Dispense di Scienza delle Costruzioni 9 giugno 2010

8/8/2019 Dispense di Scienza delle Costruzioni 9 giugno 2010

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Anno Accademico 2009-2010

Appunti delle Lezioni di

Scienza delle Costruzioniper allievi di Ingegneria e Architettura

Prof. Alberto Franchi

Ing. Pietro Crespi


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Capitolo 0- Lo sviluppo storico della Meccanica delle Strutture

Da : [1] La Scienza delle Costruzioni e il suo sviluppo storicodi Edoardo Benvenuto, Sansoni Editore Firenze

1. La Meccanica Ellenica e RomanaLa Fisica di Aristotele (384-322 a.C.)

Una definizione della trattazione aristotelica sulla natura, quale espressa negli otto libri della Fisica,

nel trattato Sul Cielo, in quello Sulla Generazione e la Corruzione, viene espressa in modo

magistrale da J. Maritain [2] nel modo seguente:

filosofia della natura che ha per oggetto proprio il movimento, lessere mutabile in quanto

mutabile; lessere dunque .., ma non lessere in quanto essere o lessere secondo il suo misterodi intelligibilit, che loggetto della metafisica; loggetto delle filosofia della natura lessere

preso secondo le condizioni che lo costringono in questo universo della indigenza e della divisione

che luniverso materiale, lessere secondo il mistero proprio del divenire e della mutabilit, del

movimento nello spazio nel quale i corpi sono in interrelazione, del movimento di generazione e di

corruzione sostanziale che il regno pi profondo della loro struttura ontologica, del movimento di

crescita vegetativa nel quale si manifesta lascesa della materia allordine della vita.

Gli ultimi due libri della Fisica, il settimo e lottavo, trascendono lorizzonte fisico, per indagare la

causa ultima, lorigine profonda del movimento. Allinizio della trattazione viene stabilito appunto

il noto principio secondo il quale tutto ci che mosso, mosso necessariamente da qualcosaltro.

Il principio di causalit, intorno al quale ruoter il pensiero filosofico e scientifico occidentale,

sino ai giorni nostri, quindi stabilito quale fondamento e strumento essenziale.

In verit lo sviluppo positivo delle scienze ha dimostrato storicamente che gli avanzamenti

compiuti dalla ricerca hanno delucidato non tanto il perch, quanto piuttosto il come: anzi,

lindagine sulle cause ha caratterizzato normalmente la fase iniziale, quale pre-scientifica, della

conoscenza; mentre la descrizione accurata delle modalit di svolgimento dei fenomeni ha

rappresentato la fase matura, efficace, dove le leggi fisiche sono state stabilite e tradotte nel

linguaggio matematico.

Un importante intuizione fisica, che si pu rintracciare nella Fisica aristotelica, verte su un tema digrandissima importanza applicativa e teorica per la meccanica: si tratta di un primo barlume di

legge del moto e della sua rappresentazione matematica.


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Dice Aristotele nel capitolo 5 del libro VII:

Sia A il motore, B il mobile, la grandezza (lintervallo di spazio) secondo cui esso mosso, il

corrispondente intervallo di tempo.

(a)In un tempo uguale una forza uguale, cio A, muover la met di B per il doppio di ,(b) ma pernella met di ; in questo modo la proporzione rispettata.(c)e se la stessa forza muove lo stesso corpo in tal tempo e di tal quantit, essa lo muover di

met quantit in met di tempo;

(d)e una forza met muover met corpo duna quantit uguale in eguale tempo.

= BA

(a)

=2

B/2A

(b)2/

B/2A

=

(c)2/

2/BA

=

(d)

= B/2A/2

La legge proposta da Aristotele si pu scrivere, in notazione moderna, come:

t

smF =

Avendo indicato con s lo spostamento, t il tempo trascorso per percorrerlo, m la massa e F la forza.

Essa risulta palesemente errata ma sorprendentemente vicina alla soluzione che Isaac Newton

(1642-1727) formul nel trattato:Philosophiae Naturalis Principia Mathematica nel 1687 e che si

scriverebbe oggi come:

maF = dove con a si indica laccelerazione.


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Marco Vitruvio Pollione ( 80/70 a.C. 23 a.C.) [3],[4]

.In tutte queste cose (costruzioni) si hanno da aver presenti la Fortezza, il Comodo e la

Bellezza. La Fortezza dipende dal calare le fondamenta fino al sodo, e fare senza avarizia esatta

scelta de materiali. Il Comodo dallesatta distribuzione de membri delledificio, senza che ne resti

impedito luso, anzi abbia ciascuno laspetto suo proprio e necessario. La Bellezza finalmentedallaspetto dellopera, se sar piacevole e di buon gusto, e le misure de membri avranno giuste

proporzioni (libro I,3).

In quegli edifici, che cominciano dal pian di terra, se le fondamenta saranno fatte colle

regole date n libri antecedenti per le muraglie e per i teatri, saranno stabili per lungo tempo: ma

se avessero a fare fabbriche e volte sotto terra, le fondamenta hanno da essere pi larghe di quel

che si vorranno fare le mura superiori, le quali, come anche i pilastri e le colonne debbono tutto

corrispondere a piombo sul mezzo di quei di sotto, acciocch posino sul sodo; imperciocch se il

peso delle mura o delle colonne sar sul falso, non potranno lungo tempo durare. Ma oltracci,

ove sono le soglie, se a dritto de pilastri e degli stipiti si metteranno de puntelli sotto, queste non

patiranno; imperciocch le soglie e gli architravi, quando sono aggravati dalla fabbrica,

curvandosi in mezzo, rompono col loro distaccarsi anche la fabbrica: ma se vi si porranno i puntelli a stretta, questi non lasceranno aggravare, n offendere gli architravi. Si pu anche

alleggerire il peso delle mura con degli archi fatti a conii ben divisi e corrispondenti a un centro;

poich se di l degli architravi e dalle teste delle soglie si volteranno archi di conii sopra,

primariamente i travi alleggeriti dal peso non si curveranno, secondariamente, se mai avessero

patito per la vecchiaja, si potranno facilmente cambiare senza limpaccio dei puntelli.

Parimente nelle fabbriche fatte di pilastri e ad archi commessi di conii tirati a un centro, si

hanno a fare pi larghi gli ultimi pilastri, acciocch abbiano questi la forza da resistere allurto

che fanno i conii, i quali caricati dal peso delle mura, premendo verso il centro, spingono le

impostature: perci se i pilastri de cantoni saranno ben larghi, daranno fermezza a lavori col

tenere stretti i conii. Quando si sar badato a tutto questo, ed usatavi ogni diligenza, si dee anche

badare, che sia tutta la fabbrica a piombo, e non penda in nessuna parte.

La maggior cura per dee essere nelle fondamenta, perch suole in queste cagionare

infiniti danni il terrapieno. Infatti questo non pu essere sempre di quello stesso peso che suol

essere di estate; poich linverno ricevendo dalle piogge quantit dacqua, col crescere di peso e di

mole, fracassa e sloga il ricinto delle fabbriche.

(.) Ho detto, come si hanno a fare i lavori, perch sieno senza difetti, e quali sieno le

cautele da usarsi nel cominciare; perciocch quanto a tetti, travicelli o asse, che si dovessero

cambiare, non vi va tanta pena; poich se mai riuscissero difettosi, si cambiano con facilit.


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2. La meccanica nel MedioevoDice Benvenuto:

La cultura classica tendeva a sottovalutare il momento tecnico rispetto a quello speculativo.

Il Medioevo modific sensibilmente questa concezione riduttiva e propose la conoscenza e lapratica delle arti meccaniche come componenti essenziali della formazione culturale.

Citando da Crombie [5]:

Gli sviluppi originari dellarchitettura gotica nacquero dai problemi a cui si and incontro quando

si tratt di coprire con un tetto di pietra le sottili mura della navata centrale della basilica, che era il

tipo comune di chiesa cristiana sin dai tempi di Roma. I Romani non avevano mai dovuto affrontare

i problemi che si posero ai muratori medievali, poich costruivano le volte a botte o a costole sulle

loro terme in calcestruzzo, e le volte a cupola, come quella del Pantheon in mattoni con malta,

disposti in file orizzontali; quando il calcestruzzo o la malta si erano solidificati, la spinta sulla

parete era minima. Non cos era per gli edifici medioevali, in cui non si usavano n calcestruzzo n

malta.

Larco a sesto acuto si mostra assai pi conveniente dellarco a tutto sesto di egual luce: la spinta

orizzontale sui piedritti minore e consente di diminuire le spessore dei contrafforti.


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3. Il Rinascimento Italiano e Leonardo da Vinci (1451-1519)Scrive il Parvopassu [6]:

Lopera scientifica di Leonardo, modesta nelle matematiche pure, vasta e originale nel

campo della meccanica e della Resistenza dei Materiali o Scienza delle Costruzioni. (.)

certo non tutto quello che egli not, spesso con errori, ripetizioni e incertezze, nelsusseguirsi degli anni, avrebbe figurato nel libro De peso et de moto, che aveva pensato di

scrivere, e forse inizi, ma non condusse a termine.

Due problemi particolari vengono affrontati da Leonardo: il primo riguarda la resistenza

delle colonne e il secondo la deformabilit delle travi. Il metodo utilizzato quello del

confronto tra diverse travi in cui Leonardo varia di volta in volta un parametro ( metodo gi

adottato da Aristotele)

Il problema della resistenza della colonnaPer la colonna o il sostegno di sezione quadrata o circolare caricata uniformemente di pesi

sulla base superiore stabilita la tesi che:

la resistenza a compressione proporzionale alla superficie caricata e inversamente

proporzionale al rapporto tra la lunghezza l e il lato a della base quadrata o del raggio del

cilindro (Cod. Atl. 152rb).

