Elements finis

Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte IICorso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche – Parte III

Corso diASPETTI TEORICI ED APPLICATIVI DEL METODO DEGLI

ELEMENTI FINITI

da

Vin

ci”

ecca

nic

a PARTE IIRev: 03 del 15/03/2012

eon

ard

o d

gner

iaM

e

PRINCIPI DI MODELLAZIONE

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

in In

geg

Mag

istr

ale

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc

© Università di Pisa 2008

C



VALUTAZIONE DELL’ERRORE/1VALUTAZIONE DELL ERRORE/1d

a V

inci

”ec

can

ica Il metodo EF fornisce soluzioni approssimate.

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Se le f.ni di forma rispettano determinate condizioni, il metodo risulta convergente all’aumentare del n° di g d l

gner

ia“L

ee

in

Inge

g convergente all aumentare del n di g.d.l.

Ri l di i l i

in

Inge

gM

agis

tral

e Risulta di particolare interesse:• analizzare la velocità di convergenza• analizzare la possibilità di fornire stime “a posteriori” dell’errore associato ad

Dot

tora

to

alis

tica

/M a a a e a poss b tà d o e st e a poste o de e o e assoc ato ad

un determinato modello• stabilire come modificare un modello per ridurre l’errore entro limiti

bili i

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia prestabiliti

Sc


C



VALUTAZIONE DELL’ERRORE/2Definizioni

( )uueU ˆ−=Errore sullo spostamentoValore esatto

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

( )Uo e su o sposta e to

( )σσσ ˆ−=eErrore sulle tensioni

Energia associata all’errore:

eon

ard

o d

gner

iaM

e Energia associata all errore: ( ) ( )∫ =−−=

V

Ti dVe εεσσ ˆˆ

21

-per l’elemento i (ETABLE, Lab, SERR)

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

( ) ( )∫ −−= −

V

T

V

dVD σσσσ ˆˆ21 1(dipende dal quadrato di eσ)

in

Inge

gM

agis

tral

e

- totale sul modello (*GET, Par, PRERR, 0, SERSM) ∑=i

iee

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Norma energia percentuale associata all’errore (Percentage Error Energy Norm)(*GET Par PRERR 0 SEPC)

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia (*GET, Par, PRERR, 0, SEPC)

10021

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

eE (proporzionale ad e )

Sc


C


100⎟⎠

⎜⎝ + eU

E (proporzionale ad eσ)


VALUTAZIONE DELL’ERRORE/3

Le funzioni di forma forniscono una rappresentazione polinomiale della funzione di spostamento nelle vicinanze di un nodo, simile a quella ottenibile

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

p , qattraverso una serie di Taylor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

22

+∂

+∂

+∂

+∂

+= yyuxxuyyuxxuyxuu

eon

ard

o d

gner

iaM

e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..., 22 +−∂

+−∂

+−∂

+−∂

+= iiiiii yyy

xxx

yyy

xxx

yxuu

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Il dominio di validità di tale sviluppo corrisponde alle dimensioni “h” degli elementi, pertanto:

in

Inge

gM

agis

tral

e

( ) hyyxx ii ≅−− ,max

Dot

tora

to

alis

tica

/M

i

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C




L’errore connesso con tale approssimazione sarà un infinitesimo dell’ordine del primo termine non incluso nello sviluppo, vale a dire:

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

p pp ,

( )10 +≅ pU he

d li i l tili t l il d f i i di f

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Quello sulle tensioni, proporzionali alla

p = grado polinomiale utilizzata per lo sviluppo = grado funzioni di forma

gner

ia“L

ee

in

Inge

g derivata m-esima degli spostamenti, sarà invece : ( )mphe −+≅ 10σ

in

Inge

gM

agis

tral

e

Energia associata all’errore ( ))1(20 mpi he −+≅

Dot

tora

to

alis

tica

/M

i Norma percentuale dell’energia associata ll’

( )i

( )

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia all’errore ( )mphE −+≅ 10

Sc


C




Problema piano ( )20 heU ≅

da

Vin

ci”

ecca

nic

a Elementi lineari: p=1 ( )he 0≅σ

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Dimezzando le dimensioni degli elementi l’errore su U si dovrebbe ridurre ad ¼ e quello sulle tensioni ad ½.

