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Dispense del Corso di Tecnica delle Costruzioni

Renato Giannini

Settembre 2007

Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

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Indice

Prefazione xv

1 Analisi della tensione 11.1 Forze interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Equazione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Equilibrio alla rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Cambiamento di riferimento* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Tensioni piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Il cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Tensioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3 Tensioni principali in 3D* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1 Equazioni sul contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Analisi della deformazione 252.1 Moto rigido e deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Analisi delle piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2 Scorrimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Matrice delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria* . . . . . . . . . . . 282.2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali* . . . . . . . . . . . . 302.2.6 Cambiamento di riferimento* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.7 Variazione di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni . . . . . . . 32

3 Leggi costitutive 353.1 Prova di trazione di una barra di acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Legame elastico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Stati di tensione pluriassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Modulo di deformabilita volumetrica . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Legge di Hooke generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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iv INDICE

3.2.4 Tensioni e deformazioni piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 La trave 49

4.1 Le equazioni dei solidi elastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Il solido di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Formulazione del problema di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Forza normale e flessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.1 Determinazione del campo degli spostamenti* . . . . . . . . . 60

4.4.2 Sforzo normale centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.3 Flessione semplice retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.4 Lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.5 Asse neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.6 Nocciolo di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5.2 Sezione circolare cava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.3 Sezione rettangolare sottile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.4 Profili aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.5 Sezioni tubolari di spessore sottile . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6 Sollecitazione di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.6.1 Sezioni rettangolari sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.6.2 Sezioni simmetriche di forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . 92

4.6.3 Sezioni a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6.4 Sezioni asimmetriche, centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6.5 Deformazione dovuta al taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 Teoria tecnica della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Strutture in acciaio 109

5.1 Tensione ideale (von Mieses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Analisi limite delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3 Comportamento delle sezioni in acciaio oltre la soglia elastica . . . . . 113

5.3.1 Materiale elastoplastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.2 Stato limite ultimo delle sezioni inflesse . . . . . . . . . . . . . 114

5.4 Progetto e verifica delle sezioni inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.5 Elementi snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.1 Non linearita geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.2 Stabilita dellequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.5.3 Stabilita dellequilibrio delle aste compresse: lasta di Eulero . 133

5.5.4 Pressione eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.5.5 Verifica delle aste snelle: il metodo . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.6 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.5.7 Aste presso-inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


INDICE v

6 Il cemento armato 1496.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2 Il calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2.1 Il cemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2.2 Gli aggregati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.3 Lacqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2.4 Composizione del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2.5 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo . . . . . . . . . . . 155

6.3 Lacciaio per il cemento armato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.3.1 Aderenza tra acciaio e calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . 161

7 La trave in cemento armato 1657.1 Comportamento in fase I. Omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . 167

7.1.1 Sezione pressoinflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.1.2 Il coefficiente di omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2 Analisi della sezione fessurata (fase II) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2.1 Comportamento della trave fessurata . . . . . . . . . . . . . . 1727.2.2 Analisi della sezione inflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.2.3 Flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.2.4 Flessione retta della sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . 1787.2.5 Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.3 Calcolo a rottura (fase III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3.1 Momento ultimo di una sezione rettangolare in c.a. soggetta

a flessione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.4 Elementi sollecitati a sforzo normale e flessione . . . . . . . . . . . . . 193

7.4.1 Comportamento in fase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.4.2 Comportamento in fase II (sezione fessurata) . . . . . . . . . . 1957.4.3 Calcolo a rottura della sezione pressoinflessa . . . . . . . . . . 1997.4.4 Costruzione del dominio di sicurezza . . . . . . . . . . . . . . 201

7.5 Sollecitazione di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.5.1 Taglio nella trave fessurata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.6 Diagramma dei momenti resistenti. Interazione tra taglio e flessione . 218

8 La sicurezza delle strutture e i codici normativi 2238.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.1.1 Le azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.1.2 Incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.2 Sicurezza strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.3 Valori nominali e caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.4 Coefficienti di sicurezza, valori di progetto . . . . . . . . . . . . . . . 2318.5 Le Norme Tecniche per le Costruzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

A Geometria delle aree 235A.1 Momenti statici e baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

A.1.1 Trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236


vi INDICE

A.1.2 Rotazione degli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236A.1.3 Proprieta additiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.1.4 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238A.1.5 Significato fisico del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

A.2 Momento dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.2.1 Cambiamento di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.2.2 Figure composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.2.3 Giratori dinerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.2.4 Momento polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248


Elenco delle figure

1.1 Linterruzione della continuita porta alla perdita della trasmissionedelle forze interne (forze superficiali). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza dicontinuita (forze di volume). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forzedi superficie (b): i punti interagiscono solo con quelli piu prossimi. . . 3

1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forza

di rottura e proporzionale allarea del provino. . . . . . . . . . . . . . 31.6 Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversa

sezione e per due diversi tipi di materiali. . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Forze esterne ed interne in una barra cilindrica. . . . . . . . . . . . . 51.8 Risultante dF (P,n) delle forze interne scambiate attraverso la super-

ficie infinitesima dS di normale n contenente il punto P . . . . . . . . 61.9 Tetraedro di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.10 Rapporto tra larea dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni

dAx, dAy e dAz sui piani coordinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.11 Componenti speciali della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Nuova terna di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.13 Componenti speciali della tensione e tetraedro di Cauchy nello

spazio a due dimensioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.14 Costruzione del cerchio di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.15 Determinazione del polo K del cerchio di Mohr. . . . . . . . . . . . . 141.16 Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitraria

mediante il cerchio di Mohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.17 Tensioni principali per uno stato di tensione piano. . . . . . . . . . . 161.18 Cerchio di Mohr e tensioni principali per lesempio 1.1. . . . . . . . . 171.19 Tre cerchi di Mohr per stati di tensione in 3D. . . . . . . . . . . . . . 201.20 Tensioni agenti sulle facce di un parallelepipedo con spigoli paralleli

agli assi del riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Misura dellallungamento di una barra sottoposta a trazione. . . . . . 252.2 Definizione di dilatazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Spostamento regolare di tre punti che individuano due assi ortogonali. 272.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . 29

vii


viii ELENCO DELLE FIGURE

2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Cerchio di Mohr relativo ad una deformazione piana. . . . . . . . . . 33

3.1 Grafico forza-allungamento (tensione-deformazione) di una barra diacciaio dolce sottoposta a trazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Macchina universale per prove sui materiali . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Grafici tensione-deformazione relativi a diversi materiali metallici. . . 37

3.4 Misura della dilatazione assiale e della contrazione trasversale in unaprova di trazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Per effetto dellapplicazione di una forza di trazione una barra siallunga nella direzione della forza e si contrae nelle direzioni trasversali 39

3.6 Cerchio di Mohr relativo ad uno stato di tensione di solo taglio edirezioni principali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Deformazione di un elementino di forma quadrata con diagonali pa-rallele agli assi in presenza di uno stato di tensione di puro taglio. . . 41

3.8 Deformazioni principali in presenza di puro scorrimento. . . . . . . . 42

3.9 Lavoro di deformazione: lavoro di dilatazione (a) e di scorrimento (b). 47

4.1 Superficie di un solido soggetta parzialmente a condizioni di vincoloe parzialmente allazione di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Cambiamento della configurazione geometrica prodotto dai carichi. . 51

4.3 Il solido di Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Distribuzione delle tensioni in un prisma diversamente sollecitato sullebasi: (a) forza normale, (b) forza di taglio. Dei tre casi, il primo esoggetto ad una distribuzione uniforme della forza, il secondo ad unaforza concentrata nel baricentro, il terzo a due forze applicate ai bordi. 54

4.5 Sistema di riferimento usato per il solido di de Saint Venant . . . . . 54

4.6 Componenti della tensione e sistema di forze risultante agenti sullebasi del solido di de Daint Venant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7 Equilibrio di un cilindro sollecitato sulle basi con forze di taglio emomenti flettenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.8 Rotazione di una sezione prodotta dalla inflessione della linea dasse. 58

4.9 Distribuzione delle tensioni prodotta dalla forza normale e dalla fles-sione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.10 La sezione dellesempio 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.11 Sezione dellesempio 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.12 Estensione del campo delle tensioni normali in una sezione allinteropiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.13 Eccentricita e centro di pressione relativi ad una sezione sollecitata aforza normale e flessione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.14 Relazione tra centro di pressione ed asse neutro. . . . . . . . . . . . . 68

4.15 Noccioli dinerzia per una sezione convessa ed una non convessa. . . . 70

4.16 Nocciolo dinerzia per una sezione rettangolare. . . . . . . . . . . . . 71

4.17 Nocciolo dinerzia per una sezione a T. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


ELENCO DELLE FIGURE ix

4.18 Anilisi agli elementi finiti di un cilindro con base circolare sollecitatoa torsione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.19 Analisi agli elementi finiti di un prisma a base quadrata. Modellodella struttura (a) e deformazione di un tronco privato di una dellebasi (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.20 Analisi agli elementi finiti di un prisma con base quadrata. Campodegli spostamenti dei punti delle sezioni (a) e mappa degli spostamentiin direzione x (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.21 Campo degli spostamenti di una sezione di un cilindro soggetto atorsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.22 Distribuzione delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezionecircolare piena ed in una cava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.23 Sezione rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.24 Flusso e risultanti delle tensioni prodotte dalla torsione in una sezione

rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.25 Sezioni composte con elementi rettangolari sottili. . . . . . . . . . . . 834.26 Flusso delle tensioni tangenziali prodotte dalla torsione in una sezione

tubolare di piccolo spessore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.27 Equilibrio di una parte delle parate di un tubo sollecitato a torsione. . 844.28 Momento risultante delle tensioni tangenziali in una sezione tubolare

sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.29 Sezione dellesempio 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.30 Sezione dellesempio 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.31 Equilibrio di un concio di trave sollecitata a flessione e taglio. . . . . 894.32 Equilibrio di una parte di un concio di trave. . . . . . . . . . . . . . . 904.33 Distribuzione delle tensioni tangenziali prodotte dal taglio in una

sezione rettangolare sottile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.34 Influenza della variazione dello spessore della sezione sullo stato ten-

sionale prodotto dal taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.35 Sezioni ad I sollecitate a taglio: tensioni nellanima e nelle ali. . . . . 934.36 Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione dellesempio 4.8. 944.37 Effetti del taglio su di una sezione asimmetrica e centro di taglio della

sezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.38 Deformazione prodotta dal taglio in una sezione rettangolare sottile

che mostra lingobbamento della sezione (a) e scorrimento medio dellalinea dasse (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.39 Mesh agli elementi finiti della trave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.40 Curve di livello delle tensioni normali x. . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.41 Curve di livello delle tensioni z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.42 Confronto tra le tensioni normali calcolate con la teoria di de Saint

