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L’intuizione e il ragionamento matematico: aspetti propedeutici al rigore

del metodo ipotetico deduttivo

Ferdinando Casolaro1 - Maria Paola Giovine2 Giuseppe Isernia3 - Antonietta Olivello4

Sunto: Nel lavoro proposto sono indicate le linee di approccio al pro-cesso insegnamento/apprendimento tramite esempi ed argomenti che evidenziano come l’intuito e l’argomentazione” esplicabili con il me-todo del “problem solving e problem posing” evidenzino le competen-ze matematiche utili alla formazione di una “mente pensante e creati-va”. Si ritiene che solo formando un individuo come “ricercatore dei saperi” si possa giungere alla finalità di rendere “critica la conoscenza”. Abstract: In this paper we indicate the main lines which we should follow in the teaching approach, when we refer to well known prob-lem solving and problem posing methods. Parole chiave: Intuizione, argomentare, problem solving, problem posing.

1 I.T.G. “Della Porta”, Napoli. 2 Liceo Classico “A. Casardi”, Barletta. 3 I.T.I.S. “E. Fermi”, Barletta. 4 Liceo Scientifico “G. Mercalli,” Napoli.

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INTRODUZIONE Le interrelazioni tra conoscenze scientifiche e questioni etiche co-

stituiscono, più che in passato, il nocciolo su cui impostare l’inse-gnamento della Matematica e della Fisica.

In particolare, nell'ultimo anno della Scuola Secondaria di secondo grado – anno di orientamento per la riforma in atto – va tenuto conto delle diverse scelte che inducono i giovani a proseguire gli studi (indi-pendentemente dall'indirizzo specifico) o ad inserirsi nel mondo del lavoro.

I mezzi di comunicazione, con l’utilizzo delle nuove tecnologie, mettono in contatto persone situate in diverse parti del mondo in pochi secondi; più precisamente si può affermare che allo spazio fisico è so-vrapposto uno spazio della comunicazione in cui bisogna dominare gli effetti dovuti alle grosse velocità di piccole particelle (radiazioni, fe-nomeni nucleari, ecc. …) o alle forze agenti su grandi masse (fenome-ni sismici, disastri idrogeologici, ecc. …), oltre agli egoismi degli in-dividui che si manifestano attraverso scelte politiche-morali disastrose.

In questo contesto, porre anche “una questione etica” diventa es-senziale per qualsiasi percorso formativo finalizzato a fornire agli stu-denti un'educazione matematica tale da permettere loro di riflettere su ciò che avviene nell'universo che ci circonda, oltre alla capacità di co-struire ed utilizzare semplici modelli matematici che rappresentano la base di partenza per la risoluzione di gran parte dei problemi del mon-do moderno.

Allora, l'insegnamento della Matematica, nell'ultimo anno di corso, non ha più la sola funzione di disciplina di supporto alla Fisica, all'E-conomia ed alle Scienze applicate, ma va considerato come una educa-zione comune alla formazione di tutti i giovani che devono affrontare qualsiasi disciplina o il mondo del lavoro; per coloro, poi, che si av-viano a corsi universitari in cui le conoscenze matematiche hanno una funzione “forte”, è il pilastro che li sosterrà per la costruzione di Mo-delli utili all'osservazione dei fenomeni fisici ed economici, oltre alla lettura dello spazio che ci circonda. Del resto, l'utilizzo delle tecnolo-gie moderne per le operazioni fondamentali deve imporre ai docenti di trovare il coraggio per una seria riflessione che porti ad una rivisita-zione totale dei percorsi didattici.

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La questione va affrontata non aggiungendo alcune cose ed eliminandone altre, ma costruendo la formazione in base alle esigenze di un Universo completamente diverso rispetto a qualche decennio fa, oltre alla considerazione che, in questo contesto, i giovani (gli studenti) non hanno più la capacità di restare concentrati per molto tempo e di subire "lezioni frontali" come trasmissione del sapere, ma hanno una maggiore predisposizione ad un apprendimento dinamico.

Un docente che sottopone un problema di matematica ai propri al-lievi non può non tener conto della finalità pratica del problema stesso, delle possibilità di soluzioni più varie e più adatte per affrontare un dialogo fra discente e docente, da cui far scaturire un percorso didatti-co simile a quello che tradizionalmente ha da sempre maturato l'evolu-zione del pensiero matematico. Perciò le analisi statistiche e le que-stioni epistemologiche devono tener conto dello sviluppo storico, dopo il '600, della Matematica e della Fisica (la cui ricerca anche da parte degli antichi nasceva principalmente dal risolvere problemi di Astro-nomia ) e le osservazioni e le discussioni su problemi già risolti, in re-lazione della scelta del metodo di risoluzione, al fine di permettere u-n'interazione costruttiva nel dialogo educativo.

Infatti, un modello per il controllo di eventi (nell'universo fisico ed economico) o di processi di comunicazione richiede una riflessione che va ben oltre la risoluzione di un sistema di equazioni che rappre-senta un fenomeno; la stessa costruzione delle equazioni, e comunque, del modello possibile di controllo delle variabili del fenomeno, nasce dalla conoscenza statistica dei fenomeni antecedenti e si basa sulla probabilità che l’evento si verificherà certamente.

Se analizziamo alcune questioni affrontate nel periodo ellenico ed i mutamenti avvenuti nel periodo romano, possiamo trovare analogie nelle evoluzioni dei cambiamenti politici attuali, con la profonda diffe-renza che ciò che si evolveva nell’arco di decenni, oggi muta nel giro di pochi anni se non addirittura di mesi. La collocazione storica di ogni argomento che si propone in classe arricchisce il bagaglio di cono-scenze degli allievi, ma soprattutto permette di individuare le naturali predisposizioni dei giovani ad intraprendere il cammino della ricerca e di sviluppare motivazioni di tipo competitivo fra gli stessi allievi che stimolano un maggiore interesse nei confronti della disciplina.

50

L’insegnamento dell’Analisi Matematica nella Scuola Secondaria Superiore, va affrontato in modo meno formale cercando di sottolinea-re, anche con esempi riferiti al reale, le perturbazioni che avvengono in un qualsiasi modello dinamico se cambia una delle grandezze analiti-che, anche in un solo punto, nella funzione che lo rappresenta.