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Inoltre, dato che: 2−∝ hngdl ( )10 −≅ gdlU ne

in

Inge

gM

agis

tral

e

( )gdlU

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

≅−

21

0 ne

Dot

tora

to

alis

tica

/M ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

≅ 0 gdlneσ

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C




Problema piano ( )30 heU ≅

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Problema pianoElementi quadratici: p=2

( )0 heU ≅

( )20 he ≅σ

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Dimezzando le dimensioni degli elementi l’errore su U si dovrebbe ridurre ad 1/8 e quello sulle tensioni ad 1/4.

gner

ia“L

ee

in

Inge

g q

2h ⎞⎛ 3

in

Inge

gM

agis

tral

e Inoltre, dato che: 2−∝ hngdl ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ −

23

0 gdlU ne

Dot

tora

to

alis

tica

/M

( )10 −≅ gdlneσ

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

( )gdlσ

Sc


C




( )20 he ≅

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

( )0 heU ≅

( )he 0≅σ

Problema 3DElementi lineari: p=1

eon

ard

o d

gner

iaM

e

( )Dimezzando le dimensioni degli elementi l’errore su U si dovrebbe ridurre ad 1/4 e quello sulle tensioni ad 1/2

gner

ia“L

ee

in

Inge

g ad 1/4 e quello sulle tensioni ad 1/2.

3 ⎞⎛

in

Inge

gM

agis

tral

e

Inoltre, dato che: 3−∝ hngdl ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ −

32

0 gdlU ne

Dot

tora

to

alis

tica

/M ⎠⎝

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

≅−

31

0 dlne

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

≅ 0 gdlneσ

Sc


C




La convergenza sugli spostamenti è generalmente più rapida di quella sulle tensioni:

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

( )20 heU ≅ ( )he 0≅σ

eon

ard

o d

gner

iaM

e

( )U ( )σ

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

La convergenza in funzione del numero di gdl è più rapida in problemi 2D che in problemi 3D:

in

Inge

gM

agis

tral

e

⎟⎞

⎜⎛ −

1

⎟⎞

⎜⎛ −

1

Dot

tora

to

alis

tica

/M

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅ 30 gdlneσ3D:⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅ 20 gdlneσ2D:

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



VALUTAZIONE DELL’ERRORE/8d

a V

inci

”ec

can

ica

eon

ard

o d

gner

iaM

e

1Fn. di forma: grado 1

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

eU = 0(h2) UySx

in

Inge

gM

agis

tral

e

eσ = 0(h)F/

teor

ico Sx

Dot

tora

to

alis

tica

/M E

Studio di convergenza(applicabile a qualsiasi

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

0.110 100 1000 10000 100000

( pp qgrandezza)

Sc


C


10 100 1000 10000 100000

n° g.d.l.


VALUTAZIONE DELL’ERRORE/9Errore sugli spostamenti

10

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Tasso di convergenza previsto

eon

ard

o d

gner

iaM

e 1

U

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

0.1e UUy

in

Inge

gM

agis

tral

e

0 01

Dot

tora

to

alis

tica

/M 0.01

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

0.00110 100 1000 10000 100000

Sc


C


n° g.d.l.


VALUTAZIONE DELL’ERRORE/10Errore sulle tensioni

10

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Tasso di convergenza previsto

eon

ard

o d

gner

iaM

e

1

g p

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

e

Sx

in

Inge

gM

agis

tral

e

0.1

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

0.0110 100 1000 10000 100000S

c


C


10 100 1000 10000 100000

n° g.d.l.


STIMA “A POSTERIORI” ERRORE TENSIONI/1STIMA A POSTERIORI ERRORE TENSIONI/1

Tecniche di varia natura che tentano di stimare “a posteriori” l’errore associato

da

Vin

ci”

ecca

nic

a con i risultati di un dato modello.

Non consentono ovviamente una valutazione esatta dell’errore ma si

eon

ard

o d

gner

iaM

e Non consentono ovviamente una valutazione esatta dell errore, ma si propongono di fornirne una maggiorazione e di rappresentarne la distribuzione nel modello, in modo da guidare il suo eventuale affinamento.