Cio, in termini analitici:

(l/a)

AKPcr =

Mentre lesatta formulazione la dobbiamo ad Eulero (1707-1783) come:

2cr (l/a)

AKP =

La prima parte risulta dunque corretta mentre la seconda errata, ma sorprendentementevicina.

Il problema della trave appoggiata inflessa con un carico in mezzeriaPer la trave inflessa appoggiata agli estremi e caricata di un peso Q nella mezzeria,

Leonardo giunge vicino alla soluzione veritiera, studiando sempre con il metodo del

confronto, lo spostamento in mezzeria delle varie travi. Nel Codice Atlantico, al foglio

332rb (e anche ai fogli 152rb, 211rb, 225rf), le considerazioni sono svolte sulle figure qui


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riportate, che si possono ritenere tra le pi celebri del codice.

Afferma dunque Leonardo:

Se AB si piega di 1/8 di sua lunghezza per peso di 8, CD, se sar, come credo, di

duplicata fortezza a AB, essa non piegher 1/8 di sua lunghezza per manco peso che 16,

perch la met della lunghezza di AB; e similmente EF, per essere la met de la lunghezza

di CD, fia il doppio pi forte e caler 1/8 di sua lunghezza per 32 pesi.

Nei disegni si vede chiaramente che Leonardo pensa a travi di uguale altezza.

Lasserzione di Leonardo, oggi, conoscendo la soluzione del problema, la scriveremmo

come:

se3AB8KAB

8

1=

allora

3

2

AB16K

2

AB

8

1

=

o, altres,

3

4AB32K

4AB

81

=

che risultano palesemente errate.

Leonardo ha inteso il carico 16 e 32 delle travi CD e EF come il carico 8 della trave AB

moltiplicato per il rapporto tra AB/CD=2 e AB/EF=4; la soluzione esatta sarebbe quella di

moltiplicare il carico 8 per (AB/CD)2=4 e (AB/EF)2=16.

Quindi Leonardo era sicuramente sulla strada giusta, anche se non disponeva ancora della

teoria della trave.


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Galileo Galilei (1564-1642)

I Discorsi [7] si svolgono secondo il genere letterario del dialogo e sono distribuiti su quattro

giornate: vi compaiono tre interlocutori, Salviati, in rappresentanza dello stesso Galileo,

esponente della nuova scienza, Sagredo, figura delluomo colto bench profano, ma

disponibile ad apprendere senza pregiudizi, e Simplicio, rappresentante della scienzaconservatrice ligia allautorit dei testi classici.

La prima e la seconda giornata trattano specificamente la resistenza dei materiali.

Il problema di Galileo (riguarda la resistenza a rottura di una trave a mensola caricata dun

peso alla sua estremit libera.

Or tornando al nostro primo proposito-dice Salviati-, intese tutte le cose sin qui dichiarate,

non sar difficile lintender la ragione onde avvenga che un Prisma o Cilindro solido, divetro, acciaio, legno o altra materia frangibile, che sospeso per lungo sosterr gravissimo

peso che sia attaccato, ma in traverso (come poco fa dicevamo) da minor peso assai potr

talvolta essere spezzato, secondo che la sua lunghezza ecceder la sua grossezza. Imper

che figuriamoci il prisma solido ABCD, fitto in un muro dalla parte AB, e nellaltra

estremit sintenda la forza del Peso E: manifesto che, dovendosi spezzare, si romper nel

luogo B, dove il taglio del muro serve per sostegno, e la BC per la parte della leva dove si

pone la forza; e la grossezza del solido BA laltra parte della Leva, nella quale posta la

resistenza, che consiste nello staccamento che sha da fare della parte del solido BD, che

fuor del muro, da quella che dentro: e per le cose dichiarate, il momento della forza posta

in C al momento della resistenza, che sta nella grossezza del Prisma, cio nellattaccamento

della base BA con la sua contigua, ha la medesima proporzione che la lunghezza CB alla

met della BA; e per lassoluta resistenza allessere rotto, che nel Prisma BD (la quale

assoluta resistenza quella che si fa col tirarlo per diritto, perch allora tanto il moto del

movente quanto quello del mosso), allesser rotto con laiuto della Leva BC, ha la

medesima proporzione che la lunghezza BC alla met di AB nel prisma, che nel Cilindro il

semidiametro della sua base. E questa sia la nostra prima proposizione.

Lerrore di Galileo, come si pu osservare dalla seguente figura, risiede nellaver ipotizzato

che lo stato di tensione della mensola (soggetta a carico ortogonale allasse) a rottura nella

sezione di incastro sia simile a quello della stessa trave a rottura soggetto a carico assiale

(carico nella direzione dellasse).


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Se tale ipotesi fosse vera, allora:

LQ2

HN clim = da cui limc N

L

H/2Q = mentre la soluzione corretta

sarebbe limc NL

H/4Q = .

Sin qui si sono considerati i momenti e le resistenze de i Prismi e Cilindri solidi, luna

estremit de i quali sia posta immobile, e solo nellaltra sia applicata la forza di un peso

premente (..): ora voglio che discorriamo alquanto de i medesimi Prismi e Cilindri quando

fussero sostenuti da amendue lestremit, o vero che sopra un sol punto, preso tra le due

estremit fusser posati. E prima dico, che il Cilindro che gravato dal proprio peso sar

ridotto alla massima lunghezza, oltre alla quale pi non si sosterrebbe, o sia retto nel mezzo

da un solo sostegno o vero da due nelle estremit, potr essere lungo il doppio di quello che

sarebbe, fitto nel muto, cio sostenuto in un sol termine.

2

qlM

2

A = e8

qlM

2

1E =

Se l1=2l allora MA=ME e lasserzione risulta dimostrata.


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Charles Augustin De Coulomb (1736-1806)

La rottura dei materiali e delle strutture

Un pilastro in pietra, osserva Coulomb, bench il carico sia disposto in asse, esibisce una

superficie di rottura inclinata (vedi figura seguente). Come pu esser possibile un tale stranocomportamento?

Osserva Coulomb: che le due parti di questo pilastro siano unite in questa sezione CM da

una coesione data, mentre tutto il resto della massa perfettamente solida, ovvero unita da

unaderenza infinita: se il pilastro caricato di un peso, questi tender a far scorrere la parte

superiore del pilastro sul piano inclinato di contatto con la parte inferiore. Cos, nel caso di

equilibrio, la parte di peso che agisce parallelamente alla sezione, sar esattamente uguale

alla coerenza. Se ora si osserva, nellipotesi di omogeneit, che laderenza del pilastro

realmente uguale in tutte le parti, affinch il pilastro possa sopportare un peso, occorre che

non vi sia alcuna sezione di questo pilastro per la quale lintensit della componente di

pressione possa far scorrere la parte superiore. Pertanto, per determinare il pi grande peso

sopportabile da un pilastro, si deve cercare tra tutte le sezioni quella la cui coesione inequilibrio con un peso che sia un minimo; poich in tal caso ogni pressione superiore a

quella determinata da questa condizione, sarebbe insufficiente a rompere il pilastro.

Oggi potremmo scrivere:


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coscosA

P

A

PS;

cos

AA;

P

n

nn =====A

cossensenS

coscosS

n

2n

====

n

n

Tra tutte le possibili inclinazioni di a-a, qual quella che corrisponde alla reale sezione di

rottura per scorrimento? La risposta di Coulomb : il pilastro (di pietra) si rompe per

uninclinazione di * per cui sia massima (rispetto a ogni altro e a parit di peso P) latensione tangenziale n. Ci significa che

* definito dalla condizione:

n = max

da cui:

0)cossen(d

d=

da cui si ricava:

cossen =

In conclusione, langolo di minor resistenza, o di rottura, sar a 45[8].

Si osserva che il carico limite P si pu esprimere come:

cossen

AAP limnlim

==

Coulomb nel capitolo IX di [8] propone una formulazione pi sofisticata del carico limite.

Al momento della rottura- osserva Coulomb- si oppongono allo scorrimento sul piano a-a

sia la tensione tangenziale limite, che si avrebbe se il piano fosse privo di attrito, sia latensione tangenziale dovuta allattrito.

In termini analitici:

cosPf

cos

AsenP limS

nlimlim +=

dove con fS si indicato il coefficiente di attrito statico.

Il carico massimo si pu scrivere come:

)cosf-(sencos

APS

limnlim

=


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Ponendo Plim stazionario rispetto ad si ottiene:

S

2

S f)f1(

1tg

+=

La teoria di Coulomb sulla spinta delle terre

Dice Coulomb:per determinare la pressione delle terre contro i piani verticali che le

sostengono, il procedimento assolutamente lo stesso (quello del carico di rottura della

colonna). Si considera un triangolo rettangolo solido, del quale uno dei lati sia verticale e

lipotenusa giaccia in un piano inclinato, su cui il triangolo tende a scivolare; se tale

triangolo sollecitato dal suo peso, sostenuto da una forza orizzontale, dalla coesione e

dallattrito che agiscono secondo lipotenusa suddetta, si determiner facilmente, nel caso di

equilibrio,questa forza orizzontale mediante i principi della statica.

..Per ottenere la pressione di una terra contro un piano verticale, occorre trovare tratutte le rette BC (piani inclinati di scorrimento) quella che, sollecitata dal peso e trattenuta

dal suo attrito e dalla sua coesione, esigerebbe, per il suo equilibrio, dessere sostenuta da

una forza orizzontale massima; poich evidente che, richiedendo ogni altra figura una

minor forza orizzontale a garantire il suo equilibrio, la massa aderente non potr dividersi

Formulazione analitica di quanto detto a parole da Coulomb.