Per costruire un percorso didattico corretto si richiede, dunque, una rivisitazione ed una rielaborazione sia delle tematiche più finalizzate all'uso delle tecnologie (ad esempio per diagnostica medica, biogeneti-ca…), sia dell'approccio docente-studente che non può trascurare l’evoluzione scientifico-tecnologica, non può prescindere dall'analisi dei problemi sopravvenuti negli ultimi decenni. COMPETENZE DEL DOCENTE

La pratica quotidiana dell’insegnamento conduce il docente a rap-portarsi continuamente con la complessità del mondo che lo circonda e ad avere una visione dinamica del proprio lavoro. Questa sua capaci-tà di relazionarsi ed adeguare le proprie conoscenze ed esperienze non lo induce, però, a perdere di vista il fine formativo ultimo cui tende la sua azione didattica: formare individui capaci di saper pensare, ragio-nare, operare scelte autonome e consapevoli e dotati di capacità di ana-lisi e di sintesi e di abilità progettuali spendibili nel mondo del lavoro.

L’insegnamento-apprendimento della Matematica concorre in mo-

do rilevante al raggiungimento di questa finalità da parte dello studen-te, attraverso i metodi che le sono propri.

L’azione del docente tiene conto − della cura dei linguaggi specifici, − dell’utilizzo di una metodologia calata nel reale, che favorisca

lo sviluppo delle capacità logiche, − del potenziamento delle intuizioni e delle capacità personali, − dell’apprendimento basato sulla riflessione delle conoscenze,

ricercate anche nell’esperienza quotidiana, − della consapevolezza che il processo di insegnamento-

apprendimento si fonda sul piacere della conoscenza che scatu-risce dall’esperienza personale dello studente.

51

In tal modo la Matematica si relaziona anche con le altre Scienze, in particolare con la Fisica con cui si integra e cresce così come la Sto-ria ci insegna, ricusando l’atteggiamento estremamente riduttivo del matematico che concepisce la Fisica come terreno di esempi, e del fi-sico, che usa la Matematica come strumento.

Il processo di insegnamento-apprendimento è così basato sulla ri-

flessione dei contenuti e sulla ricerca, per cui la situazione problema-tica è di volta in volta proposta, meditata, discussa, riformulata, socia-lizzata e aperta a nuovi problemi. La situazione problematica è rivisi-tata anche nel contesto storico che l’ha generata ed in cui si è svilup-pata, e si avvale dell’intervento efficace delle nuove tecnologie.

Sulla base di queste premesse si propongono alcune attività didat-

tiche che tengono conto delle valenze metodologiche sopra esposte.

52

ATTIVITÀ 1. IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE ATTRAVERSO “IL METODO

DELLE OPERAZIONI”

- DESCRIZIONE DELL’ATTIVITÀ -

L’attività si propone di guidare lo studente alla costruzione di gra-fici di funzioni in modo alternativo a quello classico dell’analisi, at-traverso la composizione di grafici elementari.

ESEMPIO 1: GRAFICO CON IL METODO DELLA MOLTIPLICAZIONE

Sia data la funzione

!

y = x x " 1( ) x " 2( ) x " 3( ), si considerino i gra-fici delle funzioni y1 = x, y2 = x-1, y3 = x − 2, y4 = x − 3, nei cui secondi membri compaiono i singoli fattori dell’espressione analitica della funzione assegnata.

x

y

0

Fig. 1

53

È immediato osservare che per la legge di annullamento del pro-dotto la funzione si annulla nei punti x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 zero ri-spettivamente delle funzioni y1, y2, y3 , y4.

Negli altri punti il prodotto sarà diverso da zero e avrà un segno che può essere facilmente determinato in base ai segni dei singoli fat-tori.

Alla destra di 3 tutti i fattori sono positivi; nell’intervallo ( )3;2 tre fattori sono positivi ed uno è negativo quindi 0y < ; nell’intervallo ( )2;1 due fattori sono positivi e due negativi, quindi 0y > ; nell’intervallo ( )1;0 un fattore è positivo e tre sono negativi, perciò ri-sulta 0y < ; nell’intervallo ( )0;!" i fattori sono tutti negativi, per cui risulta 0>y .

In tal modo riassumendo i risultati le parti di piano in cui si trova la funzione sono quelle ombreggiate:

Prima di disegnare il grafico osserviamo che alla destra del punto

3 ogni fattore aumenta al crescere delle x; conformemente il prodotto aumenterà molto rapidamente. Alla sinistra di 0 ogni fattore aumenta in valore assoluto ed il prodotto (che è positivo) crescerà a sua volta molto rapidamente

Fig. 2

0

y

x 1 2 3

54

Tale procedimento, pur dando un’idea chiara dell’andamento gra-fico, non risolve in maniera capillare il suo tracciato, perché non ven-gono individuati i punti in cui la curva presenta punti di massimo o di minimo.

ESEMPIO 2: GRAFICO CON IL METODO DELLA DIVISIONE.

Sia data la funzione x

y1

= , si rappresentino le funzioni relative al

numeratore e al denominatore. Posti ,,1

21xyy == i cui secondi membri sono rispettivamente il

numeratore ed il denominatore della funzione data, si osservi il grafico

x

y

0

Fig. 3

55

Posto 2

1

y

yy = si evidenzia che nel punto x = 1, 21 yy = e quindi y = 1

Per 21 yy,1x <> e quindi y < 1. Al crescere di x, y tende a 0. Per 0 < x < 1, il grafico mostra che la funzione decresce rapidamente. Per x < 0, y1 = 1 e y2 < 0, quindi la funzione assume valori negativi,

crescenti quanto si vuole, in valore assoluto.

1

1 x

y

-1 -1

0

Fig. 5

x

y

0

y1= 1

y2= x

Fig. 4

56

Gli esempi fatti rappresentano operativamente quanto descritto. L’esempio che segue mira alla lettura di un grafico e alla rappresenta-zione della funzione del loro quoziente.

