area racchiusa dalciclo:

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ENERGIA INTERNA E PRIMO PRINCIPIO

• L’analisi del lavoro nelle varie trasformazioni termodinamicheha mostrato che la quantità di lavoro che il sistema compiesull’ambiente o che da esso riceve, dipende dal particolareprocesso termodinamico in base al quale il sistema passa dauno stato iniziale a uno finale, interagendo con l’ambienteesterno.

• Si ottiene un risultato analogo se si calcola il flusso di caloredurante il processo. Il calore che fluisce nel sistema dipendeda come il sistema viene riscaldato; la stessa variazione ditemperatura in un sistema può richiedere più o meno calore aseconda che il riscaldamento venga fatto a pressione o avolume costante.

• Tanto il calore che il lavoro dipendono quindi “dal cammino”percorso e nessuno dei due può in generale soddisfare, dasolo, a un principio di conservazione.

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• Supponiamo allora che un sistema passi da uno stato iniziale 𝑖a uno stato finale 𝑓 in un modo definito, cosicché il caloreassorbito dal sistema sia Q e il lavoro compiuto dal sistema siaL: allora possiamo calcolare la differenza Q-L.

• Facciamo compiere al sistema la trasformazione dallo stato 𝑖allo stato 𝑓 in molti modi diversi, seguendo ogni volta undiverso cammino: si troverà che la quantità Q-L è sempre lastessa. Cioè, sebbene Q ed L dipendano separatamente dalcammino percorso nella trasformazione, Q-L dipendesolamente dallo stato iniziale e dallo stato finale.

• Si deduce pertanto che esiste una funzione delle variabili distato il cui valore finale meno il valore iniziale eguaglia ladifferenza Q-L relativa al processo: questa funzione vienedetta energia interna.

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• Ora Q rappresenta l’energia fornita al sistema mediante trasferimento dicalore, mentre L è l’energia fornita dal sistema nel compiere lavoro,cosicché Q-L rappresenta, per definizione, la variazione di energia internadel sistema .

• Indicando con U l’energia interna del sistema, i ragionamenti precedenti ciportano a scrivere, per qualsiasi sistema e per qualsiasi trasformazione daun generico stato iniziale 𝑖 a un generico stato finale 𝑓, la seguenteequazione :

ovvero, la variazione di energia interna del sistema tra due generici stati èuguale alla differenza tra il calore assorbito e il lavoro compiuto.L’equazione precedente è conosciuta come il primo principio dellatermodinamica.

• Se riscriviamo il primo principio nella forma

lo possiamo enunciare nella seguente forma:“La quantità di calore ceduta dall’ambiente esterno al sistema vieneutilizzata in parte per la variazione U del sistema, in parte a fare in modoche il sistema compia un lavoro meccanico”.

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• Mettiamo chiaramente in evidenza le ipotesi che abbiamoutilizzato nello scrivere il primo principio della termodinamica,che sono tre:

1. Ammettere che il calore sia una forma di energia.

2. Ammettere che l’energia si conservi.

3. Ammettere che l’energia interna U del sistema dipenda solodallo stato termodinamico del sistema e quindi dallegrandezze pressione, volume e temperatura.

• Per chiudere: il primo principio stabilisce un bilancioenergetico.

Permette di calcolare la variazione di energia interna di unsistema che effettua una trasformazione, noti il calore e illavoro scambiati dal sistema con l’ambiente esterno.

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ENERGIA INTERNA DEL GAS PERFETTO

• Per una data sostanza, possiamo dare un’interpretazione intuitivadell’energia interna come il serbatoio energetico della sostanza,cioè come la possibilità che ha la sostanza stessa di produrre lavoro.

• L’energia interna dipende in generale dalla costituzione chimicadella sostanza e da tutte quelle forme di energia che possonoessere accumulate nella sostanza sulla base della sua costituzioneinterna.

• Nel caso di un fluido, l’energia interna si può interpretare come lasomma dell’energia cinetica delle sue molecole e delle energiepotenziali dovute alle forze di coesione che si manifestano tra lemolecole stesse. A queste energie si dovrebbero poi aggiungeretutte le altre dovute alla struttura intima delle molecole stesse. Traqueste sono, ad esempio, l’energia cinetica e potenziale deglielettroni, l’energia dei nuclei atomici, ecc.

