GRAVITAZIONE UNIVERSALE. - Istituto Nazionale di Fisica ... › ~abbresci › Didattica ›...

Prof. V. Augelli –Gravitazione - Complementi di Fisica 1 – CdL Spec. in Matematica 1

GRAVITAZIONE UNIVERSALE.

Introduzione. Aristotele sosteneva che corpi diversi, di peso diverso, cadono tanto più velocemente quanto maggiori sono le sue dimensioni. Tale affermazione è stata confutata solo 2000 anni dopo. Nel 1600 Galilei rovescia completamente il discorso filosofico di Aristotele sostenendo semplicemente che un’affermazione circa le leggi della Natura, per essere accettata deve essere provata da esperimenti riproducibili. “I discorsi nostri hanno a essere intorno al mondo sensibile e non sopra un mondo di carta” (introduzione del metodo scientifico). E’ dunque scienza galileiana tutto ciò che, scritto in linguaggio matematico, può essere verificato sperimentalmente da chiunque. Si badi bene che questo atteggiamento di Galilei riguardo la conoscenza del mondo fisico deriva dalla sua profonda fede nel Creatore del mondo e da una reale umiltà intellettuale. Galilei diceva infatti che non dobbiamo avere la pretesa di capire come Dio ha fatto il mondo semplicemente ragionando su di esso, perché Dio è infinitamente più intelligente di noi e potrebbe aver preso strade che noi neanche ce le immaginiamo per creare e governare l’Universo. Fra le infinite logiche possibili, Dio ne aveva scelta una sola e stava a noi capire quale, ponendo le domande giuste alla Sua creazione. Secondo la sua mentalità quindi, l’unica via corretta da seguire era quella di porre domande precise al Creatore attraverso l’esecuzione di esperimenti che mettessero in evidenza le leggi matematiche che governano il mondo fisico. Ogni legge trovata, era quindi per lui una risposta del Creatore all’umile creatura che si mette alla ricerca della verità accettando di essere nel buio e nell’ignoranza più completa. “Questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto. ( Opere VI, 232.) Nel 1636 Galileo sostenne che se fosse stato possibile eliminare completamente la resistenza dell’aria, tutti i corpi sarebbero caduti con uguale velocità se abbandonati dalla stessa altezza. Subito dopo la sua morte (1642), Torricelli riuscì a creare il vuoto e dare quindi la possibilità di verificare sperimentalmente l’affermazione di Galileo. Molto più tardi, nel 1971, David Scott, sul suolo lunare, abbandonò una piuma di un falcone e un martello. Quando gli oggetti toccarono il suolo disse: “Che dire? Galileo aveva ragione.” Ma bisogna dire che lo stesso Tito Lucrezio Caro, oltre 200 anni dopo Aristotele, nel suo De rerum natura azzardò una affermazione secondo cui lo spazio vuoto non può impedire ad alcuna cosa di cadere secondo la sua natura, per cui anche corpi disuguali di peso si dovrebbero muovere con la stessa velocità. Questo è il riferimento culturale che Newton aveva quando all’età di circa 23 anni (1665) iniziò a porsi il problema del perché la luna non cade sulla terra così come la


famosa mela (almeno secondo il racconto che ne fa un amico di Newton, William Stukeley).In realtà, ricerche storiografiche recenti mostrano che quasi certamente Newton fu indirettamente condotto ad occuparsi di gravità da Robert Hooke il quale gli sottopose tutta una serie di problemi concernenti il moto di un corpo su una traiettoria curva. Ma è, purtroppo, difficile ricostruire lo sviluppo storico perché Newton odiava le controversie e non pubblicava volentieri i risultati delle sue ricerche. I Principia furono pubblicati 22 anni dopo aver avanzato le idee principali e grazie ad Halley. Da un punto di vista della cinematica del moto dei pianeti, Newton stava giusto vivendo un cambiamento radicale della visione dell’universo dell’epoca che, sebbene proposto un secolo prima da Copernico, aveva appena avuto un supporto scientifico da parte di Galileo. La concezione tolemaica secondo la quale la terra è ferma e i pianeti e il sole le girano intorno, fu soppiantata dalla teoria eliocentrica che spiegava in modo più semplice il moto dei pianeti. Le osservazioni del moto dei corpi celesti fatte dagli antichi greci aveva stabilito che le orbite dei pianeti Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno erano periodiche. In particolare, il primo modello planetario assumeva che i vari pianeti descrivevano orbite circolari concentriche intorno alla Terra, fissa nel centro. Tolomeo, nel II secolo d.C., per spiegare il moto osservato, sviluppò la teoria degli epicicli secondo la quale un pianeta si muove di moto uniforme lungo una circonferenza (epiciclo) il cui centro si muove su una circonferenza più grande (deferente) con centro sulla Terra. Il moto risultante del pianeta è una epicicloide. Nikolaj Kopernik (1473 – 1543) propose una teoria eliocentrica. Sostanzialmente la differenza tra i due modelli era il diverso sistema di riferimento adottato: la Terra per Tolomeo, il Sole per Copernico.

Da un punto di vista formale cambiavano i sistemi di riferimento: inerziale quello di Copernico, non inerziale quello di Tolomeo.