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Nel seguito verrà presentata la tecnica di stima utilizzata da ANSYS, che si basa sulla proposta di Zienchievich

in

Inge

gM

agis

tral

e sulla proposta di Zienchievich.

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



STIMA “A POSTERIORI” ERRORE TENSIONI/2Ogni elemento che converge in un nodo fornisce una diversa stima di tensione.

STIMA A POSTERIORI ERRORE TENSIONI/2d

a V

inci

”ec

can

ica

Esattoσ

Si assume quindi generalmente il

eon

ard

o d

gner

iaM

e EFseguente valore per la i-esima componente di tensione nel nodo:

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

x

comp. i-esima, stimata nel nodo n

in

Inge

gM

agis

tral

e x

1

Dot

tora

to

alis

tica

/M ∑=

e

eni

e

ni N

,1 σσ

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

comp. i-esima, calcolata nel nodo n dall’elemento eN° di elementi

l dSc


C


nel nodo n


STIMA “A POSTERIORI” ERRORE TENSIONI/3

A d h t l l di t i t i ò


a V

inci

”ec

can

ica Assumendo che tale valore mediato sia accurato, si può porre:

( ) ( )ni

eni

ni

eni

eni σσσσσ −≅−=Δ ,,, ˆ

eon

ard

o d

gner

iaM

e

( ) ( )iiiii

Errore sulla i esima

gner

ia“L

ee

in

Inge

g Errore sulla i-esima componente dell’elemento e nel nodo n

Valore mediato (noto)

in

Inge

gM

agis

tral

e

Valore esatto (non noto)

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Nota: il valore trovato è in generale diverso da e ma tende chiaramente a zero

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Nota: il valore trovato è in generale diverso da eσ, ma tende chiaramente a zero

contemporaneamente ad esso

Sc


C



STIMA “A POSTERIORI” ERRORE TENSIONI/4STIMA A POSTERIORI ERRORE TENSIONI/4d

a V

inci

”ec

can

ica L’uso di una stima di errore specifica dell’elemento, del nodo e della componente

risulta troppo complesso da gestire in pratica

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Si cerca un valore medio rappresentativo dell’errore associabile al nodo

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Si stima in primo luogo un valore massimo dell’errore per ogni elemento, l t t id d t tti i di l ti

in

Inge

gM

agis

tral

e valutato considerando tutti i nodi e le componenti

{ }

Dot

tora

to

alis

tica

/M { }.,..,1;,..,1;, compninodinnMax en

ie °=°=Δ=Δ σσ

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C


Parametro SDSG nel comando PLESOL



Si stima quindi l’errore medio nel nodo, come media quadratica tra tutti gli elementi che convergono nel nodo:


a V

inci

”ec

can

ica

elementi che convergono nel nodo:

( )e∑ Δ2

σ

eon

ard

o d

gner

iaM

e ( )en

N

∑ Δ=Δ

σσ

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

eNI limiti massimo e minimo di tensione su ogni nodo sono dati da:

in

Inge

gM

agis

tral

e

nni

ni σσσ Δ+=max, SMXB

In ANSYS

Dot

tora

to

alis

tica

/M

nni

ni

ii

σσσ Δ−=min,In ANSYS

SMNB(Valori massimi nel modello,

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

(visualizzati solo con /GRAPHICS, FULL)

Sc


C




SMXB, SMNB SDSG


a V

inci

”ec

can

ica

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/1OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/1

E’ possibile utilizzare gli stimatori di errore per affinare il modello,

da

Vin

ci”

ecca

nic

a migliorandone la “mesh” al fine di ridurre l’errore stesso.

E’ possibile procedere in maniera automatica (“mesh adptivity”) con la “mesh”

eon

ard

o d

gner

iaM

e E possibile procedere in maniera automatica ( mesh adptivity ), con la mesh che si “adatta” automaticamente al livello di errore voluto.

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Il raggiungimento di un tale obbiettivo richiede la capacita’ di rispondere ai seguenti principali quesiti:• in che modo e’ preferibile modificare il modello per raggiungere il livello di

in

Inge

gM

agis

tral

e • in che modo e preferibile modificare il modello per raggiungere il livello di errore desiderato?• quando si può ritenere che tale livello sia stato raggiunto?