Con riferimento alla notazione della figura sopra riportata, il peso complessivo del triangolo

di terra ABC, di spessore unitario, si pu esprimere come:


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YZ2

1Q =

Come indicato in figura, le forze che agiscono su tale triangolo di terra sono il peso Q, la

forza di attrito, la forza orizzontale P trasmessa dal muro al terreno e la forza di coesione del

materiale terra espressa in funzione della tensione tangenziale limite lim. Scrivendolequazione di equilibrio alla traslazione in direzione del piano inclinato si ottiene:

0Y-Pcosf-Psen-Qsenf-Qcos 22limSS =+Z

Risolvendo tale equazione per P:

Yf

)Y()f-YZ(Y

2

1

PS

22

limS

+

+

= Z

ZZ

Per ottenere il valore massimo di P basta annullare la derivata prima di P rispetto a Z da cui

si ottiene, dopo qualche passaggio:

2

SS f1fY

Ztg ++==

Si pu concludere dalla formula precedente- osserva Coulomb- che la coesione non

influisce per nulla sul valore dellangolo e le dimensioni del triangolo che riduce la pigrande pressione dipendono solo dallattrito.

Contributi di Coulomb al calcolo dei muri di sostegno

Sostituendo lespressione sopra ricavata nellespressione del carico P si ottiene:

YYP lim2 =

Essendo e due costanti che dipendono solo dal peso specifico del terreno e dalcoefficiente di attrito fS.

Al variare di Y, P varia secondo la seguente relazione:

dY)-Y(2dP lim=

e il momento ribaltante, calcolato rispetto a D, si esprime come:


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==h

0

2

lim

3

limr h2

1h

3

1Y)dY-h)(-Y2(M

dove h indica laltezza del muro AB.

Coulomb sviluppa anche un esempio che interessante riportare.

Se si suppone che lattrito sia uguale alla pressione, come sulle terre che abbandonate a se

stesse prendono 45 di scarpa, e se si suppone che laderenza sia nulla, come accade per le

terre rimosse,si ritrae approssimativamente:

7

h

a =

dove a rappresenta la larghezza del muro.

il Signor Maresciallo de Vauban, in quasi tutte le fortificazioni che egli ha fatto

costruire, ha assegnato 5 piedi di larghezza alla corda di sommit. Poich i rivestimenti

costruiti da questo celebre uomo raramente superano i 40 piedi, la sua norma pratica

saccorda molto bene con la nostra ultima formula.


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Augustin Louis Cauchy e la Meccanica del Continuo

Cauchy nacque a Parigi il 21 agosto 1789 e mor Sceaux sulla Senna il 23 maggio 1857. Si

form allEcole des Ponts et Chausses entrando quindi nel vivo dellingegneria di quel

tempo; egli stesso esercit per qualche tempo, e cio sino al 1823, la professione di

ingegnere. Successivamente, per, su insistenza di Lagrange e di Laplace, rivolse ogni suaattivit alla ricerca scientifica nel campo delle matematica e della fisica.

Ben presto Cauchy entr a far parte dei docenti dellEcole Polytechnique, a partire dal 1816.

Con lavvento di Luigi Filippo, a seguito della rivoluzione del 1830, egli abbandon

linsegnamento a Parigi e si trasfer a Torino, dove era stata creata per lui una cattedra di

Fisica. Personaggio austero, rigido, saldo nei suoi principi religiosi, che esplicitamente

professava anche in polemica con lo spirito positivistico dei suoi colleghi, Cauchy torn

definitivamente a Parigi solo nel 1838, riprendendo la sua cattedra allEcole Polytechnique.

I suoi contributi fondamentali si estendono a numerosi settori della matematica e della fisica:

sin dal 1805, egli ottenne notoriet per aver risolto in modo semplice ed elegante un famoso

problema di lunga storia nella geometria, il problema di Apollonio (ossia :trovare un

cerchio che sia tangente a tre cerchi assegnati).La maggior parte delle sue scoperte matematiche rintracciabile nei libri scritti per lEcole

Polytechnique quali dispense ai corsi da lui tenuti sino al 1830. Sono tre trattati: Cours

danalyse de lEcole Polytechnique (1821), Le calcul infinitsimal (1823), Leon sur les

applications du calcul infinitsimal a la gomtrie (1823-1828). Tralasciando di menzionare

relative allastronomia, allottica, alla meccanica generale, ci soffermiamo sulle memorie pi

importanti relative alla meccanica dei solidi.

La prima memoria fondamentale su tale argomento del 1823: Recherches sur lquilibre et

le mouvement intrieur des solides ou fluides. Elastiques ou non lastiques. Ad essa

numerose altre seguono, raccolte, in gran parte, nei volumi degli Exercices de

mathmatique. Si pu affermare che in tali lavori Cauchy gett le basi di tutta la teoria :

defin nel modo ancor oggi seguito il concetto di tensione, stabilendone le propriet

essenziali sia con il suo grande

Teorema, sia con lo studio delle tensioni principali, formul le equazioni indefinite di

equilibrio, svolse compiutamente lanalisi della deformazione, introdusse il legame elastico.

[1] Edoardo Benvenuto, La Scienza delle Costruzioni e il suo sviluppo storico, Sansoni

Editore Firenze.

[2] J. Maritain, Science et sagesse, trad. It., p.101, Torino, 1964.

[3] Marco Vitruvio Pollione ,De Architectura, 10 Libri 2723 a.C.

[4] B. Galiani, DellArchitettura libri dieci di M. Vitruvio Pollione, Milano, 1832.[5] A. C. Crombie, Da S. Agostino a Galileo, trad. it., Milano 1970

[6] C. Parvopassu, Visione storica della scienza e della tecnica delle costruzioni, Corso di

perfezionamento per le costruzioni, p.138-139, Milano, 1953.

[7] G. Galileo, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti

alla mecanica e i movimenti locali, Ed. naz., cit., 8, p.49 e segg..

[8] C. A. De Coulomb, Essai sur une application des regls de maximise t minimis

quelques problmes de statique relatifs lArchitecture,1773.


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Capitolo 1 La Meccanica del Continuo

Il capitolo sulla Meccanica del continuo si suddivide in 4 paragrafi:

il paragrafo 1.1 sullo stato di sforzo,

il paragrafo 1.2 sullo stato di deformazione,il paragrafo 1.3 sul Principio degli spostamenti virtuali e

il paragrafo 1.4 sul legame costitutivo.

Completer il capitolo un paragrafo di osservazioni generali sul modello matematico adottato, che

ne metter in luce alcuni aspetti come la linearit delle equazioni, e discuter i problemi di esistenza

ed unicit di soluzione.

Come accennato alla fine del Capitolo precedente, i risultati esposti in tale capitolo sono

riconducibili, in modo particolare, ai contributi di Cauchy.

Nomenclatura:

x1, x2,x3 indicano le coordinate di un punto nella configurazione finale;

X1,X2,X3 indicano le coordinate di un punto nella configurazione iniziale;u1, u2,u3 indicano le componenti cartesiane del vettore spostamento di un punto;

V indica il volume del corpo;

Su indica la superficie esterna del corpo vincolata;

Sfindica la superficie esterna caricata;

f1, f2,f3 indicano le componenti cartesiane del vettore sforzo agente in un punto P della superficie

esterna;

in notazione matriciale una lettera sottolineata indica un vettore di 3 componenti, es. f ;

oppure, una lettera con un indice (i,j,k,l,m,n,p,q..) in basso a destra indica un vettore di 3

componenti, es.if ;

la componente if di un vettore viene assunta positiva se tale componente concorde con il verso

dellasse omologo xi;

il vettore trasposto si indica con la lettera t in alto a destra, ad esempiot

f ;

una matrice si indica con una lettera sottolineata due volte, ad esempio ;il modulo di un vettore viene calcolato come radice quadrata della somma delle componenti al

quadrato, es. 232

2

2

1 xxxx ++= ;

la somma di pi vettori data dal vettore le cui componenti sono la somma algebrica delle

componenti dei singoli vettori, es.: bac += che si pu scrivere come iii bac += .


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Il problema del continuo deformabile si pu impostare, con riferimento alla figura sottostante, come

segue:

sia assegnato un solido che occupa il volume V, in cui, punto per punto, assegnato il vettore peso

per unit di volume Fi. Il volume V delimitato da una superficie esterna S nella configurazione

iniziale, prima che il corpo si deformi.

Con Xi e xi si indicano, rispettivamente, il vettore posizione del punto, rispetto ad un sistema di

riferimento cartesiano ortogonale, nella configurazione iniziale e nella configurazione finale,

avvenuta la deformazione.

Il vettore spostamento, incognita del problema, viene definito comeiii Xxs = .

La superficie laterale S si particola rizza in una superficie Su sulla quale noto, punto per punto, il

vettore spostamento ed Sfsu cui noto il vettore sforzo fi che definiremo subito dopo, nel paragrafo

sullo stato di sforzo.

Il problema della meccanica del continuo deformabile, o meccanica del solido deformabile, quello

di individuare il vettore spostamento, punto per punto, nota la geometria del solido (superficie

laterale e quindi volume occupato) e note le condizioni al contorno, in termini di vettore

spostamento sulla superficie vincolata Su e vettore sforzo sulla superficie caricata Sf. Risulta altres

noto, cio assegnato, il vettore forza per unit di volume punto per punto. Il problema del solido

deformabile appartiene, da un punto di vista generale matematico, alla tipologia dei problemi al

contorno.

Osservazione: si ricorda che per tutta la trattazione che seguir, tutte le equazioni, ed in

particolare le equazioni di equilibrio che verranno subito dopo presentate, faranno riferimento alla

configurazione iniziale.

Quando tale ipotesi dovesse essere rilasciata, come nel capitolo della stabilit dellequilibrio, se ne

far esplicita menzione.


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1.1 Lo stato di sforzo.

Si procede come primo punto alla definizione di vettore sforzo.