L’astronomo danese Tycho Brahe criticò l’ipotesi copernicana proponendo una teoria alquanto diversa. Per poterla verificare, Brahe eseguì misure molto accurate della posizione dei pianeti per un periodo di 25 anni. Tali dati furono successivamente analizzati dall’astronomo tedesco Johannes Kepler (1571-1630) che riuscì a fornire una base sperimentale alla teoria copernicana. Le leggi di Keplero. Dopo circa 20 anni di studio, Keplero stabilì tre leggi empiriche:

1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno dei due fuochi (visione eliocentrica);

2. il raggio vettore spiccato dal sole verso il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali (la velocità areolare è costante):

ttA cos=∆∆ ;

3. i quadrati dei periodi di rivoluzione, T, dei pianeti intorno al sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori, a, delle rispettive ellissi

taT cos

3

2

=

E’ chiara la visione eliocentrica o copernicana del sistema solare, in netto contrasto con quella geocentrica allora dominante. E’ la terra che si muove attorno al sole fisso nel fuoco dell’ellisse e non viceversa. Anche Galileo credeva nel sistema eliocentrico e diceva che sostenere che fosse l’intero universo a girare attorno a noi e non viceversa era come pensare che per osservare un intero paese, un ipotetico turista, in cima ad una torre, pretendesse di stare fermo e che qualcuno gli ruotasse il paese intorno. Egli però non accettava l’idea che le orbite non fossero circolari per la sua visione divina ed armonica del mondo derivante dalla sua fede e morì con tale convinzione. C’è da dire che la visione eliocentrica del sistema solare non è nata con Copernico e Keplero, ma era già stata ipotizzata e avanzata su ragionevoli basi osservative dall’astronomo greco Aristarco di Samo (310-230 a.C.) ma poi dimenticata nel corso dei secoli anche a causa del disastroso incendio della biblioteca di Alessandria d’Egitto. Le leggi di Keplero non avevano alcuna spiegazione teorica. Newton si rese conto che tali leggi possono essere stabilite se si facevano due ipotesi: 1) ai corpi celesti possono essere applicate le leggi della meccanica valide per i corpi sulla terra; 2) i pianeti si muovono sotto l’azione di una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Per verificare la correttezza della legge di gravitazione universale, Newton confrontò l’accelerazione centripeta della luna, ac, con l’accelerazione di gravità con cui un corpo cade nelle vicinanze della terra, g. La prima vale:

ac = v2/r= ω2r=(4π2/T2)r posto r=3.84 108 m, T = 2.36 106 s, si ha ac = 2.72 10-3 m/s2.


Il rapporto g/ac vale circa 602. Tale rapporto risulta essere lo stesso di (r/RT)2 se si assume RT= 6.37 106 m. Tale uguaglianza di rapporti si ha se si assume che la forza che tiene la luna in orbita intorno alla terra è dello stesso tipo di quella che fa cadere un corpo sulla superficie terrestre. Infatti, se

cLLT

LUNA aMrMM

GF ==2

mgR

mMGF

T

TTERRA ==

2

dividendo membro a membro si ha: 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Tc Rr

ag

Come già detto, Newton verificò tale uguaglianza e postulò come vera la legge di gravitazione per due corpi qualunque e non solo pianeti del sistema solare. Questo risultato fu pubblicato 20 anni dopo la sua scoperta perché non poteva giustificare l’ipotesi che la massa della terra fosse come concentrata nel suo centro. Newton sviluppò il calcolo differenziale ed integrale e dimostrò, come in seguito dimostrato, che un guscio sferico omogeneo, e quindi una sfera solida omogenea, esercita su un corpo esterno una forza pari a quella che si eserciterebbe sul corpo qualora tutta la massa fosse concentrata nel centro della sfera. La prima legge di Keplero stabilisce che l’orbita è piana. Il significato profondo della seconda legge di Keplero risiede nella conservazione del momento angolare. Fissato un sistema di riferimento Oxyz, definiamo momento angolare di un corpo di massa m la quantità prJ rrr

×= dove rr è un vettore spiccato da un polo O e che individua (rispetto ad O) la posizione del corpo e vmp rr

= la sua quantità di moto. E’ facile dimostrare che per un corpo soggetto ad una forza centrale, il momento angolare si conserva, cioè non varia nel tempo. Infatti, la variazione temporale del momento angolare è nulla:

0=×=×+×= Frdtpdrp

dtrd

dtJd rr

rrr

rr

(1)

L’area infinitesima spazzata dal raggio vettore è: θ∆=∆ 2

21 rA e la sua variazione nel

tempo è:

mJr

tr

tA

221

21 22 ==

∆∆

=∆∆ ωθ

Da ciò discende che se la velocità areale è costante (come affermato nella II legge di Keplero), tale è anche il momento angolare. La costanza del momento angolare assicura anche che la forza agente sul corpo è centrale come risulta evidente dalla (1). La terza legge di Keplero contiene un grande tesoro che Newton seppe scoprire e valorizzare. Esso consiste nella legge di Gravitazione Universale che, in forma scalare, si scrive:


221

RmmGF =

Assumiamo che un pianeta di massa mo, trascurabile rispetto al Sole, si muova attorno alla sua stella di moto circolare uniforme, per cui è soggetto ad una forza centripeta:

RmF oPS2ω=

che scritta tenendo conto che Tπω 2

= diventa:

RT

mF oPS 2

24π=

Sfruttando la terza legge di Keplero otteniamo:

KRm

F oPS

2

2

4π=

dove abbiamo indicato con K la costante di proporzionalità presente nella terza legge di Keplero e abbiamo sostituito il semiasse maggiore dell’orbita, a, con il raggio dell’orbita circolare, R. La forza centripeta che tiene legato il pianeta al Sole non è altro che la forza di gravità, per cui la precedente rappresenta la forza di gravità con cui il Sole attira il pianeta. Ma per il terzo principio della dinamica è anche la forza con cui il pianeta attira a sé il Sole, ossia:

SPO

SoPS F

KRm

KRm

F ===2

2

2

2

44 ππ

dove KO è una costante che dipende solo dal pianeta e non da ciò che ci gira attorno e mS è la massa del Sole. Dalla precedente relazione discende che KmS=KOmo è una costante fondamentale della fisica che non dipende da nulla, né dal pianeta né dal Sole. Posto G=4π2/KmS=4π2/KOmo, possiamo scrivere la legge di gravitazione universale in forma scalare:

2Rmm

GF SooS =

Vettorialmente, se indichiamo con rur il versore spiccato dal centro di forza verso il pianeta, la legge di gravitazione universale si scrive:

rSo

oS uRmm

GF rr2

−=

Essa afferma che due corpi si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse gravitazionali ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. La costante G vale 6.67 10-11 m3/s2 Kg e fu misurata da Lord Cavendish nel 1798. La forza d’interazione tra due corpi non dipende da ciò che si trova nello spazio circostante; se vi sono più corpi, la forza risultante è data dal principio di sovrapposizione.


