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esci 1 Le leggi di KEPLERO: Indice (Fai click sulle pergamene per vedere l animazione)

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esci 2 Le leggi empiriche di Keplero Discipline coinvolte: Storia Matematica Astronomia Fisica

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esci 3 Sommario Il problema generale delle Leggi di Keplero Il problema storico Il problema matematico Il problema astronomico Il problema fisico Sintesi Bibliografia

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esci 4 Il problema generale Fin dai tempi pi remoti i movimenti dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno rappresentato un affascinante mistero per lumanit I volteggi di Marte erano i pi sorprendenti La curva a cappio descritta dal pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno

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esci 5 1 a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi 1 Legge

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esci 6 Orbita ellittica

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esci 7 Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi uguali A/t=cost. 2 a legge di Keplero o legge delle aree 2 Legge

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esci 8 3 a legge di Keplero o legge dei periodi (*) Il quadrato del periodo di qualunque pianeta proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole T 2 = k r3r3 (*) Chiamata anche legge armonica 3 Legge

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esci 9 Il problema matematico LELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO Dati nel piano due punti F 1 ed F 2, si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P di per cui costante la somma delle distanze da F 1 ed F 2 : E = (P \ PF 1 +PF 2 = 2a; 2a>F 1 F 2 ) I punti F 1 ed F 2 si dicono fuochi dellellisse

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esci 10 Equazione dellellisse Siano F 1 (c;0) ed F 2 (-c;0), con c 0 +, i fuochi e P(x;y) il punto generico dellellisse che verifica la condizione: PF 1 +PF 2 = 2a (a 0 + ) dovr naturalmente risultare 2a>2c cio a>c

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esci 11 con a 2 -c 2 =b 2 Equazione canonica dellellisse Lequazione canonica dellellisse assume la forma:

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esci 12 Propriet dellellisse Lellisse simmetrica rispetto agli assi coordinati

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esci 13 Propriet dellellisse La curva compresa nel rettangolo delimitato dalle rette x=a, x=-a y=b, y=-b

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esci 14 Eccentricit Si definisce eccentricit dellellisse il rapporto e=c/a Essendo: b 2 =a 2 -c 2 cio c 2 =a 2 -b 2 con 0

esci 18 Il moto di un pianeta La figura mostra un pianeta di massa m che si muove su unorbita ellittica intorno al Sole che ha la massa M (M>>m)

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esci 19 La 2a legge in forma schematica

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esci 20 La 2a legge in termini qualitativi La 2 a legge afferma che il pianeta si muove: pi lentamente quando pi lontano dal Sole (afelio) pi rapidamente quanto pi vicino al Sole (perielio)

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esci 21 Dal punto di vista dinamico Larea dello spicchio ombreggiato equivale quasi esattamente allarea coperta nel tempo t dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. Larea A dello spicchio uguale allarea di un triangolo mistilineo con base larco s e altezza r: A=base altezza= sr=(r )r r 2 Questespressione di A diventa sempre pi esatta quando t, e con esso, tende a 0.

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esci 22 Durante lintervallo t il raggio r ruota intorno a S di un angolo

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esci 23 La rapidit istantanea (velocit areolare) =dA/dt con la quale viene descritta larea : =dA/dt=r 2 d /dt=r 2 dove la velocit angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al Sole.

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esci 24 Ecco laspetto vettoriale del moto Il vettore p la quantit di moto del pianeta Il vettore L il momento angolare del pianeta rispetto al Sole, cio: L=r p=r mv L=rm(v sin)=rmv =rmr=mr 2 Eliminando r 2 fra le due equazioni si ottiene: = dA/dt=L/2m

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esci 25 Significato della 2 a legge =dA/dt=L/2m Se il sistema isolato L non varia e il secondo membro L/2m costante. Viceversa, se il secondo membro costante, allora la velocit areolare costante e vale la 2 a legge di Keplero.

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esci 26 La 3 a legge Consideriamo unorbita circolare di raggio r: per la 2 a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita. Sostituendo a F lespressione della legge di gravitazione F=GMm/r 2 e allaccelerazione centripeta a= 2 r si ottiene:

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esci 27 quindi: (F) = m (a) (GMm/r 2 )=m ( 2 r) Confrontando e sostituendo a =2 /T, (con T periodo del moto) si avr: T 2 /r 3 =(4 /GM)=cost.

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esci 28 Limiti di validit I ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente valide anche per orbite ellittiche La nostra dimostrazione stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o galattica Lassunzione di base che la massa M del Sole sia molto pi grande della massa m del pianeta in modo tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al centro del Sole Il sistema di riferimento preso rispetto al Sole

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esci 29 Lesattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo irrefutabile. Ma ci vollero ancora pi di 50 anni prima che se ne potessero conoscere anche le cause: si dovuto aspettare Isaac Newton per avere il quadro completo della teoria meccanico-gravitazionale

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esci 30 Proposte di attivit sperimentali per la costruzione di unellisse Metodo della moneta obliqua Metodo della deformazione del cerchio Metodo del disco rotante in una teglia Metodo del filo teso Metodo della torcia inclinata

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esci 31 1. Ellisse = moneta obliqua

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esci 32 2. Ellisse = deformazione di un cerchio Si avvolge un foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con un compasso. Distendendo il foglio si ha unellisse, la cui forma dipende: dallapertura del compasso dal diametro della bottiglia cilindrica

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esci 33 3. Ellisse = disco rotante in una teglia Si ha una teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco circolare di cartone, di diametro d=D avente un foro non nel centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel foro disegna unellisse. La forma dipende: dalla posizione del foro dal diametro della teglia

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esci 34 4. Ellisse = filo teso Si fissano due puntine su unasticella di legno su cui vi fissato un foglio. Si fa un anello di filo e si disegna lellisse tenendo teso il filo. La forma dipende: dalla distanza tra le puntine dalla lunghezza del filo

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esci 35 5. Ellisse = torcia elettrica inclinata Avvolgete attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce uscente dal forellino. Se la torcia perpendicolare al piano otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il cerchio si trasforma in unellisse. La forma dipende: dal diametro del foro dalla distanza della torcia dal piano