ESEMPIO 3

Siano f e g i grafici di due funzioni definite in R e rappresentate

nella figura sottostante. Si costruisca il grafico di g

fh =

Nel punto x = 0 i due grafici hanno un punto in comune, per x ≠ 0 si ha che il grafico g è tutto al di sopra del grafico f, per cui il grafico di h sarà al di sotto di f e si avvicinerà indefinitamente all’asse delle x, man mano che la x cresce (o decresce).

f

g

x

y

1

0

Fig. 6

57

2. IL GRAFICO DELLE FUNZIONI ATTRAVERSO “IL METODO DELLE TRASFORMAZIONI”

- DESCRIZIONE DELL’ATTIVITÀ -

L’attività si propone di guidare lo studente alla costruzione di gra-

fici di funzioni in modo alternativo a quello classico dell’analisi, at-traverso trasformazioni di grafici elementari.

TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE DELLE A-SCISSE

Il grafico della funzione g(x) = f(x + k) è ottenuto (fig. 8) traslando di |k| il grafico della f(x):

- verso sinistra se k > 0, - verso destra se k < 0. L'utilizzo delle tecnologie, age-

x

y

0

1

Fig. 7

Fig. 8

58

vola il processo di apprendimento, rendendo l'intuizione più immedia-ta, accelerando le operazioni di calcolo, offrendo la possibilità di effet-tuare molteplici applicazioni e di verificare immediatamente congettu-re e affermazioni.

Esistono infatti software specifici per la didattica della matematica che consentono lo studio interattivo della materia. È possibile, ad e-sempio, osservare come varia il grafico della funzione y = (x + k)2 al variare del parametro k spostando semplicemente un regolo a destra o a sinistra (fig. 9).

CAMBIAMENTO DI SCALA LUNGO L'ASSE DELLE ASCISSE

(contrazione o dilatazione) Il grafico della funzione g(x) =

f(k·x), con k > 0, si ottiene (fig. 10) dal grafico della f(x) dividendo le ascisse per k e cioè contraendo le ascisse se k > 1, dilatandole se k < 1. Le intersezioni del grafico della

Fig. 9

Fig. 10

59

f(k·x) con l'asse delle ordinate sono le stesse della f(x). La g assume in c / k il valore della f in c.

TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE DELLE ORDI-NATE

Il grafico della funzione g(x) = f(x) + k è ottenuto (fig. 11) traslando di |k| il grafico della f(x): - verso l'alto se k > 0, - verso il basso se k < 0.

CAMBIAMENTO DI SCALA (CONTRAZIONE E DILATAZIONE) LUNGO L'ASSE DELLE ORDINATE

Il grafico della funzione g(x) = k·f(x), con k > 0, si ottiene dal gra-fico della f(x) moltiplicando le a-scisse per k e cioè dilatando le or-dinate se k > 1, contraendole se

k < 1. Le intersezioni del grafico della g(x) con l'asse delle ascisse sono le stesse della f(x) (fig. 12).

CAMBIAMENTO DI SEGNO

Il grafico della funzione g(x) = - f(x), si ottiene tracciando il grafico simme-trico, rispetto all'asse delle ascisse, di quello della f(x). Le intersezioni del grafico della g(x) con l'asse delle ascis-se sono le stesse della f(x). (fig. 13)

Il grafico della funzione h(x) = f(-x),

Fig. 11

Fig. 12

Fig. 13

f(x)

- f(x)

f(-x)

60

si ottiene tracciando il grafico simmetrico, rispetto all'asse delle ordi-nate, di quello della f(x). Le intersezioni del grafico della g(x) con l'asse delle ordinate sono le stesse della f(x).

VALORE ASSOLUTO DI UNA FUNZIONE

Il grafico della funzione g(x) = |f(x)|, si ottiene da quello della f(x) sostituendo la parte ricadente nel semipiano delle ordinate negative con la sua simmetrica rispetto all'as-se delle ascisse. (fig. 14)

FUNZIONE DI VALORE ASSOLUTO

La funzione g(x) = f(|x|) è una fun-zione pari che coincide con f(x) per x > 0, per cui il grafico della g(x) si ottiene da quello della f(x) sostituen-do la parte ricadente nel semipiano delle ascisse negative con la simme-trica, rispetto all'asse delle ordinate, di quella ricadente nel semipiano del-le ascisse positive. (fig. 15)

Applicando le suddette trasformazioni è possibile tracciare il gra-fico di alcune particolari funzioni.

ESEMPIO N. 1

Tracciare il grafico della funzione g(x) = - 3 |sen(2x-1)|. Partendo dal grafico di sen x (fig. 16) si può tracciare il grafico ri-

chiesto, attraverso le seguenti trasformazioni

Fig. 14

Fig. 15

61

1) f(x) → f(k·x) = sen 2x (contrazione di fattore k = 2 lungo l'asse delle x; fig. 17)

2) f(x) → f(x + k) = sen (2(x-1/2)) (traslazione di k = 0,5 unità verso destra lungo l'asse delle x; fig. 18)

3) f(x) → |f(x)| = |sen (2x-1)| (valore assoluto della funzione; fig. 19) 4) f(x) →k·f(x) = 3 |sen(2x-1)| (espansione di fattore k = 3 lungo l'as-

se delle ordinate; fig. 20) 5) f(x) → - f(x) = -3 |sen(2x-1)| (cambiamento di segno della funzio-

ne; fig. 21)

y = sen x

y = sen x

y = sen 2x

Fig. 16 Fig. 17

y = sen 2x

y = sen (2x-1)

y = sen (2x-1)

y = |sen (2x-1)|

Fig. 18 Fig. 19

62

y = arcsen x

Fig. 22 Fig. 23

ESEMPIO N. 2

Tracciare il grafico della funzione g(x) = arcsen |2x –π/2|. Partendo dal grafico di arcsen x (fig. 22), basta effettuare le trasfor-mazioni 1) f(x) → f(|x|) = arcsen |x| (parità; fig. 23) 2) f(x) → f(k x) = arcsen |2x| (contrazione di fattore k = 2 lungo

l’asse x; fig. 24) 3) f(x) → f(x + k) = arcsen |2(x -π/2)| (traslazione di π /2 verso de-

stra; fig. 25)

y = |sen (2x-1)|

y = 3 |sen (2x-1)|

y = - 3 |sen (2x-1)|

y = 3 |sen (2x-1)|

Fig. 20 Fig. 21

63

ESEMPIO N. 3

Tracciare il grafico della funzione g(x) = 3x2 + Partendo dal grafico della funzione f(x) = x (fig. 26), ramo su-

periore della parabola con asse parallelo all'asse delle x, basta effettua-re le trasformazioni: 1) f(x) → f(k⋅x) = x2 (sostituendo x con 2x operiamo una contra-

zione di fattore k = 2 lungo l’asse delle ascisse; fig. 27)

2) f(x) → f(x + k) = )2

3x(2 + (sostituendo x con x + 3/2 otteniamo

una traslazione verso sinistra di k = 3/2; fig. 28).