Esperimento di Cavendish.

Bilancia di torsione usata da Cavendish Cavendish, H.: Experiment to Determine the Density of the Earth’, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 88, pp. 469-526, Londra, 1798; Per la misura di G, Cavendish utilizzò una bilancia di torsione. Un filo metallico, o una fibra di quarzo, fissato con un estremo al soffitto, recava all’altro estremo un’asta rigida come in figura. Agli estremi dell’asta attaccò due sfere identiche di massa nota e, molto vicine ad esse, altre due sfere identiche molto pesanti. La piccola rotazione della bilancia per effetto dell’attrazione gravitazionale, fu amplificata con uno specchietto collegato al filo verticale sul quale faceva incidere un raggio di luce che veniva poi riflesso su una scala graduata. La bilancia raggiunge la condizione di equilibrio quando il momento della forza di attrazione rispetto all’asse OC eguaglia quello torcente – κθ, essendo κ la costante di torsione del filo. Perciò, detta L la lunghezza del manubrio ed r la distanza tra i centri delle sfere di massa m e m’, all’equilibrio si ha:

κθ=Lr

mmG2

'

da cui si ricava G note tutte le altre grandezze.


Il valore ricavato da Cavendish fu G=6.75 10-11 contro quello oggi accettato di 6.67 10-11 Kg-1 m3 s-2. Con questo esperimento Cavendish poté calcolare la massa della Terra. Infatti la forza con cui la Terra attira un oggetto è il suo peso, F=mg. Ma tale forza può esprimersi tramite la legge di gravitazione universale, per cui:

2RmM

Gmg T=

da cui, noto R, KgG

gRM T

2411

262

1096.51067.6

)1037.6(8.9⋅=

⋅⋅⋅

==−

Massa inerziale e massa gravitazionale. Per ricavare la legge di gravitazione, Newton usa la seconda legge della dinamica nella quale compare la massa inerziale. Questa è intesa come la resistenza che un corpo ha a cambiare il suo stato di moto, cioè, è una misura dell’inerzia posseduta dal corpo. Operativamente la massa inerziale di un corpo si determina misurando l’accelerazione che una forza nota produce su di esso, per cui mi=F/a; essa si definisce quindi per via dinamica. Nel caso della forza d’interazione gravitazionale che si esercita, per esempio, tra terra e un corpo nelle sue vicinanze, le masse che intervengono non hanno nulla a che vedere con l’inerzia dei corpi. La proprietà della materia responsabile della forza gravitazionale si chiama massa gravitazionale. A priori, non c’è motivo per poter affermare che i due tipi di massa coincidono. La massa gravitazionale può operativamente determinarsi con una bilancia; la misura è quindi di tipo statico. Possiamo facilmente verificare che queste due proprietà della materia sono proporzionali; inoltre, con altissima precisione la costante di proporzionalità è 1.


L’esperienza mostra che tutti i corpi nel vuoto cadono con la stessa accelerazione (Galilei); nelle vicinanze della superficie terrestre potremo scrivere:

per un corpo 1: 2

)1()1()1(

T

gTi R

MGMaM =

per un corpo 2: 2

)2()2()2(

T

gTi R

MGMaM =

Dividendo membro a membro, si ha: )1()2(

)2()2(

)1()1(

aa

MM

MM

g

i

g

i = . Essendo a(2)=a(1), si ha

che il rapporto tra massa inerziale e massa gravitazionale di un corpo è costante. Storicamente si potrebbe considerare come primo esperimento quello sulla caduta dei gravi eseguito da Galileo Galilei a Pisa: corpi che hanno la stessa massa inerziale hanno lo stesso tempo di caduta, il che implica che hanno la stessa accelerazione di caduta libera e quindi la stessa massa gravitazionale. Questo esperimento mostrò anche che il periodo di un pendolo semplice non dipendeva dal materiale utilizzato. (Galileo attribuì le piccole differenze osservate alla resistenza dell'aria). Newton, avendo a disposizione le prime macchine pneumatiche, poté ripetere le stesse esperienze riducendo di parecchi ordini di grandezza l'effetto dell'aria: mostrò che in un simile ambiente (tubo di Newton) tutti i corpi cadevano con la stessa accelerazione confermando l'ipotesi di Galileo. Successivamente utilizzando un pendolo formato da un involucro cavo in cui poteva introdurre materiali diversi misurò il periodo delle piccole oscillazioni introducendo nel pendolo vari materiali. Il periodo di un pendolo semplice di lunghezza l ottenuto mantenendo distinte le due masse vale:

gmlm

Tg

iπ2=

Infatti, con riferimento alla figura, si ha: 2

2 )(sindt

ldmgm igθ

θ =− e, per piccole

oscillazioni: 2

2

dtdlmgm igθθ =− ovvero:

2

2

dtd

lmgm

i

g θθ =− da cui l’espressione di T.