Con riferimento alla figura sottostante, si pensi di tagliare il solido con un piano di normale con

direzione n il cui versore viene indicato con ni. Il versore il vettore di modulo unitario, in modo

tale che le sue componenti cartesiane ni coincidono con i coseni degli angoli che la direzione n

forma con la direzione degli assi coordinati. Ad esempio n1 il coseno dellangolo che la direzione nforma con lasse x1.

Se si considera una delle due parti in cui si divide il solido, il versore n i si assume per convenzione

uscente dal corpo.

Nel piano di normale ni si considera un punto P qualsiasi, unarea finita intorno al punto P; sutale superficie agir un vettore forza che denotiamo con Fi (dimensioni di una forza [N]); sidefinisce vettore sforzo che agisce sulla faccia di normale n i il limite sotto riportato.

Il vettore sforzo , dimensionalmente, una forza divisa per una superficie [N/mm2].

Si osserva che:

1 per un punto passano infinite normali ni e quindi si possono valutare infiniti vettori sforzo.Come conseguenza, il vettore sforzo non pu essere assunto come misura dello stato di sforzo in

un punto poich una misura di una qualsiasi grandezza si compone di un numero finito di

numeri;

2 il vettore sforzo agisce sulla faccia di normale ni, con la convenzione, come si visto inprecedenza, che la normale si intende uscente dal corpo. In tal modo si identifica univocamente

una delle due facce del piano considerato. Sulla faccia di normale n i agisce il vettore sforzo fi

, per il Principio di Azione-Reazione.

La misura dello stato di sforzo in un punto si evince scrivendo e commentando le equazioni di

Cauchy, che vengono ricavate nel seguito.

1.1.1 Le equazioni di Cauchy

Si consideri un punto P qualsiasi del solido. Per esso si faccia passare il sistema di riferimento x i e

si consideri il solido ritagliato in torno a P con la superficie laterale costituita dai tre piani coordinati

passanti per P, con versore opposto al verso dei versori degli assi cartesiani, ed un piano di normale

ni qualsiasi e spostato rispetto a P di una quantit infinitesima dn. Un tale solido si denomina

tetraedro di Cauchy (vedi figura sotto riportata).

Si valutino le forze di superficie e di volume che agiscono sul solido: tali forze vengono evidenziate

in figura.


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20

Si imponga che tale sistema di forze dia risultante nulla (si deve fare riferimento alle equazioni

cardinali della statica, si veda Pierre Varignon (1654-1722)), cio soddisfino le tre equazioni di

equilibrio alla traslazione nelle tre direzioni coordinate.

Ricordando le relazioni geometriche che legano le tre aree dei triangoli con normale corrispondente

ad un asse coordinato dAi allarea del triangolo di normale ni e denominata dA, si ottiene

lequazione vettoriale algebrica sopra riportata.

Tale equazione vettoriale, corrispondente a tre equazioni scalari, si legge nel modo seguente:

assegnati tre vettori sforzo fi secondo tre piani ortogonali tra loro, possibile calcolare il vettore

sforzo su una qualsiasi faccia di normale ni secondo la relazione sopra indicata.

Ora si passa ad esaminare i diversi modi con cui si possono scrivere le equazioni di Cauchy.

Formulazione scalare:

3

dAn=1/2(AB)x(CD)

dA3=1/2(AB)x(PD)

PD=(CD)x(cos3)=(CD)x(n3)

X1

X2

X3

A

B

C

P

D

ni3


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21

si ottiene da quella vettoriale scrivendo per esteso le componenti dei singoli vettori.

3332231133

3322221122

3312211111

nfnfnff

nfnfnff

nfnfnff

n

n

n

++=

++=

++=

Formulazione vettoriale: gi stata ricavata la formulazione vettoriale in forma matriciale come:

mentre la formulazione vettoriale con gli indici si pu scrivere come:

=

=3

1i

ijini nff

Formulazione matriciale:si raggruppino nelle tre colonne della matrice i tre vettori sforzo fi, come nella figura chesegue

La matrice-tensore degli sforzi individuata da nove scalari.

Il vettore sforzo sulla faccia di normale ni si pu esprimere come il prodotto scalare della

matrice per il versore n come segue:

nfn

=

Formulazione tensoriale o indiciale:la formulazione vettoriale con indici si pu scrivere, ricordando (i) la convenzione (Einstein)

che il segno di sommatoria si pu omettere nel caso la sommatoria si faccia rispetto ad un

indice ripetuto allinterno di un prodotto, e (ii) la definizione della matrice-tensore ij, nelseguente modo:

1.1.2 Convenzione di segno sulle componenti del tensore degli sforzi

Si consideri una particolare matrice-tensore degli sforzi con tutte le componenti nulle tranne la

componente 11 di cui si vuole individuare la convenzione sul segno. Si consideri la normale n1: la componente f11 del vettore sforzo sar: f11=11. Si consideri ora la normale opposta n1, la componente di sforzo f11sara: f11=-11Si pu ora trarre una regola generale, prendendo spunto dal caso particolare esaminato.

Se la normale uscente dal piano concorde con il sistema cartesiano, il segno delle componenti

del tensore sono concordi con le componenti del vettore. Se la normale al piano opposta al

versore del sistema cartesiano, il segno delle componenti del tensore sono opposte allecomponenti del vettore corrispondente. La figura seguente illustra quanto appena esposto,


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22

indicando nel verso positivo le componenti del tensore degli sforzi sulla faccia con normale il

versore dellasse x2 e sulla faccia con normale opposta.

1.1.3 Stato di sforzo piano

Si definisce stato di sforzo piano lo stato di sforzo definito da sole due righe e due colonne della

matrice sopra definita, ad esempio lo stato di sforzo in cui 3, 31, 32, 13, 23=0 e solamente 1, 2,

12, 21 risultano 0. Lo stato di sforzo di una lamiera o di un muro caricati nel loro piano x1,x2 sono

esempi di stati di sforzo piano. .

Esercizio N. 1

Si consideri lo stato di sforzo piano rappresentato nella figura sottostante. Si determini il vettore

sforzo sulla faccia che ha per versore normale il versore ruotato di 30 in senso orario a partire

dallasse x.

Soluzione

I versori degli assi n e t (sistema di riferimento intrinseco) sono cos calcolati:


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Dalle equazioni di Cauchy si calcola il vettore sforzon

f che agisce sul piano di normale n come

segue:

Le componenti del vettoren

f valutate nel sistema n,t si calcolano eseguendo il prodotto scalare del

vettoren

f nella direzione n e t.

N.B. Prodotto scalare di due vettori si esegue come il prodotto del primo vettore, considerato riga,

per il secondo vettore, considerato come colonna.

Quando uno dei due vettori un versore, il prodotto scalare calcola la componente del vettore (non

versore) nella direzione del versore.


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Esercizio N. 2

Assegnato lo stesso tensore piano nel sistema di riferimento x1,x2 si determini il tensore di sforzo

secondo il sistema di riferimento x1,x2

, dove x1 si trova ruotando x1 di 0.15 rad in senso

antiorario.

Soluzione

Si procede, come nellesercizio 1.1 al calcolo dei due vettori sforzo'1

f e'2

f nel sistema di

riferimento x1 e x2.

I due vettori'1

f e'2

f vengono quindi proiettati nelle direzioni x1 e x2

per calcolare le componenti

del tensore nel sistema di riferimento x1 e x2

.

In termini di algebra delle matrici si pu scrivere:

='12 '2'1'1'2 nnnnttt = = '21

poich si dimostra nel seguito che la matrice una matrice simmetrica (cio = t ).


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Esercizio N. 3

Sia assegnato uno stato di sforzo piano tramite la matrice ij

con riferimento al sistema di riferimento Cartesiano ortogonale di figura sottostante.

Si richiede il vettore sforzo su una faccia ruotata di -50 (assumendo positiva la rotazione

antioraria) rispetto allasse x1, nel sistema di riferimento n-n, i cui versori sono indicati nella

figura soprastante.

Soluzione

Individuazione del piano la cui normale uscente forma un angolo di -50 rispetto allasse x1.


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Calcolo dei versori normale e tangente al piano

Calcolo delle componenti cartesiane del vettore sforzo:

Calcolo delle compenti del vettore sforzo nel sistema di riferimento intrinseco:


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1.1.3 Le equazioni indefinite di equilibrio

Le equazioni indefinite di equilibrio, che esprimono le regole secondo cui il tensore di sforzo pu

variare da punto a punto, vengono ricavate con lausilio del lemma Di Gauss, qui sotto riportato.

Sia assegnato un solido di volume V e di superficie laterale S. Sia definito in V un vettore vj ed in

ogni punto della superficie laterale il versore normale nj. Il lemma di Gauss si scrive come:

dove si conviene quanto segue:

l'operatore di derivazione parziale viene abbreviato con una virgola e uno stesso indice ripetutoall'interno dell'operatore di derivata parziale sta ad indicare loperazione di sommatoria;

quando un indice viene ripetuto all'interno di un prodotto si sottintende l'operazione disommatoria, con l'indice (in questo caso j) che varia da 1 a 3.

Il lemma di Gauss risulta quindi uno strumento utile per passare da un integrale di superficie ad un

integrale di volume, o viceversa.

Si scriva il lemma di Gauss tre volte, assumendo di volta in volta come vettore vj i vettori j1,j2,j3 della matrice degli sforzi. Si ottiene:

Le tre equazioni scalari scritte sopra possono essere espresse come ununica equazione vettoriale

nella forma seguente:

in cui, come gi accennato, lindice j ripetuto nel termine di sinistra allinterno di un prodotto e nel

termine di destra allinterno delloperazione di derivazione sottintende loperazione di sommatoria.

Orbene, le equazioni di equilibrio alla traslazione nelle tre direzioni coordinate del solido di volume

V e superficie laterale S soggetto alle forze di volume Fi e di superficie fi si possono scrivere in

forma vettoriale con lunica equazione sotto riportata.