Venant e quelle ottenute con lanalisi agli elementi finiti. . . . . . . . 1044.43 Curve di livello delle tensioni tangenziali xz. . . . . . . . . . . . . . . 1044.44 Confronto tra la distribuzione delle tenzioni tangenziali xz ad x = l/4

calcolata con la teoria di Jourawsky e quella ottenuta dal modello adelementi finiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


x ELENCO DELLE FIGURE

4.45 Diagramma dei momenti di una trave appoggiata con sbalzo soggettaa carico uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.46 Curve di livello della tensione normale x nella zona circostante ilsecondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.47 Confronto tra le distribuzioni delle tensioni calcolate con la teoria dide Saint Venant e con il metodo degli elementi finiti, in differentisezioni prossime al secondo appoggio della trave di Fig. 4.45. . . . . . 107

5.1 Legge costitutiva di un acciaio dolce. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Dominio di resistenza di una struttura e punti rappresentativi della

domanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Legge costitutiva monoassiale di un materiale elasto-plastico. Legame

monotono e ciclico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Sequenza delle distribuzioni delle deformazioni e delle tensioni al

crescere della curvatura, in una sezione rettangolare con materialeelasto-platico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Posizione dellasse neutro nelle sezioni inflesse interamente plasticiz-zate; sezioni simmetriche (a) e non simmetriche (b). . . . . . . . . . . 116

5.6 Dominio di prima plasticizzazione (linea tratteggiata) e dominio dicollasso (linea continua) della sezione HE200B. . . . . . . . . . . . . . 117

5.7 Tabella per profilati IPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.8 Tabella per profilati HEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.9 Tabella per profilati HEB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.10 Tabella per profilati HEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.11 Tensioni normali e tangenziali in una sezione ad I sollecitata a flessione

e taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.12 Schema e diagrammi delle sollecitazioni della trave dellesempio 5.1. . 1255.13 Deformazione di una trave inflessa soggetta ad un carico trasversale

distribuito ed a uno forza normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.14 Situazione di equilibrio stabile (A) ed instabile (B) di una massa

puntiforme nel campo del peso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.15 Analisi della stabilita dellequilibrio di unasta composta da due corpi

rigidi connessi con una molla rotazionale. . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.16 Soluzione grafica dellequazione (5.36). . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.17 Energia potenziale del sistema in Fig. 5.15 per due valori del rapporto

N/4k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.18 Asta soggetta ad una forza normale nella configurazione perturbata. . 1345.19 Rapporto tra la tensione critica e la resistenza del materiale in fun-

zione della rigidezza ridotta /c dellasta. . . . . . . . . . . . . . . . 1375.20 Asta soggetta ad una compressione eccentrica. . . . . . . . . . . . . . 1375.21 Curve = m/fd relative a quattro differenti tipologie di sezione

(UNI-CNR 10011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.22 Corrispondenza tra le tipologie delle sezioni e le cirve . . . . . . . . . 1405.23 Valori di in funzione della snellezza per lacciaio Fe360 (curva c). 1425.24 Valori di in funzione della snellezza per lacciaio Fe430 (curva c). 143


ELENCO DELLE FIGURE xi

5.25 Valori di in funzione della snellezza per lacciaio Fe510 (curva c). 1445.26 Coefficiente in funzione delle rigidezze rotazionali relative dei

vincoli di estremita di una trave, nei casi a nodi fissi e mobili. . . . . 1455.27 Telaio dellesempio 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.28 Sezione del pilastro dellesempio 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.1 Foto a sinistra (a): il Partenone; e evidente la piccola distanza tra lecolonne permessa dalla resistenza a trazione delle trabeazioni. Foto adestra (b): il grande spazio coperto dalla cupola del Panteon, a Roma.150

6.2 Rappresentazione schematica del processo di idratazione (da AIMAT). 1526.3 Rappresentazione schematica delladdensamento degli aggregati. . . . 1536.4 Miscela degli inerti di un calcestruzzo e confronto con la curva di Fuller1546.5 Slump test con il cono di Abrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.6 Curve tensionedeformazione di calcestruzzi di differenti classi di re-

sistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.7 Schema delle prove per la misura della resistenza a trazione del cal-

cestruzzo: flessione (a) e taglio (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.8 Variazione nel tempo della resistenza del calcestruzzo (riferita a quella

a 28gg), per diversi tipi di cemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.9 Svilluppo del ritiro nel tempo per un calcestruzzo normale (NSC) ed

uno ad alta resistenza (NSC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.10 Sviluppo nel tempo delle deformazioni di un elemento di calcestruzzo

compresso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.11 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ordinario da c.a. . . . 1616.12 Esempio di barre nervate (aderenza migliorata) per larmatura delle

strutture in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.13 Diagramma tensioni-deformazioni di un acciaio ad alta resistenza . . 1626.14 Sezione di un elemento in calcestruzzo con annegata una barra in

acciaio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.15 Diagrammi forza-scorrimento di barre annegate nel calcestruzzo, lisce

e sagomate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.16 Fessurazione del calcestruzzo circostante una barra sagomata: (a) per

rottura per taglio, (b) rottura dei denti di calcestruzzo. . . . . . . . . 164

7.1 Schema di carico di una trave in c.a. semplicemente appoggiata edigramma carico-abbassamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.2 Sezione di una trave in cemento armato come sovrapposizione dellasezione di calcestruzzo (forata) e quella delle barre. . . . . . . . . . . 168

7.3 Apertura di una fessura in una trave in cemento armato. . . . . . . . 1727.4 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a sola flessione. . . . . . . 1737.5 Conservazione delle sezioni piane in una trave in c.a. . . . . . . . . . 1747.6 Sezione in c.a. sollecitata a flessione in fase II. Campo delle tensioni. . 1757.7 Flessione di una sezione asimmetrica (a) ed una simmetrica (b) per

un momento agente secondo uno degli assi principali dinerzia dellasezione di calcestruzzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177


xii ELENCO DELLE FIGURE

7.8 Sezione rettangolare soggetta a flessione retta. . . . . . . . . . . . . . 178

7.9 Sezione dellesempio 7.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.10 Risultanti delle tensioni in una sezione inflessa in c.a. con un sololivello di armatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.11 Azione di confinamento esercitata dalle staffe. . . . . . . . . . . . . . 184

7.12 Leggi tensionedeformazione per lacciaio (a) e per il calcestruzzo (b)adottate per il calcolo a rottura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7.13 Meccanismo di collasso di una sezione rettangolare inflessa . . . . . . 186

7.14 Diagramma rettangolare equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.15 Sezione sollecitata a pressoflessione retta di grande eccentricita. . . . 195

7.16 Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta di grande eccen-tricita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.17 Grafico della funzione (zn) e delle approssimazioni lineari successive. 199

7.18 Dominio di collasso di una sezione rettangolare in c.a. armata sim-metricamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

7.19 Situazioni di collasso di una sezione in cemento armato . . . . . . . . 201

7.20 Famiglia di domini di resistenza normalizzati per sezioni rettangolari.(A0s/As = 1, y = 2 103, d0/d = 0.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.21 Progetto di una sezione pressoinflessa usando i domini di resistenzaadimensionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.22 Verifica della sezione dellesempio 7.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.23 Quadro fessurativo di una trave soggetta a flessione e taglio. . . . . . 207

7.24 Cerchi di Mohr per le tensioni in diversi livelli di una sezione rettan-golare soggetta a flessione e taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.25 Linee isostatiche in una trave sollecitata a flessione e taglio. . . . . . . 209

7.26 Fessurazione di una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio. . . . . 210

7.27 Tipi di staffe nelle sezioni in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.28 Rappresentazione schematica di staffe e delle barre piegate allinternodi un concio di trave in c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.29 Deduzione del traliccio di Morsh dallandamento delle isostatiche dicompressione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.30 Equilibrio di una biella di calcestruzzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.31 Calcolo della tensione media di compressione in una bilella di calce-struzzo di una trave sollecitata a taglio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.32 Armatura di una trave appoggiata con sbalzo e soggetta ad un caricounivorme. Verifica con il diagramma dei momenti resistenti. . . . . . 219

7.33 Equilibrio delle risultanti di sollecitazione per un concio di travesezionato ortogonalmente allasse e quando la sezione e inclinata. . . . 220

8.1 Analisi agli stati limite di due strutture composte con tre aste. . . . . 226

8.2 Analisi della deformazione delle tre aste collegate alle estremita. . . . 227

8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

A.1 Assi di riferimento e area A del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236


ELENCO DELLE FIGURE xiii

A.2 Figure geometriche semplici [rettangolo (a), triangolo rettangolo (b)]e relativi assi di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

A.3 Figura piana riferita a due sistemi di assi rotati. . . . . . . . . . . . . 238A.4 Sezione ad L composta da due sezioni rettangolari. . . . . . . . . . . 240A.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.6 Determinazione del momento dinerzia di un cerchio. . . . . . . . . . 244A.7 Assi principali e giratori dinerzia di una figura ad L. . . . . . . . . . 247A.8 Figura simmetrica rispetto allasse x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248


xiv ELENCO DELLE FIGURE


Prefazione

Queste dispense raccolgono, in forma piuttosto sintetica, gli argomenti del corso diTecnica delle Costruzioni che svolgo al terzo anno del Corso di Laurea in Scienze del-lArchitettura dellUniversita degli Studi di Roma Tre. La selezione degli argomentitrattati ovviamente rispecchia le particolarita del percorso didattico degli studentiin questa Facolta.