Perciò se il periodo risulta indipendente dal materiale, si può affermare che corpi di materiali diversi, aventi la stessa massa inerziale, hanno la stessa massa gravitazionale. I risultati ottenuti da Newton mostrarono che l'affermazione è valida entro una parte su mille, cioè corpi di eguale massa inerziale hanno la stessa massa gravitazionale entro una parte su mille. Un miglioramento notevole è stato ottenuto da Eötvös con la bilancia di torsione con cui si mette in evidenza che la forza peso ha la stessa direzione per corpi di materiale diverso. La forza peso che agisce su un corpo fermo rispetto alla Terra è somma della forza di attrazione gravitazionale mggN diretta verso il centro della Terra e della forza centrifuga miω2r dovuta al moto di rotazione terrestre:

rmgmP iNgrrr

2ω+= la sua direzione è quella del filo a piombo che, in una data posizione, non dipende dal materiale solo se i corpi, a parità di massa inerziale, hanno la stessa massa gravitazionale.

Eötvös utilizzò una bilancia di torsione del tipo di quella di Cavendish, costituita da un'asticella sospesa per mezzo di un sottile filo di quarzo alle cui estremità vengono


poste due sfere di diverso materiale, ma aventi la stessa massa inerziale. Se la massa gravitazionale fosse diversa esse avrebbero pesi diversi.

Le forze agenti sulle due masse non sono parallele al filo: quindi hanno momento non nullo rispetto allo stesso, e, come si vede dalla figura, i due momenti hanno lo stesso segno. Ne segue che l'equipaggio della bilancia di torsione ruoterà in un certo verso.


Proiettando l’apparato su un piano ortogonale al filo di quarzo e con l’asta ruotata di 180°, possiamo rappresentare le forze nel modo seguente.

Agendo sul filo, la sbarra viene orientata in direzione est-ovest in modo che, se le due masse gravitazionali fossero diverse, i due pesi avrebbero direzione ed intensità diverse per cui si genererebbe un momento che tenderebbe a far ruotare la bilancia. Tale momento verrebbe compensato da un momento di torsione del filo per mantenere il sistema in equilibrio. Se, dopo aver raggiunto l'equilibrio, la bilancia di torsione viene ruotata di 180º le due forze peso si scambiano di posizione e il momento di torsione del filo si somma a quello dovuto alle forze peso facendo sbilanciare il sistema. L'effetto potrebbe essere messo in evidenza mediante una opportuna leva ottica. Ma l'esperimento evidenziò alcun effetto dovuto a differenze tra le masse gravitazionali. Altri esperimenti hanno alla base il confronto tra le accelerazioni di caduta libera rispetto al Sole. Il procedimento è il seguente: nell'approssimazione di orbite circolari, il raggio dell'orbita per un corpo solidale con la Terra, avente massa inerziale mi e massa gravitazionale mg che descrive un'orbita (circolare) intorno al Sole di massa MS vale


32ωi

sg

m

MmGr =

e quindi corpi con massa gravitazionale minore percorrono orbite con raggio minore e viceversa. Se un dispositivo simile a quello di Eötvös viene posizionato sul piano dell'orbita terrestre, in direzione ortogonale alla retta che congiunge il centro della Terra col centro del Sole, se, a parità di masse inerziali i due corpi avessero massa gravitazionale diversa, tenderebbero a portarsi su orbite diverse. Nella figura a) è schematizzata la situazione iniziale: il corpo di massa gravitazionale minore (corpo pieno) tende a percorrere un'orbita più vicina al Sole.

Dopo 12 ore la terra ha compiuto una rotazione di 180° e se tutto l’apparato si muovesse rigidamente, il manubrio si porterebbe nella posizione indicata.

Ma poiché il corpo vuoto tende a descrivere un’orbita di raggio maggiore la situazione sarà quella in figura e il manubrio oscillerà con un periodo di 24 ore.

Perciò il sistema comincerà ad oscillare con periodo ben definito (24 ore) intorno alla posizione di equilibrio e si possono mettere in evidenza anche oscillazioni di ampiezza estremamente piccola. Esperimenti in tal senso non hanno, però, evidenziato alcun effetto e hanno permesso di ridurre di alcuni ordini di grandezza l'indeterminazione, in particolare l'esperimento di Roll et al. (1964) ha ridotto l'indeterminazione a 1x10-11 e quello di Braginski e Panov (1972) fino a 1x10-12.


Campo gravitazionale prodotto da una distribuzione sferica cava di massa.

Consideriamo una sfera cava di massa M, spessore t e raggio R. Vogliamo calcolare la forza di attrazione gravitazionale tra la sfera e un corpo puntiforme di massa m posto a distanza r dal centro O. Tagliamo una fetta di dimensioni trasversali t e Rdθ, raggio Rsinθ e avente centro sul segmento OP. Iniziamo col calcolare la forza di attrazione gravitazionale tra questo anello e P. La massa dell’anello è dM=ρdV=ρ 2πRsinθ Rdθ t. Consideriamo sull’anello un elemento infinitesimo di massa dm’ distante x da m, per cui la forza sarà

2

''x

GmdmdF =

Tutte queste forze giacciono sulla superficie laterale del cono di vertice P e base l’anello. Se le sommiamo, notiamo che le componenti ortogonali ad r sono a due a due uguali ed opposte per cui la loro somma è zero. Le componenti parallele ad r si sommano per cui la forza esercitata dall’intero anello avrà modulo

∫ === 2

2

22

sin 2 coscoscos''x

dtRGmx

GmdMx

GmdmdF rθθπρααα

e sarà diretta lungo r. Se sommiamo le forze esercitate da tutti gli anelli otterremo la forza che la sfera esercita su m. A tale scopo notiamo che

θcos2222 rRRrx −+= e quindi r

xRrR2

cos222 −+

=θ ; differenziando si ha:

dxrxdR −=− θθsin . Inoltre

rxxRr

xr

xr

xRrr

xRr

22coscos

222

222

−+−=

−+−

=−

=θα .