Fig. 24 Fig. 25

y = x

Fig. 26 Fig. 27

64

y = x

Fig. 29 Fig. 30

ESEMPIO N. 4

Nelle seguenti figure viene mostrato come dal grafico della fun-zione x , si può tracciare il grafico della f(x) = 3x2 + attraverso le trasformazioni: 1) f(x) → f(|x|) = x (fig. 30)

2) f(x) → f(2x) = x2 (fig. 31)

3) f(x) → f(x + 3/2) = )2

3x(2 + (fig. 32)

Fig. 28

65

3. LA SFERA GALLEGGIANTE

- DESCRIZIONE DELL’ATTIVITÀ -

L’attività si propone di guidare lo studente alla formalizzazione

algebrica di una esperienza sperimentale di Fisica, attraverso il con-fronto di due diverse situazioni, la formulazione di una congettura e quindi di una strategia risolutiva che conduce alla soluzione di un si-stema lineare. [10]

IL PROBLEMA

Una sfera di ferro galleggia nel mercurio. Si versa dell’acqua so-pra il mercurio in modo da coprire la sfera. La sfera sprofonderà, gal-leggerà o rimarrà allo stesso livello?

Si confrontano due diverse situazioni. (Prima di versare l’acqua) La parte superiore della sfera è circon-

data da aria (o vuoto). (Dopo aver versato l’acqua) La parte superiore della sfera è cir-

condata da acqua. In entrambi i casi la parte inferiore della sfera di ferro è immersa

nel mercurio.

Fig. 31 Fig. 32

66

In quale delle due situazioni la sfera emergerà maggiormente dal mercurio? O meglio, esprimendo la richiesta in altra forma: Si calcoli-no le frazioni di volume della sfera che emergono dal mercurio in en-trambi i casi.

LA CONGETTURA

Attraverso un ragionamento puramente intuitivo è possibile dare una risposta plausibile, anche se non quantitativamente esaustiva.

Immaginiamo che il liquido versato sopra il mercurio e che cir-conda la parte superiore della sfera di ferro cambi continuamente la sua densità. Possiamo addirittura pensare che il liquido abbia densità 0 (vuoto). Si pensi poi che siffatto liquido possa aumentare la sua densi-tà, raggiungendo prima la densità dell’aria e poi quella dell’acqua. In che modo questo cambiamento influenza la sfera? Possiamo pensare che, quando la densità del liquido immaginario raggiungerà la densità del ferro, la sfera si innalzerà completamente al di fuori del mercurio?

È naturale supporre che al variare della densità del liquido che viene versato, la posizione della sfera galleggiante cambi sempre nella stessa direzione; quanto più il liquido è denso, tanto più la sfera emer-gerà dal mercurio. Si può così concludere che nel passaggio dall’aria all’acqua che la copre, la sfera si innalzerà.

LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA

La risposta appena formulata deve essere supportata da considera-zioni di carattere quantitativo pertinenti.

A questo proposito occorre ricordare le densità dell’acqua, del mercurio e del ferro.

Densità dell’acqua =1,00 ⋅ 103 kg/m3, densità del mercurio =13,60 ⋅ 103 kg/m3, densità del ferro = 7,84 ⋅ 103 kg/m3. Sarebbe opportuno però generalizzare il problema, pertanto, detti:

a la densità del fluido superiore (acqua), b la densità del fluido inferiore (mercurio), c la densità del solido galleggiante, con a < c < b. V il volume del corpo, x la frazione di V che è al di sopra del livello che separa i due liquidi,

67

y la frazione di V che è al di sotto del livello che separa i due liquidi, posso scrivere il volume totale del corpo galleggiante in due modi di-versi

x + y =V

Ora non possiamo procedere oltre, a meno che non conosciamo fatti fisici pertinenti.

CONOSCENZA PERTINENTE. (PRINCIPIO DI ARCHIMEDE)

Un corpo, immerso in un fluido in equilibrio, subisce una spinta diretta dal basso verso l’alto ed uguale in grandezza al peso del liquido spostato.

La sfera considerata sposta il liquido in due strati. I pesi delle quantità spostate sono:

a ⋅ g ⋅ x nello strato superiore, b ⋅ g ⋅ y nello strato inferiore.

Queste forze verticali verso l’alto, devono equilibrare il peso della sfera galleggiante, pertanto: a ⋅ g ⋅ x + b ⋅ g ⋅ y = c⋅ g ⋅ V.

!"#

=+

=+

cVbyax

Vyx

.; Vab

acyV

ab

cbx

!

!=

!

!=

a a

b b

x

y

c

Fig. 33

68

Ritornando all’enunciato del problema: 1° caso: a = 0 kg/m3; b = 13,60 ⋅ 103 kg/m3; c = 7,84 ⋅ 103 kg/m3; x = 0,423 V. 2° caso a = 1 ⋅ 103 kg/m3; b = 13,60 ⋅ 103 kg/m3; c = 7,84 ⋅ 103 kg/m3; x = 0,457 ⋅ V.

La seconda frazione è maggiore della prima e ciò coincide con la conclusione del ragionamento intuitivo.

Mantenendo b, c, e V costanti e facendo crescere a (densità dello strato superiore) da 0 a c, la porzione di volume della sferetta al di so-pra del livello di mercurio cresce da

Vb

cbx

!= a x = V.

4. IL TEOREMA DI PITAGORA IN GEOMETRIA SOLIDA

- DESCRIZIONE DELL’ATTIVITÀ -

L’attività si propone di guidare lo studente a riconoscere analogie

e differenze fra enti geometrici del piano e dello spazio. [11] Si tratta di stabilire se sia possibile formulare in geometria solida

una proposizione analoga al teorema di Pitagora formulato per la geo-metria piana.

