CorsoIntegratodi Fisica - users · Corso di Fisica Medica Termodinamica . Primo principio della...

Corso Integrato di Fisica

S. Moretto

Corso di Laurea in Igiene Dentale

a.a. 2008/2009

Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che Tutto ciò che non puoi non puoi non puoi non puoi non puoi non puoi non puoi non puoi non non non non non non non non saperesaperesaperesaperesaperesaperesaperesapere……………………

Lezione 1Corso Integrato Fisica Medica – Igiene Dentale

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Presentazione del docente

Nome:

Sandra Moretto

Recapito:

Dipartimento di Fisica, Università di PadovaVia Marzolo, 8 – Padova

Telefono:

049 827 7181

E-mail:

[email protected]

homepage:

www.pd.infn.it/~moretto


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Principali obiettivi del corso

�Introdurre il significato di “legge fisica”

�Introdurre alcuni fondamentali principi della Fisica

�Fornire una prima conoscenza delle leggi fisiche e delle loro applicazioni piu’ comuni

�Introdurre all’analisi quantitativa dei fenomenifisici


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Perchè studiare fisica

Perchè la Fisica è alla base di molti processi biologici

Perchè la Fisica è unadisciplina formativa

Perchè superare l’esame di Fisica èessenziale per conseguire la Laurea

Introduzione: il metodo scientifico,grandezze fisiche,

campioni e unità di misura, erroriPreliminari matematici.Unità di misura degli angoli e richiami di trigonometria.

Cenni di analisi matematica: funzioni, loro utilizzo e concetto geometrico di derivata. Funzioni di tipo esponenziale ed esempi;

Meccanica dei sistemi rigidi. Definizioni cinematiche fondamentali, i principi della dinamica ed i campi di forza;

la conservazione dell'impulso e della energia, il lavoro; le equazioni fondamentali della dinamica e della statica dei sistemi rigidi;

Corso di Fisica Medica

Termodinamica. Primo principio della termodinamica.

Equilibri termico e temperatura. Scale kelvin, centigrada e fahrenheit. Il termometro clinico. Calore, calore specifico e calorimetria.

Fluidi .Forze di pressione e pressione. Fluidostatica e legge di Stevino. Barometri e manometri.

Unità di misura della pressione: pascal, mmHg o torr, atm. Legge di Archimede. Fluidodinamica dei fluidi ideali e dei fluidi reali.

Legge di continuità. Viscosità. Enunciati delle leggi di Bernoulli, Venturi e Poiseuille. Tubo di Venturi.

Onde.Relazione tra lunghezza d’onda, frequenza e velocità di propagazione.

Suoni e ultrasuoniRadiazioni Nucleari.

Raggi in X in diagnostica. Grandezze per valutare la radiazione: intensità, fluenza, esposizione e dose.

Interazione dei raggi X con la materia. Efetto Compton ed effetto fotoelettrico.Cenni di radioprotezione.


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Calendario Lezioni

MartediMartedi ore 14:30 ore 14:30 –– 17:0017:00

14.30 - 17-0014.30 - 17-0014.30 - 17-00

28/10/200821/10/200814/10/2008

MartedìMartedìMartedi

OTTOBRE

14.30 - 17-0014.30 - 17-00

25/11/200811/11/2008

MartedìMartedi

NOVEMBRE

14.30 - 17-0014.30 - 17-0014.30 - 17-00

16/12/200809/12/200802/12/2008

MartedìMartedìMartedi

DICEMBRE

Tutoraggio: ore 14 ogni martedi (se interessati)


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Esami

(*): da aggiungersi eventuali date da concordare!

1 APPELLO: 13 GENNAIO 2009

2 APPELLO: 03 FEBBRAIO 2009


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Dettagli sul corso

Questo corso come tutti i vostri corsi DEVE essereseguito:

�la frequenza verrà monitorata

�la selezione del materiale non è banale, l’unicomodo per saperlo è seguire le lezioni

�le trasparenza a lezioni non saranno esaustive ma un buon punto di partenza

�gli esercizi possono essere consegnati al docente per richiederne la correzione


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Testi consigliati:

�In generale qualsiasi testo di Fisica a livello universitario contiene materiale a sufficienza

Esempi:

� G. Duncan, Fisica per Scienze Biomediche, Ed.Ambrosiana.

� D.M. Burns, S.G.G. Mac Donald, Fisica per studenti di Biologia e Medicina, Ed. Zanichelli.