dF’r potrà quindi scriversi:

dxx

RrrRGmtdx

xrxRrtRGm

dxxr

xRrtRGmxrx

xRrxrdx

rxtRGmdF r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

2

22

222

222

22

222

2

222

1

12

1212

2'

πρπρ

πρπρ

r

x

mP

Oθ

Rdθ

R

t

α


Integrando si ha:

( )

22

2222

22

2

4

11

rmMGR

rRGmt

xx

RrrRGmtdx

xRr

rRGmtF Rr

Rr

Rr

Rr

Rr

Rr

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= +

−

+

−

+

−∫

πρ

πρπρ

essendo la massa della sfera tRM 24πρ= . Pertanto la forza d’interazione gravitazionale tra una sfera cava e un punto materiale posto a distanza r>R dal centro della sfera è la stessa di quella che si eserciterebbe se la massa della sfera fosse concentrata nel suo centro O. Vediamo cosa accade se r<R ovvero se m si trova all’interno della sfera.

L’integrale va ora effettuato tra R-r e R+r:

( ) 011 2222

22

2 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= +

−

+

−

+

−∫

Rr

rR

Rr

rR

Rr

rR

xx

RrrRGmtdx

xRr

rRGmtF πρπρ

Se consideriamo una sfera piena e la suddividiamo in tanti gusci sferici, se m è al di fuori della sfera, i contributi dei gusci si sommano e quindi la forza sarà la stessa di quella che si eserciterebbe se la massa della sfera fosse concentrata nel suo centro. Se m si trova dentro la sfera, i gusci che la contengono danno contributo nullo per cui la forza sarà esercitata da una sfera di raggio pari alla distanza di m dal centro e massa m’ pari a M(r3/R3), cioè:

rR

mMGRr

rmMGF 33

3

2 ==

PO

Rr

R+r R-r

r

F

R

1/r2 r


Energia potenziale gravitazionale. Consideriamo un corpo di massa m che si muove sotto l’azione della forza gravitazionale F, esercitata su di esso da un corpo di massa M, posto in O. Tale forza sarà conservativa se il lavoro che essa compie quando il corpo si sposta da una posizione i ad una f risulterà indipendente dal percorso.

Calcoliamo il lavoro usando la sua definizione:

fifi

f

i

f

i2r

f

i

f

i2

UUr1

r1GmM

drr

MmGsdFsdur

MmGsdFL

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

=−=⋅=⋅−=⋅= ∫ ∫∫ ∫rrrrrr

Il lavoro dipende solamente dalle posizioni iniziale e finale del corpo di massa m;

possiamo quindi definire una funzione energia potenziale r

GMmU −= +cost, tale che il

lavoro sia pari all’opposto della sua variazione. Poniamo nulla l’energia potenziale all’infinito. Si definisce ‘velocità di fuga’ la minima velocità con cui un corpo dev’essere lanciato per sfuggire all’attrazione gravitazionale del pianeta su cui si trova e raggiungere l’infinito. L’orbita descritta è perciò aperta e quindi dev’essere E = 0. Per un corpo sulla superficie terrestre:

T

2

RMmGmv

210 −=

da cui vfuga = 11.2 Km/s Campo gravitazionale. Definiamo campo gravitazionale la regione dello spazio in cui sono sensibili azioni di tipo gravitazionale. Se nello spazio circostante una massa m, poniamo una massa m’ in

varie posizioni, questa sentirà una forza attrattiva data da rur

mmGF rr2

'−= essendo

rur il versore orientato da m verso m’. Possiamo ritenere che l’azione gravitazionale

F

ds

r + dr r

dθ

O

fi


esercitata da m esista indipendentemente dalla presenza di m’ e diciamo che m produce un campo gravitazionale G

r, definito come:

rurmG

mF rr

r2'

−==G

Con questa definizione, l’accelerazione di gravità può essere considerata come il campo gravitazionale alla superficie terrestre. Se consideriamo un corpo esteso, il campo gravitazionale da esso prodotto in un punto P, sarà dato dai contributi di ciascun elemento di massa dm distante r da P:

∫= rurdmG rr

2-G

Se introduciamo il potenziale gravitazionale definito come V=-Gm/r, il campo gravitazionale può esprimersi come G

r= - grad V.

Il problema dei due corpi. Il problema riguarda la determinazione dell’equazione del moto di due corpi soggetti ad una forza centrale attrattiva che varia con l’inverso del quadrato della loro distanza, come la forza gravitazionale o elettrostatica. Sia Oxyz un sistema di riferimento inerziale, r1 ed r2 la distanza dall’origine dei corpi di massa m1 ed m2, rispettivamente. Le equazioni del moto dei due corpi sono:

21221

21122

12

1 r̂rmm

GFdt

rdm ==

rr

(1)

21221

21212

22

2 r̂rmm

GFdt

rdm −==

rr

(2)

dove 12Fr

è la forza agente sul corpo 1 dovuta al corpo 2, 1221 rrr rrr−= , è il vettore che

individua la posizione del corpo 2 rispetto a 1, 21Fr

è la forza agente sul corpo 2 dovuta al corpo 1. Se sommiamo la (1) e la (2) otteniamo la legge di conservazione della quantità di moto che sappiamo essere valida per sistemi isolati di particelle; di conseguenza, il centro di massa si muoverà con velocità costante, nel sistema di riferimento inerziale scelto.

