Elementi di Logica, I

Le forme del ragionamento deduttivo

Corso di Logica e Filosofia della scienza, a.a. 2011-2012

Forme della razionalità (induzione/deduzione,...)Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...)Dimostrazione (fondamenti della matematica)

Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)

LOGICA

Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come

inferenza conseguenza

deduzione....

“Il punto di partenza della logica formale è la nozione tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o argomento valido.

G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13

Consideriamo la seguente definizione.

Proposizione: espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).

Esempi: l’espressione “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”

è una proposizione, mentre le espressioni “C’è nessuno in casa?”, “Vietato fumare”

non sono proposizioni.

Distinzione enunciato/proposizione

Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è vera o falsaProposizione = contenuto o senso di un enunciato

«Paolo mangia la mela»«La mela è mangiata da Paolo»

2 enunciati, 1 proposizione

Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si incarica di rispondere:

• Cosa significa che una proposizione A ‘implica‘ una proposizione B?

• Ammettendo di sapere che effettivamente la proposizione A ‘implica’ la proposizione B, come possiamo giustificare una simile implicazione?

Le analisi della logica a questo livello di generalità risultano, entro certi limiti, indipendenti dal significato delle proposizioni coinvolte, cioè valgono in virtù della sola “forma logica” delle proposizioni stesse e delle relazioni che le collegano.

Nel caso di una generica implicazione A B,

la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti nelle proposizioni A e B.

Alle origini della logica: Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege

Concezione rappresentazionale del pensiero a partire dalla filosofia moderna (Cartesio, Locke): il pensiero e la conoscenza consistono in una adeguata manipolazione e trattamento di rappresentazioni.W.G. Leibniz: importanza centrale della logica come strumento di chiarificazione del pensiero rappresentazionale

“se si lodano gli uomini che hanno determinato il numero di corpi regolari, che non ha utilità alcuna, se non in quanto è piacevole a contemplarsi, quanto sarà più meritorio ridurre a leggi matematiche il ragionamento umano, che è ciò che di più eccellente e di più utile possediamo.”

W.G. Leibniz

Logica come ‘calcolo del pensiero’

“Se dovessero sorgere controversie, le discussioni tra due filosofi non sarebbero più necessarie di quanto lo siano quelle tra due contabili. Basterebbe infatti che essi prendessero in mano le loro penne, si mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a vicenda: calcoliamo.”

W.G. Leibniz

Punti fondamentali

• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di dimostrazione.

• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di algoritmo, una procedura inferenziale ‘meccanica’ che prescinde dalla comprensione del significato dei termini coinvolti.

“Progetto del seguente trattato è quello di indagare le leggi fondamentali di quelle operazioni della mente tramite le quali viene effettuato il ragionamento [...] Tali studi destano anche interesse di altro tipo, derivato dalla luce che essi fanno sulle facoltà intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui il linguaggio e i numeri servono come strumenti per i processi del ragionamento.”

G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali sono fondate le teorie matematiche della logica e della probabilità (1854)

• Riprodurre le operazioni logiche mediante operazioni algebriche: progetto di ‘algebrizzazione’ della logica (definizione della struttura nota come algebra di Boole)

• Le operazioni introdotte in tale algebra - che rappresentano astrattamente operazioni logiche come la congiunzione (‘E’) o la disgiunzione non esclusiva (‘O’) - rappresentano il modello formale delle porte logiche di un circuito elettronico di un moderno calcolatore.

Gottlob Frege, Ideografia (1879): prima formulazione di una logica dei predicati e della nozione logica di sistema formale (o teoria formalizzata).

Individuazione di condizioni che qualunque successione di simboli logici deve soddisfare per risultare una dimostrazione.

Definizione rigorosa della nozione di dimostrazione.

“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a esaminare nel modo più sicuro la connessione di una catena deduttiva e a mettere in evidenza ogni ipotesi che voglia inavvertitamente insinuarvisi, affinché, successivamente, si possa indagare sulla sua origine. [...]

“Eliminando qualsiasi lacuna dal concatenamento dei ragionamenti, si riesce a porre in luce ogni assioma, ogni presupposto, ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così si raggiunge una base sicura dalla quale valutare la natura conoscitiva delle leggi dimostrate.”

G. Frege

LOGICA PROPOSIZIONALE: elementi di base e prime definizioni informali

Argomento (o argomentazione): insieme strutturato di proposizioni nel quale un certo insieme di proposizioni (dette premesse) sono offerte come base per giustificare la correttezza di un’altra proposizione (detta conclusione).

Esempi:Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

Giulio non era alla festa, quindi non può essere stato lui a rubarti la bicicletta.

Mondo possibile: una situazione o stato di cose alternativo a quello attuale ma logicamente concepibile (che avrebbe cioè potuto verificarsi senza determinare contraddizioni logiche).