� A.H. Cromer, Fisica, Ed. Piccin

� D. Halliday, R.Resnick, J.Walker Fondamenti di FISICA ed. Casa Editrice Ambrosiana


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DA FARE:

�intervenire a lezione con domande, chiarimenti e provare a dare risposte

�studiare insieme ad altri

�studiare durante il corsoper poter seguire le spiegazioni in classe

�ripetere man mano le nozioni matematiche chesono utilizzate nle corso e gli esercizi

DA NON FARE:

� rinunciare a comprendere per imparare e basta

�risolvere I problemisenza capire

�pensare di aver capito la teoria se non si riescono a risolvere gli esrcizi

Consigli:


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Come si segue un corso:

“Vietato dormire! Vietato chiaccherare!

Vietato lavorare a maglia! Vietato

fumare! e per Dio, prendete appunti!”

Vladimir Nabokov, Cornell University, ca 1950

“Vietato usare il telefonino! e per Dio,

accendete il cervello!”

Sandra Moretto, Padova University, 2008


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Possiamo partire …

nozioni introduttive

e alcuni ricordi di matematica


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LE SCIENZEE IL METODO SCIENTIFICO

1. Scienza e scienza esatta2. Metodo scientifico3. Matematica linguaggio della Scienza


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Metodo scientifico

schematizzazione: si analizza il fenomeno naturale per gradi(es.: lancio di un sasso) individuando la causa dominante e sostituendo il fenomeno naturale con un modello semplificato che permette di stabilire correlazioni tra le osservabili (altezza massima raggiunta, tempo impiegato)misura : associare un numero seguito da una unità di misura ad ogni ente fisico individuato come essenziale.Una grandezza fisica deve essere definita in modo operativo cioè devono essere date regole precise ed universali per misurarla. I risultati di una misura devono essere oggettivi e riproducibili.osservazione sperimentale : individuare correlazioni quantitative tra i valori numerici delle misure (grafici e/o tabelle)leggi : i risultati delle osservazioni vengono trascritti in relazioni matematiche previsione: dalle leggi ottenute si possono calcolare il risultato che ci siaspetta in date condizioniverifica sperimentale delle previsioni: rappresenta un controllo delle leggi applicate

(metodo induttivo e deduttivo)


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Il metodo scientifico

Metodo scientifico(sperimentale - galileiano)

•Elaborazione della teoria•Uso della matematica•Analisi statistica dei dati

•Esperimento riproducibilein ogni tempo e in ogni luogo

•Valutazione dell’errore


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MisuraComplesso di operazioni che servono a definire QUANTITATIVAMENTE una precisa

qualità di un corpo o di un fenomeno.

� Misura diretta: la misura di qualunque grandezza fisica comporta il CONFRONTO fra la grandezza sconosciuta e un campione.

� Misura indiretta :si misurano grandezze diverse da quella in esame alla quale sono però legate da leggi note

Es .lunghezza: confronto tra grandezze omogenee . Misura diretta

ba

a<b

La maggior parte delle grandezze fisiche hanno delle dimensioni( es: velocità [lunghezza/tempo], pressione [forza /superficie]…...)Qualunque equazione fisica deve essere dimensionalmente omogenea e solo grandezze con le stesse dimensioni possono essere sommate, sottratte ed egualiate.Sono state scelte delle grandezze fondamentali con le quali si possono esprimere tutte le altre: es.:Lunghezza, Massa, Tempo, Corrente elettrica ….Per le quali è stato stabilito internazionalmente un gruppo di unità di misura chiamato MKSA


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Errori

Gli errori di cui è affetta una misura sono di due tipi:

• Sistematici

• Casuali

Gli errori sistematici derivano da un errato metodo di misura adottato o da strumenti mal tarati o difettosi e quindi possono essere eliminati

Gli errori casuali dipendono dalla sensibilità dello strumento e non possono essere eliminati , sono responsabili della variabilità delle misuree soltanto delle misure ripetute più volte portano ad un risultato piùpreciso


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⇒

- definizione di un procedimento(ripetibile)di misura

- definizione di una unità di misura e di un “campione”di riferimento

Grandezze la cui misuraèdiretta:

Esempi:

grandezza fisica unità di misura

lunghezza metro, pollice (“inch”),...tempo secondo

massa chilogrammo, oncia,..temperatura grado (Celsius,Farenheit,…)

⇔

Grandezze la cui misuraè indiretta (“grandezze derivate”):

espresse come funzioni delle “grandezze dirette”

esempi:

velocità, accelerazione,forza...