Il teorema di Pitagora risolve il seguente problema: in un triangolo rettangolo nell’angolo di vertice O, sono date le lunghezze a e b dei due lati che si intersecano in O (cateti). Trovare la lunghezza c del la-to opposto al vertice O (ipotenusa).

Poniamo il problema analogo: in un tetraedro che ha un triedro trirettangolo di vertice O, sono date le aree A, B e C delle tre facce che si intersecano in O. Trovare l’area D della faccia opposta ad O. Si chiede di esprimere D in funzione di A, B e C.

69

Si potrebbe pensare ad una formula analoga a quella che si deduce direttamente dal teorema di Pitagora e che risolve il problema corri-spondente di geometria piana

c2 = a2 + b2.

Si potrebbe allora congetturare D

3 = A 3 + B

3 + C 3, (*)

dove il cambio dell’esponente è giustificato dal fatto che si è pas-sati dalla seconda alla terza dimensione.

Sulla base delle conoscenze pregresse è possibile stabilire una strategia di soluzione che ci porti alla determinazione di D, A, B e C.

Può essere utile servirsi della formula di Erone; posto pertanto

P = 2

cba ++ , possiamo scrivere

!

D = P P " a( ) P " b( ) P " c( ) , rqA2

1= , prB

2

1= , qpC

2

1=

Per vedere se è vera la (*) occorre però esprimere a, b, e c in fun-zione di r, p e q, attraverso le relazioni pitagoriche. Con opportuni calco-li si può quindi procedere alla verifica della relazione D3 = A3 + B3 + C3.

Area di =!

CBA D

Area di =!

COB C

Area di =!

COA B

Area di =!

BOA A

Fig. 34

70

Tale verifica è però ardua per la complessità della formula di Erone e ci si accorge subito che il procedimento utilizzato non conduce fa-cilmente a stabilire la verità o falsità della congettura. Occorre pertan-to utilizzare un’altra strategia risolutiva.

Sia

h l’altezza di CBA

!

, risulterà

2

haD

!= → 222

4 haD !=! ,

22 pkh += → 222 pkh += ,

akA2

1= → 222

4 kaA = ,

rpB2

1= → 222

4 prB = ,

qpC2

1= → 222

4 rqC =

Fig. 35

71

!

4 "D2 = a2 " h2 = a2 " k 2 + p2( ) = a2 " k 2 + a2 " p2 = 4A2 + a2 " p2 =

= 4A2 + r 2 + q2( ) " p2 = 4A + r 2 " p2 + q2 " p2 = 4A2 + 4B2 + 4C2 .

2222CBAD ++=

Questo risultato è effettivamente analogo al teorema di Pitagora per la geometria solida e mostra che l’uguaglianza D 3 = A3 + B3 + C 3 è errata.

5. LA TEORIA DEI LIMITI

- DESCRIZIONE DELL’ATTIVITÀ -

Gli Obiettivi Specifici di Apprendimento prevedono per il quinto

anno delle Scuole Superiori: - nozione rigorosa di limite di successioni e di funzioni per i Licei

Scientifico e Tecnologico; - consolidamento della nozione di limite di successioni e di funzioni

per i Licei Classico ed Economico; - precisazione della nozione di limite di successioni e di funzioni per

i Licei Linguistico, delle Scienze umane ed Artistico. Il concetto di limite è una conoscenza essenziale sia per chi conti-

nua gli studi scientifici, sia per coloro che si avviano verso indirizzi completamente diversi, compreso il mondo del lavoro, ma che non possono ignorare gli aspetti epistemologici dibattuti alla base dei fe-nomeni del mondo fisico. Esso è ritenuto uno degli argomenti più o-stici da assimilare da parte degli allievi.

A tale scopo riteniamo non necessario definire il concetto di limi-te in maniera rigorosa, ma proporlo agli allievi attraverso esempi par-ticolarmente significativi legati alla realtà dell'universo geometrico, fisico ed, oggi, anche del mondo economico e della comunicazione.

Nell’insegnamento liceale della matematica, il ricorso al senso comune, e il diritto degli alunni a praticare, insieme con la certezza deduttiva, anche alcune «certezze» intuitive, aventi un fondamento di tipo empirico, o statistico, o percettivo, ecc. soffrono spesso di limita-zioni che ci sembrano francamente eccessive. [...]

72

In presenza di difficoltà, suggeriamo la procedura dello «sdop-piamento», cioè quella di portare avanti con la classe, almeno nei momenti che rivestono particolare importanza e significato, due di-scorsi separati: un discorso «confidenziale», mirato esclusivamente a mobilitare meccanismi intuitivi [...], uno, nettamente distinto dal pri-mo, di tipo «formale» [...].

Far attraversare senza difficoltà ad un giovane la soglia del con-cetto di limite è impresa abbastanza impegnativa per qualsiasi inse-gnante. Occorre produrre, tra l’altro, un orientamento psicologico-intuitivo diverso, in chi, nella maggior parte dei casi, è stato condi-zionato a identificare l’attività matematica con la semplice manipola-zione, sostenuta dal ragionamento, di costruzioni numeriche o grafi-che date. [5, pag. 19]

A tal fine, è opportuno proporre una sintetica analisi storica del-l'approccio alle grandezze infinitamente grandi e infinitamente piccole che, nel periodo classico, hanno rappresentato l'ostacolo all'evoluzio-ne, non solo della matematica, ma della scienza in generale. Ciò anche nella previsione che la riforma (in particolare la trasformazione degli istituti tecnici in licei) prevede lo studio della filosofia in quasi tutti gli indirizzi, per cui gli allievi avranno - specialmente se l'insegnamento è accompagnato da una disponibilità di carattere interdisciplinare - gli strumenti per riflettere concretamente sulla questione.

Poniamo agli allievi il seguente quesito: Su un'estensione di terreno (grande quanto voglio, ma limitata),

devo indicare tracce immediatamente visibili di un percorso da segui-re operando in uno dei seguenti modi: a) a piccoli passi, lasciando una successione di orme (che posso i-

dentificare con punti); b) strisciando il piede sul terreno, che lascia un solco (che identifico

con una linea) da seguire. È evidente che sia a) che b) risolvono il problema, in quanto per-

mettono, a chi deve seguire il percorso, di avere un'indicazione com-pleta. Ciò perché abbiamo operato su grandezze finite visibili dall'oc-chio umano.

