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Elio GIROLETTI - Università degli Studi di Pavia, Dip. Fisica nucleare e teorica

ESCLUSIVO USO DIDATTICO INTERNO - Meccanica dei fluidi nei sistemi biologici

1

MECCANICA DEI FLUIDI BIOLOGICI

elio girolettielio giroletti

UNIVERSITUNIVERSITÀÀ DEGLI STUDI DI PAVIADEGLI STUDI DI PAVIAdip. Fisica nucleare e teoricadip. Fisica nucleare e teorica

via Bassi 6, 27100 Pavia, via Bassi 6, 27100 Pavia, ItalyItaly -- tel. 038298.7905 tel. 038298.7905 [email protected] [email protected] -- www.unipv.it/www.unipv.it/webgirowebgiro

fluidi nei sistemi biologicifluidi nei sistemi biologiciMECCANICAMECCANICA

FISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONEFISICA MEDICA E RADIOPROTEZIONE, elio giroletti, elio giroletti

corso integrato corso integrato FISICA, STATISTICA e INFORMATICAFISICA, STATISTICA e INFORMATICA

disciplina: FISICA MEDICA e RADIOPROTEZIONEdisciplina: FISICA MEDICA e RADIOPROTEZIONE

Classe LaureeClasse Laureedidi INFERMIERISTICA e OSTETRICIAINFERMIERISTICA e OSTETRICIA



- I parte: principi generali – propedeutico - II parte: propedeutico - III parte: equazione continuità- IV parte: moto laminare – turbolento - V parte: teorema bernoulli- fluidi: pressione idrostatica - effetti disomogeneità, pulsatilità e distensibil. - lavoro cardiaco - fenomeni di trasporto



2



- massa, peso, densità, pressione- legge di Stevino- equazione di continuità- sistema circolatorio nell'uomo

lucidi di D.Scannicchio, rivisti da E.Giroletti

II°° parteparte


MASSA, PESO, DENSITA'

kgmassa gmassam

kgpeso gpesop = m g→ →

kgpeso = kgmassa 9.8 m s–2 = 9.8 N

d = mV

[d] = [M] [L]–3 kg m–3

g cm–3S.I.

C.G.S.

H2O d = 1 g cm–3 = 1000 kg m–3


PORTATA di un FLUIDO

[Q] = [L]3 [t]–1

Q = V∆t

m3 s–1

cm3 s–1

S.I.

C.G.S.

V

∆t

Q (t) = V(t)∆t



3


PRESSIONE

p = Fn∆S = F n

∆S.

→ → →

F→

∆S

ϑ

n→

Fn

SI N / m2 ≡ pascal (Pa)CGS dina/cm2 ≡ baria

= [M][L]–1[t]–2[M][L][t]–2

[L]2[p] =

104 cm2pascal =105 dine = 10 barie


EQUILIBRIO nei FLUIDI

principio di isotropia della pressioneforze tangenti alla superficie limite = 0

principio di Pascalp applicata in un punto della superficie limite si trasmette a tutta la superficie

legge di Stevino

PRESSIONE IDROSTATICA

fluido assume la forma del contenitore


PRESSIONE IDROSTATICAIDROSTATICA

A∆S

h

F = forza peso = m g→ →

m = d Vd = mV

V = ∆S hV = ∆S h

p = F∆S

m g∆S= =

d V g∆S

d ∆S h g∆S

=

p = d g h

= d g h

legge di legge di StevinoStevino



4


PRESSIONE

SISTEMI PRATICI SISTEMI PRATICI

1 atmosfera = 760 mmHg ≡ 760 torr = 1.012 106 barie =(0°C)

= 1.012 105 Pa = 1033 gpeso cm–2

pressione idrostatica p = d g h == 13.59 g cm–3 980 cm s–2 76 cm = 1.012 106 barie


x

HgHgx d

dhh =

unità di misura della pressione

1 1 mmHgmmHg = = ddHgHg gg h =h = 1333 barie1333 barie = = 133.3 133.3 pascalpascal

1 cm1 cmH2OH2O = d= dH2OH2O gg h =h = 1 g cm1 g cm––3 3 980 cm s980 cm s––2 2 1 cm =1 cm == = 980 barie 980 barie = = 98 98 pascalpascal