Nella prima parte vengono introdotti i concetti di tensione e deformazione neimezzi continui, le equazioni di equilibrio e le condizioni di compatibilita; succes-sivamente si discutono gli aspetti piu semplici dei legami costitutivi dei materialistrutturali, particolarmente dellacciaio, schematizzati poi nella legge di Hooke ge-neralizzata ai materiali isotropi. Si passa quindi allo studio del solido di de SaintVenant, i cui risultati sono la base per lo sviluppo della teoria tecnica della traveelastica.

Nel capitolo un po impropriamente intitolato Strutture in acciaio, i risultatiprecedenti sono utilizzati per introdurre al dimensionamento delle sezioni in acciaio;viene quindi trattato il caso dellasta snella soggetta a compressione e si giustificail metodo . I problemi connessi ai collegamenti (saldature, bullonature, ecc.) nonsono invece neanche sfiorati.

Il capitolo sul Cemento armato descrive sommariamente la tecnologia di questomateriale, le caratteristiche specifiche, le proprieta meccaniche del calcestruzzo elinterazione di questo con lacciaio delle armature. Infine nel capitolo successivo eaffrontato il calcolo delle travi in cemento armato nelle tre fasi che ne caratterizza-no il comportamento (stato del calcestruzzo integro, fessurato ed a rottura) per lesollecitazioni di pressoflessione e taglio.

Nella trattazione degli argomenti descritti non si fa riferimento a specifiche pre-scrizioni normative, che pure sono molto importanti nella pratica progettuale. Que-sta scelta e stata suggerita da molti fattori: lopportunita di snellire un testo giacarico di molti argomenti, il desiderio di prestare maggiore attenzione agli aspettifisici dei fenomeni e, non ultimo, la difficolta che, in Italia, si e verificata in questiultimi anni intorno allemanazione di un testo normativo condiviso. Lultimo ca-pitolo e quindi dedicato ad una qualitativa esposizione dei concetti della sicurezzadelle strutture, ai format dei codici semiprobabilistici e alla definizione di alcunegrandezze essenziali, quali i valori caratteristici e di progetto delle resistenze deimateriali e delle intensita delle azioni.

Poiche la geometria delle aree e uno strumento essenziale per lanalisi delle sezionidelle travi, ma la sua trattazione e sostanzialmente estranea al filo logico seguito per

xv


xvi Capitolo 0 Prefazione

lo sviluppo degli altri argomenti del corso, una sintetica esposizione dei suoi aspettiessenziali e posta in appendice.In qualche, raro, caso, il contenuto di queste dispense ha debordato oltre quello

che e normalmente svolto durante le lezioni del corso. Questi argomenti sono con-trassegnati con un asterisco* e per essi e usato un carattere piu piccolo. Il loro studiopuo essere omesso senza compromettere la comprensione del resto.


Capitolo 1

Analisi della tensione

1.1 Forze interne

Immaginiamo di compiere il semplice esperimento illustrato in Fig. 1.1. Una fune etesa mediante lapplicazione di due forze uguali ed opposte. In questa situazione ilsistema (la fune ed i due pesi) resta in equilibrio. Se ora tagliamo la fune, il sistemanon rimane in equilibrio ed i due pesi cadono verso terra, trascinando con loro i duemonconi della fune.Per quanto questo esperimento possa apparire banale e scontato, esso ci indica

alcune cose importanti:

1. Le due parti di fune, prima del taglio, si scambiavano una forza pari a quellaapplicata alle estremita.

2. Questa forza agiva esclusivamente sui punti della superficie tagliata; infattise avesse agito anche su punti piu lontani, lequilibrio sarebbe stato possibileanche dopo il taglio, come avviene ad esempio quando le due parti sono tenuteinsieme da un magnete. (Fig. 1.2).

Possiamo classificare le forze in forze di volume e forze di superficie. Le primevengono scambiate anche a grande distanza ed agiscono su tutti i punti di un corpo:ne sono esempi la forza peso e la forza che un magnete esercita sui corpi ferrosi. Leseconde sono scambiate solo a breve distanza, tra i punti prossimi ad una superficie:le forze di contatto e le forze interne sono esempi di azioni di questo tipo.

1.2 Resistenza

Lo scopo dellingegneria delle strutture e ideare degli organismi strutturali che sianocapaci, per un tempo sufficientemente lungo, di sostenere i carichi e le altre azioni chesi produrranno in futuro e quindi verificare, su idonei modelli analitici e numerici,che le strutture progettate abbiano effettivamente queste caratteristiche. Questeverifiche si eseguono confrontando gli effetti delle azioni previste, che chiameremosollecitazioni, con le resistenze della struttura e degli elementi che la compongono.

1


2 Capitolo 1 Analisi della tensione

Figura 1.1: Linterruzione della continuita porta alla perdita della trasmissione delleforze interne (forze superficiali).

Figura 1.2: Due magneti consentono di trasmettere la forza anche in assenza dicontinuita (forze di volume).

Supponiamo di prendere una barra, per esempio di acciaio, e di sottoporla aduna prova di trazione. La prova consiste nellapplicare alle estremita della barra unaforza F crescente fino a produrne la rottura (Fig. 1.4). Il valore FR della forza cheproduce la rottura della barra e detta forza di rottura o resistenza della barra.

Supponiamo ora di ripetere lesperimento su altre barre, di diverso diametroma realizzate con lo stesso materiale; troveremo valori diversi della resistenza che,come e ovvio, crescera con il diametro della barra. Se si rappresentano questirisultati in un grafico, riportando sulle ascisse le aree delle sezioni e sulle ordinate leresistenze delle barre, otterremmo un risultato simile a quello illustrato nella Fig. 1.5;i punti rappresentativi delle coppie arearesistenza si disporrebbero attorno ad unaretta con inclinazione positiva che, almeno approssimativamente, passa per lorigine.Indicando con FR la resistenza della barra e con A la sua area, lequazione di unaretta di questo tipo e

FR = cA (1.1)

dove c indica una costante.


1.2 Resistenza 3

(a)

(b)

Figura 1.3: Forze di volume (a): ogni punto interagisce con tutti gli altri. Forze disuperficie (b): i punti interagiscono solo con quelli piu prossimi.

F F

Figura 1.4:

Area della sezione della barra

Res

iste

nza

della

bar

ra

Figura 1.5: Risultati di un ipotetico esperimento di resistenza a trazione. La forzadi rottura e proporzionale allarea del provino.



Area della sezione della barra

Res

iste

nza

della

bar

ra

Figura 1.6: Risultati di diverse prove di resistenza a trazione su barre di diversasezione e per due diversi tipi di materiali.

Supponiamo di ripetere ora lesperimento con unaltra serie di barrette, fattepero con un materiale diverso. Riportando i risultati sullo stesso grafico otterremmoquanto rappresentato in Fig. 1.6. La relazione tra resistenza ed area e ancora del tipo(1.1) ma con un valore diverso della costante c. Generalizzando questi risultati,potremo allora concludere che, per ogni materiale, il rapporto

FRA

tra la resistenza di una barra sottoposta a trazione e larea della stessa e (approssi-mativamente) costante ed e una grandezza che dipende dalla natura del materialee non dalle dimensioni della barra: chiameremo questa grandezza la resistenza atrazione del materiale.

1.3 Tensione

Il rapporto tra la forza F applicata alle estremita della barra e larea A di unasezione normale della stessa barra (Fig. 1.7) e detta tensione normale media e saraindicata con il simbolo m:

m =F

A(1.2)

Nel caso della barra tesa, che abbiamo esaminato, le forze interne sono paralleleallasse della barra e quindi normali alle sezioni; inoltre le dimensioni delle sezionisono piccole rispetto alla dimensione longitudinale e dunque il concetto di tensionemedia ha un significato intuitivo chiaro. In un caso piu complesso, come quellomostrato in Fig. 1.8, le cose non sono cos semplici; le dimensioni della sezione S sonoconfrontabili con quelle delloggetto, di conseguenza linformazione fornita da una


1.3 Tensione 5

FA

FA

Figura 1.7: Forze esterne ed interne in una barra cilindrica.

grandezza media diviene meno utile: appare quindi opportuno definire una tensionepuntuale. Poiche in generale questa tensione non sara normale alla superficie, la sidovra definire come un vettore.Data una superficie S che seziona un corpo ed un punto P su essa, sia dA

unareola contenuta in S e che contiene P (Fig. 1.8). Abbiamo gia detto che le forzeinterne sono forze superficiali e che pertanto ogni punto sulla superficie S scambiaforze soltanto con quello omologo sullaltra faccia di S. Sia dF la risultante delleforze che passano per dA; indicando con n la normale ad S in P , faremo la seguenteipotesi (Cauchy):

Al tendere a zero delle dimensioni di dA in modo che contenga sempreP , il rapporto dF

dAtende ad un vettore di misura finita, detto la tensione

nel punto P relativa alla giacitura di normale n. In formule:

p (P,n) = limdAP

dF

dA(1.3)

