Elementi di matematica finanziaria

Contributo didattico: prof. Sergio Copiello

Valutazione Economica del Progetto

Corso del prof. Stefano Stanghellini

Spostamento di capitali nel tempo

Non è possibile addizionare, sottrarre o confrontare tra loro

valori differiti nel tempo, se prima non sono resi

omogenei, ovvero riferiti allo stesso momento

temporale

Pertanto, è necessario individuare le formule che

consentono di anticipare o di posticipare ciascuna

prestazione finanziaria

Un capitale

Spostato in avanti nel tempo si trasforma in montante

Spostato indietro nel tempo si trasforma in valore scontato

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Interesse

L’interesse è il prezzo d’uso del capitale

Il saggio o tasso d’interesse (r) può essere espresso in

termini percentuali (r = 5%) o in termini unitari (r = 0,05)

L’interesse unitario è l’interesse maturato da un euro in un anno

Il saggio di interesse è direttamente proporzionale

Al rischio (a rischio maggiore corrisponde un maggiore tasso di

interesse)

Alla durata dell’investimento (a durata maggiore corrisponde un

maggiore tasso di interesse)

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Montante

Il montante è la somma del capitale e dei relativi

interessi

Il montante unitario (q) è la somma del capitale unitario

(un euro) e degli interessi maturati in un anno

I = C0 * r

M = C0 + C0 * r = C0 * (1 + r )

(1 + r) = q (es. r = 0,05 q = 1,05)

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Interesse semplice e composto

Interesse semplice

Quando gli interessi maturati non generano a loro volta altri

interessi

Si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o

inferiore ad 1 anno

Interesse composto

Quando gli interessi maturati generano a loro volta altri

interessi

Si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1

anno

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Interesse semplice

Per un periodo pari ad un anno

Montante M = C0 + I = C0 + C0 * r = C0 * (1 + r)

Valore scontato C0 = M / q

Esempio

La somma di 1.000 euro viene depositata in banca all’interesse del 5%

Si vuol conoscere l’ammontare a) degli interessi dopo un anno; b) del

montante dopo un anno

a) I = C0 * r = 1.000 * 0,05 = 50 euro

b) M = C0 + I = C0 * (1 + r) = 1.000 * 1.05 = 1.050 euro

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Interesse semplice

Per un periodo inferiore ad un anno

La durata (n) viene indicata come frazione di anno

n = periodo/365 (oppure periodo/360)

Es. per un periodo di un mese (30 gg), n = 30/360

Interesse I = C0 * r * n

Montante M = C0 * (1 + r n)

Valore scontato C0 = M / (1 + r n)

Esempio

La somma di 1.000 euro viene depositata in banca all’interesse del 5%

Si vuol conoscere l’ammontare a) degli interessi; b) del montante

dopo 90 giorni

a) I = C0 * r * n = 1.000 * 0,05 * (90/360) = 12,50 euro

b) M = C0 + C0 * r * n = C0 * (1 + r * n) = 1.012,50 euro

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Anticipazione e posticipazione

Per periodi di durata pari o inferiore ad un anno

Coefficiente di posticipazione (1 + r * n)

Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r * n)

C0 (1 + r n) M

0 1 / (1 + r n) n

Posticipo

Anticipo

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Interesse composto

Determinazione del montante dopo n anni

Dopo 1 anno C1 = C0 + C0 * r = C0 * (1 + r)

Dopo 2 anni C2 = C1 + C1 * r = C1 * (1 + r)

C2 = C0 * (1 + r) * (1 + r)

C2 = C0 * q2

In generale Cn = C0 * qn

Esempio

A quanto ammonterà, tra 10 anni, il capitale di 1.000 euro investito in

titoli al saggio del 5%?

M = C0 * qn

M = 1.000 * 1,0510 = 1.629,00 euro (se l’interesse non fosse

composto, cioè se gli interessi non maturassero altri interessi, il

montante sarebbe inferiore: 1.500,00 euro)

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Anticipazione e posticipazione

Per periodi di durata superiore ad un anno

Coefficiente di posticipazione (1 + r)n = qn

Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r)n = 1 / qn

C0 qn M

0 1 / qn n

Posticipo

Anticipo

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Anticipazione: un esempio

Mille euro, in valore attuale, al variare del tempo e del tasso di

interesse

All’aumentare del tempo diminuisce il valore attuale

Al crescere del saggio diminuisce il valore attuale

Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni

1% 990 980 971 905 820

2% 980 961 942 820 673

3% 971 943 915 744 554

4% 962 925 889 676 456

5% 952 907 864 614 377

6% 943 890 840 558 312

7% 935 873 816 508 258

8% 926 857 794 463 215

9% 917 842 772 422 178

10% 909 826 751 386 149

Matematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Anticipazione e posticipazione

Coefficiente di posticipazione Coefficiente di anticipazione

1 / (1 + r * n)(1 + r * n)

(1 + r)n

qn

1 / (1 + r)n

1 / qn

Per

iod

o d

i d

ura

ta p

ari

o i

nfe

rio

re a

ll’a

nn

o

Per

iod

o d

i d

ura

ta

sup

erio

re a

ll’a

nn

oMatematica finanziaria

• Definizioni

• Interessesemplice

• Interessecomposto

• Anticipazione eposticipazione

Per approfondimenti

Realfonzo A. (1994), Teoria e metodo dell’estimo urbano,

Nis, Roma

Forte F. e De Rossi B. (1974), Principi di economia ed

estimo, Etas, Milano