1 1 mmHgmmHg = cm= cmH2OH2O= = 1.36 cm1.36 cmH2OH2O13331333980980

1 1 atmatm = = 760 760 mmHgmmHg = = 1033.6 cm1033.6 cmH2OH2O==

= 760= 760 x x 1333 barie = 1333 barie = 1.012 101.012 1066 bariebarie = = = = 1.012 101.012 105 5 pascalpascal


a a paritparitàà di di pressionepressione, p, , p, sale di sale di pipiùù unaunacolonna di Hcolonna di H22O O unauna di Hg?di Hg?

unità di misura della pressione

dgppyyh 0

12−

=−=

1 1 atmatm = = 760 760 mmmmHgHg = = 1033,6 cm1033,6 cmH2OH2O



5


dghp =

CONSEGUENZECONSEGUENZE

•• sul corpo umano (in seguito) sul corpo umano (in seguito) •• vasi comunicanti:vasi comunicanti:

un liquido si porta sempre allo stesso livelloun liquido si porta sempre allo stesso livello


stessa pressionestessa pressioneh

p=dghp=dgh


dgph =

Ago in venain vena, pressione a 18 mm di Hg, a quale altezza va posto il contenitore della flebo?

• 760 mm Hg = 760 torr = 1,012 106 baria • 1 mm Hg = 1,012 baria / 760 = 1,332 103 baria • d = 1 g/cm3

• g = 980 cm/s2

• h h = 18 1,332 103 baria / (1 980) = 24,17 cm 24,17 cm •• perchperchéé la flebo non si mette nellla flebo non si mette nell’’arteria?arteria?

IIII°° esempio: martinetto idraulico esempio: martinetto idraulico



EQUAZIONE di CONTINUITA'

LINEE di VELOCITA'MOTO STAZIONARIO

Q = costante nel tempo in ogni sezione

AAAA’’ = v = v ∆∆ttBBBB’’ = v= v’’ ∆∆tt

S S'

A A'

B B'

v v'

Q = V∆t

S v ∆t∆t= S v = costante=



6


EQUAZIONE di CONTINUITA'

Q = V∆t

S v ∆t∆t S v = costante= =

S v = S' v' v' = S vS'

EQUAZIONE di CONTINUITA’

S v = costante

(in ASSENZA di SORGENTI o di PERDITE (in ASSENZA di SORGENTI o di PERDITE ––buchibuchi--))

PerchPerchèè:: ll’’acquaacqua scendendoscendendo daldal rubinettorubinetto restringerestringe ilil diametrodiametro??


EQUAZIONE di CONTINUITA' S1 v1 = S2 v2

S = 5 cm2

v = 20 cm s–1S’ = 1.25 cm2

v’ = 80 cm s–1

Q = 100 cm3 s–1

A

S = 5 cmS = 5 cm22

B

SS’’ = 1.25 cm= 1.25 cm22

CSS’’’’ = 0.5 cm= 0.5 cm22//c.u.

S’’ = 2.5 cm2

v’’ = 40 cm s–1


AA

VV

, Enc

iclo

pedi

a de

l cor

po u

man

o, c

d-ro

m, 1

997

Sistema Sistema circolatoriocircolatorio

•• Volume del sangue: 6 lVolume del sangue: 6 l•• portata: 5 l/min portata: 5 l/min •• 1 battito /s1 battito /s

•• velocitvelocitàà media: 2media: 2--3 cm/s 3 cm/s



7


AA

VV

, Enc

iclo

pedi

a de

l cor

po u

man

o, c

d-ro

m, 1

997

Sistema Sistema circolatoriocircolatorio

(nel tempo)

pressione media

velocità media(nel tempo)

AORTAARTERIEARTERIOLECAPILLARIVENULEVENEVENA CAVA

ArterieArterie

arteriolearteriole

aortaaorta

venulevenule

vena cavavena cava

venevenevalvolevalvole


SISTEMA CIRCOLATORIO

pressione mediavelocità media

(nel tempo)

(nel tempo)

velocitvelocitàà mediamedia(cm s(cm s––11))

pressione mediapressione media((mmHgmmHg))