Moltiplicando la (1) per m2 e la (2) per m1 e sottraendo la (2) dalla (1), si ha:

F12

O

F21

m2

m1

r2

r1

y

x


12212

21212

2

r̂rmm

Gdt

rd−=

r

µ (3)

essendo 21

21

mmmm+

=µ la massa ridotta dei due corpi. Tale equazione è quella di una

particella di massa µ soggetta alla forza rrmm

G ˆ2

21− . Le due equazioni di partenza che

contengono i vettori posizione dei due corpi, in funzione del tempo, si sono ridotte ad una sola equazione che coinvolge un solo corpo di massa µ e il cui vettore posizione ha origine sull’altro corpo come se questo fosse fermo. Per risolvere il sistema notiamo che il momento angolare,

zrvrJ ˆ2ωµµ =×=rrr

(4) si conserva, essendo la forza centrale. Ciò implica che il moto dei due corpi avviene in un piano formato dal vettore posizione e velocità iniziali. In questo piano scegliamo un sistema di coordinate polari r e φ. Se descriviamo il fenomeno da un sistema di riferimento non inerziale dovremo tener conto della forza centrifuga che vale µω2r; nel sistema rotante l’equazione del moto è:

rrmm

Gr 22

21 µωµ +−=&& (5)

Dalla (4) ricaviamo 42

22

rJµ

ω = , per cui la (5) diventa:

3

2

221

rJ

rmm

Grµ

µ +−=&& (6)

Nella (6) solo r varia col tempo. Questa equazione è di fondamentale importanza nella meccanica celeste e governa il moto di pianeti, stelle doppie e satelliti. Tenendo conto che r=r(φ), possiamo scrivere:

ϕµϕωϕ

ϕ ddr

rJ

ddr

dtd

ddr

dtdr

2===

Introducendo la funzione z=1/r(φ), ϕϕϕ d

dzzzd

dddr

211

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= e quindi

ϕµϕµϕµ ddzJ

ddz

zzJ

ddr

rJ

dtdr

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== 2

22

1. Possiamo valutare la derivata seconda:

dtd

dzdJ

dtrd ϕ

ϕµ 2

2

2

2

−= . Sostituendo nella (6) si ottiene:

2

212

2

JmGm

zd

zd µϕ

=+ (7)

Tale equazione è un’equazione armonica con il secondo membro costante, la cui soluzione è:

z= =r1 Acosφ + 2

21

JmGmµ (8)

La (8) è l’equazione di una conica in coordinate polari:


ϕε−

=cos1sr (9)

(si veda l’appendice A)

Confrontando si ha: 2ba

s1= =

221

JmGmµ

e sA−=ε ; (10)

ε è l’eccentricità della conica ( 0 per la circonferenza, 1 per la parabola, >1 per l’iperbole e compresa tra 0 ed 1 per l’ellisse). L’energia meccanica si conserva e può scriversi:

max

212

max

2

min

212

min

22 1

21

221

rmGm

rJ

rmGm

rJUrUTE −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=+=

µµµ&r (11)

dove si è sfruttato il fatto che la componente radiale della velocità è nulla al perielio e all’afelio. Dalla (9) si ha:

)1(s1

r1

min

ε+= (per φ=π (perielio)) , )1(s1

r1

max

ε−= (per φ=0 (afelio))

Sostituendo nella (11) otteniamo:

)1(2

22

21 εµ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

JmGm

E ; 2/1

22

21

2

221 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

mmGEJ

µε (12)

Riassumiamo in tabella la relazione esistente tra energia totale dei due corpi, eccentricità dell’orbita e la sua forma geometrica: Forma dell’orbita Eccentricità ε Energia totale E Stato

Circonferenza 0 221

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

JmGm

E µ Legato

Ellisse 0 < ε < 1 0)1(

22

221 <−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= εµ

JmGm

E Legato

Parabola 1 E = 0 Asintoticamente libero

Iperbole >1 )1(

22

221 εµ

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

JmGm

E > 0 Non legato

Per la Terra: J = 2.7 1040 Kg m2 s-1, 33212

21 107.222

⋅−=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

RmGm

JmGm

E µ J

dove si è assunta per la Terra l’orbita circolare. Possiamo calcolare l’energia potenziale totale che genera il moto dei due corpi;

tenendo presente che rrUFr

∂∂

−==)(

&&µ = 3

2

221

rJ

rmmG

µ+− , si ha:

)()(2

)(2

221 rUrU

rJ

rmm

GrU repgraveff +=+−=µ

Il primo termine è quello dovuto all’interazione gravitazionale, il secondo è un termine repulsivo che deriva dalla rotazione del corpo ovvero dalla conservazione del momento


angolare: più un corpo tende ad avvicinarsi all’altro più il termine repulsivo domina su quello attrattivo e quindi da una certa distanza in poi i corpi si respingono. Questo vale rigorosamente per corpi puntiformi. Per corpi sferici estesi dipende dal parametro d’urto; se questo è inferiore della somma dei due raggi, ci sarà l’urto. A grande distanza predomina il termine attrattivo e i corpi tendono ad avvicinarsi. In figura è riportato l’andamento dell’energia potenziale gravitazionale, di quella repulsiva e di quella efficace.

Tipi di orbite. Abbiamo già visto che il tipo di orbita dipende dal valore dell’energia totale posseduta dal corpo; essa è data da

UrUTE +=+= 2

21 &rµ

e quindi essa deve essere sempre almeno uguale al potenziale efficace. Nel caso di uguaglianza, 0=r& , cioè il corpo si mantiene a distanza costante dal centro di forza e quindi il moto avviene lungo una circonferenza. Se l’energia cinetica è positiva, E>Ueff e può essere positiva, nulla o negativa corrispondente ad un’orbita iperbolica, parabolica o ellittica, rispettivamente. Intanto vediamo che: Inoltre, Ueff,min=- (Gm1m2)2µ/(2J2) e rmin=J2/(Gm1m2µ), quindi tale potenziale ha la forma di una buca di potenziale. Per ciascuno dei 3 casi sopra citati, si ha,

+∞==→

−

∞→ eff0reffrUlim ; 0Ulim


rispettivamente, un moto ellittico compreso fra un perielio (rmin) ed un afelio ( rmax ); un moto parabolico che s’inverte all’infinito ed un moto iperbolico aperto, senza ritorno.