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/2

L’analisi della dipendenza della “error energy” dai parametri del modello:

OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/2d

a V

inci

”ec

can

ica ( )mp

e he −+≅ 10

eon

ard

o d

gner

iaM

e

indica che si puo’ ridurre l’errore attraverso due tecniche principali:

t fi il ti di l t ( i di l f di f i di )

gner

ia“L

ee

in

Inge

g • mantenere fisso il tipo di elemento (e quindi la f.ne di forma e quindi p) e ridurre progressivamente le dimensioni h degli elementi utilizzati (“h-convergence”)

in

Inge

gM

agis

tral

e g )

• mantenere fisse le dimensioni e la disposizione degli elementi ed aumentare i t i d l f i i di f tili t (“ ”)

Dot

tora

to

alis

tica

/M progressivamente p, variando le funzioni di forma utilizzate (“p-converegence”)

Nota: sono possibili anche approcci misti (“hp-convergence”)

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

p pp ( p g )

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/3 - “h-convergence”È stato dimostrato che un modello nel quale l’energia legata all’errore

( ) ( )∫ T ˆˆ1

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

è costante per tutti gli elementi è il modello ottimale per il numero di

( ) ( )∫ −−=V

Ti dVe εεσσ ˆˆ

21

eon

ard

o d

gner

iaM

e è costante per tutti gli elementi è il modello ottimale per il numero di g.d.l. a disposizione (“error equilibration”).

l l di i di i di li l i i i

gner

ia“L

ee

in

Inge

g Il valore di ei può quindi indicare su quali elementi è opportuno intervenire, riducendone le dimensioni, al fine di ridurre l’errore nella maniera più efficace.

in

Inge

gM

agis

tral

e

Il raggiungimento della convergenza (in ANSYS) può poi essere controllato

efficace.

Dot

tora

to

alis

tica

/M Il raggiungimento della convergenza (in ANSYS) può poi essere controllato

dalla condizione:tol

UeE ≤⋅= 100)( 2/1

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia eU +

)(

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/4 - “h-convergence”Il processo di “h-convergence” si svolge in maniera iterativa.

da

Vin

ci”

ecca

nic

a Calcolo di ei per gli elementi

S l i l ti

eon

ard

o d

gner

iaM

e Selezione elementi con eipiù elevata

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Ulteriore suddivisione degli elementi selezionati

in

Inge

gM

agis

tral

e

Soluzione col nuovo “mesh”

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Calcolo E

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

E<tol?si

no

Sc


C


FINE


OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/5 - “h-convergence”INIZIALE FINALE

da

Vin

ci”

ecca

nic

aeo

nar

do

dgn

eria

Me

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

in In

geg

Mag

istr

ale

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/6 - “h-convergence”

TENSIONI

OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/6 h convergenced

a V

inci

”ec

can

ica INIZIALE FINALE

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/7 - “h-convergence”Energia legata all’errore negli elementi (SERR)

OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/7 h convergenced

a V

inci

”ec

can

ica

INIZIALE FINALE

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/8 - “p-convergence”OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/8 p convergenced

a V

inci

”ec

can

ica

In questo caso il “mesh” viene mantenuto fisso, variando individualmente le funzioni di forma degli elementi fino a raggiungere gradi molto elevati (8-9)

eon

ard

o d

gner

iaM

e funzioni di forma degli elementi, fino a raggiungere gradi molto elevati (8 9).

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

In ANSYS il parametro utilizzato per guidare la convergenza e’ una qualunque grandezza in output associabile ad un nodo (una tensione uno

in

Inge

gM

agis

tral

e qualunque grandezza in output associabile ad un nodo (una tensione, uno spostamento, etc.).

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Il programma controlla la convergenza analizzandone la variazione percentuale al variare del grado delle f.ni di forma.

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia percentuale al variare del grado delle f.ni di forma.