1.3.1 Equazione di Cauchy

La definizione della tensione riportata sopra, mette in evidenza che questa grandezzadipende non soltanto dal punto P , ma anche dalla giacitura (definita mediante ilvettore normale) del piano tangente alla superficie S nel punto P .Ora mostreremo che questa dipendenza si puo esprimere mediante una semplice

legge lineare in funzione delle tensioni agenti su tre giaciture ortogonali. A questoscopo consideriamo un tetraedro infinitesimo con il vertice nel punto P e gli spigoliparalleli agli assi x, y, z di un riferimento ortogonale. Sia p (n) la tensione sulla



Figura 1.8: Risultante dF (P,n) delle forze interne scambiate attraverso la superficieinfinitesima dS di normale n contenente il punto P .

faccia inclinata del tetraedro, di area dA e di normale n e siano p (x), p (y),p (z) le tensioni agenti sulle altre facce del solido, aventi vettori normali diretti inverso opposto agli assi del riferimento (Fig. 1.9).Ricordiamo che la prima equazione cardinale della statica afferma che un corpo

e in equilibrio solo se e nulla la risultante delle forze agenti su esso; quindi, ricordanola definizione (1.3) della tensione, la forza agente su una generica faccia di area dAe giacitura di normale n e p (n) dA, e il tetraedro sara in equilibrio se

p (n) dA+ p (x) dAx + p (y) dAy + p (z) dAz + gdV = 0 (1.4)

In questa equazione gdV indica la forza di volume (p.e. il peso) proporzionale alvolume dV dellelemento. Per un tetraedro infinitesimo il volume e infinitesimo diordine superiore rispetto allarea (ossia limdA0

dVdA= 0) e quindi la forza di volume

sara trascurabile rispetto alle altre. Per il principio di azione e reazione, su facceopposte agiscono forze opposte, quindi p (x) = p (x), ecc. Tenendo conto di cio,la (1.4) diviene:

p (n) dA = p (x) dAx + p (y) dAy + p (z) dAz (1.5)

dove dAx, dAy e dAz sono le aree delle facce del tetraedro perpendicolari agli assicoordinati. Daltra parte e facile verificare che (vedi Fig. 1.10)

dAx = nxdA dAy = nydA dAz = nzdA (1.6)

dove nx, ny, nz sono le componenti del vettore unitario n, perpendicolare a dA.Infatti, come e mostrato nella figura, ad esempio nz = 1 cos, dove e langoloformato da n con z. Ma e anche langolo che il piano di normale n forma conquello normale a z, quindi, se h e laltezza della faccia inclinata del tetraedro, h cose la sua proiezione sul piano xy e quindi e laltezza della faccia di normale z. Poichei due triangoli hanno la stessa base, ne segue facilmente che dAz = dA cos = dAnz.


1.3 Tensione 7

x y

z

n

p(n)

p(-x)p(-y)

p(-z)

dAxdAy

dAz

dA

x y

z

n

p(n)

p(-x)p(-y)

p(-z)

dAxdAy

dAz

dA

Figura 1.9: Tetraedro di Cauchy

Analogamente si dimostrano le altre relazioni (1.6). Sostituendo le (1.6) nella (1.5)si ottiene, dopo aver diviso tutti i termini per dA:

p (n) = p (x)nx + p (y)ny + p (z)nz (1.7)

La (1.7) e una relazione molto importante, poiche permette di determinare ilvettore della tensione p relativo ad una generica giacitura di normale n, quandosiano noti i tre vettori

px = p (x) py = p (y) pz = p (z) (1.8)

della tensione su tre giaciture ortogonali. Poiche ogni vettore ha tre componentiscalari, dalla (1.7) segue che lo stato di tensione in un punto e completamente definitodalle 3 3 = 9 componenti dei tre vettori px,py,pz. Queste componenti, dettecomponenti speciali della tensione, sono rappresentate sulle facce del parallelepipedodi Fig. 1.11. Come e consuetudine nella letteratura tecnica, le componenti normalialle facce sono indicate con la lettera , quelle parallele con la lettera . Le novecomponenti si possono raccogliere in una matrice 33, in cui ogni colonna e formatacon le tre componenti di ciascun vettore:

T=

xx yx zxxy yy zyxz yz zz

(1.9)Con questa notazione, lequazione di Cauchy (1.7) si scrive:

pn= Tn (1.10)

o, esplicitamente in forma scalare:

pnx = xxnx + yxny + zxnz (1.11a)

pny = xynx + yyny + zynz (1.11b)

pnz = xznx + yzny + zznz (1.11c)



y

z

n

dAx

dAzx

nz = cos()

dAdAy

y

z

n

dAx

dAzx

nz = cos()

dAdAy

Figura 1.10: Rapporto tra larea dA della faccia inclinata e delle sue proiezioni dAx,dAy e dAz sui piani coordinati.

x

z

ydy

dz

dx

pz

px py

xxxy

xz

zx zy

zz

yxyz

yy

x

z

ydy

dz

dx

pz

px py

x

z

ydy

dz

dx

pz

px py

xxxy

xz

zx zy

zz

yxyz

yy

Figura 1.11: Componenti speciali della tensione


1.4 Cambiamento di riferimento*

9

1.3.2 Equilibrio alla rotazione

Per dimostrare lequazione di Cauchy (1.7) abbiamo fatto uso della prima delle equa-zioni cardinali della statica; ma ogni elemento infinitesimo di un mezzo continuo,per essere in equilibrio, deve soddisfare anche la seconda equazione cardinale, cherichiede sia nullo il momento risultante. Se allora consideriamo lequilibrio alla rota-zione del parallelepipedo infinitesimo di figura 1.11, poiche, per il principio di azionee reazione, su facce opposte agiscono tensioni uguali in modulo e direzione ma diverso opposto, le risultanti delle componenti tangenziali formano delle coppie conbracci uguali alle lunghezze degli spigoli del parallelepipedo, mentre le componentinormali, avendo la stessa retta di azione, hanno momento risultante nullo. Se adesempio imponiamo lequilibrio alla rotazione attorno ad un asse parallelo a z, lesole componenti che danno luogo ad un momento sono le xy e le yx. Le tensioniagenti sulle facce dydz hanno per risultanti le forze xydydz che formano una coppiadi braccio dx; le risultanti delle tensioni yx, agenti sulle facce dxdz valgono yxdxdze formano una coppia di braccio dy. Quindi, poiche le due coppie hanno verso op-posto, come e chiaro dal disegno, la condizione di equilibrio della rotazione attornoa z si scrive:

(xydydz) dx = ( yxdxdz) dy (1.12)

da cui, dividendo ambo i membri per dxdydz ricaviamo

xy = yx (1.13)

Analogamente, imponendo lequilibrio alla rotazione attorno ad x ed y, potremodedurre, con simile procedimento, le restanti condizioni di reciprocita tra le tensionitangenziali

yz = zy zx = xz (1.14)

Le (1.13) e (1.14) stabiliscono che la matrice T e simmetrica e pertanto i terminidistinti che la caratterizzano sono sei (tre componenti di tensione normale e tredi tensione tangenziale ).

1.4 Cambiamento di riferimento*

Abbiamo visto che, in virtu del teorema di Cauchy, lo stato di tensione in un punto e

determinato dalla matrice T, ovvero, in forma scalare, dalle sue sei componenti distinte(xx, yy, zz, xy, yz, zx), dette componenti speciali della tensione; il valore di questecomponenti, che sono le tensioni sulle facce parallele ai piani coordinati, dipende ovviamen-

te dal riferimento; dunque lo stesso stato di tensione puo essere rappresentato da diversi

valori delle componenti speciali, a seconda del sistema di assi utilizzato. Vogliamo ora

mostrare come queste componenti cambiano quando si passa da un sistema di riferimento

ad un altro.

Se n1,n2,n3 sono tre vettori (di modulo unitario) tra loro ortogonali, possiamo basaresu essi una nuova terna di riferimento; vogliamo calcolare i valori delle componenti speciali

della tensione (raccolte nella matrice T) relativamente alle facce di un parallelepipedo i



y

z

x

n3

n1

n2

Figura 1.12: Nuova terna di riferimento

cui spigoli coincidono con gli assi del nuovo riferimento (n1, n2, n3). Applicando la (1.7)e tenendo conto della (1.8) si ottiene, per ciascuna delle direzioni ni (i = 1, 2, 3):

pi = p (ni) = pxnix + pyniy + pzniz (i = 1, 2, 3) (1.15)

in cui nix, niy, n iz sono le componenti sugli assi x, y, z del vettore unitario ni.Le componenti di pi nel nuovo riferimento si determinano proiettandolo sui tre assi

n1,n2,n3. Moltiplicando scalarmente pi per i tre vettori nj (j = 1, 2, 3), poiche questihanno modulo unitario, otterremo tali componenti. I prodotti ntipi forniscono le compo-nenti normali ii, mentre i prodotti n

tjpi (con j 6= i) forniscono le componenti tangenziali

ij :ii = n

tipi ij = n

tjpi (i 6= j) (1.16)

Se con i, j, k indichiamo i vettori unitari paralleli agli assi x, y, z del primo riferimento,potremo porre

px = xxi+ xyj+ xzkpy = yxi+ yyj+ yzkpz = zxi+ zyj+ zzk

(1.17)

da cui segue che

ntipx = nixxx + niyxy + nizxzntipy = nix yx + niyyy + niz yzntipx = nix zx + niy zy + nizzz

(1.18)

in quanto, essendo nix, niy, niz le componenti di ni nel vecchio riferimento, si ha ntii = nix,

ecc.; sostituendo la (1.15) nelle (1.16) troveremo alla fine

ii = ntipi = n

tipxnix + n

tipyniy + n

tipzniz =

(xxnix + xyniy + xzniz)nix + ( yxnix + yyniy + yzniz)niy+

+ ( zxnix + zyniy + zzniz)niz (1.19)