Se Ueff=E, possiamo scrivere: 2µEr2 + 2µkr – J2 = 0 essendo k=Gm1m2. Risolvendo l’equazione in r abbiamo che e

Per , la soluzione è della forma q

0nr−±−

= che è positiva.

r = J2/µk = costante e quindi si tratta di una circonferenza. Se con . Ci sono due soluzioni positive:

0q

pn>

−−− ; 0

qpn>

−+− esistono perciò due punti in cui 0r =& che sono l’afelio e il

perielio (nel sistema solare).

2

2222

J2kE0EJ2k

4µ

−≥⇒≥µ+µ=∆

E24/kr

µ∆±µ−

=

2

2

J2kE µ

−=

qpnr0E

J2k

2

2

−±−

=⇒<<µ

− np <


Derivazione della terza legge di Keplero. Consideriamo un’orbita circolare e una particella di massa µ che si muove sotto l’azione di un centro di forza. Dalla (6), tenendo conto che r=costante, abbiamo:

3

2

2210

rJ

rmm

Gµ

+−=

ed essendo 42

22

rJµ

ω = e T/2πω = , si ha:

)(4

21

2

3

2

mmGrT

+=

π

Tale rapporto dipende dalla massa del pianeta anche se essa è molto minore della massa del sole e quindi può essere trascurata (perciò Keplero non evidenziò alcuna dipendenza). La precedente relazione può scriversi:

3

22

1

2

1

2192

1

2

1

2

1

2

3

2

110314ms

mm

Omm

mm

Omm

GmrT

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= −π

La derivazione per l’orbita ellittica è alla fine dell’ultimo paragrafo. Nella tabella sono riportati i dati astronomici relativi al sistema solare e nel grafico sono riportati i valori di T2 in funzione di a3; è evidente che i punti si situano su una retta e quindi la terza legge di Keplero è verificata .


Equazione generale del moto I risultati precedenti possono essere ricavati anche usando un sistema di riferimento inerziale. Ricaviamo le componenti della velocità e dell’accelerazione in un sistema di riferimento polare.

( ) trrrr

rr urudtdruru

dtdr

dtud

rudtdrur

dtdv rrrrr

rrrr ωω +=×+=+==

trtttrr urdtd

dtdrur

dtrduru

dtdrur

dtdu

dtdru

dtrd

dtvda rrrrrrrrrr

r⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+++×+==

ωωωωωωω 222

2

2

2

Essendo la forza centrale diretta lungo r, essa sarà data da:

rmdt

rdmFr2

2

2

ω−=

Se poniamo u=1/r, l’equazione dell’ellisse si scrive:

( )2b

acos1u ϕε−=

Tenendo presente che 2mrJ

=ω , si ha che 32

2 umJrm =ω ; inoltre 2u

mJ

ddr

dtd

ddr

dtdr

ϕ=

ϕϕ

= ,

ϕ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕ=

ϕ ddu

u1

u1

dd

ddr

2 e quindi

ϕ−=

ddu

mJ

dtdr e 2

2

2

2

2

2

2

2

2

ud

udmJ

dtd

dud

mJ

dtrd

ϕ−=

ϕϕ

−= .

Sostituendo nell’espressione della forza si ha:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

+−=−ϕ

−= 2

22

23

22

2

22

r duduu

mJu

mJu

dud

mJF

ma ( ) ubacos

basin

ba

ddcos1

ba

dd

dud

22222

2

2

2

−=ϕε=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕε

ϕ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕε−

ϕ=

ϕ e quindi:

222

2

22

2 1rK

rba

mJ

bau

mJFr −=−=−=

avendo posto 2

2

mbaJK = .

La III legge di Keplero si ottiene tenendo presente che: mJ

dtdA

2= e quindi

mJ

Tab

2=

π .

Essendo 2

2

mbaJK = , risulta 3

22 4 a

KmT π

= .

Vediamo quale relazione esiste tra forma dell’orbita ed energia e momento angolare di un corpo. L’energia totale è, confondendo la massa ridotta con la massa m del corpo avente massa minore:

rMmGvvm

rMmGmvE r −+=−= )(

21

21 222

θ

usando un riferimento polare. Essendo 222

22r

2 rdtdrvvv ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+= ϕ e il momento

angolare J = mr2ω, possiamo scrivere


rMmG

rmJm

dtdrmE −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22

22

21

21

Il termine J2/(2mr2) è il potenziale centrifugo perché corrisponde ad una forza ‘centrifuga’ con verso concorde ad ur. Il potenziale efficace a cui il corpo è soggetto è quindi

rMmG

mrJUeff −= 2

2

21

Abbiamo visto che 2r1

mJ

ddr

dtd

ddr

dtdr

ϕ=

ϕϕ

= e quindi 42

222

rmJ

ddr

dtdr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

;

dell’espressione di E otteniamo: 2

2

2 221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

dtdr

mmrJ

rMmGE

Uguagliando si ha: 2

2

42

22

2

ddr

Jrm

rmJ

rMmGE

m2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Derivando rispetto a φ l’equazione A3 si ha:

ϕ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

22

42

sinfr

ddr

e quindi

)cos1(frsin

fr

Jrm

rmJ

rMmGE

m2 2

2

42

2

4

2

42

22

2

ϕ−=ϕ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Considerando l’equazione A3 per esprimere il cosφ, si può scrivere:

rGMm

Jmf2E

Jmf2

rf211

2

2

2

2

2+=

ε+

ε−

Questa eguaglianza implica quella tra i termini indipendenti da r e dipendenti da r, cioè:

EJmf211

2

2

2=

ε−

rGMm

Jmf2

rf2

2

2

=ε

ovvero 2

2

JfGMm1

=ε

e quindi 2

2

GMmJf

ε=

Eliminando f nella precedente espressione si ha:

322

22

mMGEJ21+=ε

In questa relazione l’unica quantità che può essere negativa è l’energia totale E; se E è negativa, risulta ε < 1 e quindi l’orbita è ellittica, se E è positiva, risulta ε > 1 e quindi


l’orbita è iperbolica, se E=0, ε = 1 e l’orbita è parabolica. Inoltre, l’eccentricità dipende sia dall’energia che dal momento angolare.

