Le medie - approccio deduttivo

Obiettivo Specifico di Apprendimento n. 12

Le medie e la disuguaglianza

(a cura di Celia Di Foggia e Raffaele Prosperi)[email protected], [email protected]

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Prerequisiti

generali Potenze Calcolo algebrico Radici quadrate

per approccio geometrico Circonferenze Triangoli Triangoli inscritti in una circonferenza


Il percorso con approccio deduttivo prevede l’utilizzo delle metodologie:

- problem solving- scoperta guidata


Analisi

La diseguaglianza richiama un concetto centrale della statistica (le medie) e una proprietà che riguarda due esempi tipici di medie e permette un ponte tra l’algebra, la geometria e la statistica.

Si tratta di un problema di sintesi per valutare le competenze acquisite entro il termine del primo biennio della scuola secondaria superiore.



Proposta didattica per le medie

Introdurre progressivamente gli elementi fondamentali della statistica descrittiva stimolando gli alunni ad individuarli a partire da semplici problemi su situazioni della vita quotidiana; inizialmente non fornire nomi e definizioni ma guidare la classe all’individuazione di elementi che possano risolvere problemi posti man mano dal docente.

Si articola in due punti:

sulle medie sul metodo di verifica della disuguaglianza:

come confronto tra media geometrica e aritmetica algebrico geometrico

Le azioni da svolgere sono:

- partire da un problema pratico (generico, fisico, economico) secondo la collocazione nel percorso didattico,secondo le interdisciplinarietà:- specifiche del corso di studi- particolari create all’interno del consiglio di classe

- arrivare a definire in modo naturale la moda, la mediana e la media in generale, gli indici di variazione

- giungere, per applicazione a casi differenti, ad individuare (e successivamente definire) le diverse medie. In seguito prevedere anche approcci deduttivi in cui formalizzare i concetti appresi.



Gli argomenti dovrebbero essere trattati anche con l’ausilio di strumenti informatici (calcolatrici, LIM, PC, software generici e specifici) e devono riguardare il più possibile casi della vita quotidiana o affrontati nello studio di altre discipline

Esempio di percorso deduttivo

Presentare due tabelle in cui vengono forniti i dati relativi alla temperatura rilevata nelle 24 ore (ora per ora) di un determinato giorno rispettivamente nelle città di Torino e Bari.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

9,0 8,8 8,5 8,1 8 8,9 9,3 10,5 11,2 15,4 20,4 24,0

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

26,2 27,1 26,3 26,1 24,5 22,6 20,4 19,6 15,7 13,1 12,5 10,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8,9 9,0 8,5 8,3 8,2 8,7 9,0 10,1 12,1 13,7 18,8 23,2

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25,4 23,6 27,3 26,1 23,6 21,4 20,4 19,2 14,1 11,2 11,1 10,1

Torino

Bari

provare ad ottenere un’unica tabella dei dati da cui si possano ottenere le stesse informazioni rispetto a quelle assegnate

riportare le informazioni su un grafico, anche per solo una parte della giornata

individuare un criterio per stabilire in quale delle due città è più facile trovare temperature molto diverse tra loro (portando al concetto di indice di dispersione rispetto alla media)


Successivamente chiedere agli alunni:

di stabilire in quale città si è presentata la temperatura più elevata e a che ora del giorno

di stabilire qual è la temperatura che ricorre più volte

di individuare un metodo per stabilire in quale città ha fatto più caldo durante la giornata (senza introdurre il concetto di media, ma pilotando la discussione in modo da portare la classe ad individuare la necessità di tener conto di tutte le temperature e di dover determinare un valore di sintesi)



di provare ad ottenere un’unica tabella dei dati da cui si possano ottenere le stesse informazioni rispetto a quelle assegnate

di riportare le stesse informazioni su un grafico, anche per solo una parte della giornata

di individuare un criterio per stabilire in quale delle due città è più facile trovare temperature molto diverse tra loro (portando al concetto di indice di dispersione rispetto alla media)


Successivamente, una volta calcolata la media: aggiungere ad una delle due serie uno o più

valori coincidenti con il valor medio e far ricalcolare il nuovo valor medio, che deve risultare uguale al precedente, cioè deve rimanere invariato. Condurre alla proprietà che la media non varia se alla serie di valori ne vengono aggiunti uno o più uguali alla media stessa.