Sostituendo al vettore fi la sua espressione fornita dalle equazioni di Cauchy si ottiene:


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Ora, ricordando il lemma di Gauss, lintegrale di superficie dellespressione sopra riportata pu

essere sostituito da un integrale di volume, cio:

Finalmente le equazioni di equilibrio si possono scrivere come:

Si deve osservare ora che le equazioni di equilibrio per un corpo deformabile devono essere

rispettate non solo per il solido nel suo insieme ma altres da ogni sua parte per piccola che sia,quindi si scrive che le equazioni si applicano per dV. Se le equazioni integrali devono valere perun qualsiasi elemento di volume devono essere nulle le funzioni integrande, cio:

Le tre equazioni scalari differenziali lineari sopra riportate sono denominate equazioni indefinite di

equilibrio.

Esempio

Si vuole determinare lo stato di sforzo monoassiale (110 e tutte le altre componenti del tensore

sforzo =0) di un filo pesante (peso specifico e area della sezione A), posto in direzione verticale,

vincolato con cerniera (in alto) e carrello (in basso). Si scrive la prima equazione di equilibrio

indefinito, si integra e si determina la funzione 11(x11).


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Si vuole fornire ora una derivazione pi meccanica delle equazioni di equilibrio, pensando di

evidenziate su di un elemento di volume infinitesimo, secondo il sistema di riferimento Cartesiano

ortogonale, tutte le forze che agiscono nella direzione x2.

Lequazione di equilibrio alla traslazione nella direzione x2 si ottiene valutando tutte le forze che

agiscono sulle sei facce del cubetto elementare e facendone la somma.

Eliminando uno ad uno gli infinitesimi del 2 ordine e dividendo per il volume elementare, si

ottiene:

che rappresenta appunto la seconda equazione scalare dellequazione vettoriale espressa prima in

forma generale.

1.1.4 Le equazioni di equilibrio alla rotazione

Le tre equazioni indefinite di equilibrio esprimono lequilibrio alla traslazione secondo le tre

direzioni coordinate di un qualsiasi punto del solido. Con riferimento alla figura sottostante si vuole

ora esprimere lequilibrio del volume elementare alla rotazione attorno agli assi x1, x2, x3.


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In figura, per semplicit di esposizione, sono rappresentate solo le forze che causano la rotazione

intorno allasse x2. Assumendo positivi i momenti che agiscono in senso antiorario nel piano x1-x3,

lequazione alla rotazione si esprime come:

da cui si ottiene il risultato:

.

Estendendo la stessa trattazione alle equazioni di equilibrio alla rotazione intorno agli assi x1 e x3 si

trova:

La lettura delle tre relazioni sopra riportate porta a esprimere la simmetria del tensore (matrice)

degli sforzi, cio:


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1.1.5 Le tensioni e direzioni principali: trattazione generale

Posizione del problema

Il tema della definizione e calcolo delle tensioni e direzioni principali riveste un ruolo centrale nel

capitolo dello stato di sforzo, sia dal punto teorico che applicativo.

Si considerino le equazioni di Cauchy, scritte sotto forma matriciale o indiciale come sotto:

Si definisca un vettore sforzo su di una faccia di normale n come:

cio il vettore sforzo ha la stessa direzione della normale n e di modulo e segno pari .

Risulta evidente che, se un tale vettore esiste, si avr che, mentre le componenti del versore n i, cos

come avviene per un qualsiasi vettore, dipendono dal sistema di riferimento cartesiano a cui si

riferiscono, lo scalare , cos come ogni scalare, non deve dipendere dal sistema di riferimento

adottato.

Lo scalare algebrico si dice invariante e, in termini meccanici, tensione principale; il versore

ni corrispondente si chiama direzione principale.

Le equazioni di Cauchy che esprimono un tale vettore sforzo si possono scrivere nella forma:

In termini generali matematici una tale formulazione, nel calcolo matriciale, si definisce come

problema della ricerca degli autovalori I, II, III ed autovettori nIi, nIIi, nIIIi della matrice ij. Se la

matrice ij simmetrica, gli autovalori sono numeri reali e gli autovettori sono ortogonali tra loro.

In termini meccanici, gli autovalori della matrice ij si denominano tensioni principali e gli auto

vettori direzioni principali.


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SOLUZIONE DEL PROBLEMA

Le tre equazioni scalari sopra riportate sono tre equazioni omogenee nelle incognite ni e . Esse

rappresentano un sistema omogeneo in cui la soluzione banale ni=0 non una soluzione del

problema, poich ni sono le componenti di un versore e, per definizione, non possono essere tutte

contemporaneamente nulle. Per lesistenza di una soluzione si dovr porre nullo il determinante

della matrice dei coefficienti, cio:

che in forma estesa diventa

.

Ora si calcola il determinante della matrice sopra riportata.

Svolgendo pochi passaggi algebrici si ricava la seguente espressione:

dove:


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34

1.1.6 Le tensioni e direzioni principali nello stato di sforzo piano

Ci si limita al caso dello stato di sforzo piano sia perch lo stato di sforzo presente nella teoria della

trave (che costituisce parte principale del corso) un particolare caso di stato di sforzo piano, sia

perch il caso tridimensionale una generalizzazione dello stato di sforzo piano ma non aggiunge

nulla alla comprensione dei concetti.

Si consideri uno stato di sforzo piano riferito ad un sistema di riferimento Cartesiano ortogonale

come in figura. La matrice degli sforzi, simmetrica, viene definita da tre componenti di tensione che

vengono indicati, nella loro rappresentazione geometrica, nella figura sottostante. Si consideri

altres un piano, pensato passante per il punto in cui viene definita la matrice degli sforzi, la cui

normale risulta ruotata di un angolo , positivo antiorario, rispetto allasse x1. Si indichi il vettore

sforzo fni che agisce sulla faccia di normale ni. Si , in tal modo, rappresentato il tetraedro di

Cauchy nel caso particolare di stato di sforzo piano.

Si esprima ora, in termini matematici, la ricerca delle due tensioni principali incognite. Due sole

incognite in quanto la terza nota a priori, nulla e corrisponde alla direzione x 3.

n1= 11n1+ 21n2

n2= 12n1+ 22n2

Come si gi osservato nel caso generale tridimensionale, la ricerca delle tensioni principali si

effettua ponendo nullo il determinante dei coefficienti del sistema, cio:


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Svolgendo il determinante si ottiene la seguente equazione di secondo grado nellincognita :

Le due radici dellequazione si possono calcolare come segue:

La ricerca della direzione principale xI, ad esempio, si pu esprimere attraverso due equazioni, di

cui la prima una delle due equazioni di Cauchy appena sopra riportate (ad esempio la prima) e la

seconda ricorda la definizione di versore della direzione principale xI, espressa dalle due

componenti incognite n1 e n2.:

I n1= 11n1+ 21n2

n12+n2

2=1

Risolvendo, ad esempio, la prima equazione per n2 si ottiene:

n2= (I - 11)n1/ 21

Il segno + o del termine (I - 11)/ 21 indica se i segni di n1 e n2 sono concordi o discordi.

Sostituendo lespressione di n2 nellequazione di 2 grado in n1 si ottiene:

)(2

11

2

21

2

211

+=

I

n

2

12 1 nn =


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Se, ad esempio, si sceglie il segno + nella prima equazione per n1, il segno di n2 definito

dallequazione soprastante che lega n1 a n2. Ovviamente, volendo individuare una direzione e non

un verso, anche i segni opposti sono una soluzione del problema.

Si procede ora ad illustrare un metodo, il Circolo di Mohr, molto utile e semplice per la descrizione

dello stato piano di sforzo e, quindi, per il calcolo delle tensioni e direzioni principali.

1.1.6.1 Il Circolo di Mohr

Si consideri uno stato di sforzo piano riferito al sistema di riferimento Cartesiano ortogonale

coincidente con le direzioni principali. Si vogliono esprimere, analiticamente, le componenti del

vettore sforzo fni nel sistema di riferimento intrinseco ni e ti, assumendo positivo il verso del versore

ti a determinare un momento orario rispetto al punto P, origine degli assi, come in figura seguente.

La convenzione delle tensioni, componenti del vettore sforzo fni, sono:

nn positiva di trazione nt positiva se oraria

Si esprimono ora le componenti nnent in funzione delle tensioni principali e dellangolo che lanormale ni forma con lasse xI.


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Osservazioni

1. La condizione di stazionariet (minimo o massimo) della tensione normale rispettoallangolo porta a valutare che:

Cio la tensione normale massima o minima nei piani in cui la tensione tangenziale

risulta nulla.

2. Il Circolo di Mohr , nel piano della tensione normale come ascissa e della tensionetangenziale come ordinata, viene espresso dalle due equazioni parametriche sotto

riportate, con parametro langolo :

Si vuole ora esprimere le due equazioni sopra riportate in funzione dellangolo 2 ricordando le

relazioni trigonometriche seguenti:


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Le equazioni parametriche del circolo di Mohr diventano :

Indicando con:

b=(I+II)/2

R=(I-II)/2

il sistema parametrico diventa:

Eseguendo il quadrato di entrambi i termini di entrambe le equazioni e sommando le due equazioni

membro a membro si ottiene lespressione analitica del Circolo di Mohr in funzione delle tensioni

principali:

Si procede nel seguito ad illustrare luso di tale strumento per studiare lo stato di sforzo piano in un

punto e si estender tale utilizzo al caso generale in cui il sistema di riferimento sia un sistema

Cartesiano qualsiasi e non un sistema coincidente con le direzioni principali.


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Costruzione grafica:

Si traccia un sistema di riferimento Cartesiano ortogonale in cui si pone in ascissa la componente di

tensione normale (con il segno positivo se di trazione) ed in ordinata la tensione tangenziale (con il

segno positivo se oraria).