CUORECUORE

5050÷÷4040AORTAAORTA 10010040 40 ÷÷ 1010ARTERIEARTERIE 100 100 ÷÷ 4040

ARTERIOLEARTERIOLE 10 10 ÷÷ 0.10.1 40 40 ÷÷ 2525CAPILLARICAPILLARI <0.1<0.1 25 25 ÷÷ 1212VENULEVENULE <0.3<0.3 12 12 ÷÷ 88VENEVENE 0.3 0.3 ÷÷ 55 8 8 ÷÷ 33VENA CAVAVENA CAVA 225 5 ÷÷ 2525

CUORECUORE


NUMERO E SEZIONENUMERO E SEZIONE

S

50004000300020001000

cm2

50004000300020001000

cm2

25 400

4500+4000

60

totaleSezione totale, S

ARTERIEARTERIOLE

CAPILLARIVENULE

VENE

3,9·109

160 1,4·105 3,2·108200

numeronumero di di vasivasi



8


SEZIONE E VELOCITA'SEZIONE E VELOCITA'

50004000300020001000

S cm2

50004000300020001000

cm2

25 400

4500+4000

60

totale

1020304050

1020304050

vcm s–1 cm s–1

ARTERIOLECAPILLARI

VENULEVENEARTERIE


0

170

150

100110120130140

160

1808070605040

102030

0

+120

+60

0

– 60

8070

5060

40

90

p, mmHg

pv pa

h, cm

+–

pressione venosa pressione arteriosa

(valori medi)(valori medi)

EFFETTI FISIOLOGICIEFFETTI FISIOLOGICI dellaPRESSIONE IDROSTATICAPRESSIONE IDROSTATICA

esempio: arteria tibialeh = 100 cmd = 1 g cm–3

g = 980 cm s–2

p = d g h =(1 x 980 x 100) barie =~ 105 barie ~ 76 mm Hg

dghp =

…… ma ma ancheanche la la giraffagiraffa: : èè altaalta ~~6 m e 6 m e quandoquando bevebeve abbassaabbassa la la testatesta……



- Moto di un fluido in un condotto- Regime laminare- Regime turbolento

lucidi di lucidi di D.ScannicchioD.Scannicchio, rivisti da E.Giroletti, rivisti da E.Giroletti

IIII°° parteparte



9


MOTOMOTO di un FLUIDOFLUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO

MOTO

STAZIONARIO portata (e portata (e velvel.) costanti nel tempo.) costanti nel tempoPULSATILE portata variabile in modo periodico portata variabile in modo periodico

FLUIDO non possiede forma propria, ma assume la forma del recipiente che lo contiene

GAS GAS diffonde nello spazio disponibilediffonde nello spazio disponibile

LIQUIDOLIQUIDO volume limitato da superficie liberavolume limitato da superficie libera


MOTO di un FLUIDO REALEREALE e OMOGENEOOMOGENEO in un CONDOTTO

REALEsono presenti forze di attrito internoattrito interno che ne ostacolano il moto

attrito = – f F v→ →

OMOGENEOper qualsiasi volume le caratteristiche fisichefisichesono costanticostanti

(sangue: liquido non omogeneo)

LIQUIDO PERFETTOincomprimibile e privo di viscositincomprimibile e privo di viscositàà


AA

VV

, Enc

iclo

pedi

a de

l cor

po u

man

o, c

d-ro

m, 1

997

sangue:sangue: liquido liquido nonnon omogeneoomogeneo

eritrociti 5 10eritrociti 5 1066 mmmm--3355--6 106 1033 mmmm--3 3 leucocitileucociti

11--4 104 1055 mmmm--33

eritrociti • diam=8 µm• spess=1-2,7 µm

eritrociti eritrociti • diam=8 µm• spess=1-2,7 µm



10


MOTO di un FLUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTOCONDOTTO

CONDOTTO

non deformabile, quale che sia la non deformabile, quale che sia la forza applicataforza applicata