1.5 Tensioni piane 11

Figura 1.13: Componenti speciali della tensione e tetraedro di Cauchy nello spazioa due dimensioni.

ij = ntjpi = n

tjpxnix + n

tjpyniy + n

tjpzniz =

(xxnjx + xynjy + xznjz)nix + ( yxnjx + yynjy + yznjz)niy+

+ ( zxnjx + zynjy + zznjz)niz (1.20a)

A queste espressioni piuttosto lunghe si puo dare una concisa forma matriciale

T0 = NtTN (1.21)

in cui T e la matrice (1.9), T0 e lanaloga matrice costruita con le componenti ii, ijrelative agli assi del nuovo riferimento ed N e la matrice 3 3 formata con le componentidei vettori n1, n2, n3 relative al vecchio riferimento:

N =

n1x n2x n3xn1y n2y n3yn1z n2z n3z

(1.22)1.5 Tensioni piane

Le relazioni precedenti si semplificano notevolmente quando si analizza un problemapiano, nel quale tutte le componenti relative ad un asse (p. es. z) sono nulle e siconsiderano soltanto giaciture parallele a questo asse, la cui normale e contenutanel piano x, y. In questo caso la matrice delle tensioni T diviene 2 2 e contienesolamente 3 elementi distinti: le due componenti delle tensioni normali xx e yy edununica componente della tensione tangenziale xy = yx = (Fig. 1.13 (a)).Se ora consideriamo una generica giacitura e la relativa normale n, questa e

ora individuata dal solo angolo che la giacitura forma con lasse y e la normalecon lasse x. Possiamo inoltre definire un altro vettore t, ortogonale ad n e quindi



tangente alla giacitura, in modo che n, t definiscano un altro riferimento ortogonale.Nel piano le componenti dei vettori n e t dipendono solo dallangolo e sono:nx = cos, ny = sin e tx = sin, ty = cos.Per lequilibrio dellelemento triangolare di Fig. 1.13, in direzione di n, otteniamo

ndx

sin= ydx sin+ xydx cos+ xdx cot cos+ yxdx cot sin(1.23a)

ntdx

sin= ydx cos xydx sin xdx cot sin+ yxdx cot cos(1.23b)

dove, per brevita, abbiamo indicato con x e y (in luogo di xx e yy) le componentinormali della tensione e si e tenuto conto che dy = dx cot. Semplificando, risulta

n = x cos2 + y sin

2 + 2xy sin cos (1.24a)

nt = (y x) sin cos+ xycos2 sin2

(1.24b)

Allo stesso risultato si giunge applicando lequazione (1.21) ricavata nel paragrafo

precedente. La matrice N e ora 2 2 e si puo esprimere in finzione dellangolo :

N =

cos sinsin cos

(1.25)

mentre la matrice delle tensioni e

T =

x xyxy y

(1.26)

Sostituendo le (1.25) e (1.26) nella (1.21) otteniamo in forma esplicita le componenti

normali e tangenziali della tensione relativamente alla giacitura di normale n:

n = x cos2 + y sin

2 + 2xy sin cos (1.24a)

nt = (y x) sin cos+ xycos2 sin2

(1.24b)

1.5.1 Il cerchio di Mohr

Partendo dalle (1.24) si puo sviluppare una costruzione geometrica molto utile perdeterminare il valore delle componenti principali della tensione relativamente ad unagiacitura arbitraria. Per prima cosa si ricordano le seguenti ben note formule dellatrigonometria:

cos2 =1 + cos 2

2sin2 =

1 cos 22

(1.28a)

2 sin cos = sin 2 (1.28b)

Sostituendo queste relazioni nelle (1.24) otteniamo

n = x

1 + cos 2

2

+ y

1 cos 2

2

+ xy sin 2 (1.29a)

nt =(y x)

2sin 2+ xy cos 2 (1.29b)



Figura 1.14: Costruzione del cerchio di Mohr

che riscriviamo nella forma:

n x + y2

=x y2

cos 2+ xy sin 2 (1.30a)

nt = (x y)

2sin 2+ xy cos 2 (1.30b)

Sommando membro a membro i quadrati delle (1.30), per la nota proprieta dellefunzioni trigonometriche (sin2 + cos2 = 1), risulta:

n x + y2

2+ 2nt =

x y2

2+ 2xy (1.31)

In un piano definito da un riferimento cartesiano, in cui si riporta sullasse del-le ascisse il valore di n e sulle ordinate quello di nt, la (1.31) e lequazione di

una circonferenza di raggio r =qxy

2

2+ 2xy e centro nel punto di coordinatex+y

2, 0. I punti di questa circonferenza (nota come cerchio di Mohr) descrivono

lo stato di tensione (normale e tangenziale) di tutte le giaciture ortogonali al pianox, y.

Nella Fig. 1.14 e illustrata la costruzione del cerchio di Mohr delle tensioni.Tracciando, nel piano (n, nt) due punti A e B di coordinate (x, xy) e (y,xy),il cerchio di Mohr e la circonferenza che passa per questi punti ed ha il centronellintersezione tra la loro congiungente e lasse delle ascisse.

Per porre in relazione i punti del cerchio di Mohr con le giaciture dove agisconole tensioni, indichiamo con 20 langolo formato dal segmento OA con lasse delle



20 2(0) 2

O

A

P

K

n

nt

Figura 1.15: Determinazione del polo K del cerchio di Mohr.

ascisse. Posto che r sia il raggio del cerchio, evidentemente si ha

x y2

= r cos 20 (1.32a)

xy = r sin 20 (1.32b)

Sostituendo queste nelle (1.30) otteniamo:

n x + y2

= r cos 20 cos 2+ r sin 20 sin 2 (1.33a)

nt = r cos 20 sin 2+ r sin 20 cos 2 (1.33b)

da cui, utilizzando alcune note relazioni della trigonometria, segue

n x + y2

= r cos 2(0 ) (1.34a)

nt = r sin 2 (0 ) (1.34b)

Dalle (1.34) risulta chiaro che il punto P (Fig. 1.15), individuato dallintersezionedella circonferenza con una retta passante per il centro O e che forma un angolo2 (0 ) con lasse n, fornisce lo stato di tensione agente su di una giaciturainclinata di rispetto allasse y. Poiche, per definizione, AO forma un angolo 20con n, si ha che AOP = 20 2 (0 ) = 2; tenendo conto che AOP e AKPsono rispettivamente angolo al centro ed alla circonferenza sottesi allo stesso arcoAP , se ne deduce che AKP e la meta di AOP , ossia AKP = . Prendendo ilpunto K di coordinate x,xy, la retta KP forma con lasse verticale un angolo. Tuttavia, assumendo che gli assi n, nt siano paralleli ad x, y, la retta KP nonrisulta parallela alla giacitura, poiche gli angoli sono rotati in verso opposto. Perottenere questa coincidenza occorre ribaltare il riferimento n, nt in modo che lasse abbia verso opposto ad y. In questo modo la retta KP e parallela alla giacitura



O

A

P

K

n

nt

A x

y

n

nt n x

nt xy

xy

n nt

Figura 1.16: Determinazione dello stato di tensione su di una giacitura arbitrariamediante il cerchio di Mohr.

(Fig. 1.16) e le coordinate del punto P forniscono i valori delle tensioni normale etangenziale agenti sulla giacitura parallela a KP . Il puntoK, di coordinate x,xye detto il polo del cerchio di Mohr.

1.5.2 Tensioni principali

Abbiamo mostrato che il cerchio di Mohr ha il centro sullasse delle , pertantointerseca sempre questo asse in due punti diametralmente opposti P1 e P2 di coordi-nate (1, 0) e (2, 0) (Fig. 1.17). Alle due giaciture corrispondenti, che si ottengonoconducendo per K le retteKP1 eKP2, sono quindi associati stati di tensione esclusi-vamente normale, in quanto su queste giaciture risulta = 0. Queste due giaciture,dette principali, sono tra loro ortogonali, poiche langolo P1KP2 e un angolo allacirconferenza che sottende il diametro; e evidente che le tensioni corrispondenti, 1e 2, raggiungono il valore massimo e minimo tra quelli corrispondenti a tutte legiaciture relative al punto dato e vengono dette le tensioni principali nel punto.

Possiamo facilmente determinare le tensioni principali osservando che 1 = O+re 2 = O r, dove O indica lascissa del centro O del cerchio ed r e il raggio.Poiche per la (1.31)

O =x + y2

r =

sx y2

2+ 2xy (1.35)



K (x,-xy)

O

P1 P2

1

1

2

2

12

Figura 1.17: Tensioni principali per uno stato di tensione piano.

otteniamo

1 =x + y2

+

sx y2

2+ 2xy (1.36a)

2 =x + y2

sx y2

2+ 2xy (1.36b)

A queste tensioni sono associate le due giaciture ortogonali determinate dagli angoli

1 = arctan

1 xxy

2 = 1

2(1.37)

Dalla Fig. 1.22 risulta anche evidente che il valore massimo della tensione tangen-ziale si raggiunge per quella giacitura in cui n = (x + y) /2 e risulta max = r =qxy

2

2+ 2xy. Questa giacitura e definita dallangolo = arctan

|xy|2(|xy|+r)

.

Linee isostatiche

Lo stato di tensione in ogni punto di un corpo si puo descrivere mediante la matricedelle tensioni T o, in modo equivalente, mediante i valori delle tensioni principali ele direzioni corrispondenti. Indicando con n1 la direzione della tensione massima econ n2 la direzione di quella minima, partendo da un punto si possono costruire duecurve che ovunque sono tangenti ad n1 ed a n2, rispettivamente; queste curve sonochiamate linee isostatiche. Partendo da un qualsiasi altro punto non sulle due curveprecedenti, si possono costruire altre due linee che ovviamente non intersecano maile omologhe. Le due famiglie di curve invece si intersecano sempre ortogonalmente,poiche n1 ed n2 sono tra loro ortogonali.