Si individua quindi la posizione del centro del cerchio, che giace sullasse delle ascisse, attraverso

la coordinata b; si calcola il valore del raggio R e si traccia il cerchio.

Osservazioni

Ogni punto del Circolo rappresenta un vettore sforzo su un piano ben preciso, nellecoordinate intrinseche normale e tangente al piano;

la posizione del centro sempre sullasse delle ascisse; la tensione tangenziale massima si trova sempre su un piano che forma 45 con la direzione

dei piani principali;

i punti A e A, diametralmente opposti, rappresentano le tensioni principali; I la maggiorein senso algebrico e II la minore;

due punti diametralmente opposti, ad esempio P e P, in cui P si ottiene ruotando P sulCircolo di 180 in senso orario o antiorario, rappresentano due vettori sforzo su due facce

ortogonali tra loro, che cio si ottengono ruotando di 90 una faccia per ottenere laltra.


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Alcuni esempi di costruzione del Circolo di Mohr

Esercizio N. 4

Domanda 1 - Tracciare il circolo di Mohr dello stato di sforzo monoassiale di trazione

Sia dato lo stato di sforzo di sola trazione come in figura. Si determinano i punti A e A

diametralmente opposti sul circolo di Mohr.

Domanda 2 Individuare la giacitura dei piani, e i vettori sforzo corrispondenti, che

corrispondono ai punti B e B nel Circolo di Mohr

Soluzione: sul Circolo di Mohr si passa dal punto A al punto B ruotando di 90 in senso

antiorario; conseguentemente nel solido dovr ruotare la faccia su cui agisce la tensione

principale di trazione in senso antiorario di 45 e il vettore sforzo sar costituito da una

componente di trazione (positiva) pari a /2 e una tensione tangenziale positiva (oraria) pari a

/2.

Esercizio N. 5

Domanda 5.1 - Determinare il circolo di Mohr dello stato di sforzo monoassiale di

compressione


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41

Domanda 5.2 Individuare la giacitura dei piani, e i vettori sforzo, che corrispondono ai punti

B e B nel Circolo di Mohr

Soluzione: sul Circolo di Mohr si passa dal punto A al punto B ruotando di 90 in senso

antiorario; conseguentemente nel solido dovr ruotare la faccia su cui agisce la tensione

principale nulla in senso antiorario di 45 e il vettore sforzo sar costituito da una componente

di compressione (negativa) pari a -/2 e una tensione tangenziale positiva (oraria) pari a /2.

Esempio N. 6

Sia dato lo stato di sforzo piano di figura (in kg/cm2):


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42

Domanda 6.1: si determini la matrice degli sforzi:

Soluzione:

Domanda N.6. 2: si determinino sforzi principali con il metodo analitico.

Soluzione:

Domanda N. 6.3: si determinino le direzioni principali con il metodo analitico.

Soluzione:

Si ricorda il sistema di equazioni che governa il problema, e cio le equazioni di Cauchy e la

definizione di versore.

Si voglia determinare la direzione principale xI che corrisponde alla tensione principale I=929

kg/cm2. Si sceglie di eliminare la seconda equazione lineare e la terza non lineare.

I passaggi analitici diventano:


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43

I segni delle due componenti del versore devono rispettare la relazione tra di esse sopra riportate

e che impone ai segni delle due componenti ad essere diverse, una positiva e laltra negativa.

In conseguenza si trova:

Il versore della direzione principale xII si trova imponendo lortogonalit rispetto alla direzione

xI, e quindi:

La rappresentazione grafica delle direzioni principali diventa:


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44

Domanda N. 6.4: si costruisca il Circolo di Mohr, si determinino le tensioni principali, si

determinino le direzioni principali.

Circolo di Mohr

Tensioni principali

Direzioni principali


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1.2 Lo stato di deformazione

Il presente paragrafo ha lo scopo di presentare le regole, nellambito della meccanica lineare

(cio in cui tutte le equazioni che governano il problema sono lineari), che descrivono la

deformazione del solido.

Il vettore spostamento si indichi con si. Tale vettore porta un qualsiasi punto P dalla

configurazione iniziale (linea continua nella figura sottostante) alla configurazione finale (linea

tratteggiata).

Intuitivamente la deformazione, di cui si cerca una misura, legata alla variazione di tale

vettore passando da un punto ad un altro vicino.

Pertanto, fissato un punto, si pensa di individuare tre segmenti infinitesimi lungo le tre direzioni

coordinate, indicando con le lettere A-B-C i punti estremi di tali segmenti opposti a P, ed

esprimere la variazione del vettore spostamento di tali punti rispetto a P (si veda la figura

sottostante).

Un tale sistema, che nella valutazione dello stato di deformazione prende il posto del tetraedro

di Cauchy, adottato nella definizione del tensore di sforzo, viene utilizzato in questo paragrafo

per definire il tensore di deformazione.

Non necessita di spiegazioni il concetto che un moto rigido, traslazione + rotazione, di questo

intorno del punto P, formato da tre segmenti ortogonali tra loro, non induce deformazioni. In

altre parole le misure di deformazione si possono valutare pensando di sottrarre allo

spostamento finale di tale sistema la traslazione e rotazione rigida.

1.2.1 Il tensore delle derivate del vettore spostamento

In particolare, si consideri il punto P che si sposta nel punto P. Il punto B, variato da P solo

nella coordinata x2 di una quantit dx2, si sposter in un punto B. Il vettore spostamento totale

BB viene scomposto in un vettore spostamento uguale al vettore PP + un vettore spostamento

che esprime la variazione del vettore spostamento quando la coordinata x2 si incrementi della

quantit dx2.


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46

Il vettore spostamento PP si pu pensare come il vettore della traslazione rigida dellinsieme

dei tre segmenti infinitesimi ortogonali spiccati da P.

Per il segmento PB si pu scrivere:

2

2

dxx

sds ii

= ;

analogamente per i segmenti PA e PC:

1

1

dxx

sds ii

=

3

3

dxx

sds ii

= .

Le tre equazioni scalari sopra descritte si possono raggruppare in una unica equazione vettoriale

scritta in forma indiciale come:

jj

i

i dxx

s

ds

= .

Si definisce quindi il tensore

j

iij

x

s

=

delle derivate del vettore spostamento.


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47

1.2.2 Il vettore delle derivate del vettore spostamento lungo una direzione qualsiasi

Si consideri ora un segmento infinitesimo spiccato da P e individuato, come direzione, dal

versore ni.

Le componenti del vettore versore ni si possono esprimere come:

.

Il vettore delle derivate del vettore spostamento nella direzione ni si pu scrivere come:

.

Ovvero, ricordando la definizione di vettore versore sopra riportato:

.

In termini matriciali tale vettore pu essere scritto come:

o, in notazione indiciale, nella seguente forma:

jiji n

n

s=

.

Si deve osservare la similitudine e la differenza che una tale equazione presenta rispetto alle

equazioni di Cauchy.


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51

In figura si mostra la componente di 12 positiva.

1.2.6 Deformazioni principali e direzioni principali di deformazione

La ricerca delle deformazioni principali e delle direzioni principali di deformazione segue lo

stesso schema, variando ovviamente le grandezze in gioco, gi adottato nel caso del tensore

degli sforzi.

Si definisce direzione principale di deformazione la direzione di quelle fibre per le quali il

vettore deformazione ha la stessa direzione della fibra stessa, cio:

.

Tale equazione si pu riscrivere utilizzando la definizione di vettore di deformazione assunta

nel paragrafo precedente:

.

Indicando con il simbolo Iij la matrice o tensore unitario,

si ottiene una equazione del tutto simile a quella gi discussa nel paragrafo sulle tensioni e

direzioni principali di tensione.

.

Si tratta di tre equazioni omogenee nelle incognite direzioni principali. La soluzione nulla n i=0

non una soluzione possibile per cui dovr annullarsi il determinante dei coefficienti del

sistema. Da una tale condizione si ricava unequazione di terzo grado nellincognitadeformazione principale. Seguendo gli stessi ragionamenti fatti nel capitolo sullo stato di sforzo,

le tre radici dellequazione di terzo grado sono reali poich la matrice di deformazione una

matrice simmetrica; analogamente i versori delle direzioni principali sono tre ed ortogonali fra

loro.


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52

1.2.6 Stato di deformazione pianoe Circolo di MohrSi definisce stato di deformazione piano uno stato di deformazione in cui un vettore di

deformazione, ad esempio relativo allasse x3, cio 3i, risulta identicamente nullo. La matrice

delle deformazioni diventa una 2x2 e si pu scrivere come:

La rappresentazione grafica dello stato di deformazione piana pu essere fatta mediante lausilio

del Circolo di Mohr.

Si riporta in ascisse la componete del vettore deformazione che misura la variazione di

lunghezza (positivo lallungamento) ed in ordinate la met della rotazione che avviene tra lasse

n e lasse t generici, positiva se oraria.

La costruzione del Circolo viene eseguita partendo dalla matrice di deformazione chefornisce, nelle due colonne, i due vettori deformazione di due assi coordinati x1-x2. Si

ricorda la convenzione sul segno della rotazione, positivo se oraria. I due punti, nel

piano di Mohr sono diametralmente opposti per cui, congiungendoli, si trova la

posizione del centro come intersezione con lasse nt=0. La distanza tra il centro ed un

punto qualsiasi del Circolo fornisce il raggio.


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53

1.2.7 La componente di deformazione nnLa componente di deformazione nn (o n) risulta di particolare importanza nello sviluppo delle

tecniche sperimentali per la misura delle deformazioni. Si ricorda di seguito lespressione

analitica di tale grandezza.