RIGIDO

DEFORMABILEDEFORMABILE cambia la propria forma sotto cambia la propria forma sotto l'azione di una forza l'azione di una forza

deformazione elastica condotto elasticocondotto elastico

deformazione non elastica arterie e venearterie e vene


AA

VV

, Enc

iclo

pedi

a de

l cor

po u

man

o, c

d-ro

m, 1

997


approssimazione iniziale

moto STAZIONARIOSTAZIONARIO di un LIQUIDO REALEREALEe OMOGENEOOMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDOCONDOTTO RIGIDO

a) effetti delle disomogeneita) effetti delle disomogeneitàà del sanguedel sangue-- accumulo assialeaccumulo assiale-- condotti capillaricondotti capillari

b) effetti della b) effetti della distensibilitdistensibilitàà dei condottidei condotti

(CONDOTTI ELASTICI)(CONDOTTI ELASTICI)

-- forze di coesione nei liquidiforze di coesione nei liquidi-- forze di coesione nei solidiforze di coesione nei solidi

c) effetti della c) effetti della pulsatilitpulsatilitàà del motodel motodescrizione fenomeno reale:

moto PULSATILEPULSATILE di un LIQUIDO REALEREALE NONNONOMOGENEO in un CONDOTTO ELASTICOELASTICO



11


A

REGIME LAMINARELAMINARE

FORZE di ATTRITO, FFORZE di ATTRITO, FAA

FA = – η A vδ→ →

v = velocità relativa =→ → →v1– v2η coefficiente di viscosità

[η] = [M][L][t]–2 [L][L]2 [L][t]–1 = [M][L]–1[t]–1

CGS g s–1 cm–1 = poise

v1

δ

→

v2→

A

SI 1 poise = 0,1 Pa·s

FA= -f v


ηη = = ηη(T)(T) funzione della temperatura, T

H2O ........... 0°C ........ 0.017810°C ........ 0.013020°C ........ 0.0100

alcool ........ 20°C ........ 0.0125etere .......... 20°C ........ 0.0023mercurio .. 20°C ........ 0.0157glicerina ... 15°C ........ 2.340aria ........... 15°C ........ 0.00018

t (°C) ή (poise)

≈ plasma

sangue ........................... 0.0400(valore (valore ematocritoematocrito 40%)40%)

REGIME LAMINARELAMINAREFA = – η A vδ→ →


comportamento viscoso normale

valore valore ematocritoematocrito:: volume % occupato da eritrociti

anemia

O.K.aumento Q5

o1

10

20 40 60 80 %ematocrito

viscosità relativa a H2O

valore normale

≈ 4 volte ηH2O

ηsangue= 0,04 poise

VISCOSITA' VISCOSITA' del SANGUE



12


ηη coefficiente di viscositcoefficiente di viscositàà


dipende da: •• concentrazione degli eritrociticoncentrazione degli eritrociti (vedremo in seguito)

• raggio dei capillariraggio dei capillari• temperatura:temperatura: es. raffreddando gli arti

=> ηη aumenta => circolazione è più difficile

=> congelamento


rp1

p2

L

p1 > p2

Qformula di Poiseulle1

Q = π r4

8 η L(p1 – p2)

moto3 silenzioso


profilo della velocità2

parabolicov→asse del

condotto


RESISTENZA IDRODINAMICARESISTENZA IDRODINAMICA(impedenza idraulica, z)(impedenza idraulica, z)

di un CONDOTTO

SI: Pa s m-3

CGS: dyna cm–5 s

regime laminare

R = z = 8 η Lπ r4

valore caratteristico, valore caratteristico, dipende da dipende da condottocondotto e dal e dal fluidofluido

Q = π r4

8 η L(p1 – p2)

QpzR ∆

==

zmedia = 100 mm Hg / 5l/min = 109 Pa s m-3



13


AA

VV

, Enc

iclo

pedi

a de

l cor

po u

man

o, c

d-ro

m, 1

997

ArterieArterie

arteriolearteriole

aortaaorta

venulevenule

vena cavavena cava

venevene

VASI IN SERIESERIERRtottot=R=Rvaso1 vaso1 + R+ Rvaso2vaso2

VASI IN PARALLELOPARALLELOtra le arteriole o tra i capillari zztottot=1/(1/z=1/(1/zvaso1vaso1+1/z+1/zvaso2vaso2++……))

in N capillari, z ciascuno in N capillari, z ciascuno zzeffeff = z/N= z/N

RESISTENZA MECCANICARESISTENZA MECCANICA(impedenza idraulica, z) e (impedenza idraulica, z) e