-80 -40 0 40 80 120

80

40

0

-40

-80

K

(x,xy)

(y,xy)

Figura 1.18: Cerchio di Mohr e tensioni principali per lesempio 1.1.

Esempio 1.1 Dato uno stato di tensione piano x = 100MPa, y = 30MPa e xy =50MPa, costruire il cerchio di Mohr e determinare i valori delle tensioni principali edellangolo che ne individua le giaciture.

Dobbiamo costruire una circonferenza che passa per i tre punti di coordinate (100, 50),(100,50), (30,50), ovvero una circonferenza con centro nel punto di coordinate

=x + y2

=100 30

2= 35 = 0

e raggio

r =

sx y2

2+ 2xy =

s100 + 30

2

2+ 502 = 82.006

Il cerchio e rappresentato in Fig. 1.18; i valori delle tensioni principali si determinano conle (1.36):

1 = 35 + 82.006 = 117.006MPa

2 = 35 82.006 = 47.006MPa

Le giaciture delle tensioni principali formano con lasse y gli angoli 1 = arctan1xxy

=

arctan117.006100

50

= arctan (0.34) = 0.328 rad = 18.784 ed 2 = 1 2 = 71.216.

1.5.3 Tensioni principali in 3D*

Lequazione di Cauchy (1.11), si puo anche formulare in termini di matrici; tenendo conto

della definizione (1.9) della matrice T e della sua simmetria, potremo scrivere, ricordandole note regole del prodotto di una matrice per un vettore

pn = Tn (1.38)



Ci chiediamo se esista una direzione n per la quale pn e ortogonale alla giacitura, ovveroe parallela ad n. Questa condizione si scrive

Tn =n (1.39)

dove e il modulo della tensione ed n la direzione. La (1.39) e soddisfatta se

(TI)n = 0 (1.40)

in cui

I =

1 0 00 1 00 0 1

(1.41)e la matrice unita. Come e noto dallalgebra, il sistema omogeneo di equazioni (1.40) ha

soluzioni non nulle solo se il determinante della matrice dei coefficienti e zero, ossia

det (T I) = det

x xy xz yx y yz zx zy z

= 0 (1.42)Sviluppando il determinante (1.42) si ottiene unequazione cubica in :

3 I12 + I2 I3 = 0 (1.43)

dove I1, I2, I3 sono detti gli invarianti della matrice delle tensioni, in quanto il loro valore, adifferenza di quello dei termini della matrice, non dipende dal riferimento. Esplicitamente:

I1 = Tr (T) = x + y + z (1.44a)

I2 =1

2

Tr (T)2 Tr

T2= xy + yz + zx 2xy 2yz 2zx(1.44b)

I3 = det (T) = xyz + 2xy yz zx x 2yz y 2xz z 2xy (1.44c)

Dal teorema fondamentale dellalgebra sappiamo che lequazione cubica (1.43) ha tre

radici; dalla simmetria della matrice T segue, come si puo dimostrare, che queste radicisono tutte reali. Dunque in generale avremo tre valori di per cui la (1.42) e la (1.39) sonoverificate: 1, 2, 3. Questi sono i valori principali della tensione nel punto esaminato.A ciascun valore principale e associata una direzione n; e facile mostrare che per valoridistinti di i, j le direzioni ni ed nj sono ortogonali. Infatti per ipotesi sono verificateentrambe le equazioni:

Tni = ini Tnj = jnj (1.45)

Moltiplicando a sinistra la prima per ntj e la seconda per nti si ottiene:

ntjTni = intjni n

tiTnj = jn

tinj (1.46)

Prendendo il trasposto di entrambi i membri della seconda equazione e sottraendola alla

prima risulta:

ntjTni ntjTtni = (i j)ntjni (1.47)


1.6 Equazioni di equilibrio 19

Poiche T e simmetrica, Tt = T, quindi il primo membro dellequazione precedente enullo. Se i 6= j il secondo membro si annulla solo se ntjni = 0, ovvero le due direzionisono ortogonali.

Le tre direzioni ortogonali ni (i = 1, 2, 3) sono dette le direzioni principali dellatensione nel punto. Nel riferimento che utilizza queste tre direzioni come assi, le compo-

nenti tangenziali della tensione ij sono tutte nulle; pertanto la matrice T e, in questoriferimento, diagonale

T =

1 0 00 2 00 0 3

In funzione delle tensioni principali i tre invarianti (1.44) assumono una forma particolar-

mente semplice

I1 = 1 + 2 + 3 (1.48a)

I2 = 12 + 23 + 31 (1.48b)

I3 = 123 (1.48c)

Cerchi di Mohr nello spazio 3D

Consideriamo un riferimento in cui uno degli assi (p.es. z) coincide con una delle direzioniprincipali, p.es. n3. In questo riferimento z = 3 e quindi zx = xz = 0 e zy = yz =0, poiche, essendo n3 una delle direzioni principali, le tensioni tangenziali sulla giacituraortogonale sono nulle. Pertanto su tutte le giaciture che hanno n3 per asse risultano nulletutte le componenti tangenziali, ad eccezione di xy. La situazione e del tutto analogaa quella che si verifica nel caso di tensioni piane e, per queste componenti della tensione

(x, y, xy), si puo costruire un cerchio di Mohr, che avra come tensioni principali 1 e2.

Il procedimento puo essere ripetuto prendendo come assi n2, ottenendo un cerchiocon tensioni principali 1 e 3, ed n1, per cui le tensioni principali sono 2 e 3. Sicostruiscono cos tre cerchi di Mohr, ciascuno dei quali passa per due punti corrispondenti

ad una coppia di valori delle tensioni principali (Fig. 1.19).

1.6 Equazioni di equilibrio

Prendiamo di nuovo in esame un prisma di dimensioni infinitesime le cui facce sonoparallele ai piani coordinati (Fig. 1.20). Sulla faccia che ha per normale uscentelasse x cambiato di segno agisce la tensione px = px; sulla faccia opposta, connormale uscente x, agisce la tensione px+dpx, dove dpx e la variazione infinitesimache subisce la tensione quando ci si sposta della quantita dx; la risultante di questeforze e

pxdydz + (px + dpx) dydz = dpxdydz (1.49a)

ossia e pari alla variazione della tensione dpx per larea della faccia del prismadydz. Analoghe osservazioni si possono fare sommando le tensioni agenti sulle facce



3 2 1

n1

n2x

y

3

n3 z

y x

yx xy

3 2 1

n1

n2x

y

3

n3 z

y x

yx xy

Figura 1.19: Tre cerchi di Mohr per stati di tensione in 3D.

x

y

z

dx dy

dz

px+dpx

py+dpy

pz+dpz

-px

-py

-pz

g

Figura 1.20: Tensioni agenti sulle facce di un parallelepipedo con spigoli paralleliagli assi del riferimento.


1.6 Equazioni di equilibrio 21

normali agli assi y e z:dpydxdz dpzdxdy (1.49b)

Sul prisma, oltre alle tensioni, possono agire anche le forze di volume: indicandocon g la densita di forza (forza per unita di volume), la forza risultante sul prismae gdxdydz; quindi, per la prima delle equazioni cardinali della statica, le condizionidi equilibrio si formulano nel modo seguente:

dpxdydz + dpydxdz + dpzdxdy + gdxdydz = 0 (1.50)

Poiche dpx indica la variazione di px per uno spostamento dx, dpy indica quella dipy per dy, ecc., potremo scrivere:

dpx =pxx

dx dpy =pyy

dy dpz =pzz

dz (1.51)

per cui, sostituendo la (1.51) nella (1.50), abbiamo

pxx

dxdydz +pyy

dydxdy +pzz

dzdxdy + gdxdydz = 0 (1.52)

Dividendo tutti i termini per il volume dellelemento dxdydz, otteniamo lequazionedi equilibrio in forma vettoriale

pxx

+pyy

+pzz

+ g = 0 (1.53)

La stessa equazione, espressa mediante le componenti dei vettori p, si decomponenelle tre equazioni scalari:

xx

+xyy

+xzz

+ gx = 0 (1.54a)

yxx

+yy

+ yzz

+ gy = 0 (1.54b)

zxx

+ zyy

+zz

+ gz = 0 (1.54c)

Queste tre equazioni, note come equazioni di equilibrio indefinite, in condizioni diequilibrio debbono essere verificate in ogni punto interno al corpo.