Se, ad esempio, nello stato piano di deformazione, vengono misurate tre valori di n, noti gli

angoli , si possono determinare le tre componenti del tensore di deformazione 11, 22, 12.

Una tale idea ha dato luogo allo strumento di misura che si chiama rosetta estensimetrica.

Di seguito viene fornita una breve illustrazione di tale tecnica sperimentale.

1.2.8 La misura sperimentale delle deformazioni con gli strain gauges

Unampia gamma di sistemi meccanici ed elettrici ed ottici viene oggi utilizzata per effettuare la

misura della deformazione normale media. Uno dei metodi pi utilizzati fa ricorso al cosiddettostrain gauge. Esso consiste in un filamento elettrico sottile incapsulato tra due fogli di carta

trattata o di plastica.


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N.B La variazione di lunghezza del filamento quando soggetto ad uno sforzo normale molto

pi grande, con riferimento alla figura sotto riportata, nella direzione orizzontale che non in

quella verticale.

I fogli servono come isolante tra il filamento elettrico e la superficie del solido su cui lo strain

gauge verr incollato. Il rapporto tra la variazione unitaria di resistenza del filamento elettrico a

spire e la variazione di lunghezza viene denominato gauge factor.

Il metallo con cui costituito il filamento determina tale fattore. Per una lega composta al 60%

di rame e 40% di nickel, tale fattore vale circa 2.

Il principio su cui si basa la tecnica dello strain gauge quello della corrispondenza tra la

variazione della resistenza elettrica del filamento a spire e la variazione di lunghezza dello

stesso.

Si possono cogliere misure di deformazione piccole fino a 10-6.

Combinazioni di strain gauges sono disponibili per misurare lo stato piano di deformazione in

tre direzioni diverse.

Generalmente tali misure vengono effettuate lungo direzioni ruotate tra di loro di 45 o 60.

Utilizzando le opportune relazioni si possono ottenere facilmente le deformazioni e direzioni

principali.

Esempio N. 7 la rosetta estensi metrica

Siano note le misure di deformazione seguenti:


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Si vuole calcolare il tensore di deformazione piana, direzioni e deformazioni principali.

Si ricordano le definizioni:

Si calcolano i versori n0,i, n60,i, n120,i:

Si imposta il sistema di tre equazioni in tre incognite.


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Ricapitolando:

Calcolo delle deformazioni principali.


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1.3 Il Principio dei Lavori Virtuali ( nello specifico Principio degli Spostamenti Virtuali)

Si consideri il solido generico di figura, soggetto alle forze di superficie fi, e di volume Fi, con

spostamenti nulli sulla superficie vincolata Su.

Si consideri un campo di spostamenti virtuali si.

.

1 Si possono scrivere le equazioni di equilibrio tra le forze fi e Fi come segue:

2 Si possono scrivere le equazioni di congruenza tra spostamenti virtuali e il tensore delle derivatedel vettore spostamento nel modo seguente:

3 Si pu scrivere unequazione scalare che esprima il lavoro delle forze fi e Fi per gli spostamentivirtuali si

.

Sostituendo, al posto di fi le equazioni di equilibrio di Cauchy,


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e riordinando i termini del prodotto in modo da mettere in evidenza il prodotto scalare vjnj, si

perviene alla espressione seguente:

Ricordando che lintegrale sulla superficie S del flusso del vettore vj si pu trasformare

nellintegrale della divergenza del vettore vj sul volume V secondo il Teorema della divergenza

(richiamato nel seguito) si pu scrivere:

Sostituendo al tensore delle derivate del vettore spostamento la somma della sua parte

simmetrica (tensore di deformazione) e della sua parte antisimmetrica (rotazione rigida) si

ottiene:

dove si dimostra facilmente che lo scalare ijij=0.

N.B. Il prodotto scalare tra due tensori AijBij indica la sommatoria del prodotto di tutte le

componenti omologhe del tensore Aij e Bij.


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Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV) asserisce che il lavoro (Le= Lavoro esterno) delle forze fi

e Fi per un qualsiasi campo di spostamenti virtuali si uguale al lavoro (Li= Lavoro interno)

del tensore degli sforzi ij, equilibrato con le forze fi e Fi, per le deformazioni virtuali ij.

Teorema della divergenza (Lagrange, Gauss, Green): trasforma lintegrale della divergenza di

un vettore sul volume di definizione nellintegrale del flusso del vettore sulla superficie esterna.


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Il PLV per i corpi rigidi e il Calcolo a Rottura

Il PLV si particola rizza, nel caso di corpi rigidi, nella semplice espressione:

Le=0

Esempio: si voglia calcolare il momento allincastro di una mensola soggetta al carico distribuito

pari a p. Si degradi il vincolo dellincastro a cerniera, evidenziando il momento M che riporta la

cerniera a vincolo incastro come nel problema originale.

Il PLV vede come quantit equilibrate il carico p ed il momento M, e come quantit congruenti la

rotazione e lo spostamento verticale di ciascun punto della trave

Il PLV si pu scrivere come:

=l

Mxypdx0

)( &&

Essendo:

xxy && =)(

si ricava:

==l

plMpxdx0

2 2/

p

l

&

x

)(xy&

& )(xy& .


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Si consideri il problema affrontato da Coulomb della rottura di una colonna secondo il seguente

meccanismo:

La parte superiore scorre lungo il piano inclinato di un angolo rispetto allasse orizzontale. Il

punto A va in A subendo uno spostamento & verticale; lo scorrimento lungo al piano inclinato

sar sen/& . Indicando con lim la massima tensione tangenziale che il materiale pu

sopportare (Criterio di Tresca) il PVL pu essere scritto utilizzando come quantit equilibrate il

carico P e la tensione lim , pensata distribuita in maniera uniforme sulla sezione di scorrimento,

e come quantit congruenti lo spostamento &

del punto di applicazione del carico P e lo

scorrimento sen/& .

La parte superiore scorre lungo il piano inclinato di un angolo rispetto allasse orizzontale. Il

punto A va in A subendo uno spostamento & verticale; lo scorrimento lungo al piano inclinato

sar sen/& . Indicando con lim la massima tensione tangenziale che il materiale pu

sopportare (materiale coesivo con Criterio di Tresca) il PVL pu essere scritto utilizzando come

quantit equilibrate il carico P e la tensione lim , pensata distribuita in maniera uniforme sulla

sezione di scorrimento, e come quantit congruenti lo spostamento &

del punto di applicazione

del carico P e lo scorrimento sen/& . Indicando altres con B(x) il valore dello dimensione

fuori del piano della sezione della sezione di area A, si pu scrivere:

cos

)(

limlim

cos/

0

lim

sen

AP

dxxBsen

P

D

=

= &

&

essendo

P

BA

C

D

A

P


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dxxBdA )(= .

Si vuole determinare ora langolo per cui avviene il collasso.

Il modo di ragionare, gi seguito da Coulomb, per cui lo si pu ritenere un precursore del

Calcolo a Rottura, il seguente:se si determina langolo * per cui Plim risulta minimo, P*lim, pensando di crescere il carico P da

zero a P*lim, si manifester una situazione di collasso per la prima volta quando

P=min Plim=P*lim

e meccanismi con * non si potranno manifestare. La condizione di minimo si scrive

imponendo la stazionariet di Plim:

( )( )

0cos

cos2

22

limlim =

=

sen

senA

d

dP

da cui si ricava la condizione,

cos2=sen2

ovvero =45.

Si osserva che la derivata negativa per45 e quindi si

tratta di un minimo della funzione Plim().


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Il legame costitutivo elastico lineare isotropo

Si esamina per primo il legame costitutivo dello stato di sforzo monoassiale, quindi si estende il

legame al caso di stato di sforzo generale pluriassiale.

1.4.1 Il legame costitutivo nel caso di stato di sforzo monoassiale

Il legame costitutivo monoassiale viene misurato con lausilio di una macchina di prova del tipo

di quella illustrata nella figura sottostante.

La macchina di trazioneLa macchina costituita di due teste che contengono le ganasce necessarie per afferrare

il provino del materiale di cui si vuole identificare il legame costitutivo. Una delle due

teste rimane ferma e la seconda, nella figura quelle superiore, si sposta, ad esempio

verso lalto provocando lallungamento del provino.

In corrispondenza alla testa inferiore della macchina illustrata in figura, si posiziona la

cella di carico, preposta alla valutazione sperimentale della forza applicata al provino

di prova. Il provino viene strumentato mediante un estensimetro che misura

lallungamento/accorciamento di due punti sulla superficie esterna del provino ad una

distanza, detta base di misura, l0 prefissata (ad esempio 100mm). Ad ogni valore dello

spostamento della traversa, e quindi di una testa di afferraggio (nel caso in figura quella

superiore) corrisponde un valore della forza misurata

La cella di caricoSi riporta, per chiarezza, la foto di una possibile cella di carico o dinamometro. Per la

misura delle forze, esistono dinamometri di vario tipo. I dinamometri vengono tarati

attraverso una catena di misura che ne assicurino precisione ed accuratezza. Tale

catena vede in cima Centri primari di Taratura; in Italia tale ruolo viene svolto dal

Centro CNR Istituto Colonnetti di Torino. Tali Centri primari dispongono dei

campioni di riferimento pi accurati. Nel caso della misura di forze, essi dispongono di

una serie di masse di riferimento e di macchine a pesi diretti che, per comparazione,

effettuano la taratura di celle di carico di centri secondari di taratura. Tali centri

eseguono, a loro volta, tarature sulle celle di carico utilizzate nei vari laboratori che

operano a livello industriale.

La cella di carico costituita da un corpo in acciaio che termina con due basi.

Allinterno sono applicati alcuni estensimetri. La cella dispone di fori alle estremit che


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vengono utilizzati per lancoraggio della cella, da una parte alla traversa inferiore e

dallaltra alla testa superiore.