Definizione operativa di una “grandezza fisica”


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Sistema Internazionale (S.I.)di unità di misura

Unità fondamentale unità simbolo DefinizioneLunghezza metro m 1/299792458 distanza

che la luce percorre in 1s nel vuoto

Tempo secondo s intervallo corrisp. a 9 192 631.77 periodi dellatransizione fra i 2 livelli iperfini dello s.f. del 133Cs

Massa chilogrammo kg massa del campione di Pt-Ir conservato a Sèvres

Corrente elettrica Ampère A corrente che in due fili rettilinei par. e infinitidistanti 1m produce una forza di 2.10-7 N al metro

Temperatura Kelvin K 1/273.15 della temp.assoluta del punto triplodell’acqua.

Intensità luminosa candela cd Intensità di una sorgentedi freq. 5.1014 Hz la cui intensità è 1/683 W/sr

Angolo piano radiante rad rapporto arco/raggioAngolo solido steradiante sr rapp. superficie/raggio2

Adottato dalla XIV Conferenza Generale di Pesi e Misure(CGPM), Parigi 1971.


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λ 2 p 10 → 5 d 5

Esempio : la grandezza fondamentale“lunghezza”

1 metro≡- 1/(4 • 107) meridiani terrestri (1793)

- “metro campione” : sbarra di platino -iridio ( 90% Pt, 10% Ir) conservata a Sevrès (Parigi) ; riproducibilità≅10-7 (1889)

- 1.650.763,73 nel 86Kr (1960)

- 1/ 299 792 458dello spazio percorso dalla luce nel vuoto in 1 secondo (1983)

Evoluzione nel tempo della definizione delle unità di misura


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MATEMATICA “LEGGERA”

1. Equazioni2. Proporzioni3. Potenze4. Notazione scientifica5. Superfici e volumi6. Percentuale7. Funzioni8. Sistemi di riferimento9. Esponenziale e logaritmo10. Funzioni trigonometriche


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Equazioni: cosa sono

Relazioni di uguaglianza tra due membritutto ciò che è a 1o membro (numeri, dimensioni, unità di misura)

deve essere uguale a tutto ciò che è a 2o membro

a

b

A

Area di un rettangolo:A = ab= (50 cm)•(1 m)

= 50 cm•m(da evitare!)= 50 cm • 100 cm = 5000 cm2

= 5000 cm= 0.5 m • 1 m = 0.5 m2

= 0.5 m

a = 50 cm, b = 1 m

Equivalenze + controllo dimensionaleEquazione = relazione di uguaglianza tra due membri

verificata per particolari valori di una variabile incognita

ax + b = 0 �� x = -b/a

NO!

NO!

Es.


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Equazioni: come si risolvono

Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membriMoltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri

il risultato non cambia

2x = 6 �� x=32x + 4 = 6 + 4 �� 2x + 4 = 10 �� x=32x • 5 = 6 • 5 �� 10x = 30 �� x=3

Metodo di risoluzione:

Equazione: ax+b =0 �� ax + b = 0ax + b – b = 0 – b �� ax = -bax/a = -b/a �� x = -b/a

2x - 6 = 02x – 6 + 6 = 0+6 �� 2x = 62x/2 = 6/2 �� x = 3

…e da qui derivail metodo di risoluzione:

Es.

Es.

x/3 + 1/4 = 0x/3 + ¼ - ¼ = 0 – ¼ �� x/3 = - ¼x/3 • 3 = (- ¼) • 3 �� x = -3/4

Es.

Proprietà:


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Proporzioni

Prodotto dei medi = prodotto degli estremi

a:b = c:d �� ad = bc

a/b = c/d �� a = bc/d c = ad/bb = ad/c d = bc/a

Applicazione “quotidiana”: conversione di unità di misura

Nulla di magico: sono solo normali equazioni!


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Conversione di unità di misura

Velocitàkm/h �� m/s m/s�� km/h1 km/h = 1000 m / 3600 s = 0.28 m/s 1m/s= 0.001 km / (1/3600) h = 3.6 km/hn km/h = n * 0.28 m/s n m/s = n * 3.6 km/h

Velocità di un atleta dei 100 m: 10 m/s = 10*3.6 km/h = 36 km/hdi un’automobile: 120 km/h = 120*0.28 m/s = 33.6 m/s della luce: 300000 km/s = 3*108 m/s = 3*108*3.6 km/h = 1.08*109 km/h

Prezzo in lire �� Prezzo in euro

Prezzo in euro �� Prezzo in lire

€0.000516N€1936.27

1N

£1936.27€1£N

x€1

£1936.27x£N •=•=•=⇒=

£1936.27N€1

£1936.27€Nx

£ 1936.27€1

x€N •=•=⇒=

Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura

... ogni giorno, nella vita quotidiana, usiamo inconsciamente le proporzioni...