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/9 - “p-convergence”

MODELLO TENSIONE

OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/9 p convergenced

a V

inci

”ec

can

ica

MODELLO TENSIONE

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C




ANDAMENTO DEL PARAMETRO DI CONVERGENZA


a V

inci

”ec

can

ica

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C




GRADO DELLE F.NI DI FORMA


a V

inci

”ec

can

ica

nce”

eon

ard

o d

gner

iaM

e

verg

en

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

“h-c

onv

in

Inge

gM

agis

tral

e

dello

“

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Mod

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/12OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/12d

a V

inci

”ec

can

ica

400

a]

eon

ard

o d

gner

iaM

e

350

cola

ta [M

Pa

I risultati ottenuti non sono del tutto indipendenti

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

300

assi

ma

calc

"p-convergence" (8-nodi)

dall’infittimento iniziale del “mesh”, in particolare per la tecnica “p-convergence”

in

Inge

gM

agis

tral

e

250

ensi

one

ma p-convergence (8-nodi)

"h-convergence" (8 nodi)

"h " (4 di)

tecnica p-convergence

Dot

tora

to

alis

tica

/M

2000246810

Te "h-convergence" (4 nodi)

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia 0246810

Infittimento iniziale modello (Smrtsize)

Sc


C



OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/13OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO/13

La differenza tra i valori di50

60Pa

]

"p convergence" (8 nodi)

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

La differenza tra i valori di tensione all’inizio ed alla fine del processo di

40

50

e m

assi

ma

[MP p-convergence (8-nodi)



eon

ard

o d

gner

iaM

e convergenza è elevata soprattutto se si parte da “mesh” molto grossolani

20

30

azio

ne te

nsio

ne

gner

ia“L

ee

in

Inge

g mesh molto grossolani

0

10

0246810

Varia

90

in

Inge

gM

agis

tral

e


60

70

80

.l.

"p-convergence" (8-nodi)


Dot

tora

to

alis

tica

/M

40

50

60

riazi

one

Ng.

d

"h-convergence" (4 nodi)La differenza tra i numeri di g.d.l. iniziale e finale è anch’essa significativa

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

10

20

30Varanch essa significativa

soprattutto se si parte da “mesh” grossolani

Sc


C


00246810



SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONESINGOLARITA DELLO STATO DI TENSIONE

Se lo stato di tensione del modello presenta dei punti di singolarità (valori tendenti a ± ∞) il valore calcolato tramite gli EF nei punti stessi mostra un andamento

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

a ± ∞), il valore calcolato tramite gli EF nei punti stessi mostra un andamento sempre crescente (divergente) con l’affinamento del “mesh”. Non è quindi possibile alcuno studio di convergenza.

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Le singolarità possono avere un’origine fisica (es. l’apice di una

14

16

18

20

[MPa

]

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

frattura) o dipendere dalla struttura del modello, vale a dire dal modo di rappresentare:

8

10

12

one

calc

olat

a

in

Inge

gM

agis

tral

e rappresentare:• carichi• vincoli

0

2

4

6

Tens

io Andamento tipico della tensione calcolata in un punto di singolarità al variare dell'infittimento

locale del mesh

Dot

tora

to

alis

tica

/M • dettagli geometrici

Il modello può essere corretto anche se contiene una singolarità (dipende dalle sue

00 2 4 6 8 10 12

Dimensioni elementi [mm]

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Il modello può essere corretto anche se contiene una singolarità (dipende dalle sue

finalità), in quanto la conoscenza delle tensioni nell’intorno di quest’ultima può non essere essenziale

Sc


C



SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/2Schematizzazione di particolari geometrici

Una rappresentazione approssimata dei dettagli geometrici del corpo in

SINGOLARITA DELLO STATO DI TENSIONE/2d

a V

inci

”ec

can

ica Una rappresentazione approssimata dei dettagli geometrici del corpo, in

particolare la sostituzione di raggi di raccordo con spigoli vivi, può provocare singolarità nello stato di tensione presente nel modello

eon

ard

o d

gner

iaM

e

g p

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

in In

geg

Mag

istr

ale

Dot

tora

to

alis

tica

/M

σL di i è di

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Lo stato di tensione è divergente e non

rappresentativo del corpo reale in tutto un intorno dello spigolo

Sc


C


gdl

intorno dello spigolo


SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/3Schematizzazione di particolari geometriciSINGOLARITA DELLO STATO DI TENSIONE/3

da

Vin

ci”

ecca

nic

a Soluzioni possibili Creazione di un modello contenente il raggio di

eon

ard

o d

gner

iaM

e raccordo

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

σ

in

Inge

gM

agis

tral

e

Stato di tensione effettivo

Dot

tora

to

alis

tica

/M gdl

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Pb. Spesso il raggio di raccordo non è noto con sufficiente precisione o varia d ( ld )S

c


C


da punto a punto (es. saldature)


SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/4Schematizzazione carichi

SINGOLARITA DELLO STATO DI TENSIONE/4d

a V

inci

”ec

can

ica Il modo di rappresentare i carichi può influenzare sensibilmente le informazioni

ottenibili dal modello, in particolare per quanto concerne le zone in prossimità del p nto di applica ione

eon

ard

o d

gner

iaM

e punto di applicazione.Gli effetti di una determinata schematizzazione dipendono anche fortemente dal tipo di elemento utilizzato (trave, shell, solido).

gner

ia“L

ee

in

Inge

g p ( , , )

Nel caso di elementi trave non si riscontrano singolarità dello stato di tensione, l i l h ti i d i i hi ( t ti di t ib iti)

in

Inge

gM

agis

tral

e qualunque sia la schematizzazione dei carichi (concentrati o distribuiti). L’andamento delle tensioni è quello dato dalle teoria delle travi, che garantisce semplicemente l’equilibrio complessivo della sezione.

Dot

tora

to

alis

tica

/M

p q p

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

xσx

Sc


C

© Università di Pisa 2008 y


SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/5

N l di l ti “ h ll” lidi i i t i l ità ll t t di

Schematizzazione carichi

da

Vin

ci”

ecca

nic

a Nel caso di elementi “shell” o solidi si riscontrano singolarità nello stato di tensione in presenza di carichi concentrati.

eon

ard

o d

gner

iaM

e P

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

in In

geg

Mag

istr

ale

Infittendo progressivamente si osserva infatti come le dimensioni (h) degli elementi cui è applicato il carico

Dot

tora

to

alis

tica

/M dimensioni (h) degli elementi cui è applicato il carico

tendano a zero.

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

∞→≈Pσ

Pertanto, le tensioni medie al loro interno:

Sc


C


∞→≈h

σ



da

Vin

ci”

ecca

nic

a Carichi concentrati su modelli che producono stati di tensione singolari

eon

ard

o d

gner

iaM

e

2D

gner

ia“L

ee

in

Inge

g 2D

in

Inge

gM

agis

tral

e

Tensioni di taglio nello spessore

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

3D

Sc


C


Tensioni membranali



da

Vin

ci”

ecca

nic

a Carichi distribuiti su di una linea: producono tensioni non singolari su di un modello a “shell” e singolari su di un modello solido.

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

e L

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia σ→∞ l’area attraverso cui

passa il carico può essere ridotta a zero

σ finita: l’area attraverso cui passa il carico è 2 s L

Sc


C


ridotta a zero



da

Vin

ci”

ecca

nic

a Un carico distribuito su di una superficie non produce singolarità

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

e

p

Dot

tora

to

alis

tica

/M p

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

finitohhp→≈σ

Sc


C


h


SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/9Schematizzazione vincoli

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Se il vincolo trasferisce al modello una forza/momento, può produrre singolarità nello stato di tensione, analoghe a quelle viste per i carichi.

eon

ard

o d

gner

iaM

e

g q p

Esempi di vincoli “concentrati” in un solo nodo

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

in In

geg

Mag

istr

ale

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

∞→≈hPσ

Sc


C


h


SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE/10Schematizzazione vincoli

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Vincoli distribuiti su superfici non producono singolarità

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



DEFINIZIONE DI CARICHI E VINCOLI SUL MODELLODEFINIZIONE DI CARICHI E VINCOLI SUL MODELLO

Carichi e vincoli applicati ad una struttura /componente

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

Carichi Vincoli

eon

ard

o d

gner

iaM

e

A li i t ti

gner

ia“L

ee

in

Inge

g Analisi statica

in

Inge

gM

agis

tral

e

Reazioni vincolari

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Sistema completo

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Sistema completo

(auto-equilibrato) di forze applicateS

c


C


di forze applicate


DEFINIZIONE DI CARICHI E VINCOLI SUL MODELLOOpzione A: applicazione al modello delle forze esterne + il sistema di vincoli effettivo

da

Vin

ci”

ecca

nic

a Esempio: cilindro di compressoreVincolo con la biella

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

e

Carrelli o “gap”