• I contributi di tutte queste energie microscopiche risultano, a livellomacroscopico, nella dipendenza dell’energia interna dalle variabili distato termodinamico p, V, T.

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• Nel caso del gas perfetto si può dimostrare, con un esperi-mento realizzato da Joule, che la sua energia interna dipendesolo dalla temperatura.

• L’esperimento in questione riguarda l’espansione libera di ungas.

Joule prese un recipiente adiabati-

co diviso in due parti tra di loro

comunicanti tramite un rubinetto.

Una delle due zone la riempì di gas

e lasciò vuota l’altra. In queste

condizioni determinò lo stato inizia-le del gas. In seguito aprì il rubinetto e lasciò che il

gas si espandesse liberamente in tutto il recipiente .

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• Ad equilibrio termodinamico raggiunto, misurò le grandezzetermodinamiche del gas determinandone così lo stato finale

. Sperimentalmente ottenne .

• Sulla base del primo principio, dato che nell’espansione libera Q=0e L=0, si ha U=0; ovvero, la variazione di energia internanell’espansione libera è uguale a zero e quindi le energie interne,iniziale e finale, sono uguali.

• Ciò significa che l’energia interna del gas non ha subito variazioni inuna trasformazione in cui sono cambiati i valori della pressione edel volume, ma non quello della temperatura.

• Questo ci porta all’importante conclusione che l’energia interna delgas perfetto non dipende né dal volume né dalla pressione, ma solodalla temperatura assoluta T: U = U(T).

• La variazione di energia interna è proporzionale alla variazione ditemperatura assoluta.

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IL PRIMO PRINCIPIO E LE TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

• Nel seguito supporremo sempre un sistema composto da gas perfetto.

• Trasformazione isobara

a) Espansione isobara: il sistema viene riscaldato e assorbe unacerta quantità di calore Q>0, che provoca un aumento delvolume e quindi un lavoro positivo fatto dal sistemasull’ambiente. La variazione di energia interna del sistemasarà data dalla differenza tra l’energia termica assorbitadall’ambiente e l’energia meccanica ceduta all’ambiente; talevariazione sarà positiva perché nell’espansione aumenta latemperatura e quindi l’energia interna: .

b) Compressione isobara: il sistema si comprime isobaricamentecedendo all’ambiente una quantità di calore Q, facendo sìche la sua temperatura diminuisca, causando una diminuzio-ne del suo volume e della sua energia interna:

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• Trasformazione isocora: il sistema viene riscaldato o raffreddato avolume costante (con il pistone bloccato). Dato che il sistemacompie (o riceve) lavoro con una variazione di volume, in unatrasformazione isocora si ha che L=0. Per il primo principio si avràallora che: U = Q , ovvero che tutto il calore assorbito va adincrementare l’energia interna del gas, oppure che il calore cedutodal sistema comporti una diminuzione della sua energia interna.

• Trasformazione isoterma: il sistema viene posto su un termostato auna data temperatura T. L’espansione o la compressione del sistemasi realizza, rispettivamente, alleggerendo o appesantendo il pistone.Applicando il primo principio avremo:

dato che, per un gas perfetto, U=0 per T costante. Quindi in unatrasformazione isoterma, il calore assorbito è uguale al lavorocompiuto o, viceversa, il lavoro ricevuto è uguale al calore ceduto.

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• Trasformazione adiabatica: il sistema è isolato termicamentedall’ambiente esterno, quindi senza la possibilità di scambi dicalore. Sulla base del primo principio possiamo allora scrivere:

Pertanto, in una espansione adiabatica, il lavoro positivocompiuto dal sistema viene fatto a spese dell’energia interna,che diminuisce e con essa la temperatura del gas. Mentre,nella compressione adiabatica, il lavoro negativo fatto sulsistema aumenta l’energia interna e con essa la temperatura .

• Trasformazione ciclica: il sistema, attraverso una successionedi varie trasformazioni in cui scambia calore e lavoro conl’ambiente esterno, ritorna allo stato di partenza. L’applicazio-ne del primo principio ad un generico ciclo, ricordando chel’energia interna è una funzione di stato, darà:

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