SISTEMA CIRCOLATORIO


REGIME TURBOLENTO

lamine e profiloparabolico di velocità

velocitvelocitàà criticacriticav > vvcc

transizione di fase in tutto il volume

lamine spezzate e vortici

ℜℜ = numero di = numero di ReynoldsReynolds(adimensionale)d rvc = ℜ η

[η][d][r] = [M][t]–1[L]–1

[M][L]–3 [L]= [L][t]–1 = [v]


REGIME TURBOLENTO

ℜ = numero di Reynolds(numero adimensionale)d rvc = ℜ η

r ≈ mm

condotto rettilineo uniforme e regolare:ℜ ≈ 1000 ÷1200condotto non rettilineo e/o non uniforme:ℜ < 1000

vvcc = = vvcc(t(t) ) dipendedipende dalladalla temperaturatemperatura



14


REGIME TURBOLENTO1 linee di velocità:

VORTICI

2 moto:RUMOROSO

3 relazione QQ ∆∆pp(determinata dalla elevata dissipazione di (determinata dalla elevata dissipazione di energiaenergia per attrito)per attrito)

Q ∆p∝Q2 ∝∆praddoppio portataraddoppio portata==

quadruplica pressionequadruplica pressione


REGIMIREGIMI di MOTO nel SISTEMA CIRCOLATORIOCIRCOLATORIO

vc = ℜ ηd r

ℜ = 1000η = 0.04 poise (plasma) d = 1 g cm–3

AORTA (r = 0.8 cm) = 50 cm s–1vc = 1000 0,041 0,8

velocità media nell'aorta : 42,5 cm s–1

velocità istantanea: 5 cm s–1 150 cm s–1

a) MOTO TURBOLENTOTURBOLENTOall'aperturaall'apertura della valvola aortica

b) MOTO LAMINARE LAMINARE nella restante parterestante parte del ciclo cardiaco


ARTERIEARTERIEARTERIOLEARTERIOLECAPILLARICAPILLARI

MOTO LAMINARE


velocità effettiva

in diminuzionedecrescente

raggio, r

vvcc crescentecrescente

VENULEVENEVENA CAVA

v sangue < vc

MOTO LAMINARE



15



- Sangue: - disomogeneo- moto laminare (silenzioso)- equazione Poiseuille- viscosità: dipende da conc. eritrociti

- ematocrito 40%: 4-5 quella H2O- plasma: 1,5 quella H2O

- Arterie, capillari, vene: - elastici, diametro variabile

- Regime pulsatile - Regime turbolento è rumoroso

considerazioni e considerazioni e ematocritoematocrito



Anemia Anemia - basso ematocrito > bassa viscosità

> alta portata - in caso di sforzo fisico: ipossia tessuti

PolicitemiaPolicitemia- fisiologica per chi vive alle alte latitudini- patologica (tumori o insuff. respiratoria) - ematocrito fino 70% > aumento viscosità- sforzi fisici

considerazioni considerazioni -- ematocritoematocrito



- Teorema di Bernoulli- Applicazioni del teorema di Bernoulli- Pressione idrostatica - Implicazioni sul corpo umano

lucidi di D.Scannicchio, rivisti da E.Giroletti

III III –– IV IV -- VV°° parteparte



16


TEOREMA di BERNOULLI

h2

1

2

∆t determinato

fluido perfetto (forze di attrito nulleattrito nulle) (liquido nonnon viscoso: η=0) e incomprimibileincomprimibilecondotto rigidomoto stazionario (Q = costante)

h1

vv11LL11SS11

pp11

∆∆VV11

∆h

vv22

LL22

SS22pp22

∆∆VV22


TEOREMA di CONTINUITA’

h2

1

2

∆t determinato

h1

vv11LL11SS11

pp11

∆∆VV11

∆h

vv22

LL22

SS22pp22

∆∆VV22

Q = ∆V∆t = S v = S1

L1∆t = S2

L2

∆t∆t determinato

S1 L1 = S2 L2 ∆V1 = ∆V2


ENERGIA di PRESSIONE nei LIQUIDI

S

ℓ

F→

→F e ℓ hanno eguale direzione e verso (α=0°, cosα=0) e sono normali alla superficie S