Es.

Es.


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Potenze

Operazioni algebriche: Operazioni inverse (quando possibili)Addizione a+b SottrazioneMoltiplicazione a•b = a+a+a… (b volte) DivisionePotenza ab = a•a•a… (b volte) Radice b-esima

Proprietà delle potenze di ugual base

ab �� a = base, b = esponente

an + am �� …(nessuna particolare proprietà)

a3 + a2 = (a•a•a) + (a•a) = a•a•(a+1) … dipende!

an • am �� an+m a3•a2 = (a•a•a)•(a•a) = a•a•a•a•a = a5

(an)m �� an*m (a3)2 = (a•a•a)•(a•a•a) = a•a•a•a•a•a = a6

an/am �� an-m a3/a2 = (a•a•a)/(a•a) = a = a1


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Potenze a esponente negativo

Ma attenzione:

a3/a2 = (a•a•a)/(a•a) = a = a1 = a3-2

a2/a3 = (a•a)/(a•a•a) = 1/a = a-1 = a2-3

a3/a3 = (a•a•a)/(a•a•a) = 1 = a0 = a3-3

La regola continua a valere, purchè si definiscaa-n = 1/an potenza a esponente negativoa0 = 1 potenza a esponente nullo

an/am �� an-m a3/a2 = (a•a•a)/(a•a) = a = a1


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Potenze di 10

Per esprimere brevemente numeri molto grandi o molto piccoli:

106 si legge 'dieci alla sesta'è uguale a 1 moltiplicato per 106: 1•1000000 = 1000000è uguale a 1.0 spostando la virgola a destra di 6 posti

es. 3.5•106 = 3500000

10-6 si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 106: 1/1000000 = 0.000001è uguale a 1.0 spostando la virgola a sinistra di 6 posti

es. 3.5•10-6 = 0.0000035

numero di Avogadro�� NA = 6.022 • 1023 = 602200000000000000000000 massa dell’elettrone�� me = 9.1 • 10-31 kg = 0.00000000000000000000000000000091 kg

Es.


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Notazione scientifica

Vantaggio: le potenze di 10 sono potenze!

Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocementeoperazioni complicate, con risultati non lontani dal risultato vero.

Nei calcoli scientifici si usa scrivere i numeri grandi e piccoli comeuna cifra (da 1 a 9),

seguita eventualmente da punto decimale e cifre successive, per la relativa potenza di dieci

500 = 5•102 0.05 = 5•10-2

3578 = 3.578•103 0.003578 = 3.578•10-3

10000 = 104 0.0001 = 10-4

Es.

2897 • 71544 = 207262968= 2.07•108 (esatto)= (2.897•103) • (7.1544•104) = 2.897 • 7.1544 • (103 • 104)

≅≅≅≅ (3•103) • (7•104) = 3•7 • 107 = 21•107 = 210000000 = 2.1•108 (appross.)

Es.


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Lunghezze, superfici, volumi

Retta – [L]1 Piano – [L]2 Spazio – [L]3

l (m) S (m2)V (m3)

L’area della superficie di un corpo si misura sempre in m2, cm2,…Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m3, cm3,…

a

b

PARALLELEPIPEDO

S = a•bV = a•b•c

c

r

SFERA

S = ππππ•r2V = (4/3)•ππππ•r3

In generale:S = base•altezzaV = area base•altezzar

CILINDRO

S = ππππ•r2V = ππππ•r2•l

l


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Misure di superfici e volumi

Attenzione alle conversioni tra unità di misura!

1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2

1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3

1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2

1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3

1 l = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3

= (101 cm)3 = 103 cm3

Meglio un passaggio in più...

1 m100 cm

1 m100 cm

1 m100 cm

1 m2(m3) significa “un metro al quadrato(cubo)”e non “uno al quadrato(cubo)” metriè una misura di area(volume) e quindi ha sempre dimensione L2(L3)

Quindi:

Se 1 litro d’acqua ha massa di 1 kg, 1 m3 d’acqua ha massa di 1000 kg!!!

Es.