Dot

tora

to

alis

tica

/M

Richiede una rappresentazione adeguatamente accurata dei vincoli e delle azioni d i it t ll t tt

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Alcune delle forze applicate alla struttura/componente sono ottenute sotto

da essi esercitate sulla struttura

Sc


C


pp pforma di reazioni vincolari


DEFINIZIONE DI CARICHI E VINCOLI SUL MODELLODEFINIZIONE DI CARICHI E VINCOLI SUL MODELLO

Opzione B: applicazione al modello del sistema di forze completo (auto-equilibrato) + un sistema di vincoli isostatico

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

equilibrato) + un sistema di vincoli isostatico

Se i vincoli costituiscono un sistema

eon

ard

o d

gner

iaM

e

isostatico le reazioni vincolari risultano identicamente nulle (carichi esterni auto-

ilib ti)

gner

ia“L

ee

in

Inge

g equilibrati)

in

Inge

gM

agis

tral

e La effettiva posizione dei vincoli è inifluente

Dot

tora

to

alis

tica

/M

I vincoli sono necessari per evitare singolarità della matrice di rigidezza d ll

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia della struttura

Sc


C



SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/1

C l ti t l h ti i d i i li è lt li d i t iti

SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/1d

a V

inci

”ec

can

ica Con elementi trave la schematizzazione dei vincoli è molto semplice ed intuitiva.

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/2 E i l i tiIn modelli fatti con elementi “shell” o solidi si pone spesso il problema di “t d ” i li t i i t i i i i i i di i li d li

SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/2 – Equivalenza cinematicad

a V

inci

”ec

can

ica “tradurre” vincoli esterni come incastri o cerniere in insiemi di vincoli nodali

applicati a superfici o linee.Esempio: trave a mensola

eon

ard

o d

gner

iaM

e Esempio: trave a mensolaCome rappresentare l’incastro?

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

y

in

Inge

gM

agis

tral

e

x

Dot

tora

to

alis

tica

/M x

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Il vincolo lungo “x” di tutti i nodi impedisce anche la rotazioneSc


C


Il vincolo lungo x di tutti i nodi, impedisce anche la rotazione


SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/4 E i l i tiSCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/4 – Equivalenza cinematica

1 solo nodo vincolato lungo “Y”

da

Vin

ci”

ecca

nic

a

g

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

Singolarità tensioni

in

Inge

gM

agis

tral

e

Tutti i nodi vincolati lungo “Y”

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Tensioni da contrazionedi Poisson impeditaS

c


C


di Poisson impedita


SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/5 E i l i ti

E’ necessario garantire che l’insieme dei vincoli che si impongono sia


a V

inci

”ec

can

ica

g p gcinematicamente corretto, cioè conservi i g.d.l. richiesti per la struttura.

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

y

in

Inge

gM

agis

tral

e

Un vincolo in direzione radiale su tutti i nodi della zona di

y

Dot

tora

to

alis

tica

/M su tutt od de a o a d

appoggio del cuscinetto impedisce anche la rotazione

“ ” d “ ”

x

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia attorno a “y” ed a “z”

Sc


C



SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/6 E i l i ti

Soluzioni cinematicamente corrette


a V

inci

”ec

can

ica

Vincolare solo un nodo, in posi ione corrispondente al

y

eon

ard

o d

gner

iaM

e posizione corrispondente al centro di rotazione del cuscinetto.

x

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

Pb: tensioni singolari

in

Inge

gM

agis

tral

e

Vincolare in dire ione radialey

Dot

tora

to

alis

tica

/M Vincolare in direzione radiale

tutti i nodi esterni che giacciono sul piano medio del cuscinetto.x

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

p

Pb: tensioni singolari

x

Sc


C



SCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/7 E i l i tiSCHEMATIZZAZIONE VINCOLI/7 – Equivalenza cinematicad

a V

inci

”ec

can

ica

Vincolare in direzione “y” e “z” un nodo non appartenente all’albero, ma posizionato in corrispondenza del centro di rotazione del cuscinetto

eon

ard

o d

gner

iaM

e posizionato in corrispondenza del centro di rotazione del cuscinetto.