Abbiamo visto che 21faε−ε

= , 2

2

GMmJf

ε= per cui 2

22

aGMmJ

af1 =ε

=ε− e

sostituendo in EJmf211

2

2

2=

ε− si ha:

aGMmE

2−=

cioè, l’energia meccanica di un pianeta che si muove su un’orbita ellittica è inversamente proporzionale al semiasse maggiore dell’ellisse. L’energia, quindi determina il semiasse maggiore, mentre la forma è determinata dal momento angolare, fissata l’energia. Dall’espressione di b=a(1-e2)1/2 e dell’eccentricità si ottiene:

mEJb

21

−=

In definitiva, date le condizioni iniziali di una particella, possiamo determinare la forma dell’orbita. Se nel punto P, la particella ha velocità 1vr che forma un angolo φ1 con il vettore che individua la posizione di P rispetto al centro di forza, 1r

r , l’energia

meccanica sarà 21

1 21 mv

rGMmE +−=

Il momento angolare è dato da: J=mv1r1sinφ1; il semiasse maggiore sarà dato da

a= - GMm/2E e quello minore da mE

Jb2

1−= . Infine, l’orientazione degli assi

dell’ellisse nel piano contenente r1 e v1, potrà ottenersi dall’equazione dell’ellisse

11

cos1rf

θε+=ε . Essendo

21faε−ε

= e b=a(1-ε2)1/2 si trova facilmente: ε⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=θ

11arbcos

1

2

1 .

φ1 .C P

v1

θ1

r1


Dalla figura si può notare che la lunghezza dell’asse maggiore dipende da E e quindi solo dal modulo e non dalla direzione della velocità iniziale v1.

Se il pianeta non fosse soggetto all’interazione gravitazionale con altri corpi, esso descriverebbe un’orbita ellittica perfetta. La presenza di altri corpi e, in particolare, degli altri pianeti determina i seguenti effetti: 1) l’asse maggiore dell’ellisse ruota molto lentamente intorno al centro di forza (avanzamento del perielio per i pianeti del sistema solare) e la traiettoria ellittica non è chiusa; 2) l’eccentricità dell’ellisse varia periodicamente intorno al suo valore medio. Per la Terra, il periodo di questa variazione è di 105 anni. La teoria della relatività di Einstein prevede un effetto addizionale relativo alla rotazione dell’asse maggiore dell’orbita del pianeta. Tale effetto è stato osservato con notevole precisione per il pianeta Mercurio.

Rotazione dell’asse dell’ellisse Oscillazione dell’eccentricità dell’ellisse

2a

φ1 . C P

v1

θ1

r1

2a

v1


Appendice.

L’ellisse è il luogo dei punti del piano aventi la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, costante e pari alla lunghezza dell’asse maggiore:

PF1 + PF2 = r + r’ = 2a (A1) Sia F1F2 = 2c la distanza focale e b la lunghezza del semiasse minore. Dalla (A1), r’ = 2a – r e quindi r’2 = 4a2 + r2 – 4ar; d’altro canto, utilizzando il teorema di Carnot: r’2 = r2 + 4c2 -4rc cosφ e quindi: 4a2 + r2 – 4ar = r2 + 4c2 -4rc cosφ ovvero: a2 – ar = c2 -rc cosφ ⇒ a2 – c2 = ar -rc cosφ = r(a-c cosφ), ma a2 – c2 = b2 per cui

ϕε−

=ϕ−

=cos1

a/b

cosac1

a/br22

(A2)

essendo c/a = ε, l’eccentricità dell’ellisse. La A2 è l’equazione dell’ellisse in coordinate polari. Una conica è il luogo dei punti del piano tali che il rapporto PF/PH = ε, costante positiva. PH è la distanza del punto da una retta d, detta direttrice distante f dal fuoco F.

f

P

φ

F

r H

d

f

P

V2 V1

φ

F1 F2c cb

r H

d

a


L’equazione della conica in coordinate polari si ottiene tenendo conto che

PH = f + rcosφ e quindi ε=ϕ+ cosrf

r

ovvero: ϕε−

ε=

cos1fr (A3)

Nell’ellisse PF/PH è minore di 1, vale 1 nella parabola ed è maggiore di 1 nell’iperbole. Il prodotto fε = p è detto parametro della conica. La circonferenza è un ellisse degenere in cui r = p = cost. Confrontando A3 con A2, risulta: b2/a = fε. I vertici della conica si hanno ponendo φ =

0 e π: ε+ε

=1

fr1 , ε−ε

=1

fr2 . Nell’ellisse ( )2

2

221 1aba

1f2a2rr

ε−=⇒

ε−ε

==+ e quindi

( )222 1ab ε−= ; ma a2 – c2 = b2 e quindi si trova ac

=ε come precedentemente assunto.

Inoltre si ha anche: ε+

=ε−

=ε−ε

=1

r1

r1

fa 212

GRAVITAZIONE UNIVERSALE. - Istituto Nazionale di Fisica ... › ~abbresci › Didattica ›...

Documents

Transcript of GRAVITAZIONE UNIVERSALE. - Istituto Nazionale di Fisica ... › ~abbresci › Didattica ›...