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Percentuale

Metodo “comodo” per esprimere variazioni(aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota

1 % = 1/100 = 10-2 = 0.01n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n

“Per mille”: 1 ‰ = 1/1000

= 0.001 = 0.1%

Parte per milione: 1 ppm = 1/1000000

= 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰

• 3% di 150 = 33% di 150 = 33% di 150 = 33% di 150 = 3••••150/100 = 150/100 = 150/100 = 150/100 = 0.030.030.030.03••••150 = 3150 = 3150 = 3150 = 3••••1.5 = 4.5 1.5 = 4.5 1.5 = 4.5 1.5 = 4.5 • 20% di 1000000 = 0.20 20% di 1000000 = 0.20 20% di 1000000 = 0.20 20% di 1000000 = 0.20 ••••1000000 = 200000 1000000 = 200000 1000000 = 200000 1000000 = 200000 • 20% di 0.003 = 0.20 20% di 0.003 = 0.20 20% di 0.003 = 0.20 20% di 0.003 = 0.20 •••• 0.003 = 2 0.003 = 2 0.003 = 2 0.003 = 2 ••••10101010----1111 •••• 3 3 3 3 ••••10101010----3333 = 6 = 6 = 6 = 6 ••••10101010----4444 = 0.0006= 0.0006= 0.0006= 0.0006• 200% di 1000 = 2 200% di 1000 = 2 200% di 1000 = 2 200% di 1000 = 2 ••••1000 = 20001000 = 20001000 = 20001000 = 2000 ((((raddoppiareraddoppiareraddoppiareraddoppiare = = = = aumentareaumentareaumentareaumentare del 100% = del 100% = del 100% = del 100% = passarepassarepassarepassare al 200 %)al 200 %)al 200 %)al 200 %)

Es.

La percentuale e’ sempre relativa alla grandezzaa cui si riferisce.

• 3% di 150 3% di 150 3% di 150 3% di 150 = 4.5 = 4.5 = 4.5 = 4.5 ((((adimensionaleadimensionaleadimensionaleadimensionale))))• 20% di 1000 20% di 1000 20% di 1000 20% di 1000 €€€€ = 200 = 200 = 200 = 200 €€€€• SoluzioneSoluzioneSoluzioneSoluzione di di di di unaunaunauna sostanzasostanzasostanzasostanza in in in in acquaacquaacquaacqua al 5% = al 5% = al 5% = al 5% =

in volume: in 1 in volume: in 1 in volume: in 1 in volume: in 1 litrolitrolitrolitro di di di di soluzsoluzsoluzsoluz., 950 ., 950 ., 950 ., 950 cmcmcmcm3333 dddd’’’’acquaacquaacquaacqua e 50 e 50 e 50 e 50 cmcmcmcm3333 di di di di solutosolutosolutosolutoin peso: in 1 kg di in peso: in 1 kg di in peso: in 1 kg di in peso: in 1 kg di soluzsoluzsoluzsoluz., 950 ., 950 ., 950 ., 950 gggg dddd’’’’acquaacquaacquaacqua e 50 e 50 e 50 e 50 gggg di di di di solutosolutosolutosoluto

Es.


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Uso del calcolo percentuale

Nella vita quotidiana: i conti in tasca(tasse, IVA,…)

In laboratorio: errore relativo o percentuale

Misura: a ±±±± ∆∆∆∆aErrore relativo: err = ∆∆∆∆a/aErrore percentuale: err% = ∆∆∆∆a/a • 100

ErroreErroreErroreErrore susususu misuramisuramisuramisura di di di di lunghezzalunghezzalunghezzalunghezza: : : : lunghlunghlunghlungh = (63 = (63 = (63 = (63 ± 0.5) cm0.5) cm0.5) cm0.5) cmerr = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079err = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079err = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079err = (0.5 cm)/(63 cm) = 0.0079err% = err err% = err err% = err err% = err •••• 100 = 0.79 %100 = 0.79 %100 = 0.79 %100 = 0.79 %

Es.