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Nel caso a), però, la questione diventa più complicata se chiedo quante orme sono in grado di lasciare tra due passi successivi, nel ca-so in cui procedo con passi sempre più piccoli, perché dipende non solo dal numero di passi, ma anche dalla lunghezza di essi; nel caso dello strisciamento, invece, non posso mai stabilire quanti punti esi-stono tra due punti fissati.

In realtà, questo problema mette in risalto le relazioni che possono

intercorrere tra una successione di punti ed un tratto di retta; più in generale, tra un insieme discreto ed un insieme continuo. Analitica-mente, è la distinzione tra lo studio delle successioni e lo studio delle funzioni di variabile reale. Tale distinzione si intravede già nel mondo classico con alcune congetture di Aristotele.

Per Aristotele, infatti, un punto è indivisibile ed ha una posizione, per cui nessuna accumulazione di punti, per quanto estesa, può darci alcunché di divisibile, mentre una retta è naturalmente una grandezza divisibile; poiché, un punto non ha lunghezza, se una retta fosse com-posta da punti non avrebbe lunghezza. Analogamente, se il tempo fos-se composto da istanti, non vi sarebbe alcun intervallo di tempo.

Il nocciolo della questione è che, secondo Aristotele, i punti ed i numeri sono quantità discrete e devono essere distinte dalle grandezze continue della geometria. In particolare, un punto può generare una retta (caso dello strisciamento) soltanto mediante un moto.

Alla base della continuità c'è la conoscenza dei numeri reali: comunque prendiamo due numeri reali, esiste sempre un terzo

numero compreso tra essi. Queste problematiche, che dal punto di vista epistemologico hanno

limitato lo studio del calcolo differenziale nelle scuole filosofiche del periodo classico, condurranno poi il docente ad introdurre anche la questione dell'infinito attuale e dell'infinito potenziale, oppure ad indi-care agli allievi il riferimento al docente di filosofia.

IL PARADOSSO DI ZENONE

Con la discussione sulle riflessioni di Aristotele si può caratteriz-zare, senza dare alcuna definizione (ed è questo l'approccio che rite-niamo essenziale ai fini di questo lavoro) il concetto di continuità, fondamentale per la comprensione del calcolo differenziale, alla base

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di gran parte dello studio dei fenomeni catastrofici. Non pretendiamo che il cittadino comune sappia costruire modelli matematici per go-vernare fenomeni complessi, ma siamo convinti che debba conoscere la distinzione tra problema globale e problema locale, tra infinito con-tinuo e infinito discreto.

Sempre riferendoci al periodo classico, la comprensione del con-cetto di infinito nel discreto in modo naturale, si evince direttamente dal paradosso di Zenone; in tal modo, emerge nella mente dello stu-dente la significatività delle interrelazioni con la Filosofia.

L'Isp. Michele Laforgia in un articolo apparso nel 1984 sul Perio-dico di matematiche racconta una storiella verosimile che traduce in termini moderni il paradosso di Zenone. Il titolo del racconto è: "Il bel commesso e la cliente innamorata"; lo riproponiamo integralmente perché, oltre a sdrammatizzare un concetto che è stato quasi sempre proposto in modo pesante ed astratto, ben si inquadra nell'impostazio-ne didattica proposta e può rappresentare un «urto» che produca, a livello psicologico, la disponibilità ad accettare un discorso che si svolge su infinitesimi e infiniti e sui corrispondenti dinamismi [5]. IL BEL COMMESSO E LA CLIENTE INNAMORATA La cliente innamorata si diresse con passo deciso verso il bel commesso e gli disse: − Vorrei un metro di quel percalle a fiorellini che è esposto in vetrina a 18.000 lire. − Subito, signora. – Rispose il bel commesso e, afferrata la pezza, si dispose ad ese-guire l’ordine. − Prego, aggiunga un decimetro. – Disse la cliente innamorata. − Va bene, signora- E il bel commesso cortesemente spostò le forbici dieci centime-tri più avanti. − Aspetti, aggiunga un centimetro. − Va bene. – Fece impassibile il bel commesso, con l’animo di chi ritiene di aver ricevuto un ordine definitivo e irremovibile. − Aspetti, aggiunga ancora un millimetro... Il bel commesso lasciò cadere la stoffa, depose le forbici, appoggiò le mani sul ban-co e, fissando i begli occhi celesti in quelli della C.I. disse: − Allora?... La C.I. tagliò corto: − Senta, −- disse, fissandolo a sua volta con uno sguardo pieno, ad un tempo, di tra-sparente passione amorosa e di ferma determinazione, −- me ne tagli 1 metro più 1 decimetro più 1 centimetro più 1 millimetro più un decimillimetro più un centimilli-metro... − E basta. −- Fece il B.C., turbato dall’intensità di quello sguardo.

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− No, non basta: poi ancora 1 decimo del precedente, più ancora 1 decimo, più an-cora... − Ma – balbettò il B.C., − sino a quando? − Per sempre. − Sibillò la C.I. − Per sempre? Ma così non ci basterà tutta la vita... Ammesso che io riesca a ta-gliare tutti questi decimi di decimi di decimi con assoluta precisione... − Appunto −- fece la C.I. senza distogliere i suoi occhi da quelli del B.C., ma arros-sendo lievemente. − Ma potrebbe accontentarsi di, poniamo, venti, trenta,..., mille,... di questi decimi? − supplicò il B.C. − No li voglio tutti. − Tutti?! Ma sono infiniti! Non la finiremo mai... − Appunto. − Disse la C.I. − Voglio tutti gli infiniti decimi di decimi di decimi di de-cimi... − Basta! −- urlò il B.C.

