Disequazioni con i moduli

Giacomo Palazzi

28 Novembre 2008

1 Modulo di un numero reale

Ricordiamo la de�nizione di modulo di un numero reale.De�nizione 1. Si dice "modulo di un numero reale" A 2 R la quantità:jAj =

�A se A�0�A se A<0

2 Disequazioni con i moduli

1. Disequazioni del tipo jf(x)j �(<;�; >)g(x);2. Disequazioni del tipo jf(x)j �(<)k 2 R;3. Disequazioni del tipo jf(x)j �(>)k 2 R:

2.1 Disequazioni del tipo jf(x)j �(<;�; >)g(x)Dalla de�nizione 1 si ha che:jf(x)j =

�f(x) se f(x)�0�f(x) se f(x)<0

Dunque per risolvere la disequazione basterà risolvere i due sistemi seguentie unirne i due insiemi di soluzioni.�

f(x)�0f(x)�(<;�;>)g(x) _

�f(x)<0

�f(x)�(<;�;>)g(x)

Esempio. Risolviamo la disequazione jx+ 1j � 3x+ 4.Poichè jx+ 1j =

�x+1 se x��1�x�1 se x<�1 si ha che:�

x��1x+1�3x+4 _

�x<�1

�x�1�3x+4da cui si ottiene:�x��1x�� 3

2_�x<�1x�� 5

4

e pertanto:x � �1 _ � 5

4 � x � �1. L�insieme di soluzioni della disequazione perciò èS = [� 5

4 ;+1[.

1

2.2 Disequazioni del tipo jf(x)j �(<)k 2 RRicordiamo che vale il risultato seguente.Proposizione 1. Siano A; k 2 R. Allora se jAj � k (jAj < k) si ha che

�k � A � k (�k < A < k).Allora l�insieme di soluzioni della disequazione jf(x)j �(<)k 2 R coincide

con quello del sistema seguente.�f(x)�(>)�kf(x)�(<)k

2.3 Disequazioni del tipo jf(x)j �(>)k 2 RRicordiamo che vale il risultato seguente.Proposizione 2. Siano A; k 2 R. Allora se jAj � k (jAj > k) si ha che

A � �k (A < �k) _ A � k (A > k).Allora l�insieme di soluzioni della disequazione jf(x)j �(>)k 2 R coincide

con l�unione delle soluzioni delle disequazioni seguenti.f(x) � �k (f(x) < �k) _ f(x) � k (f(x) > k).

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