PrezzoPrezzoPrezzoPrezzo nettonettonettonetto (IVA (IVA (IVA (IVA esclesclesclescl.): N = 100 .): N = 100 .): N = 100 .): N = 100 €€€€ PrezzoPrezzoPrezzoPrezzo lordolordolordolordo (IVA (IVA (IVA (IVA comprcomprcomprcompr.): L = 100 .): L = 100 .): L = 100 .): L = 100 €€€€PrezzoPrezzoPrezzoPrezzo lordolordolordolordo: L = N + 0.20 N: L = N + 0.20 N: L = N + 0.20 N: L = N + 0.20 N PrezzoPrezzoPrezzoPrezzo nettonettonettonetto: L = N + 0.20 N = 1.20 N: L = N + 0.20 N = 1.20 N: L = N + 0.20 N = 1.20 N: L = N + 0.20 N = 1.20 N= (1+0.20) N = 1.20 N = 120 = (1+0.20) N = 1.20 N = 120 = (1+0.20) N = 1.20 N = 120 = (1+0.20) N = 1.20 N = 120 €€€€ �� N = L / 1.20 = 0.8333 L = 83.33 N = L / 1.20 = 0.8333 L = 83.33 N = L / 1.20 = 0.8333 L = 83.33 N = L / 1.20 = 0.8333 L = 83.33 €€€€

e none none none non N = 0.80 L = 80 N = 0.80 L = 80 N = 0.80 L = 80 N = 0.80 L = 80 €€€€

Es.


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Funzioni

Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili

Rappresentazione delle funzioni �� Sistemi di riferimento

y=f(x)

y=f(x) �� la grandezza y dipende dalla grandezza x: come?

Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.


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Sistemi di riferimento

Sistemi cartesiani: assi x,y,z tra loro perpendicolari

Criterio generale: semplicità (= minor complicazione possibile!)

cartesiano non cartesiano (inutile?...)

automobile, automobile, automobile, automobile, biciclettabiciclettabiciclettabiciclettapeso peso peso peso chechecheche cadecadecadecadescatolascatolascatolascatola cubicacubicacubicacubicafasciofasciofasciofascio raggiraggiraggiraggi XXXX............

ruotaruotaruotaruota, , , , pallapallapallapallagiostragiostragiostragiostraTerra, Sole, Terra, Sole, Terra, Sole, Terra, Sole, pianetipianetipianetipianetiondeondeondeonde elettromagneticheelettromagneticheelettromagneticheelettromagneticheatomiatomiatomiatomi, cellule, cellule, cellule, cellule............

tubitubitubitubi, , , , impiantiimpiantiimpiantiimpianti idrauliciidrauliciidrauliciidraulicicondotticondotticondotticondotti elettricielettricielettricielettricivasivasivasivasi sanguignisanguignisanguignisanguignibottigliebottigliebottigliebottiglie, , , , bombolebombolebombolebombolesiringhesiringhesiringhesiringhe, , , , fialefialefialefiale, , , , fleboflebofleboflebo

Es.

} coord.

cartesiane

} coord.

sferiche

} coord.

cilindriche

Quale sistema di riferimento usare?

Dipende dalle caratteristiche geometriche e di simmetria

del problema.


36

Sistemi di riferimentoa 2 e 3 dimensioni

y

xO

P(x1,y1)

y1r

θθθθx1

y

xO

P(x1,y1 ,z1)

y1

r

φφφφ

x1

θθθθ z1z

Ogni punto è univocamente determinato da:

in 2 dim �� 2 coordinate in 3 dim �� 3 coordinateP(x,y) o P(r,θθθθ) P(x,y,z) o P(r,θθθθ,φφφφ)


37

Funzioni: cosa sono

Una relazione di dipendenza e’ una funzione seper ogni valore della variabile indipendente x

esiste uno e un solo valore della variabile dipendente y

x x

y y

SI

persona �� data di nascita SI NO

persona �� targa auto NO SI

x = n �� y = n SI, invertibilex = n �� y = n2 SI, non invertibilex = n �� y = √√√√ n NO

Es.Una funzione e’ invertibile sea ogni valoredella var.dipendente y corrisponde uno e un solo valoredella var.indipendente xIn pratica, se e’ semprecrescente o decrescente.

? ?

NO


38

Quali funzioni usare?

Problema pratico: interpretare e generalizzare un dato sperimentale

Metodo:1) Effettuare una serie di misure di laboratorio2) Disporle in grafico (x=var.indip., y=var.dip.) 3) Cercare la funzione

che meglio descrive la relazione tra y e x4) Determinare i parametri di tale funzione

nella particolare situazione in esame

Tutto questo normalmente lo fa un computer,ma solo se correttamente impostato.


39

Le funzioni “in laboratorio”

y

x

NO(dipende…)

Per determinare una funzionee i suoi parametri bisogna rispettare

i “vincoli” dei dati sperimentali(es. limiti a valori grandi o piccoli,

punti o regioni “non fisiche”,zeri o valori particolari)

dando come input al computertutte le informazioni che si hanno.