→ →

F = p Sp = FS

Ep=Lavoro= F ℓ = F ℓ = p S ℓ = p ∆V→ →

S ℓ = ∆V

Ep = p ∆V



17



h2

1

2

h1

vv11LL11SS11

pp11

∆∆VV11

∆h

vv22

LL22

SS22pp22

∆∆VV22

222111 EpUTEpUT ++=++

T= en. Cinetica; U= en. Potenziale; Ep= en. Pressione

teEpUT tancos=++


CONSERVAZIONE dell’ENERGIA

h1 ∆h

h2

v1

v2

S2

S1

∆V1

∆V2

L1

L2

suolo

p1

p2

→

→

1

2

teEUTEpUTEpUT p tancos222111 =++=++=++

T=en. cinetica U=en. potenziale Ep=en. pressione

NB: NB: indipendenteindipendente dalladalla pendenzapendenza!!!!!!


moto stazionario ∆V = costante

((∆∆t determinato)t determinato)

principio di conservazione dell'energia

kostEpUTEpUT =++=++ 222111

22222111

21 2

121 VpmghmvVpmghmv ∆++=∆++

divido perdivido per mgmg = ∆∆VV··dgdg

dgph

gv

dgph

gv 2

2

221

1

21

22++=++

21 VV ∆=∆



18



= costantev 22g

h + pd g

+altezza altezza geometricageometrica

altezza piezometricaaltezza piezometrica altezza cineticaaltezza cinetica

applicabile con buona approssimazione al sangue e ai condotti del sistema circolatorio

liquidi non viscosi e incomprimibilicondotti rigidimoto stazionario

ipotesiipotesi


applicazione 1 sistema circolatorio

condotto uniforme orizzontaleh1 = h2

S1 = S2{

S1 S2

v1 v2

→→p1 p2

Q = costante S1 v1 = S2 v2 v1 = v2

v = costanteh = costante

p = costanteBERNOULLI }

dgph

gv

dgph

gv 2

2

221

1

21

22++=++

in teoria…


applicazione 1 sistema circolatorio

p1 = p2 + A p1 – p2 = A

p2 < p1

forze di attrito viscosoattrito viscoso: dissipazione di energia (J cm–3)

d v12 + d g h1 + p1 = 1

2 d v22 + d g h2 + p2 + A 1

2

attritoLVpmghmvVpmghmv −∆++=∆++ 22222111

21 2

121

dividodivido per ∆∆VV

in pratica…cc’è’è attritoattritoS1 S2

v1 v2

→→p1 p2

posto A=Lattrito/∆v

A=Lattr/∆V



19


TEOREMA di BERNOULLIBERNOULLI

= costantev 22g

h + pd g

+

conseguenze conseguenze

•• aneurisma aneurisma • se si dilata tende ad allargarsi

•• stenosi stenosi • se si ostruisce tende a chiudersi



conseguenze conseguenze

teorema diteorema di TorricelliTorricelli

22

22

21

11 2

121 v

gdgphv

gdgph ++=++

ghv 2=

h1=h

S

p1=p0

p2=p0

v1=0

v2=v

kostg

vdg

ph =++2

2

200

2100 vgdg

pdgph ++=++

h2=0



kostg

vdg

ph =++2

2

conseguenze conseguenze sindrome del sindrome del furto furto succlavianosucclaviano

Foto tratta daGiancoli, Fisica ed. Ambrosiana, 2000



20



kostg

vdg

ph =++2

2

conseguenze conseguenze favorisce la ventilazione nelle tane degli animalifavorisce la ventilazione nelle tane degli animali

Foto tratta daGiancoli, Fisica ed. Ambrosiana, 2000



kostg

vdg

ph =++2

2conseguenze conseguenze

come far cadere come far cadere una leggera una leggera moneta entro moneta entro una tazza senza una tazza senza toccarlatoccarla……

ovvero: perchovvero: perchéégli aerei volanogli aerei volano Foto tratta da

Giancoli D.C, Fisica, ed. Ambrosiana, 2000



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