Il grande magazzino fu come investito da una ventata di gelido stupore. Tutti si gira-rono, muti, verso i due. Arrivò il Direttore con passo solerte e piglio sereno: − Che cosa succede qui? − Questa signora... − gemette il B.C. Ma non seppe aggiungere altro e s’andò a se-dere, pallido, sulla sedia più vicina. La C.I. era anch’essa molto turbata, ma puntò tutto sulla forza della ragione. − Io desidero, − disse scandendo bene le parole − 1 metro, più un decimetro, più 1 centimetro, più un millimetro, più ancora 1 decimo del precedente, e così via per sempre di quel percalle a fiorellini che è esposto in vetrina a 18.000 lire. ................................................... I epilogo Si racconta che la strana richiesta della C.I. destò immensa curiosità, e qualche an-goscia, in tutti gli ambienti commerciali, scientifici e politici. La Ditta prenotò mi-gliaia di pezze per far fronte alla richiesta della signora ritenendo che la giacenza di magazzino non dovesse mai bastare. Furono consultati i massimi matematici e filo-sofi del tempo, ma nessuno di essi seppe dare una risposta soddisfacente, dato che la signora continuava a dire: − No ancora un decimo... Il Direttore fu licenziato. Il B.C. e la C.I. si sposarono, anche per motivi pratici, ed ebbero dei figli. Ma la loro vita non fu felice, poiché, ancora da vecchi, lei continua-va a dire: ancora un decimo, e lui, con le dita anchilosate sulle forbici: sì cara,... II epilogo Si racconta che un altro commesso, pratico e perspicace, intervenne prontamente e, aggiornato sui termini della questione, dopo qualche istante di concentrazione fece alcune operazioni sul calcolatore tascabile, poi impugnò la riga, squadra e forbici, tagliò con cura la stoffa, la impacchettò, la consegnò alla signora e disse: − prego: fa 20000 lire.

Quale delle due conclusioni è quella giusta? Perché?

76

Controllate la vostra risposta con quella riportata a pagina seguente. (Trovare poi una scrittura che rappresenti esattamente e rigorosamente il risultato). [...]

La conclusione giusta è la seconda. Il secondo commesso fece il seguente ragiona-mento, calcolatore alla mano:

1 metro viene lire 18.000 m 1,1 vengono lire 19.800 m 1,11 » » 19.980 m 1,111 » » 19.998 m 1,1111 » » 19.999,8 m 1,11111 » » 19.999,98 m 1,111111 » » 19.999,998

..................... ........................ .................

È chiaro che quanto più numerosi sono i decimi tagliati, tanto più il costo della stof-fa tende ad identificarsi con lire 20.000. Quando i decimi saranno stati tagliati tutti, la spesa sarà esattamente 20.000 lire. E poiché la somma corrisponde al costo di (1 + 1/9) m, il problema è quello di tagliare con esattezza la nona parte di 1 metro, cosa questa che si può eseguire in modo semplice e sicuro. [...]

Uno dei modi in cui si può rappresentare il risultato è il seguente:

9

11)10.......1010101(lim n321

n+=+++++

!!!!

"#

.

SPUNTI DI RIFLESSIONE SUL CONCETTO DI LIMITE

IL LIMITE IN UN PUNTO DI R

Uno dei problemi che incuteva timore agli studiosi nel periodo el-lenico era l'impossibilità della divisione per zero. I greci cercavano di capirci qualcosa operando per ricorrenza; cercando, cioè, di valutare i risultati di una semplice divisione di un numero intero per valori del divisore che si avvicinano sempre di più allo zero.

Pur rischiando di sembrare banali, riteniamo che ancora oggi sia questo l'approccio didattico più significativo, perché conduce automa-ticamente a riflessioni sul concetto di infinito; inoltre, avendo a dispo-sizione le conoscenze di geometria analitica, permette di valutarne gli aspetti grafici e, quindi, l'eventuale esistenza dell'asintoto verticale.

Proviamo ad analizzare, con gli allievi, la tabella che costruiamo con i risultati della seguente divisione:

77

6 : x = ?

sostituendo a x valori che si avvicinano sempre di più allo zero: 6 : 2 = 3 6 : 1 = 6 6 : 0.5 = 12 6 : 0.1 = 60 6 : 0.001 = 6000 6 : 0.000001 = 6000000 .........................................

Viene spontanea la domanda: che succede se x → 0? Oggi diciamo: il rapporto tende a valori infinitamente grandi. Simbolicamente scriviamo:

!

limx"0

+

6

x= +#

Allo stesso modo, facciamo costruire, per punti, la funzione loga-ritmica, in cui, per comodità di calcolo, utilizziamo la base 2:

y x= lg2 , x > 0

x y x= lg2 1 lg2 1 0= 2 lg2 2 1= 4 lg2 4 2= 8 lg2 8 3= 0.5 lg .2 05 1= ! 0.25 lg .2 0 25 2= ! 0,125 lg .2 0125 3= !

x

y

x

y

Fig. 37

Fig. 36

78

Che succede se x → 0? Si ripropone per il logaritmo il problema dell'andamento delle ope-

razioni nelle vicinanze dello zero. Anche in questo caso diciamo che il limite per x → 0 (da destra)

assume valori assoluti infinitamente grandi, con segno negativo. Un esempio significativo riferito al reale, che permette anche di ri-

flettere su questioni etiche relative all'utilizzo di sorgenti energetiche, è il seguente:

"Utilizzando i moderni acceleratori, un grammo di uranio (o di qualche altro elemento) è bombardato in modo che le sue particelle acquistino velocità prossime a quella della luce (v → c). Tenendo conto delle relazioni:

E mc=2 con

!

m =m0

1"v2

c2

quali valutazioni si possono fare sull'energia totale sviluppata?"

Risulta:

+!=

"

#=

$

2

2

2

cv

c

v1

c1limE

pertanto, non è superfluo soffermarsi sugli aspetti energetici delle par-ticelle che raggiungono velocità incontrollabili [2].

Il concetto di limite finito in un punto di R è particolarmente signi-ficativo per proporre agli allievi l'analisi di problemi reali, nel campo fisico, che avvengono alle condizioni limiti.

L’esempio che segue si riferisce all'applicazione della prima legge di Gay-Lussac alla temperatura limite dello zero assoluto (0 K = - 273,15 °C).

Si chiede agli allievi di “graficare” - nel piano (t, V) con i noti si-gnificati di temperatura e volume - la funzione lineare V V t= +0 1( )!

79

con 15,273

1!=" , avendo assegnato un opportuno valore a V

0.

Risulta:

0)t1(Vlim 015,273t

=+!"