moltiplicare ogni valore per un uguale numero (b); far ricalcolare la media e far scoprire che il suo valore è b volte quello precedente; condurre alla relativa proprietà della media


fornire la definizione di media (unica) come il valore reale che, sostituito uguale a tutti i valori della serie, mantiene inalterato il risultato

applicare il metodo generale di calcolo della media in vari casi, mostrando che il modello non è unico, ma può variare secondo la situazione (aritmetica, geometrica, quadratica, armonica)


aggiungere alla serie di numeri un ulteriore gruppo la cui media è uguale a quella dei valori già inseriti; far ricalcolare la media complessiva scoprendo che resta invariata e condurre alla proprietà sulla media ottenuta aggiungendo ad una serie di numeri altri numeri con media uguale

aggiungere ad ogni valore un uguale numero (a); far ricalcolare la media e far scoprire che il suo valore è aumentato della quantità a; condurre alla relativa proprietà della media


Per la parte riguardante gli indici di dispersione: proporre due serie diverse di numeri, come nel

caso delle temperature, che diano come medie un numero intero uguale per entrambe; calcolarne le medie mostrando che sono uguali e chiedere quale delle due serie è meglio rappresentata dalla media, cioè per quale delle due la media rappresenta meglio l’andamento generico


Esempio:Anni dei componenti di un gruppo di studenti universitari del primo anno che studiano insieme

Media = 19

1 2 3 4 5

19 20 18 19 19


Anni dei componenti di una famiglia

Media = 19

1 2 3 4 5

40 37 9 6 3

Padre Madre I figlio II figlio III figlio


La media è la stessa (19) nei due casi, ma nel primo rappresenta molto bene tutti gli elementi, nel secondo è molto poco rappresentativa di tutti e 5 gli elementi inseriti.


Guidare a trovare un criterio per stabilire quando la media è più o meno rappresentativa del fenomeno da cui deriva e introdurre lo scarto semplice. Far calcolare la somma degli scarti, dimostrando che quella degli scarti semplici è sempre zero e, quindi, non utile per determinare dispersioni dei dati; far notare che il risultato nullo dipende dalla presenza di valori sia negativi che positivi e che quindi bisogna trasformare gli scarti in valori tutti positivi (elevandoli al quadrato o usando il valore assoluto)

Far calcolare la somma degli scarti quadraticiFar calcolare la media degli scarti quadratici


Fornire esempi di verifica degli indici:Di centralità Moda Mediana Media

Di variazione Scarto quadratico medio Varianza

Disuguaglianza

La verifica della disuguaglianza può essere effettuata con tre differenti approcci:

- Algebrico - Statistico

- Geometrico


Approccio algebricoAl primo membro è presente una radice di ordine pari, per cui il prodotto a b deve essere necessariamente non nullo. Non è possibile che siano entrambi negativi, perché si avrebbe una quantità positiva al I membro minore di una quantità negativa al II, che non verifica la disuguaglianza. Pertanto, l’unico caso da studiare è quello in cui sia a che b sono positivi o nulli.


Approccio algebricoIn particolare,

→ a ≠ b

→ a = b


Approccio algebricoA questo punto è sufficiente elevare al quadrato

entrambi i membri della disuguaglianza, il cui verso resta lo stesso per le considerazioni precedenti: si ha

ab ≤ (a2 + b2 + 2ab) / 4da cui (a2 + b2 - 2ab) ≥ 0 → (a – b)2 ≥ 0 → (a,b) [0; +∞ [


Approccio statistico

Considerare quali valori possono assumere a e b (vedi soluzione algebrica), considerare che la quantità al primo membro costituisce la media geometrica (semplice) dei valori a e b mentre quella al secondo membro ne è la media aritmetica (semplice) e che tra tali medie esiste sempre la disuguaglianza indicata.


Approccio geometricoDopo le opportune considerazioni sui valori che possono assumere a e b (vedi soluzione algebrica), dovendo essere entrambi positivi, possono essere considerati come le proiezioni sull’ipotenusa dei cateti di un triangolo rettangolo; il triangolo viene inscritto in una semicirconferenza in modo che l’ipotenusa coincide con il diametro è il raggio della circonferenza, l’altezza h del triangolo è una corda, per cui


Approccio geometrico

Essendo, per il secondo teorema di Euclide, l’altezza h medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, si ha

per cui la disuguaglianza risulta verificata.


Le medie - approccio deduttivo

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