1.6.1 Equazioni sul contorno

Le equazioni (1.53) o (1.54), come abbiamo detto, devono essere verificate nei puntiinterni del corpo. Nei punti sulla superficie che delimita il solido (frontiera) dovremorispettare altre condizioni. Infatti abbiamo visto che oltre alle forze di volume (comela forza peso), su di un corpo agiscono normalmente forze di superficie; le forze chedue solidi si scambiano quando vengono a contatto sono, ad esempio, di questo tipo.Le tensioni hanno in effetti le caratteristiche di forze di superficie; per esprimere

le condizioni di equilibrio sulla frontiera e quindi sufficiente assumere che nei punti



di questa superficie, sulle giaciture tangenti ad essa, la tensione uguagli la densitadella forza esterna. In formule, indicando con f il vettore della densita di forza (cioela forza per unita di superficie) nel punto P S (S frontiera del corpo), avremo

p (n) = f (1.55)

dove n e la normale (uscente) ad S in P . Ricordando la formula di Cauchy (1.10)la precedente diviene:

Tn = f (1.56)

Questa equazione vettoriale e equivalente alle tre relazioni scalari:

xxnx + yxny + zxnz = fxxynx + yyny + yznz = fyxznx + yzny + zznz = fz

(1.57)

1.7 Unita di misura

Anche se in alcuni paesi, particolarmente quelli anglosassoni, vengono comunementeimpiegati altri sistemi di misura, la comunita scientifica internazionale ha adottatoufficialmente il sistema internazionale (SI) che utilizza come unita di riferimento ilMetro (m), il Chilogrammo ( kg) ed il Secondo ( s) (per questo detto MKS), oltreallAmper, al Grado Kelvin e alla Candela. Tutte le altre grandezze fisiche sonoderivate da queste.Le unita di misura delle forze sono pertanto unita derivate. La relazione che lega

le forze alle grandezze di base e la seconda legge di Newton F = ma, in cui la forzaF agente su di un corpo e espressa come il prodotto della massa per laccelerazioneche la forza stessa le imprime; poiche laccelerazione ha a sua volta le dimensionidel rapporto tra una lunghezza ed un tempo al quadrato, si ottiene facilmente chelunita di misura della forza si esprime come

[F ] =[M ] [L]

[T ]2

dove [M ] indica lunita di misura delle masse, [L] quella delle lunghezze, ecc. Nelsistema MKS lunita di misura delle forze e il Newton

1N =1kg 1m1 s2

ovvero un Newton e la forza che imprime unaccelerazione di un metro al secondoquadrato ad una massa di un Chilogrammo. Poiche laccelerazione di gravita dellaterra e g ' 9.81m/ s2, la forza di gravita (cioe il peso) di una massa di 1 Chilogram-mo e circa 9.81N. Un multiplo del Newton e il Chilonewton (1 kN = 1000N) ; Laforza di un Chilonewton approssima (per eccesso) il peso di una massa di 100 kg.La tensione e definita come il rapporto tra forza e superficie: quindi

[P ] =[F ]

[L]2=

[M ]

[L] [T ]2


1.7 Unita di misura 23

Nel sistema MKS lunita di misura della pressione e il Pascal ( Pa). Un Pascal e ilrapporto tra un Newton ed un Metro quadrato

1Pa =1N

1m2=

1kg

1m 1 s2

Il Pascal, per i valori in gioco nellingegneria civile, e una grandezza molto piccola;comunemente si utilizzano i suoi multipli, il Chilopascal (1 kPa = 1000Pa) e, piuspesso, il Megapascal (1MPa = 106 Pa).Nellingegneria sono ancora a volte utilizzate le unita di misura tecniche. In

questo caso si usa come unita di misura il Chilogrammo-forza (Kgf), definito comeil peso della massa di un chilo. Per quanto visto prima, 1Kgf ' 9.81N.


Capitolo 2

Analisi della deformazione

2.1 Moto rigido e deformazione

Se in due istanti diversi un corpo occupa diverse posizioni nello spazio diremo che hasubito uno spostamento. Lo spostamento si dice rigido se si conservano le distanzetra i punti e gli angoli formati da due rette passanti per tre punti qualsiasi. Di fatto,la prima condizione implica la seconda. Uno spostamento generico si puo sempredecomporre in una parte rigida ed una deformazione, che corrisponde a quella partedello spostamento che altera la distanza trai punti del corpo.

Nei solidi, spesso, le deformazioni sono piccole e per molti problemi lo spostamen-to puo essere approssimativamente considerato rigido; ma nei casi che coinvolgonolo studio delle tensioni interne al corpo lipotesi di rigidita rende il problema inde-terminato; e quindi necessario tenere conto anche di questa parte dello spostamento,sebbene a volte tanto piccola da poter essere rilevata solo con strumenti di precisio-ne. Nelle strutture civili gli spostamenti rigidi globali sono quasi sempre impeditidai vincoli esterni (le fondazioni) e gli spostamenti che si manifestano dipendonosolo dalle deformazioni.

Supponiamo di ripetere lesperimento di trazione della barra, gia illustrato nelcapitolo precedente. Ora pero misuriamo, al crescere della forza, la distanza l tradue punti fissati, la cui distanza iniziale era l0: osserveremo che la distanza tra i duepunti aumenta al crescere della forza. Se durante lesperimento si misura anche la

F F

l0

l

Figura 2.1: Misura dellallungamento di una barra sottoposta a trazione.

25Giannini: Dispense di Tecnica delle Costruzioni

26 Capitolo 2 Analisi della deformazione

B

Al0

Bl n

Figura 2.2: Definizione di dilatazione

distanza tra altri due punti, posti tra loro ad una distanza iniziale l00 diversa da l0,si trovera che, a parita di forza, lallungamento l = l l0 e diverso da l0 = l0 l00,mentre i rapporti l/l0 e l

0/l00 sono approssimativamente uguali. Questo rapportoe definito come la deformazione media tra i punti:

m =l l0l0

(2.1)

Il caso ora esaminato e particolarmente semplice, anche se significativo: la formadelloggetto consente di trattare il problema come se vi fosse una sola dimensione e,almeno fino ad un certo punto, le condizioni di omogeneita fanno s che la deforma-zione media sia indipendente dalla lunghezza l0 della base di misura. Ma in generalequeste condizioni cos restrittive non sono verificate ed il concetto di deformazionedeve essere affinato ed ampliato.Per tenere conto che m puo dipendere dalla lunghezza della base di misura, si

definisce una deformazione puntuale, come limite per l0 0

n = liml00

l l0l0

(2.2)

n e la deformazione (dilatazione) nel punto A e nella direzione n (Fig. 2.2).Come la tensione, anche la deformazione in un punto dipende dalla direzione con-

siderata; tuttavia la deformazione e conseguenza degli spostamenti, che dipendonosolo dal punto,non dalla direzione; dovremo quindi attenderci che esista una relazio-ne che consenta di calcolare la deformazione in una direzione generica in funzionedi quelle relative alle direzioni di riferimento.

2.2 Analisi delle piccole deformazioni

2.2.1 Dilatazione

Si analizza il caso piano, perche piu facilmente rappresentabile, ma i risultati sipossono facilmente estendere al caso generale. Si esamini la Fig. 2.3, dove sonoindicati tre punti A,B e C posti sugli assi di un riferimento ortogonale x, y in mododa formare un angolo retto in A. Sia dx la distanza AB e dy quella tra A e C;u (P ) indica il campo degli spostamenti, che si assume essere continuo. Se u (A) e


2.2 Analisi delle piccole deformazioni 27

A

C

B

A

C

B

u(A)

u(C)

u(B)

y

x

dy

dx

dxxux

dxxuy

dyyuy

dyyux

2

Figura 2.3: Spostamento regolare di tre punti che individuano due assi ortogonali.

lo spostamento del punto A, lo spostamento in B e, a meno di infinitesimi di ordinesuperiore, u (B) = u (A) + u

xdx ; analogamente lo spostamento di C, distante dy

da A, e u (C) = u (A) + uydy.

Dopo lo spostamento i punti A, B e C occuperanno le posizioni A0, B0 e C 0. Ladistanza tra A0 e B0 e data da (vedi Fig. 2.3)

dx02 =

dx+

uxx

dx

2+

uyx

dx

2(2.3)

Come si e detto allinizio, le deformazioni nei solidi sono generalmente piccole neiconfronti dellunita. In questo caso, che noi assumeremo sempre valido, esse possonoessere trattate come grandezze infinitesime, trascurando i termini in cui compaio-no elevate ad una potenza di ordine superiore. Poiche le deformazioni dipendonodirettamente dalle derivate del campo degli spostamenti, altrettanto si potra affer-mare per questi ultimi. Quindi sviluppando i quadrati della (2.3) e tenendo presentequanto sopra detto, si ha:

dx02 = dx2 + 2uxx

dx2 +

uxx

2dx2 +

uyx

2dx2 dx2

1 + 2

uxx

(2.4)

in cui i terminiuxx

2dx2 +

uyx

2dx2 sono stati trascurati perche contengono i

quadrati delle derivate di u. Dalla (2.4), ricordando che se 1 si ha1 + 2

1 + , risulta

dx0 =

sdx2

1 + 2

uxx

dx

1 +

uxx

(2.5)

Sostituendo la (2.5) nella definizione (2.2) della deformazione, si ottiene che la



deformazione nella direzione x e data da

x =dx0 dx

dx=

uxx

(2.6)

In modo analogo, esaminando la variazione di lunghezza del segmento AC, tro-viamo che y =

uyye, generalizzando al caso 3D, z =

uzz. Questi risultati sono

riassunti nelle relazioni seguenti:

x =uxx

y =uyy

z =uzz

(2.7)

2.2.2 Scorrimenti

La deformazione non produce soltanto la variazione di distanza tra i punti, ma an-che la variazione degli angoli formati dai segmenti, come e mostrato nella Fig. 2.3.Langolo tra i segmenti AB e AC, inizialmente retto, varia, a causa della deforma-zione, della quantita . Confondendo langolo con la sua tangente, come e lecito perpiccole deformazioni, si ha

xy =uyx

dx

dx+

uxy

dy

dy=

uyx

+uxy

xy indica la variazione dellangolo tra gli assi x ed y. Il risultato ottenuto si estendefacilmente al caso tridimensionale, per cui si hanno tre termini di scorrimento

xy =uxy

+uyx

yz =uyz

+uzy

zx =uzx

+uxz

(2.8)

2.2.3 Matrice delle deformazioni

Con le sei grandezze definite dalle (2.7) e (2.8) si puo costruire una matrice simme-trica, detta matrice delle deformazioni. Per ragioni che saranno chiare in seguito, itermini fuori diagonale della matrice si prendono la meta degli angoli :

E =

x 12xy 12xz12yx y

12zy

12zx

12zy z

=

uxx

12

uxy+ uy

x

12

uzx+ ux

z

12

uxy+ uy

x

uyy

12

uyz+ uz

y

12

uzx+ ux

z

12

uyz+ uz

y

uzz

(2.9)

Ovviamente, per come sono stati definiti, si ha che xy = yx e simili; di conseguenzala matrice E e simmetrica.