#

cioè: il volume di una qualsiasi quantità di gas tende a zero al tendere della temperatura allo zero assoluto.

È chiaro che qui siamo in presenza di una estrapolazione concet-tuale poiché la prima legge di Gay-Lussac è valida solo per gas rare-fatto e lontano dal suo punto di liquefazione, condizioni non verificate quando t si avvicina allo zero assoluto poiché i gas cambiano il loro stato di aggregazione.

Per la continuità delle funzioni lineari, il valore V(0) = 0 si ottiene algebricamente ed indipendentemente dal concetto di limite, per cui il limite considerato può sembrare, anche per questo, una nostra forzatu-ra.

L'abbiamo proposto in tal modo per due motivi: 1) non si lede la generalità calcolando il limite anche nei punti di continuità; 2) il do-cente può trarre un suggerimento per un discorso di interdisciplinarie-tà o di riferimento ad aspetti di carattere fisico-chimico sulla materia.

IL LIMITE ALL’INFINITO

Il concetto di infinito riferito alla variabile indipendente x (t nel caso del tempo), per i fenomeni reali, è utilizzato spesso in modo improprio. Ad esempio, in alcuni testi di Fisica per la Scuola

- 273,15

t

V

Fig. 38

80

proprio. Ad esempio, in alcuni testi di Fisica per la Scuola Secondaria di II grado, relativamente allo studio dei fenomeni reali del mondo fi-sico, è indicato con infinito l'insieme dei punti di una determinata re-gione di spazio in cui non si sente l'influenza di una determinata grandezza; è il caso del concetto di potenziale elettrico o di potenziale gravitazionale.

Consideriamo, ad esempio, il campo elettrico generato da una ca-rica puntiforme Q in un punto a distanza r da essa nel vuoto:

EQ

r= !

1

40

2"#

Sappiamo che tale campo è conservativo ed ammette il potenziale elettrico

r

Q

4

1V

0

!="#

,

con la convenzione che il potenziale elettrico all'infinito è nullo. Tale convenzione trova giustificazione nel fatto che

!

limr"+#

V = limr"+#

1

4$%0

&Q

r= 0

In realtà nell’esempio analizzato l'espressione r! +" vuole indi-care in quei punti in cui non si sente l'influenza della carica Q.

Analoghe osservazioni si evincono dalla relazione:

pk

V=

che, se V e p rappresentano rispettivamente il volume e la pressione, esprime la legge di Boyle, valida per un gas a bassa densità e lontano dal punto di liquefazione ed il cui grafico nel piano (p, V) è un'iperbo-le equilatera, il cui ramo si avvicina allo zero, all'aumentare del volu-me. Analiticamente, scriviamo:

81

È evidente che il volume non diventa infinito, ma intuitivamente, leggendo anche il grafico, si ha un'idea del concetto.

Concludiamo questo lavoro con due esempi tratti dalla realtà. Il primo esempio è legato all’economia [1]. Il costo per la produzione di un C.D. musicale è dato dalla seguen-

te funzione:

( ) xxc !+= 320000 ,

ove x è il numero di C.D. prodotti. Il costo medio per la produzione di un C.D. è dato pertanto dalla

relazione (in euro):

( )( )x

xcxc = .

Se sono prodotti solo 10 C.D., il costo medio per un C.D. è 2003 E. Trovare il costo medio quando siano prodotti:

a. 1000 C.D. b. 100000 C.D. e inoltre calcolare: c. )x(clim

50000x!

0V

klimV

=+!"

V

p

Fig. 39

82

d. )x(climx !"

È immediato verificare che: a. Il costo medio per la produzione di un C.D., quando ne siano pro-

dotti 1000 è 23 E. b. Il costo medio per la produzione di un C.D., quando ne siano pro-

dotti 100000 è 3.20 E. c. 4,3)x(clim

50000x=

!.

d. 3)x(climx

=!"

.

Il secondo esempio ci sembra interessante poiché crea un collega-

mento con la biologia o la statistica: lo studio, per punti, del grafico della funzione

!

P( t ) =M

1+ k e"ht

cioè della curva logistica che ben si adatta alla descrizione della cresci-ta nel tempo di popolazioni sperimentali in un ambiente isolato [7].

Fig. 40

M

M / 2

M

!

limt"+#

P( t ) = M

popolazione

tempo

popolazione massima possibile

83

BIBLIOGRAFIA

[1] BARNETT AND ZIEGLER, Applied Calculus for business and economics, life sciences, and social sciences, Dellen Mac-millan publishers.

[2] CASOLARO FERDINANDO, “La Matematica nell’insegna-mento della Fisica”, in Atti del Convegno Nazionale Mathe-sis: “Cento anni di matematica”, Palombi Editori, Roma, 1995.

[3] CASOLARO FERDINANDO, L'insegnamento dell'analisi mate-matica nella scuola secondaria superiore, Appunti del corso di Perfezionamento in Didattica della Matematica 2001/2002, Università di Napoli.

[4] CASOLARO FERDINANDO, “Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un mo-dello analitico su uno spazio curvo”, Atti del Congresso Na-zionale Mathesis, Bergamo, 2003.

[5] LAFORGIA MICHELE, “«Partecipazione» e sistematicità nello insegnamento della matematica”, Periodico di matematiche, Roma, n. 1-2 (1984), 19 – 24.

[6] MORRIS KLINE, Storia del pensiero matematico, Einaudi E-ditori.

[7] MATURO ANTONIO, CIALFI EMILIO, DI SPALATRO DO-MENICO, “Una unità didattica sul modello logistico”, Peri-odico di Matematiche, Barletta, Mathesis, 3 (2005), 3-12.

[8] W.W. SAWYER, Guida all'insegnamento della matematica, Boringhieri

[9] G.E. SHILOV, I.P. NATANSON, Come costruire i grafici [10] OLIVELLO ANTONIA, Appunti del corso di Perfezionamento

in Didattica della Matematica, a.a. 1998/1999, Università di Napoli.

[11] OLIVELLO ANTONIA, Appunti del corso CAD (Congetturare-Argomentare-Dimostrare) tenuto nella Scuola di Specia-lizzazione per l'insegnamento della Matematica a.a. 2004/2005, Università di Napoli.