Attenzione: impostazioni e approssimazioni diverse portanoa funzioni diverse per un’ unica legge fisica. Bisogna quinditener presenti i limiti di validita’ del procedimento.

Principali funzioni di uso comune “in laboratorio”:• polinomi �� y = anx

n+an-1xn-1 +…+a2x

2+a1x1+a0

• esponenziali �� y = aebx

• trigonometr. �� y = asin(bx), acos(bx)


40

Funzioni dipendenti dal tempo

Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana)

Tempo = variabile indipendenteparametro del moto

• Moti: s=s(t), v=v(t), a=a(t)

• Oscillazioni: s(t) = A sin(ωωωωt)

• Decadimenti: n(t) = n0 e-λλλλtpolinomi

f.esponenziale

f.trigonometriche


41

Proporzionalita’ diretta e inversa

Retta 1o grado Iperboleproporz.diretta proporz.inversay raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza

y

x

y = K•xy/x = K = cost

y

x

y = K/xy•x = K = cost

In In In In FisicaFisicaFisicaFisica::::ssss = = = = vvvv••••tttt PV=k PV=k PV=k PV=k �� PPPP=k/=k/=k/=k/VVVVλλλλ = = = = cccc••••TTTT λνλνλνλν = = = = c c c c �� λλλλ = = = = c/c/c/c/ννννFFFF = = = = mmmm••••aaaa∆∆∆∆VVVV = R= R= R= R••••IIII

Es.


42

Proporzionalita’ quadratica

Parabola 2o grado Iperbole quadr.proporz.diretta proporz.inversay quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto

In In In In FisicaFisicaFisicaFisica::::ssss = = = = ½½½½ a a a a tttt2222 FFFFgggg = = = = ---- G G G G •••• mmmm1111mmmm2 2 2 2 / / / / rrrr2222

TTTT = = = = ½½½½ m m m m vvvv2222 FFFFeeee = K = K = K = K •••• qqqq1111qqqq2 2 2 2 / / / / rrrr2222

Es.

y

x

y = K•x2

y/x2 = K = costy

x

y = K/x2

y•x2 = K = cost


43

Esponenziale e logaritmo

103 = 1000 log10(1000) = 3Es.

Qual è l’esponente a cui bisogna elevare un dato numero per ottenere un certo risultato?

an = N �� n = loga(N)

Logaritmo in base a di Nè l’esponente a cui bisogna elevare la base a per ottenere come risultato il numero dato N.

log3(9) = 2 perché 32 = 9 log2(64) = 6 perché 26 = 64loge(e) = 1 perché e1 = e

Es. e = 2.718... numero di Neperloge = ln �� logaritmi in base elog10 = Log �� logaritmi in base 10

logaritmo=funzione inversadell’esponenziale

log10(102) = 2


44

Conosciamo meglio i logaritmi

Per semplicità utilizziamo i logaritmi in base 10.Ma tutte le proprietà valgono per i logaritmi a qualunque base.

Def. 10n = N �� n = log10(N)

...

log10(100) = 2 perché 102 = 100log10(10) = 1 perché 101 = 10log10(1) = 0 perché 100 = 1log10(0.1) = -1 perché 10-1 = 1/10 = 0.1 log10(0.01) = -2 perché 10-2 = 1/100 = 0.01 ...

log10(0) non esiste perché 10n non può dare 0log10(-1) non esiste perché 10n non può dare

un n.negativo

Il logaritmo è definito solo

per numeri positivi.

E’ positivo per numeri >1,

negativo per numeri <1,

nullo per numeri =1.

Ogni numero positivo ha il suo logaritmo rispetto a una data base positiva

(utile la calcolatrice...)loge(5) = 1.6094 perché e1.6094 = 5 log10(64) = 1.8062 perché 101.8062 = 64

Es.


45

Proprieta’ dei logaritmi

log(1000�10) = log(10000) = 4 = 3+1

log(1000/10) = log(100) = 2 = 3-1

log(10002) = log(1000000) = 6 = 2�3

log(1000+10) = log(1010) = 3,0043≠≠≠≠ 4 = 3+1

Es.

Direttamente dalla definizione e dalle proprietà delle potenze: Def. 10n = N �� n = log10(N)

log(N•M) = log(N) + log(M)

log(N/M) = log(N) - log(M)

log(Na) = a•log(N)

Ma:log(N±±±±M) ≠≠≠≠ log(M) ±±±± log(N)


46

Funzione esponenziale

y = 1y = 1y = 1y = 1xxxx = 1= 1= 1= 1.----2 2 2 2 ----1 0 11 0 11 0 11 0 1 2 x2 x2 x2 x

yyyy100100100100

10101010

1111

.