Verità logica

Una proposizione èlogicamente vera quando è vera in tutti i mondi possibili,logicamente falsa quando è falsa in tutti i mondi possibili,logicamente contingente quando non è né logicamente vera né logicamente falsa.

Conseguenza logica

Una proposizione A è conseguenza logica di un insieme S di proposizioni (o S implica logicamente A) quando A è vera in tutti i mondi possibili nei quali sono veri tutti gli elementi di S.

Validità e correttezza di un argomento

Un argomento è valido se non esiste alcun mondo possibile nel quale le premesse sono vere e la conclusione è falsa (o, equivalentemente, se la conclusione è conseguenza logica delle premesse).

Un argomento corretto è un argomento valido le cui premesse sono vere.

Applicazione agli esempi visti prima

L’argomentoTutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

è valido (perché le premesse implicano logicamente la conclusione) ed è corretto (perché le premesse sono vere).

L’argomentoTutti gli ippogrifi volanoIn Australia esistono gli ippogrifiquindiIn Australia c’è almeno un animale che vola

è valido (perché le premesse implicano logicamente la conclusione), ma non è corretto (perché almeno una premessa è falsa).

Attenzione!

Una successione di proposizioni può essere un argomento, anche se non è immediato riconoscerla come tale. Esempio:

C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di morfina.

Argomento deduttivo

Premessenecessario

Conclusione

Argomento induttivoPremesse

non necessarioConclusione

Proposizioni composte e valori di verità

Nella logica enunciativa, proposizioni come“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”

esprimono fatti semplici, vale a dire non ulteriormente analizzabili. Proposizioni di questo tipo vengono definite atomiche.È naturalmente possibile introdurre proposizioni composte (o molecolari), generate a partire da un certo numero di proposizioni atomiche.

La proposizione “Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo Calvino era nato a Cuba”rappresenta una proposizione composta, generata mediante l’applicazione di una particella (‘e’) alle singole proposizioni atomiche

“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”“Italo Calvino era nato a Cuba”

Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che non sono provviste in sé di significato ma che permettono di formare proposizioni composte a partire da proposizioni atomiche.

Connettivi principali della logica enunciativa:‘non’ (connettivo unario, si applica a una singola proposizione)‘e’, ‘o’ e ‘se...allora’ (connettivi binari, si applicano a coppie di proposizioni).

Se ‘’ rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione:

se A, B sono due proposizioni atomiche qualsiasi, il connettivo ‘’ è rappresentato in forma funzionale come

: {A, B} ABdove ‘AB’ rappresenta la proposizione molecolare.

Sulla base delle nozioni di proposizioni atomiche e composte e di quella di verità, si pone allora in modo naturale il seguente problema: come si comporta la verità rispetto alla composizione di proposizioni composte a partire da un certo numero di proposizoni atomiche?

: {A, B} AB

vero,falso vero,falso ?

Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (proposizionali)

I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità delle proposizioni atomiche determinano univocamente il valore di verità della proposizione composta.

: {A, B} AB

vero,falso vero,falso vero,falso

I connettivi della logica proposizionale sono verofunzionali: il valore di verità di una generica proposizione composta P è funzione dei valori di verità delle proposizioni atomiche che compongono P.

Per comprendere più chiaramente la condizione di verofunzionalità, richiamiamo la definizione generale di funzione.

La nozione di funzioneUna funzione f: S T è una corrispondenza tra due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi di S associa uno e un solo elemento di T. Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è detto l’argomento della funzione e y è detto il valore della funzione. L’insieme S è detto dominio della funzione, mentre l’insieme T è detto codominio della funzione.Attenzione: la definizione appena fornita consente il caso che S = T.

Esempio 1

SeS = insieme dei bambini di una scuola elementareT = insieme delle maestre della scuola

‘Maestra di’: S Tè la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il codominio).

Esempio 2

La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni numero naturale (positivo) n associa il numero naturale (positivo) nn, può essere rappresentata come

‘quadrato di’: N+ N+

In questo caso, dominio e codominio coincidono.

Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per singoli valori, ma è possibile definire funzioni per coppie di argomenti.Esempio 3La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di numeri: se N è l’insieme dei numeri naturali, la funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n, m il numero naturale n + m.La notazione è la seguente:

+ : {N x N} N + : {n,m} n+m

Riformuliamo allora a questo punto la condizione di verofunzionalità: un generico connettivo binario della logica proposizionale può essere interpretato come una funzione

: {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›} {V, F} che a una qualsiasi coppia di valori di verità - corrispondenti ai possibili valori di verità di due proposizioni - associa uno e un solo valore di verità - corrispondente al valore di verità della relativa proposizione composta.

Verso un linguaggio formale per la logica proposizionale

Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale: evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla struttura logica degli argomenti.

Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il linguaggio della logica proposizionale, che indicheremo con L1 e che risulta composto dei seguenti elementi:

LINGUAGGIO L11.Un insieme (eventualmente infinito) di lettere

proposizionali, indicate con p, q, r, ... 2.I connettivi di congiunzione (),disgiunzione (),

implicazione (), negazione () 3. I simboli speciali ( ) e , cioè parentesi e virgole.

Proposizione di L11.Le lettere proposizionali sono proposizioni di L1.2.Se A è una proposizione di L1, allora A è una

proposizione di L1.3.Se A e B sono proposizioni di L1, allora

A B, A B,A Bsono proposizioni di L1.

4.Nient’altro è una proposizione di L1.

La definizione di proposizione di L1 è un esempio di definizione ricorsiva, cioè una definizione che caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe operazioni a certi elementi di base dell’insieme.

Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un insieme che – di fatto – è infinito (perché il numero di proposizioni formulabili è in linea di principio infinito).

Esempio: definizione ricorsiva dell’insieme N dei numeri naturali, sulla base della relazione primitiva ‘successore’

1) 0 è un numero naturale;2) Se n è un numero naturale, anche il

successore di n è un numero naturale;3) Nient’altro è un numero naturale.

Queste definizioni vengono anche chiamate induttive.

Se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale

n non è necessariamente uguale a 0

Se A e B sono proposizioni di L1, allora A B,A B, A B sono proposizioni di L1.

A non è necessariamente atomica

Nel caso in esame, l’insieme di elementi di base è l’insieme (infinito) delle lettere proposizionali di L1 e l’insieme che viene definito – l’insieme delle proposizioni di L1 – viene caratterizzato mediante l’applicazione dei connettivi a elementi appartenenti all’insieme delle lettere proposizionali.

Le lettere proposizionali p, q, r, …. funzionano di fatto come variabili, nel senso che una qualsiasi lettera proposizionale ‘sta per’ una qualsiasi proposizione.

Nella definizione di proposizione di L1, i simboli ‘A’ e ‘B’ sono meta-variabili (variabili ‘di secondo grado’): sono cioè simboli che ‘stanno per’ altri simboli – le lettere proposizionali.

In sintesi:

Proposizione (es.: «Mario mangia la mela»)

Lettera proposizionale p

(variabile che ‘sta per’ «Mario mangia la mela»)

Meta-variabile A(variabile che ‘sta per’ una lettera proposizionale

come p)

Il problema delle condizioni di verità

Dopo aver introdotto L1 e definito l’insieme delle proposizioni ammissibili in L1, possiamo chiederci:

• quali sono le condizioni di verità di una generica proposizione di L1?

• come possiamo valutare queste condizioni?

Possiamo rispondere a queste domande mediante le tavole di verità.

Le tavole di verità possono essere considerati semplici algoritmi per calcolare il valore di verità di proposizioni di L1.

TAVOLA DI VERITÀ DI A BV V VV F FF F VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI A BV V VV V FF V VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI A BV V VV F FF V VF V F

TAVOLA DI VERITÀ DI AF VV F

TAVOLA DI VERITÀ DI (‘se e solo se’)

A BV V VV F FF F VF V F

Carattere algoritmico delle tavole di verità

valore di A, valore di B

valore di (AB)

Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un semplice esercizio.

Prima di tutto definiamo tautologia una proposizione che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità alle sue proposizioni componenti.

Poiché un’assegnazione di valori di verità alle proposizioni componenti equivale a un ‘mondo possibile’, una tautologia risulta essere nient’altro che una verità logica.

Verifichiamo ora se una data proposizione è una tautologia, calcolandone il valore di verità. In base alla definizione di tautologia, quella proposizione sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità delle proposizioni componenti.

Sia dunque data una certa proposizione, per esempio

(pq)(qp)

(p q) ( q p)V V V V F V V F VV F F V V F F F VF V V V F V V V FF V F V V F V V F

Nella colonna del connettivo (il connettivo principale della proposizione) troviamo sempre V. La proposizione data riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità alle proposizioni componenti, e risulta dunque una tautologia.

Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)

(p q) (q p)V V V V V V VV F F F F V VF V V F V F FF V F V F V F

Sotto il connettivo principale non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità alle proposizioni componenti: la proposizione data non è una tautologia.

Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:

«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica. Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.»

1) Come è possibile formalizzare questo argomento?

2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento valido?

Se Mario ha studiato p allora Mario ha passato l’esame di logica q Mario ha passato l’esame di logicaquindi Mario ha studiato

((p q) q) p

((p q) q) p V V V V V V V V F F F F V F F V V V V F F F V F F F V F

Conclusione: l’argomento non è valido, perché esiste almeno un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa (la terza riga).