LOGICA E MODELLILOGICA E MODELLI

Logica e modelli

nel ragionamento deduttivo

A cura di Salvatore MENNITI

LogicaLogica

La logica studia le proposizioni (o affermazioni), ossia le frasi logiche che assumono solo due valori di verità:

Vero (1) oppure Falso (0).

Ragionamento DeduttivoRagionamento DeduttivoUna coppia di enunciati funge da premessa per un

terzo che è la conclusione.

Tutti i corvi sono neriQuesto uccello non è nero

Questo uccello non è un corvo

1° premessa

2° premessa

Conclusione

In un ragionamento deduttivo, si passa dal generale al particolare

Ragionamento DeduttivoRagionamento Deduttivo

Una conclusione si dice logicamente valida, quando viene ricavata da un argomento in cui, se le premesse sono vere, allora la conclusione è necessariamente vera.

Tutti i triangoli hanno tre lati Questo poligono non ha tre lati.

Questo poligono non è un triangolo.

Logica sillogisticaLogica sillogistica

Un sillogismo consiste di enunciati semplici, costituiti da:

un quantificatore (per ogni, esiste) un soggetto un predicato

Una coppia di enunciati funge da premessa, per un terzo che è la conclusione.

Logica sillogisticaLogica sillogistica Esempio:

Tutti gli uomini sono mortaliTutti i greci sono uomini

Tutti i greci sono mortali.

Logica sillogisticaLogica sillogisticaUn sillogismo è considerato valido se un qualsiasi ragionamento di quella forma è sempre valido. Quindi il sillogismo:

Alcuni uomini sono italiani

Qualche uomo è biondo

Qualche italiano è biondo,

non è valido, nonostante le proposizioni enunciate singolarmente siano vere.

Logica sillogisticaLogica sillogisticaInfatti il corrispondente sillogismo diverso, ma della stessa forma:

Alcuni esseri viventi sono uomini

Alcuni esseri viventi sono elefanti

Quindi alcuni uomini sono elefanti.

non conclude correttamente.

Logica enunciativaLogica enunciativaUn limite all’uso della logica sillogistica è dato dal

fatto che gli enunciati scientifici sono difficilmente riconducibili alla semplice struttura soggetto-predicato.

Inoltre, non usano in genere un solo quantificatore ed hanno a che fare con relazioni complesse fra oggetti.

La logica enunciativa (o proposizionale) rappresenta un ulteriore tentativo di formalizzare una teoria del ragionamento deduttivo, ovviando agli inconvenienti propri dell’approccio sillogistico.

Nella logica enunciativa sono presi in considerazione enunciati (o proposizioni) semplici, che sono messi in relazione tramite connettivi per costruire enunciati complessi (non, e, o, se…allora, se e solo se).

Funzioni di veritàFunzioni di verità 1) Negazione: se A è una proposizione, nonA

denota la negazione di A, con la tavola di verità:  A nonA

-------------- 1 0 0 1

Condizione: se A è Vera, nonA è falsa; se A è Falsa, nonA è Vera.

2) Congiunzione: se A, B sono proposizioni, la proposizione A B è la loro congiunzione, con la seguente tavola di verità:

  A B A B ----------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0  Condizione: A B è Vera se e solo se sia A che B

sono Vere.

3) Disgiunzione: se A, B sono proposizioni, la proposizione A B è la loro disgiunzione, con la seguente tavola di verità:

A B A B ---------------------- 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0   Condizione: A B è Vera se o A è Vera, o B

è Vera o entrambe sono Vere. A B è Falsa se e solo se sia A che B sono False.

4) Implicazione (o condizionale): se A, B sono proposizioni, la proposizione A B (A implica B, se A allora B) è il

condizionale (A: antecedente, B: conseguente), con la tavola di verità:

 A B A B --------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Condizione: A B è Falsa sse A è Vera e B è Falsa[

(5) Equivalenza (o bicondizionale): se A, B sono proposizioni, l'equivalenza A B (A se e solo se B) è una proposizione, con la seguente tavola di verità:

 A B A B --------------------- 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Condizione: A B è Vera se e solo se A e B sono entrambe Vere, o entrambe False.

Modus Ponens

 A B due premesse A ____________________ B una conclusione

Esempi: Modus PonensEsempi: Modus Ponens Se Giorgio è un deputato, vive a Roma.Giorgio è un deputatoAllora “Giorgio vive a Roma”.

Se non piove, allora esco.Non piove.Allora “Esco”.

Se è sabato o domenica, vado a teatro.E' sabato o domenica.Allora “Vado a teatro”.

Modus Tollens

A B due premesse~ B

___________________________~ A una conclusione

Esempi Modus TollensEsempi Modus Tollens

Se Marco ha perso il treno, è rimasto a casa.Marco non è rimasto a casa.Allora “Marco non ha perso il treno”.

Se fa freddo, metto il cappotto.Non metto il cappotto.Allora “Non fa freddo”.

Se ho studiato poco, non passo l'esame.Passo l'esame.Allora “Non ho studiato poco”.

Per eseguire una dimostrazione per assurdo di

A B

è equivalente provare:

non B non A

A B A B nonB nonA nonBnonA

----------------------------------------------------------- 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

A B A B nonBnonA

----------------------------------------------------------- 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

Dunque è tautologia (vale sempre 1)

ﾠ

A ﾮ B( ) ﾮ nonB ﾮ nonA( )

ﾠ

A ﾮ B( ) ﾮ nonB ﾮ nonA( )

Ci sono esempi di tautologie (valore di verità sempre 1) o di contraddizioni (valore di verità sempre 0)

A nonA A ∨ nonA A∧nonA

----------------------------------------------------------- 1 0 1 0

0 1 1 0

Dunque: A ∨ nonA è tautologia

A ∧ nonA è contraddizione.

Nella logica vale il principio del terzo escluso: Una frase logica che non sia vera è falsa e viceversa.

I valori di verità 0, 1 sono detti bit (b) e rappresentano l’unità di informazione, nonché le cifre delsistema di numerazione binario.

Un Byte (B) è l’unità di memoria e corrisponde a: 1 B=8 b

Una stringa è una sequenza di bit, lunga al massimo 255 bit.

Ex: 10010001 è un esempio di Byte (stringa di lunghezza 8 bit).

10110 è una stringa di lunghezza 5.

I multipli del Byte, nel S.I. sono:

1 KB = 1024 B ~ 103 B (1 Kilobyte)1 MB = 10242 B ~ 106 B (1 Megabyte)1 GB = 10243 B ~ 109 B (1 Gigabyte)1 TB = 10244 B ~ 1012 B (1 Terabyte)1 PB = 10245 B ~ 1015 B (1 Petabyte)1 EB = 10246 B ~ 1018 B (1 Exabyte)1 ZB = 10247 B ~ 1021 B (1 Zettabyte)1 YB = 10248 B ~ 1024 B (1 Yottabyte)