2.2.4 Dilatazione lungo una direzione arbitraria*

Esaminiamo ora il caso di un segmento PQ, di lunghezza infinitesima, comunque orientatonello spazio. Dopo lo spostamento i punti P e Q occupano le posizioni P 0 e Q0, mentre



P

QP

Q

u(Q)

u(P)

dx

dy

Figura 2.4: Dilatazione lungo una direzione arbitraria.

u (P ) ed u (Q) sono gli spostamenti di questi punti, ovvero i segmenti che uniscono P eQ con P 0 e Q0 rispettivamente (Fig. 2.4).

Per la continuita degli spostamenti, si puo porre

u (Q) = u (P ) +du

dPdP

o, piu esplicitamente, in termini delle componenti scalari:

ux (Q) = ux (P ) +uxx

dx+uxy

dy +uxz

dz (2.10a)

uy (Q) = uy (P ) +uyx

dx+uyy

dy +uyz

dz (2.10b)

uz (Q) = uz (P ) +uzx

dx+uzy

dy +uzz

dz (2.10c)

A queste espressioni si puo dare una formulazione piu concisa definendo la matrice

D =

uxx

uxy

uxz

uyx

uyy

uyz

uzx

uzy

uzz

(2.11)per cui le (2.10) sono equivalenti a

u (Q) = u (P ) +DdP (2.12)

dove dP = Q P =dx dy dz

te il vettore che congiunge i punti P e Q.

Dopo lo spostamento, i punti P 0 e Q0 sono collegati dal vettore dP 0:

dP 0 = Q0 P 0 = Q+ u (Q) [P + u (P )] = Q P + u (Q) u (P )



Tenendo conto della (2.12) si ottiene

dP 0 = dP +DdP = (I+D) dP (2.13)

dove I indica la matrice unita. Il quadrato della lunghezza di dP 0 si calcola eseguendo ilprodotto scalare di dP 0 per se stesso:1

dl02 = dP 0tdP = dP tI+Dt

(I+D) dP =

dP tI+Dt +D+DtD

dP (2.14)

Poiche la matrice D e formata con le derivate di u, per quanto detto in precedenza puoessere trattata come infinitesima e quindi il prodotto DtD puo essere trascurato nella(2.14):

dl02 = dP tI+Dt +D

dP = dP t (I+2E) dP (2.15)

Infatti, confrontando la definizione (2.11) di D con quella (2.9) della matrice di deforma-zione E e facile verificare che

E =1

2

Dt+D

(2.16)

Sviluppando la (2.15) si ottiene

dl02 = dP tdP + 2dP tEdP = dl2 + 2dP tEdP (2.17)

dl = |dP | e la lunghezza del segmento PQ. Il rapporto dPdl= n e un vettore di lunghezza

unitaria orientato come PQ. Nella (2.17), ponendo dl2 a fattore si ha quindi

dl02 = dl21 + 2ntEn

da cui, con le solite approssimazioni, poiche ntEn 1, si ha

dl0 = dl1 + 2ntEn dl

1 + ntEn

e pertanto

n =dl0 dl

dl= ntEn (2.18)

La relazione precedente consente quindi di determinare la dilatazione in qualunque dire-

zione, mediante il prodotto della matrice E per i vettori unitari della direzione. In formaesplicita la (2.18) si scrive

n = xn2x + yn

2y + zn

2z + xynxny + yznynz + zxnznx (2.19)

2.2.5 Scorrimento di due direzioni ortogonali*

Per valutare lo scorrimento tra due direzioni ortogonali arbitrariamente orientate, consi-

deriamo due segmenti infinitesimi PQ e PR ortogonali tra loro. Per effetto della defor-mazione il punto P si sposta in P 0, Q in Q0 ed R in R0. Applicando la (2.13) i due vettori

1Si ricorda che il trasposto del prodotto di due matrici e uguale al prodotto in ordine inversodelle matrici trasposte:

(AB)t= BtAt

Se una matrice e simmetrica coincide con la sua trasposta: At = A.



P

QP

Q

u(Q)

u(P)

dx

dy

R

R u(R)

=/2

dlQ

dlR

x

y

Figura 2.5: Scorrimento di due direzioni ortogonali.

che uniscono P 0 a Q0 ed R0, rispettivamente, sono

dQ0 = (I+D) dQ dR0 = (I+D) dR (2.20)

Il prodotto scalare tra due vettori e uguale al prodotto tra i moduli moltiplicato per il

coseno dellangolo formato tra i vettori, quindi:

dQ0tdR0 = dl0Qdl0R cos

2

= dQt

I+Dt

(I+D) dR =

dQtdR+ dQtDt+D

dR+ dQtDtDdR (2.21)

Trascurando il termine che contiene DtD e ricordando la (2.16) si ottiene

dQ0tdR0 = dl0Qdl0R cos

2

= dQtdR+ 2dQtEdR (2.22)

Tenuto conto che dQtdR = 0, in quanto le due direzioni erano, per ipotesi, ortogonali,dividendo entrambi i membri della (2.22) per dl0Qdl

0R, poiche

dQdl0Q dQ

dlQ= nQ e il vettore

a modulo unitario della direzione PQ e dRdl0R nR, risulta

cos2

= sin () = 2ntQEnR (2.23)

Questultima relazione dimostra come la variazione angolare tra due direzioni ortogonali

si determina, a meno del fattore 2, moltiplicando la matrice E delle deformazioni per ivettori unitari delle due deformazioni.

2.2.6 Cambiamento di riferimento*

Tre vettori unitari tra loro ortogonali definiscono un nuovo riferimento cartesiano, rispetto

al quale le componenti e della matrice E sono diverse da quelle relative al riferimento



originale. Tenendo conto delle (2.18) e (2.23), lespressione della matrice E0 della matricedella deformazione relativa ai nuovi assi e

E0 = NtEN (2.24)

dove N e la matrice formata con le 9 componenti dei 3 vettori n1, n2 e n3 definita nella(1.22).

2.2.7 Variazione di volume

Il prisma infinitesimo i cui spigoli sono paralleli agli assi del riferimento e lunghi dx,dy e dz, ha un volume iniziale dV = dxdydz. Dopo la deformazione gli spigoli hannolunghezza dx (1 + x), dy (1 + y) e dz (1 + z); quindi, confondendo la lunghezzadegli spigoli con le altezze, cosa lecita se le deformazioni si considerano infinitesime,si ottiene che il volume del prisma deformato e

dV 0 = dx (1 + x) dy (1 + y) dz (1 + z) dxdydz (1 + x + y + z)

avendo trascurato i termini quadratici e cubici nelle deformazioni (considerati infi-nitesimi di ordine superiore).La deformazione volumetrica e definita come il rapporto tra la variazione di

volume ed il volume iniziale. Tenendo conto dei risultati precedenti, si ha

V =dV 0 dV

dV=

dxdydz (1 + x + y + z) dxdydzdxdydz

= x + y + z (2.25)

Si ottiene quindi il risultato che, per piccole deformazioni, la deformazione volume-trica e la somma delle tre dilatazioni.2

2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle

deformazioni

Lequazione (2.24) della legge di variazione della matrice delle deformazioni e identi-ca alla (1.21) relativa alla matrice delle tensioni. Pertanto tutti i risultati ottenuti nelprecedente capitolo, in particolare quelli relativi al caso piano, si possono estenderesenza modifiche alle deformazioni.Si potra costruire quindi un cerchio di Mohr delle deformazioni nel piano, analogo

a quello delle tensioni, riportando in ascisse le dilatazioni assiali ed in ordinate gliscorrimenti /2. Come unica differenza, se si vuole che la congiungente il polo Kcon il punto P (, ), rappresentativo dello stato di deformazione sia parallela alladirezione che subisce la dilatazione e, rispetto alla sua ortogonale, lo scorrimentoangolare , occorre assumere il polo K nel punto di coordinate

y, xy/2

e non nel

puntox,xy/2

come avremmo fatto per similitudine con il caso delle tensioni

(vedi Fig. 2.6).

2La deformazione volumetrica e la somma dei termini diagonali di E. Questa grandezza e dettala traccia della matrice e, per quanto visto nel 1.5.3, e un invariante della matrice. Questo risultatoconferma il fatto che la variazione di volume non deve dipendere dalla scelta del riferimento.


2.3 Deformazioni piane. Cerchio di Mohr delle deformazioni 33

x

y

O

A

P

K

n

2nt

A

n x

2nt

2xy

y

Figura 2.6: Cerchio di Mohr relativo ad una deformazione piana.

Si possono quindi facilmente determinare le deformazioni principali e le direzionicorrispondenti. Per queste due direzioni ortogonali la deformazione e una puradilatazione mentre gli scorrimenti angolari sono nulli. Si ha pertanto

1 =x + y2

+

sx y2

2+xy2

22 =

x + y2

sx y2

2+xy2

2Le direzioni delle deformazioni principali formano con x un angolo

1 = arctan

xyx y +

q(x y)2 + 2xy

e 2 = 1 + /2.


Capitolo 3

Leggi costitutive

3.1 Prova di trazione di una barra di acciaio

Prendiamo ancora una volta in esame la barretta che abbiamo immaginato di sotto-porre a prova nei precedenti capitoli. Ora stabiliamo anche la natura del materialecon cui la barra e realizzata, supponendo trattarsi di acciaio dolce, normalmenteutilizzato nelle costruzioni civili. Ripetendo le prove gia descr

Renato Giannini Settembre 2007 - unina.stidue.netunina.stidue.net/Tecnica delle...

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