.

y = 10y = 10y = 10y = 10xxxx

y = 10x

• definita per ogni valore di x• sempre positiva• =1 per x=0• sale “velocissima” per x>0• scende “lentissima” per x<0

Utile in tanti processi in cui sono coinvoltegrandezze positive fortemente variabili.

Rappresentazione semilogaritmica:un intervallo = es. 0-1 �� 100-101 = 1-10un ordine di grandezza (potenza di 10) 1-2 �� 101-102 = 10-100

2-3 �� 102-103 = 100-1000


47

Es. Legge esponenziale negativa

Il decadimento radioattivo è un processo statisticoa probabilità costante (= indipendente dal tempo)

Il n.di nuclei rimasti diminuisce nel tempocon legge esponenziale negativa

... provare per credere... �� lancio delle monete


48

Funzione logaritmica

y = log10x• definita solo per x>0• >0 per x>1• =0 per x=1• <0 per x<1• sale “lentissima” per x>1• scende “velocissima” per x<1

xxxx1 10 1001 10 1001 10 1001 10 100

yyyy

222211110000

----1111----2222

.y = logy = logy = logy = log10101010xxxx..

Funzione inversa (“specchiata” lungo la retta y=x) dell’esponenziale:

y = log x �� 10y = x

y

xy=x y=log10x

y=10x


49

Misura degli angoli

αααα = arco/raggio = misura dell’angolo in radianti

Rapporto arco/circonferenza=

a/c = ααααr/2ππππr = αααα/2ππππ

Lunghezza di una circonferenza:c = 2ππππ r

Lunghezza di un arco di circonferenza:a = αααα r

Quanto vale un radiante?

Angolo giro = 360° = 2ππππ radianti

1 rad : x° = 2ππππ rad : 360°

x° = 360°/2ππππ≅≅≅≅ 57.296°

ααααr

a

2π2π2π2π

c

y

x


50

Seno e coseno

αααα

r

y

x1

1

-1

-1

rx

ry

0

Circonferenza centrata nell’originecon raggio r=1(Se r≠≠≠≠1, tutto vale ugualmente“normalizzando” a r=1)

Teorema di Pitagora:rx2 + ry2 = r2

sen(αααα) = rycos(αααα) = rx

ordinata

ascissa

Seno e coseno sono due numeri compresi tra –1 e 1,funzioni di un angolo, tali per cui vale la proprietà fondamentale

sen2(αααα) + cos2(αααα) = 1


51

Valori notevoli di seno e coseno

Muovendosi sulla circonferenza unitariain senso antiorariopartendo dal semiasse x positivo:

αααα αααα°°°° sen(αααα) cos(αααα)

0 0° 0 1ππππ/2 90° 1 0ππππ 180° 0 -13ππππ/2 270° -1 02ππππ 360° 0 1

Quanto valgono il seno e il coseno dell’angolo di 45° (= ππππ/4)?Sono evidentemente uguali: sen(ππππ/4)=cos(ππππ/4), per cui:sen2 (ππππ/4) + cos2 (ππππ/4) = 1 �� 2 sen2 (ππππ/4) = 1

�� sen2 (ππππ/4) = ½ �� sen(ππππ/4) = 1/ 2

Es.

αααα

r

y

x1

1

-1

-1

cos(αααα)

sen(αααα)

0


52

Funzioni trigonometriche

ααααr

y

x1

1

-1

-1

cos(αααα)sen(αααα)

0ο αααα

y

180° 360°

+1

–1ππππ/2 ππππ 3333ππππ////2222 2222ππππ 5555ππππ////2222 3333ππππ radianti

270°90°

y = sen αααα

y = cos αααα

• periodiche di periodo 2ππππ• definite per ogni valore di x• limitate tra –1 e 1

y = sen x

y = cos x


53

Periodo e frequenza

ωωωω(t+T) – ωωωωt = 2ππππ ωωωωT = 2ππππ ωωωω =2ππππT = 2ππππ νννν

ο ωωωωtt90° 180°270° 360°

ππππ/2 ππππ 3333ππππ/2/2/2/2 2222ππππ 5555ππππ/2/2/2/2 radianti

+A

–A

tT

Quando un fenomeno si ripete

periodicamente nel tempo:y = A sen ωωωωt αααα

νννν= frequenza1T=

ωωωω = pulsazione

T=periodo

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