N d ll’ lb

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

y Nodo appartenente all’albero

in

Inge

gM

agis

tral

e

xNodo non appartenente

Dot

tora

to

alis

tica

/M all’albero

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Connettere poi tale nodo a quelli della superficie di appoggio del cuscinetto

Sc


C


p q p pp ggtramite elementi “asta”.


SIMMETRIE GEOMETRICHE/1

L’uso di considerazioni di simmetria consente di ridurre le dimensioni del modello.

SIMMETRIE GEOMETRICHE/1d

a V

inci

”ec

can

ica I più comuni tipi di simmetria sono:

α

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

M Simmetria speculare o di riflessione

Simmetria polare o di rotazione

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Nota: la simmetria deve valere per :

• geometria• vincoliS

c


C


vincoli • proprietà materiale• carichi


SIMMETRIE GEOMETRICHE/2Sfruttando la simmetria si può includere nel modello solo una parte della struttura, sostituendo la parte mancante con opportuni vincoli sul piano di divisione.

SIMMETRIE GEOMETRICHE/2d

a V

inci

”ec

can

ica

sostituendo la parte mancante con opportuni vincoli sul piano di divisione.

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



SIMMETRIE GEOMETRICHE/3Una condizione di carico qualsiasi può essere scissa in una componente simmetrica ed in una antisimmetrica.

da

Vin

ci”

ecca

nic

a F

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

in

Inge

gM

agis

tral

e

F/2 F/2 F/2 F/2

Dot

tora

to

alis

tica

/M

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia

Sc


C



SIMMETRIE GEOMETRICHE/4 S l

La struttura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria

SIMMETRIE GEOMETRICHE/4 - Speculared

a V

inci

”ec

can

ica

g p p

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Piano di simmetria

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

XYPiano di simmetria

in

Inge

gM

agis

tral

e

Z VINCOLI SUI NODI

Dot

tora

to

alis

tica

/M Carichi

simmetriciU =0

Carichiantisimm.U =0

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia Uz=0

ROTx=0ROTy=0

Uy=0Ux=0ROTz=0

Sc


C



SIMMETRIE GEOMETRICHE/5 R t i

Il corpo viene tagliato con due piani passanti per l’asse di simmetria che

SIMMETRIE GEOMETRICHE/5 - Rotazioned

a V

inci

”ec

can

ica

Il corpo viene tagliato con due piani passanti per l asse di simmetria, che delimitano la porzione “ciclica” della struttura

eon

ard

o d

gner

iaM

egn

eria

“Le

e i

n In

geg

α

in

Inge

gM

agis

tral

eD

otto

rato

al

isti

ca/

Mcu

ola

di

Dd

LS

pec

iaS

c


C



SIMMETRIE GEOMETRICHE/6 - RotazioneSui due piani di sezione è necessario individuare coppie di nodi corrispondenti (il mesh sulle due facce deve essere lo stesso)

SIMMETRIE GEOMETRICHE/6 Rotazioned

a V

inci

”ec

can

ica

mesh sulle due facce deve essere lo stesso)

Piano di sezione 2Piano di sezione 1

eon

ard

o d

gner

iaM

e

Nodi 1 e 2 sono corrispondenti (si sovrappongono

Nodo 2a o d se o e

gner

ia“L

ee

in

Inge

g

e met

ria

(si sovrappongonoin seguito ad una rotazione αattorno all’asse di simmetria)

Nodo 1

in

Inge

gM

agis

tral

e

Ass

esi

mm Nodo 1α

Dot

tora

to

alis

tica

/M

RZ UR,1=UR,2

U U

ROTR,1=ROTR,2

cuol

a d

i D

dL

Sp

ecia θ Uθ,1=Uθ,2

UZ 1=UZ 2

ROTθ,1=ROTθ,2

ROT =ROTSc


C


UZ,1 UZ,2 ROTZ,1=ROTZ,2

Condizioni da imporre con CE o CP

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