Ad ogni valore di allungamento delle due basi, nel caso di una taratura della cella

mediante una prova di trazione, corrisponde un valore di deformazione dello strain

gauge e quindi della forza di trazione, valutata dalla cella di carico di riferimento (gi

tarata) inserita in serie nella macchina di prova durante loperazione di taratura della

cella di carico (da tarare). Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra spostamento

delle basi della cella di carico da tarare e forza applicata. Tale corrispondenza viene

detta curva di taratura della cella di carico.

Macchina di prova a trazione

Cella di carico


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Analogamente la prova di compressione, generalmente utilizzata per i materiali lapidei, viene

illustrata, nella sua forma pi essenziale, nella figura sottostante. Essa consiste di un provino

cilindrico su cui viene applicato lestensometro, di una traversa inferiore fissa su cui viene

posizionata la cella di carico e di una testa superiore su cui agisce un martinetto idraulico,

anchesso bloccato mediante opportuno telaio di contrasto (non visibile nella figura).

Prova a compressione

Il modello matematico.

Lo stato di sforzo monoassiale presuppone 11

=1

(per brevit di scrittura)0 e tutte le

altre componenti =0.

La direzione x1 la direzione del carico, quindi lasse verticale nel caso della macchinadi prova sopra illustrata.

La lunghezza della base di misura iniziale vale l0 per carico nullo ed l in corrispondenzadel carico F. Lallungamento corrispondente alla forza F si indica con l.

Larea della sezione trasversale del provino iniziale vale A0. Tale misura si ritieneinvariata durante la prova.

La prova sperimentale, per la maggior parte dei materiali, presenta coppie F-l cherestano allineate su di una retta; altrettanto si ottiene per le coppie 1-1; un tale legame

prende il nome di Legge di Hooke, da Robert Hooke (1676 Ut tensio, sic vis) e si

scrive come:

=E.

La costante E prende il nome di modulo elastico del materiale ed esprime la misuradella rigidezza. Un materiale si definisce tanto pi rigido quanto pi alto il valore di E.

Il modulo elastico ha le dimensioni di una tensione, essendo un numero puro.


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Materiale Modulo Elastico E

( o modulo di

Young 1773-

1829) (N/mm2)

Massa volumica

(N/m3)

Coefficiente

di efficienza

sulla

rigidezza E/

Acciaio 200000 -210000 79000 2.53

Alluminio 69000-73000 27000 2.59

Calcestruzzo 30000-40000 23000 1.52

Legno lamellare

// fibre

11.000 6000 2.2

Fibra di carbonio 220000-800000 15600 14-51

Vetro 70000 25000 2.8

Nella figura sottostante si mostra il provino, con la lunghezza iniziale della base di misura

pari a l0, la lunghezza corrispondente alla forza F pari a l e lallungamento corrispondente

alla forza F pari a l; quindi il diagramma qualitativo del diagramma sperimentale F verso

l, e il legame costitutivo calcolato =E.

Nella figura seguente viene mostrato il legame costitutivo qualitativo per un acciaio fino a

rottura. Si evidenzia il primo tratto elastico lineare, cio un tratto lineare in cui se si scarica il

provino il percorso dello scarico coincide con il percorso del carico. Un secondo tratto detto

perfettamente plastico in cui la forza rimane costante a deformazioni crescenti e tale per cui lo

scarico avviene secondo una retta parallela a quella del tratto elastico lineare iniziale. Il tratto

successivo finale viene detto plastico con incrudimento, in quanto la forza riprende a crescere


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per deformazioni crescenti (incrudimento) e lo scarico avviene come nel tratto precedente. Il

culmine di tale tratto contraddistingue la tensione massima o ultima o di rottura e la

deformazione corrispondente.

La figura seguente mette in mostra una caratteristica del comportamento meccanico non ancora

menzionatp. Si tratta del fenomeno cosiddetto della contrazione trasversale. Quando il

provino sottoposto, ad esempio, ad uno sforzo di trazione in direzione x1 il provino si allunga,

secondo quanto descritto in precedenza, in direzione x1 ma nelle due direzioni ortogonali, cio

nella direzione x2 e x3, si accorcia. Ad esempio, se si considera la direzione x3, si pu

immaginare che la deformazione sia proporzionale alla tensione nella direzione x1, ovviamente

di segno negativo perch di contrazione; inoltre si ha evidenza sperimentale che la rigidezza indirezione normale a quella del carico sia m (3-5) volte pi grande della rigidezza nella direzione

del carico.

Tale comportamento prelude ad una formalizzazione matematica del comportamento elastico-

lineare nel caso di stato di sforzo e deformazione generale pluriassiale.


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1.4.2 Il modello di legame costitutivo generale per un solido elastico-lineare-isotropo

Il tensore (o matrice) Dijhk costituito di 81 costanti che mettono in relazione la generica

componente h,k del tensore di deformazione con la generica componente i,j del tensore di

sforzo. Nella figura seguente si fornisce una rappresentazione grafica di tale matrice.

In notazione matriciale si potrebbe scrivere:

=

=

=

32323211

11321111

32

23

31

13

21

12

33

22

11

32

23

31

13

21

12

33

22

11

.......

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.......

.;;

DD

DD

D


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Ovvero il legame costitutivo, diretto e inverso, si pu esprimere come segue:

== 1; DD

Nella figura sopra, si ricorda che i tensori di sforzo e di deformazione sono simmetrici per cui la

matrice delle costanti elastiche non si compone di 81 (9x9) valori indipendenti, ma bens solo di

36 (6x6). La matrice Dijhkrisulta simmetrica solo se Dijhk=Dhkij. Per dimostrare la simmetria del

tensore degli sforzi si deve utilizzare il concetto di elasticit lineare che viene qui di seguito

trattato.

Il Potenziale elasticoSi consideri il lavoro che il tensore degli sforzi compie, su tutto il volume, per unavariazione infinitesima di quello di deformazione:

Si passa al caso monoassiale per integrare il lavoro specifico di deformazione e darne una

interpretazione geometrica.

Si osserva che lenergia di deformazione specifica pu essere utilizzata come funzione

potenziale dello sforzo o della deformazione. Infatti:

se si scrive 2'

2

1EL = allora si ricava che =

'L

; viceversa se si scriveE

L2

'

2

1 = allora

risulta che =

'L.


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Lenergia di deformazione specifica (per unit di volume) rappresenta larea del triangolo che

ha come lati lo sforzo e la deformazione finali ed ipotenusa il segmento che congiunge lorigine

con il punto rappresentativo della tensione e deformazione finali.

Si generalizza ora al caso pluriassiale.

Il processo di carico si immagina controllato da un fattore che vale zero allinizio del processo

di carico e vale 1 alla fine di tale processo e che amplifica omoteticamente tutte le componenti

del tensore di deformazione. Si calcola quindi la variazione infinitesima di tale tensore nel

processo di carico ipotizzato.

Si integra il lavoro infinitesimo durante il processo di carico per trovare il lavoro compiuto al

termine del processo di carico.

Lenergia di deformazione specifica viene quindi rappresentata da del prodotto scalare (forma

bilineare) del tensore degli sforzi per il tensore delle deformazioni. Sostituendo il legame

costitutivo, lenergia specifica di deformazione si pu esprimere come forma quadratica del

tensore delle deformazioni, oppure come forma quadratica del tensore degli sforzi:

hkijijhkhkijijhkijij CDL 2

1

2

1

2

1' === .

Se ora si assume, come espressione dellenergia di deformazione specifica, la funzione

quadratica delle deformazioni, si pu scrivere:


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Si conclude che, nellipotesi che la matrice delle costanti elastiche sia una matrice simmetrica,

allora lenergia di deformazione specifica risulta anche funzione potenziale degli sforzi. In

verit, largomentazione ci serve in senso inverso e cio: lenergia di deformazione uno

scalare che non dipende dalla strada che si percorsa, cio dal processo di carico. Dipende solo

dai valori finali degli sforzi o delle deformazioni. Ne consegue che lenergia di deformazione

deve essere una funzione potenziale, e per quanto si appena dimostrato, il tensore delle

costanti elastiche deve essere simmetrico.

Qui di seguito viene mostrato uno schema sintetico di come, dalle iniziali 36 costanti elastiche

necessarie per definire il pi generale legame costitutivo lineare si passati a 21 ricordando la

definizione di materiale elastico. Se ora si adotta lipotesi di materiale isotropo, si dimostra che

le costanti elastiche sono solamente pi due.


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Solido isotropo significa che le sue propriet non dipendono dalla direzione, quindi ndipendenti

dal sistema di riferimento assunto.

Il legame deformazioni - sforzi

Si pu dunque pensare di ricavare le deformazioni dallenergia di deformazione specifica scritta

come funzione quadratica degli sforzi. Tale funzione, per essere indipendente dal sistema di

riferimento, pu essere scritta combinando linearmente il primo invariante degli sforzi al

quadrato e il secondo invariante del tensore degli sforzi. Le costanti della combinazione lineare

non possono essere di pi n essere meno di due.

Si pu dunque scrivere dunque:

Il tensore delle deformazioni pu essere derivato da quello degli sforzi, con particolare

riferimento alla componente con indici uguali 11 e alla componente con indici dispari 12,

come segue:


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La seguente espressione viene anche riferita come legame tra E, e G.

Infine le sei equazioni che forniscono le deformazioni noti gli sforzi risultano:


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1.5 Il Bilancio del Problema Elastico

Il bilancio del problema elastico conta il numero di funzioni incognite ed il numero di equazioni

come segue:

Equazioni di equilibrio: 6 funzioni incognite e 3 equazioni differenziali lineari:

.

Equazioni di legame spostamenti-deformazioni: 9 funzioni incognite e 6 equazioni differenziali

linea

Dispense di Scienza delle Costruzioni 9 giugno 2010

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